【高考数学】2018-2019学年数学高考(理)第一轮复习(江苏版)：第15讲空间向量法解立体几何题经典精讲

1.集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示. (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法2.集合间的基本关系A B (或B A )3.集合的基本运算【知识拓展】1.若有限集A 中有n 个元素，则集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n －1.2.A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .3.A ∩∁U A ＝∅；A ∪∁U A ＝U ；∁U (∁U A )＝A . 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × )(2){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}.( × ) (3)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( × ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}.( √ )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立.( √ ) (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( × )1.(教材改编)设A ＝{x |x 2－4x －5＝0}，B ＝{x |x 2＝1}，则A ∪B ＝__________. 答案 {－1，1，5}解析 ∵A ＝{－1，5}，B ＝{－1，1}， ∴A ∪B ＝{－1，1，5}.2.已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝x －3}，则A ∩B ＝__________. 答案 {x |3≤x ≤5}3.(教材改编)设全集U ＝R ，A ＝{x |x <1}，B ＝{x |x ≥m }.若A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，则m ＝________. 答案 1解析 ∵A ∩B ＝∅，A ∪B ＝R ，∴B ＝∁U A ，故m ＝1.4.(2016·天津改编)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{y |y ＝3x －2，x ∈A }，则A ∩B ＝________. 答案 {1，4}解析 因为集合B 中，x ∈A ，所以当x ＝1时，y ＝3－2＝1； 当x ＝2时，y ＝3×2－2＝4；当x ＝3时，y ＝3×3－2＝7； 当x ＝4时，y ＝3×4－2＝10； 即B ＝{1，4，7，10}.又因为A ＝{1，2，3，4}，所以A ∩B ＝{1，4}.5.集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是____________. 答案 [2，＋∞)解析 由A ∩B ＝A ，知A ⊆B ，从数轴观察得a ≥2.题型一 集合的含义例1 (1)(2016·南京模拟)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P ＋Q ＝{a ＋b |a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{0，2，5}，Q ＝{1，2，6}，则P ＋Q 中元素的个数是________. (2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝________. 答案 (1)8 (2)0或98解析 (1)当a ＝0时，a ＋b ＝1，2，6； 当a ＝2时，a ＋b ＝3，4，8； 当a ＝5时，a ＋b ＝6，7，11.由集合中元素的互异性知P ＋Q 中有1，2，3，4，6，7，8，11，共8个元素.(2)若a ＝0，则A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，符合题意；若a ≠0，则由题意得Δ＝9－8a ＝0，解得a ＝98.综上，a 的值为0或98.思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.(1)(2016·盐城模拟)已知A ＝{x |x ＝3k －1，k ∈Z }，则下列表示正确的是________.①－1∉A②－11∈A ③3k 2－1∈A (k ∈Z )④－34∉A(2)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________.答案 (1)③ (2)2解析 (1)∵k ∈Z ，∴k 2∈Z ，∴3k 2－1∈A . (2)因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0，所以a ＋b ＝0，得ba ＝－1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2. 题型二 集合的基本关系例2 (1)设A ，B 是全集I ＝{1，2，3，4}的子集，A ＝{1，2}，则满足A ⊆B 的B 的个数是________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－2 017x ＋2 016<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________________. 答案 (1)4 (2)[2 016，＋∞)解析 (1)∵{1，2}⊆B ，I ＝{1，2，3，4}，∴满足条件的集合B 有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个. (2)由x 2－2 017x ＋2 016<0，解得1<x <2 016， 故A ＝{x |1<x <2 016}，又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 016. 引申探究本例(2)中，若将集合B 改为{x |x ≥a }，其他条件不变，则实数a 的取值范围是____________. 答案 (－∞，1]解析 A ＝{x |1<x <2 016}，B ＝{x |x ≥a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≤1.思维升华 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题.(1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a的值为____________.(2)(2016·连云港模拟)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是____________. 答案 (1)－13或12或0 (2)(－∞，4]解析 (1)由题意知A ＝{2，－3}. 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ； 当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ，由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a ＝2，∴a ＝－13或a ＝12.综上，a 的值为－13或12或0.(2)当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2； 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 题型三 集合的基本运算 命题点1 集合的运算例3 (1)(2016·江苏前黄中学月考)设全集U ＝{n ∈N |1≤n ≤10}，A ＝{1，2，3，5，8}，B ＝{1，3，5，7，9}，则(∁U A )∩B ＝________.(2)设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x ＜－2或x ＞2}，N ＝{x |1≤x ≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.答案 (1){7，9} (2){x |－2≤x ＜1}解析 (1)U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn 图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即(∁U A )∩B ＝{7，9}.(2)阴影部分所表示的集合为∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )＝{x |－2≤x ≤2}∩{x |x ＜1或x ＞3}＝{x |－2≤x ＜1}.命题点2 利用集合的运算求参数例4 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是____________. (2)集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________. 答案 (1)(－1，＋∞) (2)4解析 (1)因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.(2)由题意可得{a ，a 2}＝{4，16}，∴a ＝4.思维升华 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.(1)已知A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x >5}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围为__________.(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且A ∩B ＝B ，则实数m 的取值范围为________.答案 (1)a ≤2或a >3 (2)[－1，＋∞)解析 (1)要使A ∩B ＝∅，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋3，a ＋3≤5，或2a >a ＋3，∴a ≤2或a >3.(2)由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}.又A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2. ②当B ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2.综上，m 的取值范围为[－1，＋∞). 题型四 集合的新定义问题例5 已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤1，x ，y ∈Z }，B ＝{(x ，y )||x |≤2，|y |≤2，x ，y ∈Z }，定义集合A B ＝{(x 1＋x 2，y 1＋y 2)|(x 1，y 1)∈A ，(x 2，y 2)∈B }，则AB 中元素的个数为________.答案 45解析 如图，集合A 表示如图所示的所有圆点“”，集合B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”，集合AB 显然是集合{(x ，y )||x |≤3，|y |≤3，x ，y ∈Z }中除去四个点{(－3，－3)，(－3，3)，(3，－3)，(3，3)}之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合A B 表示如图所示的所有圆点“”＋所有圆点“”＋所有圆点“”，共45个.故AB 中元素的个数为45.思维升华 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }.若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A ＝____________. 答案 {x |3≤x ≤4}解析 A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}.1.集合关系及运算典例 (1)已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，则m ＝____________. (2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }.若B ⊆A ，则实数a 的取值范围是________. 错解展示解析 (1)由A ∪B ＝A 得B ⊆A ，∴m ＝3或m ＝m ， 故m ＝3或m ＝0或m ＝1. (2)∵B ⊆A ，讨论如下：①当B ＝A ＝{0，－4}时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.②当B A 时，由Δ＝0得a ＝－1， 此时B ＝{0}满足题意，综上，实数a 的取值范围是{1，－1}. 答案 (1)1或3或0 (2){1，－1} 现场纠错解析 (1)A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，A ∪B ＝A ，故B ⊆A ，所以m ＝3或m ＝m ，即m ＝3或m ＝0或m ＝1，其中m ＝1不符合题意，所以m ＝0或m ＝3. (2)因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得 ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}， 并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意； ③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0， 解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}. 答案 (1)0或3 (2)(－∞，－1]∪{1}纠错心得 (1)集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验. (2)当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.1.(2016·江苏苏州暑期检测)已知集合A ＝{0，1}，B ＝{－1，0}，则A ∪B ＝________. 答案 {0，－1，1}解析 由集合并集的定义可得A ∪B ＝{0，－1，1}.2.(2017·扬州月考)已知集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{0，1，2}，则A ∩B ＝__________. 答案 {1}解析 因为A ＝{x |0<x <2}，B ＝{0，1，2}，所以A ∩B ＝{1}.3.(2016·盐城模拟)已知集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，3，5，7，9}，C ＝A ∩B ，则集合C 的子集的个数为________. 答案 8解析 因为A ∩B ＝{1，3，5}，所以C ＝{1，3，5}，故集合C 的子集的个数为23＝8. 4.已知全集U ＝R ，集合A ＝{1，2，3，4，5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.解析 因为A ∩B ＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A 去掉A ∩B ，所以阴影部分所表示的集合为{1}.5.已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为__________. 答案 [0，＋∞)解析 用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.6.(2016·无锡模拟)已知U 为全集，集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |2<x <4}，那么集合B ∩(∁U A )＝______________.答案 {x |2<x ≤3}解析 ∵A ＝{x <－1或x >3}，∴∁U A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}， ∴B ∩(∁U A )＝{x |2<x ≤3}.7.已知集合A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是__________. 答案 [1，＋∞)解析 由题意知，A ＝{x |y ＝lg(x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0，1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c ).由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥1.8.(2015·浙江改编)已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝__________. 答案 {x |1<x <2}解析 ∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}， ∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}.9.已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为________. 答案 4解析 由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1，2}. 由题意知B ＝{1，2，3，4}.∴满足条件的C 可为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.*10.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |m ≤x ≤m ＋34，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |n －13≤x ≤n ，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是答案112解析 由已知，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥0，m ＋34≤1，即0≤m ≤14；⎩⎪⎨⎪⎧n －13≥0，n ≤1，即13≤n ≤1，取m 的最小值0，n 的最大值1，可得M ＝⎣⎡⎦⎤0，34，N ＝⎣⎡⎦⎤23，1，所以M ∩N ＝⎣⎡⎦⎤0，34∩⎣⎡⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤23，34，此时集合M ∩N 的“长度”的最小值为34－23＝112.11.已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为__________. 答案 －32解析 ∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3，符合题意，∴m ＝－32.12.(2016·南通模拟)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x ＋1}，则A ∪B ＝__________.答案 (－∞，－1]∪(1，＋∞)解析 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y >1}， 所以A ∪B ＝{x |x >1或x ≤－1}.13.(2016·江苏无锡新区期中)设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝ab ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1，0，1}，Q ＝{－2，2}，则集合P *Q 中元素的个数是________. 答案 3解析 按P *Q 的定义，P *Q 中元素为2，－2，0，共3个.*14.设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定S ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个. 答案 6解析 依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数.故这样的集合共有6个.*15.已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m＝________，n＝________.答案－1 1解析A＝{x∈R||x＋2|<3}＝{x∈R|－5<x<1}，由A∩B＝(－1，n)，可知m<1，则B＝{x|m<x<2}，画出数轴，可得m＝－1，n＝1.。

