2018届高考物理二轮复习第四章万有引力与航天提能增分练(一)万有引力定律的三类应用

第4节万有引力与航天1.(2018·河北张家口期末)第谷、开普勒等人对行星运动的研究漫长而曲折,牛顿在他们的研究根底上,得出了科学史上最伟大的定律之一——万有引力定律.如下说法中正确的答案是( D )A.开普勒通过研究、观测和记录发现行星绕太阳做匀速圆周运动B.太阳与行星之间引力的规律并不适用于行星与它的卫星C.库仑利用实验较为准确地测出了引力常量G的数值D.牛顿在发现万有引力定律的过程中应用了牛顿第三定律解析:开普勒发现行星绕太阳沿椭圆轨道运动,选项A错误;万有引力定律适用于任何可看成质点的两物体之间,选项B错误;卡文迪许测量出了引力常量的数值,选项C错误;牛顿在发现万有引力定律的过程中认为太阳吸引行星,同样行星也吸引太阳,选项D正确.2.(2018·江苏卷,1)我国高分系列卫星的高分辨对地观察能力不断提高.今年5月9日发射的“高分五号〞轨道高度约为705 km,之前已运行的“高分四号〞轨道高度约为36 000 km,它们都绕地球做圆周运动.与“高分四号〞相比,如下物理量中“高分五号〞较小的是( A ) A.周期 B.角速度C.线速度D.向心加速度解析:“高分五号〞的运动半径小于“高分四号〞的运动半径,即r五<r四,由万有引力提供向心力得=mr=mrω2=m=ma,如此T=∝,T五<T四,选项A正确;ω=∝,ω五>ω四,选项B错误;v=∝,v五>v四,选项C错误;a=∝,a五>a四,选项D错误.3.(2019·江苏扬州测试)(多项选择)2017年9月25日后,微信启动页面采用“风云四号〞卫星成像图.“风云四号〞是我国新一代静止轨道气象卫星,如此其在圆轨道上运行时( CD )A.可定位在赤道上空任意高度B.线速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间C.角速度与地球自转角速度相等D.向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大解析:同步卫星只能在赤道上空,且高度保持不变,故A错误;第一宇宙速度为人造卫星的最大运行速度,气象卫星的线速度小于第一宇宙速度,故B错误;同步卫星的周期等于地球的自转周期,所以同步卫星绕地球运行的角速度与地球自转的角速度相等,故C正确;同步卫星与月球都是万有引力提供向心力,由=ma可得a=,所以同步卫星绕地球运行的向心加速度比月球绕地球运行的向心加速度大,故D正确.4.(2019·陕西西安模拟)一些星球由于某种原因而发生收缩,假设该星球的直径缩小到原来的四分之一,假设收缩时质量不变,如此与收缩前相比( D )A.同一物体在星球外表受到的重力增大到原来的4倍B.同一物体在星球外表受到的重力增大到原来的2倍C.星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍D.星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍解析:当直径缩小到原来的四分之一时,半径也同样缩小到原来的四分之一,重力加速度g=增大到原来的16倍,第一宇宙速度v=增大到原来的2倍.5.(2019·重庆巴蜀中学月考)“嫦娥五号〞卫星预计由长征五号运载火箭发射升空,自动完成月面样品采集,并从月球起飞,返回地球.这次任务的完成将标志着我国探月工程“三步走〞顺利收官.引力常量为G,关于“嫦娥五号〞的运动,以下说法正确的答案是( B )A.“嫦娥五号〞的发射速度小于同步卫星的发射速度B.假设“嫦娥五号〞在月球外表附近做匀速圆周运动的周期,如此可求出月球的密度C.“嫦娥五号〞的发射速度必须大于11.2 km/sD.“嫦娥五号〞在月球外表附近做匀速圆周运动的线速度大小为7.9 km/s解析:“嫦娥五号〞的运行轨道高度大于同步卫星的运行轨道高度,故“嫦娥五号〞的发射速度大于同步卫星的发射速度,故A错误;由G=m()2r和M=πR3ρ可得ρ=()3,当在月球外表时,r=R,只需知道周期T,就可以求出月球的密度,故B正确;“嫦娥五号〞的发射速度小于11.2 km/s,故C错误;“嫦娥五号〞在月球外表附近绕月球做匀速圆周运动的线速度v=,g和R均比地球的要小,故v<7.9 km/s,故D错误.6.(2019·安徽六校教育研究会第一次联考)地球和火星绕太阳公转的轨道半径分别为R1和R2(公转轨道近似为圆),如果把行星与太阳连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率,如此地球和火星绕太阳公转过程中扫过的面积速率之比是( B )A. B.C. D.解析:根据开普勒第三定律有==k,天体公转的角速度ω=,一定时间内扫过的面积S==,所以扫过的面积速率之比等于单位时间内的面积比,代入角速度可得面积速率之比为.7.(2019·江苏连云港模拟)对于环绕地球做圆周运动的卫星来说,它们绕地球做圆周运动的周期会随着轨道半径的变化而变化,某同学根据的不同卫星做圆周运动的半径r与周期T关系作出如下列图图像,如此可求得地球质量为(引力常量为G)( A )A. B.C. D.解析:由=m r可得=,结合图线可得,=,故M=.8.(2019·河北石家庄质检)(多项选择)如下列图为某飞船从轨道Ⅰ经两次变轨绕火星飞行的轨迹图,其中轨道Ⅱ为圆轨道,轨道Ⅲ为椭圆轨道,三个轨道相切于P点,P,Q两点分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点,S是轨道Ⅱ上的点,P,Q,S三点与火星中心在同一直线上,且PQ=2QS,如下说法正确的答案是( AC )A.飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要减速B.飞船在轨道Ⅱ上由P点运动到S点的时间是飞船在轨道Ⅲ上由P点运动到Q点的时间的1.5倍C.飞船在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点的加速度大小相等D.飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小小于在轨道Ⅲ上P点的速度大小解析:飞船在P点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需要做减速运动,选项A正确;因为PQ=2QS,所以飞船在轨道Ⅱ上运行的轨道半径R2==1.5QS,飞船在轨道Ⅲ上运动轨迹的半长轴R3==QS,由开普勒第三定律=k知,==1.84,选项B错误;由牛顿第二定律知G=ma,解得a=,由于飞船在轨道Ⅱ上S点与在轨道Ⅲ上P点到火星中心的距离相等,故飞船在两点的加速度大小相等,选项C正确;飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小等于在轨道Ⅱ上P点的速度大小,飞船在P点由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ需要减速运动,故飞船在轨道Ⅱ上S点的速度大小大于在轨道Ⅲ上P点的速度大小,选项D错误.9.(2019·安徽合肥测试)宇航员在月球外表上做自由落体实验,将铁球由距月球外表高h处静止释放,经时间t落在月球外表.引力常量为G,月球的半径为R.求:(1)月球外表的重力加速度g.(2)月球的质量M.(3)月球的“第一宇宙速度〞的大小v.解析:(1)由自由落体运动的规律可知h=gt2解得月球外表重力加速度g=.(2)在月球外表,万有引力近似与重力相等G=mg得月球的质量M=(3)万有引力提供向心力,即G=m解得v=.答案:(1)(2)(3)10.(2018·山东泰安一模)由中国科学家设计的空间引力波探测工程“天琴计划〞,采用三颗全同的卫星(SC1,SC2,SC3)构成一个边长约为地球半径27倍的等边三角形,阵列如下列图.地球恰好处于三角形中心,卫星在以地球为中心的圆轨道上运行,对一个周期仅有 5.4分钟的超紧凑双白星(RXJ0806.3+1527)产生的引力波进展探测.假设贴近地球外表的卫星运行速率为v0,如此三颗全同卫星的运行速率最接近( B )v0000解析:由几何关系可知,等边三角形的几何中心到各顶点的距离等于边长的,所以卫星的轨道半径r与地球半径R的关系为r=27×R=9R;根据v=可得=≈0.25,如此v同=0.25v0,故B正确.11.(2019·吉林第二次调研)(多项选择)轨道平面与赤道平面夹角为90°的人造地球卫星被称为极地轨道卫星,它运行时能到达南、北极地区的上空,需要在全球范围内进展观测和应用的气象卫星、导航卫星等都采用这种轨道.如下列图,假设某颗极地轨道卫星从北纬45°的正上方按图示方向首次运行到南纬45°的正上方用时45分钟,如此( AB )A.该卫星的运行速度大小一定小于7.9 km/sB.该卫星的轨道半径与同步卫星的轨道半径之比为1∶4C.该卫星的加速度大小与同步卫星的加速度大小之比为2∶1D.该卫星的机械能一定小于同步卫星的机械能解析:由题意可知,卫星的周期 T=×45 min=180 min=3 h;由于卫星的轨道半径大于地球的半径,如此卫星的线速度小于第一宇宙速度,即卫星的线速度大小小于7.9 km/s,选项A正确;由万有引力提供向心力得G=m()2r,解得r=,该卫星的轨道半径与同步卫星的轨道半径之比===,选项B正确;由牛顿第二定律得G=ma,解得a=,该卫星的加速度大小与同步卫星的加速度大小之比==2=,选项C错误;由于不知该卫星与同步卫星的质量关系,故无法比拟其机械能大小,选项D错误.12.(2019·河北邯郸质检)2017年10月中国科学院国家天文台宣布FAST天文望远镜首次发现两颗太空脉冲星,其中一颗的自转周期为T(实际测量为1.83 s,距离地球1.6万光年).假设该星球恰好能维持自转不瓦解,令该星球的密度ρ与自转周期T的相关量为q星,同时假设地球同步卫星离地面的高度为地球半径的6倍,地球的密度ρ0与自转周期T0的相关量为q 地,如此( A )A.q地=q星B.q地=q星C.q地=q星D.q地=7q星解析:星球恰好能维持自转不瓦解,对该星球赤道外表的物体m有=m R,密度ρ=,可得q星==,同理对地球同步卫星有=m0··7R0,ρ0=,可得q地==,所以q地=q星.13.(2019·某某南宁二中月考)石墨烯是近年发现的一种新材料,其超高强度与超强导电、导热等非凡的物理性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化.科学家们设想,用石墨烯制作超级缆绳,搭建“太空电梯〞,通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站,电梯仓沿着这条缆绳运行,实现外太空和地球之间便捷的物资交换.地球的半径为R,自转周期为T,地球外表重力加速度为g,如下说法正确的答案是( B )A.“太空电梯〞上各点的角速度不一样B.乘“太空电梯〞匀速上升时乘客对电梯仓内地板的压力逐渐减小C.当电梯仓停在距地面高度为处时,仓内质量为m的乘客对电梯仓内地板的压力为零D.“太空电梯〞的长度L=解析:“太空电梯〞上各点在相等的时间内转过的角度相等,故角速度一样,A错误.由牛顿第二定律有G-F N=mω2r,随着r的增大,F N逐渐减小,由牛顿第三定律可知B正确.当电梯仓停在距地面高度为处时,有G-F N=G-F N=mω2(+R),F N一定不等于零,由牛顿第三定律可知C错误.“太空电梯〞的长度为同步卫星到地面的距离,由万有引力提供向心力得G=m r,由r=R+L,GM=gR2(黄金代换),得L=-R,D错误.14.(2018·湖南衡阳一模)(多项选择)据报道,一个国际研究小组借助于智利的天文望远镜,观测到了一组双星系统,它们绕两者连线上的某点O做匀速圆周运动,如下列图,假设此双星系统中体积较小的成员能“吸食〞另一颗体积较大星体的外表物质,导致质量发生转移,在演变过程中两者球心之间的距离保持不变,双星平均密度可视为一样.如此在最初演变的过程中( BC )A.它们间万有引力大小保持不变B.它们做圆周运动的角速度不变C.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变大,线速度变大D.体积较大的星体做圆周运动轨迹的半径变小,线速度变大解析:设体积较小的星体质量为m1,轨道半径为r1,体积较大的星体质量为m2,轨道半径为r2,双星间的距离为L,转移的质量为Δm.如此它们之间的万有引力为F=G,根据数学知识得知,随着Δm的增大,F先增大后减小,故A错误.对m1星体有G=(m1+Δm)ω2r1,对m2星体有G=(m2-Δm)ω2r2,得ω=,总质量m1+m2不变,两者距离L不变,如此角速度ω不变,故B正确.ω2r2=,由于ω,L,m1均不变,当Δm增大时,如此r2增大,即体积较大星体圆周运动轨迹半径变大;又由v=ωr2可知线速度v也增大,故C正确,D错误.15.(多项选择)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动.当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间,且三者几乎排成一条直线的现象,天文学称为“行星冲日〞.据报道,2014年各行星冲日时间分别是:1月6日木星冲日;4月9日火星冲日;5月11日土星冲日;8月29日海王星冲日;10月8日天王星冲日.地球与各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示,如此如下判断正确的答案是( BD )地球火星木星土星天王星海王星轨道半径1.0 1.5 5.2 9.5 19 30(AU)A.各地外行星每年都会出现冲日现象B.在2015年内一定会出现木星冲日C.天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D.地外行星中,海王星相邻两次冲日的时间间隔最短解析:金星运动轨道半径小于地球运动轨道半径,运行周期小于地球,因此可能发生凌日现象而不会发生冲日现象,选项A错误;地球周期T地=1年,如此ω地=,同理得T木=年,如此ω木=,木星于2014年1月6日冲日,如此(ω地-ω木)·t=2π,解得t=年≈1年,明确2015年内一定会出现木星冲日现象,B选项正确;根据开普勒第三定律,天王星周期年,远大于地球周期,说明天王星相邻两次冲日间隔近似一年,同理土星周期为年,也会出现类似情况,故C错误;周期越长,相邻两次冲日间隔越接近一年,D项正确.。

专题4.3 万有引力与航天1．掌握万有引力定律的内容，公式及应用。

2．理解环绕速度的含义并会求解。

3．了解第二和第三宇宙速度。

热点题型一 天体圆周运动问题例1、【2017·北京卷】利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是 A ．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转） B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【答案】D222π(GM M M r r T 日日日日，会消去两边的M ；故BC 能求出地球质量，D 不能求出。

【变式探究】 (多选)用m 表示地球的通讯卫星(同步卫星)的质量，h 表示离地面的高度，用R 表示地球的半径，g 表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度，则通讯卫星所受的地球对它的万有引力的大小为 ( )A ．GMm R ＋h 2B ．mgR 2R ＋h2C ．m ω2(R ＋h ) D ．m 3R 2g ω4 解析：由万有引力定律得：F ＝GMm R ＋h2①地球表面的重力加速度g ＝G M R2②由①②式得F ＝mgR 2R ＋h2③万有引力充当向心力F ＝m ω2(R ＋h )④由于D 选项m 3R 2g ω4中不含(R ＋h )，所以上面③④两式联立消掉(R ＋h )得：F 3＝m 3R 2g ω4，由此得F ＝m 3R 2g ω4。

由以上分析，本题正确选项为B 、C 、D 。

答案：BCD 【提分秘籍】1.解决天体圆周运动问题的基本思路思路一：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供，关系式：G Mm r 2＝m v 2r ＝m ω2r ＝m (2πT)2r 。

思路二：在天体表面或附近的物体所受的重力可认为等于天体对物体的引力，即mg ＝G MmR2。

由此可以得出黄金变换式GM ＝gR 2(注意g 为天体表面的重力加速度)，另外还可得到天体表面重力加速度公式g ＝GM R2，空中的重力加速度表达式g ′＝GM R ＋h2。

