2012专升本插班生考试《高等代数》试卷

浙江省2012年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学参考答案选择题部分一、选择题:本大题共5小题,每小题4分,共20分。

题号12345答案ABCBC1.A 解析:因为01)1sin(lim)(lim 2=++=∞→∞→x x x f x x ，故函数)(x f 有界，而且是非奇非偶函数，非周期函数，所以选项A 正确。

2.B 解析:2)()(lim lim0000='=∆∆'=∆→∆→∆x f xx x f x dyx x ，当0→∆x 时，dy 为x ∆的同阶无穷小，所以选项B 正确。

3.C 解析:[]222022)()2(2)()())(()(x f f dx x f x f x x f xd dx x f x -'='-'='=''⎰⎰⎰81310)0()2()2(2=+-=+-'=f f f ，可见选项C 正确。

4.B 解析:根据题意可知：353323412341=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-⎰x dx x ，所以选项B 正确。

5.C 解析:特征方程：0222=++r r ，特征根为：i r i r --=+-=1,121，自由项为：x e x f x sin )(-=，故设特解为:)sin cos (x b x a xe y x+=-*，可见选项C 正确。

非选择题部分二、填空题:本大题共10小题，每小题4分，共40分。

6.2解析:21524lim)]1(52[lim 22=++++=+-+++∞→+∞→x x x x x x x x x x7.,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解析:该函数在定义域内处处连续，所以解不等式组为：211100-≤≤⎧-≥⎧⎪⎪⇒⎨⎨≥≥⎪⎪⎩⎩x x x x，解得定义域为：,12⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，因此所求函数的连续区间为,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦8.4-解析:00(32)(3)(32)(3)lim2lim 2(3)42→→----'=-=-=--h h f h f f h f f h h9.yyxe e -1解析:隐函数方程求导可知，方程1=+yy xe 两边同时对x 求导，得：''=+⋅y y y e xe y ，即：yy xe ey -='110.ln csc cot cos -++x x x C （C 为任意常数）解析:22cos 1sin sin sin -=⎰⎰xdx xdx x xcsc sin ln csc cot cos =-=-++⎰⎰xdx xdx x x x C （C 为任意常数）11.⎰解析:利用定积分的定义求极限可知，原式1lim →∞=n n11lim →∞===⎰n n i n 12.(1,1)-解析:x x x x x x u x u x n n n n n n n nn n n nn n ===⋅==++-∞→+-∞→++∞→+∞→1111113lim 3lim 33lim )()(lim)(ρ，所以令1)(<=x x ρ，解得：()1,1-∈x ，因此收敛区间为：()1,1-13.])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰⋅⎰=-（C 为任意常数）解析:由一阶线性微分方程的通解公式可得：])([)()(C dx e x Q e y dxx P dx x P +⎰⎰⋅⎰=-（C 为任意常数）14.⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53和⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53解析:设所求向量()0,,y x b =→，则122=+y x ，且0=⋅→→b a ，即034=-y x ，所以联立后解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5453y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5453y x ，即⎪⎭⎫ ⎝⎛0,54,53和⎪⎭⎫⎝⎛0,54,5315.362解析:由面面距公式可得：362)1(123122222221=-++--=++-=C B AD D d 三、计算题：本题共有8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分。

Passage four Animals seem to have the sense to eat when they are hungry and they do not eat more than their bodies need. It has been demonstrated that rats will, when given a choice over a period of time, prefer water with vitamins to water without vitamins even though there is no difference in taste or smell between the two water bottles. When a fragrant flavor was added to the vitamin-enriched fluid, the rats did seem to develop a taste for it and kept drinking it ,even after the vitamins were switched to the clear water. In time, however ,they broke the habit and went back to where the necessary vitamins were.In a classic experiment, babies of 6 to 12 months old were placed in a cafeteria feeding arrangement, with a wide selection of baby food before them. They were given whatever food they pointed to or appeared interested in. We are told that at first they showed some unusual eating patterns, but that over a period of time they managed to select well-balanced diet.So, in selecting food, rats and babies do seem to know and act on what's best for them. Apparently, there is a kind of "body wisdom,＂which humans soon lose. Most of us do not eat as wisely as we could. Many of our food preferences are culturally determined and influenced by long-established habits. Some people eat fox, dog and blackbirds ,while we eat cows and pigs. So what people eat and how much they eat seems to be greatly influenced by what is going on around them.76. In the experiment on rats, a fragrant flavor was added to the rat's drinking water to___.A. encourage rats to drink vitamin-enriched water B. find out rats preference in flavor C. test whether rats know which drink is good for them D. demonstrate that vitamins are tasteless 77. The expression "the habit" (para.1, sentence 4 refers to drinking water which_________. A. has no smell B. is tasteless C. has vitamins D. is flavored 78. According to the passage ,adults eating habits differ from those of babies because_____.A. adults know better than babies what kind of food are good for their healthB. adults usually cannot resist the temptation of various delicious foodsC. adults' eating habits areclosely related to the social and cultural customs D. adults have more choices of food than babies in eating patterns 79. The author implied in the passage that most ofus_________. A. eat a balanced dietB. choose the food that is of nutritionC. have the habits influenced by the surroundingsD. like to eat the food with a fragrant flavor80. As far as their eating habits are concerned, babies and rats are similar inthat______. A. both have the wisdom to choose a balanced diet B. both prefer flavored food and drinkC. both have the same eating patternsD. both develop a taste for the same kinds of flavors Part IV. Translation . ( 30pointSection A: Directions: There are 10 sentences in this section. Please translate sentences 81-85 from Chinese into English, and translate sentences 86-90 from English into Chinese. Write your answer on the Answer Sheet.81 我们向李先生学习，因为他有丰富的工作经验。

高等代数专升本试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个矩阵是可逆的？A. [1 0; 0 0]B. [1 2; 3 4]C. [1 2; 2 4]D. [1 0; 0 1]答案：D2. 设A为3阶实对称矩阵，且A的特征值为1, 2, 3，则A的平方的特征值为？A. 1, 4, 9B. 0, 4, 9C. 1, 2, 3D. 0, 1, 4答案：A3. 线性空间V的维数是指：A. 基的大小B. 线性无关向量组中向量的最大个数C. 线性相关向量组中向量的最大个数D. 向量空间中向量的最大个数答案：A4. 以下哪个是线性变换？A. f(x) = x^2B. f(x) = x + 1C. f(x) = x^3D. f(x) = sin(x)答案：B5. 线性方程组的解集是：A. 向量B. 矩阵C. 线性空间D. 集合答案：C6. 矩阵A的迹（trace）是：A. A的行列式B. A的逆矩阵的行列式C. A的主对角线元素之和D. A的转置矩阵答案：C7. 矩阵的秩是指：A. 矩阵中非零行的最大个数B. 矩阵中非零列的最大个数C. 矩阵中线性无关行向量的最大个数D. 矩阵中线性无关列向量的最大个数答案：D8. 以下哪个不是向量空间？A. 所有实数向量B. 所有复数向量C. 所有实数矩阵D. 所有实数多项式答案：C9. 矩阵的行列式可以用来判断：A. 矩阵是否可逆B. 矩阵的特征值C. 矩阵的秩D. 矩阵的转置答案：A10. 以下哪个是线性无关的向量组？A. [1, 0], [0, 1]B. [1, 1], [1, 0]C. [1, 2], [2, 4]D. [1, 0], [0, 0]答案：A二、填空题（每题2分，共20分）11. 矩阵的转置是将矩阵的行和列________。

答案：互换12. 线性方程组的增广矩阵中，________是增广项。

答案：最后列13. 如果向量组线性相关，则存在不全为零的标量使得它们的线性组合为零向量。

2012专转本高数试卷解析一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数y = (ln(x + 1))/(√(x - 1))的定义域为（）A. (-1,+∞)B. (1,+∞)C. [-1,+∞)D. [1,+∞)2. 当x→0时，f(x)=x - sin x是x的（）A. 高阶无穷小。