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，均为非选择题(第1题~第20题，共20题)。

本卷满分为160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一片交回。

2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。

3．请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符。

4．作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效。

5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

参考公式：锥体的体积13V Sh=，其中是锥体的底面积，是锥体的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1．已知集合{0,1,2,8}A=，{1,1,6,8}B=-，那么A B=▲ ．2．若复数满足i12iz⋅=+，其中i是虚数单位，则的实部为▲ ．3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为▲ ．5．函数2()log 1f x x =-的定义域为 ▲ ．6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ▲ ．7．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则的值是 ▲ ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(,0)F c 到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是 ▲ ． 9．函数()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，cos ,02,2()1||,20,2x x f x x x π⎧<≤⎪⎪=⎨⎪+<≤⎪⎩- 则((15))f f 的值为 ▲ ．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ ．11．若函数32()21()f x x ax a =-+∈R 在(0,)+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[1,1]-上的最大值与最小值的和为 ▲ ．12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为 ▲ ．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ▲ ．14．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1111,AA AB AB B C =⊥． 求证：（1）11AB A B C 平面∥； （2）111ABB A A BC ⊥平面平面． 16．（本小题满分14分）已知,αβ为锐角，4tan 3α=，5cos()5αβ+=-．（1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值． 17．（本小题满分14分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为．（1）用分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4:3．求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 过点1(3,)2，焦点12(3,0),(3,0)F F -，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ．①若直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，求点P 的坐标； ②直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．若OAB △的面积为267，求直线l 的方程． 19．（本小题满分16分）记(),()f x g x ''分别为函数(),()f x g x 的导函数．若存在0x ∈R ，满足00()()f x g x =且00()()f x g x ''=，则称0x 为函数()f x 与()g x 的一个“S 点”．%网（1）证明：函数()f x x =与2()22g x x x =+-不存在“S 点”； （2）若函数2()1f x ax =-与()ln g x x =存在“S 点”，求实数a 的值；（3）已知函数2()f x x a =-+，e ()xb g x x=．对任意0a >，判断是否存在0b >，使函数()f x 与()g x 在区间(0,)+∞内存在“S 点”，并说明理由． 20．（本小题满分16分）设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为，公比为q 的等比数列． （1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,(1,2]m a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求的取值范围（用1,,b m q 表示）．数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共计70分． 1．{1，8}2．23．904．8 5．2，+∞） 6．310 7．π6-8．2 9．2210．4311．–312．313．914．27二、解答题15．本小题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．证明：（1）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ∥A 1B 1． 因为AB ⊄平面A 1B 1C ，A 1B 1⊂平面A 1B 1C ， 所以AB ∥平面A 1B 1C ．（2）在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，四边形ABB 1A 1为平行四边形． 又因为AA 1=AB ，所以四边形ABB 1A 1为菱形， 因此AB 1⊥A 1B ．又因为AB 1⊥B 1C 1，BC ∥B 1C 1， 所以AB 1⊥BC ．又因为A 1B ∩BC =B ，A 1B ⊂平面A 1BC ，BC ⊂平面A 1BC ， 所以AB 1⊥平面A 1BC ． 因为AB 1⊂平面ABB 1A 1， 所以平面ABB 1A 1⊥平面A 1BC ．16．本小题主要考查同角三角函数关系、两角和（差）及二倍角的三角函数，考查运算求解能力．满分14分．解：（1）因为4tan 3α=，sin tan cos ααα=，所以4sin cos 3αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29cos 25α=， 因此，27cos22cos 125αα=-=-． （2）因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．又因为5cos()5αβ+=-，所以225sin()1cos ()5αβαβ+=-+=， 因此tan()2αβ+=-．因为4tan 3α=，所以22tan 24tan 21tan 7ααα==--， 因此，tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．17．本小题主要考查三角函数的应用、用导数求最值等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力．满分14分．解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH =10． 过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE =θ， 故OE =40cos θ，EC =40sin θ，则矩形ABCD 的面积为2×40cos θ（40sin θ+10）=800（4sin θcos θ+cos θ）， △CDP 的面积为12×2×40cos θ（40–40sin θ）=1600（cos θ–sin θcos θ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK =KN =10． 令∠GOK =θ0，则sin θ0=14，θ0∈（0，π6）． 当θ∈θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sin θ的取值范围是14，1）． 答：矩形ABCD 的面积为800（4sin θcos θ+cos θ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cos θ–sin θcos θ），sin θ的取值范围是14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k >0）， 则年总产值为4k ×800（4sin θcos θ+cos θ）+3k ×1600（cos θ–sin θcos θ） =8000k （sin θcos θ+cos θ），θ∈θ0，π2）． 设f （θ）= sin θcos θ+cos θ，θ∈θ0，π2）， 则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6， 当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数；当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值． 答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大． 18．本小题主要考查直线方程、圆的方程、圆的几何性质、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等知识，考查分析问题能力和运算求解能力．满分16分． 解：（1）因为椭圆C 的焦点为12() 3,0,(3,0)F F -，可设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>．又点1(3,)2在椭圆C 上，所以2222311,43,a ba b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得224,1,a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ 因此，椭圆C 的方程为2214x y +=．因为圆O 的直径为12F F ，所以其方程为223x y +=．（2）①设直线l 与圆O 相切于0000(),,(00)P x y x y >>，则22003x y +=， 所以直线l 的方程为0000()x y x x y y =--+，即0003x y x y y =-+． 由220001,43,x y x y x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，消去y ，得222200004243640()x y x x x y +-+-=．（*）因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，所以222222000000()()(24)(44364820)4x x y y y x ∆=--+-=-=． 因为00,0x y >，所以002,1x y ==． 因此，点P 的坐标为(2,1)． ②因为三角形OAB 的面积为267，所以21 267AB OP ⋅=，从而427AB =． 设1122,,()(),A x y B x y ，由（*）得2200022001,22448(2)2(4)x y x x x y ±-=+，所以2222121()()x B y y x A =-+- 222000222200048(2)(1)(4)x y x y x y -=+⋅+．因为22003x y +=，所以22022016(2)32(1)49x AB x -==+，即42002451000x x -+=， 解得22005(202x x ==舍去），则2012y =，因此P 的坐标为102(,)22．综上，直线l 的方程为532y x =-+．学*19．本小题主要考查利用导数研究初等函数的性质，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题以及逻辑推理能力．满分16分．解：（1）函数f （x ）=x ，g （x ）=x 2+2x -2，则f ′（x ）=1，g ′（x ）=2x +2． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）= g ′（x ），得 222122x x x x ⎧=+-⎨=+⎩，此方程组无解， 因此，f （x ）与g （x ）不存在“S ”点． （2）函数21f x ax =-（），()ln g x x =， 则12f x ax g x x'='=（），（）． 设x 0为f （x ）与g （x ）的“S ”点，由f （x 0）=g （x 0）且f ′（x 0）=g ′（x 0），得200001ln 12ax x ax x ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，即200201ln 21ax x ax ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，（*）得01ln 2x =-，即120e x -=，则1221e 22(e )a -==． 当e2a =时，120e x -=满足方程组（*），即0x 为f （x ）与g （x ）的“S ”点．因此，a 的值为e2．（3）对任意a >0，设32()3h x x x ax a =--+．因为(0)0(1)1320h a h a a =>=--+=-<，，且h （x ）的图象是不间断的，所以存在0x ∈（0，1），使得0()0h x =，令03002e (1)x x b x =-，则b >0．函数2e ()()xb f x x a g x x=-+=，，则2e (1)()2()x b x f x x g x x -=-=′，′． 由f （x ）=g （x ）且f ′（x ）=g ′（x ），得22e e (1)2xx b x a x b x x x ⎧-+=⎪⎪⎨-⎪-=⎪⎩，即00320030202e e (1)2e (1)2e (1)x x xx x x a x x x x x x x ⎧-+=⋅⎪-⎪⎨-⎪-=⋅⎪-⎩（**） 此时，0x 满足方程组（**），即0x 是函数f （x ）与g （x ）在区间（0，1）内的一个“S 点”． 因此，对任意a >0，存在b >0，使函数f （x ）与g （x ）在区间（0，+∞）内存在“S 点”．20．本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分． 解：（1）由条件知：112(,)n n n a n d b -=-=． 因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即1 12|()1|n n d ---≤对n =1，2，3，4均成立， 即11，1d 3，32d 5，73d 9，得7532d ≤≤． 因此，d 的取值范围为75[,]32．（2）由条件知：111(1),n n n a b n d b b q -=+-=．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即1111|1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+，即当2,3,,1n m =+时，d 满足1111211n n q q b d b n n ---≤≤--．因为(1,2]m q ∈，则112n m q q -<≤≤， 从而11201n q b n --≤-，1101n q b n ->-，对2,3,,1n m =+均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立．下面讨论数列12{}1n q n ---的最大值和数列1{}1n q n --的最小值（2,3,,1n m =+）． ①当2n m ≤≤时，111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---， 当112mq <≤时，有2n m q q ≤≤，从而1() 20n n n n q q q ---+>． 因此，当21n m ≤≤+时，数列12{}1n q n ---单调递增，故数列12{}1n q n ---的最大值为2m q m-． ②设()()21x f x x =-，当x >0时，ln 21(0(n )l 22)x f x x '=--<， 所以()f x 单调递减，从而()f x <f （0）=1．当2n m ≤≤时，111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-， 因此，当21n m ≤≤+时，数列1{}1n q n --单调递减，故数列1{}1n q n --的最小值为m q m． 因此，d 的取值范围为11(2)[,]m mb q b q m m-．数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括 A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两小题，并在相应的．．．．．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲](本小题满分10分)如图，圆O 的半径为2，AB 为圆O 的直径，P 为AB 延长线上一点，过P 作圆O 的切线，切点为C ．若23PC =，求 BC 的长． B ．选修4—2：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ． （1）求A 的逆矩阵1-A ；（2）若点P 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(3,1)P '，求点P 的坐标． C ．选修4—4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中，直线l 的方程为πsin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=，求直线l 被曲线C 截得的弦长．D ．选修4—5：不等式选讲](本小题满分10分)若x ，y ，z 为实数，且x +2y +2z =6，求222x y z ++的最小值．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =AA 1=2，点P ，Q 分别为A 1B 1，BC 的中点． （1）求异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值； （2）求直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值． 23．(本小题满分10分)设*n ∈N ，对1，2，···，n 的一个排列12n i i i ，如果当s <t 时，有s t i i >，则称(,)s t i i 是排列12n i i i 的一个逆序，排列12n i i i 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2．记()n f k 为1，2，···，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求34(2),(2)f f 的值；（2）求(2)(5)n f n ≥的表达式(用n 表示)．数学Ⅱ(附加题)参考答案21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲]本小题主要考查圆与三角形等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：连结OC ．因为PC 与圆O 相切，所以OC ⊥PC ． 又因为PC =23，OC =2， 所以OP =22PC OC +=4．又因为OB =2，从而B 为Rt △OCP 斜边的中点，所以BC =2． B ．选修4—2：矩阵与变换]本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：（1）因为2312⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，det()221310=⨯-⨯=≠A ，所以A 可逆， 从而1-A 2312-⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （2）设P (x ，y )，则233121x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以13311x y -⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦A ， 因此，点P 的坐标为(3，–1)． C ．选修4—4：坐标系与参数方程]本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 解：因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ， 所以曲线C 的圆心为（2，0），直径为4的圆．因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过A （4，0），倾斜角为π6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB =π6．连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA =π2， 所以π4cos236AB ==． 因此，直线l 被曲线C 截得的弦长为23． D ．选修4—5：不等式选讲]本小题主要考查柯西不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 证明：由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++≥++． 因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当122x y z ==时，不等式取等号，此时244333x y z ===，，， 所以222x y z ++的最小值为4．22．【必做题】本小题主要考查空间向量、异面直线所成角和线面角等基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力．满分10分．解：如图，在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，设AC ，A 1C 1的中点分别为O ，O 1，则OB ⊥OC ，OO 1⊥OC ，OO 1⊥OB ，以1,{},OB OC OO 为基底，建立空间直角坐标系O −xyz ． 因为AB =AA 1=2，所以1110,1,0,3,0,0,0,1,0,0,1,()()()()(2,3,0,2,0,1,2)()A B C A B C --．（1）因为P 为A 1B 1的中点，所以31(,,2)22P -， 从而131(,,2)(0,2,222),BP AC ==--， 故111|||14|310|cos ,|20||||522BP AC BP AC BP AC ⋅-+===⋅⨯．因此，异面直线BP 与AC 1所成角的余弦值为31020． （2）因为Q 为BC 的中点，所以31(,,0)22Q ， 因此33(,,0)22AQ =，11(0,2,2),(0,0,2)AC CC ==． 设n =（x ，y ，z ）为平面AQC 1的一个法向量， 则10,0,AQ AC ⎧⎪⎨⎪⎩⋅=⋅=n n 即330,22220.x y y z ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩ 不妨取(3,1,1)=-n ，设直线CC 1与平面AQC 1所成角为， 则111||25sin |cos |,|||552CC CC CC |θ==⋅⨯⋅==n n n ， 所以直线CC 1与平面AQC 1所成角的正弦值为55． 23．【必做题】本小题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力．满分10分．解：（1）记()abc τ为排列abc 的逆序数，对1，2，3的所有排列，有(123)=0(132)=1(213)=1(231)=2(312)=2(321)=3ττττττ，，，，，，所以333(0)1(1)(2)2f f f ===，．对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，4333(2)(2)(1)(0)5f f f f =++=．（2）对一般的n （n ≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n ，所以(0)1n f =．逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以(1)1n f n =-． 为计算1(2)n f +，当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，1(2)(2)(1)(0)(2)n n n n n f f f f f n +=++=+． 当n ≥5时，112544(2)[(2)(2)][(2)(2)][(2)(2)](2)n n n n n f f f f f f f f ---=-+-++-+…242(1)(2)4(2)2n n n n f --=-+-+⋯++=， 因此，n ≥5时，(2)n f =222n n --．绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是．4．（5分）函数y＝的定义域是．5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是．6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是．7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是．8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是．9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是．12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•＝6•，则的值是．13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是．14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的周期为2，且f （x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值；（2）若＝，求sin（B+）的值．16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．17．（14分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的焦点为F1（﹣1，0），F2（1，0）．过F2作x轴的垂线l，在x轴的上方，1与圆F2：（x﹣1）2+y2＝4a2交于点A，与椭圆C 交于点D．连结AF1并延长交圆F2于点B，连结BF2交椭圆C于点E，连结DF1．已知DF1＝．（1）求椭圆C的标准方程；（2）求点E的坐标．18．（16分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P，Q，并修建两段直线型道路PB，QA，规划要求：线段PB，QA上的所有点到点O的距离均不小于．．．圆O的半径．已知点A，B到直线l的距离分别为AC和BD（C，D为垂足），测得AB＝10，AC＝6，BD＝12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米），求当d最小时，P、Q两点间的距离．19．（16分）设函数f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）（x﹣c），a，b，c∈R，f′（x）为f（x）的导函数．（1）若a＝b＝c，f（4）＝8，求a的值；（2）若a≠b，b＝c，且f（x）和f′（x）的零点均在集合{﹣3，1，3}中，求f（x）的极小值；（3）若a＝0，0＜b≤1，c＝1，且f（x）的极大值为M，求证：M≤．20．（16分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”．（1）已知等比数列{a n}（n∈N*）满足：a2a4＝a5，a3﹣4a2+4a1＝0，求证：数列{a n}为“M﹣数列”；（2）已知数列{b n}（n∈N*）满足：b1＝1，＝﹣，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M﹣数列”{c n}（n∈N*），对任意正整数k，当k≤m时，都有c k≤b k≤c k+1成立，求m的最大值．【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）21．（10分）已知矩阵A＝．（1）求A2；（2）求矩阵A的特征值．B.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．（10分）在极坐标系中，已知两点A（3，），B（，），直线1的方程为ρsin（θ+）＝3．（1）求A，B两点间的距离；（2）求点B到直线l的距离．C.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．设x∈R，解不等式|x|+|2x﹣1|＞2．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.24．（10分）设（1+x）n＝a0+a1x+a2x2+…+a n x n，n≥4，n∈N*．已知a32＝2a2a4．（1）求n的值；（2）设（1+）n＝a+b，其中a，b∈N*，求a2﹣3b2的值．25．（10分）在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{（0，0），（1，0），（2，0），…，（n，0）}，B n＝{（0，1），（n，1）}，∁n＝{（0，2），（1，2），（2，2），……，（n，2）}，n∈N*．令M n＝A n∪B n∪∁n．从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．（1）当n＝1时，求X的概率分布；（2）对给定的正整数n（n≥3），求概率P（X≤n）（用n表示）．2019年江苏省高考数学答案解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，∴A∩B＝{﹣1，0，1，6}∩{x|x＞0，x∈R}＝{1，6}．故答案为：{1，6}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0求的a值．【解答】解：∵（a+2i）（1+i）＝（a﹣2）+（a+2）i的实部为0，∴a﹣2＝0，即a＝2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得x＝1，S＝0S＝0.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝2，S＝1.5不满足条件x≥4，执行循环体，x＝3，S＝3不满足条件x≥4，执行循环体，x＝4，S＝5此时，满足条件x≥4，退出循环，输出S的值为5．故答案为：5．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解一元二次不等式得答案．【解答】解：由7+6x﹣x2≥0，得x2﹣6x﹣7≤0，解得：﹣1≤x≤7．∴函数y＝的定义域是[﹣1，7]．故答案为：[﹣1，7]．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查一元二次不等式的解法，是基础题．5．【分析】先求出一组数据6，7，8，8，9，10的平均数，由此能求出该组数据的方差．【解答】解：一组数据6，7，8，8，9，10的平均数为：＝（6+7+8+8+9+10）＝8，∴该组数据的方差为：S2＝[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝．故答案为：．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．【分析】基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数m＝+＝7，由此能求出选出的2名同学中至少有1名女同学的概率．【解答】解：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，基本事件总数n＝＝10，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件个数：m＝+＝7，∴选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是p＝．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．7．【分析】把已知点的坐标代入双曲线方程，求得b，则双曲线的渐近线方程可求．【解答】解：∵双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），∴，解得b2＝2，即b＝．又a＝1，∴该双曲线的渐近线方程是y＝．故答案为：y＝．【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的简单性质，是基础题．8．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由已知列关于首项与公差的方程组，求解首项与公差，再由等差数列的前n项和求得S8的值．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，则，解得．∴＝6×（﹣5）+15×2＝16．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，是基础题．9．【分析】推导出＝AB×BC×DD1＝120，三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1，由此能求出结果．【解答】解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，∴＝AB×BC×DD 1＝120，∴三棱锥E﹣BCD的体积：V E﹣BCD＝＝＝×AB×BC×DD1＝10．故答案为：10．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查长方体的结构特征、三棱锥的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．10．【分析】利用导数求平行于x+y＝0的直线与曲线y＝x+（x＞0）的切点，再由点到直线的距离公式求点P到直线x+y＝0的距离的最小值．【解答】解：由y＝x+（x＞0），得y′＝1﹣，设斜率为﹣1的直线与曲线y＝x+（x＞0）切于（x0，），由，解得（x 0＞0）．∴曲线y＝x+（x＞0）上，点P（）到直线x+y＝0的距离最小，最小值为．故答案为：4．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查点到直线距离公式的应用，是中档题．11．【分析】设A（x0，lnx0），利用导数求得曲线在A处的切线方程，代入已知点的坐标求解x0即可．【解答】解：设A（x0，lnx0），由y＝lnx，得y′＝，∴，则该曲线在点A处的切线方程为y﹣lnx0＝，∵切线经过点（﹣e，﹣1），∴，即，则x0＝e．∴A点坐标为（e，1）．故答案为：（e，1）．【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，区分过点处与在点处的不同，是中档题．12．【分析】首先算出＝，然后用、表示出、，结合•＝6•得＝，进一步可得结果．【解答】解：设＝λ＝（），＝+＝+μ＝+μ（）＝（1﹣μ）+μ＝+μ∴，∴，∴＝＝（），＝＝﹣+，6•＝6×（）×（﹣+）＝（++）＝++，∵•＝++，∴＝，∴＝3，∴＝．故答案为：【点评】本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．13．【分析】由已知求得tanα，分类利用万能公式求得sin2α，cos2α的值，展开两角和的正弦求sin（2α+）的值．【解答】解：由＝﹣，得，∴，解得tanα＝2或tan．当tanα＝2时，sin2α＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝；当tanα＝时，sin2α＝＝，cos2α＝，∴sin（2α+）＝＝．综上，sin（2α+）的值是．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查两角和的三角函数及万能公式的应用，是基础题．14．【分析】由已知函数解析式结合周期性作出图象，数形结合得答案．【解答】解：作出函数f（x）与g（x）的图象如图，由图可知，函数f（x）与g（x）＝﹣（1＜x≤2，3＜x≤4，5＜x≤6，7＜x≤8）仅有2个实数根；要使关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则f（x）＝，x∈（0，2]与g（x）＝k（x+2），x∈（0，1]的图象有2个不同交点，由（1，0）到直线kx﹣y+2k＝0的距离为1，得，解得k＝（k＞0），∵两点（﹣2，0），（1，1）连线的斜率k＝，∴≤k＜．即k的取值范围为[，）．故答案为：[，）．【点评】本题考查函数零点的判定，考查分段函数的应用，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．【分析】（1）由余弦定理得：cos B＝＝＝，由此能求出c的值．（2）由＝，利用正弦定理得2sin B＝cos B，再由sin2B+cos2B＝1，能求出sin B＝，cos B ＝，由此利用诱导公式能求出sin（B+）的值．【解答】解：（1）∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．a＝3c，b＝，cos B＝，∴由余弦定理得：cos B＝＝＝，解得c＝．（2）∵＝，∴由正弦定理得：，∴2sin B＝cos B，∵sin2B+cos2B＝1，∴sin B＝，cos B＝，∴sin（B+）＝cos B＝．【点评】本题考查三角形边长、三角函数值的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题．16．【分析】（1）推导出DE∥AB，AB∥A1B1，从而DE∥A1B1，由此能证明A1B1∥平面DEC1．（2）推导出BE⊥AA1，BE⊥AC，从而BE⊥平面ACC1A1，由此能证明BE⊥C1E．【解答】证明：（1）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，∴DE∥AB，AB∥A1B1，∴DE∥A1B1，∵DE⊂平面DEC1，A1B1⊄平面DEC1，∴A1B1∥平面DEC1．解：（2）∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E是AC的中点，AB＝BC．∴BE⊥AA1，BE⊥AC，又AA1∩AC＝A，∴BE⊥平面ACC1A1，∵C1E⊂平面ACC1A1，∴BE⊥C1E．【点评】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．17．【分析】（1）由题意得到F1D∥BF2，然后求AD，再由AD＝DF1＝求得a，则椭圆方程可求；（2）求出D的坐标，得到＝，写出BF 2的方程，与椭圆方程联立即可求得点E的坐标．【解答】解：（1）如图，∵F2A＝F2B，∴∠F2AB＝∠F2BA，∵F2A＝2a＝F2D+DA＝F2D+F1D，∴AD＝F1D，则∠DAF1＝∠DF1A，∴∠DF1A＝∠F2BA，则F1D∥BF2，∵c＝1，∴b2＝a2﹣1，则椭圆方程为，取x＝1，得，则AD＝2a﹣＝．又DF1＝，∴，解得a＝2（a＞0）．∴椭圆C的标准方程为；（2）由（1）知，D（1，），F1（﹣1，0），∴＝，则BF 2：y＝，联立，得21x2﹣18x﹣39＝0．解得x1＝﹣1或（舍）．∴．即点E的坐标为（﹣1，﹣）．【点评】本题考查直线与圆，圆与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，证明DF1∥BF2是解答该题的关键，是中档题．18．【分析】（1）设BD与圆O交于M，连接AM，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）设点P（x1，0），PB⊥AB，运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得P的坐标，可得所求值；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，求得Q的坐标，即可得到结论；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，结合条件，可得b的最小值，由两点的距离公式，计算可得PQ．【解答】解：设BD与圆O交于M，连接AM，AB为圆O的直径，可得AM⊥BM，即有DM＝AC＝6，BM＝6，AM＝8，以C为坐标原点，l为x轴，建立直角坐标系，则A（0，﹣6），B（﹣8，﹣12），D（﹣8，0）（1）设点P（x1，0），PB⊥AB，则k BP•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x1＝﹣17，所以P（﹣17，0），PB＝＝15；（2）当QA⊥AB时，QA上的所有点到原点O的距离不小于圆的半径，设此时Q（x2，0），则k QA•k AB＝﹣1，即•＝﹣1，解得x2＝﹣，Q（﹣，0），由﹣17＜﹣8＜﹣，在此范围内，不能满足PB，QA上所有点到O的距离不小于圆的半径，所以P，Q中不能有点选在D点；（3）设P（a，0），Q（b，0），则a≤﹣17，b≥﹣，PB2＝（a+8）2+144≥225，QA2＝b2+36≥225，则b≥3，当d最小时，PQ＝17+3．【点评】本题考查直线和圆的位置关系，考查直线的斜率和两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及两点的距离公式，分析问题和解决问题的能力，考查运算能力，属于中档题．19．【分析】（1）由a＝b＝c，可得f（x）＝（x﹣a）3，根据f（4）＝8，可得（4﹣a）3＝8，解得a．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x ＝b．f′（x）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．根据f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，通过分类讨论可得：只有a＝3，b＝﹣3，可得＝＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．利用导数研究其单调性可得x＝1时，函数f（x）取得极小值．（3）a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＞0．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，通过计算化简即可证明结论．【解答】解：（1）∵a＝b＝c，∴f（x）＝（x﹣a）3，∵f（4）＝8，∴（4﹣a）3＝8，∴4﹣a＝2，解得a＝2．（2）a≠b，b＝c，设f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2．令f（x）＝（x﹣a）（x﹣b）2＝0，解得x＝a，或x＝b．f′（x）＝（x﹣b）2+2（x﹣a）（x﹣b）＝（x﹣b）（3x﹣b﹣2a）．令f′（x）＝0，解得x＝b，或x＝．∵f（x）和f′（x）的零点均在集合A＝{﹣3，1，3}中，若：a＝﹣3，b＝1，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝1，b＝﹣3，则＝＝﹣∉A，舍去．a＝﹣3，b＝3，则＝＝﹣1∉A，舍去．．a＝3，b＝1，则＝＝∉A，舍去．a＝1，b＝3，则＝∉A，舍去．a＝3，b＝﹣3，则＝＝1∈A，．因此a＝3，b＝﹣3，＝1∈A，可得：f（x）＝（x﹣3）（x+3）2．f′（x）＝3[x﹣（﹣3）]（x﹣1）．可得x＝1时，函数f（x）取得极小值，f（1）＝﹣2×42＝﹣32．（3）证明：a＝0，0＜b≤1，c＝1，f（x）＝x（x﹣b）（x﹣1）．f′（x）＝（x﹣b）（x﹣1）+x（x﹣1）+x（x﹣b）＝3x2﹣（2b+2）x+b．△＝4（b+1）2﹣12b＝4b2﹣4b+4＝4+3≥3．令f′（x）＝3x2﹣（2b+2）x+b＝0．解得：x1＝∈，x2＝．x1＜x2，x1+x2＝，x1x2＝，可得x＝x1时，f（x）取得极大值为M，∵f′（x1）＝﹣（2b+2）x1+b＝0，可得：＝[（2b+2）x1﹣b]，M＝f（x1）＝x1（x1﹣b）（x1﹣1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝（x1﹣b）（﹣x1）＝[（2b﹣1）﹣2b2x1+b2]＝＝，∵﹣2b2+2b﹣2＝﹣2﹣＜0，∴M在x1∈（0，]上单调递减，。