第4节万有引力与航天考点一|开普勒行星运动定律1．第必定律：全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在这些椭圆的一个焦点上．2．第二定律：对随意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．第三定律：全部行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方a3的比值都相等．其表达式为T2＝k，此中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个对全部行星都相同的常量．1．对于太阳系中各行星的轨道，以下说法中正确的选项是()A．全部行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B．有的行星绕太阳运动的轨道是圆C．不一样行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的D．不一样的行星绕太阳运动的轨道都相同[八大行星的轨道都是椭圆，A正确，B错误；不一样行星离太阳远近不一样，轨道不一样，半长轴也就不一样，C、D错误．]2．对于行星的运动，以下说法中不正确的选项是( )A．对于行星的运动，初期有“地心说”与“日心说”之争，而“地心说”简单被人们所接受的原由之一是因为相对运动使得人们察看到太阳东升西落B．全部行星环绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近地址速度小，远地址速度大a3C．开普勒第三定律T2＝k，式中k的值仅与中心天体的质量相关D．开普勒三定律也合用于其余星系的行星运动B[依据开普勒第二定律能够推测出近地址速度大，远地址速度小，应选项B错误．]3．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运转，依据开普勒行星运动定律可知()【导学号：81370168】A．太阳位于木星运转轨道的中心B．火星和木星绕太阳运转速度的大小一直相等C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积[太阳位于木星椭圆运转轨道的一个焦点上，不一样的行星运转在不一样的椭圆轨道上，其运转周期和速度均不相同，不一样的行星相同时间内，与太阳连线扫过的面积不相等，A、B、D均错误；由开普勒第三定律可知，C正确．]考点二|万有引力定律及应用1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．m1m2(2)表达式：F＝G r2G为引力常量：G＝×10－11N·m2/kg2.(3)合用条件①公式合用于质点间的互相作用．当两个物体间的距离远大于物体自己的大小时，物体可视为质点．②质量散布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．2．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力根源于天体之间的万有引力，即Mm v2224πr22(2)在中心天体表面或邻近运动时，万有引力近似等于重力，即MmGR 2＝mg(g表示天体表面的重力加快度)．3．天体质量和密度的估量(1)利用天体表面的重力加快度 g 和天体半径R.因为G Mm ，故天体质量 M ＝ gR 2R mgGMM3g天体密度ρ＝V＝43＝4πGR.3πR(2)经过察看卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r.Mm22 34π 4πr①由万有引力等于向心力，即 G r 2＝m T 2r ，得出中心天体质量M ＝GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的均匀密度M M 3πr 3ρ＝V ＝4 3＝GT 2R 3.3πR(2016·浙江10月学考 )如图4-4-1 所示，“天宫二号”在距离地面393km的近圆轨道运转，已知万有引力常量G10－11N ·m 2/kg 2，地球质量M＝×＝×1024kg ，地球半径R ＝×103km.由以上数据可估量()图4-4-1A ．“天宫二号”质量B ．“天宫二号”运转速度C ．“天宫二号”遇到的向心力D ．地球对“天宫二号”的引力Mm v2B[依据万有引力定律，F向＝F万＝G R2＝m R，此中m为卫星质量，R为轨道半径，即地球半径与离地高度之和，则已知G、M、R，可获得运转速度v，没法获得卫星质量m，亦没法求得F向、F万．应选B.]1．嫦娥三号远离地球飞近月球的过程中，地球和月球对它的万有引力F1、F2的大小变化状况是()【导学号：81370169】A．F1、F2均减小B．F1、F2均增大C．F1减小、F2增大D．F1增大、F2减小C[依据万有引力定律Mm，可知F1减小、F2增大，应选C.] F＝G r22．地球质量大概是月球质量的81倍，一飞翔器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞翔器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为()A．1∶9B．9∶1C．1∶10D．10∶1[设月球质量为m，则地球质量为81m，地月间距离为r，飞翔器质量为m0，当飞翔器距月球为r′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G mm20＝G r′81mm02，因此r－r′＝9，r＝10r′，r′∶r＝1∶10，应选项C正确．]r－r′r′3．2015年12月17日，我国发射了首颗探测“暗物质”的空间科学卫星“悟空”，使我国的空间科学探测进入了一个新阶段．已知“悟空”在距地面为h 的高空绕地球做匀速圆周运动，地球质量为M，地球半径为R，引力常量为G，则能够求出()【导学号：81370170】A．“悟空”的质量B．“悟空”的密度C．“悟空”的线速度大小D．地球对“悟空”的万有引力Mmv 2C [依据万有引力充任向心力 G R ＋h 2＝m R ＋h ，可求得“悟空”的线速度v ＝GM，因没法求出“悟空”的质量，进而没法求出“悟空”的密度和地球R ＋h对“悟空”的万有引力，选项 C 正确，A 、B 、D 错误．] 4．对于万有引力定律的表达式，以下说法正确的选项是 ( ) A ．G 是引力常量，是人为规定的 B ．当r 等于零时，万有引力为无量大 C ．两物体遇到的引力老是大小相等，与两物体质量能否相等没关 D ．r 是两物体间近来的距离 [引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规 定的，故A 错误；当两个物体间的距离趋近于 0时，两个物体就不可以视为质点 了，万有引力公式不再合用，故 B 错误；力是物体间的互相作用，万有引力相同 合用于牛顿第三定律，即两物体遇到的引力老是大小相等， 与两物体质量能否相 等没关，故C 正确；r 是两质点间的距离，质量散布均匀的球体可视为质点，此 时r 是两球心间的距离，故 D 错误．] 5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星 “51peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕． “51pegb ”绕此中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1 ，该中心恒星与太20阳的质量比约为()【导学号：81370171】1A.10 B ．1 C ．5D ．1022 3Mm 4π4πr[依据万有引力供给向心力，有G r 2＝m T 2r ，可得M ＝GT 2，因此恒M 恒 3 213652r 行T地3星质量与太阳质量之比为 M 太＝r 地3T 行2＝20 × 4≈1，应选项B 正确．] 考点三| 宇宙航行、经典力学的限制性1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律v 2 GM1m r →v ＝r →v ∝ rMm2GM 1Gm ωr →ω＝r 3→ω∝r 3 2 ＝越高越慢r 223 地＋h 4π4πr3 r ＝Rm T 2r →T ＝GM →T ∝rGM 1ma →a ＝r 2→a ∝r 2mg ＝GMm22近地时→GM ＝gR 地R地2．三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度 v 1＝km/s ，卫星在地球表面邻近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环 绕速度． (2)第二宇宙速度 v 2＝km/s ，使卫星摆脱地球引力约束的最小地面发射速度，又称离开速 度． (3)第三宇宙速度 v 3＝km/s ，使卫星摆脱太阳引力约束的最小地面发射速度，也叫逃逸速 度． 3．第一宇宙速度的推导Mm2GMv 13方法一：由G R 2 ＝m R 得v 1＝R ＝×10m/s.2v 1方法二：由mg ＝m R 得v 1＝ g R ＝×103m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度， 此时它的运转周期最短， T min ＝2π R g ＝5075s ≈85min.4．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动． km/s<v 发km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆．km/s≤v发km/s，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v发≥km/s，卫星将摆脱太阳引力的约束，飞到太阳系之外的空间．5．经典力学的限制性(1)只合用于低速运动，不合用于高速运动．(2)只合用于宏观世界，不合用微观世界．(2015·浙江10月学考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射．在多星分别时，小卫星分别在高度不一样的三层轨道被挨次释放．假定开释后的小卫星均做匀速圆周运动．则以下说法正确的选项是()图4-4-2A．20颗小卫星的轨道半径均相同B．20颗小卫星的线速度大小均相同C．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D．不一样圆轨道上的小卫星的角速度均相同Mm v22π2C[三层轨道高度不一样，故r不一样，A错误；由G r2＝m r＝mωr＝m T 2r可知，轨道半径不一样，线速度、角速度大小不一样，B、D错误；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C正确．](2016·浙江4月学考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为×102km的预约轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R＝×103km.以下说法正确的是()图4-4-3A．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小B．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小C．“悟空”卫星的运转周期比同步卫星的运转周期小D．“悟空”卫星的向心加快度比同步卫星的向心加快度小MmC[“悟空”卫星和地球同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，知足：G r2＝v222π2m r＝mωr＝m T r，“悟空”卫星轨道半径小，因此线速度大，角速度大，周期小，向心加快度大，因此C正确．]1．2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了初次太空讲课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小()【导学号：81370172】A．等于km/sB．介于km/s 和km/s之间C．小于km/sD．介于km/s 和km/s之间GMC[卫星在圆形轨道上运动的速度v＝r.因为r>R，因此km/s，C正确．]2．对于地球的第一宇宙速度，以下表述正确的选项是 ()A．第一宇宙速度又叫环绕速度B．第一宇宙速度又叫离开速度C．第一宇宙速度跟地球的质量没关D．第一宇宙速度跟地球的半径没关A[第一宇宙速度又叫环绕速度，故A正确，B错误；依据定义有mMGR2＝v2mR，得v＝GM为地球质量，R为地球半径，故C、D错误．]R，此中，M3．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R1，乙的轨道半径为R 2，R 2>R 1.依据以上信息可知( ) A ．甲的质量大于乙的质量 B ．甲的周期大于乙的周期 C ．甲的速率大于乙的速率 D ．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力 [轨道半径越小，向心加快度、线速度、角速度越大，周期越小，B 错， C 对；卫星质量不可以比较，A 错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不可以比较， 错．] 4．我国成功发射的“神舟”号载人宇宙飞船和人造地球同步通讯卫星都绕 地球做匀速圆周运动，已知飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径． 则可判断 ( ) A ．飞船的运转周期小于同步卫星的运转周期 B ．飞船的线速度小于同步卫星的线速度 C ．飞船的角速度小于同步卫星的角速度 D ．飞船的向心加快度小于同步卫星的向心加快度 [该卫星的质量为m ，轨道半径为r ，周期T ，线速度为v ，角速度为ω，Mm2v 224πr向心加快度为a n ，地球的质量为M ，由万有引力定律得 G r2 ＝m T 2＝m r ＝m ωr r 3 GM GM GM＝ma n ，故T ＝2πGM ，v ＝ r，ω＝r 3，a n ＝r 2 ，因为飞船的轨道半 径小于同步卫星的轨道半径， 因此飞船的运转周期小于同步卫星的运转周期， 飞船的线速度大于同步卫星的线速度， 飞船的角速度大于同步卫星的角速度， 飞船 的向心加快度大于同步卫星的向心加快度，选项 A 正确，B 、C 、D 错误．] 5.如图4-4-4所示，a 、b 、c 三颗卫星在各自的轨道上运转，轨道半径r a <r b <r c ， 但三个卫星遇到地球的万有引力大小相等，则以下说法正确的选项是 ( )图4-4-4A ．三个卫星的加快度为 a a <a b <a cB ．三个卫星的线速度为 v a <v b <v c2018届高三物理浙江学考一轮复习练习：第4章第4节万有引力与航天含答案11 / 1111C ．三个卫星的质量为m a >m b >m cD ．三个卫星的运转周期为T a <T b <T cD [卫星的向心加快度GMa ＝r 2，轨道半径越小，向心加快度越大，选项A错误；卫星的速度v ＝GMr ，则轨道半径越小，速度越大，选项B 错误；因为三个卫星遇到地球的万有引力大小相等，由MmF ＝Gr 2可知，轨道半径越大，卫r 3星的质量越大，选项C 错误；卫星的运转周期T ＝2πGM ，因此轨道半径越大， 周期越长，选项 D 正确．]精选介绍 强力介绍 值得拥有 精选介绍 强力介绍 值得拥有。

第4章万有引力定律及航天本章复习提升易混易错练易错点1混淆万有引力表达式中的r和向心力表达式中的r1.两颗靠得较近的天体称为双星,它们以两者的连线上某点为圆心做匀速圆周运动,不会因万有引力作用而吸在一起(不考虑其他天体对它们的影响),已知两天体质量分别为m1和m2,相距为L,求它们运转的角速度ω。

易错点2混淆卫星的发射速度、运行速度2.(多选题)关于第一宇宙速度,下列说法正确的是()A.它是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最小速度B.它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度C.它是能使卫星进入轨道的最小发射速度D.它是卫星在椭圆轨道上运行时近地点的速度易错点3混淆卫星的稳定运行速度和动态变轨速度3.有两艘宇宙飞船均在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动,开始时两飞船一前一后,若后面的飞船突然加速,问能否追上前面的飞船?若不能,请进一步分析后面的飞船加速后是向外飞还是向里飞?易错点4混淆赤道上物体随地球自转与卫星绕地球运动的区别4.(多选题)(2022江苏泰州中学期中)同步卫星离地心距离为r,运行速率为v1,加速度为a1;地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2,第一宇宙速度为v2,地球半径为R,则下列比值正确的是()A.a1a2=rRB.a1a2=(Rr)2C.v1v2=rRD.v1v2=√Rr思想方法练一、数形结合法方法概述数形结合法是将抽象的物理问题直观化、形象化的最佳工具,能从整体上反映出两个或两个以上物理量的定性或定量关系,图像问题是常见的数形结合法的具体应用。

利用图像解题时一定要从图像纵、横坐标的物理意义以及图线中的“点”“线”“斜率”“截距”和“面积”等诸多方面寻找解题的突破口。

利用图像解题不但快速、准确,能避免繁杂的运算,还能解决一些用一般计算方法无法解决的问题。

1.(多选题)(2022河北保定唐县一中月考)如图甲所示,假设某星球表面上有一倾角为θ=30°的固定斜面,一质量为m的小物块从斜面底端沿斜面向上运动,其速度-时间图像如图乙所示。

专题增强练(四) 万有引力定律与航天考点1天体质量的计算1．(2018·北京卷)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”依照同样的规律，在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，需要考据()A．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1 602B．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1 602C．自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的1 6D．苹果在月球表面碰到的引力约为在地球表面的1 60解析：月球碰到的万有引力F月＝GMM月（60R）2，苹果碰到的万有引力F＝GMmR2，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，故两者之间万有引力的关系无法确定，故A错误；月球公转的加速度a月＝GM（60R）2，苹果落地的加速度a＝GMR2，则a月＝1602a，故B正确；由于月球自己的半径未知，故无法求出月球表面和地面重力加速度的关系，故C、D错误．答案：B2.(2018·保定模拟)两颗互不影响的行星P1、P2，各有一颗近地卫星S1、S2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某地址的引力加速度a，横轴表示某地址到行星中心距离r平方的倒数，a－1r2关系以下列图，卫星S1、S2的引力加速度大小均为a0.则()A．S1的质量比S2的大B．P1的质量比P2的大C．P1的第一宇宙速度比P2的小D．P1的平均密度比P2的大解析：万有引力充当向心力，故有G Mmr2＝ma，解得a＝GM1r2，故图象的斜率k＝GM，由于G是恒量，M表示行星的质量，所以斜率越大，行星的质量越大，故P1的质量比P2的大，由于计算过程中，卫星的质量能够约去，所以无法判断卫星质量关系，A错误，B正确；由于两个卫星是近地卫星，所以其运行轨道半径能够为等于行星半径，依照第一宇宙速度公式v＝gR可得v＝a0R，从题图中能够看出，当两者加速度都为a0时，P2半径要比P1小，故P1的第一宇宙速度比P2大，C错误；星球的密度ρ＝MV＝M43πR3＝a0R2G43πR3＝3a04πGR，故星球的半径越大，密度越小，所以P1的平均密度比P2的小，D错误．答案：B3．(2015·重庆卷)宇航员王亚平在“天宫1号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完好失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为()A．0 B.GM（R＋h）2C.GMm（R＋h）2D.GMh2解析：飞船受的万有引力等于在该地方受的重力，即GMm（R＋h）2＝mg，得g＝GM（R＋h）2，选项B正确．答案：B4．(2018·济宁模拟)以下列图，人造卫星P(可视为质点)绕地球做匀速圆周运动．在卫星运动轨道平面内，过卫星P作地球的两条切线，两条切线的夹角为θ，设卫星P绕地球运动的周期为T，线速度为v，引力常量为G.以下说法正确的选项是()A ．θ越大，T 越大B ．θ越小，v 越大C ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2⎝ ⎛⎭⎪⎫tan θ23D ．若测得T 和θ，则地球的平均密度为ρ＝3πGT 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ23 解析：地球半径不变，夹角θ越大，卫星的轨道半径越小，则T 就越小，A 错误；夹角θ越小，卫星的轨道半径越大，v 就越小，B 错误；若测得T 和θ，由万有引力充当向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，求得地球的质量M ＝4π2r 3GT 2，地球的体积V ＝43πR 3，由几何关系得R r ＝sin θ2，联立解得ρ＝3πGT 2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ23，C 错误，D 正确．答案：D考点2 卫星运行参数的解析5.以下列图，A 、B 是绕地球做匀速圆周运动的两颗卫星，A 、B 两卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积之比为k ，不计A 、B 两卫星之间的引力，则A 、B 两卫星的周期之比为( )A ．k 3B ．k 2C ．kD ．k 23解析：设卫星绕地球做圆周运动的半径为r ，周期为T ，则在t 时间内与地心连线扫过的面积为S ＝t T πr 2，即S A S B ＝r 2A T B r 2B T A ＝k ，依照开普勒第三定律可知r 3A T 2A＝r 3B T 2B ，联立解得T A T B ＝k 3，A 正确． 答案：A6.我国首颗量子科学实验卫星于2016年8月16日1点40分成功发射．量子卫星成功运行后，我国将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信，成立天地一体化的量子保密通信与科学实验系统．假设量子卫星轨道在赤道平面，以下列图．已知量子卫星的轨道半径是地球半径的m 倍，同步卫星的轨道半径是地球半径的n 倍，图中P 点是地球赤道上一点，由此可知( )A ．同步卫星与量子卫星的运行周期之比为n 3m 3B ．同步卫星与P 点的速度之比为1n C ．量子卫星与同步卫星的速度之比为n mD ．量子卫星与P 点的速度之比为n 3m 解析：依照G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝4π2r 3GM ，由题意知r 量子＝mR ，r 同步＝nR ，所以T 同T 量＝r 3同r 3量＝（nR ）3（mR ）3＝n 3m 3，故A 错误；P 为地球赤道上一点，P 点角速度等于同步卫星的角速度，依照v ＝ωr ，所以有v 同v P ＝r 同r P＝nR R ＝n 1，故B 错误；依照G Mm r 2＝m v 2r ，得v ＝GMr ，所以v 量v 同＝r 同r 量＝nR mR ＝n m ，故C 错误；综合B 、C ，有v 同＝nv P ，v 量nv P＝nm ，得v 量v P ＝n 3m ，故D 正确．答案：D 7.国务院批复，自2016年起将4月24日成立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前依旧在椭圆轨道上运行，其轨道近地址高度约为440 km ，远地址高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地址的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2>a 1>a 3B ．a 3>a 2>a 1C ．a 3>a 1>a 2D ．a 1>a 2>a 3解析：东方红二号地球同步卫星和地球自转的角速度同样，由a ＝ω2r 可知，a 2>a 3；由万有引力供应向心力可得：a ＝GM r 2，东方红一号的轨道半径小于东方红二号的轨道半径，所以有：a 1>a 2，所以有：a 1>a 2>a 3，故A 、B 、C 错误，D 正确．答案：D8．(2018·天津模拟)经过网络采集，我们获取了地月系统的相关数据资料以下表，依照这些数据我们计算出了地心到月球球心之间的距离，以下选项中正确的选项是( )地球半径R ＝6 400 km 地球表面重力加速度g 0＝9.80 m/s 2 月球表面重力加速度g ′＝1.56 m/s 2 月球绕地球转动的线速度v ＝1 km/s 月球绕地球转动周期 T ＝27.3天A.v 2g ′B.vT 2πC.v 2g 0 D.3g 0R 2T 22π2解析：依照数据，月球绕地球转动的线速度为v ，周期为T ，则月球公转的半径为：R′＝vT2π，故B正确．依照万有引力供应向心力GMmR′2＝mg＝mv2R′，可得轨道半径R′＝v2g，但是g是地球在月球运行轨道上产生的重力加速度，既不是月球表面重力加速度也不是地球表面重力加速度，选项A、C错误．以月球为研究对象，月球绕地球公转时，由地球的万有引力供应向心力，设地球质量为M，月球的质量为m，则得：G MmR′2＝m4π2T2R′，又在地球表面，有：g0＝GMR2，联立以上两式得：R′＝3g0R2T24π2，故D错误．答案：B9．宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，平时可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每颗星的质量均为m，半径均为R，四颗星牢固分布在边长为a的正方形的四个极点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，以下说法错误的选项是()A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a 2C．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2D．四颗星的周期均为2πa2a（4＋2）Gm解析：四星系统的其中一颗星碰到其他三颗星的万有引力作用，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a，故A正确，B错误；在星体表面，依照万有引力等于重力，可得G mm′R2＝m′g，解得g＝GmR2，故C正确；由万有引力定律和向心力公式得Gm2（2a）2＋2Gm2a2＝m4π2T2·2a2，T＝2πa2a（4＋2）Gm，故D正确．答案：B10．(2018·河南三市调研)由三颗星体组成的系统，叫做三星系统．有这样一种简单的三星系统，质量恰巧都同样的三个星体甲、乙、丙在三者相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个极点上，绕某一共同的圆心O 在三角形所在的平面内做同样周期的圆周运动．若三个星体的质量均为m ，三角形的边长为a ，万有引力常量为G ，则以下说法正确的选项是( )A ．三个星体做圆周运动的半径均为aB ．三个星体做圆周运动的周期均为2πa a 3GmC ．三个星体做圆周运动的线速度大小均为 3Gma D ．三个星体做圆周运动的向心加速度大小均为3Gm a 2解析：质量相等的三星系统的地址关系组成一等边三角形，其中心O 即为它们的共同圆心，由几何关系可知三个星体做圆周运动的半径r ＝33a ，应选项A 错误；每个星体碰到的别的两星体的万有引力供应向心力，其大小F ＝3·Gm 2a 2，则3Gm 2a 2＝m 4π2T 2r ，得T ＝2πa a 3Gm ，应选项B 正确；由线速度v ＝2πr T 得v ＝Gm a ，应选项C 错误；向心加速度a ＝F m ＝3Gm a 2，应选项D 错误． 答案：B考点3 卫星变轨问题11．(多项选择)2016年10月19日，神舟十一号飞船与天宫二号空间实验室成功进行了自动交会对接，航天员景海鹏、陈冬进入天宫二号．对接轨道所处的空间存在极其稀少的大气．以下说法正确的选项是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫二号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫二号的轨道高度将缓慢降低D．航天员在天宫二号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用解析：第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为围绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，以致需要的向心力F n＝mv2r减小，做近心运动，近心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B、C正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部供应航天员做圆周运动的向心力，选项D错误．答案：BC12．(2016·天津卷)我国立刻发射“天宫二号”空间实验室，此后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，以下措施可行的是()A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，尔后飞船加速追上空间实验室实现对接B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，尔后空间实验室减速等待飞船实现对接C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐凑近空间实验室，两者速度凑近时实现对接D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐凑近空间实验室，两者速度凑近时实现对接解析：飞船在同一轨道上加速追赶空间实验室时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能够实现与空间实验室的对接，选项A错误；同理，空间实验室在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间实验室做近心运动，也不能够实现对接，选项B错误；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上加速时，飞船做离心运动，逐渐凑近空间实验室，可实现对接，选项C正确；当飞船在比空间实验室半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间实验室，不能够实现对接，选项D错误．答案：C13．(多项选择)(2018·常州模拟)中国志愿者王跃参加人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的一次实验“火星－500”活动，王跃走出登陆舱，成功踏上模拟火星表面，在火星上首次留下中国人的踪影．假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历了以下列图的变轨过程，则以下说法中正确的选项是()A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点速度大于在Q点的速度B．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动的机械能C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度D．飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期同样解析：由飞船在轨道Ⅱ上运动机会械能守恒可知，飞船在P点速度大于在Q 点的速度，A正确；飞船从轨道Ⅰ加速过渡到轨道Ⅱ，所以飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能小于在轨道Ⅱ上运动的机械能，B错误；飞船在空间同一点所受万有引力同样，所以飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度，C正确；由G Mmr2＝m⎝⎛⎭⎪⎫2πT2r可知，M不同样，则T不同样，故飞船绕火星在轨道Ⅰ上的运动周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样半径运动的周期不同样，D错误．答案：AC14.中国首个空间实验室“天宫一号”在酒泉卫星发射中心，由长征运载火箭将飞船送入近地址为A、远地址为B的椭圆轨道上，B点距离地面高度为h，地球的中心位于椭圆的一个焦点上．“天宫一号”翱翔几周后进行变轨，进入预定圆轨道，以下列图．已知“天宫一号”在预定圆轨道上翱翔n圈所用时间为t，引力常量为G，地球半径为R.则以下说法正确的选项是()A．“天宫一号”在椭圆轨道的B点的向心加速度大于在预定圆轨道的B点的向心加速度B．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，机械能不守恒C．“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能先减小后增大D．由题中给出的信息能够计算出地球的质量M＝4π2n2（R＋h）3Gt2解析：在B点，由G Mmr2＝ma知，无论在哪个轨道上的B点，其向心加速度同样，A错误；“天宫一号”在椭圆轨道上运行时，其机械能守恒，B错；“天宫一号”从A点开始沿椭圆轨道向B点运行的过程中，动能素来减小，C错误；对“天宫一号”在预定圆轨道上运行，有GMm（R＋h）2＝m(R＋h)·4π2T2，而T＝tn，故M＝4π2n2（R＋h）3Gt2，D正确．答案：D。

