2017-2018年江西省南昌三中高二上学期数学期中试卷及参考答案(理科)

江西省南昌市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分）直线x+y-1=0的倾斜角是（）A . 30°B . 120°C . 135°D . 150°2. （2分） (2018高三上·昭通期末) 己知过圆x2+y2=1上一点P，作直线，与直线：3x+4y+15=0交于点A，且l与l1的夹角为，则PA的最大值为（）A . 5B . 4C . 3D . 23. （2分）已知抛物线，过其焦点且斜率为的直线交抛物线于两点，若线段的中点的纵坐标为，则该抛物线的准线方程为（）A .B .C .D .4. （2分）若圆x2+y2﹣6x+6y+14=0关于直线l：ax+4y﹣6=0对称，则直线l的斜率是（）A . 6B .C . -D . -5. （2分）已知直线与直线平行，则实数m的取值为（）A .B .C .D . -26. （2分） (2017高二下·定州开学考) 已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A . 6B . 5C . 4D . 37. （2分） (2017高一下·扶余期末) 若圆上有且只有两个点到直线的距离等于则半径r的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分） (2016高二上·右玉期中) 已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则a=（）A .B . 1C . 2D .9. （2分） (2017高一上·滑县期末) 设函数f（x）=﹣2x ， g（x）=lg（ax2﹣2x+1），若对任意x1∈R，都存在x2∈R，使f（x1）=g（x2），则实数a的取值范围为（）A . （﹣1，0）B . （0，1）C . （﹣∞，1]D . [1，+∞）10. （2分）圆和圆的位置关系（）A . 相交B . 相切C . 外离D . 内含11. （2分） (2018高三下·滨海模拟) 实数满足不等式组则目标函数的最小值是（）A .B .C .D .12. （2分）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（）A . 直线B . 圆C . 椭圆D . 双曲线二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知x2+y2+x+y+tanθ=0（﹣＜θ＜）表示圆，则θ的取值范围为________14. （1分） (2019高三上·汕头期末) 设变量满足约束条件：，则的最大值是________15. （1分） (2016高二上·延安期中) 设z=2y﹣x，式中变量x、y满足下列条件：，则z的最大值为________16. （1分） (2018高一上·寻乌期末) 在直角坐标系内，已知是圆上一点，折叠该圆两次使点分别与圆上不相同的两点（异于点）重合，两次的折痕方程分别为和，若圆上存在点，使，其中的坐标分别为，则实数的取值集合为________．三、解答题 (共6题；共60分)17. （10分）已知直线l1：2x+4y﹣1=0，直线l2经过点（1，﹣2），求满足下列条件的直线l2的方程：（1）l1∥l2；（2）l1⊥l2．18. （15分） (2016高二上·鹤岗期中) 已知直线l：kx﹣y﹣3k=0与圆M：x2+y2﹣8x﹣2y+9=0．（1）直线过定点A，求A点坐标；（2）求证：直线l与圆M必相交；（3）当圆M截直线l所得弦长最小时，求k的值．19. （5分） (2018高一下·六安期末) 某研究所计划利用“神舟十号”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品甲，乙，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品甲（件）产品乙（件）研制成本与搭载费用之和（万元/件）200300计划最大资金额3000元产品重量（千克/件）105最大搭载重量110千克预计收益（万元/件）160120试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？20. （10分）已知动圆经过点， .（1）求周长最小的圆的一般方程；（2）求圆心在直线上的圆的标准方程.21. （10分） (2016高二上·镇雄期中) 如图，在平行四边形OABC中，点C（1，3）．（1）求OC所在直线的斜率；（2）过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．22. （10分） (2017高一下·穆棱期末) 已知圆C的方程为，直线 . （1）若直线l与圆C相切，求实数t的值；（2）若直线l与圆C相交于M,N两点，且，求实数t的值.参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017—2018学年度上学期期中考试高二数学（理）试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.点(1,1)P -在极坐标系中的坐标为（ ）A. 3)4πB. 3)4π-C. 3(2,)4πD. 3(2,)4π-2.抛物线24x y =-的准线方程为（ ） A. 116x =B. 116x =-C. 1y =D. 1y =-3.直线210ax y +-=与直线220x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ） A. 0B. 2C. 2-D. 2或2-4.圆221:2220C x y x y ++--=与圆222:680C x y x y +--=的位置关系是（ ）A. 相离B. 相交C. 相切D. 内含5.以抛物线28y x =的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（ ） A. 22430x y x +-+= B. 22430x y y +-+= C. 22430x y x +--=D. 22430x y y +--=6. 若双曲线1C 以椭圆222:11625x y C +=的焦点为顶点，以椭圆2C 长轴的端点为焦点，则双曲线1C 的方程为（ ）A. 221916x y -=B. 221916y x -= C . 2211625x y -= D. 2211625y x -= 7. 椭圆2214924x y +=上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则12PF F ∆的面积为（ ） A. 20B. 22C. 24D. 288. 若直线y x b =+与曲线2y =b 的取值范围是（ ）A ．[2]--B ．(2]--C ．(-D ．[2,9. 一动圆与两圆221x y +=和228120x y y +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹是( ) A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 双曲线一支10. A 、B 分别是椭圆22143x y +=的左顶点和上顶点，C 是该椭圆上的动点，则ABC ∆ 面积的最大值为（ ）D.11. 已知直线:l 23y x =+被椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>截得的弦长为2017，则下列直线中被椭圆C 截得的弦长一定为2017的有（ ）①23y x =- ②21y x =+ ③23y x =-- ④ 23y x =-+ A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条12. 如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ，直线l 过F 且依次交抛物线及圆221(1)4x y -+=于点,,,A B C D 四点，则||4||AB CD +的最小值为（ ） A. 172 B. 152C. 132D. 112二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13. 直线1413x ty t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）的斜率为 ；14. 已知直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为 ；15. 已知直线1l ：4360x y -+=和直线2l ：1x =-，抛物线24y x =上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和的最小值为 ；16. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点M 在双曲线的右支上，O 是坐标原点，2OMF ∆是以M 为顶点的等腰三角形，其面积是24c ，则双曲线C 的离心率是 .三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点(,1)P m 到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F，(6,M 是双曲线右支上一点，且12||||6MF MF -=，求双曲线C 的标准方程.18 .（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为11x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的极坐标方程为05cos 62=+-θρρ，圆C 与直线l 交于A ，B 两点，P 点的直角坐标为(1,1)．（Ⅰ）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求PB PA +的值．19 .（本小题满分12分）已知抛物线的方程为24y x =，过点(2,1)M 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，且M 为线段AB 的中点.（Ⅰ）求直线l 的方程； （Ⅱ）求线段AB 的长度.20 .（本小题满分12分）已知圆C 的圆心在直线10x y --=上，且与直线4310x y +-=相切，被直线3450x y +-=（Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若x ，y 满足圆C 的方程，求2244x y x y +++的取值范围.21．(本小题满分12分)椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与直线2x y +=相交于P 、Q 两点，且OP OQ ⊥，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求2211a b+的值； （Ⅱ）若椭圆的离心率ee ≤≤，求椭圆长轴长的取值范围．22.(本小题满分12分)如图，椭圆22122:1x y C a b+=(0)a b >>的左右焦点分别为的1F 、2F，离心率为2；过抛物线22:4C x by =焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当7||4MF =时，M 点在x 轴上的射影为1F 。

2017—2018学年度上学期期中考试试卷高二数学试题（理科）一、选择题（本大题共12题,每小题5分，共计60分）1．双曲线2231y x -=的渐近线方程是（ ）A ．3y x =±B ．13y x =±C ．yD ．y x=±2．直线⎩⎨⎧+=+=t y t x 221（t 是参数）被圆922=+y x 截得的弦长等于（ ）A.512 B.5109 C 。

529 D 。

55123.已知椭圆125222=+y ax EMBED Equation.3 )5(>a 的两个焦点为1F 、2F ,且8||21=F F ，弦AB 过点1F ,则△2ABF 的周长为( )A ．10B ．20C ．241D ．4144。

.双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）A 。

14422=-x y B.14422=-y x C. 18422=-x y D.14822=-y x5。

椭圆2225922=+y x 上一点P 到右准线的距离为25，则P到左焦点的距离为( ) A 。

8 B 。

825 C 。

29D.3166。

已知P 是抛物线x y 42=上一动点，则点P 到直线032:=+-y x l 和y 轴的距离之和的最小值是（ )A.3 B 。

5 C.2D.15-7。

若实数x 、y 满足： 22916144x y +=，则10x y ++的取值范围是（ )A. [5， 15] B 。

[10， 15] C. [15-， 10] D. [15-，35]8.双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点分别为A F F ,21、是双曲线渐近线上的一点，212F F AF ⊥， 原点O 到直线1AF 的距离为131OF , 则渐近线的斜率为( ) A.5-5或 B.2-2或 C 。

1-1或 D 。

2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1. 已知命题:p 0x ∀≤，1xe ≤，则p ⌝为（ ）A. 000,1xx e ∃≤≤ B. 000,1x x e ∃≤> C. 000,1x x e ∃>≤ D. 000,1x x e ∃>>2. sin 2x 的导函数为（ ） A. cos 2x B. 2cos 2x C. sin 4x D. cos 4x3.函数21()ln 2f x x x =-的单调递增区间为（ ） A. (0,)+∞B. [1,0)[1,)-+∞ C. [1,)+∞D.[1,0)-和[1,)+∞4. 在极坐标系中，极点关于直线cos sin 10ρθρθ-+=对称的点的极坐标为（ ）A. 3)4πB. 3)4π-C. )4πD. )4π-5. 设P 为曲线2:2C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为30[44πππ⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦，，），则点P 横坐标的取值范围为（ ） A. 1[,0]2-B. [1,0]-C. [0,1]D. 1[,1]26. 设命题p ：a R ∃∈，直线210x y +-=与直线10x ay ++=垂直，命题q ：若0()0f x ¢=，则0x 是函数()f x 的极值点.则下列命题为真命题的是（ ） A. q p ∧B. ()p q ⌝∨C. )(q p ⌝∧D. )()(q p ⌝∧⌝7. 若关于x 的方程x b +=b 的取值范围是（ ）A. (-B. (1,1)-C.D.8. 对任意正实数x ，不等式ln 1x x a -+>恒成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a <B. 2a <C. 1a >D. 3a <9. 设,,A B C 是抛物线24y x =上的三点，若ABC ∆的重心恰好是该抛物线的焦点F ，则FA FB FC ++=（ ）A. 2B. 4C. 6D. 810.点P 是曲线x y e x =+上的点，Q 是直线21y x =-上的点，则||PQ 的最小值为（ ）D. 11. 已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A. (1,2)B. (1,2]C. [2,)+∞D. (2,)+∞12. 若函数()(2)ln x f x a x e x x =-+-存在唯一的极值点，且此极值小于0，则实数a 的取值范围为（ ） A. 2211(,)e e - B. 11(,)e e- C. 21(,0]e -D. 1(,0]e-二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. “若220x y +=，则x ，y 全为零”的否命题是________________________； 14. 若函数()24ln b f x ax x x =-+在1x =与13x =处都取得极值，则a b +=________； 15. 若函数32()3f x x tx x =-+在区间[1,4]上单调递减，则实数t 的取值范围是________； 16. 设过曲线()xf x e x =+上任意一点处的切线为1l ，总存在过曲线()cosg x ax x =+上一点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17． （本小题满分10分）给定两个命题,p ：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立；q ：关于x 的方程02=+-a x x 有实数根；如果命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，求实数a 的取值范围．18．（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=+，直线l的参数方程为1x t y =⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)，直线l 和圆C 交于A ，B 两点，P 是圆C 上不同于A ，B 的任意一点．(I)求圆心C 的极坐标； (II)求△PAB 面积的最大值．19．（本小题满分12分）双曲线22122:1x y C a b-=（00a b >>，）的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线22:2C y px =(0)p >的准线过1F 且与双曲线1C 的实轴垂直，若抛物线2C 上的任意一点到2F 的距离比它到y 轴的距离大3，过2F 的直线与双曲线1C 的右支相交于A 、B 两点，若弦长||AB 等于抛物线2C 的通径长的2倍，且1ABF ∆的周长为56，求双曲线1C 和抛物线2C 的方程.20．（本小题满分12分）已知函数()2ln f x ax bx x =+-（,a b ∈R ）．（I ）当1,3a b =-=时，求函数()f x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值；（II ）当0a =时，是否存在正实数b ，当(]0,e x ∈（e 是自然对数底数）时，函数()f x 的最小值是3，若存在，求出b 的值；若不存在，说明理由；21．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b += >>其左、右焦点分别为1F 、2F ，P 为椭圆C 上的动点，且12||||PF PF ⋅的最大值为16．（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设A 、B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，当P 在第一象限时，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ∆与PAB ∆面积之差是否为定值？说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数()1ln (2)(1),f x a x a a x=+-+∈R . (Ⅰ)试求函数()f x 的单调区间；(Ⅱ)若不等式()(ln )x f x a x e ≥-对任意的(0,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.高二数学（理）参考答案一、选择题 BBCAB CDACB CD 二、填空题13. “若220x y +≠，则x ，y 不全为零”； 14.52-15.51[,)8+∞ 16. [1,0]- 三、解答题17．解：对任意实数x 都有012>++ax ax 恒成立⎩⎨⎧<∆>=⇔00a a 或40<≤⇔a ； 关于x 的方程02=+-a x x 有实数根41041≤⇔≥-⇔a a ；........................4分 因为命题“p 且q ”为假命题，“p 或q ”为真命题，则命题p 和q 一真一假。