1.等差数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示. 2.等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3.等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列.这时，A 叫做a 与b 的等差中项.4.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *).(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列.(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列. 5.等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2或S n ＝na 1＋n (n －1)2d .6.等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数).7.等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值.【知识拓展】等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列. (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列. (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列. (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.( × )(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的.( √ )(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数.( × ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( √ )1.(教材改编)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＝3，S 9－S 6＝27，则该数列的首项a 1＝________. 答案 35解析 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，9a 1＋36d －(6a 1＋15d )＝27，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝3，a 1＋7d ＝9， 解得a 1＝35.2.(教材改编)已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，则这五个数的积为________.答案 －3581解析 设第三个数为a ，公差为d ，则这五个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23.所求5个数分别为－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.故它们的积为－3581.3.(2016·全国乙卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝________. 答案 98解析 由等差数列性质，知S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×2a 52＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公差d ＝a 10－a 510－5＝1，∴a 100＝a 10＋90d ＝98.4.设数列{a n }是等差数列，若a 3＋a 4＋a 5＝12，则a 1＋a 2＋…＋a 7＝________. 答案 28解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝3a 4＝12，∴a 4＝4， ∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝7a 4＝28.5.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大. 答案 8解析 因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大.题型一 等差数列基本量的运算例1 (1)(2016·北京)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.(2)(2016·徐州、宿迁模拟)已知公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5S 3＝3，则a 5a 3的值为________. 答案 (1)6 (2)179解析 (1)∵a 3＋a 5＝2a 4＝0，∴a 4＝0. 又a 1＝6，∴a 4＝a 1＋3d ＝0，∴d ＝－2. ∴S 6＝6×6＋6×(6－1)2×(－2)＝6.(2)设等差数列{a n }的首项为a 1，则由S 5S 3＝3得5a 1＋10d 3a 1＋3d ＝3，所以d ＝4a 1，所以a 5a 3＝a 1＋4d a 1＋2d ＝17a 19a 1＝179. 思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解.(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.(2016·江苏)已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1＋a 22＝－3，S 5＝10，则a 9的值是______. 答案 20解析 设等差数列{a n }的公差为d ， 则由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )2＝－3，5a 1＋5×42d ＝10， 解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，a 1＝－4， 从而a 9＝a 1＋8d ＝20.题型二 等差数列的判定与证明例2 已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *).(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由. (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，b n ＝1a n －1(n ∈N *)，所以b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－1－1a n －1＝1(2－1a n)－1－1a n －1＝a n a n －1－1a n －1＝1. 又b 1＝1a 1－1＝－52.所以数列{b n }是以－52为首项，1为公差的等差数列.(2)解 由(1)知b n ＝n －72，则a n ＝1＋1b n ＝1＋22n －7.设f (x )＝1＋22x －7，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数.所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究例2中，若条件变为a 1＝35，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式.解 由已知可得a n ＋1n ＋1＝a nn ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1，又a 1＝35，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是以a 11＝35为首项，1为公差的等差数列，∴a n n ＝35＋(n －1)·1＝n －25， ∴a n ＝n 2－25n .思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数.(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列.(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列.(1)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为________.(2)已知等差数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，若前5项的和S 5＝5，则其公差为________. 答案 (1)a n ＝1n(2)2解析 (1)由已知式2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2可得1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.(2)因为a 4＋a 6＝10，所以2a 5＝10， 则a 5＝5，又S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝5，故a 3＝1，从而2d ＝a 5－a 3＝4，故d ＝2.(3)数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. ①设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； ②求{a n }的通项公式.①证明 由a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， 得a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＋2， 即b n ＋1＝b n ＋2. 又b 1＝a 2－a 1＝1，所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列. ②解 由①得b n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 即a n ＋1－a n ＝2n －1.于是∑n k ＝1(a k ＋1－a k )＝∑n k ＝1(2k －1)， 所以a n ＋1－a 1＝n 2，即a n ＋1＝n 2＋a 1.又a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝n 2－2n ＋2. 题型三 等差数列性质的应用 命题点1 等差数列项的性质例3 (1)(2015·广东)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________.答案 (1)10 (2)21解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2 等差数列前n 项和的性质例4 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝－12，S 9＝45，则S 12＝________. (2)在等差数列{a n }中，a 1＝－2 018，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 018的值为_____.答案 (1)114 (2)－2 018解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等差数列，所以2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，即2(S 6＋12)＝－12＋(45－S 6)，解得S 6＝3. 又2(S 9－S 6)＝(S 6－S 3)＋(S 12－S 9)，即2×(45－3)＝(3＋12)＋(S 12－45)，解得S 12＝114. (2)由题意知，数列{S nn }为等差数列，其公差为1，∴S 2 0182 018＝S 11＋(2 018－1)×1 ＝－2 018＋2 017＝－1. ∴S 2 018＝－2 018.思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，a m －a n ＝(m －n )d ⇔a m －a nm －n ＝d (m ≠n )，其几何意义是点(n ，a n )，(m ，a m )所在直线的斜率等于等差数列的公差. (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .(1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11＝________.(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝3n －22n ＋1，则a 7b 7＝________.答案 (1)88 (2)3727解析 (1)S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 4＋a 8)2＝11×162＝88. (2)a 7b 7＝2a 72b 7＝a 1＋a 13b 1＋b 13＝a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13＝S 13T 13＝3×13－22×13＋1＝3727.6.等差数列的前n 项和及其最值考点分析 公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大.典例1 (1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10＝________。