万有引力与航天1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是导学号 51342462( B )A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律[解析] 开普勒在第谷的观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，B 项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的基础上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A 、C 、D 项错。

2．(2016·四川理综)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”。

1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786 km 的地球同步轨道上。

设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为导学号 51342463( D )A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3[解析] 固定在赤道上的物体随地球自转的周期与同步卫星运行的周期相等，同步卫星做圆周运动的半径大，由a ＝r (2πT)2可知，同步卫星做圆周运动的加速度大，即a 2>a 3，B 、C 项错误；由于东方红二号与东方红一号在各自轨道上运行时受到万有引力，由牛顿第二定律有G Mm r 2＝ma ，即a ＝G Mr2，由于东方红二号的轨道半径比东方红一号在远地点时距地高度大，因此有a 1>a 2，D 项正确。

3．(2016·全国卷Ⅰ)利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍。

第4讲 万有引力与航天一、明晰一个网络，破解天体运动问题二、“一种模型、两条思路、三个物体、四个关系”1．一种模型：无论自然天体(如地球、月亮)还是人造天体(如宇宙飞船、人造卫星)都可以看作质点，围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动．2．两条思路：(1)万有引力提供向心力，即GMmr 2＝ma 向． (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即GMm R2＝mg ，公式gR 2＝GM 应用广泛，被称为“黄金代换”．3．三个物体：求解卫星运行问题时，一定要认清三个物体(赤道上的物体、近地卫星、同步卫星)的特点． 4．四个关系：“四个关系”是指人造卫星的加速度、线速度、角速度、周期与轨道半径的关系．GMmr2＝⎩⎪⎨⎪⎧ma →a ＝GM r 2 →a ∝1r2m v 2r →v ＝GM r →v ∝1r mω2r →ω＝GM r 3→ω∝1r 3m 4π2T 2r →T ＝4π2r 3GM→T ∝r 3高频考点1 开普勒定律与万有引力定律1－1.(多选) (2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P 为近日点，Q 为远日点，M 、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T 0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P 经M 、Q 到N 的运动过程中()A ．从P 到M 所用的时间等于T 0/4B ．从Q 到N 阶段，机械能逐渐变大C ．从P 到Q 阶段，速率逐渐变小D ．从M 到N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功解析：本题考查天体的运行规律．海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，由开普勒第二定律可知，从P →Q 速度逐渐减小，故从P 到M 所用时间小于T 0/4.选项A 错误，C 正确；从Q 到N 阶段，只受太阳的引力，故机械能守恒，选项B 错误；从M 到N 阶段经过Q 点时速度最小，故万有引力对它先做负功后做正功，选项D 正确．答案：CD1－2.(2017·湖北省重点中学高三测试)如图所示，由中山大学发起的空间引力波探测工程“天琴计划”于2015年启动，拟采用三颗全同的卫星(SC1、SC2、SC3)构成一个边长约为地球半径27倍的等边三角形阵列，地球恰好处于三角形中心，卫星将在以地球为中心、高度约10万公里的轨道上运行，对一个周期仅有5.4分钟的超紧凑双白矮星系统RXJ0806.3＋1527产生的引力波进行探测．若地球近地卫星的运行周期为T 0，则三颗全同卫星的运行周期最接近()A ．40T 0B ．50T 0C ．60T 0D ．70T 0解析：由几何知识可知，每颗卫星的运转半径为：r ＝12×27R sin 60°＝93R ，根据开普勒行星运动第三定律可知：R 3T 2＝r 3T2，则T ＝r 3R 3T 0＝61.5T 0，故选C ． 答案：C1－3.(2017·辽宁省实验中学高三月考)由中国科学院、中国工程院两院士评出的2012年中国十大科技进展新闻，于2013年1月19日揭晓，“神九”载人飞船与“天宫一号”成功对接和“蛟龙”号下潜突破7 000米分别排在第一、第二．若地球半径为R ，把地球看作质量分布均匀的球体．“蛟龙”下潜深度为d ，天宫一号轨道距离地面高度为h ，“蛟龙”号所在处与“天官一号”所在处的加速度之比为( )A ．R －d R ＋hB ．(R －d )2(R ＋h )2C ．(R －d )(R ＋h )R 2D ．(R －d )(R ＋h )2R 3解析：令地球的密度为ρ，则在地球表面，重力和地球的万有引力大小相等，有：g ＝GMR 2，由于地球的质量为：M ＝ρ43πR 3，所以重力加速度的表达式可写成：g ＝GM R 2＝Gρ43πR 3R 2＝43πGρR .根据题意有，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d 的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于(R －d )的球体在其表面产生的万有引力，故重力加速度g ′＝43πGρ(R －d )．所以有g ′g ＝R －d R .根据万有引力提供向心力G Mm (R ＋h )2＝ma ，“天宫一号”的加速度a ＝GM (R ＋h )2，所以ag ＝R 2(R ＋h )2，所以g ′a ＝(R －d )(R ＋h )2R 3，故D 正确，ABC 错误．答案：D1－4.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A ．3π(g 0－g )GT 2g 0B ．3πg 0GT 2(g 0－g )C ．3πGT2D ．3πg 0GT 2g解析：物体在地球的两极时，mg 0＝G Mm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m (2πT )2R ＝G MmR 2，以上两式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g ).故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．答案：B高频考点2 天体质量和密度的估算1．利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R ．由于GMm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ，天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR． 2．通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r ．(1)由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2；(2)若已知天体半径R ，则天体的平均密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3；(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2.可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．2－1.(2017·北京卷)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( ) A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离解析：根据G Mm R 2＝mg 可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量．根据G Mm R 2＝m v 2R 及v ＝2πR T 可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量．根据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量．已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量．答案：D2－2． (2017·保定市期末调研)两颗互不影响的行星P 1、P 2，各有一颗近地卫星S 1、S 2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a ，横轴表示某位置到行星中心距离r 平方的倒数，a - 1r 2关系如图所示，卫星S 1、S 2的引力加速度大小均为a 0.则( )A ．S 1的质量比S 2的大B ．P 1的质量比P 2的大C ．P 1的第一宇宙速度比P 2的小D ．P 1的平均密度比P 2的大解析：万有引力充当向心力，故有GMm r 2＝ma ，解得a ＝GM 1r2，故图象的斜率k ＝GM ，因为G 是恒量，M 表示行星的质量，所以斜率越大，行星的质量越大，故P 1的质量比P 2的大，由于计算过程中，卫星的质量可以约去，所以无法判断卫星质量关系，A 错误，B 正确；因为两个卫星是近地卫星，所以其运行轨道半径可认为等于行星半径，根据第一宇宙速度公式v ＝gR 可得v ＝a 0R ，从图中可以看出，当两者加速度都为a 0时，P 2半径要比P 1小，故P 1的第一宇宙速度比P 2的大，C 错误；星球的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝a 0R 2G 43πR 3＝3a 04πGR，故星球的半径越大，密度越小，所以P 1的平均密度比P 2的小，D 错误．答案：B2－3.(多选)(2017·湖南省师大附中等四校联考)某行星外围有一圈厚度为d 的发光带(发光的物质)，简化为如图甲所示模型，R 为该行星除发光带以外的半径．现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确的观测，发现发光带绕行星中心的运行速度v 与到行星中心的距离r 的关系如图乙所示(图中所标为已知)，则下列说法正确的是()A ．发光带是该行星的组成部分B ．该行星的质量M ＝v 20RGC ．行星表面的重力加速度g ＝v 20RD ．该行星的平均密度为ρ＝3v 20R4πG (R ＋d )3解析：若发光带是该行星的组成部分，则其角速度与行星自转角速度相同，应有v ＝ωr ，v 与r 应成正比，与图象不符，因此发光带不是该行星的组成部分，故A 错误；设发光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，则有：G Mm r 2＝m v 2r ，得该行星的质量为：M ＝v 2r G ；由图乙知，r ＝R 时，v ＝v 0，则有：M ＝v 20RG ，故B 正确；当r ＝R 时有mg ＝m v 20R ，得行星表面的重力加速度g ＝v 20R ，故C 正确；该行星的平均密度为ρ＝M 43πR 3＝3v 204πGR 2，故D错误．答案：BC高频考点3 人造卫星的运行参量分析3－1.(2017·莆田市质检)卫星A 和B 均绕地球做匀速圆周运动，其角速度之比ωA ∶ωB ＝1∶8，则两颗卫星的( )A ．轨道半径之比r A ∶rB ＝64∶1 B ．轨道半径之比r A ∶r B ＝1∶4C ．运行速度之比v A ∶v B ＝1∶ 2D ．运行速度之比v A ∶v B ＝1∶2可得v ＝GMr ，故可得v A v B ＝12，C 错误，D 正确． 答案：D3－2.(2017·泰安一模)据报道：天文学家发现一颗新的系外类地行星，名为“HD85512b”，它的质量是地球的3.6倍，半径约是地球的1.6倍，它环绕一颗名叫“HD85512”的恒星运转，运行一周只需54天．根据以上信息可以确定( )A ．恒星HD85512的质量比太阳大B ．行星HD85512b 自转的周期小于24 hC ．行星HD85512b 的第一宇宙速度大于7.9 km/sD ．行星HD85512b 表面的重力加速度小于9.8 m/s 2解析：设地球的质量为m 0，半径为r 0，该类地行星的质量则为1.6m 0，半径为3.6r 0，该类地行星绕HD85512恒星运转，由万有引力定律G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可知，在地球和该类地行星公转半径都不知道的情况下，无法比较恒星HD85512与太阳的质量大小，A 错误；由于题目条件是类地行星的公转周期，所以无法判断其自转周期，B 错误；由万有引力定律G m 0m r 20＝m v 20r 0，可得地球的第一宇宙速度v 0＝Gm 0r 0≈7.9 km/s ，同理可得类地行星的第一宇宙速度v 1＝G ·3.6m 01.6r 0＝32Gm 0r 0＝32v 0＝11.85 km/s ，所以C 正确；由G m 0m r 20＝mg 得地球表面重力加速度g ＝G m 0r 20，同理可得类地行星表面重力加速度为g ′＝G 3.6m 0(1.6r 0)2＝96.4g ，所以D 错误． 答案：C3－3．国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )A ．a 2＞a 1＞a 3B ．a 3＞a 2＞a 1C ．a 3＞a 1＞a 2D ．a 1＞a 2＞a 3解析：卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G Mm 1(R ＋h 1)2＝m 1a 1，即a 1＝GM (R ＋h 1)2，对于东方红二号，有G Mm 2(R ＋h 2)2＝m 2a 2，即a 2＝GM(R ＋h 2)2，由于h 2＞h 1，故a 1＞a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2＞a 3，所以a 1＞a 2＞a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．答案：D3－4． (多选)如图所示，两质量相等的卫星A 、B 绕地球做匀速圆周运动，用R 、T 、E k 、S 分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有( )A ．T A ＞TB B ．E k A ＞E k BC ．S A ＝S BD ．R 3A T 2A ＝R 3B T 2B解析：根据开普勒第三定律，R 3A T 2A ＝R 3BT 2B ，又R A ＞R B ，所以T A ＞T B ，选项A 、D 正确；由G Mm R 2＝m v 2R得，v ＝GMR，所以v A ＜v B ，则E k A ＜E k B ，选项B 错误；由G Mm R 2＝mR 4π2T 2得，T ＝2πR 3GM，卫星与地心的连线在单位时间内扫过的面积S ＝1T πR 2＝GMR2，可知S A ＞S B ，选项C 错误．答案：AD用好二级结论，速解运行参量比较问题天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力． 基本关系式为：G Mm r 2＝ma ＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2．二级结论有：(1)向心加速度a ∝1r 2，r 越大，a 越小；(2)线速度v ∝ 1r，r 越大，v 越小； (3)角速度ω∝1r3，r 越大，ω越小；(4)周期T ∝r 3，r 越大，T 越大． 高频考点4 卫星的变轨问题分析4－1.(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大解析：天宫二号单独运行时的轨道半径与组合体运行的轨道半径相同．由运动周期T ＝2π r 3GM，可知周期不变，A 项错误．由速率v ＝GMr，可知速率不变，B 项错误．因为(m 1＋m 2)>m 1，质量增大，故动能增大，C项正确．向心加速度a ＝v2r不变，D 项错误．答案：C4－2.(2017·江西省九校高三联考)我国的“神舟十一号”载人航天飞船于2016年10月17日发射升空，入轨两天后，与“天宫二号”进行对接，假定对接前，“天宫二号”在图所示的轨道3上绕地球做匀速圆周运动，而“神舟十一号”在图中轨道1上的P 点瞬间改变其速度大小，使其运行的轨道变为椭圆轨道2，并在椭圆轨道2与轨道3的切点与“天宫二号”进行对接，图中P 、Q 、K 三点位于同一直线上，则( )A ．“神舟十一号”在P 点轨道1的加速度大于轨道2的加速度B ．如果“天宫二号”位于K 点时“神舟十一号”在P 点处变速，则两者第一次到达Q 点即可对接C ．“神舟十一号”沿椭圆轨道2从P 点飞向Q 点过程中机械能不断增大D ．为了使对接时两者的速度相同，“神舟十一号”到达Q 点时应稍微加速解析：根据a ＝GMr 2可知，“神舟十一号”在P 点轨道1的加速度等于轨道2的加速度，选项A 错误；由图示可知，在轨道3上运行时的周期大于在轨道2上运行时的周期，如果“天宫二号”位于K 点时“神舟十一号”在P 点处变速，“神舟十一号”要比“天宫二号”早到达Q 点，则两者第一次到达Q 点时不能对接，故B 错误；“神舟十一号”沿椭圆轨道2从P 点飞向Q 点过程中只有万有引力做功，其机械能守恒，故C 错误；为了使对接时两者的速度相同，“神舟十一号”到达Q 点时应稍微加速，使两者速度相等，然后实现对接．故D 正确．答案：D4－3.假设在赤道平面内有一颗侦察卫星绕地球做匀速圆周运动，某一时刻恰好处在另一颗同步卫星的正下方，已知侦察卫星的轨道半径为同步卫星的四分之一，则有( )A ．同步卫星和侦察卫星的线速度之比为2∶1B ．同步卫星和侦察卫星的角速度之比为8∶1C ．再经过127 h 两颗卫星距离最远D ．再经过67h 两颗卫星距离最远解析：两颗卫星都是由万有引力提供向心力，则GMm R 2＝m v 2R ＝mR 4π2T 2＝mRω2，可得线速度v ＝GMR，所以同步卫星和侦察卫星的线速度之比为1∶2，选项A 错误；角速度ω＝ GMR 3，同步卫星和侦察卫星的角速度之比为1∶8，选项B 错误；周期T ＝4π2R 3GM，可得侦察卫星的周期为3 h ．若再经过时间t 两颗卫星距离最远，则有t ⎝⎛⎭⎫2πT 2－2πT 1＝(2n ＋1)π(n ＝0,1,2,3，…)，即t ⎝⎛⎭⎫13－124＝ 2n ＋12(n ＝0,1,2,3，…)，可得时间t ＝ 127(2n ＋1) h(n ＝0,1,2,3，…)，选项C 正确，D 错误．答案：C从引力和向心力的关系分析变轨问题卫星在发射或运行过程中有时要经过多次变轨，过程简图如下． 较低圆轨道向后喷气近地点向前喷气椭圆轨道远地点向后喷气向前喷气较高圆轨道当卫星以某一速度v 沿圆轨道运动时，万有引力提供向心力，GMmr 2＝m v 2r .如果卫星突然加速(通过发动机瞬间喷气实现，喷气时间不计)，则万有引力不足以提供向心力，GMm r 2<m v ′2r ，卫星将做离心运动，变轨到更高的轨道．反之，当卫星突然减速时，卫星所需向心力减小，万有引力大于向心力，卫星变轨到较低的轨道．高频考点5 双星、多星模型模型一 双星系统之“二人转”模型双星系统由两颗相距较近的星体组成，由于彼此的万有引力作用而绕连线上的某点做匀速圆周运动(简称“二人转”模型)．双星系统中两星体绕同一个圆心做圆周运动，周期、角速度相等；向心力由彼此的万有引力提供，大小相等．模型二 三星系统之“二绕一”和“三角形”模型三星系统由三颗相距较近的星体组成，其运动模型有两种：一种是三颗星体在一条直线上，两颗星体围绕中间的星体做圆周运动；另一种是三颗星体组成一个三角形，三星体以等边三角形的几何中心为圆心做匀速转动(简称“三角形”模型)．最常见的“三角形”模型中，三星结构稳定，角速度相同，半径相同，任一颗星的向心力均由另两颗星对它的万有引力的合力提供．另外，也有三星不在同一个圆周上运动的“三星”系统．模型三 四星系统之“三绕一”和“正方形”模型四星系统由四颗相距较近的星体组成，与三星系统类似，通常有两种运动模式：一种是三颗星体相对稳定地位于三角形的三个顶点上，环绕另一颗位于中心的星体做圆周运动(简称“三绕一”模型)；另一种是四颗星体相对稳定地分布在正方形的四个顶点上，围绕正方形的中心做圆周运动(简称“正方形”模型)．5－1.(多选)(2016·三门峡市陕州中学专训)某国际研究小组观测到了一组双星系统，它们绕二者连线上的某点做匀速圆周运动，双星系统中质量较小的星体能“吸食”质量较大的星体的表面物质，达到质量转移的目的．根据大爆炸宇宙学可知，双星间的距离在缓慢增大，假设星体的轨道近似为圆，则在该过程中( )A ．双星做圆周运动的角速度不断减小B ．双星做圆周运动的角速度不断增大C ．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径减小D ．质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大解析：设质量较小的星体质量为m 1，轨道半径为r 1，质量较大的星体质量为m 2，轨道半径为r 2．双星间的距离为L .转移的质量为Δm ． 根据万有引力提供向心力对m 1：G (m 1＋Δm )(m 2－Δm )L 2＝(m 1＋Δm )ω2r 1 ① 对m 2：G (m 1＋Δm )(m 2－Δm )L 2＝(m 2－Δm )ω2r 2 ②由①②得：ω＝G (m 1＋m 2)L 3，总质量m 1＋m 2不变，两者距离L 增大，则角速度ω变小．故A 正确、B 错误． 由②式可得r 2＝G (m 1＋Δm )ω2L 2，把ω的值代入得：r 2＝G (m 1＋Δm )G (m 1＋m 2)L 3L 2＝m 1＋Δmm 1＋m 2L ，因为L 增大，故r 2增大，即质量较大的星体做圆周运动的轨道半径增大，故C 错误、D 正确． 答案：AD5－2.(多选)宇宙中有这样一种三星系统，系统由两个质量为m 的小星体和一个质量为M 的大星体组成，两个小星体围绕大星体在同一圆形轨道上运行，轨道半径为r .关于该三星系统的说法中正确的是( )A ．在稳定运行的情况下，大星体提供两小星体做圆周运动的向心力B ．在稳定运行的情况下，大星体应在小星体轨道中心，两小星体在大星体相对的两侧C ．小星体运行的周期为T ＝4πr 32G (4M ＋m )D ．大星体运行的周期为T ＝4πr 32G (4M ＋m )解析：该三星系统应该在同一直线上，并且两小星体在大星体相对的两侧，只有这样才能使某一小星体受到大星体和另一小星体的引力的合力提供向心力．由G Mm r 2＋Gm 2(2r )2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2，解得小星体运行的周期T ＝4πr 32G (4M ＋m )． 答案：BC5－3.(多选)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m ，半径均为R ，四颗星稳定分布在边长为L 的正方形的四个顶点上，其中L 远大于R .已知万有引力常量为G .忽略星体自转效应，关于四星系统，下列说法正确的是( )A ．四颗星圆周运动的轨道半径均为L2B ．四颗星圆周运动的线速度均为 Gm L (2＋24)C ．四颗星圆周运动的周期均为2π2L 3(4＋2)GmD ．四颗星表面的重力加速度均为G mR2对象，它受到相邻的两个星体与对角线上的星体的万有引力的合力为F 合＝2G m 2L 2＋G m 2(2L )2． 由F 合＝F 向＝m v 2r ＝m 4π2T2r ， 可解得v ＝ Gm L (1＋24)， T ＝2π2L 3(4＋2)Gm， 故A 、B 项错误，C 项正确．对于星体表面质量为m 0的物体，受到的重力等于万有引力，则有m 0g ＝G mm 0R2，故g ＝G m R 2，D 项正确． 答案：CD。