2017—2018学年度上学期第三次月考高二数学（理）试卷一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题只有一个选项符合题意．）1. 已知命题p:x 0，e x 1，则p为（）A. 0B.C.D.x e 00,100,1x ex x x00,1x e0000,1x ex2. sin2x的导函数为（）A. cos2xB. 2cos2xC. sin4xD. cos4x3.函数()12ln的单调递增区间为（）f xxx2A.(0,) B. [1,0)[1,) C. [1,) D. [1,0)和[1,)4. 在极坐标系中，极点关于直线cossin10对称的点的极坐标为（）33A. B. C. D.(2,)(2,)(2,)444(2,)45. 设P为曲线C:y x2x 2上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为30，[，），则点P横坐标的取值范围为（）44A. B. C. D.[,0]1[1,0][0,1][1,1]226. 设命题p：a R，直线2x y 10与直线x ay 10垂直，命题q：若f¢x=，()0则是函数的极值点.则下列命题为真命题的是（）x f(x)A. p qB. (p)qC. p (q)D. (p)(q)7. 若关于x的方程x+b=1-x2有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是（）A. (-2,2)B. (-1,1)C. [1,2]D. [1,2)8. 对任意正实数x，不等式x-ln x+1>a恒成立的一个充分不必要条件是（）A. a<1B. a<2C. a>1D. a<39. 设A,B,C是抛物线y24x上的三点，若ABC的重心恰好是该抛物线的焦点F，则- 1 -FA FB FC（）A. 2B. 4C. 6D. 810.点P是曲线y e x x上的点，Q是直线y2x1上的点，则|PQ|的最小值为（）525A. B. C. D.52555x y2211. 已知双曲线（，）的右焦点为，若过点且倾斜角为的直221a0b0F F60a b线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（）A. (1,2)B. (1,2]C. [2,)D. (2,)12.若函数f(x)a(x2)e x ln x x存在唯一的极值点，且此极值小于 0，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.(,)(,0]11(1,1)1(1,0]e e e e e e222二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. “若x2y20，则x，y全为零”的否命题是________________________；14. 若函数f(x)2ax4ln x在与x处都取得极值，则a b________；b x11x315. 若函数f(x)x3tx23x在区间[1,4]上单调递减，则实数t的取值范围是________；16.设过曲线f(x)e x x上任意一点处的切线为l，总存在过曲线g(x)ax cos x上一点1处的切线，使得，则实数的取值范围是______．l l l a212三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 10分）给定两个命题, p：对任意实数x都有ax2ax10恒成立；q：关于x的方程x2x a0p q p q a 有实数根；如果命题“且”为假命题，“或”为真命题，求实数的取值范围．- 2 -18．（本小题满分 12分）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程x t为2 2 cos( ) ，直线 的参数方程为( 为参数)，直线 和圆 C 交于l t l4y 1 2 2tA ，B 两点，P 是圆C 上不同于 A ，B 的任意一点．(I)求圆心 C 的极坐标； (II)求△PAB 面积的最大值．19．（本小题满分 12分）xy22双 曲 线 （ ） 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 、 ， 抛 物 线C 1 :221 a 0，bFF12abC 2 : y 2px ( p0)2的准线过 且与双曲线 的实轴垂直，若抛物线 上的任意一点到F C C112Fy FCA B的距离比它到 轴的距离大 3，过的直线与双曲线的右支相交于 、 两点，若弦长2 2 1|AB|等于抛物线的通径长的 2倍，且的周长为 56，求双曲线和抛物线的方C ABF C C2112程.- 3 -20．（本小题满分 12分）f x ax2bx ln xa,b R 已知函数（）．（I）当a1,b3时，求函数f x在1,2上的最大值和最小值；2（II）当a0时，是否存在正实数b，当x0,e（e是自然对数底数）时，函数f(x)的最小值是 3，若存在，求出b的值；若不存在，说明理由；- 4 -21．（本小题满分 12分）x y322已知椭圆的离心率为，其左、右焦点分别为、，C:1(a b0)F F P 2212a b2为椭圆C上的动点，且|PF||PF|的最大值为 16．12（I）求椭圆C的方程；（II）设A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，当P在第一象限时，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问PMN与PAB面积之差是否为定值？说明理由．- 5 -22．（本小题满分 12分）1已知函数f x a ln x(2)(a1),a R.x(Ⅰ)试求函数f x的单调区间；(Ⅱ)若不等式f(x)a(ln x e x)对任意的x(0,)恒成立，求实数a的取值范围.- 6 -高二数学（理）参考答案一、选择题BBCAB CDACB CD二、填空题13. “若x2y20，则x，y不全为零”；[51,)5[1,0] 14. 15. 16.28三、解答题a017．解：对任意实数x都有ax2ax10恒成立a或0a4；1关于x的方程x2x a0有实数根14a0a；……………………4分4因为命题“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，则命题p和q一真一假。

2017-2018上学年期中卷高二数学（理）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340x -=的倾斜角是（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01502.已知方程22220x y x y a +-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞3.椭圆2212x y +=的离心率是（ ）A ．14 B C ．12 D 4.直线l 过点(1,0)且与直线240x y -+=平行，则l 的方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+= C. 220x y +-= D ．210x y +-=5.圆22:4210A x y x y ++++=与圆2:2610B x y x y +--+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C.外切 D ．内含6.直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．重合 C. 相交但不垂直 D ．垂直 7.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．8 C. D ．8.方程221x y +=（0xy <）的曲线形状是（ ）9.设斜率为2的直线l过抛物线2y ax=（0a≠）的焦点F，且和y轴交于点A，若O A F∆（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．24y x=±B．28y x=± C. 24y x=D．28y x=10.过圆221x y+=上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于,A B两点，则AB的最小值为（）ABC.2 D．311.若曲线22141x yk k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[4,1)-B．(,4)(1,)-∞-+∞C. (4,1)-D．(,4][1,)-∞+∞12.直线1:2l y x=与直线2:0l ax by c++=（0abc≠）相互垂直，当,,a b c成等差数列时，直线12,l l与y轴围成的三角形的面积S=（）A．920B．910C.95D．23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆221:230C x y x+--=，圆222:4230C x y x y+-++=的公共弦方程是．14.点(2,1)M关于直线10x y++=的对称点的坐标是．15.实数,x y满足条件241x yx yy+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则35x y+的最大值为．16.已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若123PF PF =，则双曲线的离心率为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知ABC ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求： （1）AC 边上的高BD 所在直线的方程； （2）BC 的垂直平分线EF 所在直线的方程； （3）AB 边的中线的方程.18. 已知圆C 过(2,6)P ，(2,2)Q -两点，且圆心C 在直线30x y +=上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点(0,5)P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程.19. 已知双曲线221916x y -=. （1）求焦点12,F F 的坐标；并求出焦点2F 到渐的线的距离；（2）若P 为双曲线上的点且01230F PF ∠=，求12F PF ∆的面积S . 20. 已知椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>），若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2ax c=的距离等于短半轴的长，已知(4,0)P ，过P 的直线与椭圆交于,M N 两点. （1）求椭圆C 的方程；（2）求OM ON ∙的取值范围.21. 已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y +=相外切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程； （2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以MN 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22.已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O为原点，OA a =，OB b =，（2,2a b >>）. （1）求证:：I 与C 相切的条件是：(2)(2)2a b --=. （2）求线段AB 中点的轨迹方程； （3）求三角形AOB 面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10: DBCBC 11、12：CA 二、填空题13. 30x y --= 14. (2,3)-- 15. 1216. 三、解答题故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x ≤0） 18.解：（1）设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，根据题意有2602283022D E F D E F D E ⎧⎪++=⎪-++=-⎨⎪⎪--=⎩，计算得出41224D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 故所求圆的方程为22412240x y x y ++-+=.（2）如图所示，AB =，设D 是线段AB 的中点，则CD AB ⊥，∴AD =4AC =. 在Rt ACD ∆中，可得2CD =. 当直线l 的斜率不存在时，满足题意， 此时方程为0x =.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：5y kx -=， 即50kx y -+=，由点C 到直线AB 的距离公式：2=，得34k =，此时直线l 的方程为34200x y -+=. ∴所求直线l 的方程为0x =或34200x y -+=19. 解:(1)根据题意得:,,,焦点,的坐标:,;焦点到渐近线:的距离:; (2)设,由题知:由(1)(2)得所以所以.20.解：由题意椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2ax c=的距离等于短半轴的长，已知点(4,0)P，知22a c a c bc⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程22142x y +=. （2）由题意知直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=①设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222(16)4(21)(324)16960k k k k ∆=--+-=-> 21222122162132421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221212212(4)(4)21k y y k x x k =--=+212122244426222121k OM ON x x y y k k -∙=+==-++ ∵2106k ≤<即5[4,)2OM ON ∙∈- .21.（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则2()O M x m =+-，化简得222(2)(2)y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线MN 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得2232(2)(2)0x m x m ----=显然216(2)0m ∆=->.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12(2)x x m +=-， 221)2(m x x --=， 而1212123y y x x x x =∙=若以MN 为直径的圆过点A ，则AM AN ⊥， ∴1AM AN k k ∙=-由此得212124()0x x m x x m -++=∴22(2)(2)0m m m m ---∙-+=，即212160m m +-=. 解得162m =--，262m =-+（舍）.故当62m =--时，以MN 为直径的圆恰好过点A 22. (1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。