B. 低阶无穷小。

C. 同阶但非等价无穷小。

D. 等价无穷小。

3. 设y = f(x)在点x = x_0处可导，则limlimits_Δ x→0frac{f(x_0-Δ x)-f(x_0)}{Δ x}=（）A. f^′(x_0)B. -f^′(x_0)C. 0D. 不存在。

4. 曲线y = x^3-3x^2+1在点(1,-1)处的切线方程为（）A. y = -3x + 2B. y = 3x - 4C. y=-xD. y = x - 25. 设y=ln(cos x)，则y^′=（）A. tan xB. -tan xC. cot xD. -cot x6. 若∫ f(x)dx = F(x)+C，则∫ f(ax + b)dx=（a≠0）（）A. F(ax + b)+CB. (1)/(a)F(ax + b)+CC. aF(ax + b)+CD. (1)/(a)F(x)+C7. ∫_0^1(1)/(1 + x^2)dx=（）A. (π)/(4)B. (π)/(2)C. πD. 2π8. 下列广义积分收敛的是（）A. ∫_1^+∞(1)/(x)dxB. ∫_1^+∞(1)/(x^2)dxC. ∫_1^+∞√(x)dxD. ∫_1^+∞(1)/(√(x))dx9. 已知向量→a=(1, - 1,0)，→b=(1,0, - 1)，则→a×→b=（）A. (1,1,1)B. (-1, - 1, - 1)C. (1, - 1,1)D. (-1,1, - 1)10. 二次曲面x^2+y^2-z^2=1的类型是（）A. 椭球面。