专题05 万有引力定律与航天纵观近几年高考试题，预测2018年物理高考试题还会考：1．一般以选择题形出现，主要有天体运动中的基本参数求解与比较；双星问题的分析与计算2．分析人造卫星的运行规律，是考试中的热点，一般以选择题的形式出现；从命题趋势上看，几乎年年有题，年年翻新，以近几年中国及世界空间技术和宇宙探索为背景的题目备受青睐，对本部分内容的考查仍将延续与生产、生活以及科技航天相结合，形成新情景的物理题。

考向01 万有引力定律天体运动1.讲高考（1）考纲要求掌握万有引力定律的内容、公式（2）命题规律一般以选择题形出现，主要有天体运动中的基本参数求解与比较；双星问题的分析与计算案例1．【2017·北京卷】利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是：（）A．地球的半径及重力加速度（不考虑地球自转）B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离【答案】D【考点定位】万有引力定律的应用【名师点睛】利用万有引力定律求天体质量时，只能求“中心天体”的质量，无法求“环绕天体”的质量。

案例2．【2017·新课标Ⅱ卷】（多选）如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T。

若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经过M、Q 到N的运动过程中：（）A．从P到M所用的时间等于0/4TB．从Q到N阶段，机械能逐渐变大C．从P到Q阶段，速率逐渐变小D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功【答案】CD【解析】从P到Q的时间为12T0，根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到M运动的速率大于从M到Q运动的速率，可知P到M所用的时间小于14T0，选项A错误；海王星在运动过程中只受太阳的引力作用，故机械能守恒，选项B错误；根据开普勒行星运动第二定律可知，从P到Q阶段，速率逐渐变小，选项C正确；从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功，选项D正确；故选CD。

专题能力训练4 万有引力与航天(时间:45分钟满分:98分)选择题(本题共14小题,每小题7分,共98分。

在每小题给出的四个选项中,1~8题只有一个选项符合题目要求,9~14题有多个选项符合题目要求。

全部选对的得7分,选对但不全的得4分,有选错的得0分)1.宇航员王亚平在天宫一号飞船内进行了我国首次太空授课,演示了一些完全失重状态下的物理现象。

若飞船质量为m,距地面高度为h,地球质量为M,半径为R,引力常量为G,则飞船所在处的重力加速度大小为()A.0B.C. D.2.某宇航员在月球赤道上测得一物体的重力为F1,在月球两极测量同一物体时其重力为F2(忽略月球自转对重力的影响)。

则月球赤道对应的月球半径与两极处对应的月球半径之比为()A. B.C. D.3.假设嫦娥三号卫星绕月球做半径为r的匀速圆周运动,其运动周期为T。

已知月球的半径为R,月球车的质量为m,则月球车在月球表面上所受到的重力为()A. B.C. D.4.太阳系中存在一颗绕太阳做匀速圆周运动、平均密度为ρ的球形天体,一物体放在该天体表面的赤道上,由于天体的自转使物体对天体表面的压力刚好为0,则天体的自转周期为(引力常量为G)()A. B.C. D.5.我国第五颗北斗导航卫星是一颗地球同步轨道卫星。

如图所示,假若第五颗北斗导航卫星先沿椭圆轨道Ⅰ飞行,后在远地点P处由椭圆轨道Ⅰ变轨进入地球同步圆轨道Ⅱ。

下列说法正确的是()A.卫星在轨道Ⅱ运行时的速度大于7.9 km/sB.卫星在轨道Ⅱ运行时的向心加速度比在赤道上相对地球静止的物体的向心加速度大C.卫星在轨道Ⅱ运行时不受地球引力作用D.卫星在椭圆轨道Ⅰ上的P点处减速进入轨道Ⅱ6.我国东风-41洲际弹道导弹最大射程可达约14 000 km。

假设从地面上A点发射一枚导弹,在“北斗”卫星定位系统的引导及地球引力作用下,沿ACB椭圆轨道飞行并击中地面目标B,C为轨道的远地点,距地面高度为h,如图所示。

专题四 第4讲一、选择题：在每小题给出的四个选项中，第1～6题只有一项符合题目要求，第7～9题有多项符合题目要求．1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 【答案】C【解析】由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 项错误；由于火星和木星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小发生变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 项错误；由开普勒第三定律可知，T 2火R 3火＝T 2木R 3木＝k ，T 2火T 2木＝R 3火R 3木，C项正确；由于火星和木星在不同的轨道上，因此它们在近地点时的速度不等，在近地点时12v火Δt 与12v 木Δt 不相等，D 项错误．2．我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行(即绕地球一圈需要24小时)；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球．如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比 ( )A ．卫星动能增大，引力势能减小B ．卫星动能增大，引力势能增大C ．卫星动能减小，引力势能减小D ．卫星动能减小，引力势能增大 【答案】D【解析】 “嫦娥一号”变轨过程中，质量变化可忽略不计，由v ＝GMr可知，轨道越高，卫星速度越小，故变轨后卫星动能减小，选项A 、B 错误；轨道变高时，万有引力对卫星做负功，卫星引力势能增大，故选项C 错误，D 正确．3．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T ，则火星的平均密度ρ的表达式为(k 为某个常数)( )A ．ρ＝kTB ．ρ＝kTC ．ρ＝kT 2D ．ρ＝kT2【答案】D【解析】火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，GMm R 2＝m 4π2T 2R ，又M ＝43πR 3·ρ，可得ρ＝3πGT 2＝kT2，故只有选项D 正确．4．(2017届南昌模拟)在四川汶川的抗震救灾中，我国自主研制的“北斗一号”卫星导航系统在抗震救灾中发挥了巨大作用．北斗导航系统又被称为“双星定位系统”，具有导航、定位等功能．“北斗”系统中两颗工作卫星均绕地心O 做匀速圆周运动，轨道半径为r ，某时刻两颗工作卫星分别位于轨道上的A ，B 两位置(如图所示)．若卫星均按顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g ，地球半径为R ，不计卫星间的相互作用力，则以下判断中正确的是( )A ．这两颗卫星的加速度大小相等，均为RgrB ．卫星1向后喷气就一定能追上卫星2C ．卫星1由位置A 运动到位置B 所需的时间为πr3R rgD ．卫星1中质量为m 的物体的动能为12mgr【答案】C【解析】由GMm r 2＝ma ，GMm 0R 2＝m 0g ，得a ＝gR 2r 2，A 项错误．卫星1向后喷气时速度增大，所需的向心力增大，万有引力不足以提供其所需的向心力而做离心运动，与卫星2不再处于同一轨道上了，B 项错误．由t ＝θ360°T ＝16T ，GMm r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2，GMm 0R 2＝m 0g 可得t ＝πr3R r g ，C 项正确．由GMm r 2＝m v 2r ，GMm 0R 2＝m 0g ，E k ＝12m v 2可得E k ＝mgR 22r ，D 项错误． 5．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N 年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示，该行星与地球的公转半径之比为( )A ．⎝⎛⎭⎫N ＋1N 23 B ．⎝⎛⎭⎫NN －123C ．⎝⎛⎭⎫N ＋1N 32D ．⎝⎛⎭⎫NN －132【答案】B【解析】根据ω＝θt 可知，ω地＝2N πt ，ω星＝2(N －1)πt ，再由GMm r 2＝mω2r 可得r 星r 地＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ω地ω星23＝⎝⎛⎭⎫NN －123 ，选项B 正确． 6．(2017届齐齐哈尔模拟)嫦娥工程划为三期，简称“绕、落、回”三步走．我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，经变轨成功落月．若该卫星在某次变轨前，在距月球表面高度为h 的轨道上绕月球做匀速圆周运动，其运行的周期为T .若以R 表示月球的半径，忽略月球自转及地球对卫星的影响，则 ( )A ．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为2πR TB ．物体在月球表面自由下落的加速度大小为4π2(R ＋h )3R 2T 2C ．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为2πRT R ＋hRD ．月球的平均密度为3πGT 2【答案】B【解析】 “嫦娥三号”的线速度v ＝2π(R ＋h )T ，A 项错误；由GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，GMmR 2＝mg 月，可得物体在月球表面的重力加速度g 月＝4π2(R ＋h )3R 2T 2，B 项正确；因月球上卫星的最小发射速度也就是最大环绕速度，有GMm 卫R 2＝m 卫v 2R ，又GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，可得v ＝2π(R ＋h )T·R ＋h R ，C 项错误；由GMm (R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )，ρ＝M V ，V ＝43πR 3可得月球的平均密度ρ＝3π(R ＋h )3GT 2R 3，D 项错误．7．(2017届太原模拟)随着世界航空事业的发展，深太空探测已经逐渐成为各国关注的热点．假设深太空中有一颗外星球，质量是地球质量的4倍，半径是地球半径的12.则下列判断正确的是 ( )A ．该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期B ．某物体在该外星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的16倍C ．该外星球的第一宇宙速度是地球的第一宇宙速度的22倍D ．绕该外星球运行的人造卫星和以相同轨道半径绕地球运行的人造卫星运行速度相同 【答案】BC【解析】由于外星球的自转周期未知，因此不能确定该外星球的同步卫星周期与地球的同步卫星周期的关系，A 项错；由万有引力定律知在天体表面有mg ＝G MmR 2，由此可得物体在该外星球表面上所受重力与在地球表面上所受重力之比为M 星R 2地M 地R 2星＝16，B 项正确；由第一宇宙速度公式v ＝GM R 知v 星v 地＝M 星R 地M 地R 星＝22，C 项正确；卫星运行速度v ＝GMr，由于外星球与地球的质量不相等，因此卫星轨道半径相同时，其运行速度不同，D 项错．8．(2017届肇庆检测)宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ，若抛出时的初速度增大到原来的两倍，则抛出点与落地点之间的距离为3L .已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列选项正确的是 ( )A ．抛出点离该星球表面的高度为2LB ．第一次抛出小球的初速度为6L3tC ．该星球表面的重力加速度为23L3t 2D ．该星球的质量为23LR 23Gt 2【答案】CD【解析】小球在某星球表面做平抛运动．设下落高度为h ，第一次水平射程为x ，第二次水平射程为2x .由平抛规律，得L 2＝h 2＋x 2,3L 2＝h 2＋4x 2，解得x ＝23L ，h ＝L3，故第一次平抛的初速度v 01＝x t ＝6L 3t ；由h ＝12gt 2，得g ＝23L3t 2；由gR 2＝GM ，得星球的质量M ＝23LR 23Gt 2，故选项C 、D 正确． 9．如图所示，极地卫星的运行轨道平面通过地球的南北两极(轨道可视为圆轨道)．若已知一个极地卫星从北纬30°的正上方，按图示方向第一次运行至南纬60°的正上方时所用的时间为t ，地球半径为R (地球可看作球体)，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G .由以上条件可以求出 ( )A ．卫星运行的周期B ．卫星距地面的高度C ．卫星的质量D ．地球的质量【答案】ABD【解析】卫星从北纬30°的正上方第一次运行至南纬60°的正上方时，经历的时间刚好为运行周期的14，所以卫星运行的周期为4t ，A 项正确；知道周期、地球的半径，由GMm 0R 2＝m 0g (m 0为地球表面物体的质量)，及GMm (R ＋h )2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2(R ＋h )，可以算出卫星距地面的高度，B 项正确；通过上面的公式，可以算出中心天体地球的质量，但不能算出卫星的质量，C 项错误，D 项正确．二、非选择题10．(2017届邯郸模拟)我们知道在一个恒星体系中，各个行星绕着该恒星的运转半径r 及运转周期T 之间，一般存在以下关系：r 3T 2＝k ，k 的值由中心的恒星的质量决定．现在，天文学家又发现了相互绕转的三颗恒星，可以将其称为三星系统．如图所示，假设三颗恒星质量相同，均为m ，间距也相同．它们仅在彼此的引力作用下围绕着三星系统的中心点O 做匀速圆周运动，运动轨迹完全相同．它们自身的大小与它们之间的距离相比，自身的大小可以忽略．请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的立方与运转周期的平方的比值应为多少．(万有引力常量为G )解：设三星系统的运转半径为r ，运转周期为T ，两颗恒星之间的距离为L ＝2r cos 30° 对三星系统中任意一颗恒星有 2×G m 2L 2cos 30°＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 2 联立解得r 3T 2＝3Gm 2.11．(2017届湖北名校联考) “嫦娥一号”探月卫星为绕月极地卫星．利用该卫星可对月球进行成像探测．设卫星在绕月极地轨道上做匀速圆周运动时距月球表面的高度为H ，绕行周期为T M ；月球绕地球公转的周期为T E ，轨道半径为R 0；地球半径为R E ，月球半径为R M .已知光速为c .(1)如图所示，当绕月极地轨道的平面与月球绕地球公转的轨道平面垂直时(即与地心到月心的连线垂直时)，求绕月极地卫星向地球地面发送照片需要的最短时间；(2)忽略地球引力、太阳引力对绕月卫星的影响，求月球与地球的质量之比．解：(1)根据示意图中的几何关系可得卫星到地面的最短距离为L ＝R 20＋(H ＋R M )2－R E卫星向地面发送照片需要的最短时间t ＝L c联立得t ＝R 20＋(H ＋R M )2－R Ec.(2)月球绕地球做圆周运动：G m 地m 月R 20＝m 月⎝⎛⎭⎫2πT E 2R 0 卫星绕月球做圆周运动：G m 卫m 月(R M ＋H )2＝m 卫⎝⎛⎭⎫2πT M 2(R M ＋H ) 联立得m 月m 地＝T 2E (R M ＋H )3T 2M R 3. 12．(2017届柳州模拟)一组宇航员乘坐太空穿梭机S 去修理位于离地球表面h ＝6.0×105 m 的圆形轨道上的太空望远镜H .机组人员使穿梭机S 进入与H 相同的轨道并关闭助推火箭，望远镜在穿梭机前方数千米处，如图所示．已知地球半径为R ＝6.4×106 m ，地球表面重力加速度为g ＝9.8 m/s 2，第一宇宙速度为v ＝7.9 km/s.(结果保留1位小数)(1)穿梭机所在轨道上的向心加速度g ′为多少？ (2)计算穿梭机在轨道上的速率v ′；(3)穿梭机需先进入半径较小的轨道，才有较大的角速度追上望远镜．试判断穿梭机要进入较低轨道时应增加还是减小其原有速率，并说明理由．解：(1)在地球表面处，由mg ＝G MmR2解得地球表面的重力加速度为g ＝GMR2同理，穿梭机所在轨道上的向心加速度为g ′＝GMr 2，其中r ＝R ＋h解以上各式得g ′≈8.2 m/s 2. (2)在地球表面处由牛顿第二定律得： G MmR 2＝m v 2R解得第一宇宙速度为v ＝GMR同理，穿梭机在轨道上的速率为v ′＝ GMr解得v ′＝7.6 km/s.(3)应减速，由G Mmr 2＝m v ′2r 知穿梭机要进入较低轨道，必须使万有引力大于穿梭机做圆周运动所需的向心力，故当v ′减小时，m v ′2r 减小，则G Mmr 2＞m v ′2r.。

