积的变化规律3

积的变化规律什么是积？在数学中，积是两个或多个数相乘得到的结果。

举例来说，2和3的积是6。

在数学符号中，积可以用乘法符号 × 或直接将两个数相乘的形式来表示。

积的基本特性积具有一些基本的特性，这些特性在计算和解决实际问题时非常有用。

下面是积的一些基本特性：1.交换律：两个数的积不受数值的顺序影响。

例如，2 × 3 的积等于 3 ×2：2 × 3 = 6，3 × 2 = 6。

2.结合律：三个或多个数相乘，可以先计算其中两个数的积，然后再将积与第三个数相乘。

例如，2 × 3 × 4 可以先计算 2 × 3 = 6，然后再将 6 × 4 = 24。

3.分配律：乘法可以分配到加法或减法。

例如，对于任意的数 a、b 和c，有 a × (b + c) = (a × b) + (a × c)。

这些基本特性使得我们能够更轻松地计算积，同时也为我们理解和应用数学提供了便利。

积的变化规律在实际问题中，我们经常需要研究和理解积的变化规律。

下面介绍一些常见的积的变化规律。

等比数列的积在等比数列中，每个数都是前一个数乘以一个常数得到的。

如果我们计算等比数列的前 n 个数的积，可以得到一个有趣的结果。

假设等比数列的首项为a，公比为r，那么前n 个数的积可以用以下公式表示：P = a^n * r^((n(n-1))/2)其中，P 表示前 n 个数的积。

这个公式可以帮助我们快速计算等比数列的积，而不需要一个一个将数相乘。

积的增长和衰减当两个数相乘时，积的大小不仅取决于这两个数的数值，还取决于它们之间的关系。

例如，当一个数大于1时，与其相乘的另一个数会使积增长；当一个数小于1时，与其相乘的另一个数会使积减小。

同时，如果两个数的绝对值都大于1，那么它们的积会更大；如果两个数的绝对值都小于1，那么它们的积会更小。

这些规律在实际问题中非常有用，可以帮助我们预测积的变化趋势。

3 积的变化规律一课时教学内容积的变化规律。

(教材第51页)教学目标1.通过观察、讨论等数学活动,经历探索、归纳积变化规律的过程。

2.理解积变化的规律,会运用积的变化规律进行简便计算。

3.在探索、归纳和变化规律的过程中,感受数学思考过程的条理性。

重点难点重难点:掌握在乘法里,一个因数不变,另一个因数乘(或除以)几,积也乘(或除以)几的变化规律。

教具学具课件。

教学过程一创设情境，激趣导入师:前面我们认识了亿的上的数,下面老师写了两个十二位数,给大家几秒钟的时间,看你能很快地记住哪个数?123412341234 950382573014学生记数。

师:记住了哪个?(第一个)为什么这么多学生记住了第一个数?数学中有很多有规律的情况,今天我们研究积的变化规律。

看到题目想知道什么?生1:有什么规律?生2:学积的变化干什么?生3:积的变化规律和什么有关系?生4:怎么就知道这个规律了?师:同学们想知道的真多!相信大家通过自己研究能解决所有的问题。

【设计意图:借助主题图吸引学生的注意力,引导学生仔细观察获取有价值的数学信息,为下面提出问题、解决问题做好准备】二探究体验，经历过程师:请同学们看下面的问题,你能解决吗?课件出示:星期天,小明和妈妈一起去超市购物。

小明的妈妈来到副食柜前,她准备买一些大米回家。

妈妈提出问题想考考小明。

①大米每包 6 元,如果买 2 包,一共多少元?②大米每包 6 元,如果买 20 包,一共多少元?③大米每包 6 元,如果买 200 包,一共多少元?学生口头列式并计算:6×2=126×20=1206×200=1200师:非常好!同学们,请仔细观察上面每组算式,你能根据这组算式的特点再往下写2个算式吗?试一试。