B. 抛物面。

试题一考核课程： 《高等代数》（上） 考核类型： 考试 考核形式： 闭卷 学生院系： 年 级： 试 卷：一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1． 若整系数多项式()f x 在有理数域可约，则()f x 一定有有理根． （ ） 2． 若()p x 、()q x 均为不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则存在非零常数c ，使得()()p x cq x =． （ ）3． 对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变． （ ） 4． 若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r ． （ ） 5． 若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数． （ ） 6． 若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则存在某个向量是其余向量的线性组合． （ ）7． 若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （ ） 8． 若矩阵A 、B 满足0AB =，且0A ≠，则0B =． （ ） 9． A 称为对称矩阵是指'A A =．若A 与B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵． （ ） 10．设n 级方阵A 、B 、C 满足ABC E =，E 为单位矩阵，则CAB E =． （ ）二、填空题：（每小题2分，共20分） 1． 设()()g x f x ，则()f x 与()g x 的最大公因式为 ．2． 设0a ≠，用()g x ax b =-除()f x 所得的余式是函数值 ．3． 多项式()f x 、()g x 互素的充要条件是存在多项式()u x 、()v x 使得 ． 4．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性无关，则A 的秩为 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 ．6．设矩阵A 可逆，且1A =，则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 ．7．设A 、B 为n 阶方阵，则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 ． 8．设P 、Q 都是可逆矩阵，若PXQ B =，则X = ． 9．若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性 ．10．一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数为 ． 三、计算题（每小题5分，共20分）1．求多项式32()24f x x x x =++-与32()241g x x x x =+-+的最大公因式．2．111111111aa a+++ （n 级）3．设000a A b a c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．4．求向量组(1,1,1)α=、(1,2,3)β=、(3,4,5)γ=的一个极大线性无关组，并将其余向量 表为该极大线性无关组的线性组合．四、设向量组12,,,r ααα线性无关，而向量组12,,,,r αααβ线性相关，证明：β可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（本大题10分）五、设A 是一个秩为r 的m n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的 ()n n r ⨯-矩阵B ，使0AB =．（本大题10分）六、（10分）设12111n a a A a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，12111n B b b b ⎛⎫=⎪⎝⎭． （1）计算AB 及BA ；（2）证明：BA 可逆的充分必要条件是111()()nnniii ii i i a b n a b ===≠∑∑∑；（3）证明：当2n >时，AB 不可逆． （本大题10分）七、设线性方程组为1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩ 讨论λ为何值时，下面线性方程组有唯一解？无解？有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解）． （本大题10分）试题一参考答案及评分标准课程名称： 高等代数（下） 执笔人： 胡付高一、判断题（每小题2分，共20分）（1）×； （2）√； （3）√； （4）×； （5）√； （6）√； （7）×； （8）×； （9）×； （10）√．二、填空题（每小题2分，共20分）（1）()g x ； （2）()b f a； （3）()()()()1u x f x v x g x +=； （4）n ；（5）系数矩阵与增广矩阵的秩相等； （6）A ； （7）AB BA =；（8）11P BQ --； （9）相关； （10）23n n -三、计算题（每小题5分，共20分） 1．((),())1f x g x x =-．注：本题一般用辗转相除法求出最大公因式，如果分解因式2()(1)(24)f x x x x =-++，2()(1)(31)g x x x x =-+-得到最大公因式，也给满分．2．解：原式1()n n a a-=+．3．解：因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠．…………………（2分）A 的伴随矩阵2222000a A aba b ac ab a *⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭ …………………（4分） 故21232200110a A A ab a A a b ac ab a -*⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪--⎝⎭…………………（5分） 注：本题在得到A 可逆时，求其逆矩阵可以采用初等变换法．院系负责人签字4．由113102124011135000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知,αβ为向量组的一个极大线性无关组，…………………（3分）且有2γαβ=+． …………………（5分）注：本题也可以先说明其秩为2，故任意两个向量都是极大线性无关组（容易看出任意 两个向量线性无关），或其它方法均可．四、证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++=…………………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾），于是有1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则1111r r r r c c l l αααα++=++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，…………………（8分）由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………………（10分）五、证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作()n n r ⨯-矩阵12(,,,)n r B ξξξ-=，则0AB =， …………………（6分）由于B 的n r -个列向量线性无关，故有秩()B n r =-．…………………（10分）注： 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即11000rE A P Q --⎛⎫=⎪⎝⎭，取0n r B Q E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB =．（B 的取法不唯一）． 六、（1）1112121222212111111111n n n n n a b a b a b a b a b a b AB a b a b a b +++⎛⎫⎪+++⎪= ⎪⎪+++⎝⎭， 111ni i n nii i i i n a BA b a b ===⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑． …………………（4分）（2）由于111()()n n ni iiii i i BA na b a b ====-∑∑∑，故BA 可逆的充分必要条件是0BA ≠，即111()()nnni i i i i i i a b n a b ===≠∑∑∑． …………………（7分）（3）当2n >时，由于()()2R AB R A n ≤≤<，故AB 不可逆．…………………（10分）注：对（3）直接证明0AB =的，只要方法正确，也给满分．七、解 由于系数行列式2(1)(2)A λλ=-- …………………（2分） （1）由克莱姆法则知，当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ；…………………（4分）（2）当1λ=时，11111111121111311101⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111000010000200020⎛⎫⎪⎪⎪⎪-⎝⎭，方程组无解；…………………（6分）（3）当2λ=时，11111121121121311111⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪⎝⎭11111010010010200000⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭方程组有无穷多解： …………………（8分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． …………………（10分）注：直接作初等变换111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪-⎝⎭，然后讨论 方程组解的情况亦可，根据相应步骤给分．试题二一、判断题：（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）1．任一排列施行一次对换后，其逆序数必增加1或减少1． （×） 2．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）3．若行列式中所有元素都是整数，则行列式的值一定是整数． （√） 4．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有r 级的子式全不等于零． （×） 5．若矩阵A 经过初等变换化为矩阵B ，则A B =． （×） 6．若一组向量的和为零向量，则它们必线性相关． （√） 7．任一线性方程组有解⇔它的导出组有解． （×）8．若两个向量组等价，则它们所包含的向量的个数相同． （×） 9．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则每个向量都是其余向量的线性组合． （×）10．一个非齐次线性方程组的两个解（向量）之差一定是它的导出组的解． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．排列(1)321n n -的逆序数为(1)2n n -．2．五级行列式D 中的一项2113324554a a a a a 在D 中的符号为 负 ． 3．n 级行列式D 按第j 列展开公式是D =1122j j j j n j n j a A a A a A +++．4．已知非零向量组α、β、γ两两线性相关，则该向量组的秩为 1 ． 5．线性方程组有解的充分必要条件是 系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩 ．6．若矩阵A 中有一个r 级子式不为零，则秩()A r ≥．7．一个齐次线性方程组中共有s 个线性方程、t 个未知量，其系数矩阵的秩为p ，若它有非零解，则它的基础解系所含解的个数等于t p -．8．一个非齐次线性方程组记为（Ⅰ），它的导出组记为（Ⅱ），则（Ⅰ）的一个解与（Ⅱ）的一个解的差是（Ⅰ）的解．9．一个n 级矩阵A 的行（或列）向量组线性相关，则A 的行列式 等于0 ． 10．两个向量组等价是指它们 可以相互线性表出 ． 三、计算下列行列式（每小题5分，共20分）．（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注：其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注：本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）121212nn n a x a a a a x a a a a x+++；解 将所有列全加到第1列并提起公因子，得原式221211()1n nn i i n a a a x a x a a a x=+=++∑21100()n ni i a a x x a x==+∑11()nn i i x a x-==+∑11()nnn i i x a x -==+∑．（4）12n a x x xx a x x xxa x+++ （120n a a a ≠）解 将所有行减去第1行，化为爪形行列式，得原式112100na x x x a a a a +-=-11121000ni ina a x x xa a a =+=∑11211()nn i ia a x a a a ==+∑1211(1)nn i ix a a a a ==+∑．注：本题也可以用加边法化为爪形行列式计算．四、设线性方程组为：1234123412341234111(1)2x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩，试讨论下列问题：（1）当λ取什么值时，线性方程组有唯一解？（2）当λ取什么值时，线性方程组无解？（3）当λ取什么值时，线性方程组有无穷多解？并在有无穷多解时求其解．（要求用导出组的基础解系及它的特解形式表示其通解） （共15分）解 线性方程组的系数行列式为211111111111010(1)(2)111001111102λλλλλλλλ-==-----（1）当2(1)(2)0λλ--≠，即1λ≠且2λ≠时，线性方程组有唯一解； （2）当2λ=时，1111111111121110100011211001001111200001⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭线性方程组无解；（3）当1λ=时111111111111102111110000000011111110000000000111020001100000⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭线性方程组有无穷多解，且其通解为123412(,,,)(1,1,0,0)(1,0,1,0)(2,0,0,1)x x x x k k =-+-+-．五、（1）设向量123,,ααα线性无关，证明：向量122331,,αααααα+++ 线性无关；（2）证明：对任意4个向量1234,,,αααα，向量组1223,,αααα++34,αα+41αα+都线性相关． （共15分）证明 （1）设112223331()()()0k k k αααααα+++++=，即131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=，由于123,,ααα线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k ===故122331,,αααααα+++也线性无关． (8)（2）由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=得，12233441,,,αααααααα++++线性相关．六、设向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,,r αααβγ线性相关，但β不能由12,,,,r αααγ线性表出，证明：γ可以由12,,,r ααα线性表出，且表示法唯一．（10分）证明 （1）先证γ可以由12,,,r ααα线性表出：因为12,,,,,r αααβγ线性相关，所以存在不全为零的数122,,,r k k k +，使得1122120r r r r k k k k k αααβγ+++++++=．由于β不能由12,,,,r αααγ线性表出，故必有10r k +=，下证20r k +≠．用反证法：若20r k +=，则11220r r k k k ααα+++=，由于122,,,r k k k +不全为零，故12,,,r k k k 不全为零，与12,,,r ααα线性无关的假设矛盾，于是20r k +≠，得到1212222rr r r r k kk k k k γααα+++=-----．（2）次证表示法唯一：设1122r r c c c γααα=+++，1122r r l l l γααα=+++，则 11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =），于是表示法唯一．七、（附加题）证明或否定下面命题：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维矢量空间中的几何意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面．很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面.注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题四（每小题2分，共20分）1. 集合A =｛a +︱,a b 为整数｝是一个数域； （ ）2. 设在数域P 上(,())1x a f x -=，则一定有()0f a ≠； （ ）3. 若整系数多项式()f x 无有理根，则()f x 在有理数域上一定不可约； （ ）4. 设A 是n 级矩阵，k 是任意常数，则kA k A =或kA k A =-； （ ）5. 设abcd 是一个4级排列，则abcd 与badc 的奇偶性相同； （ ）6. 设方程个数与未知量的个数相等的非齐次线性方程组的系数行列式等于0， 则该线性方程组无解； （ ）7. 任意等价向量组中所含向量的个数相等； （ ）8. 任何齐次线性方程组都存在基础解系； （ ）9. 设,αβ都是n 维列向量，则''αββα=； （ ） 10．设,A B 都是n 级对称矩阵，且0AB ≠，则A 与B 在复数域上合同． （ ）二、填空题：（每小题2分，共14分）1．设,,αβγ是多项式32()f x x ax bx c =+++的三个根，则αβγ++= ． 2．四阶行列式中，项23124134a a a a 的符号为 ． 3．设矩阵A 可逆，且1A =，则1()A *- ．4．设A 、B 为n 阶方阵，则22()()A B A B A B +-=-的充要条件是 ． 5．设A 为s t ⨯矩阵，则齐次线性方程组0AX =有非零解的充要条件是：秩（A ） ． 6．设,,,a b c d 是互异常数，则线性方程组12312322221231x x x ax b x c x d a x b x c x d⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩的解向量中分量1x = ． 