1.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词和存在量词3.4.【知识拓展】1.含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p∨q：p、q中有一个为真，则p∨q为真，即有真为真；(2)p∧q：p、q中有一个为假，则p∧q为假，即有假即假；(3)綈p：与p的真假相反，即一真一假，真假相反.2.含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题.(×)(2)命题p和綈p不可能都是真命题.(√)(3)若命题p、q至少有一个是真命题，则p∨q是真命题.(√)(4)命题綈(p∧q)是假命题，则命题p，q中至少有一个是真命题.(×)(5)“长方形的对角线相等”是存在性命题.(×)(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”.(×)1.(2016·江苏泰州中学月考)命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是______________.答案∀x>－1，x2＋x－2 016≤0解析命题“∃x>－1，x2＋x－2 016>0”的否定是“∀x>－1，x2＋x－2 016≤0”.2.已知命题p，q，“綈p为真”是“p∧q为假”的______________条件.答案充分不必要解析綈p为真知p为假，可得p∧q为假；反之，若p∧q为假，则可能是p真q假，从而綈p为假，故“綈p为真”是“p∧q为假”的充分不必要条件.3.(教材改编)若不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，则a的取值范围是________.答案a>1解析方法一不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，即不等式x2－2x＋a>0恒成立.结合二次函数图象得其Δ<0，即4－4a<0，所以a>1.方法二不等式x2－x>x－a对∀x∈R都成立，也可看作a>－x2＋2x对∀x∈R都成立，所以a>(－x2＋2x)max，而二次函数f(x)＝－x2＋2x的最大值为0－224×(－1)＝1，所以a>1.4.已知实数a满足1<a<2，命题p：y＝log a(2－ax)在[0，1]上是减函数，命题q：|x|<1是x<a 的充分不必要条件，则下列命题：①p∨q为真；②p∧q为假；③(綈p)∧q为真；④(綈p)∧(綈q)为假.其中正确的命题是________. 答案①④解析由y＝log a(2－ax)在[0，1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即1<a<2.所以p是真命题.由|x|<1，得－1<x<1.又1<a<2，所以|x|<1是x<a的充分不必要条件.所以q也是真命题.从而①④正确.5.(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________. 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∧q ②(綈p )∧(綈q ) ③(綈p )∧q ④p ∧(綈q )(2)(2016·盐城模拟)若命题“p ∨q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则p ________，q ________.(填“真”或“假”) 答案 (1)④ (2)假 真解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题， ∴p ∧(綈q )是真命题.(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又∵p ∨q 为真命题，∴q 为真命题.思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假.已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是________. 答案 ②③解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题. 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题.由真值表知：①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题.题型二 含有一个量词的命题命题点1 全称命题、存在性命题的真假例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D ， x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是________. 答案 p 1，p 2解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的可行域D 如图阴影部分所示，两直线交于点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0，故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题.命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)(2016·盐城模拟)命题“∃x ∈R ，x 2－2x >0”的否定是____________. (2)(2015·浙江改编)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是________. 答案 (1)∀x ∈R ，x 2－2x ≤0 (2)∃n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n .解析 (1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定. (2)由全称命题与存在性命题之间的互化关系可知.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ，使p (x )成立. (2)对全称、存在性命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词. ②对原命题的结论进行否定.下列命题的否定为假命题的是________.(填序号)①∀x ∈R ，－x 2＋x －1<0； ②∀x ∈R ，|x |>x ；③∀x ，y ∈Z ，2x －5y ≠12；④∀x ∈R ，sin 2x ＋sin x ＋1＝0. 答案 ①解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有①为真命题. 题型三 求含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________. (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0，3]，∃x 2∈[1，2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是__________.答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)[14，＋∞)解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题，则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞).(2)当x ∈[0，3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1，2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14.引申探究在例4(2)中，若将“∃x 2∈[1，2]”改为“∀x 2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是________________. 答案 [12，＋∞)解析 当x ∈[1，2]时，g (x )max ＝g (1)＝12－m ，由f (x )min ≥g (x )max ，得0≥12－m ，∴m ≥12.思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假利用集合的运算求解参数的取值范围；(2)含量词的命题中参数的取值范围，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决.(1)已知命题p ：“∀x ∈[0，1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋4x ＋a ＝0”.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是____________.(2)已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，对任意的x1，x2∈[1，4]有f(x1)>g(x2)恒成立，则实数m的取值范围是________________.答案(1)[e，4](2)(－∞，0)解析(1)由题意知p与q均为真命题，由p为真，可知a≥e，由q为真，知x2＋4x＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，∴a≤4.综上可知e≤a≤4.(2)f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，当x∈[1，4]时，f(x)min＝f(1)＝2，g(x)max＝g(4)＝2＋m，则f(x)min>g(x)max，即2>2＋m，解得m<0，故实数m的取值范围是(－∞，0).1.常用逻辑用语考点分析有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等以下．解决这类问题应熟练把握各类内在联系．一、命题的真假判断典例1(1)已知命题p：∃x0∈R，x20＋1<2x0；命题q：若mx2－mx－1<0恒成立，则－4<m<0，那么下列说法正确的是________.(填序号)①綈p为假命题②q为真命题③p∨q为假命题④p∧q为真命题(2)下列命题中错误的个数为________.①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；②“x>5”是“x2－4x－5>0”的充分不必要条件；③命题p：∃x∈R，x2＋x－1<0，则綈p：∀x∈R，x2＋x－1≥0；④命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x2－3x＋2≠0”.解析(1)由于x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，即x2＋1≥2x，所以p为假命题；对于命题q，当m＝0时，－1<0恒成立，所以命题q为假命题.综上可知，綈p为真命题，p∧q为假命题，p∨q为假命题.(2)对于①，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，即可能有一个为假，所以p∧q不一定为真命题，所以①错误；对于②，由x 2－4x －5>0可得x >5或x <－1，所以“x >5”是“x 2－4x －5>0”的充分不必要条件，所以②正确；对于③，根据存在性命题的否定为全称命题，可知③正确；对于④，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1或x ＝2”的逆否命题为“若x ≠1且x ≠2，则x 2－3x ＋2≠0”，所以④错误，所以错误命题的个数为2. 答案 (1)③ (2)2 二、求参数的取值范围典例2 (1)已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1<1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是__________.(2)已知函数f (x )＝x ＋4x ，g (x )＝2x ＋a ，若∀x 1∈[12，3]，∃x 2∈[2，3]使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数a 的取值范围是__________.解析 (1)由3x ＋1<1，得3x ＋1－1＝2－x x ＋1<0，即(x －2)(x ＋1)>0，解得x <－1或x >2， 由p 是q 的充分不必要条件，知k >2. (2)∵x ∈[12，3]，∴f (x )≥2x ·4x＝4，当且仅当x ＝2时，f (x )min ＝4，当x ∈[2，3]时，g (x )min ＝22＋a ＝4＋a ，依题意f (x )min ≥g (x )min ，∴a ≤0. 答案 (1)(2，＋∞) (2)(－∞，0] 三、利用逻辑推理解决实际问题典例3 (1)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为________.(2)对于中国足球队参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名.竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名.解析 (1)由题意可推断：甲没去过B 城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A ，C 城市，而乙“没去过C 城市”，说明乙去过A 城市，由此可知，乙去过的城市为A .(2)由题意可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名. 答案 (1)A (2)一1.命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是________.(填序号) ①p ∨q ②p ∧q ③q④綈p答案 ②解析 命题p 假，q 真，故命题p ∧q 为假命题.2.已知命题“∃x ∈R ，使2x 2＋(a －1)x ＋12≤0”是假命题，则实数a 的取值范围是__________.答案 (－1，3)解析 依题意可知“∀x ∈R ，2x 2＋(a －1)x ＋12>0”为真命题，所以Δ＝(a －1)2－4×2×12<0，即(a ＋1)(a －3)<0，解得－1<a <3.3.(2016·淮安模拟)已知命题p ：∃x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0，则下列说法正确的是________. ①p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0； ②p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0； ③p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)≤0； ④p 是真命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0. 答案 ②解析 ∵3x >0，∴3x ＋1>1，则log 2(3x ＋1)>0，∴p 是假命题；綈p ：∀x ∈R ，log 2(3x ＋1)>0. 4.已知p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0，q ：∃x 0∈(0，＋∞)，sin x 0>1，则下列命题为真命题的是________.(填序号) ①p ∨(綈q ) ②(綈p )∨q ③p ∧q④(綈p )∧(綈q )答案 ①解析 因为x 2－x ＋1＝(x －12)2＋34>0恒成立，所以命题p 是真命题；∀x ∈R ，sin x ≤1，所以命题q 是假命题，所以p ∨(綈q )是真命题.5.(2016·泰州期末)若命题“∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是________. 答案 (2，＋∞)解析 “∃x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则其否定“∀x ∈R ，ax 2＋4x ＋a >0”为真命题，当a ＝0，4x >0不恒成立，故不成立；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝16－4a 2<0， 解得a >2，所以实数a 的取值范围是(2，＋∞).6.已知命题p 1：∀x ∈(0，＋∞)，有3x >2x ，p 2：∃θ∈R ，sin θ＋cos θ＝32，则在命题q 1：p 1∨p 2；q 2：p 1∧p 2；q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是__________. 答案 q 1，q 4解析 因为y ＝(32)x 在R 上是增函数，即y ＝(32)x >1在(0，＋∞)上恒成立，所以p 1是真命题；sin θ＋cos θ＝2sin(θ＋π4)≤2，所以命题p 2是假命题，綈p 2是真命题，所以命题q 1：p 1∨p 2，q 4：p 1∧(綈p 2)是真命题.7.(2107·江苏淮安中学月考)已知命题：“∃x ∈[1，2]，使x 2＋2x ＋a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是________. 答案 [－8，＋∞)解析 由已知得，∃x ∈[1，2]，使a ≥－x 2－2x 成立；若记f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)，则a ≥f (x )min .而结合二次函数f (x )＝－x 2－2x (1≤x ≤2)的图象得f (x )的最小值为f (2)＝－22－2×2＝－8，所以a ≥－8.8.设p ：方程x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根；q ：方程x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根.则使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是__________. 答案 (－∞，－2]∪[－1，3)解析 p ：x 2＋2mx ＋1＝0有两个不相等的正根，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4>0，－2m >0，即m ＜－1. q ：x 2＋2(m －2)x －3m ＋10＝0无实根，Δ＝[2(m －2)]2－4(－3m ＋10)＝4(m 2－m －6)＜0， 即－2＜m ＜3.分两种情况：①p 真q 假，m ≤－2；②p 假q 真，－1≤m ＜3.综上可知，使p ∨q 为真，p ∧q 为假的实数m 的取值范围是(－∞，－2]∪[－1，3). 9.下列命题中的假命题是________.(填序号) ①∀x ∈R ，2x －1>0②∀x ∈N *，(x －1)2>0 ③∃x 0∈R ，lg x 0<1④∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝5 答案 ②解析 ①中，∵x ∈R ，∴x －1∈R ，由指数函数性质得2x －1>0；②中，∵x ∈N *，∴当x ＝1时，(x －1)2＝0与(x －1)2>0矛盾；③中，当x 0＝110时，lg 110＝－1<1；④中，当x ∈R 时，tanx ∈R ，∴∃x 0∈R ，tan ⎝⎛⎭⎫x 0＋π4＝5. 10.(2016·泰州模拟)已知函数f (x )的定义域为(a ，b )，若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则f (a ＋b )＝________. 答案 0解析 若“∃x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )≠0”是假命题，则“∀x ∈(a ，b )，f (x )＋f (－x )＝0”是真命题，即f (－x )＝－f (x )，则函数f (x )是奇函数，则a ＋b ＝0，即f (a ＋b )＝0. 11.下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，tan x 0＝1；命题q ：∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0.则命题“p ∧(綈q )”是假命题；②已知直线l 1：ax ＋3y －1＝0，l 2：x ＋by ＋1＝0，则l 1⊥l 2的充要条件是ab ＝－3；③命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题是：“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”. 其中正确结论的序号为________. 答案 ①③解析 ①中命题p 为真命题，命题q 为真命题， 所以p ∧(綈q )为假命题，故①正确； ②当b ＝a ＝0时，有l 1⊥l 2，故②不正确； ③正确，所以正确结论的序号为①③. 12.已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：13－x>1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________________.答案 (－∞，－3)∪(1，2]∪[3，＋∞)解析 因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3<0，即2<x <3，所以q为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3>0，解得x >1或x <－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x <－3， 所以x 的取值范围是{x |x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3}.13.(2016·连云港模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)·(x 20＋1)≤0，命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立.若p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围为____________. 答案 (－∞，－2]∪(－1，＋∞)解析 由命题p ：∃x 0∈R ，(m ＋1)(x 20＋1)≤0可得m ≤－1，由命题q ：∀x ∈R ，x 2＋mx ＋1>0恒成立，可得－2<m <2，因为p ∧q 为假命题，所以m ≤－2或m >－1.14.已知命题p ：“∀x ∈R ，∃m ∈R ，4x －2x ＋1＋m ＝0”，若命题綈p 是假命题，则实数m 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 若綈p 是假命题，则p 是真命题，即关于x 的方程4x －2·2x ＋m ＝0有实数解，由于m ＝－(4x －2·2x )＝－(2x －1)2＋1≤1，∴m ≤1.*15.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a >1，x ≥2). (1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________________.答案 (1)[3，＋∞) (2)(1，3]解析 (1)因为f (x )＝x 2－x ＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x ＝2时等号成立，所以若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为[3，＋∞).(2)因为当x ≥2时，f (x )≥3，g (x )≥a 2，若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤3，a ＞1， 解得a ∈(1，3].。