课时提能练(十三) 万有引力与航天(限时：40分钟)A 级 跨越本科线1．一物体质量为m ，在北京地区它的重力为mg .假设地球自转略加快，该物体在北京地区的重力为mg ′.则下列说法正确的是( )A ．mg ′>mgB ．mg ′<mgC ．mg ′和mg 的方向都指向地心D ．mg ′和mg 的方向都指向北京所在纬线圈的圆心B [根据圆周运动向心力F 向＝mω2r 公式可以知道，放置在北京的物体随地球自转速度加快，所需的向心力也会随之增大，根据万有引力公式F 引＝G Mm r 2知道，位置不变万有引力大小保持不变，万有引力的一个分力提供向心力，另一分力就是重力，在向心力与万有引力夹角不变的情况下，向心力增大，重力就会减小，A 错，B 对；重力的方向竖直向下，万有引力的方向指向地心，C 、D 错．]2．(2017·浙江名校联考)我国首颗量子科学实验卫星“墨子”已于酒泉成功发射，将在世界上首次实现卫星和地面之间的量子通信．“墨子”将由火箭发射至高度为500千米的预定圆形轨道．此前6月在西昌卫星发射中心成功发射了第二十三颗北斗导航卫星G7.G7属地球静止轨道卫星(高度约为36 000千米)，它将使北斗系统的可靠性进一步提高．关于卫星以下说法中正确的是( )A ．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9 km/sB ．通过地面控制可以将北斗G7定点于西昌正上方C ．量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小D ．量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7小C [根据G mM r 2＝m v 2r ，知道轨道半径越大，线速度越小，第一宇宙速度的轨道半径为地球的半径，所以第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，所以静止轨道卫星和中轨卫星的线速度均小于地球的第一宇宙速度，故A 错误；地球静止轨道卫星即同步卫星，只能定点于赤道正上方，故B 错误；根据G mM r 2＝mr 4π2T 2，得T ＝4π2r 3GM ，所以量子科学实验卫星“墨子”的周期比北斗G7小，故C 正确；卫星的向心加速度a ＝GM r 2，半径小的量子科学实验卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7大，故D 错误．]3．(多选)(2017·重庆模拟)冥王星的两颗卫星尼克斯(Nix)和海德拉(Hydra)绕冥王星近似做匀速圆周运动，它们的周期分别约为25天和38天，则尼克斯绕冥王星运动的( )【导学号：92492194】A ．角速度比海德拉的大B ．向心加速度比海德拉的小C ．线速度比海德拉的小D ．轨道半径比海德拉的小AD [由ω＝2πT 可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的角速度较大，选项A正确．由开普勒第三定律可知，周期小的尼克斯绕冥王星运动的轨道半径小，选项D 正确．由G mM r 2＝ma 可得，向心加速度a ＝G M r 2，轨道半径小的尼克斯的向心加速度比海德拉的大，选项B 错误．由G mM r 2＝m v 2r 可得，v ＝GM r ，轨道半径小的尼克斯绕冥王星运动的线速度比海德拉的大，选项C 错误．]4．(2017·襄阳月考)2015年12月10日，我国成功将中星1C 卫星发射升空，卫星顺利进入预定转移轨道．如图4-4-7所示为该卫星沿椭圆轨道绕地球运动的示意图，已知地球半径为R ，地球表面重力加速度g ，卫星远地点P 距地心O 的距离为3R ，则( )【导学号：92492195】图4-4-7A ．卫星在远地点的速度大于3gR 3B ．卫星经过远地点时的速度最大C ．卫星经过远地点时的加速度小于g 9D ．卫星经过远地点时加速，卫星可能再次经过远地点D [若卫星以半径为3R 做匀速圆周运动，则GMm (3R )2＝m v 23R ，在根据GM ＝R 2g ，整理可以得到v ＝3gR 3，由于卫星到达远地点P 后做近心椭圆运动，故在P 点速度小于3gR 3，故A 错误；根据半径与速度的关系可以知道，半径越大则速度越小，故远地点速度最小，故B 错误；根据GMm (3R )2＝ma ，GMm R 2＝mg ，则在远地点a ＝g 9，故C 错误；卫星经过远地点时加速，若可以以半径为3R 做匀速圆周运动，则可以再次经过远地点，故D 正确．]5．2014年10月24日，“嫦娥五号”飞行试验器在西昌卫星发射中心发射升空，并在8天后以“跳跃式再入”方式成功返回地面．“跳跃式再入”指航天器在关闭发动机后进入大气层，依靠大气升力再次冲出大气层，降低速度后再进入大气层，如图4-4-8所示，虚线为大气层的边界．已知地球半径为R ，地心到d 点距离为r ，地球表面重力加速度为g .下列说法正确的是( )【导学号：92492196】图4-4-8A ．飞行试验器在b 点处于完全失重状态B ．飞行试验器在d 点的加速度小于gR 2r 2C ．飞行试验器在a 点速率大于在c 点的速率D ．飞行试验器在c 点速率大于在e 点的速率C [飞行试验器沿ab 轨迹做曲线运动，曲线运动的合力指向曲线弯曲的内侧，所以在b 点合力方向即加速度方向向上，因此飞行试验器在b 点处于超重状态，故A 错误；在d 点，飞行试验器的加速度a ＝GM r 2，又因为GM ＝gR 2，解得a ＝g R 2r 2，故B 错误；飞行试验器从a 点到c 点，万有引力做功为零，阻力做负功，速度减小，从c 点到e 点，没有空气阻力，机械能守恒，则c 点速率和e 点速率相等，故C 正确，D 错误．]6．(多选)(2017·桂林模拟)截止到2016年2月全球定位系统GPS 已运行了整整27年，是现代世界的奇迹之一．GPS 全球定位系统有24颗卫星在轨运行，每个卫星的环绕周期为12小时．GPS 系统的卫星与地球同步卫星相比较，下面说法正确的是( )图4-4-9A ．GPS 系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的22倍 B ．GPS 系统的卫星轨道半径是地球同步卫星轨道半径的322倍C ．GPS 系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的2倍D ．GPS 系统的卫星线速度是地球同步卫星线速度的32倍BD [设GPS 系统的卫星轨道半径为r 1，周期为T 1，地球同步卫星轨道半径为r 2，周期为T 2.由万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，可得卫星运动的周期T ＝2πr 3GM ，又T 1T 2＝12，所以r 1r 2＝322，选项A 错误，B 正确；根据v ＝2πr T ，可得v 1v 2＝r 1r 2·T 2T 1＝32，选项C 错误，D 正确．] 7．(2017·台州模拟)如图4-4-10所示是美国的“卡西尼”号探测器经过长达7年的“艰苦”旅行，进入绕土星飞行的轨道．若“卡西尼”号探测器在半径为R的土星上空离土星表面高h 的圆形轨道上绕土星飞行，环绕n 周飞行时间为t ，已知万有引力常量为G ，则下列关于土星质量M 和平均密度ρ的表达式正确的是( )【导学号：92492197】图4-4-10A ．M ＝4π2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )3Gt 2R 3 B ．M ＝4π2(R ＋h )2Gt 2，ρ＝3π(R ＋h )2Gt 2R 3 C ．M ＝4π2t 2(R ＋h )3Gn 2，ρ＝3πt 2(R ＋h )3Gn 2R 3 D ．M ＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2，ρ＝3πn 2(R ＋h )3Gt 2R 3 D [设“卡西尼”号的质量为m ，“卡西尼”号围绕土星的中心做匀速圆周运动，其向心力由万有引力提供，G Mm (R ＋h )2＝m (R ＋h )⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2，其中T ＝t n ，解得M ＝4π2n 2(R ＋h )3Gt 2.又土星体积V ＝43πR 3，所以ρ＝M V ＝3πn 2(R ＋h )3Gt 2R 3.] 8．如图4-4-11所示，曲线Ⅰ是绕地球做圆周运动卫星1的轨道示意图，其半径为R ；曲线Ⅱ是绕地球做椭圆运动卫星2的轨道示意图，O 点为地球的地心，AB 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，已知在两轨道上运动的卫星的周期相等，引力常量为G ，地球质量为M ，下列说法正确的是( )图4-4-11A ．椭圆轨道的长轴AB 长度为RB ．若OA ＝0.5R ，则卫星在B 点的速率v B ＜2GM 3RC．在Ⅰ轨道的卫星1的速率为v0，在Ⅱ轨道的卫星2在B点的速率为v B，则v0<v BD．两颗卫星运动到C点时，卫星1和卫星2的加速度不同B[根据开普勒第三定律得a3T2＝k，a为半长轴，已知卫星在两轨道上运动的周期相等，所以椭圆轨道的长轴长度为2R，选项A错误；若OA＝0.5R，则OB＝1.5R，卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力有GMmr2＝m v2r，解得v＝GMr，如果卫星以OB为轨道半径做匀速圆周运动，则，v＝2GM3R，在Ⅱ轨道上，卫星在B点要减速，做近心运动，所以卫星在B点的速率v B＜2GM 3R，选项B正确；B点为椭圆轨道的远地点，速度比较小，v0表示做匀速圆周运动的速度，v0＞v B，选项C错误；根据牛顿第二定律得a＝GMr2，两卫星在C点距离地心的距离相同，所以a1＝a2，选项D错误．]9．(多选)(2017·济南测试)宇宙中存在一些质量相等且离其他恒星较远的四颗星组成的四星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用．设四星系统中每个星体的质量均为m，半径均为R，四颗星稳定分布在边长为a的正方形的四个顶点上．已知引力常量为G.关于宇宙四星系统，下列说法正确的是() A．四颗星围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动B．四颗星的轨道半径均为a 2C．四颗星表面的重力加速度均为Gm R2D．四颗星的周期均为2πa2a(4＋2)GmACD[其中一颗星体在其他三颗星体的万有引力作用下，合力方向指向对角线的交点，围绕正方形对角线的交点做匀速圆周运动，由几何知识可得轨道半径均为22a，故A正确，B错误；在星体表面，根据万有引力等于重力，可得Gmm′R2＝m′g，解得g＝GmR2，故C正确；由万有引力定律和牛顿第二定律得Gm2(2a)2＋2Gm2a2＝m 4π2T 22a 2，解得T ＝2πa 2a (4＋2)Gm，故D 正确．] B 级 名校必刷题10．如图4-4-12所示，A 是静止在赤道上随地球自转的物体；B 、C 是同在赤道平面内的两颗人造卫星，B 位于离地高度等于地球半径的圆形轨道上，C 是高分四号卫星．下列关系正确的是( )图4-4-12A ．物体A 随地球自转的角速度大于卫星B 的角速度B ．卫星B 的线速度大于卫星C 的线速度C ．物体A 随地球自转的加速度大于卫星C 的加速度D ．物体A 随地球自转的周期大于卫星C 的周期B [由于A 是静止在赤道上随地球自转的物体，C 是地球同步轨道卫星，所以两者角速度大小相等，周期相同，即T A ＝T C ，ωA ＝ωC ，由T ＝2πr 3GM 得T C ＞T B ，根据T ＝2πω，可得ωC ＜ωB ，所以ωA ＜ωB ，选项A 、D 错误；由a ＝GM r 2得a A＜a B ，选项C 错误；根据v ＝GM r ，可得卫星B 的线速度大于卫星C 的线速度，即v B >v C ，选项B 正确．]11．(2017·保定模拟)两颗互不影响的行星P 1、P 2，各有一颗近地卫星S 1、S 2绕其做匀速圆周运动．图中纵轴表示行星周围空间某位置的引力加速度a ，横轴表示该位置到行星中心距离r 平方的倒数，a -1r 2关系图如图4-4-13所示，卫星S 1、S 2的引力加速度大小均为a 0.则( )【导学号：92492198】图4-4-13A ．S 1的质量比S 2的大B ．P 1的质量比P 2的大C ．P 1的第一宇宙速度比P 2的小D ．P 1的平均密度比P 2的大B [根据万有引力定律可知引力加速度a ＝GM r 2，由此可知图象的斜率为GM ，P 1的斜率大，对应的行星质量大，而卫星质量未知，选项A 错，B 对；两行星半径关系未知，则第一宇宙速度大小无法比较，选项C 错；同理无法比较行星密度，选项D 错．]12．如图4-4-14所示的建筑是厄瓜多尔境内的“赤道纪念碑”．设某人造地球卫星在赤道上空飞行，卫星的轨道平面与地球赤道重合，飞行高度低于地球同步卫星．已知卫星轨道半径为r ，飞行方向与地球的自转方向相同，设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R ，地球表面重力加速度为g ，某时刻卫星通过这一赤道纪念碑的正上方，该卫星过多长时间再次经过这个位置？()图4-4-14 A.2πgR 2r 3B ．2πω0＋gR 2r 3 C.2πω0－gR 2r 3 D ．2πgR 2r 3－ω0D [用ω表示卫星的角速度，用m 、M 分别表示卫星及地球的质量，则有GMm r 2＝mrω2，在地面上，有G Mm R 2＝mg ，联立解得ω＝gR 2r 3，卫星高度低于同步卫星高度，则ω>ω0，用t 表示所需时间，则ωt －ω0t ＝2π，所以t ＝2πω－ω0＝2πgR 2r 3－ω0，D 正确．]13．假设将来人类登上了火星，考察完毕后，乘坐一艘宇宙飞船从火星返回地球时，经历了如图4-4-15所示的变轨过程，则有关这艘飞船的下列说法，正确的是( )图4-4-15A ．飞船在轨道Ⅰ上运动时的机械能大于在轨道Ⅱ上运动时的机械能B ．飞船绕火星在轨道Ⅰ上运动的周期跟飞船返回地面的过程中绕地球以轨道Ⅰ同样的轨道半径运动的周期相同C ．飞船在轨道Ⅲ上运动到P 点时的加速度大于飞船在轨道Ⅱ上运动到P 点时的加速度D ．飞船在轨道Ⅱ上运动时，经过P 点时的速度大于经过Q 点时的速度D [飞船由轨道Ⅰ转变为轨道Ⅱ时在P 点应加速，机械能增大，A 错误；飞船在轨道Ⅱ上运动时，离火星越远，速度越小，D 正确；由GMm r 2＝ma 可得：a ＝GM r 2，加速度大小与飞船速度无关，由飞船到火星中心的距离决定，故C 错误；由GMm r 2＝m 4π2T 2·r 可得：T ＝4π2r 3GM ，可见飞船在轨道Ⅰ上运动的周期与中心天体的质量也有关，B 错误．]14．(多选)北京时间2015年7月24日，美国宇航局宣布，可能发现了“另一个地球”——开普勒—452b.将开普勒—452b 简化成如图4-4-16所示的模型：MN 为该星球的自转轴，A 、B 是该星球表面的两点，它们与球心O 的连线OA 、OB 与MN 的夹角分别为α＝30°，β＝60°；在A 、B 两点处放置质量分别为m A 、m B 的物体．设该星球的自转周期为T ，半径为R ，引力常量为G .则下列说法正确的是( )【导学号：92492199】图4-4-16A．该星球的第一宇宙速度为2πR TB．若不考虑该星球自转，在A点用弹簧秤称量质量为m A的物体，平衡时示数为F，则星球的质量为FR2 Gm AC．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为m A 3m BD．放在A、B两点处的物体随星球自转的向心力大小的比值为3m A m BBC[该星球的第一宇宙速度v＝GMR，而2πRT是星球自转的最大线速度，所以A错误；若不考虑该星球自转，A点处的重力加速度g＝Fm A，由GMmR2＝mg得M＝FR2Gm A，B正确；放在A、B两处的物体随星球自转的向心力大小分别为F A＝m Aω2r A＝m Aω2R sin α，F B＝m Bω2r B＝m Bω2R sin β，F AF B＝m A sin αm B sin β＝m A3m B，C正确，D错误．]15．(多选)(2015·全国卷Ⅰ)我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m 高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2.则此探测器() A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/sB．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 NC．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度BD[设月球表面的重力加速度为g月，则g月g地＝GM月R2月GM地R2地＝M月M地·R2地R2月＝181×3.72，解得g月≈1.7 m/s2.由v2＝2g月h，得着陆前的速度为v＝2g月h＝2×1.7×4 m/s≈3.7 m/s，选项A错误；悬停时受到的反冲力F＝mg月≈2×103N，选项B正确；从离开近月圆轨道到着陆过程中，除重力做功外，还有其他外力做功，故机械能不守恒，选项C 错误；设探测器在近月圆轨道上和人造卫星在近地圆轨道上的线速度分别为v 1、v 2，则v 1v 2＝GM 月R 月GM 地R 地＝M 月M 地·R 地R 月＝ 3.781＜1，故v 1＜v 2，选项D 正确．]16．(多选)(2014·全国卷Ⅰ)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示．则下列判断正确的是( )【导学号：92492200】B ．在2015年内一定会出现木星冲日C ．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半D ．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短BD [本题以“行星冲日”为背景考查了圆周运动的相遇问题．由题意可知地球的轨道半径r 地＝1.0 AU ，公转周期T 地＝1年． 由开普勒第三定律r 3T 2＝k 可知T 行＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 行r 地3·T 地＝r 3行年，根据相遇时转过的角度之差Δθ＝2n π及ω＝Δθt 可知相邻冲日时间间隔为t ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 地－2πT 行t ＝2π，即t ＝T 地T 行T 行－T 地＝T 行T 行－1，又T 火＝ 1.53年，T 木＝ 5.23年，T 土＝9.53年，T 天＝193年，T 海＝303年，代入上式得t >1年，故选项A 错误；木星冲日时间间隔t 木＝ 5.235.23－1年<2年，所以选项B 正确；由以上公式计算t 土≠2t 天，t 海最小，选项C 错误，选项D 正确．]。