7．二次型22212312323(,,)22f x x x x x x x x λμ=+++是正定的充分必要条件是λ与μ满足 ．（每小题6分，共12分）1．1111111111111111a a a a ++++（n 级）2．设000a b c A a b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，给出A 可逆的充分必要条件，并在A 可逆时求其逆．四、（共10分）化二次型222123112132323(,,)2443f x x x x x x x x x x x x =++++-为标准形，写出所作的非退化的线性替换．并回答下列问题：（1）该二次型的正、负惯性指数及符号差是多少？（2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是什么？五、（14分）当λ为何值时，下面线性方程组有解？并求解．1234123412341234123(1)1x x x x x x x x x x x x x x x x λλλ+++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩六、（10分）设向量β可以由12,,,,s αααγ线性表出，但不能由12,,,s ααα线性表出．证明：（1）γ可由向量组12,,,,s αααβ线性表出；（2）γ不能由12,,,s ααα 线性表出．七、（10分）设A 是一个秩为r 的n n ⨯矩阵，证明：存在一个秩为n r -的n n ⨯矩阵B ，使0AB =．八、（10分）证明：如果((),())1f x g x =，((),())1f x h x =，则((),()())1f x g x h x =．参考答案及评分标准（试题四）一．判断题（每小题2分）1．×； 2．√；3．×；4．×；5．√；6．×；7．×；8．×；9．√；10．√．二．填空题（每小题2分，共14分）1．a -； 2．负号； 3．A ； 4．AB BA =； 5．t <； 6．()()()()()()c d c b b d c a c b b a ------； 7．220λμ->．三．计算（每小题6分，共12分）1． 原式11111111()11111111a n a a a +=+++1111000()000a n a a a=+………（2分） ………（4分）(1)12(1)()n n n n a a --=-+ ………（6分）2．因为3A a =，所以A 可逆的充分必要条件是0a ≠， ………（3分）且221232100a ab b ac A a ab a a -⎛⎫-- ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭………（6分）四．f 212323(2)7x x x x x =++-，令112322332y x x x y x y x =++⎧⎪=⎨⎪=⎩ ，则f 21237y y y =-………（2分）再令11223323y z y z z y z z=⎧⎪=+⎨⎪=-⎩，则f 22212377z z z =-+ ………（4分）且所作的非退化的线性替换为111222333112112100010010011001001011x y z x y z x y z ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭123131011011z z z -⎛⎫⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭． ………（6分） （1）该二次型的正、负惯性指数及符号差分别是2，1，1． ………（8分） （2）该二次型在复数域、实数域上的规范形分别是222123f w w w =++与222123f w w w =+- ………（10分）五．解 111111112111311111λλλ⎛⎫ ⎪⎪→ ⎪ ⎪-⎝⎭11111010010010200020λλλ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭………（2分） （1）当1λ≠且2λ≠时，方程组有唯一解 ………（4分）141x λλ-=-，211x λ=-，321x λ=-，40x =； ………（7分） （2）当1λ=时，方程组无解； ………（9分） （3）当2λ=时，方程组有无穷多解： ………（11分）123421102001x x k x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ………（14分） 六．证明 （1）因为β可以由12,,,,s αααγ线性表出，所以存在不全为零的数11,,,s s k k k +，使11221s s s k k k k βαααγ+=++++， ………（2分）若10s k +=，则β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故10s k +≠， ………（4分）从而有121211111s s s s s s k k kk k k k γαααβ++++=----+． ………（5分） （2）（反证法）若γ可由12,,,s ααα线性表出，又由于β可以由12,,,,s αααγ线性表出，得β可以由12,,,s ααα线性表出，矛盾．故γ不能由12,,,s ααα线性表出．……（10分）七．证明 考虑齐次线性方程组0Ax =，因为秩()A r =，故存在基础解系12,,,n r ξξξ-，作n n ⨯矩阵12(,,,,0,,0)n r B ξξξ-=，则0AB =，且秩()B n r =-． ………（10分）注1 在构造矩阵B 时，B 的后面r 列未必一定要取零向量，事实上，只要说明B 中每列都是线性方程组0Ax =的解，且B 中含n r -个线性无关的列向量即可．注2 本题的另一证法是：由秩()A r =，存在可逆矩阵,P Q 使000r E PAQ ⎛⎫=⎪⎝⎭，即 11000rEA P Q --⎛⎫= ⎪⎝⎭，取000n r B Q P E -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则0AB = 八．证明 由((),())1f x g x =及((),())1f x h x =，存在多项式(),()i i u x v x （1,2i =），使11()()()()1u x f x v x g x +=，22()()()()1u x f x v x h x +=， ………（4分）两式相乘得，12122112()()1u u f u v h u v g f v v gh +++= ………（8分） 所以有((),()())1f x g x h x =． ………（10分）试题六1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂= ． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是 ．3．用()L V 表示n 维线性空间V 的所有线性变换构成的线性空间，则dim ()L V = ． 4．若n nA P⨯∈，且2A E =，则A 的特征值为 ．5．设欧氏空间的正交变换A 在一组标准正交基下的矩阵是U ，则U = ． 6．设V 是一个n 维欧氏空间，0α≠是V 中非零向量，{}(,)0,W V βαββ==∈，则dim W = ．一、填空题（每小题2分，共20分）7．矩阵111111111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的最小多项式为 ．8．已知线性变换A 在基123,,εεε下的矩阵为111213212223313233a a a a aa a a a ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 在基321,,εεε下的 矩阵为 ．9．在[]n P x 中，线性变换D (()f x )'()f x =，则D 在基211,,,,n x x x -下的矩阵为 ．10．设6级矩阵A 的不变因子是231,1,1,1,(2),(2)(3)λλλ---，则A 的若尔当标准形是 ．1．下列集合构成n nP⨯的子空间的是 （ ）a ．{},0n n A A P A ⨯∈≠；b ．{},0n n A A P A ⨯∈=；c ．{},'n n A A P A A ⨯∈=．2．n 维线性空间V 的线性变换A 可以对角化的充要条件是 （ ）a ．A 有n 个互不相同的特征向量；b ．A 有n 个互不相同的特征根；c ．A 有n 个线性无关的特征向量．3．对子空间123,,V V V ，123V V V ++为直和的充要条件是 （ ）a ．{}1230V V V ⋂⋂=；b ．123V V V V =++；c ．{}()0i j j iV V ≠⋂=∑，1,2,3i =．4．下列类型的矩阵A 一定相似于对角矩阵 （ ）a ．正交矩阵；b ．特征值皆为实数的矩阵；c ．主对角元两两互异的上三角矩阵．5．~A B 的充要条件是 （ ）a ．A二、选择题（每小题3分，共15分）四、 （10分）设[]n P x 表示数域P 上次数小于n 的多项式及零多项式 作成的线性空间．（1）证明：211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基；（2）求上述的一组基到基211,,,,n x x x -的过渡矩阵．五、（12分）设A ()L V ∈，且A 2=A ．证明（1）A的特征值为０或１； （2）V =A V⊕A -1(0)．六、（8分）设12,,,s ααα是欧氏空间V 的两两正交的非零向量组，证明它们线性无关． ,,s α是欧氏空间,,)s α，W ∈使(,i γα1,2,,s ，那么(,)iβαβ=1,2,,s ，那么s W V ⊥⋂⋂．试题六参考答案及评分标准一、填空题（每小题2分，共20分）（1）123m m m +-； （2）12dim dim V V =； （3） 2n ；（4）1或1-； （5）1±； （6）1n -； （7）23λλ-；（8）333231232221131211a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭； （9）01000020000100n ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪ ⎪⎝⎭； （10）221231313⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭．二、选择题（每小题3分，共15分） （1）c ；（2）c ；（3）c ；（4）c ；（5）c ．三、（1）解 21111113111E A λλλλλλ----=---=----（），因此A 的特征值为0λ=与3λ=．…………………（4分）对3λ=，可求出A 的一个线性无关的特征向量为3111ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故得A 的所有特征向量为123()k εεε++，这里k 不为零． …………………（6分）对0λ=，求出A 的两个线性无关的特征向量1110ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，2101ξ-⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，故A 的所有特征向量为1211223()k k k k εεε-+++，或112213()()k k εεεε-++-+，这里1k 、2k 不全为零．…………………（8分）院系负责人签字（2）由于A 有三个线性无关的特征向量，故A 可以对角化． …………………（3分）取0T =⎪⎪⎭，则1300000000T AT -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ …………………（7分） 注：也可以指出A 是实对称阵，故A 可以对角化．另外注意正交矩阵T 的取法不唯一．四、（1）证明（方法1）由于dim []n P x n =，只需证明211,,(),,()n x a x a x a ----线性无关：设211231()()()0n n k k x a k x a k x a -⋅+-+-++-=，令x a =，得10k =，又对等式两边求导后令x a =，得20k =，再求二阶导数，…，求1n -阶导数，分别得到30n k k ===，于是211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基； …………………（5分）（方法2）已知211,,,,n x x x -是[]n P x 的一组基，求出21(1,,(),,())n x a x a x a ----=21(1,,,,)n x x x A -中的矩阵A ，只需说明A 可逆，便得结论；（方法3）由数学分析中的泰勒定理可知，对于()[]n f x P x ∀∈，都有(1)11()()1'()()()()(1)!n n f x f a f a x a f a x a n --=⋅+-++--又已知dim []n P x n =，故211,,(),,()n x a x a x a ----是[]n P x 的一组基．（2）所求过渡矩阵为12101(1)001n n a a n a A --⎛⎫⎪-⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭． …………………（10分）五、证明（1）设A ξλξ=（0ξ≠），则由A 2=A 推出A ２2ξλξ=，从而2λξλξ=，即得2λλ=，于是0λ=或１； …………………（6分）（2）对V α∀∈，由α=A α+(α-A )α，注意到A (α-A )0α=，因此α∈A V +A -1(0)，于是V ⊂A V +A -1(0)，即得V =A V +A -1(0)； …………………（3分）设β∀∈A V ⋂A -1(0)，则V α∃∈，.s tβ=A ()α，且A ()0β=，推出A ２()0α=，即得β=A ()0α=，于是A V ⋂A -1(0){}0=，故V =A V⊕A -1(0)．…………………（6分）六、证明 设11220s s k k k ααα+++=，由于(,)0i j αα=，i j ≠，故由(,)0i j j k αα=∑，得(,)0i i i k αα=， …………………（5分）而0i α≠，所以(,)0i i αα≠，于是0i k =，1,2,,i s =．因此12,,,s ααα线性无关．…………………（8分）七、证明（1）因为0W ∈，所以W φ≠． …………………（1分）设,X Y W ∀∈，由()A XY AX AY +=+()XA YA X Y A =+=+，得X Y W +∈．…………………（3分）又设X W ∀∈，k P ∀∈，由()()A kX kAX kX A ==，得kX W ∈，因此W 是n n P ⨯的一个子空间； …………………（5分）（2）当A 为主对角元两两互异的对角矩阵时，与A 可换的矩阵也一定是对角矩阵，即W 是由所有对角矩阵作成的子空间，因此W 的一组基可取为1122,,,nn E E E ，故dim W n =．…………………（10分）八、证明（1）若W γ∈，则有1122s s k k k γααα=+++，于是1122(,)(,)s s k k k γγγααα=+++11(,)(,)0s s k k γαγα=++=，则0γ=；…………………（5分）（2）设ξ∀∈W ⊥，则(,)0i αξ=，从而i V ξ∈，即i WV ⊥⊂，1,2,,i s =，因此有12s W V V V ⊥⊂⋂⋂⋂． …………………（2分）设β∀∈12s V V V ⋂⋂⋂，则(,)0i αβ=，对w W ∀∈，设1122s s w l l l ααα=+++，则(,)0w β=，于是有W β⊥∈，即12s V V V W ⊥⋂⋂⋂⊂．故12s W V V V ⊥=⋂⋂⋂．…………………（5分）试题八一、（共12分）叙述下列概念或命题： （1）线性相关；（2）极大线性无关组；（3）行列式按一行（列）展开定理.答：（1）向量组12,,,s ααα称为线性相关，如果有数域P 中不全为零的数12,,,s k k k ，使11220s s k k k ααα+++=.注 对如下定义也视为正确：如果向量组12,,,s ααα（1s >）中有一个向量可由其余的向量线性表出，那么向量组12,,,s ααα称为线性相关的.（2）一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这个部分组本身是线性无关的，并且从这向量组中任意添加一个向量（如果还有的话），所得的部分向量组都线性相关.注 对如下定义也视为正确：向量组12,,,s ααα的一个部分组12,,,t i i i ααα称为一个极大线性无关组，是指：（ⅰ）12,,,t i i i ααα线性无关；（ⅱ）12,,,s ααα可由12,,,t i i i ααα线性表出.（3）行列式等于某一行（列）的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.注 用公式写出按行（或列）展开定理亦可.二、判断题：（在括号里打“√”或“×”，共20分） 1．1122121233443434a b a b a a b b a b a b a a b b ++=+++． （×）2．若向量组12,,,s ααα（1s >）线性相关，则其中每个向量都是其余向量的线性组合． （×）3．在全部n （1n >）级排列中，奇排列的个数为!2n ． （√） 4．若排列abcd 为奇排列，则排列badc 为偶排列． （×） 5．若矩阵A 的秩是r ，则A 的所有高于r 级的子式（如果有的话）全为零． （√） 6．若一组向量线性相关，则至少有两个向量的分量成比例． （×） 7．当线性方程组无解时，它的导出组也无解． （×） 8．对n 个未知量n 个方程的线性方程组，当它的系数行列式等于0时，方程组一定无解． （×） 9．等价向量组的秩相等． （√） 10．齐次线性方程组解的线性组合还是它的解． （√） 三、（共18分）计算行列式（1）1827641491612341111解 原式33322222233311111234123412341234123412341111==12=．注 用其它方法计算出结果的给满分，方法正确而计算错误的，酌情给分．（2）1111222a b c bc ac a b b c c a a b+++ 解 将所有列加到第1列上，则第1列与第4列成比例，故原式0=． 注 本题也可以从第4行提取公因子12，然后用第2行、第3行都乘-1后加到第4行，把第4行化为元素全为零，故原式0=．（3）11212212nn n n a x a a a a x a a a a x +++ （120n x x x ≠）．解 原式11231213100nna x a a a x x x x x x +-=--123123(1)00000000ni n i inax a a a x x x x =+=∑121(1)nin i ia x x x x ==+∑． 注 本题也可按最后一列（或行）展开，得递推式：112112122122121112120nn n n n n n nna x a a a x a a a x a a a x D a x x x x D a a a a a x --++++=+=+，答案正确给满分，有正确的递推式但结果有误，给3分．另外对按第一行（或列）展开者类似给分．四、设向量组1(1,1,0,0)α=，2(1,2,1,1)α=-，3(0,1,1,1)α=-，4(1,3,2,1)α=，5(2,6,4,1)α=-．试求向量组的秩及其一个极大线性无关组，并将其余向量用这个极大线性无关组线性表出．