专题6.1 数列的概念与简单表示法一、填空题1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ，则a 2＋a 18＝_______【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3；当n ＝1时， a 1＝S 1＝－1，所以a n ＝2n －3(n ∈N *)，所以a 2＋a 18＝34.2．数列{a n }中，a 1＝1，对于所有的n ≥2，n ∈N *都有a 1·a 2·a 3·…·a n ＝n 2，则a 3＋a 5＝_______ 【解析】令n ＝2,3,4,5，分别求出a 3＝94，a 5＝2516，∴a 3＋a 5＝6116.3．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于_______ 【解析】在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .∴a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8. ∴a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.4．已知数列{a n }满足a 1＝15，且3a n ＋1＝3a n －2.若a k ·a k ＋1<0，则正整数k ＝_______【解析】由3a n ＋1＝3a n －2得a n ＋1＝a n －23，则{a n }是等差数列，又a 1＝15，∴a n ＝473－23n .∵a k ·a k ＋1<0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫473－23k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫453－23k <0，∴452<k <472，∴k ＝23，故选C.5．在数列{a n }中，已知a 1＝2，a 2＝7，a n ＋2等于a n a n ＋1(n ∈N *)的个位数，则a 2 015＝_______6．如果数列{a n }满足a 1＝2，a 2＝1，且a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1(n ≥2)，则这个数列的第10项等于_______ 【解析】∵a n －1－a n a n －1＝a n －a n ＋1a n ＋1，∴1－a n a n －1＝a n a n ＋1－1，即a n a n －1＋a n a n ＋1＝2，∴1a n －1＋1a n ＋1＝2a n ，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．又∵d ＝1a 2－1a 1＝12，∴1a 10＝12＋9×12＝5，故a 10＝15.7．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1(n ≥2)，则a 5的值是________． 【解析】∵a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1＋1)，∴a n ＋1a n －1＋1＝2，又a 1＝1，∴{a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1＝2×2n －1＝2n，∴a 5＋1＝25，即a 5＝31.8．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第________项．【解析】令n －2n2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 即(2n －5)(n －10)＝0.解得n ＝10或n ＝52(舍去)．即0.08是该数列的第10项．9．已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1(a n ＋2)＝a n (n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －p )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n＋1，b 1＝－p ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数p 的取值范围为________．10．设{a n }是首项为1的正项数列，且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ＝1,2,3，…)，则它的通项公式a n ＝________.【解析】∵(n ＋1)a 2n ＋1＋a n ＋1·a n －na 2n ＝0， ∴(a n ＋1＋a n )[(n ＋1)a n ＋1－na n ]＝0， 又a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，即a n ＋1a n ＝nn ＋1， ∴a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·a 5a 4·…·a n a n －1＝12×23×34×45×…×n －1n ，∵a 1＝1，∴a n ＝1n. 二、解答题11．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1， a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4. (2)S n ＝12a 2n ＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，②①－②，整理得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0. 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n . 12．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值； (2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围．。

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________． 【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4.5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28； 当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5， 所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________．【答案】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．二、解答题9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0， 所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)． 【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)， 得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.。