学生独立写出。

师:现在就请同学们以小组为单位,互相交流自己写得算式,并说一说你是怎样想的。

谁来介绍一下你是怎样写的?学生说出自己写的第一组算式:6×2000=12000,6×20000=120000。

“点线面”思维训练模式3——
从“积的变化规律”到“积不变的规律”
一、一个因数变化
【1】一个因数不变，另一个因数扩大了。

【结论】:一个因数不变，另一个因数扩大多少倍(0除外)，积也跟着扩大相同的倍数。

【2】一个因数不变，另一个因数缩小。

【结论】:一个因数不变，另一个因数缩小多少倍(0除外)，积也跟着缩小相同的倍数。

(一)、积的变化规律：
(1)、一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积就相应的乘（或除以)几。

字母表示：如果axb=C，则
(ax3）×b=c×3
举例：axb=12如果(ax3)则积就是
12×3=36.
(2)、一个数乘一个比1大的数，积比原数大；
（3)、一个数乘一个比1小的数，积比原数小。

【3】积的变化规律:
【结论】:积与因数同向变化。

【4】同步应用
【5】能力提升
【6】拓展训练
二、积不变的规律
【结论】:一个因数扩大或缩小多少倍，另一个因数缩小或扩大相同的倍数(0除外)，积不变。

两个因素反向变化，积不变。

（巧墨静好）
下一节内容：1.商的变化规律——商不变的规律——余数的变化规律
2、和、差、积、商的变化规律。

积的变化规律3条
积的变化规律有以下几条：
1、两个数相乘，一个因数扩大(或缩小)N倍，另一个因数不变，那么它们的积也扩大N倍。

(N为非0自然数)。

2、一个因数扩大a倍，一个因数扩大b倍，积就扩大a*b倍。

3、两个数相乘，一个因数扩大了N倍，另一个因数缩小了N倍，那么它们的积不变。

4、总结：积的变化规律是指因数的变化所引起的积的变化。

如一个因数扩大n倍，另一个因数不变，则积也扩大n倍。

一个因数扩大n倍，另一个因数缩小n倍，则积不变。

两个因数所得结果，叫做积。

也可阐述为其中一个因数表示另一个因数的数量，这么多的这个因数之和为这个乘式的积。

一个乘式中的各个数字为这个乘式的因数。

积的变化规律及应用李艳辉2013.02.08积的变化规律：1、在乘法算式里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）相同倍数。

2、在乘法算式里，一个因数扩大（或缩小）A倍，另一个因数扩大（或缩小）B倍，积也扩大（或缩小）A×B倍数。

(A和B均不能为0)3、在乘法算式里，一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，积不变。

（这又叫积不变性质）4、在乘法算式里，一个因数扩大（或缩小）A倍，另一个因数缩小（或扩大）B倍，当A＞B时，积扩大A÷B倍;当A＜B时，积缩小A÷B倍。

同学们，规律1是根本，规律2、3、4可以看作是规律1的两次应用的结果。

例如：已知两个因数的积是275。

如果第一个因数扩大10倍，另一个因数缩小100倍，积是多少？我们可以这样分析：在第一个因数扩大10倍后，先假设第二个因数不变，那么根据规律1，这时的积应是275的10倍，即2750。

现在再假设第一个因数不变，第二个因数缩小１００倍，那么根据规律１，这时的积应是２７５０缩小１００倍，即２７．５。

本题也可根据规律4直接判断，积应是275缩小10（100÷10）倍。

即27.5。

积的变化规律的应用：1.乘法的口算250×4.8=25×48=1200 0.2×340=2×34=68600×0.05=6×5=30 0.75×2000=75×20=15003000×0.003=3×3=9 0.35×300=35×3=1052.乘法的简便计算0.65×33+6.5×6.7 21×30+210×7 0.16×75+0.08×50=0.65×33+0.65×67 =21×30+21×70 =0.16×75+(0.08×2)×(50÷2) =0.65×（33+67）=21×（30+70）=0.16×75+0.16×25=0.65×100 =21×100 =0.16×(75+25)=65 =2100 =0.16×100=163.在各种填空题中⑴.如果A×B=0.25,那么（A×0.1）×(B×10)=( )。