（10分）解11012121360112401111⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭→10101011020001100000--⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭…………（5分）故向量组的秩为3，124,,ααα是一个极大线性无关组，并且 …………（8分）312ααα=-+，51242αααα=-++． …………（10分）注 本题关于极大线性无关组答案中，除123,,ααα不能构成极大线性无关组外，任何三个向量都是极大线性无关组，对其它方法求出极大线性无关组，但未得到线性表出式的给5分． 五、讨论λ取什么值时下列线性方程组有解，并求解．（10分）123123123111x x x x x x x x x λλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解 方程组的增广矩阵为111111111λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，系数行列式为21111(2)(1)11λλλλλ=+- ……（2分）（1） 当1λ≠且2λ≠-时，方程有唯一解，此时 …………（3分）1112223111111111111λλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33111111221111010211110012λλλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪+ ⎪ ⎪+⎪- ⎪→→- ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪- ⎪⎪-⎝⎭ ⎪+⎝⎭311111002211010010221100100122λλλλλλ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪++ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，故得解为12312x x x λ===+； …………（5分） （2）当2λ=-时，增广矩阵211121111211121111210003--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，无解；…………（7分）（3）当1λ=时，增广矩阵111111111111000011110000⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，有无穷多组解，通解为1231x x x =--（23,x x 为自由未知量），或表成12(1,0,0)(1,1,0)(1,0,1)k k ξ=+-+-． ……（10分）注 本题也可以对增广矩阵用初等行变换的方法讨论．对唯一解及无穷多组解的表达式未能给出者，各扣2分． 六、证明题：（每小题10分，共30分）1．证明：如果向量组12,,,r ααα线性无关，而12,,,,r αααβ线性相关，则向量β可以由12,,,r ααα线性表示，且表示法唯一．（10分）．证明 （1）由12,,,,r αααβ线性相关，存在不全为零的数121,,,,r r k k k k +，使112210r r r k k k k αααβ+++++= …………（2分）又由12,,,r ααα线性无关，得10r k +≠（否则，12,,,r ααα线性相关，矛盾）…………（4分）于是，1212111rr r r r k kk k k k βααα+++=----； …………（5分）（2）设1122r r c c c βααα=+++，1122r r l l l βααα=+++，则11221122r r r r c c c l l l αααααα+++=+++，即111222()()()0r r r c l c l c l ααα-+-++-=，由于12,,,r ααα线性无关，故11220,0,,0r r c l c l c l -=-=-=，即i i c l =（1,2,,i r =）． …………（10分）2．证明：若向量,,αβγ线性无关，则,,αββγγα+++也线性无关．并说明该结论对4个向量的情形是否成立．证明 设123()()()0k k k αββγγα+++++=，即131223()())()0k k k k k k αβγ+++++=，…………（2分）由于,,αβγ线性无关，故有13122300k k k k k k +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩ 解之得，1230k k k === …………（5分）故,,αββγγα+++也线性无关． …………（6分）对4个向量的情形其相应结论不成立，因为，由4个向量1234,,,αααα线性无关，并不能得到向量12233441,,,αααααααα++++线性无关的结论．注1 由12233441()()()()0αααααααα+-+++-+=知，12233441,,,αααααααα++++是线性相关的，对该问题未说明原因的，只要结论正确给满分；注2 如果认为对4个向量的情形其相应结论也成立的，必须说明是指如下结论: 若4个向量1234,,,αααα线性无关，则向量234134124123,,,αααααααααααα++++++++也线性无关．该答案也给满分，但仅说相应结论成立,而未给出任何说明者,不得分．3．设12,,n a a a 是数域P 中个互不相同的数，12,,,n b b b 是数域P 中任一组给定的数．求证：（1）存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =；（2）特别的，求出使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式()f x ．证明 （1）将()i i f a b =，1,2,,i n =，代入01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，得21011121112102122212210121n n n n n n n n n n n n n n n nc a c a c a c b c a c a c a c b c a c a c a c b ------------⎧++++=⎪++++=⎪⎨⎪⎪++++=⎩ …………（2分）由于系数行列式1111221111n n n nn a a a a a a ---1()0j i i j na a ≤<≤=-≠∏， …………（4分）故线性方程组有且仅有唯一解，即存在唯一的数域P 上的次数不超过1n -的多项式01()f x c c x =++22n n c x --+11n n c x --+，使()i i f a b =，1,2,,i n =； …………（5分）（2）由克莱姆定理110D x D ==，，110n n D x D --==，111n n D Dx D D--===，故使1()n i i f a a -=，1,2,,i n =成立的1n -次的多项式为1()n f x x -=． …………（10分）注 对（2）不用克莱姆定理，而直接观察出1()n f x x-=的也给满分．七、（附加题）证明或否定如下结论：若三个向量,,αβγ两两线性无关，则,,αβγ线性无关．并说明在三维几何空间中的意义．（10分）解 本结论的几何描述是：三个矢量（向量）两两不共线，则它们不共面． ………（5分） 很明显该结论是错误的，例如某平面上存在彼此不共线的三个矢量，但它们共面． ………（10分）注 否定上述结论时，也可构造反例，如(1,0,0),(0,1,0),(1,1,0)αβγ===等，或构造三个二维向量，使它们两两线性无关．试题十及答案一、判断题：（每小题2分，共30分，在括号里打“√”或“×”）1． 零多项式的次数为零． （×） 2． 零多项式与()f x 的最大公因式为()f x ． （√） 3． 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈且(),()[]u x v x P x ∃∈，使得 ()()()d x u x f x =+()()v x g x ，则()d x 为()f x 与()g x 的一个最大公因式． （×）４．零次多项式能整除任一多项式． （√） 5．若()()h x f x ，但()h x 不整除()g x ，则()h x 不整除()()f x g x +． （√） 6．设()()()h x f x g x ，但()h x ()g x ，则()()h x f x ． （×） ７．若α是()f x 的导数()f x '的k 重根，则α为()f x 的1k +重根． （×） ８．设P P ⊆，P 、P 为数域，如果在[]P x 中()f x 与()g x 互素，则在[]P x 中()f x 与()g x 也互素． （√） ９．若12((),())1f x f x =，且23((),())1f x f x =，则13((),())1f x f x =． （×） 10．若()p x 在数域P 上不可约，则()p x 在P 上没有根． （×） 11．设()[]f x Q x ∈，如果()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约． （×） 12．若()()()f x g x h x ，则()()f x g x 或()()f x h x ． （×） 13．设()p x 是不可约多项式，如果()()()p x f x g x =，则()f x 与()g x 有且仅有一个为零次多项 式． （√） 14．设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （√） 15．n 次实系数多项式的实根个数的奇偶性与n 的奇偶性相同． （√） 二、填空题：（每小题2分，共10分）１．若3642(1)x x ax bx c -+++，则a = -3 ，b = 3 ，c = -1 ．２．若()p x ，()q x 均为P 上的不可约多项式，且((),())1p x q x ≠，则()p x 与()q x 的关系是()(),0p x cq x c P =≠∈．３．若1-是52()1f x x ax ax =--+的重根，则a = -5 ． ４．用()23g x x =+除3()89f x x =+所得的余数r = -18 ．5．已知12i +为32()375f x x x x =-+-的一个根，那么()f x 的其余根是 1，1-2i ． 三、计算题： １．（8分）求543211113()372222f x x x x x x =+----的根和标准分解式． 解 54321()(614113)2f x x x x x x =+----41(1)(3)2x x =+- 2．（10分）λ为何值时，32()31f x x x x λ=-+-有重根．解 因为2'()36f x x x λ=-+，作辗转相除法，要使()f x 有重根，则必须('(),())1f x f x ≠，3()(1)'()(3)(21)f x x f x x λ=-+-+，若3λ=，则('(),())1f x f x ≠；3λ≠，由于2'()f x =1515(3)(21)222x x λ-+++，当15202λ+=，即154λ=-时('(),())1f x f x ≠． 故当3λ=或154λ=-时，()f x 有重根．3．（12分）设432()352f x x x x x =+---，32()22g x x x x =+--．（1）用辗转相除法求((),())f x g x ．（2）求()u x ，()v x 使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+． 答案 （1）((),())1f x g x x =+；（2）回代得：222(2)()(21)()x x f x x x g x +=-+-++，故取1()(2)2u x x =-， 21()(21)2v x x x =-++，使((),())()()()()f x g x u x f x v x g x =+．四、证明题：（每小题10分，共30分）1．设5()54f x x x =++，证明：（1）()f x 在Q 上不可约；（2）()f x 至少有一个实根，但不是有理根．证明 （1）令1x y =+，则5(1)(1)5(1)4f y y y +=++++5432510101010y y y y y =+++++， 取5p =，由Eisenstein 判别法知，(1)f y +在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约；注 也可利用反证法证之：若可约，则()f x 能分解成两个次数低的整系数多项式之积，或为1次与4次多项式之积，或为2次与3次多项式之积，都能推出矛盾，这里从略．（2）因为()f x 是奇次的，则()f x 必有一个实根，此根若是有理根，则()f x 在Q 上可约，矛盾． 注 奇次多项式有实根可由数学分析中连续函数的介值定理证得，或将()f x 在实数域上作标准分解，由于实数域上的不可约因式只有一次因式与二次不可约因式，故奇次多项式()f x 一定有一次因式，因此()f x 必有一个实根．另外，对()f x 没有有理根的结论，可以对其所有可能的有理根进行直接检验得知．2．设(),()f x g x 不全为零，证明((),()())((),()())f x f x g x g x g x f x +=-．证明 设1((),()())()f x f x g x d x +=，2((),()())()g x g x f x d x -=，由11()(),()()()d x f x d x f x g x +1()(()())()()d x f x g x f x g x ⇒+-=1()()()d x g x f x ⇒-， 又2()d x 为()g x 与()()g x f x -的最大公因式，故12()()d x d x ；反之，由2()()d x g x ，2()()()d x g x f x -2()()(()())()d x g x g x f x f x ⇒--=2()()()d x f x g x ⇒+，又1()d x 为()f x 与()()f x g x +的最大公因式，故21()()d x d x ．又1()d x 、2()d x 均为首1多项式，从而12()()d x d x =． 3．若整系数多项式()f x 有根pq，这里(,)1p q =，则()(1)q p f -，()(1)q p f +-． 证明 因p q为()f x 的根，则()()()pf x xg x q =-，()g x 为整系数多项式．由(1)(1)(1)pf g q=-，即(1)()(1)qf q p g =-，()(1)q p qf -，又(,)1q p q -=，故有()(1)q p f -； 由(1)(1)(1)pf g q-=---，得(1)()(1)qf q p g --=+-，同理可得()(1)q p f +-． 注 可以由()()px f x q-，得()()qx p f x -，()()()f x qx p h x =-，由于qx p -是本原多项式，故()h x 为整系数多项式， (1)()(1)f q p h =-，(1)()(1)f q p h -=-+-，因此有()(1)q p f -，()(1)q p f +-．试题十一及答案一、判断题（在括号里打“√”或“×”，每小题2分，共20分）１．若向量组12,,,s ααα与向量组12,,,t βββ都线性无关，则12,,,s ααα,12,,,t βββ也线性无关； （×）2．n 维线性空间V 中任何n 个线性无关的向量都是V 的一组基； （√）3．对n 维线性空间V 中任何非零向量α，在V 中一定存在1n -个向量121,,,n βββ-，使得1121,,,,n αβββ-作成V 的一组基； （√）4．三个子空间123,,V V V 的和123V V V ++为直和的充要条件是{}1230V V V ⋂⋂=； （×） 5．把复数域看成实数域R 上的线性空间，它与2R 是同构的； （√） 6．线性空间V 的两组基12,,,n ααα到12,,,n βββ的过渡矩阵是可逆的； （√）7．V 的任意两个子空间的交12V V ⋂与并12V V ⋃都是V 的子空间； （×） 8．集合{},0n nW A A PA ⨯=∈=作成n n P ⨯的子空间； （×）9．实对称矩阵为半正定的充要条件是它的所有顺序主子式都非负； （×） 10．设n 元实二次型的正负惯性指数分别为,s t ，则必有s t n +≤． （√）二、填空题（每小题2分，共20分）1．如果11dim V m =，22dim V m =，123dim()V V m +=，则12dim()V V ⋂=123m m m +-． 2．两个有限维线性空间1V 、2V 同构的充分必要条件是12dim dim V V =． 3．两个复对称矩阵合同的充分必要条件是 它们的秩相等 ．4．设实二次型的秩为r ，负惯性指数为q ，符号差为m ，则r 、q 、m 的关系是2r m q =+． 5．22⨯级实对称矩阵的所有可能的规范型是：001010101010,,,,000000010101--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 6．设基12,,,n ααα到基12,,,n βββ的过渡矩阵是A ，而基12,,,n βββ到基12,,,n γγγ的过渡矩阵是B ，则12,,,n γγγ到12,,,n ααα的过渡矩阵是11B A --．7．已知,,αβγ为线性空间V 的三个线性无关的向量，则子空间(,)(,)L L αββγ+的维数为 3 ． 8．若1212dim()dim dim V V V V +=+，则12V V ⋂={}0．9．设三维线性空间V 的基123,,ααα到123,,βββ的过渡矩阵为111111111A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，向量η在基123,,βββ下的坐标为(1,2,3)，在η在基123,,ααα下的坐标为(4,2,0)． 10．n 元实二次型2221212(,,,)(1)(2)()n n f x x x a x a x a n x =-+-++-正定的充分必要条件是常数a 满足a n >．三、简述下列定义（共12分）1．n 级矩阵A 、B 合同：如果存在可逆矩阵C ，使得'B C AC = 2．子空间的和12V V +={}12,1,2i i V i ααα+∈=3．生成子空间123(,,)L ααα={}112233,1,2,3i k k k k P i ααα++∀∈=4．子空间的直和：12V V +中每个向量α的分解式12ααα=+（,1,2i i V i α∈=）是唯一的．四、（10分）设β可由12,,,r ααα线性表出，但不能由121,,,r ααα-线性表出，证明：121121(,,,,)(,,,,)r r r L L αααααααβ--=．证明 只需证明向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价：易知{}121,,,,r αααβ-可由与{}121,,,,r r αααα-线性表示，另一方面，由于β可由12,,,r ααα线性表出，故有1122r r k k k βααα=+++，且0r k ≠，（否则β可121,,,r ααα-线性表出，矛盾），于是11111r r r rr rk k k k k αααβ--=----+，因而{}121,,,,r r αααα-可由{}121,,,,r αααβ-线性表出，故向量组{}121,,,,r r αααα-与{}121,,,,r αααβ-等价，最后不难得到结论．五、（1）讨论：λ取什么值时，二次型2222123123()()x x x x x x λ++-++是正定的．（2）证明当3λ=时，上述二次型是半正定的．（共14分）解 （1）二次型可化为222123121323(1)(1)(1)222x x x x x x x x x λλλ-+-+----，它对应的矩阵是111111111λλλ---⎛⎫ ⎪--- ⎪ ⎪---⎝⎭。