§15.1椭圆命题探究(1)设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E 的离心率为,两准线之间的距离为8,所以=,=8,解得a=2,c=1,于是b==,因此椭圆E 的标准方程是+=1.(2)由(1)知,F1(-1,0),F2(1,0).设P(x0,y0),因为P为第一象限的点,故x0>0,y0>0. 当x0=1时,l2与l1相交于F1,与题设不符. 当x0≠1时,直线PF1的斜率为,直线PF2的斜率为.因为l1⊥PF1,l2⊥PF2,所以直线l1的斜率为-,直线l2的斜率为-,从而直线l1的方程:y=-(x+1),①直线l2的方程:y=-(x-1).②由①②,解得x=-x0,y=,所以Q.因为点Q在椭圆上,由对称性,得=±y0,即-=1或+=1.又P在椭圆E上,故+=1.由解得x0=,y0=;无解.因此点P 的坐标为.考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.椭圆的定义和标准方程椭圆的标准方程 B18题16分填空题解答题★★★2.椭圆的性质椭圆的性质及应用 B 12题5分17题14分10题5分填空题解答题★★★分析解读椭圆的标准方程和几何性质是江苏高考的必考内容,重点考查椭圆方程的求解,椭圆离心率的求法,在解答题中对运算化简能力的要求比较高.五年高考考点一椭圆的定义和标准方程1.(2014大纲全国改编,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为.答案+=12.(2014福建改编,9,5分)设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是.答案63.(2013课标全国Ⅰ理改编,10,5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B 两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为.答案+=14.(2017课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆C:+=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3,P4中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解析(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由+>+知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此解得故C的方程为+y2=1.(2)证明:设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为,.则k1+k2=-=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.而k1+k2=+=+=,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·+(m-1)·=0.解得k=-.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-x+m,即y+1=-(x-2),所以l过定点(2,-1).5.(2017天津文,20,14分)已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为.(1)求椭圆的离心率;(2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c.(i)求直线FP的斜率;(ii)求椭圆的方程.解析(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=.所以,椭圆的离心率为.(2)(i)依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为.由(1)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为.由已知|FQ|=c,有+=,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为.(ii)由a=2c,可得b=c,故椭圆方程可以表示为+=1.由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0,与椭圆方程联立得消去y,整理得7x2+6cx-13c2=0,解得x=-(舍去),或x=c.因此可得点P,进而可得|FP|==,所以|PQ|=|FP|-|FQ|=-=c.由已知,线段PQ的长即为PM与QN这两条平行直线间的距离,故直线PM和QN都垂直于直线FP.因为QN⊥FP,所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=×=,所以△FQN的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM的面积等于,由四边形PQNM的面积为3c,得-=3c,整理得c2=2c,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为+=1.6.(2016山东,21,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,焦距为2.(1)求椭圆C的方程;(2)过动点M(0,m)(m>0)的直线交x轴于点N,交C于点A,P(P在第一象限),且M是线段PN的中点.过点P作x 轴的垂线交C于另一点Q,延长QM交C于点B.(i)设直线PM,QM的斜率分别为k,k',证明为定值;(ii)求直线AB的斜率的最小值.解析(1)设椭圆的半焦距为c.由题意知2a=4,2c=2,所以a=2,b==.所以椭圆C的方程为+=1.(2)(i)证明:设P(x0,y0)(x0>0,y0>0).由M(0,m),可得P(x0,2m),Q(x0,-2m).所以直线PM的斜率k==,直线QM的斜率k'==-.此时=-3.所以为定值-3.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).直线PA的方程为y=kx+m,直线QB的方程为y=-3kx+m.联立整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0.由x0x1=,可得x1=.所以y1=kx1+m=+m.同理x2=,y2=+m.所以x2-x1=-=,y2-y1=+m--m=,所以k AB===.由m>0,x0>0,可知k>0,所以6k+≥2,等号当且仅当k=时取得.此时=,即m=,符合题意.所以直线AB的斜率的最小值为.7.(2016北京,19,14分)已知椭圆C:+=1过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N.求证:四边形ABNM 的面积为定值.解析(1)由题意得,a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(3分)又c==,所以离心率e==.(5分)(2)设P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则+4=4.(6分)又A(2,0),B(0,1),所以,直线PA的方程为y=(x-2).令x=0,得y M=-,从而|BM|=1-y M=1+.(9分)直线PB的方程为y=x+1.令y=0,得x N=-,从而|AN|=2-x N=2+.(12分)所以四边形ABNM的面积S=|AN|·|BM|====2.从而四边形ABNM的面积为定值.(14分)8.(2015江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程;(2)过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB 的方程.解析(1)由题意,得=且c+=3,解得a=,c=1,则b=1,所以椭圆的标准方程为+y2=1.(2)当AB⊥x轴时,AB=,又CP=3,不合题意.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),将直线AB的方程代入椭圆方程,得(1+2k2)x2-4k2x+2(k2-1)=0,则x1,2=,C的坐标为,且AB===.若k=0,则线段AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意.从而k≠0,故直线PC的方程为y+=-,则P点的坐标为,从而PC=.因为PC=2AB,所以=,解得k=±1.此时直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.9.(2015安徽,20,13分)设椭圆E的方程为+=1(a>b>0),点O为坐标原点,点A的坐标为(a,0),点B的坐标为(0,b),点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e;(2)设点C的坐标为(0,-b),N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.解析(1)由题设条件知,点M的坐标为,因为k OM=,所以=.所以a=b,c==2b.故e==.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得,直线AB的方程为+=1,点N的坐标为.设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则线段NS的中点T的坐标为.因为点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,所以有解得b=3.所以a=3,故椭圆E的方程为+=1.10.(2014课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.教师用书专用(11—17)11.(2016天津,19,14分)设椭圆+=1(a>)的右焦点为F,右顶点为A.已知+=,其中O为原点,e为椭圆的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BF⊥HF,且∠MOA=∠MAO,求直线l的斜率.解析(1)设F(c,0),由+=,即+=,可得a2-c2=3c2,又a2-c2=b2=3,所以c2=1,因此a2=4.所以,椭圆的方程为+=1.(2)设直线l的斜率为k(k≠0),则直线l的方程为y=k(x-2).设B(x B,y B),由方程组消去y,整理得(4k2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.解得x=2,或x=,由题意得x B=,从而y B=.由(1)知,F(1,0),设H(0,y H),有=(-1,y H),=.由BF⊥HF,得·=0,所以+=0,解得y H=.因此直线MH的方程为y=-x+.设M(x M,y M),由方程组消去y,解得x M=.在△MAO中,∠MOA=∠MAO⇔|MA|=|MO|,即(x M-2)2+=+,化简得x M=1,即=1,解得k=-,或k=. 所以,直线l的斜率为-或.12.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析解法一:(1)由已知得解得所以椭圆E的方程为+=1.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.====(1+m2)(-y1y2),故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.故点G在以AB为直径的圆外.解法二:(1)同解法一.(2)设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=,y1y2=-,从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.故点G在以AB为直径的圆外.13.(2015山东,20,13分)平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,左、右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)设椭圆E:+=1,P为椭圆C上任意一点.过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E 于点Q.(i)求的值;(ii)求△ABQ面积的最大值.解析(1)由题意知2a=4,则a=2.又=,a2-c2=b2,可得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)由(1)知椭圆E的方程为+=1.(i)设P(x0,y0),=λ,由题意知Q(-λx0,-λy0). 因为+=1,又+=1,即=1,所以λ=2,即=2.(ii)设A(x1,y1),B(x2,y2).将y=kx+m代入椭圆E的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0,由Δ>0,可得m2<4+16k2.①则有x1+x2=-,x1x2=.所以|x1-x2|=.因为直线y=kx+m与y轴交点的坐标为(0,m),所以△OAB的面积S=|m||x1-x2|===2.设=t.将y=kx+m代入椭圆C的方程,可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,由Δ≥0,可得m2≤1+4k2.②由①②可知0<t≤1,因此S=2=2.故S≤2,当且仅当t=1,即m2=1+4k2时取得最大值2.由(i)知,△ABQ面积为3S,所以△ABQ面积的最大值为6.14.(2013安徽理,18,12分)设椭圆E:+=1的焦点在x轴上.(1)若椭圆E的焦距为1,求椭圆E的方程;(2)设F1,F2分别是椭圆E的左,右焦点,P为椭圆E上第一象限内的点,直线F2P交y轴于点Q,并且F1P⊥F1Q.证明:当a变化时,点P在某定直线上.解析(1)因为焦距为1,所以2a2-1=,解得a2=.故椭圆E的方程为+=1.(2)设P(x0,y0),F1(-c,0),F2(c,0),其中c=.由题设知x0≠c,则直线F1P的斜率=,直线F2P的斜率=.故直线F2P的方程为y=(x-c).当x=0时,y=,即点Q的坐标为.因此,直线F1Q的斜率为=.由于F1P⊥F1Q,所以·=·=-1.化简得=-(2a2-1).①将①代入椭圆E的方程,由于点P(x0,y0)在第一象限,解得x0=a2,y0=1-a2,即点P在定直线x+y=1上.15.(2013山东理,22,13分)椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程;(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连结PF1,PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(3)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2.若k≠0,试证明+为定值,并求出这个定值.解析(1)由于c2=a2-b2,将x=-c代入椭圆方程+=1,得y=±,由题意知=1,即a=2b2.因为e==,所以a=2,b=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0)(y0≠0).因为F1(-,0),F2(,0),所以直线PF1,PF2的方程分别为:y0x-(x0+)y+y0=0,:y0x-(x0-)y-y0=0.由题意知= .由于点P在椭圆上,所以+=1.所以= .因为-<m<,-2<x0<2,所以=.所以m=x0.因此-<m<.(3)设P(x0,y0)(y0≠0),则直线l的方程为y-y0=k(x-x0).联立整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(-2kx0y0+k2-1)=0.由题意知Δ=0,即(4-)k2+2x0y0k+1-=0.因为+=1,所以16k2+8x0y0k+=0,故k=-.由(2)知+=+=,所以+==·=-8,因此+为定值,这个定值为-8.16.(2013重庆理,21,12分)如图,椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,离心率e=,过左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于A,A'两点,|AA'|=4.(1)求该椭圆的标准方程;(2)取垂直于x轴的直线与椭圆相交于不同的两点P,P',过P,P'作圆心为Q的圆,使椭圆上的其余点均在圆Q外.若PQ⊥P'Q,求圆Q的标准方程.解析(1)由题意知点A(-c,2)在椭圆上,则+=1,从而e2+=1.由e=得b2==8,从而a2==16.故该椭圆的标准方程为+=1.(2)由椭圆的对称性,可设Q(x0,0).又设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|QM|2=(x-x0)2+y2=x2-2x0x++8=(x-2x0)2-+8(x∈[-4,4]).设P(x1,y1),由题意知,P是椭圆上到Q的距离最小的点,因此,上式当x=x1时取最小值,又因x1∈(-4,4),所以上式当x=2x0时取最小值,从而x1=2x0,且|QP|2=8-.因为PQ⊥P'Q,且P'(x1,-y1),所以·=(x1-x0,y1)·(x1-x0,-y1)=0,即(x1-x0)2-=0.由椭圆方程及x1=2x0得-8=0,解得x1=±,x0==±.从而|QP|2=8-=.故这样的圆有两个,其标准方程分别为+y2=,+y2=.17.(2013浙江理,21,15分)如图,点P(0,-1)是椭圆C1:+=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径.l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D.(1)求椭圆C1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程.解析(1)由题意得所以椭圆C1的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0).由题意知直线l1的斜率存在,不妨设其为k,则直线l1的方程为y=kx-1.又圆C2:x2+y2=4,故点O到直线l1的距离d=,所以|AB|=2=2.又l2⊥l1,故直线l2的方程为x+ky+k=0.由消去y,整理得(4+k2)x2+8kx=0,故x0=-.所以|PD|=.设△ABD的面积为S,则S=|AB|·|PD|=,所以S=≤=,当且仅当k=±时取等号.所以所求直线l1的方程为y=±x-1.考点二椭圆的性质1.(2017浙江改编,2,5分)椭圆+=1的离心率是.答案2.(2017课标全国Ⅰ文改编,12,5分)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是.答案(0,1]∪[9,+∞)3.(2016江苏,10,5分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是.答案4.(2013江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0),右焦点为F,右准线为l,短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1,F到l的距离为d2.若d2=d1,则椭圆C的离心率为.答案5.(2017山东理,21,14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=.M是线段OC延长线上一点,且|M C|∶|AB|=2∶3,☉M的半径为|MC|,OS,OT是☉M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解析(1)由题意知e==,2c=2,所以a=,b=1,因此椭圆E的方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y整理得(4+2)x2-4k1x-1=0,由题意知Δ>0,且x1+x2=,x1x2=-,所以|AB|=|x1-x2|=.由题意可知圆M的半径r=|AB|=·.由题设知k1k2=,所以k2=,因此直线OC的方程为y=x.由得x2=,y2=,因此|OC|==.由题意可知sin==,而==,令t=1+2,则t>1,∈(0,1),因此=·=·=·≥1,当且仅当=,即t=2时等号成立,此时k1=±,所以sin≤,因此≤,所以∠SOT的最大值为.综上所述:∠SOT的最大值为,取得最大值时直线l的斜率k1=±.6.(2017北京文,19,14分)已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.解析(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意得解得c=.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m≠±2,且n≠0.直线AM的斜率k AM=,故直线DE的斜率k DE=-.所以直线DE的方程为y=-(x-m).直线BN的方程为y=(x-2).由解得点E的纵坐标y E=-.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以y E=-n.又S△BDE=|BD|·|y E|=|BD|·|n|,S△BDN=|BD|·|n|,所以△BDE与△BDN的面积之比为4∶5.7.(2016浙江理,19,15分)如图,设椭圆+y2=1(a>1).(1)求直线y=kx+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示);(2)若任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点,求椭圆离心率的取值范围.