2018-2019学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）直线的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．（5分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．3．（5分）直线x=2被圆（x﹣a）2+y2=4所截弦长等于，则a的值为（）A．﹣1或﹣3 B．或C．1或3 D．4．（5分）已知平面a和直线l，则a内至少有一条直线与l（）A．平行B．相交C．垂直D．异面5．（5分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CC1的中点，则AE、BF所成的角的余弦值是（）A．B．C．D．6．（5分）若实数x，y满足则z=3x+2y的最小值是（）A．0 B．1 C．D．97．（5分）P为△ABC所在平面外一点，PB=PC，P在平面ABC上的射影必在△ABC的（）A．BC边的垂直平分线上B．BC边的高线上C．BC边的中线上D．∠BAC的角平分线上8．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为对角线BD1的三等分点，P到各顶点的距离的不同取值有（）A．3个 B．4个 C．5个 D．6个9．（5分）已知集合．用card（M）表示集合M中的元素个数，若card（A∩B）=2，则m的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．πa2B．C．D．5πa211．（5分）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）．有下列四个结论，其中错误的代号是（）A．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点PC．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点PD．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半12．（5分）已知P是直线y=x+1上一点，M，N分别是圆C1：（x﹣3）2+（y+3）2=1与圆C2：（x+4）2+（y﹣4）2=1上的点则|PM|﹣|PN|的最大值为（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（每小题5分，共20分）。

2018学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．22．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=2，则a的值为（）A．8 B．﹣8 C．D．3．（5分）抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点恰好与椭圆+=1的一个焦点重合，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．84．（5分）双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．86．（5分）能够使得圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（）A．2 B．C．3 D．7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．8．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m9．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个10．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．1011．（5分）若实数x，y满足x2+4y2=4，则的最大值为（）A．B．C．D．12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是．14．（5分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0），AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M （2，1）是弦AB的中点，则椭圆E的离心率为．15．（5分）已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是直线l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若=﹣3，则|AB|=．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．18．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．19．（12分）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．22．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B 两点，点A在x轴上方，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）当AF1、F1F2、AF2成等比数列时，求直线AB的方程；（3）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4 相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．2018学年江西省南昌三中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，则a=（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：直线l1：x+ay﹣2a﹣2=0，l2：ax+y﹣1=0，若l1∥l2，若a=0，则l1：x﹣2=0，l2：y﹣1=0，两直线垂直；若a≠0，则=≠，解得a=1或﹣1．故选：C．2．（5分）抛物线x2=ay的准线方程为y=2，则a的值为（）A．8 B．﹣8 C．D．【解答】解：抛物线x2=ay的标准方程是x2=2×y，则其准线方程为=2，所以a=﹣8．故选：B．3．（5分）抛物线y2=﹣2px（p＞0）的焦点恰好与椭圆+=1的一个焦点重合，则p=（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：椭圆+=1的左焦点为（﹣2，0），∵抛物线y2=﹣2px的焦点与椭圆+=1的左焦点重合，∴=2，∴p=4，故选：C．4．（5分）双曲线﹣=1（mn≠0）的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为（1，0），则双曲线的焦距为2，则有解得m=，n=∴mn=故选：A．5．（5分）已知变量x，y，满足约束条件，目标函数z=x+2y的最大值为10，则实数a的值为（）A．2 B．C．4 D．8【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y得y=x+，平移直线y=x+，由图象可知当直线y=x+经过点A时，直线y=x+的截距最大，此时z最大为10，由，解得，即A（4，3），同时A也在直线x=a上，∴a=4，故选：C．6．（5分）能够使得圆x2+y2﹣2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的一个值为（）A．2 B．C．3 D．【解答】解：圆的方程可化为：（x﹣1）2+（y+2）2=4，所以圆心M（1，﹣2），半径r=2，结合图形容易知道，当且仅当M到直线l：2x+y+c=0的距离d∈（1，3）时，⊙M上恰有两个点到直线l的距离等于1，由d=∈（1，3）得：，而＜3＜3，所以满足题意的c 可以是3．故选：C．7．（5分）已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y2=24x的准线上，则双曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：因为抛物线y2=24x的准线方程为x=﹣6，则由题意知，点F（﹣6，0）是双曲线的左焦点，所以a2+b2=c2=36，又双曲线的一条渐近线方程是y=x，所以，解得a2=9，b2=27，所以双曲线的方程为．故选：B．8．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3 C．m D．3m【解答】解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C的一条渐近线的距离为=．故选：A．9．（5分）直线y=x+3与曲线的交点个数为（）A．4个 B．1个 C．2个 D．3个【解答】解：当x＞0时，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，5x=24，所以当x＞0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为1个．当x≤0，曲线方程化为，把直线y=x+3代入得，13x2+24x=0，所以当x≤0时，直线y=x+3与曲线的交点个数为2个．所以，直线y=x+3与曲线的交点个数共3个．故选：D．10．（5分）已知F是双曲线﹣=1的左焦点，A（1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|+|PA|的最小值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：∵F是双曲线﹣=1的左焦点，∴a=2，b=2，c=4，F（﹣4，0 ），右焦点为H（4，0），由双曲线的定义可得|PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+=4+5=9，故选：C．11．（5分）若实数x，y满足x2+4y2=4，则的最大值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵实数x，y满足x2+4y2=4，∴设x=2cosθ，y=sinθ，则====，∴当θ=时，取最大值为．故选：C．12．（5分）已知F1、F2分别是双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线与双曲线C的左、右两支分别交于P、Q两点，|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，且∠F1PF2=120°，则双曲线C的离心率是（）A．B．C．D．【解答】解：设|F1P|=m，由双曲线的定义可得|F2P|=|F1P|+2a=m+2a，由|F1P|、|F2P|、|F1Q|成等差数列，可得2|F2P|=|F1P|+|F1Q|，即有|F1Q|=2（2a+m）﹣m=4a+m，可得|PQ|=4a，由双曲线的定义，可得|F2Q|=|F1Q|﹣2a=m+2a，由∠F1PF2=120°，可得∠QPF2=60°，即有△QPF2为等边三角形，可得m+2a=4a，解得m=2a，在△F1PF2中，由余弦定理可得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2﹣2|PF1|•|PF2|cos120°，即为4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•（﹣），即有4c2=28a2，即c=a，可得e==．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，则动点P的轨迹方程是y2=16x．【解答】解：∵点P到点F（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少1，∴点P到直线x=﹣4的距离和它到点（4，0）的距离相等．根据抛物线的定义可得点P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线x=﹣4为准线的抛物线，∴p=8，∴P的轨迹方程为y2=16x．故答案为：y2=16x．14．（5分）已知椭圆E的方程为（a＞b＞0），AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M（2，1）是弦AB的中点，则椭圆E的离心率为．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵AB是它的一条倾斜角为135°的弦，且M（2，1）是弦AB的中点，∴两式相减可得=0，∴a=b，∴c=b，∴e==．故答案为：．15．（5分）已知抛物线C：y2=﹣8x的焦点为F，直线l：x=1，点A是直线l上的一动点，直线AF与抛物线C的一个交点为B，若=﹣3，则|AB|=20．【解答】解：由抛物线C：y2=﹣8x，可得F（﹣2，0），设A（1，a），B（m，n），且n2=﹣8m，∵=﹣3，∴1+2=﹣3（m+2），∴m=﹣3，∴n=±2，∵a=﹣3n，∴a=±6，∴|AB|===20．故答案为：20．16．（5分）已知椭圆=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则该椭圆离心率e的取值范围为．【解答】解：椭圆=1（a＞b＞0）焦点在x轴上，椭圆上点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，设左焦点为F1，连接AF，AF1，BF，BF1，∴四边形AFF1B为长方形．根据椭圆的定义：|AF|+|AF1|=2a，∠ABF=α，则：∠AF1F=α．∴2a=2ccosα+2csinα椭圆的离心率e===，α∈[，]，∴≤α+≤，则：≤sin（α+）≤1，∴≤≤﹣1，∴椭圆离心率e的取值范围：，故答案为：．三、解答题（共6小题，共70分）17．（10分）已知点A（1，3），B（3，1），点C是直线l1：3x﹣2y+3=0和直线l2：2x﹣y+2=0的交点．（1）求l1与l2的交点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）联立方程组，解得∴l1与l2的交点C的坐标为（﹣1，0）；（2）设AB上的高为h，则，由距离公式可得，AB边上的高h就是点C到AB的距离．AB边所在直线方程为，即x+y﹣4=0，点C到x+y﹣4=0的距离为，∴18．（12分）已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0．（1）若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；（2）从圆C外一点P（x，y）向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求点P的轨迹方程．【解答】解：（1）将圆C配方得（x+1）2+（y﹣2）2=2．由题意知直线在两坐标轴上的截距不为零，设直线方程为x+y﹣a=0，由=，得|a﹣1|=2，即a=﹣1，或a=3．∴直线方程为x+y+1=0，或x+y﹣3=0；…（6分）（2）由于|PC|2=|PM|2+|CM|2=|PM|2+r2，∴|PM|2=|PC|2﹣r2．又∵|PM|=|PO|，∴|PC|2﹣r2=|PO|2，∴（x+1）2+（y﹣2）2﹣2=x2+y2．∴2x﹣4y+3=0即为所求．…（12分）19．（12分）已知抛物线E：x2=2py（p＞0），直线y=kx+2与E交于A、B两点，且•=2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为（0，﹣2），记直线CA、CB的斜率分别为k1，k2，证明：k12+k22﹣2k2为定值．【解答】（1）解：将y=kx+2代入x2=2py，得x2﹣2pkx﹣4p=0，其中△=4p2k2+16p＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2pk，x1x2=﹣4p，∴===﹣4p+4，由已知，﹣4p+4=2，解得p=，∴抛物线E的方程为x2=y．（2）证明：由（1）知x1+x2=k，x1x2=﹣2，===x1﹣x2，同理k2=x2﹣x1，∴=2（x1﹣x2）2﹣2（x1+x2）2=﹣8x1x2=16．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x 轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．21．（12分）设A、B分别为双曲线的左右顶点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．（1）求双曲线的方程；（2）已知直线与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使，求t的值及点D的坐标．【解答】解：（1）由实轴长为，得，渐近线方程为x，即bx﹣2y=0，∵焦点到渐近线的距离为，∴，又c2=b2+a2，∴b2=3，∴双曲线方程为：；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），D（x0，y0），则x1+x2=tx0，y1+y2=ty0，由，∴y1+y2=﹣4=12，∴，解得，∴t=4，∴，t=4．22．（12分）如图，椭圆E：=1（a＞b＞0）的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e=．过F1的直线交椭圆于A、B 两点，点A在x轴上方，且△ABF2的周长为8．（1）求椭圆E 的方程；（2）当AF1、F1F2、AF2成等比数列时，求直线AB的方程；（3）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4 相交于点Q．试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【解答】（15分）解：（1）因为|AB|+|AF2|+|BF2|=8，即|AF1|+|F1B|+|AF2|+|BF2|=8而|AF1|+|AF2|=|F1B|+|BF2|=2a，∴4a=8，解得a=2，而e=，∴c=，∴b2=a2﹣c2=3．所求椭圆方程为（2）∵AF1、F1F2、AF2成等比数列，∴AF1•AF2=4，又AF1+AF2=4，∴AF1=AF2=2，△AF1F2是等边三角形∴直线AB 的倾斜角为或，∴直线AB 的方程为x﹣y+=0或x+y+=0．（3）由，得94k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，即4k2﹣m2+3=0，∴，由．得Q（4，4k+m），设存在M（x1，0），则由可得∴，由于对任意m，k 恒成立，联立解得x1=1．故存在定点M（1，0），符合题意．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC⊥BD于P，设⊙O的半径是2。