韩山师范学院本科三年级插班生考试 数学与应用数学 专业 高等代数 试卷一、 填空题（每题2分，共12分）1、设)(x p 是)(x f 的导数)(x f '的1-k 重因式，则)(x p 是)(x f 的k 重因式的充要条件是 ．2、设 A 是 n 阶方阵，则det(3A)= ．3、设 A 都是 n 阶可逆方阵, 满足aA 2+bA+I=0，则A -1= ． 4、n 元齐次线性方程组的系数矩阵的秩为r ，那么其基础解系含 个解向量． 5、欧氏空间中向量α的长度 α=2，则><αα,= ．6、复数域上两个n 元二次型等价的充要条件是它们____ _____． 二、 判断题（每题2分，共10分；在题后括号内打“√”或“×”） 1．A 、B 都为n 阶实方阵，detA = detB ，则A = B ．( ) 2．等价的向量组含有相同个数的向量．( )3．设δ，τ是n 维向量空间V 的两个线性变换．A ，B 分别是δ，τ关于V 的基n ααα,,,21 的矩阵，当δ≠τ时，必有 B ≠A ．（ ） 4．两个不同矩阵的特征根一定不同．（ ）5．在欧氏空间中V 中，对任何实数 k 都有 k k αα=．（ ） 三、 选择题（每题3分，共18分；将正确的选项序号填在题中括号内）1．下列命题正确的是：（ ） A 、如果)()()()(x h x f x g x f =，那么)()(x h x g =； B 、如果)()()(x g x f x h ，那么)()(x f x h 或)()(x g x h ； C 、如果)()(x f x p ，那么)())(),((x f x p x f =； D 、若既约分数sr为整系数多项式)(x f 的有理根，则)1(f r s -而且)1(-+f r s ． 2．n 阶行列式D 的元素ij a 的余子式ij M 与ij a 的代数余子式ij A 的关系是：（ ） A ．ij ij M A =； B 、ij ij M A -=； C 、ij ji ij M A +-=)1(； D 、ij ij M A ≠3、设0λ是可逆矩阵A 的非零特征根，则10-λ是（ ）的一个特征根．A ．—A ；B ．A ' ；C ．2A ； D ．1-A ．4．若m ααα,,,21 与n βββ,,,21 都线性无关,则向量组m αα,,,1 ,n ββ,,,1 ( )．A.一定线性无关；B.不一定线性无关；C.一定线性相关；D.以上结论都不对. 5、设A=)(ij a , detA=0, b=),,,(21'n b b b , X=),,,(21'n x x x ．其中A ，b 为已知，则线性方程组AX=b( )．A.无解；B.有无穷多解；C.有唯一解；D.无解或有无穷多解． 6、设A 、B ∈)(F M n ，则A 的列向量组与B 的列向量等价当且仅当( )． A.A ＝B ； B.detA ＝detB ； C.det(AB)≠0； D.秩A=秩B四、（8分）计算行列式D ＝y y x x -+-+1111111111111111．五、（8分）判断方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+=+242131243121b x x b x x a x x a x x （其中2121b b a a +=+）是否有解，有解时求其一般解．六、（10分）证明：),(),(222g f g f =． 七、（8分）证明：秩AB ＝秩B 的充分必要条件是(AB)X=0与BX=0有相同的解．八、(8分)设 n 阶方阵 A 满足A 2=A ，证明I+A 可逆，且 (I+A)-1 = I －A ． 九、（8分）设V 是数域F 上的向量空间，()1 , λδV L ∈ 和 2λ 是δ的两个不同的本征值，i α是δ的属于i λ的本征向量，2 , 1=i ．证明：021≠+αα，但它却不再是δ的本征向量，即F ∈∀λ，()() 2121ααλαασ+≠+．十、（10分）判定二次型ơ()32312123222132128632,,x x x x x x x x x x x x -++++=是否正定．。