解析(1)设直线y=kx+1被椭圆截得的线段为AP,由得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,故x1=0,x2=-.因此|AP|=|x1-x2|=·.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个,由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,Q,满足|AP|=|AQ|.记直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,且k1,k2>0,k1≠k2.由(1)知,|AP|=,|AQ|=,故=,所以(-)[1+++a2(2-a2)]=0.由于k1≠k2,k1,k2>0得1+++a2(2-a2)=0,因此=1+a2(a2-2),①因为①式关于k1,k2的方程有解的充要条件是1+a2(a2-2)>1,所以a>.因此,任意以点A(0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1<a≤,由e==得,所求离心率的取值范围为0<e≤.8.(2015北京,19,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点P(0,1)和点A(m,n)(m≠0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M.(1)求椭圆C的方程,并求点M的坐标(用m,n表示);(2)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.解析(1)由题意得解得a2=2.故椭圆C的方程为+y2=1.设M(x M,0).因为m≠0,所以-1<n<1.直线PA的方程为y-1=x,所以x M=,即M.(2)因为点B与点A关于x轴对称,所以B(m,-n).设N(x N,0),则x N=.“存在点Q(0,y Q)使得∠OQM=∠ONQ”等价于“存在点Q(0,y Q)使得=”,即y Q满足=|x M||x N|.因为x M=,x N=,+n2=1,所以=|x M||x N|==2.所以y Q=或y Q=-.故在y轴上存在点Q,使得∠OQM=∠ONQ.点Q的坐标为(0,)或(0,-).9.(2015重庆,21,12分)如图,椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|=2+,|PF2|=2-,求椭圆的标准方程;(2)若|PF1|=|PQ|,求椭圆的离心率e.解析(1)由椭圆的定义,有2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2-)=4,故a=2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1⊥PF2,得2c=|F1F2|===2,即c=,从而b==1.故所求椭圆的标准方程为+y2=1.(2)解法一:连结F1Q,如图,设点P(x0,y0)在椭圆上,且PF1⊥PF2,则+=1,+=c2,求得x0=±,y0=±.由|PF1|=|PQ|>|PF2|得x0>0,从而|PF1|2=+=2(a2-b2)+2a=(a+)2.由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PF2,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|.因此(2+)|PF1|=4a,即(2+)(a+)=4a,于是(2+)(1+)=4,解得e==-.解法二:连结F1Q,由椭圆的定义,有|PF1|+|PF2|=2a,|QF1|+|QF2|=2a.从而由|PF1|=|PQ|=|PF2|+|QF2|,有|QF1|=4a-2|PF1|.又由PF1⊥PQ,|PF1|=|PQ|,知|QF1|=|PF1|,因此,4a-2|PF1|=|PF1|,得|PF1|=2(2-)a,从而|PF2|=2a-|PF1|=2a-2(2-)a=2(-1)a.由PF1⊥PF2,知|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2,因此e=====-.10.(2014江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.教师用书专用(11—21)11.(2016课标全国Ⅰ改编,5,5分)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为.答案12.(2014山东改编,10,5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为.答案x±y=013.(2016课标全国Ⅲ改编,12,5分)已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为.答案14.(2014湖北改编,9,5分)已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为.答案15.(2013福建理,14,4分)椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c.若直线y=(x+c)与椭圆Γ的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则该椭圆的离心率等于.答案-116.(2015浙江,19,15分)已知椭圆+y2=1上两个不同的点A,B关于直线y=mx+对称.(1)求实数m的取值范围;(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).解析(1)由题意知m≠0,可设直线AB的方程为y=-x+b.由消去y,得x2-x+b2-1=0.因为直线y=-x+b与椭圆+y2=1有两个不同的交点,所以Δ=-2b2+2+>0,①将AB中点M代入直线方程y=mx+,解得b=-.②由①②得m<-或m>.(2)令t=∈∪,则|AB|=·,且O到直线AB的距离为d=.设△AOB的面积为S(t),所以S(t)=|AB|·d=≤.当且仅当t2=时,等号成立.故△AOB面积的最大值为.17.(2014课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.18.(2015陕西,20,12分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为c.(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:(x+2)2+(y-1)2=的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.解析(1)过点(c,0),(0,b)的直线方程为bx+cy-bc=0,则原点O到该直线的距离d==,由d=c,得a=2b=2,解得离心率=.(2)解法一:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.①依题意,得圆心M(-2,1)是线段AB的中点,且|AB|=.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为y=k(x+2)+1,代入①得(1+4k2)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=.由x1+x2=-4,得-=-4,解得k=.从而x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.解法二:由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.②依题意,得点A,B关于圆心M(-2,1)对称,且|AB|=.设A(x1,y1),B(x2,y2),则+4=4b2,+4=4b2,两式相减并结合x1+x2=-4,y1+y2=2,得-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,易知AB与x轴不垂直,则x1≠x2,所以AB的斜率k AB==.因此直线AB的方程为y=(x+2)+1,代入②得x2+4x+8-2b2=0.所以x1+x2=-4,x1x2=8-2b2.于是|AB|=|x1-x2|==.由|AB|=,得=,解得b2=3.故椭圆E的方程为+=1.19.(2015湖南,20,13分)已知抛物线C1:x2=4y的焦点F也是椭圆C2:+=1(a>b>0)的一个焦点,C1与C2的公共弦的长为2.(1)求C2的方程;(2)过点F的直线l与C1相交于A,B两点,与C2相交于C,D两点,且与同向.(i)若|AC|=|BD|,求直线l的斜率;(ii)设C1在点A处的切线与x轴的交点为M,证明:直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.解析(1)由C1:x2=4y知其焦点F的坐标为(0,1).因为F也是椭圆C2的一个焦点,所以a2-b2=1.①又C1与C2的公共弦的长为2,C1与C2都关于y轴对称,且C1的方程为x2=4y,由此易知C1与C2的公共点的坐标为,所以+=1.②联立①,②得a2=9,b2=8.故C2的方程为+=1.(2)如图,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4).(i)因与同向,且|AC|=|BD|,所以=,从而x3-x1=x4-x2,即x1-x2=x3-x4,于是(x1+x2)2-4x1x2=(x3+x4)2-4x3x4.③设直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1.由得x2-4kx-4=0.而x1,x2是这个方程的两根,所以x1+x2=4k,x1x2=-4.④由得(9+8k2)x2+16kx-64=0.而x3,x4是这个方程的两根,所以x3+x4=-,x3x4=-.⑤将④,⑤代入③,得16(k2+1)=+,即16(k2+1)=,所以(9+8k2)2=16×9,解得k=±,即直线l的斜率为±.(ii)由x2=4y得y'=,所以C1在点A处的切线方程为y-y1=(x-x1),即y=-.令y=0,得x=,即M,所以=.而=(x1,y1-1),于是·=-y1+1=+1>0,因此∠AFM是锐角,从而∠MFD=180°-∠AFM是钝角.故直线l绕点F旋转时,△MFD总是钝角三角形.20.(2014天津,18,13分)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=|F1F2|.(1)求椭圆的离心率;(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切.求直线l的斜率.解析(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).由|AB|=·|F1F2|,可得a2+b2=3c2,又b2=a2-c2,则=.所以椭圆的离心率e=.(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.故椭圆方程为+=1.设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),有=(x0+c,y0),=(c,c).由已知,有·=0,即(x0+c)c+y0c=0.又c≠0,故有x0+y0+c=0.①又因为点P在椭圆上,故+=1.②由①和②可得3+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-c,代入①得y0=,即点P的坐标为.设圆的圆心为T(x1,y1),则x1==-c,y1==c,进而圆的半径r== c.设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得=r,即=c, 整理得k2-8k+1=0,解得k=4±.所以直线l的斜率为4+或4-.21.(2014辽宁,20,12分)圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图),双曲线C1:-=1过点P且离心率为.(1)求C1的方程;(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点,若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.解析(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S=··=.由+=4≥2x0y0知当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为(,).由题意知解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C2的方程为+=1,其中b1>0.由P(,)在C2上,得+=1,解得=3,因此C2的方程为+=1.显然,l不是直线y=0.设l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),由得(m2+2)y2+2my-3=0,又y1,y2是方程的根,因此由x1=my1+,x2=my2+,得因=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),故由题意知·=0,所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0.⑤将①,②,③,④代入⑤式整理得2m2-2m+4-11=0,解得m=-1或m=-+1.因此直线l的方程为x-y-=0或x+y-=0.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一椭圆的定义和标准方程1.(2018江苏扬州中学高三月考)设F1、F2是椭圆+y2=1的两个焦点,点P在椭圆上,且满足∠F1PF2=,则点P 到x轴的距离为.答案2.(苏教选2—1,二,1,2,变式)椭圆+=1的焦距为4,则m= .答案4或83.(苏教选2—1,二,2,4,变式)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线与椭圆C 交于A,B两点,且AB=3,则C的方程为.答案+=14.(2018江苏南通中学高三阶段练习)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,点B是椭圆C的上顶点,点Q 在椭圆上(异于B点).(1)若椭圆C过点,求椭圆C的方程;(2)若直线l:y=kx+b与椭圆C交于B、P两点,若以PQ为直径的圆过点B,证明;存在k∈R,=.解析(1)椭圆的离心率e===,则a2=2b2,将代入+=1得+=1,解得b2=2,所以a2=4,于是椭圆C的方程为+=1.(2)证明:由a2=2b2得椭圆方程为+=1,将直线方程y=kx+b代入椭圆方程,整理得(1+2k2)x2+4kbx=0,解得x P=-,y P=,则BP===.因为以PQ为直径的圆过点B,所以BP⊥BQ,将BP=·中的k用-代换得BQ=·=·,由=得=,当k>0时,化简得2k3-2k2+4k-1=0,设f(k)=2k3-2k2+4k-1(k>0),∵f=-<0,f=>0,∴函数f(k)=2k3-2k2+4k-1(k>0)存在零点,∴存在k∈R,使得=.5.(2018江苏徐州铜山中学期中)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的左顶点为A(-2,0),离心率为,过点A的直线l与椭圆E交于另一点B,点C为y轴上的一点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角形,求直线l的方程.解析(1)由题意可得∴从而有b2=a2-c2=3,所以椭圆E的标准方程为+=1.(2)易知,直线l的斜率存在,设直线l的方程为y=k(x+2),代入+=1,得(3+4k2)x2+16k2x+16k2-12=0,因为x=-2为该方程的一个根,所以B,设C(0,y0),由k AC·k BC=-1,得·=-1,即(3+4k2)-12ky0+16k2-12=0,(*)由AC=BC,即AC2=BC2,得4+=+,即4=+-y0,即4(3+4k2)2=(6-8k2)2+144k2-24k(3+4k2)y0,所以k=0或y0=,当k=0时,直线l的方程为y=0,此时,当y0=±2时,符合题意.当y0=时,代入(*)得16k4+7k2-9=0,解得k=±,此时直线l的方程为y=±(x+2).综上,直线l的方程为y=0或y=±(x+2).6.(2017苏州暑期调研,17)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P(3,1)在椭圆上,△PF1F2的面积为2.(1) ①求椭圆C的标准方程;②若Q为椭圆C上一点,且∠F1QF2=,求QF1·QF2的值;(2)直线y=x+k与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,求实数k的值.解析(1)①由条件可知+=1,c=2.又a2=b2+c2,所以a2=12,b2=4,所以椭圆的标准方程为+=1.②易知所以QF1·QF2=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由得4x2+6kx+3k2-12=0,∴x1+x2=-,x1x2=,y1y2=,因为以AB为直径的圆经过坐标原点,则·=x1x2+y1y2=k2-6=0,解得k=±,此时Δ=120>0,满足条件,因此k=±.7.(2017江苏徐州期末调研,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线的距离为6.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设A为椭圆C的左顶点,P为椭圆C上位于x轴上方的点,直线PA交y轴于点M,过点F作MF的垂线,交y轴于点N.(i)当直线PA的斜率为时,求△FMN的外接圆的方程;(ii)设直线AN交椭圆C于另一点Q,求△APQ的面积的最大值.解析(1)由题意,得解得则b=2,所以椭圆C的标准方程为+=1.(2)由题意可设直线PA的方程为y=k(x+4),k>0,则M(0,4k),所以直线FN的方程为y=(x-2),则N.(i)当直线PA的斜率为,即k=时,M(0,2),N(0,-4),易知F(2,0),因为MF⊥FN,所以外接圆的圆心为(0,-1),半径为3,所以△FMN的外接圆的方程为x2+(y+1)2=9.(ii)由消去y并整理得,(1+2k2)x2+16k2x+32k2-16=0,解得x1=-4,x2=,所以P,直线AN的方程为y=-(x+4),Q,所以P,Q关于原点对称,即直线PQ过原点.所以△APQ的面积S=OA·(y P-y Q)=2×=≤8,当且仅当2k=,即k=时,取“=”.所以△APQ的面积的最大值为8.8.(2017江苏南京,盐城一模,17)在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=b2经过椭圆E:+=1(0<b<2)的焦点.(1)求椭圆E的标准方程;(2)设直线l:y=kx+m交椭圆E于P,Q两点,T为弦PQ的中点,M(-1,0),N(1,0),记直线TM,TN的斜率分别为k1,k2,当2m2-2k2=1时,求k1·k2的值.解析(1)因0<b<2,所以椭圆E的焦点在x轴上,又圆O:x2+y2=b2经过椭圆E的焦点,所以椭圆的半焦距c=b,所以2b2=4,即b2=2,所以椭圆E的方程为+=1.(2)解法一:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(x0,y0),由消去y,得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,所以x1+x2=-,又2m2-2k2=1,所以x1+x2=-,所以x0=-,y0=m-k·=,则k1·k2=·===-.解法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2),T(x0,y0),则两式作差,得+=0,又x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,∴+y0(y1-y2)=0,∴+=0,又P(x1,y1),Q(x2,y2)在直线y=kx+m上,∴=k,∴x0+2ky0=0,①又T(x0,y0)在直线y=kx+m上,∴y0=kx0+m,②由①②可得x0=-,y0=.又2m2-2k2=1,∴x0=-,y0=.以下同解法一.考点二椭圆的性质9.(2018江苏如东高级中学高三检测)已知椭圆C1:+=1(a>b>0)与圆C2:x2+y2=b2,若在椭圆C1上存在点P,过点P作圆的切线PA,PB,切点为A,B使得∠BPA=,则椭圆C1的离心率的取值范围是.答案10.(2017江苏南京高淳区质检,12)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,焦距为2c,若椭圆E 与直线y=(x+c)的一个交点M满足∠MF1F2=2∠MF2F1,则椭圆的离心率为.答案-111.(苏教选2—1,二,2,10,变式)已知F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆上一点,且·=c2,则此椭圆离心率的取值范围是.答案B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:20分钟)解答题(共45分)1.(2017江苏扬州中学期中,19)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,过点F的直线交y轴于点N,交椭圆C 于点A、P(P在第一象限),过点P作y轴的垂线交椭圆C于另外一点Q.若=2.(1)设直线PF、QF的斜率分别为k、k',求证:为定值;(2)若=,且△APQ的面积为,求椭圆C的方程.解析(1)证明:设F(c,0),则c2=a2-b2,设P(x0,y0),则Q(-x0,y0).所以k=,k'=,因为=2,所以c=2(x0-c),即x0=c,∴k==,k'==,。