2017-2018上学年期中卷高二数学（理） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线340x +-=的倾斜角是（ ）A ．030 B ．060 C ．0120 D ．01502.已知方程22220x y x y a +-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．(2,)-+∞ C ．(,2)-∞ D ．(,1)-∞3.椭圆2212xy+=的离心率是（ ）A ．14B ．2C ．12D 24.直线l 过点(1,0)且与直线240x y -+=平行，则l 的方程是（ ）A ．210x y --=B ．210x y -+= C. 220x y +-= D ．210x y +-=5.圆22:4210A x y x y ++++=与圆2:2610B x y x y +--+=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．内切 C.外切 D ．内含6.直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则1l 与2l 的位置关系是（ ） A ．平行 B ．重合 C. 相交但不垂直 D ．垂直 7.直线40x y -+=被圆224460x y x y ++-+=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．8 C. ．8.方程221x y +=（0x y <）的曲线形状是（ ）9.设斜率为2的直线l过抛物线2y a x=（0a≠）的焦点F，且和y轴交于点A，若OAF∆（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（）A．24y x=± B．28y x=± C. 24y x= D．28y x=10.过圆221x y+=上一点作切线与x轴，y轴的正半轴交于,A B两点，则A B的最小值为（）AC.2 D．311.若曲线22141x yk k+=+-表示双曲线，则k的取值范围是（）A．[4,1)- B．(,4)(1,)-∞-+∞ C. (4,1)- D．(,4][1,)-∞+∞12.直线1:2l y x=与直线2:0l a x b y c++=（0a b c≠）相互垂直，当,,a b c成等差数列时，直线12,l l与y轴围成的三角形的面积S=（）A．920B．910C.95D．23第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.圆221:230C x y x+--=，圆222:4230C x y x y+-++=的公共弦方程是．14.点(2,1)M关于直线10x y++=的对称点的坐标是．15.实数,x y满足条件241x yx yy+≤⎧⎪+≥⎨⎪≥⎩，则35x y+的最大值为．16.已知12,F F分别为双曲线22221x ya b-=（0,0a b>>）的左、右焦点，过2F与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P，若123P F P F=，则双曲线的离心率为．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知A B C ∆的三个顶点(4,6)A -，(4,0)B -，(1,4)C -，求： （1）A C 边上的高B D 所在直线的方程； （2）B C 的垂直平分线E F 所在直线的方程； （3）A B 边的中线的方程.18. 已知圆C 过(2,6)P ，(2,2)Q -两点，且圆心C 在直线30x y +=上. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 过点(0,5)P 且被圆C 截得的线段长为l 的方程.19. 已知双曲线221916xy-=.（1）求焦点12,F F 的坐标；并求出焦点2F 到渐的线的距离；（2）若P 为双曲线上的点且01230F P F ∠=，求12F P F ∆的面积S .20. 已知椭圆2222:1x y C ab+=（0a b >>），若椭圆C 上的一动点到右焦点的最短距离为2-a x c=的距离等于短半轴的长，已知(4,0)P ，过P 的直线与椭圆交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程； （2）求O M O N ∙的取值范围.21. 已知直线:l x m =（2m <-）与x 轴交于A 点，动圆M 与直线l 相切，并且与圆22:4O x y+=相外切.（1）求动圆的圆心M 的轨迹C 的方程； （2）若过原点且倾斜角为3π的直线与曲线C 交于,M N 两点，问是否存在以M N 为直径的圆经过点A ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.22.已知与曲线22:2210C x y x y +--+=相切的直线I ，与x 轴，y 轴交于,A B 两点，O 为原点，O A a =，O B b =，（2,2a b >>）.（1）求证:：I与C相切的条件是：(2)(2)2--=.a b（2）求线段A B中点的轨迹方程；（3）求三角形A O B面积的最小值.试卷答案一、选择题1-5:CCBAC 6-10: DBCBC 11、12：CA 二、填空题13. 30x y --= 14. (2,3)--三、解答题故所求的直线方程为：7x+y+3=0（-1≤x ≤0） 18.解：（1）设圆的方程为220x y D x E y F ++++=，根据题意有2602283022D E F D E F D E ⎧⎪++=⎪-++=-⎨⎪⎪--=⎩，计算得出41224D E F =⎧⎪=-⎨⎪=⎩， 故所求圆的方程为22412240x y x y ++-+=.（2）如图所示，A B =D 是线段A B 的中点， 则C D A B ⊥，∴A D =4A C =. 在R t A C D ∆中，可得2C D =. 当直线l 的斜率不存在时，满足题意， 此时方程为0x =.当直线l 的斜率存在时，设所求直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为：5y k x -=， 即50kx y -+=，由点C 到直线A B 的距离公式：2=，得34k =，此时直线l 的方程为34200x y -+=.∴所求直线l 的方程为0x =或34200x y -+=19. 解:(1)根据题意得:,,,焦点,的坐标:,;焦点到渐近线:的距离:;(2)设,由题知:由(1)(2)得所以所以 .20.解：由题意椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2-a x c=的距离等于短半轴的长，已知点(4,0)P，知22a c a c b c⎧-=-⎪⎨-=⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程22142xy+=.（2）由题意知直线M N 的斜率存在，设直线M N 的方程为(4)y k x =-.由22(4)142y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(21)163240k x k x k +-+-=①设点11(,)M x y ，22(,)N x y ，22222(16)4(21)(324)16960k kkk∆=--+-=->21222122162132421k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩221212212(4)(4)21k y y k x x k =--=+212122244426222121k O M O N x x y y kk-∙=+==-++∵2106k ≤<即5[4,)2O M O N ∙∈-.21.（1）设动圆圆心为(,)M x y ，则2()O M x m =+-，化简得222(2)(2)y m x m =-+-（2m <-），这就是动圆圆心的轨迹C 的方程.（2）直线M N 的方程为y x =，代入曲线C 的方程得2232(2)(2)0x m x m ----= 显然216(2)0m ∆=->.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则12(2)x x m +=-， 221)2(m x x --=，而1212123y y x x x x =∙=若以M N 为直径的圆过点A ，则A M A N ⊥， ∴1A M A N k k ∙=-由此得212124()0x x m x x m -++=∴22(2)(2)0m m m m ---∙-+=，即212160m m +-=.解得162m =--，262m =-+（舍）.故当62m =--时，以M N 为直径的圆恰好过点A 22. (1)圆的圆心为，半径为1.可以看作是的内切圆。

江西省南昌市第三中学2017-2018学年度上学期高二期末考试数学(理)试题一、单选题(★★) 1 . 已知命题 p：，则( )A．：B．：C．：D．：(★★★) 2 . 已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中：①若，则;②若，则③若，则;④若，则所有正确说法的序号( )A．②③④B．①③C．①②D．①③④(★) 3 . 命题“若，则（）”与它的逆命题、否命题，逆否命题中，真命题的个数为（）A．3B．2C．1D．0(★) 4 . 若曲线 C的参数方程为(参数)，则曲线C( )A．表示直线B．表示线段C．表示圆D．表示半个圆(★)5 . “ k＜0”是“方程表示双曲线”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(★★★) 6 . 在边长为1的菱形 ABCD中，∠ ABC＝60°，将菱形沿对角线 AC折起，使折起后 BD ＝1，则二面角 B－ AC－ D的余弦值为()A．B．C．D．(★★★) 7 . 在我国古代数学名著九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑 ABCD中，平面 BCD，且，则异面直线 AC与 BD所成角的余弦值为( )A．B．C．D．(★★★) 8 . 如图，在正三棱柱中，点 M为侧棱上一动点，已知面积的最大值是，二面角的最大值是，则该三棱柱的体积等于( )A．B．C．D．(★★★★★) 9 . 如图，在单位正方体中，点 P在线段上运动，给出以下四个命题：异面直线与间的距离为定值；三棱锥的体积为定值；异面直线与直线所成的角为定值；二面角的大小为定值．其中真命题有( )A．1个B．2个C．3个D．4个(★★★) 10 . 正方体棱长为6，点在棱上，且，过点的直线与直线，分别交于，两点，则（）A．B．C．D．(★★★★★) 11 . 点P是双曲线左支上的一点，其右焦点为，若为线段的中点, 且到坐标原点的距离为，则双曲线的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★★★) 12 . 某几何体的正视图为等腰三角形，俯视图为等腰梯形，三视图如图所示，该几何体外接球的表面积是()．A．B．C．D．二、填空题(★★) 13 . 若,则_____ (用适当的逻辑联结词“且”“或”“非”)(★) 14 . 过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点，若，则=______(★★★) 15 . 已知曲线 C：( 为参数)，与直线：(t为参数)，交于两点，则___________．(★★★★★) 16 . 棱长为2的正方体ABCD－A 1B 1C 1D 1中，E为棱CC 1的中点，点P，Q分别为面A 1B 1C 1D 1和线段B 1C上的动点，则△PEQ周长的最小值为________．三、解答题(★★★) 17 . 在直角坐标系 xoy中，直线 l的参数方程为(t为参数)在极坐标系与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以 x轴正半轴为极轴中，曲线C的方程为．(Ⅰ)求曲线 C的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线 C与直线 l交于点 A、 B，若点 P的坐标为(1,1)，求的值．(★) 18 . 已知命题 p：方程表示焦点在 y轴上的椭圆；命题 q：，.若为真，求 m的取值范围．(★★★) 19 . 如图，在长方体ABCD—A 1B 1C 1D 1中，AD＝AA 1＝1，AB＝2，点E在棱AB上．（Ⅰ）求异面直线D 1E与A 1D所成的角；（Ⅱ）若平面D 1EC与平面ECD的夹角大小为45°，求点B到平面D 1EC的距离．(★★★) 20 . 在棱长为 a的正方体中， M、 N分别为的中点．求 B到平面 AMN的距离；求二面角的余弦值．(★★★) 21 . 已知双曲线（b＞a＞0），O为坐标原点，离心率，点在双曲线上.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于P、Q两点，且.求|OP| 2+|OQ| 2的最小值.(★★★) 22 . 如图所示，在四棱锥中，底面四边形 ABCD是菱形，是边长为2的等边三角形，, .Ⅰ求证：底面 ABCD；Ⅱ求直线 CP与平面 BDF所成角的大小；Ⅲ在线段 PB上是否存在一点 M，使得平面 BDF？如果存在，求的值，如果不存在，请说明理由．。