广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》（公共课）试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分。

每小题只有一个选项符合题目要求）1．已经三个数列{a n ）、{b n ）和{c n ）满足a n ≤b n ≤c n （n ∈N +），且∞→n lim a n =a ，∞→n lim c n =c(a 、b为常数，且a<c)，则数列{b n ）必定A ．有界B ．无界C ．收敛D ．发散2．x=0是函数0x 2-10,x 12)(<≥+x x x e x f ，）（｛，的A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点3．极限∞→x lim 2x sinx3=A ．0B ．2C ．3D ．64．如果曲线y=ax-12+x x 的水平渐近线存在，则常数a=A ．2B ．1C ．0D ．-15．设f(x ，y)为连续函数，将极坐标形式的二次积分⎰⎰=140)sin ,cos (rdr r r f d I θθθπ化为直角坐标形式，则I=A ．⎰⎰-21220),(x xdyy x f dx B ．⎰⎰-210220),(x dyy x f dx C ．⎰⎰-21220),(y ydxy x f dy D ．⎰⎰-210220),(y dxy x f dy 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设f(x)在点x 0处可到，且f’(x 0)=3，则=∆-∆-→∆xx f x x f x )()2(lim 000.7．若⎰=dx x xx f tan )(，则f ”（π）=．8．若曲线y=x 3+ax 2+bx+l 有拐点(-l ，0)，则常数b=____．9．广义积分⎰∞-=+01dx e e xx．10．设函数f(u)可微，且f ’(o)=21，则z=f （4x 2一y 2）在点(1，2)处的全微分=)2,1(dz .三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算xx xln 1)11(lim ++∞→．12．设函数y=f(x)由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+=++=223)3ln(ty t t x 所确定，求dx dy (结果要化为最简形式).13．确定函数xe x xf arctan 4)1()(+-=π的单调区间和极值．14．求不定积分⎰+.)1ln(2dx x ．15．设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤-=+21,12121,)(2314x x x e x x f x ，利用定积分的换元法求定积分⎰-221)1(dx x f ．16．求微积分方程y’’一4y'+13y=0满足初始条件8',10====x x y y特解．17.已知二元函数z=x(2y+1)x ，求212==∂∂∂y x xy z．18．计算二重积分⎰⎰-Dd x y σ2，其中D 是由曲线y=x 及直线y=1，x=0围成的闭区域．四、综合题（大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）19．已知C 经过点M(1，0)，且曲线C 上任意点P(x ，y)(x ≠0)处的切线斜率与直线OP （O 为坐标原点）的斜率之差等于ax （常数a>0）．(1)求曲线C 的方程；(2)诚确a 的值，使曲线C 与直线y=ax 围成的平面图形的面积等于83．20．若当x →0，函数⎰+-=xat t dt x f 0332)(与x 是等价无穷小量；(1)求常数a 的值；(2)证明：8)2(21≤≤f ．我们是第一家实现专插本互联网教育的辅导班我们是第一家联合华师名师和广大老师的辅导班因路程遥远无法参加面授课程的同学；因时间原因无法参加面授课程的同学；因工作实习无法参加面授课程的同学；我们为你专门设立的远程易学班，毛概已经陆续上线；需要的同学，在淘宝教育搜索泮梦文化教育QQ 群：122912661广东省2012年普通高等学校本科插班生招生考试《高等数学》参考答案及评分标准一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．A 2．C 3．D 4．B 5．C二、填空题（本大题共5小题，每个空3分，共15分）6．-67．π18．39．ln210．4dx -2dy三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）-Wl+x)（2分）1l ．解：原式=xx x eln )1ln(lim +-+∞→，（2分）xx xx x x 111limln )1ln(lim+-=+-+∞→+∞→ （4分）.e 1-=∴原式（6分）12．解：；222t 311t 31t t 31dt dx +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++= .32ttdt dy +=（3分）t x y dx dy t t ==∴''（结果没有化简扣2分）.(6分)13．解：函数)(x f 的定义域为),(+∞-∞，2arctan 4arctan 411)1()('x ex ex f xx+∙-+=++ππ21)1(arctan 4x x x xe +++=π，（2分）令0)('=x f ，解得x=0，x=-1因为在区间(-∞，-1)内，0)('>x f ；在区间(-l ，0)内，)('x f <0；在区间(0，+∞)内，0)('>x f ，所以)(x f 的递增区间是(-∞，-1)及(0，+∞)，递减区间是（-1，0），(4分))(x f 的极大值是)(,2)1(x f f -=-的极小值4)0(e f -=．(6分)14．解：⎰⎰+-+=+dx xx x x dx n 222212)1ln()1ln((2分)，⎰+--+=dx xx x )111(2)1ln(22Cx x x x ++-+=arctan 22)1ln(2(6分)15．解：⎰⎰-=-=-2211211)()1(dtt f dxx f tx （2分）⎰⎰⎰⎰+=+=--12112121212121)()()()(dxx f dx x f dt t f dt t f ⎰⎰-++=212112121314dx xdx e x x （4分）121110=-=x .（6分）16．解：由微分方程的特征方程r 2-4r +13=0解得r=2±3i ，（2分）所以此微分方程的通解为)3sin 3cos (212x C x C e y x +=.（4分）因为)3cos 33sin 3()3sin 3cos (2'212212x C x C e x C x C e y xx+-++=,由832'121010=+=====C C y C yx x 及解得C 1=1，C 2=2，故所求特解为)3sin 23(cos 2x x e y x+=.（6分）17．解：12)12(2-+=∂∂x y x yz,(2分))12ln()12(2)12(41212++++=∂∂∂∴--y y x y x xy x x x ，(4分)故3ln 24112+=∂∂∂==y x xy z (6分)18．解：积分区域D 如图：⎰⎰⎰⎰-=-22102xdxy dy xd y （3分）=⎰--102232]0)(32[dy y x y =6132103=⎰dy y （6分）四、综合题（本大题共2小题，第19小题12分，第20小题10分，共22分）19．解：(1)设曲线C 的方程为y=厂O ），由题意知0,'1==-=x y ax x yy 且．（2分）由ax x yy =-'得)()(ln ln 11C dx axe e C dx axeey x x dxx dxx +=+⎰⎰=⎰⎰--（4分）)()(C ax x C adx x +=+=⎰,，因为01=+==C a yx ，解得aC -=故曲线C 的方程为)1(2-=-=x ax ax ax y ．（6分)(2)如图，由ax ax ax =-2解得x=0，x=2，（10分）即3838402)3(32=-=-a a x a ax ，解得a=2．（12分）由题意知⎰=+-2238)(dx ax ax ax ，20．解：(1)解：由题意知122lim 2lim303033===+-→+-→⎰a ax xx xat t x xdt，（4分）0=∴a ．(2)证：⎰⎰--==23233322)2(dx dt f xxtt，设xx x g 332)(-=，则2ln )33(2)('233-=-x x g xx ，（6分）令0)('=x g ，在区间(0，2)内解得x=l ，因为g(0)=1，g(1)=41，g(2)=4，所以g(x)在区间[0，2]上的最大值为4，最小值为41．（8分）由定积分的估值定理可得8212033≤≤⎰-dx e x x ，所以有8)2(21≤≤f ．（10分）。