积的变化规律举例子积的变化规律是指在某种规定条件下，随着时间的推移，积的数值是如何变化的。

下面举例说明积的变化规律：1. 银行利率：银行利率是指存款在银行中的年利率，随着时间的推移，存款的积累也会发生变化。

假设某银行的年利率为5%，如果将10000元存入银行，经过1年，积累为10000*1.05=10500元；经过2年，积累为10500*1.05=11025元；以此类推，可以得到每年的积累数值。

可以看出，随着时间的增加，存款的积累呈指数增长。

2. 人口增长：人口增长是指在一定时间内，人口数量的变化规律。

假设某国的人口增长率为2%，如果该国人口为1000万人，经过1年，人口积累为1000万*1.02=1020万人；经过2年，人口积累为1020万*1.02=1040.4万人；以此类推，可以得到每年的人口积累数值。

可以看出，随着时间的增加，人口的增长呈指数增长。

3. 股票投资收益：股票投资收益是指投资者在股票市场上的投资收益，随着时间的推移，投资的积累也会发生变化。

假设某股票的年收益率为10%，如果投资者买入100股，经过1年，积累为100*1.1=110股；经过2年，积累为110*1.1=121股；以此类推，可以得到每年的投资积累数值。

可以看出，随着时间的增加，投资的积累呈指数增长。

4. 温度变化：温度变化是指在一定时间内，温度的变化规律。

假设某地的温度每小时上升1℃，如果初始温度为20℃，经过1小时，积累为20+1=21℃；经过2小时，积累为21+1=22℃；以此类推，可以得到每小时的温度积累数值。

可以看出，随着时间的增加，温度的积累呈线性增长。

5. 车辆行驶里程：车辆行驶里程是指车辆在一定时间内行驶的总路程。

假设某辆车每小时行驶60公里，如果初始里程为1000公里，经过1小时，积累为1000+60=1060公里；经过2小时，积累为1060+60=1120公里；以此类推，可以得到每小时的里程积累数值。

积的变化规律的口诀公式
积的变化规律可以用口诀和公式来描述。

首先，口诀可以简单
地表达积的变化规律，例如“同号相乘得正，异号相乘得负，零乘
任何数都是零”。

这个口诀简单明了地概括了同号相乘得正数，异
号相乘得负数，以及任何数乘以零都等于零这三种情况。

而从公式的角度来看，积的变化规律可以用数学公式来表示。

比如，两个数相乘的规律可以用公式表示为，若a和b同号，则a
乘以b的积为正数；若a和b异号，则a乘以b的积为负数；而任
何数乘以零都等于零。

这些规律可以用数学符号和公式来准确描述，从而更加严谨地表达积的变化规律。

总之，口诀和公式都可以用来描述积的变化规律，口诀简单易记，而公式则更加准确地描述了数学规律。

希望这个回答能够全面
地满足你的要求。

第三单元积的变化规律和积不变的规律学生姓名：家长姓名：一、计算后大声读背规律：积的变化规律（1） 2×4＝（2） 5×2＝（3）15×3＝20×4＝ 5×20＝ 30×3＝200×4＝ 5×400＝ 15×30＝从上往下看规律是：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

从下往上看规律是：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。

总规律是：一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以几。

二、计算后大声读背规律：积不变的规律已知18×24＝432计算（1）18×24 （2）18×24＝（18÷2）×（24×2）＝（18×2）×（24÷2）＝＝＝＝规律是：一个因数乘几，另一个因数就除以几（0除外），积不变。