2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=23．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣24．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=06．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=17．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．288．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是．16．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．21．（12分）椭圆与直线x +y=2相交于P 、Q 两点，且OP⊥OQ ，其中O 为坐标原点． （Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e 满足，求椭圆长轴长的取值范围． 22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （Ⅱ）求λ的取值范围．2017-2018年江西省南昌二中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（）A．B．C．D．【解答】解：∵P（﹣1，1），∴=，tanθ=﹣1，且θ在第二象限，∴θ=．∴点P（﹣1，1）在极坐标系中的坐标为（，）．故选：A．2．（5分）抛物线x2=﹣4y的准线方程是（）A．x=B．x=1 C．y=1 D．y=2【解答】解：如图，由x2=﹣4y，得2p=4，则p=2，∴，则抛物线线x2=﹣4y的准线方程是y=．故选：C．3．（5分）直线ax+2y﹣1=0与直线2x+ay+2=0平行．则实数a的值为（）A．0 B．2 C．﹣2 D．2或﹣2【解答】解：由a2﹣4=0，解得a=±2，经过验证：a=±2都满足条件．故选：D．4．（5分）圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0与圆C2：x2+y2﹣6x﹣8y=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．相切D．内含【解答】解：圆C1：x2+y2+2x﹣2y﹣2=0化成标准形式是（x+1）2+（y﹣1）2=4，圆心为C1（﹣1，1），半径r1=2；同理可得圆x2+y2﹣6x﹣8y=0的圆心为C2（3，4），半径r2=5；∴两圆的圆心距为|C1C2|==5，∴r2﹣r1＜|C1C2|＜r2+r1，∴两圆的位置关系是相交．故选：B．5．（5分）以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（）A．x2+y2﹣4x+3=0 B．x2+y2﹣4y+3=0 C．x2+y2﹣4x﹣3=0 D．x2+y2﹣4﹣3=0【解答】解：根据题意，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），则以抛物线y2=8x的焦点为圆心，半径为1的圆的方程为（x﹣2）2+y2=1，变形可得：x2+y2﹣4x+3=0，故选：A．6．（5分）若双曲线C1以椭圆C2：+=1的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：根据题意，椭圆C2：+=1的焦点坐标为（0，±3），长轴的端点坐标为（0，±5），若双曲线C1以椭圆C2的焦点为顶点，以椭圆C2长轴的端点为焦点，则双曲线C1的焦点为（0，±5），顶点为（0，±3），则双曲线中c=5，a=3，则b2=c2﹣a2=16，则双曲线的方程为：﹣=1，故选：B．7．（5分）椭圆=1上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（）A．20 B．22 C．24 D．28【解答】解：由题意得a=7，b=2，∴c=5，两个焦点F1 （﹣5，0），F2（5，0），设点P（m，n），则由题意得=﹣1，+=1，n2=，n=±，则△PF1F2的面积为×2c×|n|=×10×=24，故选：C．8．（5分）若直线y=x+b与曲线y=2﹣有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（）A．[﹣2，﹣2]B．（﹣2，﹣2]C．（﹣2，2） D．[2，2）【解答】解：曲线方程变形为（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，表示圆心A为（2，2），半径为2的下半圆，根据题意画出图形，如图所示：，当直线y=x+b过B（4，2）时，将B坐标代入直线方程得：2=4+b，即b=﹣2；当直线y=x+b与半圆相切时，圆心A到直线的距离d=r，即=2，即b=2，（舍）或b=﹣2解得：b=﹣2，则直线与曲线有两个公共点时b的范围为：﹣2＜b≤﹣2．故选：B．9．（5分）一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．抛物线【解答】解：设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O（0，0），半径为1；圆x2+y2﹣8x+12=0的圆心为F（4，0），半径为2．依题意得|PF|=2+r|，|PO|=1+r，则|PF|﹣|PO|=（2+r）﹣（1+r）=1＜|FO|，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选：C．10．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（）A．﹣ B．+C．+2 D．2+【解答】解：∵A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，∴A（﹣2，0），B（0，），|AB|==，直线AB的方程为：，即，∵C是该椭圆上的动点，∴设C（2cosθ，），则点C到直线AB的距离：d==，∴当sin（）=1时，d max=，）∴△ABC面积的最大值为（S△ABCmax===．故选：B．11．（5分）已知直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，则下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有（）①y=2x﹣3②y=2x+1③y=﹣2x﹣3④y=﹣2x+3．A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【解答】解：由于直线l：y=2x+3被椭圆截得的弦长为7，根据对称性可得：y=2x﹣3，y=﹣2x﹣3，y=﹣2x+3．满足条件．而直线y=2x+1被椭圆C截得的弦长大于7．综上可得：下列直线中被椭圆C截得的弦长一定为7的有①③④．故选：C．12．（5分）如图，已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线l过F且依次交抛物线及圆（x﹣1）2+y2=于点A，B，C，D四点，则|AB|+4|CD|的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵y2=4x，焦点F（1，0），准线l0：x=﹣1，由圆：（x﹣1）2+y2=圆心（1，0），半径为；由抛物线的定义得：|AF|=x A+1，又∵|AF|=|AB|+，∴|AB|=x A+同理：|CD|=x D+，当AB⊥x轴时，则x D=x A=1，∴|AB|+4|CD|=．当AB的斜率存在且不为0，设AB：y=k（x﹣1）时，代入抛物线方程，得：k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0，∴x A x D=1，x A+x D=，∴|AB|+4|CD|=（x A+）+4（x D+）=+x A+4x D≥+2=．当且仅当x A=4x D，即x A=2，x D=时取等号，综上所述|AB|+4|CD|的最小值为，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上）13．（5分）直线（t为参数）的斜率为﹣．【解答】解：把直线（t为参数）化为普通方程是：=，即y+1=﹣（x﹣1）；所以直线的斜率为：﹣．故答案为：﹣．14．（5分）已知直线x﹣2y+2=0经过椭圆的一个顶点和一个焦点，那么这个椭圆的方程为，离心率为．【解答】解：直线x﹣2y+2=0 与x轴的交点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，1），故椭圆的一个焦点为F（﹣2，0），短轴的一个顶点为F（0，1），故在椭圆中，c=2，b=1，∴a=，故这个椭圆的方程为，故答案为．15．（5分）已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P 到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是2．【解答】解：设抛物线上的一点P的坐标为（a2，2a），则P到直线l2：x=﹣1的距离d2=a2+1；P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离d1=，则d1+d2=+a2+1=，当a=时，P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值为2故答案为216．（5分）已知F1，F2是双曲线的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，O是坐标原点，△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，则双曲线C的离心率是1+．【解答】解：设F2（c，0），△OMF2是以M为顶点的等腰三角形，其面积是，可得M的横坐标为c，则△OMF2为•c•|y M|=，可得y M=±c，将M的坐标（c，±c）代入双曲线的方程可得，﹣=1，由b2=c2﹣a2，e=，可得e2﹣=4，化为e4﹣8e2+4=0，解得e2=4±2，由e＞1，可得e=1+．故答案为：1+．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上一点P（m，1）到焦点的距离为4，求抛物线的标准方程；（Ⅱ）双曲线C：的左、右焦点分别为F1、F2，是双曲线右支上一点，且|MF1|﹣|MF2|=6，求双曲线C的标准方程．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，且点P（m，1）在抛物线上，可设抛物线方程为x2=2py（p＞0），由抛物线的定义可知，P（m，1）到准线的距离为4，所以，解得p=6，所以抛物线的标准方程为x2=12y；（Ⅱ）由双曲线定义及|MF1|﹣|MF2|=6可知2a=6，所以a=3，又因为是双曲线上的点，所以，解得b=4，所以，双曲线C的标准方程为．18．（12分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴）中．圆C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0，圆C与直线l交于A、B两点，P点的直角坐标为（1，1）．（I）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）求|PA|+|PB|的值．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），可得：直线l的普通方程为：x+y=2，即x+y﹣2=0由ρ2﹣6ρcosθ+5=0，得x2+y2﹣6x+5=0，即（x﹣3）2+y2=4；（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得（﹣3）2+（）2=4．即t2﹣3t+1=0，由于△=（﹣3）2﹣4=14＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以t1+t2=3，t1•t2=1，又直线l过点P（1，1），故由上式及t的几何意义得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3．19．（12分）已知抛物线的方程为y2=4x，过点M（2，1）作直线l交抛物线于A、B两点，且M为线段AB的中点．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）求线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），因为A、B在抛物线上，所以有，相减得（y1﹣y2）（y1+y2）=4（x1﹣x2），所以，因为M（2，1）为线段AB的中点，所以x1+x2=4，y1+y2=2，所以k AB=2，又因为直线l过点M（2，1），所以直线l的方程为y﹣1=2（x﹣2），即2x﹣y﹣3=0；（Ⅱ）由得，4x2﹣16x+9=0，所以x1+x2=4，，所以，所以线段AB的长度为．20．（12分）已知圆C的圆心在直线x﹣y﹣1=0上，且与直线4x+3y﹣1=0相切，被直线3x+4y﹣5=0截得的弦长为．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若x，y满足圆C的方程，求x2+y2+4x+4y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设圆C的圆心为（a，a﹣1），半径为R，则有：，解得，所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（6分）（Ⅱ）∵x2+y2+4x+4y=（x+2）2+（y+2）2﹣8，设（x+2）2+（y+2）2=r2（r＞0），则该圆与圆C有公共点，∴r∈[3，7]，则r2﹣8∈[1，41]，从而x2+y2+4x+4y的取值范围为[1，41]．…（12分）21．（12分）椭圆与直线x+y=2相交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若椭圆的离心率e满足，求椭圆长轴长的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由联立得，（a2+b2）x2﹣4a2x+a2（4﹣b2）=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，由OP⊥OQ，得x1x2+y1y2=0，∴x1x2+（2﹣x1）（2﹣x2）=0，化简得x1x2﹣（x1+x2）+2=0，所以，化简得；（Ⅱ）根据题意，，由，得，所以，又由（Ⅰ）知，所以，因此，，解得5≤a 2≤8， 所以，∴，即椭圆的长轴长的取值范围为．22．（12分）如图，椭圆C 1：=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为的F 1、F 2，离心率为；过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M 、N 两点，当|MF |=时，M 点在x 轴上的射影为F 1．连结NO ，MO 并延长分别交C 1于A 、B 两点，连接AB ；△OMN 与△OAB 的面积分别记为S △OMN ，S △OAB ，设λ=．（Ⅰ）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （Ⅱ）求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线定义可得，代入x 2=4by 有，即c 2=7b ﹣4b 2①又得到c2=3b2代入①，解得，所以C1的方程为，C2的方程为x2=4y；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+1，M（x1，y1），N（x2，y2）．由，得到x2﹣4kx﹣4=0，则x1x2=﹣4，设k ON=m，k OM=m'，则，所以，②设直线ON的方程为y=mx（m＞0），由，解得x N=4m，所以，由②可知，用代替m，可得，由，可得，所以，用代替m，可得，所以，，=，（m=1时等号成立）所以λ的取值范围为[2，+∞）．。