第4节万有引力与航天考点一| 开普勒行星运动定律1．第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在这些椭圆的一个焦点上．2．第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．3．第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．其表达式为a3T2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星绕太阳公转的周期，k是一个对所有行星都相同的常量．1．(2017·余姚调研)关于太阳系中各行星的轨道，以下说法中正确的是() A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆B．有的行星绕太阳运动的轨道是圆C．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴是相同的D．不同的行星绕太阳运动的轨道都相同A[八大行星的轨道都是椭圆，A正确，B错误；不同行星离太阳远近不同，轨道不同，半长轴也就不同，C、D错误．]2．关于行星的运动，下列说法中不正确的是()A．关于行星的运动，早期有“地心说”与“日心说”之争，而“地心说”容易被人们所接受的原因之一是由于相对运动使得人们观察到太阳东升西落B．所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，且近地点速度小，远地点速度大C．开普勒第三定律a3T2＝k，式中k的值仅与中心天体的质量有关D．开普勒三定律也适用于其他星系的行星运动B[根据开普勒第二定律可以推断出近地点速度大，远地点速度小，故选项B 错误．]3．(2017·温州模拟)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( )【导学号：81370168】A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积C [太阳位于木星椭圆运行轨道的一个焦点上，不同的行星运行在不同的椭圆轨道上，其运行周期和速度均不相同，不同的行星相同时间内，与太阳连线扫过的面积不相等，A 、B 、D 均错误；由开普勒第三定律可知，C 正确．]考点二| 万有引力定律及应用1．万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的平方成反比．(2)表达式：F ＝G m 1m 2r 2G 为引力常量：G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2. (3)适用条件①公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．②质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离． 2．解决天体(卫星)运动问题的基本思路(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即 G Mm r 2＝ma n ＝m v 2r ＝mω2r ＝m 4π2r T 2.(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G MmR 2＝mg (g表示天体表面的重力加速度)．3．天体质量和密度的估算(1)利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . 由于G Mm R 2＝mg ，故天体质量M ＝gR 2G ， 天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR .(2)通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r .①由万有引力等于向心力，即G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得出中心天体质量M ＝4π2r 3GT 2； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度 ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.(2016·浙江10月学考)如图4-4-1所示，“天宫二号”在距离地面393km 的近圆轨道运行，已知万有引力常量G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，地球质量M ＝6.0×1024 kg ，地球半径R ＝6.4×103 km.由以上数据可估算( )图4-4-1A ．“天宫二号”质量B ．“天宫二号”运行速度C ．“天宫二号”受到的向心力D ．地球对“天宫二号”的引力B [根据万有引力定律，F 向＝F 万＝G MmR 2＝m v 2R ，其中m 为卫星质量，R 为轨道半径，即地球半径与离地高度之和，则已知G 、M 、R ，可得到运行速度v ，无法得到卫星质量m ，亦无法求得F 向、F 万．故选B.]1．嫦娥三号远离地球飞近月球的过程中，地球和月球对它的万有引力F 1、F 2的大小变化情况是( )【导学号：81370169】A ．F 1、F 2均减小B ．F 1、F 2均增大C ．F 1减小、F 2增大D ．F 1增大、F 2减小C [根据万有引力定律F ＝G Mmr 2，可知F 1减小、F 2增大，故选C.] 2．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( )A ．1∶9B ．9∶1C ．1∶10D ．10∶1C [设月球质量为m ，则地球质量为81m ，地月间距离为r ，飞行器质量为m 0，当飞行器距月球为r ′时，地球对它的引力等于月球对它的引力，则G mm 0r ′2＝G 81mm 0(r －r ′)2，所以r －r ′r ′＝9，r ＝10r ′，r ′∶r ＝1∶10，故选项C 正确．] 3．2015年12月17日，我国发射了首颗探测“暗物质”的空间科学卫星“悟空”，使我国的空间科学探测进入了一个新阶段．已知“悟空”在距地面为h 的高空绕地球做匀速圆周运动，地球质量为 M ，地球半径为R ，引力常量为G ，则可以求出( )【导学号：81370170】A ．“悟空”的质量B ．“悟空”的密度C ．“悟空”的线速度大小D ．地球对“悟空”的万有引力C [根据万有引力充当向心力G Mm (R ＋h )2＝m v 2R ＋h，可求得“悟空”的线速度v ＝GMR ＋h，因无法求出“悟空”的质量，从而无法求出“悟空”的密度和地球对“悟空”的万有引力，选项C 正确，A 、B 、D 错误．]4．对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是( ) A ．G 是引力常量，是人为规定的 B ．当r 等于零时，万有引力为无穷大C ．两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关D ．r 是两物体间最近的距离C [引力常量G 的值是卡文迪许在实验室里用实验测定的，而不是人为规定的，故A 错误；当两个物体间的距离趋近于0时，两个物体就不能视为质点了，万有引力公式不再适用，故B 错误；力是物体间的相互作用，万有引力同样适用于牛顿第三定律，即两物体受到的引力总是大小相等，与两物体质量是否相等无关，故C 正确；r 是两质点间的距离，质量分布均匀的球体可视为质点，此时r 是两球心间的距离，故D 错误．]5．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b ”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b ”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120，该中心恒星与太阳的质量比约为( )【导学号：81370171】A.110 B ．1 C ．5D ．10B [根据万有引力提供向心力，有G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得M ＝4π2r 3GT 2，所以恒星质量与太阳质量之比为M 恒M 太＝r 3行T 2地r 3地T 2行＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，故选项B 正确．]考点三| 宇宙航行、经典力学的局限性1．卫星的各物理量随轨道半径变化的规律2．三个宇宙速度 (1)第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ，卫星在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，又称环绕速度．(2)第二宇宙速度v 2＝11.2 km/s ，使卫星挣脱地球引力束缚的最小地面发射速度，又称脱离速度．(3)第三宇宙速度v 3＝16.7 km/s ，使卫星挣脱太阳引力束缚的最小地面发射速度，也叫逃逸速度．3．第一宇宙速度的推导 方法一：由G Mm R 2＝m v 21R 得v 1＝GM R＝7.9×103m/s. 方法二：由mg ＝m v 21R 得v 1＝gR ＝7.9×103 m/s.第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度，此时它的运行周期最短，T min ＝2πRg ＝5 075 s ≈85 min.4．宇宙速度与运动轨迹的关系(1)v 发＝7.9 km/s 时，卫星绕地球做匀速圆周运动． (2)7.9 km/s<v 发<11.2 km/s ，卫星绕地球运动的轨迹为椭圆． (3)11.2 km/s ≤v 发<16.7 km/s ，卫星绕太阳做椭圆运动．(4)v 发≥16.7 km/s ，卫星将挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外的空间． 5．经典力学的局限性(1)只适用于低速运动，不适用于高速运动． (2)只适用于宏观世界，不适用微观世界．(2015·浙江10月学考)2015年9月20日“长征六号”火箭搭载20颗小卫星成功发射．在多星分离时，小卫星分别在高度不同的三层轨道被依次释放．假设释放后的小卫星均做匀速圆周运动．则下列说法正确的是( )图4-4-2A ．20颗小卫星的轨道半径均相同B ．20颗小卫星的线速度大小均相同C ．同一圆轨道上的小卫星的周期均相同D ．不同圆轨道上的小卫星的角速度均相同C [三层轨道高度不同，故r 不同，A 错误；由G Mm r 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 可知，轨道半径不同，线速度、角速度大小不同，B 、D 错误；同一轨道，轨道半径相同，周期相同，C 正确．](2016·浙江4月学考)2015年12月，我国暗物质粒子探测卫星“悟空”发射升空进入高为5.0×102 km 的预定轨道．“悟空”卫星和地球同步卫星的运动均可视为匀速圆周运动．已知地球半径R ＝6.4×103 km.下列说法正确的是( )图4-4-3A ．“悟空”卫星的线速度比同步卫星的线速度小B ．“悟空”卫星的角速度比同步卫星的角速度小C ．“悟空”卫星的运行周期比同步卫星的运行周期小D ．“悟空”卫星的向心加速度比同步卫星的向心加速度小C [“悟空”卫星和地球同步卫星都绕地球做匀速圆周运动，满足：G Mmr 2＝m v 2r ＝mω2r ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ，“悟空”卫星轨道半径小，所以线速度大，角速度大，周期小，向心加速度大，所以C 正确．]1．(2017·莆田高三检测)2013年6月11日17时38分，“神舟十号”飞船在酒泉卫星发射中心发射升空，航天员王亚平进行了首次太空授课．在飞船进入圆形轨道环绕地球飞行时，它的线速度大小( )【导学号：81370172】A ．等于7.9 km/sB ．介于7.9 km/s 和11.2 km/s 之间C ．小于7.9 km/sD ．介于7.9 km/s 和16.7 km/s 之间 C [卫星在圆形轨道上运动的速度v ＝GMr .由于r >R ，所以v <7.9 km/s ，C 正确．]2．关于地球的第一宇宙速度，下列表述正确的是( ) A ．第一宇宙速度又叫环绕速度 B ．第一宇宙速度又叫脱离速度 C ．第一宇宙速度跟地球的质量无关 D ．第一宇宙速度跟地球的半径无关A [第一宇宙速度又叫环绕速度，故A 正确，B 错误；根据定义有G mM R 2＝m v 2R ，得v ＝GMR ，其中，M 为地球质量，R 为地球半径，故C 、D 错误．]3．某行星有甲、乙两颗卫星，它们的轨道均为圆形，甲的轨道半径为R 1，乙的轨道半径为R 2，R 2>R 1.根据以上信息可知( )A ．甲的质量大于乙的质量B ．甲的周期大于乙的周期C ．甲的速率大于乙的速率D ．甲所受行星的引力大于乙所受行星的引力C [轨道半径越小，向心加速度、线速度、角速度越大，周期越小，B 错，C 对；卫星质量不能比较，A 错；因为两卫星质量不知道，万有引力也不能比较，D 错．]4．我国成功发射的“神舟”号载人宇宙飞船和人造地球同步通信卫星都绕地球做匀速圆周运动，已知飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径．则可判定( )A ．飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期B ．飞船的线速度小于同步卫星的线速度C ．飞船的角速度小于同步卫星的角速度D ．飞船的向心加速度小于同步卫星的向心加速度A [该卫星的质量为m ，轨道半径为r ，周期T ，线速度为v ，角速度为ω，向心加速度为a n ，地球的质量为M ，由万有引力定律得G Mm r 2＝m 4π2r T 2＝m v 2r ＝mω2r ＝ma n ，故T ＝2πr 3GM ，v ＝GMr ，ω＝GM r 3，a n ＝GMr2，因为飞船的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，所以飞船的运行周期小于同步卫星的运行周期，飞船的线速度大于同步卫星的线速度，飞船的角速度大于同步卫星的角速度，飞船的向心加速度大于同步卫星的向心加速度，选项A 正确，B 、C 、D 错误．]5.如图4-4-4所示，a 、b 、c 三颗卫星在各自的轨道上运行，轨道半径r a <r b <r c ，但三个卫星受到地球的万有引力大小相等，则下列说法正确的是( )图4-4-4A ．三个卫星的加速度为a a <a b <a cB ．三个卫星的线速度为v a <v b <v cC ．三个卫星的质量为m a >m b >m cD ．三个卫星的运行周期为T a <T b <T cD [卫星的向心加速度a ＝GMr 2，轨道半径越小，向心加速度越大，选项A 错误；卫星的速度v ＝GMr ，则轨道半径越小，速度越大，选项B 错误；由于三个卫星受到地球的万有引力大小相等，由F ＝G Mmr 2可知，轨道半径越大，卫星的质量越大，选项C 错误；卫星的运行周期T ＝2πr 3GM，所以轨道半径越大，周期越长，选项D 正确．]。

第4讲 万有引力与航天知|识|梳|理微知识❶ 开普勒行星运动定律1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。

2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T2＝k 。

微知识❷ 万有引力定律 1．公式：F ＝Gm 1m 2r2，其中G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，叫引力常量。

2．公式适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。

当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。

均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。

微知识❸ 卫星运行规律和宇宙速度 1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。

(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T ＝24 h ＝86 400 s 。

(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同。

(4)高度一定：据G Mm r 2＝m 4π2T 2r 得r ＝3GMT 24π2＝4.24×104km ，卫星离地面高度h ＝r －R ≈5.6R (为恒量)。

(5)速率一定：运动速度v ＝2πr /T ＝3.07 km/s(为恒量)。

(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致。

2．极地卫星和近地卫星(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。

(2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s 。

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。

3．三种宇宙速度比较1．经典时空观(1)在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。

(2)在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是相同的。

专题05 万有引力定律与航天【满分：110分 时间：90分钟】一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中， 1~8题只有一项符合题目要求； 9~12题有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。

） 1．地球和木星绕太阳运行的轨道都可以看作是圆形．已知木星的轨道半径约为地球轨道半径的5.2倍，则木星与地球绕太阳运行的线速度之比约为( ) A. 0.19 B. 0.44 C. 2.3 D. 5.2 【答案】B【解析】由22=G m Mm v r r 得： =v 120.44v v ==，B 正确；ACD 错误；故选B 。

2．2016年8月16日，墨子号量子科学实验卫星成功发射升空，这标志着我国空间科学研究又迈出重要一步。

已知卫星在距地球表面高度为h 的圆形轨道上运动，运行周期为T ，引力常量为G ，地球半径为R ，则地球的质量可表示为（ ）A. 2324R GT π B. ()3224R h GT π+ C. ()224R h GT π+ D. ()2224R h GT π+【答案】B3．2016年10月19日，天宫二号空间实验室与神舟十一号载人飞船在距地面393公里的轨道高度交会对接成功。

由此消息对比神舟十一号与地球同步卫星的认识，正确的是（ ）A. 神舟十一号载人飞船中宇航员没有受到力的作用B. 神舟十一号载人飞船的周期为24小时C. 神舟十一号载人飞船的周期小于同步卫星的周期D. 神舟十一号载人飞船中天平可以正常使用【答案】C点睛：解决本题的关键是理解宇宙员处于完全失重状态，靠地球的万有引力提供向心力，做圆周运动；明确飞船上所有天体均做匀速圆周运动4．“天舟一号”货运飞船2017年4月20日在文昌航天发射中心成功发射升空，与“天宫二号”空间实验室对接前，“天舟一号”在距地面约380km的圆轨道上飞行，已知地球距地面卫星的高度约为36000km，则“天舟一号”（）A. 线速度小于地球同步卫星的线速度B. 线速度大于第一宇宙速度C. 向心加速度小于地球同步卫星加速度D. 周期小于地球自转周期【答案】D【解析】A. “天舟一号”的轨道半径比地球同步卫星的小，由开普勒第二定律知其线速度大于同步卫星的线速度。