一个因数除以几（0除外），另一个因数就乘几，积不变。

以上规律可总结为：因数怎么变，积就怎么变！三、实际应用（1）、一个因数不变，另一个因数乘6，积也（）。

（2）、一个因数不变，另一个因数除以4，积也（）。

（3）、一个因数乘5，另一个因数不变，积就（）。

（4）、一个因数除以8，另一个因数不变，积就（）。

（5）、一个因数乘3，另一个因数乘4，积就（）。

（6）、一个因数除以2，一个因数除以4，积就（）。

（7）、一个因数乘7，另一个因数就（），积不变。

（8）、一个因数除以9，另一个因数就（），积不变。

（9）、小货车在公路上以40千米/时的速度行驶，4小时可行驶（）千米；小轿车行驶的速度是小货车的2倍，小轿车用同样的时间可行驶（）千米。

四、解决问题1、根据8×50＝400直接写出下面各题的结果。

16×50＝ 32×50＝ 8×25＝4×25＝ 32×150＝ 2×25＝2、先算出每组第一题的积，再直接写出下面两题的积。

课题积的变化规律例3设计者唐峻教学目标1、使学生经历积的变化规律的发现过程，感受发现数学中的规律是一件十分有趣的事情。

2、尝试用简洁的语言表达积的变化规律，培养初步的概括和表达能力。

3、初步获得探索规律的一般方法和经验，发展学生的推理能力。

教学重点引导学生自己发现规律，概括规律，进而运用规律。

教学用具图片、题卡教学时间第二课时教学过程教学活动二次备课导入新授探索发现一、创设情景，提出目标。

1、创设情景：通过前一段时间的学习，同学们对乘法的计算已经掌握的很好了，下面同学们算一算下面各题。

8×3=60×4=16×3=180×4=32×3=240×4=学生计算后。

师：说说你是怎样算的？你发现了什么？学生汇报交流，2、师引入：是的，在乘法运算中，积会随着因数的变化而变化，这就是我们今天要研究的积的变化规律。

3、提出目标：让学生先说一说，再出示目标：（1）积的变化规律是什么？学这些规律有何用？（2）通过这节课的学习，你掌握了探索规律的什么方法？二、展示学习成果1、小组内个人展示。

（1）提出自学要求：自学课本的例3、完成做一做后按学困生→中等生→优生的顺序在巩固发散评价反馈小组内交流展示。

（2）生自学，师巡视指导，收集学习信息。

2、以小组为单位在全班展示发现的积的变化规律。

（1）积随因数扩大而扩大的规律。

（2）积随因数缩小而缩小的规律。

3、师生共同讨论把两个规律合并。

（1）合并：一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）几倍，积也扩大（或缩小）相同的倍数。

（2）质疑讨论，引发冲突。

生先质疑，师再补充质疑：扩大（或缩小）什么意思？为什么是相同的倍数？对“一个因数不变”中的“因数”是否适用于任何整数。

（3）在充分讨论的基础上，把规律补充完整。

学生进一步理解积的变化规律。

4、运用规律，完成练习。

让学生展示“做一做”的完成情况，并说一说是如何根据积的变化规律来完成的。

积的变化规律知识点总结积的变化规律是指在一定条件下，随着某个变量的改变，积的数值如何变化的规律。

积的变化规律在数学中具有重要的意义，它可以帮助我们理解和解决各种实际问题。

下面将从几个方面总结积的变化规律的知识点。

1. 积的定义：积是两个或多个数相乘所得的结果。

例如，2和3的积为6，可表示为2×3=6。

2. 积的性质：积具有交换律、结合律和分配律等性质。

交换律表示两个数相乘的积与顺序无关，即a×b=b×a；结合律表示多个数相乘的积与加法的顺序无关，即(a×b)×c=a×(b×c)；分配律表示乘法对加法的分配关系，即a×(b+c)=a×b+a×c。

3. 积的变化规律与正负数的乘法：正数与正数相乘得到正积，负数与负数相乘也得到正积；正数与负数相乘得到负积，负数与正数相乘也得到负积。

4. 积的变化规律与小数和分数的乘法：小数和分数的乘法可以通过将小数或分数转化为整数进行计算，最后再将结果转化回小数或分数。

5. 积的变化规律与零的乘法：任何数与零相乘都得到零积，即a×0=0。

6. 积的变化规律与幂的乘法：幂的乘法规则表示相同底数的幂相乘时，底数不变，指数相加。

即a^m×a^n=a^(m+n)。

7. 积的变化规律与指数函数的性质：指数函数的性质包括指数为0的特殊情况、指数为1的特殊情况、指数为负数的情况等。

8. 积的变化规律与对数函数的性质：对数函数是幂函数的逆运算，对数函数的性质包括对数的底数、对数为1的特殊情况、对数为0或负数的情况等。

9. 积的变化规律与指数增长和指数衰减：指数增长和指数衰减是指随着自变量的增加或减小，函数值呈指数级别的增长或衰减。

10. 积的变化规律与复合函数的乘法：复合函数的乘法规则表示两个函数相乘时，函数的值相乘，即(f×g)(x)=f(x)×g(x)。

四年级积的变化规律3条（最新版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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积的变化规律----人教版小学数学四年级上册p51例3教学目标：1.让学生探索并掌握一个因数不变，另一个因数乘（或除以）几，积也乘（或除以）几的变化规律；能将这规律恰当地使用于实际计算和解决简单的实际问题。