2017-2018学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i2．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．1086．由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（）A． B．C．D．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B． C． D．8．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．9．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．510．设M是△ABC内一点，且•=2，∠BAC=30°．定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（P）=（，x，y），则log2x+log2y的最大值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣211．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 12．已知函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a=．14．在矩形ABCD中，AB=3．BC=，=2，点F在边CD上，若=3，则=．15．对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D，满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点，若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则实数a取值范围是．16．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述中正确的的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f （A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．18．某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．20．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC1﹣C的大小：（Ⅲ）设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB1C1，求线段BM的长．21．已知数列{a n}满足a1=，a n=2﹣（n≥2），S n是数列{b n}的前n项和，且有=1+b n．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求证：T n＜1．22．已知二次函数h（x）=ax2+bx+c（其中c＜3），其导函数y=h′（x）的图象如图，f（x）=6lnx+h（x）．（I）求函数f（x）在x=3处的切线斜率；（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，求c的取值范围．2015-2016学年江西省南昌三中高三（上）第四次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A2．已知集合A{x|x2﹣3x+2=0，x∈R }，B={x|0＜x＜5，x∈N }，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】先求出集合A，B由A⊆C⊆B 可得满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，可求【解答】解：由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}，∵A⊆C⊆B，∴满足条件的集合C有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个，故选D．3．已知p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q【考点】复合的真假．【分析】由p，找到x的范围是x∈R，判断p为真．而q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件是假，然后根据复合的判断方法解答．【解答】解：因为p对任意x∈R，总有2x＞0，根据指数函数的性质判断是真；q：“x＞1”不能推出“x＞2”；但是“x＞2”能推出“x＞1”所以：“x＞1”是“x＞2”的必要不充分条件，故q是假；所以p∧￢q为真；故选D；4．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合面面垂直的性质即可得到结论．【解答】解：∵b⊥m，∴当α⊥β，则由面面垂直的性质可得a⊥b成立，若a⊥b，则α⊥β不一定成立，故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选：B．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a6=18﹣a7，则S12=（）A．18 B．54 C．72 D．108【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式求解．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，a6=18﹣a7，∴S12=（a1+a12）=6（a6+a7）=6×18=108．故选：D．6．由直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为（）A． B．C．D．【考点】定积分．【分析】根据图形可以得到直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为第三象限二分之一矩形的面积减去抛物线在第三象限曲边三角形的面积，加上抛物线在第一和第二象限曲边梯形的面积减去直角三角形的面积．【解答】解：如图，由得：或，所以直线y=2x及曲线y=3﹣x2围成的封闭图形的面积为S=﹣﹣=8+=8+（3x﹣）=8+．故选D．7．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（）A．B． C． D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中几何体的三视图中，正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，我们得出这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，得到球的半径，代入球的表面积公式，即可得到答案．【解答】解：由已知中知几何体的正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=故选：A．8．已知O是坐标原点，点A（﹣1，0），若M（x，y）为平面区域上的一个动点，则|的取值范围是（）A．B．C．[1，2]D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】作平面区域，求出向量OA，OM的和，以及模，通过图象观察当M与B重合时，取最小；当M与D重合时，取最大，代入计算即可得到范围．【解答】解：由约束条件，作平面区域如图，∵A（﹣1，0），M（x，y），∴=（﹣1，0）+（x，y）=（x﹣1，y），则|+|=．由图可知，当M与B重合时，取最小，联立，得B（1，1）．∴|+|的最小值是1．当M与D重合时，取最大，代入点（0，2），可得最大为．则取值范围是[1，]．故选A．9．已知函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+1）=f（x﹣1）且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2，则函数y=f（x）﹣log5x的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】函数零点的判定定理．【分析】先根据函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣1）=f（x+1），f（x+2）=f（x），得出f（x）是周期为2的周期性函数，再把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接得结论．【解答】解：∵函数y=f（x）（x∈R）满足f（x﹣1）=f（x+1），∴f（x+2）=f（x），f（x）是周期为2的周期性函数，又x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．根据函数的周期性画出图形，如图，由图可得y=f（x）与y=log5x的图象有4个交点．故选：C．10．设M是△ABC内一点，且•=2，∠BAC=30°．定义f（M）=（m，n，p），其中m，n，p分别是△MBC，△MCA，△MAB的面积．若f（P）=（，x，y），则log2x+log2y的最大值是（）A．﹣5 B．﹣4 C．﹣3 D．﹣2【考点】基本不等式．【分析】由向量的数量积可得||•||=4，从而求出S△ABC=1，进而可得x+y=，从而利用基本不等式求最大值．【解答】解：由题意，∵•=||•||•cos30°=2，∴||•||=4，则S△ABC=||•||•sin30°=1又∵S△PBC=，∴S△ABC =S△PAB+S△PAC+S△PBC=x+y+=1，∴x+y=，∴xy≤（）2=（当且仅当x=y=时成立），∴log2x+log2y=log2xy≤log2=﹣4，故选B．11．设函数y=f（x）在（﹣∞，+∞）内有定义．对于给定的正数K，定义函数，取函数f（x）=2﹣x﹣e﹣x．若对任意的x∈（+∞，﹣∞），恒有f k（x）=f（x），则（）A．K的最大值为2 B．K的最小值为2 C．K的最大值为1 D．K的最小值为1 【考点】函数恒成立问题．【分析】根据新定义的函数建立f k（x）与f（x）之间的关系，通过二者相等得出实数k满足的条件，利用导数或者函数函数的单调性求解函数的最值，进而求出k的范围，进一步得出所要的结果．，【解答】解：由题意可得出k≥f（x）最大值由于f′（x）=﹣1+e﹣x，令f′（x）=0，e﹣x=1=e0解出﹣x=0，即x=0，当x＞0时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故当x=0时，f（x）取到最大值f（0）=2﹣1=1．故当k≥1时，恒有f k（x）=f（x）．因此K的最小值是1．故选D．12．已知函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），x∈（0，2013π），则函数f（x）的极大值之和为（）A．B．C．D．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极大值f（2kπ+π）=e2kπ+π，再利用数列的求和方法来求函数f（x）的各极大值之和即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x（sinx﹣cosx），∴f′（x）=（e x）′（sinx﹣cosx）+e x（sinx﹣cosx）′=2e x sinx，∵x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时，f′（x）＞0，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时，f′（x）＜0，∴x∈（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）时f（x）递增，x∈（2kπ+π，2kπ+2π）（k∈Z）时f（x）递减，∴当x=2kπ+π（k∈Z）时，f（x）取极大值，其极大值为f（2kπ+π）=e2kπ+π[sin（2kπ+π）﹣cos（2kπ+π）]=e2kπ+π×（0﹣（﹣1））=e2kπ+π，又x∈（0，2013π），∴函数f（x）的各极大值之和S=eπ+e3π+e5π+…+e2011π═=．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x∈（0，+∞），观察下列各式：x+≥2，x+≥3，x+≥4，…类比得：x+，则a=n n．【考点】类比推理；归纳推理．【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论．【解答】解：当n=1时，a=1，当n=2时，a=2=22，当n=3时，a=27=33，…∴当分母指数取n时，a=n n．故答案为n n．14．在矩形ABCD中，AB=3．BC=，=2，点F在边CD上，若=3，则=﹣4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】通过建立坐标系，利用向量数量积的坐标运算即可得出．【解答】解：如图所示．A（0，0），B（3，0），C．∵，∴E．设F，∴=（3，0），=．∵=3，∴3x+0=3，解得x=1．∴F．∵=，=．则==﹣4．故答案为：﹣4．15．对于任意定义在区间D上的函数f（x），若实数x0∈D，满足f（x0）=x0，则称x0为函数f（x）在D上的一个不动点，若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则实数a取值范围是a＞﹣2．【考点】函数的值．【分析】若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则2x++a=x在x∈（0，+∞）没有实数解，即+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，【解答】解：若f（x）=2x++a在区间（0，+∞）上没有不动点，则2x++a=x在x∈（0，+∞）没有实数解，即+a=0在x∈（0，+∞）没有实数解，分离参数a，得出a=﹣（），由于x∈（0，+∞）时，≥2，所以﹣（）≤﹣2，所以a＞﹣2故答案为：a＞﹣216．设函数f（x）=x|x|+bx+c，给出四个：①c=0时，y=f（x）是奇函数；②b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；③y=f（x）的图象关于（0，c）对称；④方程f（x）=0至多有两个实数根；上述中正确的的序号是①②③．【考点】奇偶函数图象的对称性；根的存在性及根的个数判断．【分析】①c=0，f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣bx=﹣x|x|﹣bx=﹣f（x），由奇函数的定义判断②b=0，c＞0，代入可得f（x）=x|x|+c=，令f（x）=0，通过解方程判断③根据中心对称的条件进行证明是否满足f（2c﹣x）=f（﹣x）④举出反例如c=0，b=﹣2【解答】解：①c=0，f（x）=x|x|+bx，f（﹣x）=﹣x|﹣x|+b（﹣x）=﹣f（x），故①正确②b=0，c＞0，f（x）=x|x|+c=令f（x）=0可得，故②正确③设函数y=f（x）上的任意一点M（x，y）关于点（0，c）对称的点N（x′，y′），则．代入y=f（x）可得2c﹣y′=﹣x′|﹣x′|﹣bx′+c⇒y′=x′|x′|+bx′+c故③正确④当c=0，b=﹣2，f（x）=x|x|﹣2x=0的根有x=0，x=2，x=﹣2故④错误故答案为：①②③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知向量=（cosx，﹣1），=（sinx，﹣），设函数f（x）=（+）•．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）已知a，b，c分别为三角形ABC的内角对应的三边长，A为锐角，a=1，c=，且f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，求A，b和三角形ABC的面积．【考点】平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【分析】（1）由向量运算和三角函数公式可得f（x）=（+）•=sin（2x+）+2，可得周期；（2）易得A=，由余弦定理可得b值，可得面积．【解答】解：（1）由题意可得f（x）=（+）•==cos2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=cos2x+sin2x+2=sin（2x+）+2，∴函数f（x）的最小正周期T==π；（2）由（1）知f（x）=sin（2x+）+2，又f（A）恰是函数f（x）在[0，]上的最大值，A为锐角，可得A=，由余弦定理可得12=b2+3﹣2b××，解得b=1或b=2当b=1时，三角形ABC的面积S=bcsinA=，当b=2时，三角形ABC的面积S=bcsinA=．18．某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路没有被选择的概率．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）恰有两条线路没有被选择的概率为：P==．（Ⅱ）设选择甲线路旅游团数为ξ，则ξ=0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==．∴期望Eξ=0×+1×+2×+3×=．19．若不等式对一切正整数n都成立，（1）猜想正整数a的最大值，（2）并用数学归纳法证明你的猜想．【考点】数学归纳法；归纳推理．【分析】（1）首先求出n=1时，一个不等式猜想a的最大值．（2）直接利用数学归纳法的证明步骤，通过n=1，假设n=k时猜想成立，证明n=k+1时猜想也成立，即可证明结果．【解答】解：（1）当n=1时，，即，所以a＜26，a是正整数，所以猜想a=25．（2）下面利用数学归纳法证明，①当n=1时，已证；②假设n=k时，不等式成立，即，则当n=k+1时，有=因为所以，所以当n=k+1时不等式也成立．由①②知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25．…20．如图，在几何体ABC﹣A1B1C1中，点A1、B1、C1在平面ABC内的正投影分别为A、B、C，且AB⊥BC，AA1=BB1=4，AB=BC=CC1=2，E为AB1的中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）求二面角B1﹣AC1﹣C的大小：（Ⅲ）设点M为△ABC所在平面内的动点，EM⊥平面AB1C1，求线段BM的长．【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系B﹣xyz，利用向量法能证明CE∥平面A1B1C1．（Ⅱ）分别求出平面AB1C1的法向量和平面ACC1的法向量，利用向量法能求出二面角B1﹣AC1﹣C的平面角．（Ⅲ）设点M的坐标为（a，b，0），由EM⊥平面AB1C1，利用向量法求出M（﹣3，﹣2，0），由此能求出线段BM的长．【解答】（Ⅰ）证明：∵点B1在平面ABC内的正投影为B，∴B1B⊥BA，B1B⊥BC，又AB⊥BC，如图建立空间直角坐标系B﹣xyz，由题意知B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（0，0，4），C1（0，2，2），E（1，0，2），设平面A1B1C1的法向量=（x，y，z），∵，∴，取y=1，得，又，∵=0，∴，∴CE∥平面A1B1C1．（Ⅱ）解：设平面AB1C1的法向量，∵，∴，取y1=1，得=（2，1，1），设平面ACC1的法向量，∵，∴，取x2=1，得，∴cos＜＞==，由图知二面角B1﹣AC1﹣C的平面角是钝角，∴二面角B1﹣AC1﹣C的平面角是．（Ⅲ）解：设点M的坐标为（a，b，0），则，由EM⊥平面AB1C1，得，解得a=﹣3，b=﹣2，∴M（﹣3，﹣2，0），∴||==．21．已知数列{a n}满足a1=，a n=2﹣（n≥2），S n是数列{b n}的前n项和，且有=1+b n．（1）证明：数列{}为等差数列；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设c n=，记数列{c n}的前n项和T n，求证：T n＜1．【考点】数列与不等式的综合．化简，得到递推【分析】（1）化简a n=2﹣，化出的形式，（2）由a n=s n﹣s n﹣1公式，再推通项公式；（3）利用裂项求和法求和证明不等式成立．【解答】解：（1）证明：∵，∴，∴，即：∴．∴数列是以为首项，1为公差的等差数列．（2）当n ≥2时，，，即：；∴，当n=1时，b 1=S 1=2，∴．（3）证明：由（1）知：∴，∴，∴．22．已知二次函数h （x ）=ax 2+bx +c （其中c ＜3），其导函数y=h ′（x ）的图象如图，f （x ）=6lnx +h （x ）．（I ）求函数f （x ）在x=3处的切线斜率；（Ⅱ）若函数f （x ）在区间（m ，m +）上是单调函数，求实数m 的取值范围； （Ⅲ）若对任意k ∈[﹣1，1]，函数y=kx ，x ∈（0，6]的图象总在函数y=f （x ）图象的上方，求c 的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质．【分析】（I）利用导函数y=h′（x）的图象确定a，b，c．然后求出函数f（x），求出导函数y=f′（x），可得函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）．（Ⅱ）要使求函数f（x）在区间（m，m+）上是单调函数，则f'（x）的符号没有变化，可以求得实数m的取值范围．（Ⅲ）函数y=kx的图象总在函数y=f（x）图象的上方得到kx大于等于f（x），列出不等式，构造函数，求出函数的最小值即可得到c的范围．【解答】解：（I）二次函数h（x）=ax2+bx+c的导数为y=h′（x）=2ax+b，由导函数y=h′（x）的图象可知，导函数y=h′（x）过点（4，0）和（0，﹣8），代入h′（x）=2ax+b得b=﹣8，a=1，即h（x）=x2﹣8x+c，h′（x）=2x﹣8，f（x）=6lnx+h（x）=6lnx+x2﹣8x+c，，所以函数f（x）在x=3处的切线斜率k=f'（3）=2+2×3﹣8=0，所以函数f（x）在点（3，f（3））处的切线斜率为0．（Ⅱ）因为f（x）=6lnx+x2﹣8x+c的定义域为（0，+∞），则==在（m，m+）上导数符号不变化．因为，，当x变化时单调递减区间为（1，3）．若函数在（m，m+）上是单调递减函数，则有，解得1．若函数在（m，m+）上是单调递增函数，则有或者m≥3，解得0或m ≥3．综上若函数在（m，m+）上是单调函数，则0或m≥3或1．（Ⅲ）对任意k∈[﹣1，1]，函数y=kx，x∈（0，6]的图象总在函数y=f（x）图象的上方，则只需要﹣x＞f（x）在x∈（0，6]恒成立，即可．即﹣x＞6lnx+x2﹣8x+c恒成立，所以c＜﹣x2﹣6lnx+7x．设g（x）=﹣x2﹣6lnx+7x，x∈（0，6]，则，当此时函数单调递增，当，此时函数单调递减．所以g（x）的最小值为g（）或g（6）的较小者．，g（6）=﹣36﹣6ln6+7×6=6﹣6ln6，，所以g（x）的最小值为g（6）=6﹣6ln6，所以c＜6﹣6ln6，又c＜3，所以c＜6﹣6ln6．即c的取值范围是（﹣∞，6﹣6ln6）．2016年11月5日。