高考数学第一轮复习资料（教师版）第一章集合第一节集合的含义、表示及基本关系A组1．已知A＝｛1，2｝,B＝{x|x∈A}，则集合A与B的关系为________．解析：由集合B＝{x｜x∈A}知,B＝{1，2｝．答案：A＝B2．若∅{x|x2≤a,a∈R｝，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知,x2≤a有解，故a≥0。

答案：a≥03．已知集合A＝{y｜y＝x2－2x－1，x∈R｝,集合B＝{x｜－2≤x<8｝,则集合A 与B的关系是________．解析：y＝x2－2x－1＝(x－1)2－2≥－2，∴A＝｛y｜y≥－2}，∴B A。

答案：B A4．（2009年高考广东卷改编)已知全集U＝R，则正确表示集合M＝｛－1，0,1}和N＝｛x|x2＋x＝0}关系的韦恩（V enn）图是________．解析：由N=｛x|x2+x=0｝,得N=｛-1，0}，则N M.答案：②5．(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A＝{x|x〉5},集合B＝{x｜x〉a｝，若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,∴A B,∴a<5.答案：a<56．(原创题）已知m∈A，n∈B，且集合A＝{x|x＝2a,a∈Z｝，B＝{x|x＝2a＋1，a∈Z｝，又C＝{x|x＝4a＋1，a∈Z}，判断m＋n属于哪一个集合？解：∵m∈A,∴设m＝2a1,a1∈Z，又∵n∈B,∴设n＝2a2＋1，a2∈Z，∴m＋n＝2（a1＋a2）＋1，而a1＋a2∈Z，∴m＋n∈B。

B组1．设a，b都是非零实数，y＝错误!＋错误!＋错误!可能取的值组成的集合是________．解析：分四种情况：（1）a>0且b〉0；(2)a>0且b<0；(3）a<0且b〉0；（4）a<0且b〈0，讨论得y＝3或y＝－1.答案:{3，－1｝2．已知集合A＝{－1,3,2m－1｝，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，显然m2≠－1且m2≠3,故m2＝2m－1,即（m－1)2＝0，∴m ＝1。

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【考纲解读】题组一 常识题1．把函数y ＝sin x 的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍得到函数________的图像．2．某函数的图像向右平移π2个单位长度后得到的图像对应的函数解析式是y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则原函数的解析式是____________．【解析】将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图像向左平移π2个单位长度得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π4的图像，即原函数为y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3π4.3．已知简谐运动f (x )＝2sin π3x ＋φ|φ|<π2的图像经过点(0，1)，则该简谐运动的初相φ为________．【解析】因为函数图像经过点(0，1)，所以将点(0，1)的坐标代入函数解析式可得2sin φ＝1，即sin φ＝12.又因为|φ|<π2，所以φ＝π6. 题组二 常错题4．为得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像，只需将函数y ＝sin 2x 的图像向________平移________个单位长度．5．设ω>0，若函数f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则ω的取值范围是____________． 【解析】f (x )＝sin ωx 2cos ωx 2＝12sin ωx ，若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π3上单调递增，则T 2＝πω≥π3＋π3＝2π3，故ω∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，32.6．若f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＋m 对任意实数t 都有f ⎝⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－3，则实数m ＝________． 【解析】由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋t ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8－t ，得函数图像的对称轴为直线x ＝π8.故当x ＝π8时，函数取得最大值或最小值，于是有－2＋m ＝－3或2＋m ＝－3，即m ＝－1或m ＝－5. 题组三 常考题7． 将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期后，所得图像对应的函数为________．【解析】函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期为π，将函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图像向左平移13个周期即π3个单位长度，所得图像对应的函数为y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋π3＝2cos(2x ＋π)＝－2cos 2x .8．已知函数f (x )＝2sin ωx 2cos ωx2＋cos ωx 的最小正周期为π，则ω的值是________.【解析】f (x )＝2sin ωx 2cos ωx 2＋cos ωx ＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以T ＝2π|ω|＝π，得ω＝±2.【知识清单】考点1 求三角函数解析式 1．()sin y A x ωϕ=+的有关概念2．用五点法画sin y A x =+一个周期内的简图用五点法画()sin y A x ωϕ=+一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3. 由sin y A x =+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置． 4.利用图象变换求解析式：由sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，，得到函数()sin y x ϕ=+，将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+，将图象上各点的纵坐标变为原来的A 倍(0A >)，便得()sin y A x ωϕ=+. 考点2 三角函数图象的变换1.函数图象的变换（平移变换和上下变换） 平移变换：左加右减，上加下减把函数()y f x =向左平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向右平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像; 把函数()y f x =向上平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=+的图像; 把函数()y f x =向下平移()0ϕϕ>个单位，得到函数()y f x ϕ=-的图像. 伸缩变换:把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的1ω，得到函数()()01y f x ωω=<<的图像; 把函数()y f x =图像的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的1ω，得到函数()()1y f x ωω=>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标伸长到原来的A ，得到函数()()1y Af x A =>的图像; 把函数()y f x =图像的横坐标不变,纵坐标缩短到原来的A ，得到函数()()01y Af x A =<<的图像. 2.由sin y x =的图象变换出()sin y x ωϕ=+()0ω>的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将sin y x =的图象向左()0ϕ>或向右()0ϕ<平移ϕ个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，便得()sin y x ωϕ=+的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将sin y x =的图象上各点的横坐标变为原来的1ω倍(0ω>)，再沿x 轴向左(0ϕ>)或向右(0ϕ<)平移ωϕ||个单位，便得()sin y x ωϕ=+的图象.注意：函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到. 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 1. x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈. 2．对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.sin )y A x ωϕ=+（的图象有无穷多条对称轴，可由方程()2x k k Z πωϕπ+=+∈解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象与x 轴的交点，可由()x k k Z ωϕπ+=∈，解得()k x k Z πϕω-=∈，即其对称中心为(),0k k Z πϕω-⎛⎫∈⎪⎝⎭． 3. )若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈.4. ()sin()f x A x ωϕ=+的最小正周期都是2||T πω=. 【考点深度剖析】本课时是高考热点之一，主要考查：①作函数图像，包括用五点法描图及图形变换作图；②由图像确定解析式；③考查三角函数图像变换；④图像的轴对称、中心对称．题型多是容易题．【重点难点突破】考点1 求三角函数解析式【1-1】已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，0<φ≤π2的部分图像如图所示，则φ的值为________．【答案】π3【1-2】如图，函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0ω>，||2πϕ≤）与坐标轴的三个交点P 、Q 、R满足(1,0)P ，4PQR π∠=，M 为QR 的中点，2PM =， 则A 的值为 .【答案】14【解析】由题意设(),0Q a 、()0,R a -，()0a >，则,22a a M ⎛⎫-⎪⎝⎭，有两点间距离公式得，【思想方法】1.根据()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： (1) A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2) h 的确定：根据图象的最高点和最低点，即h ＝最高点＋最低点2；(3) ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由2T πω= (0ω>)来确定ω；(4) 求ϕ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时,,A h ω已知)或代入图像与直线y h =的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定ϕ值时，由函数()sin y A x k ωϕ=++最开始与x 轴的交点的横坐标为ϕω-(即令0x ωϕ+=，x ϕω=-)确定ϕ.将点的坐标代入解析式时，要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点,“第一点”（即图象上升时与x 轴的交点）为002x k ωϕπ+=+，其他依次类推即可.2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． 【温馨提醒】求ϕ时一般把图像上的一个最值点代入． 考点2 三角函数图象的变换【2-1】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．【答案】sin(2)6y x π=-【解析】【2-2】函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中A ＞0，2||πω<）的图象如图所示，为得到x x g 3sin )(=的图象，则只要将)(x f 的图象向 平移 个单位．【答案】右，【解析】由图知，函数)(x f 的周期32)4125(4πππ=-=T ，1=A ，3=∴ω，)3sin()(ϕ+=∴x x f ， 易求得点)0,12(π在函数)(x f 的图像上，0)123sin(=+⨯∴ϕπ，又2||πω<，4πϕ-=∴，)43sin()(π+=∴x x f ，将函数)43sin()(π+=x x f 的图象向右平移12π个单位长即得x x g 3sin )(=的图象.【思想方法】1. 在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．2. 图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出，但要第（9）题注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．3.解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．4.特别提醒：进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身;要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数.【温馨提醒】解决图象变换的关键是变换“只能对函数关系式中的,x y 变换”的原则即可,值得注意点是, 要得到函数sin() y x ωϕ=+的图象，可以看作把曲线sin y x ω=上所有点向左(当0ϕ>时)或向右(当0ϕ<时)平行移动ϕω个单位长度而得到,而不是平行移动ϕ个单位． 考点3 函数()sin y A x ωϕ=+的图像与性质的综合应用 【 3-1】设()()()=sin cos 0,2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且对任意实数x 都有()()4f x f π≤，则()f x 的单调减区间是 .【答案】)(],43,4[Z k k k ∈++ππππ【 3-2】若函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是 . 【答案】35(,]44【解析】∵函数()2sin f x x ω=(0)ω>的图像在(0,2)π上恰有一个极大值和一个极小值， ∴35222πππω<≤，∴3544ω<≤. 【思想方法】(1)奇偶性：()k k Z ϕπ=∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为奇函数；()2k k Z πϕπ=+∈时，函数sin()y A x ωϕ=+为偶函数．(2)周期性：sin()y A x ωϕ=+存在周期性，其最小周期为2||T πω=.(3)单调性：根据sin y t =和t x ωϕ=+的单调性来研究，由22,22k x k k Z πππωϕπ-+≤+≤+∈得单调增区间；由322,22k x k k Z πππωϕπ+≤+≤+∈得单调减区间． (4)对称性：利用sin y x =的对称中心为(,0) k k Z π∈求解，令,x k k Z ωϕπ+=∈，求得x . 利用sin y x =的对称轴为2x k ππ=+ (k Z ∈)求解，令,2x k k Z πωϕπ+=+∈得其对称轴．【温馨提醒】对于函数sin()y A x ωϕ=+求其单调区间，要特别注意ω的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为sin()y A x ωϕ=---的形式，然后求其单调区间.【易错试题常警惕】由y ＝sin x 的图像变换到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位长度；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω>0)个单位长度。