2.使学生经历积的变化规律的发现过程，初步获得探索和发现数学规律的基本方法和经。

3.通过学习活动的参与，培养学生的探究水平、合作交流水平和归纳总结水平，使学生获得成功的乐趣，增强学习的兴趣和自信心。

4.培养学生从正反两个方面观察事物的辨证思想。

教学重点：发现并使用积的变化规律。

教学难点：积的变化规律的探究策略。

教具：PPT课件教学过程：一、复习旧知口算：（课件展示）（1）6╳2= 12 （2）20╳4=6╳20=120 10╳4=6╳200=1200 5╳4=仔细观察、比较这组算式，你能发现什么？（引导得出：一个因数不变，另一个因数越变越大，积也越变越大。

）师：当一个因数不变时，另一个因数的积是怎样变化的？积的变化有没有规律呢？是什么规律呢？这节课我们来研究这个问题。

二．自主探究，发现规律（一）、研究一个因数不变，另一个因数变大，积的变化情况。

1、（课件）出示：（1）①6×2= 12②6×20=120③6×200=1200（1）引导学生分别用②式、③式与①式比，观察因数和积分别有怎样的变化？在小组内互相说一说。

（2）引导学生分别用③式与①式比，观察因数和积分别有怎样的变化？在小组内互相说一说。

（3）师：这里有一条重要的数学规律，你们发现了吗？（课件）2、引导得出：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

3、生再举例验证，反馈。

4、回忆过程，得出结论：两数相乘，一个因数不变，另一个因数乘几，积就乘几。

（二）、研究一个因数不变，另一个因数变小，积的变化情况。

1、出示（课件）口算：（2）①20×4＝②10×4＝③5 ×4＝师：观察上面算式，你会不会有新的发现呢？学生独立思考后把想法在小组内交流一下。

第三单元积的变化规律和积不变的规律学生姓名：家长姓名：一、计算后大声读背规律：积的变化规律（1）2×4＝（2）5×2＝（3）15×3＝20×4＝5×20＝30×3＝200×4＝5×400＝15×30＝从上往下看规律是：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几。

从下往上看规律是：一个因数不变，另一个因数除以几（0除外），积也除以几。

总规律是：一个因数不变，另一个因数乘或除以几（0除外），积也乘或除以几。

二、计算后大声读背规律：积不变的规律已知18×24＝432计算（1）18×24（2）18×24＝（18÷2）×（24×2）＝（18×2）×（24÷2）＝＝＝＝规律是：一个因数乘几，另一个因数就除以几（0除外），积不变。

一个因数除以几（0除外），另一个因数就乘几，积不变。

以上规律可总结为：因数怎么变，积就怎么变！三、实际应用（1）、一个因数不变，另一个因数乘6，积也（）。

（2）、一个因数不变，另一个因数除以4，积也（）。

（3）、一个因数乘5，另一个因数不变，积就（）。

（4）、一个因数除以8，另一个因数不变，积就（）。

（5）、一个因数乘3，另一个因数乘4，积就（）。

（6）、一个因数除以2，一个因数除以4，积就（）。

（7）、一个因数乘7，另一个因数就（），积不变。

（8）、一个因数除以9，另一个因数就（），积不变。

（9）、小货车在公路上以40千米/时的速度行驶，4小时可行驶（）千米；小轿车行驶的速度是小货车的2倍，小轿车用同样的时间可行驶（）千米。

四、解决问题1、根据8×50＝400直接写出下面各题的结果。

16×50＝32×50＝8×25＝4×25＝32×150＝2×25＝2、先算出每组第一题的积，再直接写出下面两题的积。