南昌三中2017-2018学年度开学考试高二数学试卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．sin6π=（ ）A. 2B C ．12 D 2.已知集合}3,2,1{=A ，},12|{A x x y y B ∈-==，则A B =（ ）（A ）}3,1{（B ）}2,1{（C ）}3,2{（D ）}3,2,1{3.对一个容量为N 的总体抽取容量为n 的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为123,,p p p ，则（ ）123.A p p p =< 231.B p p p =< 132.C p p p=< 123.D p p p == 4．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．ab ＜b 2C ．a b ＋ba＞2 D ．|a |＋|b |≥|a ＋b |5.sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )A ．0 B.12 C.32D ．16．等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝8，则a 5＝( )A ．16B ．16或－16C ．32D ．32或－327．在ABC △中，πB =，BC 边上的高等于13BC ,则sin A =（ ）A ．310B C D 8.函数y =sin x 2的图象是（ ）9.《九章算术》之后，人们学会了用等差数列知识来解决问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织（ ）尺布。

A ．12 B ．815 C ．1631D ．162910. 阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S 值为（ ）A ． 81-B ． 81C ． 161D ． 32111．设a ，b 满足2a ＋3b ＝6，a ＞0，b ＞0，则2a ＋3b的最小值为（ ）A.256B.83C.113D ．4 12.已知函数()sin()(0),24f x x+x ππωϕωϕ=>≤=-，为()f x 的零点，4x π=为()y f x =图像的对称轴，且()f x 在51836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，单调，则ω的最大值为（ ）A.11 B .9 C.7 D ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分13.如图，在边长为1的正方形中，随机撒1000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为___________.14.设向量a =(m ，1)，b =(1，2)，且|a +b |2=|a |2+|b |2，则m = .15．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 5＝5a 3，则S 9S 5＝________.16.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1)上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R 若59()()22f f -= ，则f （5a ）的值是 .三、解答题（本大题共六小题，共70分，其中17题满分10分，其他题满分12分）17．为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B,C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A,B ，C 区中分别有18，27，18个工厂。