第4节 万有引力与航天知识点1 开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：a 3T 2＝k .知识点2 万有引力定律 1．内容(1)自然界中任何两个物体都相互吸引． (2)引力的方向在它们的连线上．(3)引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比．2．表达式F ＝G m 1m 2r 2，其中G 为引力常量，G ＝6.67×10－11 N·m 2/kg 2，由卡文迪许扭秤实验测定．3．适用条件(1)两个质点之间的相互作用．(2)对质量分布均匀的球体，r为两球心间的距离．知识点3地球同步卫星及宇宙速度1．地球同步卫星的特点(1)轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合．(2)周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h＝86 400 s.(3)角速度一定：与地球自转的角速度相同．(4)高度一定：据G Mmr2＝m4π2T2r得r＝3GMT24π2＝4.24×104km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)．(5)速率一定：运行速度v＝2πrT＝3.07 km/s(为恒量)．(6)绕行方向一定：与地球自转的方向一致．2．三种宇宙速度比较1．正误判断(1)只有天体之间才存在万有引力．(×)(2)当两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(×)(3)第一宇宙速度与地球的质量有关．(√)(4)地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度．(×)(5)地球同步卫星可以定点于北京正上方．(×)(6)若物体的发射速度大于第二宇宙速度，小于第三宇宙速度，则物体可以绕太阳运行．(√)2．(对开普勒三定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知 ( )【导学号：96622070】A ．太阳位于木星运行轨道的中心B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积【答案】 C3．(对万有引力定律的理解)关于万有引力公式F ＝G m 1m 2r 2，以下说法中正确的是 ( )A ．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体B ．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大C ．两物体间的万有引力也符合牛顿第三定律D ．公式中引力常量G 的值是牛顿规定的 【答案】 C4．(卫星运行及宇宙速度的理解)北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统(CNSS)，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星．对于其中的5颗同步卫星，下列说法中正确的是( ) 【导学号：96622071】A ．它们运行的线速度一定不小于7.9 km/sB ．地球对它们的吸引力一定相同C ．一定位于赤道上空同一轨道上D ．它们运行的加速度一定相同 【答案】 C5．(同步卫星的特点)由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( )A ．质量可以不同B ．轨道半径可以不同C ．轨道平面可以不同D ．速率可以不同 【答案】 A[核心精讲] 1．重力加速度法利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R . (1)由G Mm R 2＝mg 得天体质量M ＝gR 2G . (2)天体密度：ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g4πGR.2．卫星环绕法测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . (1)由G Mm r 2＝m 4π2r T 2得天体的质量M ＝4π2r 3GT 2.(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3πr 3GT 2R 3.(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3πGT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．[题组通关]1．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的120.该中心恒星与太阳的质量比约为( )A.110 B ．1 C ．5D ．10B 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，可得：M ＝4π2r 3GT 2.由此可得：M 1M 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫r 1r 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1203×⎝ ⎛⎭⎪⎫36542≈1，选项B 正确．2．(2014·全国卷Ⅱ)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0，在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ，引力常量为G .地球的密度为( )A.3πGT 2·g 0－gg 0B.3πGT 2·g 0g 0－gC.3πGT 2D.3πGT 2·g 0gB 物体在地球的两极时，mg 0＝GMm R 2，物体在赤道上时，mg ＋m⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ＝G Mm R 2，ρ＝M 43πR 3，以上三式联立解得地球的密度ρ＝3πg 0GT 2(g 0－g )，故选项B 正确，选项A 、C 、D 错误．[名师微博] 两点提醒：1．估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．2．区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r ≈R .[核心精讲] 1．三类卫星(1)同步卫星的周期、轨道平面、高度、线速度、角速度绕行方向均是固定不变的，常用于无线电通信，故又称通信卫星．(2)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．(3)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s.2．四个分析“四个分析”是指分析人造卫星的加速度、线速度、角速度和周期与轨道半径的关系．[师生共研]●考向1卫星各运行参量的比较(多选)(2016·江苏高考)如图4-4-1所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、E k、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有()图4-4-1A．T A＞T BB．E k A＞E k BC．S A＝S BD.R3AT2A＝R3BT2BAD 已知不同高度处的卫星绕地球做圆周运动，R A ＞R B .根据R 3T 2＝k 知，T A ＞T B ，选项A 、D 正确；由GMmR 2＝m v 2R 知，运动速率v ＝GMR ，由R A ＞R B ，得v A ＜v B ，则E k A ＜E k B ，选项B 错误；根据开普勒第二定律知，同一卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于不同卫星，S A 不一定等于S B ，选项C 错误．●考向2 发射速度及宇宙速度的分析与计算(多选)(2015·广东高考)在星球表面发射探测器，当发射速度为v 时，探测器可绕星球表面做匀速圆周运动；当发射速度达到2v 时，可摆脱星球引力束缚脱离该星球．已知地球、火星两星球的质量比约为10∶1，半径比约为2∶1，下列说法正确的有( )A ．探测器的质量越大，脱离星球所需要的发射速度越大B ．探测器在地球表面受到的引力比在火星表面的大C ．探测器分别脱离两星球所需要的发射速度相等D ．探测器脱离星球的过程中，势能逐渐增大BD 探测器在星球表面做匀速圆周运动时，由G MmR 2＝m v 2R ，得v ＝GM R ，则摆脱星球引力时的发射速度2v ＝2GMR ，与探测器的质量无关，选项A 错误；设火星的质量为M ，半径为R ，则地球的质量为10M ，半径为2R ，地球对探测器的引力F 1＝G10Mm (2R )2＝5GMm 2R 2，比火星对探测器的引力F 2＝G MmR 2大，选项B 正确；探测器脱离地球时的发射速度v 1＝2G ·10M2R ＝10GMR ，脱离火星时的发射速度v 2＝2GMR ，v 2<v 1，选项C 错误；探测器脱离星球的过程中克服引力做功，势能逐渐增大，选项D 正确．1．第一宇宙速度是卫星绕行星做匀速圆周运动的最大速度，也是发射卫星的最小发射速度．2．第二宇宙速度是卫星脱离行星所需的最小发射速度，大小为第一宇宙速度的2倍．[题组通关]3．(2015·山东高考)如图4-4-2所示，拉格朗日点L 1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L 1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a 1、a 2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a 3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( ) 【导学号：96622072】图4-4-2A ．a 2>a 3>a 1B ．a 2>a 1>a 3C ．a 3>a 1>a 2D ．a 3>a 2>a 1D 空间站和月球绕地球运动的周期相同，由a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r 知，a 2>a 1；对地球同步卫星和月球，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mmr 2＝ma ，可知a 3>a 2，故选项D 正确．4．(2014·江苏高考)已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为( )A ．3.5 km/sB ．5.0 km/sC ．17.7 km/sD ．35.2 km/sA 由G Mm r 2＝m v 2r 得，对于地球表面附近的航天器有：G Mm r 2＝m v 21r ，对于火星表面附近的航天器有：G M ′m r ′2＝m v 22r ′，由题意知M ′＝110M 、r ′＝r 2，且v 1＝7.9 km/s ，联立以上各式得：v 2≈3.5 km/s ，选项A 正确．[核心精讲] 1．卫星轨道的渐变当卫星由于某种原因速度突然改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运行．(1)当卫星的速度逐渐增加时，G Mmr2<mv2r，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM r可知其运行速度比原轨道时减小．(2)当卫星的速度逐渐减小时，G Mmr2>mv2r，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，轨道半径变小，当卫星进入新的轨道稳定运行时由v＝GM r可知其运行速度比原轨道时增大．2．卫星轨道的突变由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道．如图4-4-3所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：图4-4-3(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ.(2)使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆形的转移轨道Ⅱ.(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．[师生共研]●考向1卫星轨道渐变时各物理量的变化分析(多选)2012年6月18日，神舟九号飞船与天宫一号目标飞行器在离地面343 km的近圆形轨道上成功进行了我国首次载人空间交会对接．对接轨道所处的空间存在极其稀薄的大气．下列说法正确的是( )A ．为实现对接，两者运行速度的大小都应介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间B ．如不加干预，在运行一段时间后，天宫一号的动能可能会增加C ．如不加干预，天宫一号的轨道高度将缓慢降低D ．航天员在天宫一号中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用 BC 第一宇宙速度和第二宇宙速度为发射速度，天体运动的速度为环绕速度，均小于第一宇宙速度，选项A 错误；天体运动过程中由于大气阻力，速度减小，导致需要的向心力F n ＝m v 2r 减小，做近心运动，近心运动过程中，轨道高度降低，且万有引力做正功，势能减小，动能增加，选项B 、C 正确；航天员在太空中受地球引力，地球引力全部提供航天员做圆周运动的向心力，选项D 错误．●考向2 卫星轨道突变前后各物理量间的变化分析(多选)如图4-4-4所示，地球卫星a 、b 分别在椭圆轨道、圆形轨道上运行，椭圆轨道在远地点A 处与圆形轨道相切，则( )图4-4-4A ．卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短B ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度大于b 的速度C ．两颗卫星分别经过A 点处时，a 的加速度小于b 的加速度D ．卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行AD 由于卫星a 的运行轨道的半长轴比卫星b 的运行轨道半径短，根据开普勒定律，卫星a 的运行周期比卫星b 的运行周期短，选项A 正确；两颗卫星分别经过A 点处时，a 的速度小于b 的速度，选项B 错误；两颗卫星分别经过A 点处，a 的加速度等于b 的加速度，选项C 错误；卫星a 在A 点处通过加速可以到圆轨道上运行，选项D 正确．航天器变轨问题的两个结论1．航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大．2．航天器经过不同轨道相交的同一点时加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度．[题组通关]5．2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件．如图4-4-5所示，一块陨石从外太空飞向地球，到A点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是()【导学号：96622073】图4-4-5A．陨石正减速飞向A处B．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小C．陨石绕地球运转时速度渐渐变大D．进入大气层陨石的机械能渐渐变大C陨石进入大气层前，只有万有引力做正功，速度增大，A错误；进入大气层后，空气阻力做负功，机械能减小，D错误；由GMmr2＝mv2r＝mω2r得：v＝GMr，ω＝GMr3，故随r减小，v、ω均增大，B错误，C正确．6．(多选)如图4-4-6所示是飞船进入某星球轨道后的运动情况，飞船沿距星球表面高度为100 km的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点时，点火制动变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的B点时，飞船离星球表面高度为15 km，再次点火制动，下降落到星球表面．下列判断正确的是()图4-4-6A ．飞船在轨道Ⅱ上的B 点受到的万有引力等于飞船在B 点所需的向心力 B ．飞船在轨道Ⅱ上由A 点运动到B 点的过程中，动能增大C ．飞船在A 点点火变轨瞬间，速度增大D ．飞船在轨道Ⅰ绕星球运动一周所需的时间大于在轨道Ⅱ绕星球运动一周所需的时间BD 由飞船在轨道Ⅱ上的运动轨迹可知，飞船在B 点做离心运动，B 点的万有引力小于所需的向心力，A 错误；从A 到B 的运动过程中万有引力做正功，由动能定理可知，动能增大，B 正确；由题可知在A 点制动进入椭圆轨道，速度减小，C 错误；由开普勒第三定律可得，D 正确．[典题示例](多选)如图4-4-7所示，A 是地球的同步卫星，B 是位于赤道平面内的近地卫星，C 为地面赤道上的物体，已知地球半径为R ，同步卫星离地面的高度为h ，则( )图4-4-7A ．A 、B 加速度的大小之比为⎝⎛⎭⎪⎫R ＋h R 2B ．A 、C 加速度的大小之比为1＋hR C ．A 、B 、C 速度的大小关系为v A >v B >v CD ．要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上运行至少需要对B 卫星进行两次加速【解题关键】BD 根据万有引力提供向心力可知G Mm r 2＝ma ，得a A ＝G M (R ＋h )2，a B ＝G MR 2，故a A a B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫R R ＋h 2，选项A 错误；A 、C 角速度相同，根据a ＝ω2r 得a A ＝ω2(R ＋h )，a C ＝ω2R ，故a A a C＝1＋h R ，选项B 正确；根据G Mmr 2＝m v 2r 得v ＝GMr ，可知轨道半径越大线速度越小，所以v B >v A ，又A 、C 角速度相同，根据v ＝ωr 可知v A >v C ，故v B >v A >v C ，选项C 错误；要将B 卫星转移到A 卫星的轨道上，先要加速到椭圆轨道上，再由椭圆轨道加速到A 卫星的轨道上，选项D 正确．赤道表面的物体、近地卫星、同步卫星的对比[题组通关]7．(2016·四川高考)国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440 km ，远地点高度约为2 060 km ；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35 786 km 的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a 1，东方红二号的加速度为a 2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a 3，则a 1、a 2、a 3的大小关系为( )图4-4-8A ．a 2>a 1>a 3B ．a 3>a 2>a 1C ．a 3>a 1>a 2D ．a 1>a 2>a 3D 卫星围绕地球运行时，万有引力提供向心力，对于东方红一号，在远地点时有G Mm 1(R ＋h 1)2＝m 1a 1，即a 1＝GM (R ＋h 1)2，对于东方红二号，有G Mm 2(R ＋h 2)2＝m 2a 2，即a 2＝GM (R ＋h 2)2，由于h 2>h 1，故a 1>a 2，东方红二号卫星与地球自转的角速度相等，由于东方红二号做圆周运动的轨道半径大于地球赤道上物体做圆周运动的半径，根据a ＝ω2r ，故a 2>a 3，所以a 1>a 2>a 3，选项D 正确，选项A 、B 、C 错误．。