高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．02．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．013．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．136．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为47．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜88．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．610．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个B．1个 C．2个 D．3个11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a412．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）1．（5分）设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，则k=（）A．﹣1 B．1 C．±1 D．0【分析】根据直线的垂直的关系即可求出．【解答】解：设直线l1：kx﹣y+1=0，l2：x﹣ky+1=0，若l1⊥l2，1×k﹣1×（﹣k）=0，解得k=0，故选：D．【点评】本题考查了直直线和直线垂直，属于基础题．2．（5分）总体由编号为01，02，…，29，30的30个个体组成．利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A．08 B．07 C．02 D．01【分析】根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．【解答】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于30的编号依次为08，02，14，07，02，01，则第6个个体的编号为01．故选：D．【点评】本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）已知是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．【解答】解：由三视图可知：该几何体由圆锥的与一个三棱柱组成的．∴该几何体的体积V=+=1+．故选：B．【点评】本题考查了圆锥与三棱柱的三视图、体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对边长分别为a，b，c，若a2=3c2﹣b2，则cosC的最小值为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，利用余弦定理表示出cosC，将已知等式变形后代入，利用基本不等式变形即可求出cosC的最小值．【解答】解：根据题意，若a2=3c2﹣b2，即a2+b2=3c2，cosC===（+）≥，即cosC的最小值为；故选：A．【点评】此题考查了余弦定理，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某中学采用系统抽样方法，从该校高一年级全体800名学生中抽50名学生做牙齿健康检查．现将800名学生从1到800进行编号．已知从33～48这16个数中取的数是39，则在第1小组1～16中随机抽到的数是（）A．5 B．7 C．11 D．13【分析】根据系统抽样的定义进行求解即可．【解答】解：样本间隔为800÷50=16，∵在从33～48这16个数中取的数是39，∴从33～48这16个数中取的数是第3个数，∴第1小组1～16中随机抽到的数是39﹣2×16=7，故选：B．【点评】本题主要考查系统抽样的应用，比较基础．6．（5分）若样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，则对于样本2+x1，2+x2，…，2+x n，下列结论正确的是（）A．平均数为10，方差为2 B．平均数为11，方差为3C．平均数为11，方差为2 D．平均数为12，方差为4【分析】根据平均数和方差的定义和性质进行求解即可．【解答】解：∵样本1+x1，1+x2，1+x3，…，1+x n的平均数是10，方差为2，∴1+x1+1+x2+1+x3+…+1+x n=10n，即x1+x2+x3+…+x n=10n﹣n=9n，方差S2=[（1+x1﹣10）2+（1+x2﹣10）2+…+（1+x n﹣10）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，则（2+x1+2+x2+…+2+x n）==11，样本2+x1，2+x2，…，2+x n的方差S2=[（2+x1﹣11）2+（2+x2﹣11）2+…+（2+x n ﹣11）2]=[（x1﹣9）2+（x2﹣9）2+…+（x n﹣9）2]=2，故选：C．【点评】本题主要考查样本数据的方差和平均数的计算，根据相应的公式进行计算是解决本题的关键．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为20，则判断框中可以填（）A．k＞7 B．k＞8 C．k＜7 D．k＜8【分析】模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出S=20时判断框中可以填的条件．【解答】解：执行如图所示的程序框图，如下；k=1时，a1=2，S=2，满足循环条件；k=2时，a2=0，S=2，满足循环条件；k=3时，a3=2，S=4，满足循环条件；k=4时，a4=6，S=10，满足循环条件；k=5时，a5=2，S=12，满足循环条件；k=6时，a6=﹣4，S=8，满足循环条件；k=7时，a7=2，S=10，满足循环条件；k=8时，a8=10，S=20，不满足循环条件；终止循环，输出S=20，∴判断框中可以填k＜8．故选：D．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，是基础题．8．（5分）已知，为单位向量，且，则在上的投影为（）A．B．C．D．【分析】将条件式两边平方即可计算，再计算||，（），代入投影公式计算．【解答】解：∵，∴+2+=2﹣4+2，即2+2=4﹣4，∴=，∴（）2=+2+=，∴||=，又（）=+=，∴在上的投影为||cos＜＞==．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．9．（5分）若圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，则由点（a，b）向圆C所作切线长的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】由题意可知直线经过圆的圆心，推出a，b的关系，利用（a，b）与圆心的距离，半径，求出切线长的表达式，然后求出最小值．【解答】解：圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0化为（x+1）2+（y﹣2）2=2，圆的圆心坐标为（﹣1，2）半径为．圆C：x2+y2+2x﹣4y+3=0关于直线2ax+by+6=0对称，所以（﹣1，2）在直线上，可得﹣2a+2b+6=0，即a=b+3．点（a，b）与圆心的距离，，所以点（a，b）向圆C所作切线长：==≥4，当且仅当b=﹣1时弦长最小，为4．故选C．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，对称问题，圆的切线方程的应用，考查计算能力．10．（5分）下列命题中正确的个数有（）①若a∥b，a⊂α，则b∥α．②若a，b为两异面直线，则过不在a，b上的定点A有且仅有一条直线与a，b 相交．③两个不重合的平面α，β，两条异面直线a，b，若a∥α，b∥α，a∥β，b∥β，则α∥β．④若平面EFGH与平行四边形ABCD相交于AB，则CD∥平面EFGH．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【分析】根据空间线面位置关系的定义，性质与判定定理判断．【解答】解：对于①，若b⊂α，则结论错误，故①错误；对于②，设A与a确定的平面为α，b与A确定的平面为β，则A为α，β的公共点，∴α与β有且只有一条经过点A的交线，故②正确；对于③，若α∩β=m，a∥b∥m，则结论不成立，故③错误；对于④，∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，又平面EFGH∩平面ABCD=AB，∴AB⊂平面EFGH，∴CD∥平面EFGH，故④正确．．故选：C．【点评】本题考查了空间线面位置关系的判断，属于中档题．11．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知（a4﹣1）3+2017（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，则下列结论正确的是（）A．S2017=﹣2017，a2014＜a4B．S2017=2017，a2014＞a4C．S2017=﹣2017，a2014＞a4D．S2017=2017，a2014＜a4【分析】（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1，设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．可得m3+2016m+n3+2016n=0，m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．再利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．【解答】解：∵（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）=1，（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=﹣1∴（a4﹣1）3+2016（a4﹣1）+（a2014﹣1）3+2017（a2014﹣1）=0．设a4﹣1=m＞0，a2014﹣1=n＜0．则m3+2016m+n3+2016n=0，化为（m+n）（m2+n2﹣mn+2016）=0，∵m2+n2﹣mn+2016＞0，∴m+n=a4﹣1+a2014﹣1=0．∴a4+a2014=2=a1+a2017．∴S2017==2017．．又a4﹣1＞0，a2014﹣1＜0．∴a4＞1＞a2014．故选：D．【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘法公式运用，考查了推理能力与计算能力，属于难题．12．（5分）已知x，y满足则的最小值是（）A．B．C．D．6【分析】先化简整理z=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P （0，﹣4）的斜率的范围，根据线性规划求出t的范围，再根据基本不等式求出z的最小值．【解答】解：画出可行域，如图所示：由==+=++3，设t=，则符合条件的点表示到定点P（0，﹣4）的斜率的范围，由C（3，2），B（3，﹣3）k PB==，k PC==2，∴≤t≤2，∴≤≤2∴z=++3≥2+3=2+3，当且仅当x=y+4时，即=时取等号，故z的最小值为2+3，故选：A【点评】本题考查了线性规划和基本不等式的应用，属于中档题二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，请将答案填在答题纸上）13．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【分析】利用等比数列的性质，求出数列的首项以及公比，即可求解数列{a n}的前n项和．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．【点评】本题考查等比数列的性质，数列{a n}的前n项和求法，基本知识的考查．14．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB=2，则三棱锥B﹣PQD的体积为．【分析】由题意画出图形，取PQ中点G，连接BG，DG，可得PQ⊥平面BGD，求出△BDG的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】解：如图，连接PQ，则PQ∥AC，取PQ中点G，连接BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG=G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP=，PG=，可得BG=，同理可得DG=，则△BDG边BD上的高为，∴，则．故答案为：．【点评】本题考查柱、锥、台体积的求法，考查空间想象能力和思维能力，是中档题．15．（5分）三棱锥A﹣BCD，AB=AD=，底面BCD为等边三角形，且平面ABD⊥平面BCD，求三棱锥A﹣BCD外接球的表面积16π．【分析】利用已知三棱锥A﹣BCD的特点AB=AD，先确定△ABD的外心H，及外接圆的半径，可得三棱锥A﹣BCD的外接球的球心O在CH上，即可解答．【解答】解：∵AB=AD=，∴△ADB是直角三角形，∴底面BAD的外心为斜边DB中点H，∵且平面ABD⊥平面BCD，CH⊥DB，∴CH⊥底面BAD，∴三棱锥A﹣BCD外接球的球心在CH上，三棱锥A﹣BCD外接球的半径为R，则（CH﹣R）2+BH2=OB2∵，BH=，可得R=2三棱锥A﹣BCD外接球的表面S=4πR2=16π故答案为：16π【点评】题考查球内接多面体及其度量，考查空间想象能力，计算能力，解答的关键是确定球心位置，利用已知三棱锥的特点是解决问题关键，属于中档题．16．（5分）在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=CD=1，AB=2，E，F 分别为AB，AC的中点，设以A为圆心，AD为半径的圆弧DE上的动点为P（如图所示），则的取值范围是[﹣，﹣1] ．【分析】建立平面直角坐标系，由题意可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]，表示出、，再利用三角函数的图象与性质求出•的取值范围．【解答】解：建立如图所示直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（1，1），D（0，1），E（1，0），F（，），由题意，可设点P（cosθ，sinθ），θ∈[0，]；则=（cosθ，sinθ），=（﹣cosθ，﹣sinθ），∴•=c osθ（﹣cosθ）+sinθ（﹣sinθ）=cosθ+sinθ﹣1，=sin（θ+α）﹣1，其中tanα=3；又θ∈[0，]，∴arctan3≤θ+α≤+arctan3；∴sin（﹣arctan3）≤sin（θ+α）≤1sin（﹣arctan3）=cos（arctan3）=∴×≤sin（θ+α）≤∴﹣≤sin（θ+α）﹣1≤﹣1，即的取值范围是[﹣，﹣1]．故答案为：[]．【点评】本题考查了平面向量知识的运用以及平面直角坐标系的应用问题，也考查了三角函数的应用问题，是难题．三、解答题（17题10分，其它题12分，共70分，写出必要的文字说明）17．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，M是PD的中点，且AB=2，．（1）求证：OM∥平面PAB．（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．【分析】（1）利用中位线定理可得OM∥PB，故而OM∥平面PAB；（2）由BD⊥AC，BD⊥PA可得BD⊥平面PAC，故而平面PBD⊥平面PAC．【解答】解：（1）∵在△PBD中，O、M分别是BD、PD的中点，∴OM是△PBD的中位线，∴OM∥PB，∵OM⊄平面PBD，PB⊂面PBD，∴OM∥面PBD．（2）∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∵AC⊂面PAC，PA⊂面PAC，AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC，∵BD⊂平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．【点评】本题考查了线面平行，面面垂直的判定，属于中档题．18．（12分）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC=．（1）若a+b=5，求△ABC面积的最大值；（2）若a=2，2sin2A+sinAsinC=sin2C，求b及c的长．【分析】（1）利用基本不等式得出ab的最大值，得出面积的最大值；（2）利用正弦定理得出a，c的关系，列方程解出c，使用正弦定理解得sinA，利用余弦定理解出b．【解答】解：（1）∵a+b=5，∴ab≤（）2=．=sinC=≤=．∴S△ABC（2）∵2sin2A+sinAsinC=sin2C，∴2a2+ac=c2．即8+2c=c2，解得c=4．由正弦定理得，即，解得sinA=．∴cosA=．由余弦定理得cosA==．即．解得b=或2．【点评】本题考查了基本不等式，正余弦定理，属于中档题．19．（12分）东莞市某高级中学在今年4月份安装了一批空调，关于这批空调的使用年限x（单位：年，x∈N*）和所支出的维护费用y（单位：万元）厂家提供的统计资料如下：（1）请根据以上数据，用最小二乘法原理求出维护费用y关于x的线性回归方程=x+；（2）若规定当维护费用y超过13.1万元时，该批空调必须报废，试根据（1）的结论求该批空调使用年限的最大值．参考公式：用最小二乘法求线性回归方程=x+的系数公式：=，=﹣．【分析】（1）由题意首先求得样本中心点，然后求解回归方程即可；（2）利用（1）的结论结合题意得到不等式，求解不等式即可求得最终结果．【解答】解：（1）由题意可得：，则：，回归方程为：，（2）当维护费用y超过13.1万元时，即：0.7x+5.4＞13.1，解得：x＞11，则从第12年开始这批空调必须报废，该批空调使用年限的最大值为11年．答：该批空调使用年限的最大值为11年．【点评】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n=S n+1（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=（2n+1）•a n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：a n=2a n﹣1..利用等比数列的通项公式可得a n．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．利用错位相减法即可得出．【解答】解：（1）当n=1时，2a1=S1+1=a1+1，解得a1=1．n≥2时，2a n﹣1=S n﹣1+1，可得：2a n﹣2a n﹣1=a n，可得a n=2a n﹣1．．数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，a n=2n﹣1．（2）b n=（2n+1）•a n=（2n+1）•2n﹣1．∴数列{b n}的前n项和T n=3×1+5×2+7×22+…+（2n+1）•2n﹣1．2T n=3×2+5×22+…+（2n﹣1）•2n﹣1+（2n+1）•2n，∴﹣T n=3+2×（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n+1）•2n=1+2×﹣（2n+1）•2n，可得：T n=（2n﹣1）•2n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）如图所示的空间几何体，底面四边形ABCD为正方形，AF⊥AB，AF ∥BE，平面ABEF⊥平面ABCD，DF=，CE=2，BC=2．（1）求二面角E﹣AC﹣D的余弦值；（2）求直线BE与平面DEF所成角的正弦值．【分析】（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，证明AC⊥平面BDE即可得知∠DOE 为所求角，在△DOE中利用余弦定理求出cos∠DOE；（2）过B作BP⊥DE交DE于点P，证明BP⊥平面DEF，故而∠BEP为直线BE 与平面DEF所成角．【解答】解：（1）连接AC，BD，设AC∩BD=O，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵AF⊥AB，AF∥BE，∴BE⊥AB，又平面ABEF⊥平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，∴BE⊥平面ABCD，∴BE⊥AC，又BD∩BE=B，∴AC⊥平面BDE，∴AC⊥OE，∴二面角E﹣AC﹣D的平面角为∠DOE，∵正方形ABCD边长为2，CE=2，∴BE=2，OD=OB=，OE=，DE=2，∴cos∠DOE==﹣．即二面角E﹣AC﹣D的余弦值为﹣．（2）在Rt△DBE中，作BP⊥DE交DE于点P，取DE的中点G，连接OG，FG，则OG BE AF，∴四边形AOGF为平行四边形，∴FG∥AC，由（1）可知AC⊥平面DBE，又BP⊂平面DBE，∴AC⊥BP，∵FG∥AC，∴BP⊥FG，又FG∩DE=G且FG，DE⊂平面DEF，∴BP⊥平面DEF，∴∠BEP为直线BE与平面DEF所成角，∴sin∠BEP===．【点评】本题考查了线面垂直的判定，空间角的计算，属于中档题．22．（12分）已知圆C1：x2+y2+6x=0关于直线l1：y=2x+1对称的圆为C（1）求圆C的方程；（2）过点（﹣1，0）作直线与圆C交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在这样的直线，使得在平行四边形OASB中||=|﹣|？若存在，求出所有满足条件的直线的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（1）化圆C1的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，然后求出圆心关于直线l1的对称点，则圆C的方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，则OA⊥OB，当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，求出A，B的坐标，满足．当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），联立直线方程与圆方程，利用根与系数的关系结合求得k值，则直线方程可求．【解答】解：（1）圆C1：x2+y2+6x=0化为标准方程为（x+3）2+y2=9，设圆C1的圆心C1（﹣3，0）关于直线l1：y=2x+1的对称点为C（a，b），则，且CC 1的中点M（，）在直线l1：y=2x+1上．∴，解得．∴圆C的方程为（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）如图：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由||=|﹣|=，得四边形OASB为矩形，∴OA⊥OB，必须使，即x1x2+y1y2=0．①当直线的斜率不存在时，可得直线的方程为x=﹣1，与圆C：（x﹣1）2+（y+2）2=9交于两点A（﹣1，），B（﹣1，）．∵，∴OA⊥OB，∴当直线的斜率不存在时，直线l：x=﹣1满足条件；②当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（1+k2）x2+（2k2+4k﹣2）x+k2+4k﹣4=0，由于点（﹣1，0），在圆C内部，∴△＞0恒成立，∴，，由x1x2+y1y2=0，得，整理得，解得k=1，∴直线方程为y=x+1，∴存在直线x=﹣1和y=x+1，它们与圆C交A，B两点，且||=|﹣|．【点评】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，是中档题．。

南昌三中2017-2018学年度上学期期中考试高二数学(理）试卷 命题：胡福英 审题:周平一、选择题(共12小题，每小题5分,共60分)1。

直线12:220,:10l x ay a l ax y +--=+-=若12l l ∥，则a =（ )A. 1 B 。

-1 C 。

1或-1 D 。

22.抛物线2xay =的准线方程是2y =，则a 的值为（ ）A ．8-B ．8C ．18D ．18- 3.抛物线()022>-=p px y 的焦点恰好与椭圆15922=+y x 的一个焦点重合，则=p （ )A.1B.2C.3D.44.双曲线221(0)x ymn m n-=≠离心率为2，有一个焦点与抛物线24y x =的焦点重合，则mn 的值为( ）A.316 B.38 C 。

163D.835。

已知变量x ，y ，满足约束条件，目标函数z=x+2y 的最大值为10,则实数a 的值为（ ） A 。

2 B.83C 。

4 D. 86.能够使圆014222=++-+y x y x恰有两个点到直线02=++c y x 距离等于1的c 的一个值为（ )A ．2B ．3C ．5D ．537.已知双曲线22221(0,0)y x a b ab-=>>的一条渐近线方程是3y x =，它的一个焦点在抛物线224yx=的准线上，则双曲线的方程为( )A 。

22136108y x -= B 。

221927y x -= C 。

22110836y x -=D.221279y x -= 8．已知F 是双曲线C ：x 2－my 2＝3m （m 〉0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A 。

错误! B ．3 C 。

错误!m D ．3m9、直线3y x =+与曲线2194x x y -=的交点个数为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、1 10.已知F 是双曲线221412x y -=的左焦点,(1,4)A 是双曲线外一点，P 是双曲线右支上的动点，则PF PA +的最小值为（ )A 、9B 、8C 、7D 、6 11.若实数,x y 满足2244xy +=，则22xyx y +-的最大值为( ）A.122-B.12-C.122+D.12+12. 已知F 1、F 2分别是双曲线C ：=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1的直线与双曲线C 的左、右两支分别交于P 、Q 两点,｜F 1P|、|F 2P|、｜F 1Q ｜成等差数列，且∠F 1PF 2=120°，则双曲线C 的离心率是( ） A.B 。