板块一专题突破复习第四讲万有引力定律及其应用(2)(3)三种宇宙速度(4)同步卫星的“七个一定”特点①轨道平面一定：轨道平面与赤道平面共面．②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24 h.③角速度一定：与地球自转的角速度相同，即ω＝7.3×10－5 rad/s.④高度一定：由G Mm(R ＋h )2＝m 4π2T 2(R ＋h )得地球同步卫星离地面的高度h ＝ 3GMT 24π2－R ＝3.6×107m. ⑤速率一定：v ＝GMR ＋h＝3.1×103 m/s. ⑥向心加速度一定：由G Mm (R ＋h )2＝ma ，得a ＝GM(R ＋h )2＝g h ≈0.23m/s 2，即同步卫星的向心加速度等于轨道处的重力加速度．⑦绕行方向一定：运行方向与地球自转方向一致.考向一 天体质量与密度的计算[归纳提炼]天体质量及密度的估算方法[熟练强化]1．(2017·北京卷)利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 [解析] 由于不考虑地球自转，则在地球表面附近，有G Mm 0R2＝m 0g ，故可得M ＝gR 2G ，A 项错误；由万有引力提供人造卫星的向心力，有G Mm 1R 2＝m 1v 2R ，v ＝2πRT ，联立得M ＝v 3T 2πG，B 项错误；由万有引力提供月球绕地球运动的向心力，有G Mm 2r 2＝m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT ′ 2r ，故可得M ＝4π2r 3GT ′2，C 项错误；同理，根据地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离，不可求出地球的质量，D 项正确．[答案] D2．(2017·河北六校联考)某行星的同步卫星下方的行星表面上有一观察者，行星的自转周期为T ，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，发现日落的T 2时间内有T6的时间看不见此卫星，不考虑大气对光的折射，则该行星的密度为( )A.24πGT 2B.3πGT 2C.8πGT 2D.16πGT2 [解析] 设行星质量为M ，半径为R ，密度为ρ，卫星质量为m ，如图所示，发现日落的T 2时间内有T6的时间看不见同步卫星，则θ＝360°6＝60°，故φ＝60°，r ＝R cos φ＝2R ，根据G Mm(2R )2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 22R ，M ＝ρ43πR 3，解得ρ＝24πGT2.[答案]A(1)利用万有引力提供天体圆周运动的向心力估算天体质量，估算的是中心天体的质量而非环绕天体的质量.(2)区别两个半径(轨道半径与天体半径)，轨道半径与天体半径的关系为r ＝R ＋h ，只有在天体表面附近的卫星，才有R ≫h ，r ≈R .(h 指卫星到天体表面高度考向二 人造卫星[归纳提炼]1．必须掌握的四个关系GMm r 2＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧⎭⎪⎪⎬⎪⎪⎫ma ―→a ＝GMr 2―→a ∝1r 2m v 2r ―→v ＝GM r ―→ v ∝1r mω2r ―→ω＝GMr 3―→ω∝1r 3m 4π2T 2r ―→T ＝4π2r 3GM―→T ∝r 3越高越慢 2．必须牢记同步卫星的两个特点(1)同步卫星绕地心做匀速圆周运动的周期等于地球的自转周期．(2)所有同步卫星都在赤道上空相同的高度上．(2017·全国卷Ⅲ)2017年4月，我国成功发射的天舟一号货运飞船与天宫二号空间实验室完成了首次交会对接，对接形成的组合体仍沿天宫二号原来的轨道(可视为圆轨道)运行．与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的( )A ．周期变大B ．速率变大C ．动能变大D ．向心加速度变大[解析] 组合体比天宫二号质量大，轨道半径R 不变，根据GMmR 2＝m v 2R ，可得v ＝GMR ，可知与天宫二号单独运行时相比，组合体运行的速率不变，B 项错误；又T ＝2πR，则周期T 不变，A 项错误；质量变大、速率不变，动能变大，C 项正确；向心加速度a ＝GMR 2，不变，D 项错误．[答案] C求解本题时，若对天体运动规律掌握不熟悉，加之考试紧张，题目情景分析不明，可能会误以为是较复杂的行星轨道变化问题，错把简单问题复杂化，耗时而费力.高考复习时，应仔细分析天体运动特点，正确画出情景图，切忌搞题海战术，分不清情景乱套公式，同时也要关注社会科技新动向.[熟练强化]1．(多选)(2017·河北保定一模)O 为地球球心，半径为R 的圆为地球赤道，地球自转方向如图所示，自转周期为T ，观察站A 有一观测员在持续观察某卫星B .某时刻观测员恰能观察到卫星B 从地平线的东边落下，经T 2的时间，再次观察到卫星B 从地平线的西边升起．已知∠BOB ′＝α，地球质量为M ，引力常量为G ，则( )A ．卫星B 绕地球运动的周期为πT2π－αB ．卫星B 绕地球运动的周期为πT2π＋αC ．卫星B 离地表的高度为 3GM 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2π－α 2－R D ．卫星B 离地表的高度为 3GM 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2π＋α 2－R [解析] 当地球上A 处的观测员随地球转动半个周期时，卫星转过的角度应为2π＋α，所以T 2＝2π＋α2πT 卫，解得T 卫＝πT 2π＋α，A 错，B 对．卫星绕地球转动过程中万有引力充当向心力，G Mm 卫r 2卫＝m 卫⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 卫 2r 卫，得r 卫＝ 3T 2卫GM 4π2＝ 3GM 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2π＋α 2，则卫星距地表的高度h ＝r 卫－R ＝ 3GM 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2π＋α 2－R ，C 错，D 对． [答案] BD2．(多选)(2017·广东华南三校联考)石墨烯是目前世界上已知的强度最高的材料，它的发现使“太空电梯”的制造成为可能，人类将有望通过“太空电梯”进入太空．设想在地球赤道平面内有一垂直于地面延伸到太空的轻质电梯，电梯顶端可超过地球的同步卫星A 的高度延伸到太空深处，这种所谓的太空电梯可用于降低成本发射绕地人造卫星．如图所示，假设某物体B 乘坐太空电梯到达了图示的位置并停在此处，与同高度运行的卫星C 相比较( )A ．B 的线速度大于C 的线速度 B ．B 的线速度小于C 的线速度C ．若B 突然脱离电梯，B 将做离心运动D ．若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动[解析] A 和C 两卫星相比，ωC >ωA ，而ωB ＝ωA ，则ωC >ωB ，又据v ＝ωr ，r C ＝r B ，得v C >v B ，故B 项正确，A 项错误．对C 星有G Mm C r 2C ＝m C ω2C r C ，又ωC >ωB ，对B 星有G Mm B r 2B >m B ω2B r B ，若B 突然脱离电梯，B 将做近心运动，D 项正确，C 项错误．[答案] BD 3.(多选)(2017·江西七校联考)卫星A 、B 的运行方向相同，其中B 为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，已知地球半径为R ，卫星A 离地心O 的距离是卫星B 离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g ，则( )A ．卫星A 、B 的运行周期的比值为T A T B＝41 B ．卫星A 、B 的运行线速度大小的比值为v A v B＝12 C ．卫星A 、B 的运行加速度的比值为a A a B＝14 D ．卫星A 、B 至少经过时间t ＝16π7R g ，两者再次相距最近[解析] 本题以卫星的运行考查运行参量的比较，求解方法仍是抓住主、副两条线索．由地球对卫星的引力提供向心力G Mm r 2＝m 4π2T2r 知T ＝2π r 3GM∝r 3，而r A ＝4r B ，所以卫星A 、B 的运行周期的比值为T A T B＝81，A 项错误；同理，由G Mm r 2＝m v 2r 得v ＝ GM r ∝1r ，所以卫星A 、B 的运行线速度大小的比值为v A v B＝12，B 项正确；由G Mm r 2＝ma 得a ＝GM r 2∝1r 2，所以卫星A 、B 的运行加速度的比值为a A a B＝116，C 项错误；由T ＝2π r 3GM 及地球表面引力等于重力大小G Mm R 2＝mg 知T ＝2π r 3gR 2，由于B 为近地卫星，所以T B ＝2π Rg ，当卫星A 、B 再次相距最近时，卫星B 比卫星A 多运行了一周，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT B －2πT A t ＝2π，联立可得t ＝16π7 R g ，D 项正确．[答案] BD天体相遇问题的解法如图，当两运行天体A 、B 的轨道平面在同一平面内时，若运行方向相同，则内侧天体B 比A 每多运行一圈时相遇一次，在Δt 时间内相遇的次数n ＝Δt T B －Δt T A＝ωB －ωA 2πΔt .若运行方向相反时，则A 、B 每转过的圆心角之和等于2π时发生一次相遇，在Δt 时间内相遇的次数为：n＝ωAΔt＋ωBΔt2π＝ΔtT B＋ΔtT A.考向三卫星的变轨问题[归纳提炼]1．变轨原理及过程(1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上．(2)在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ.(3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ.2．部分物理量的定性分析(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为v A、v B.在A点加速，则v A>v1，在B点加速，则v3>v B，又因v1>v3，故有v A>v1>v3>v B.(2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同．(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律r3T2＝k，可知T1<T2<T3.(多选)如图所示是我国发射的“嫦娥三号”卫星被月球俘获的示意图，“嫦娥三号”卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P点经两次制动后最终沿月球表面的圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，已知圆轨道半径为r，椭圆Ⅲ的半长轴为4r，卫星沿圆轨道Ⅰ运行的周期为T，则下列说法中正确的是()A．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上运行的机械能大于在轨道Ⅲ上运行的机械能B．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小大于在P点的速度大小C．“嫦娥三号”卫星在三个轨道上运行时，在P点的加速度总是相同的D．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M点运动到P点经历的时间为4T[思路路线]在P 点两次制动减速→从Ⅲ到Ⅱ机械能减少→A 错同一轨道运行时机械能守恒→近地点速度大→B 错Ⅲ、Ⅱ为椭圆轨道→a ＝v 2r 不成立→据a ＝GM r 2判断→C 正确 开普勒第三定律→从M 点到P 点时间为4T →D 正确[解析] 因“嫦娥三号”卫星从轨道Ⅲ变轨到轨道Ⅱ上运行时，必须在P 点进行减速，即在轨道Ⅱ上运行的机械能小于在轨道Ⅲ上运行的机械能，A 项错误；由开普勒行星运动第二定律知“嫦娥三号”卫星在近月点速度大，即“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M 点的速度大小小于在P 点的速度大小，B 项错误；由G Mm r2＝ma 知卫星离中心天体高度相同时，运行的加速度相同，C 项正确；令“嫦娥三号”卫星从M 点运动到P 点经历的时间为t ，则由开普勒行星运动第三定律得r 3T 2＝(4r )3(2t )2，即t ＝4T ，D 项正确． [答案] CD变轨过程中能量分析的常见误区(1)变轨前后，卫星机械能不守恒．卫星的发射和回收都是利用以上原理通过多次变轨实现的．由于变轨时卫星需要借助“点火”实现加速或减速，变轨前后的机械能不守恒，有其他形式的能量参与转化．(2)同一轨道上自主运行时仅受万有引力作用，机械能守恒．这一结论对圆形或椭圆形轨道均成立．[熟练强化]迁移一 卫星的交会对接问题1．“天宫一号”目标飞行器与“神舟十号”飞船自动交会对接前的示意图如图所示，圆形轨道Ⅰ为“天宫一号”运行轨道，圆形轨道Ⅱ为“神舟十号”运行轨道．此后“神舟十号”要进行多次变轨，才能实现与“天宫一号”的交会对接，则( )A ．“天宫一号”的运行速率大于“神舟十号”在轨道Ⅱ上的运行速率B ．“神舟十号”变轨后比变轨前高度增加，机械能减少C ．“神舟十号”可以通过减速而使轨道半径变大D ．“天宫一号”和“神舟十号”对接瞬间的向心加速度大小相等[解析] 做圆周运动的天体，线速度大小v ＝ GMr ，因此轨道半径较大的“天宫一号”速率较小，A 项错误；“神舟十号”由低轨道到高轨道运动需要消耗火箭燃料加速，由功能关系可知在高轨道上飞船机械能更大，B 项错误；飞船在圆周轨道上减速时，万有引力大于所需要的向心力，飞船做近心运动，轨道半径减小，C 项错误；在对接瞬间，“神舟十号”与“天宫一号”所受万有引力提供向心力，向心加速度相等，D 项正确．[答案] D迁移二 较高轨道向较低轨道变轨2．(2017·株洲模拟)如右图所示，“嫦娥”三号探测器发射到月球上要经过多次变轨，最终降落到月球表面上，其中轨道Ⅰ为圆形，轨道Ⅱ为椭圆．下列说法正确的是( )A ．探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期B ．探测器在轨道Ⅰ经过P 点时的加速度小于在轨道Ⅱ经过P 点时的加速度C ．探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度大于月球表面的重力加速度D ．探测器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ必须点火加速[解析] 根据开普勒第三定律知，r 3T 2＝k ，因为轨道Ⅰ的半径大于轨道Ⅱ的半长轴，则探测器在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期，故A 正确；根据牛顿第二定律知，a ＝GM r 2，探测器在轨道Ⅰ经过P 点时的加速度等于在轨道Ⅱ经过P 点时的加速度，故B 错误；根据G Mm r 2＝ma 知，探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度a ＝GM r 2，月球表面的重力加速度g ＝GM R 2，因为r >R ，则探测器在轨道Ⅰ运行时的加速度小于月球表面的重力加速度，故C 错误．探测器在P 点由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ需减速，使得万有引力大于向心力，做近心运动，故D 错误．[答案] A迁移三 较低轨道向较高轨道变轨3．(多选)“嫦娥五号”的主要任务是月球取样返回．“嫦娥五号”要面对取样、上升、对接和高速再入等四个主要技术难题，要进行多次变轨飞行．如图所示是“嫦娥五号”绕月球飞行的三条轨道，1轨道是贴近月球表面的圆形轨道，2和3轨道是变轨后的椭圆轨道．A 点是2轨道的近月点，B 点是2轨道的远月点，“嫦娥五号”在轨道1的运行速率为1.8 km/s ，则下列说法中正确的是( )A ．“嫦娥五号”在2轨道经过A 点时的速率一定大于1.8 km/sB ．“嫦娥五号”在2轨道经过B 点时的速率一定小于1.8 km/sC ．“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能小于在2轨道所具有的机械能D ．“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率小于在2轨道所具有的最大速率[解析] “嫦娥五号”在1轨道做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得G Mm r 2＝m v 21r ，由1轨道A 点变轨到2轨道“嫦娥五号”做离心运动，则有G Mm r 2<m v 22A r ，故v 1<v 2A ，选项A 正确；“嫦娥五号”在2轨道B 点做近心运动，则有G Mm r 2B >m v 22B r B ，若“嫦娥五号”在经过B 点的圆轨道上运动，则G Mm r 2B ＝m v 2B r B，由于r <r B ，所以v 1>v B ，故v 2B <v B <v 1＝1.8 km/s ，选项B 正确；3轨道的高度大于2轨道的高度，故“嫦娥五号”在3轨道所具有的机械能大于在2轨道所具有的机械能，选项C 错误；“嫦娥五号”在各个轨道上运动时，只有万有引力做功，机械能守恒，在A 点时重力势能最小，动能最大，速率最大，故“嫦娥五号”在3轨道所具有的最大速率大于在2轨道所具有的最大速率，选项D 错误．[答案] AB高考高频考点强化——宇宙多星模型[考点归纳]1．双星模型(1)模型条件：两颗恒星彼此相距较近；两颗恒星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动；两颗恒星绕同一圆心做匀速圆周运动．(2)模型特点①向心力等大反向：两颗恒星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力．②周期、角速度相同：两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等．③半径、线速度与质量成反比：圆心在两颗恒星的连线上，且r1＋r2＝L，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比．两颗恒星做匀速圆周运动的线速度与恒星的质量成反比．2．三星模型(1)第一种情况：三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央的星(静止不动)在同一半径为R的圆轨道上运行，周期相同．(2)第二种情况：三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆轨道运行，三颗星的运行周期相同(如图所示)．3．四星模型(1)第一种情况：四颗星稳定地分布在边长为a的正方形的四个顶点上，均围绕正方形的两条对角线的交点做匀速圆周运动(如图所示)．(2)第二种情况：有三颗星位于边长为a 的等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，而第四颗星刚好位于三角形的中心不动．[真题归类]1．(2013·山东卷)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( )A.n 3k 2T B.n 3k T C.n 2k T D.n k T[解析] 设双星的质量分别为m 1、m 2，两星做圆周运动的半径分别为r 1、r 2，则总质量M ＝m 1＋m 2，两者之间的距离l ＝r 1＋r 2.根据万有引力定律及牛顿第二定律得G m 1m 2l 2＝m 14π2T 2r 1、G m 1m 2l 2＝m 24π2T 2r 2，将两式相加整理可得T ＝4π2l 2(r 1＋r 2)G (m 1＋m 2)＝4π2l 3GM .当总质量变为原来的k倍，距离变为原来的n倍时，周期将变为原来的n3k倍，故选项B正确．[答案] B2．(2010·全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为m和M的两个星球A 和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L.已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧．引力常量为G.(1)求两星球做圆周运动的周期；(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2.已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024kg和7.35×1022 kg.求T2与T1两者二次方之比．(结果保留3位小数)[解析](1)设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为F，运行周期为T.根据万有引力定律有F＝G Mm(R＋r)2①由匀速圆周运动的规律得F ＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2r ②F ＝M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R ③由题意有L ＝R ＋r ④ 联立①②③④式得T ＝2πL 3G (M ＋m ).⑤(2)在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O 不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出T 1＝2πL ′3G (M ′＋m ′)⑥式中，M ′和m ′分别是地球与月球的质量，L ′是地心与月心之间的距离．若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则G M ′m ′L ′2＝m ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2 2L ′⑦式中，T 2为月球绕地心运动的周期．由⑦式得 T 2＝2πL ′3GM ′⑧ 由⑥⑧式得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 1 2＝1＋m ′M ′⑨ 代入题给数据得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 2T 1 2＝1.012.⑩[答案] (1)2π L 3G (M ＋m )(2)1.0123.(2015·安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：(1)A星体所受合力大小F A；(2)B星体所受合力大小F B；(3)C星体的轨道半径R C；(4)三星体做圆周运动的周期T.[解析](1)由万有引力定律，A 星体所受B 、C 星体引力大小为 F BA ＝G m A m Br 2＝G 2m 2a 2＝F CA ，方向如图所示．合力大小 F A ＝23G m 2a2(2)同上，B 星体所受A 、C 星体引力大小分别为 F AB ＝G m A m Br 2＝G 2m 2a2F CB ＝G m C m Br 2＝G m 2a 2，方向如图所示．由F Bx ＝F AB cos60°＋F CB ＝2G m 2a 2F By ＝F AB sin60°＝3G m 2a 2可得F B ＝F 2Bx ＋F 2By ＝7G m 2a2 (3)通过分析可知，圆心O 在中垂线AD 的中点，R C ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝74a (或：由对称性可知OB ＝OC ＝R C ，cos ∠OBD＝F Bx F B ＝DB OB＝12aR C )(4)三星体运动周期相同，对C 星体，由F C ＝F B＝7G m 2a 2＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2πT 2R C可得T ＝πa 3GM[答案] (1)23G m 2a 2 (2)7Gm 2a 2 (3)74a (4)πa 3Gm解决双星、多星问题，要抓住四点：一抓双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径；二抓星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供；三抓星体的角速度相等；四抓星体的轨道半径不是天体间的距离.要利用几何知识，寻找它们之间的关系，正确计算万有引力和向心力.[迁移训练]1．(2017·黑龙江大庆模拟)某同学学习了天体运动的知识后，假想宇宙中存在着由四颗星组成的孤立星系．如图所示，一颗母星处在正三角形的中心，三角形的顶点各有一颗质量相等的小星围绕母星做圆周运动．如果两颗小星间的万有引力为F ，母星与任意一颗小星间的万有引力为9F ，则( )A ．每颗小星受到的万有引力为(3＋9)FB ．每颗小星受到的万有引力为⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋9FC ．母星的质量是每颗小星质量的2倍D ．母星的质量是每颗小星质量的33倍[解析] 每颗小星受到的万有引力的合力为9F ＋2F cos30°＝(3＋9)F ，A 正确，B 错误．由F ＝G mm L 2和9F ＝G Mm ⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2cos30° 2得，Mm ＝3，C 、D 错误．[答案] A2．(2017·菏泽市二模)2016年2月11日，美国科学家宣布探测到引力波，证实了爱因斯坦100年前的预测，弥补了爱因斯坦广义相对论中最后一块缺失的“拼图”．双星的运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得a 星的周期为T ，a 、b 两颗星的距离为l ，a 、b 两颗星的轨道半径之差为Δr (a 星的轨道半径大于b 星的轨道半径)，则( )A．b星的周期为l－Δr l＋ΔrTB．a星的线速度大小为π(l＋Δr)TC．a、b两颗星的半径之比为l l－ΔrD．a、b两颗星的质量之比为l＋Δr l－Δr[解析]双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，则周期相等，所以b星的周期为T，故A错误；根据题意可知，r a＋r b＝l，r a－r b＝Δr，解得：r a＝l＋Δr2，r b＝l－Δr2，则a星的线速度大小v a＝2πr aT＝π(l＋Δr)T，r ar b＝l＋Δrl－Δr，故B正确，C错误；双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，角速度大小相等，向心力大小相等，则有：m aω2r a＝m bω2r b，解得：m am b＝r br a＝l－Δrl＋Δr，故D错误．[答案] B3．(多选)(2017·河北六校联考)宇宙中存在一些离其他恒星较远的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，三星质量也相同．现已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星做圆周运动，如图甲所示；另一种是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，如图乙所示．设这三个星体的质量均为m，且两种系统中各星间的距离已在图甲、图乙中标出，引力常量为G，则下列说法中正确的是()A ．直线三星系统中星体做圆周运动的线速度大小为 Gm LB ．直线三星系统中星体做圆周运动的周期为4πL 35GmC ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的角速度为2L 33GmD ．三角形三星系统中每颗星做圆周运动的加速度大小为3GmL 2[解析] 本题考查三星系统，求解的思路是运行天体的向心力由万有引力的合力提供．在直线三星系统中，星体做圆周运动的向心力由其他两星对它的万有引力的合力提供，根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G m 2L 2＋G m 2(2L )2＝m v 2L ，解得v ＝12 5GmL ，A 项错误；由周期T ＝2πrv 知直线三星系统中星体做圆周运动的周期为T ＝4π L 35Gm，B 项正确；同理，对三角形三星系统中做圆周运动的星体，有2G m 2L 2cos30°＝mω2·L 2cos30°，解得ω＝3Gm L 3，C 项错误；由2G m 2L2cos30°＝ma 得a ＝3GmL 2，D 项正确． [答案] BD4．(2017·浙江五校联考)我们知道在一个恒星体系中，各个恒星绕着中心的恒星的运转半径r 及运转周期T 之间，一般存在以下关系，r 3T 2＝k ，k 的值由中心的恒星质量决定．现在，天文学家又发现了相互绕转的三颗恒星，可以将其称为三星系统．如图所示，假设三颗恒星质量相同，均为m ，间距也相同．它们仅在彼此的引力作用下围绕着三星系统的中心点O 做匀速圆周运动，运动轨迹完全相同．它们自身的大小与它们之间的距离相比，自身的大小可以忽略．请你通过计算定量说明：三星系统的运转半径的立方与运转周期的平方的比值应为多少．(已知引力常量为G )[解析] 设三星系统的运动半径为r ，周期为T ，两个天体之间的距离为2r cos30°.对三星系统中的任意一颗恒星有Gm 2(2r cos30°)2×cos30°×2＝m 4π2T 2r ，解得r 3T 2＝3Gm12π2.[答案] 3Gm 12π2。

提能增分练(二) 天体运动中的“四大难点”[A 级——夺高分]1．如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E 运行，在P 点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动。

下列说法正确的是( )A ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的速度都相同B ．不论在轨道1还是轨道2运行，卫星在P 点的加速度都相同C ．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度D ．卫星在轨道2的任何位置都具有相同速度解析：选B 在P 点，沿轨道1运行时，地球对人造卫星的引力大于人造卫星做圆周运动需要的向心力，即F 引＞mv 21r ，沿轨道2运行时，地球对人造卫星的引力刚好能提供人造卫星做圆周运动的向心力，即F 引＝mv 22r ，故v 1＜v 2，选项A 错误；在P 点，人造卫星在轨道1和轨道2运行时，地球对人造卫星的引力相同，由牛顿第二定律可知，人造卫星在P 点的加速度相同，选项B 正确；在轨道1的不同位置，地球对人造卫星引力大小不同，故加速度也不同，选项C 错误；在轨道2上不同位置速度方向不同，选项D 错误。

2．(2020·咸阳兴平质检)“神舟十号”与“天宫一号”成功实施手控交会对接，是我国航天工程的一项重大成果。

下列关于“神舟十号”与“天宫一号”的分析错误的是( )A ．“天宫一号”的发射速度应介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间B ．对接前，“神舟十号”欲追上“天宫一号”，必须在同一轨道上点火加速C ．对接前，“神舟十号”欲追上同一轨道上的“天宫一号”，必须先点火减速再加速D ．对接后，组合体的速度小于第一宇宙速度解析：选B 为保证“天宫一号”绕地球运动，其发射速度应介于第一宇宙速度与第二宇宙速度之间，故A 正确；“神舟十号”欲追上“天宫一号”需要加速，加速后会做离心运动，为与“天宫一号”对接，故对接前“神舟十号”的轨道高度必定小于“天宫一号”，故B 错误；对接前，“神舟十号”欲追上同一轨道上的“天宫一号”，必须先点火减速，做近心运动，再加速做离心运动，从而实现对接，故C 正确；对接后，轨道高度没有减小，组合体的速度一定小于第一宇宙速度，故D 正确。

【物理】物理高考物理万有引力与航天练习题及解析一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天1．2018年是中国航天里程碑式的高速发展年，是属于中国航天的“超级2018”．例如，我国将进行北斗组网卫星的高密度发射，全年发射18颗北斗三号卫星，为“一带一路”沿线及周边国家提供服务．北斗三号卫星导航系统由静止轨道卫星（同步卫星）、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成．图为其中一颗静止轨道卫星绕地球飞行的示意图．已知该卫星做匀速圆周运动的周期为T ，地球质量为M 、半径为R ，引力常量为G ．（1）求静止轨道卫星的角速度ω； （2）求静止轨道卫星距离地面的高度h 1；（3）北斗系统中的倾斜同步卫星，其运转轨道面与地球赤道面有一定夹角，它的周期也是T ，距离地面的高度为h 2．视地球为质量分布均匀的正球体，请比较h 1和h 2的大小，并说出你的理由．【答案】（1）2π=T ω；（2）23124GMT h R π（3）h 1= h 2 【解析】 【分析】（1）根据角速度与周期的关系可以求出静止轨道的角速度； （2）根据万有引力提供向心力可以求出静止轨道到地面的高度； （3）根据万有引力提供向心力可以求出倾斜轨道到地面的高度； 【详解】（1）根据角速度和周期之间的关系可知：静止轨道卫星的角速度2π=Tω （2）静止轨道卫星做圆周运动，由牛顿运动定律有：21212π=()()()Mm Gm R h R h T++ 解得：2312=4πGMTh R（3）如图所示，同步卫星的运转轨道面与地球赤道共面，倾斜同步轨道卫星的运转轨道面与地球赤道面有夹角，但是都绕地球做圆周运动，轨道的圆心均为地心．由于它的周期也是T ，根据牛顿运动定律，22222=()()()Mm Gm R h R h Tπ++ 解得：23224GMTh R π因此h 1= h 2．故本题答案是：（1）2π=T ω；（2）2312=4GMT h R π（3）h 1= h 2 【点睛】对于围绕中心天体做圆周运动的卫星来说，都借助于万有引力提供向心力即可求出要求的物理量．2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设宇航员登上月球后，以初速度v 0竖直向上抛出一小球，测出小球从抛出到落回原处所需的时间为t.已知引力常量为G ，月球的半径为R ，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度大小g 月； (2)月球的质量M ；(3)飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期T .【答案】(1)02v t ；(2)202R v Gt；(3)022Rt v 【解析】 【详解】(1)小球在月球表面上做竖直上抛运动，有02v t g =月月球表面的重力加速度大小02v g t=月 (2)假设月球表面一物体质量为m ，有2=MmGmg R 月 月球的质量202R v M Gt=(3)飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，有222Mm G m R R T π⎛⎫= ⎪⎝⎭飞船贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期22RtT v π=3．土星是太阳系最大的行星，也是一个气态巨行星。