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………考场 _ _试室_ 座位号 姓名 准考证号湛江师范学院2012年本科插班生考试试卷A 卷高等代数参考答案一、选择题(每小题2分，共20分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 DCDCACBBAB二、填空题（每小题3分，共计18分）1、 27 ；2、 -2 ；3、22<<-t ；4、2± ；5、}),,0{(32P a a a i ∈ ；6、 -21三、解答题(共38分)1（10分）讨论线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩ ，当,a b 取何值时方程组有唯一解？无解？无穷多解？在有无穷多解情形下，求其 通解。

解：增广矩阵111101111011110012210122101221013201320010132110123100010A a ba ba b a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪-------+ ⎪⎪⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭———— 2分讨论：①当1a ≠时，()()4,r A r A== 此时方程组有唯一解。

②当1a =且1b ≠-时，()2,()3,()(),r A r Ar A r A ==≠ 此时方程组无解。

———— 4分 ③当1a =且1b =-时，()()24,r A r A==< 此时方程组有无穷多个解，此时 1111010111012210122100000000000000000000A---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———— 6分原方程组的等价方程组为：1342341221x x x x x x =+-⎧⎪⎨=--+⎪⎩ ，其特解1100η-⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭———— 7分原方程组的导出组为：13423422x x x x x x =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，相应的基础解系：121122,1001ξξ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭———— 9分故原方程组的通解为121234111221100010x x x c c x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪==++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭———— 10分其中21,c c 为任意常数。

专升本《高等代数》试题注：请将答案全部写在答题纸上. 一.填空题（每小题2分，共20分）1.设:f A B →是集合A 到B 的映射，对任意的y B ∈，都存在x A ∈，使得()f x y =，就称映射f 为 。

2.设(),()[]f x g x F x ∈，则()()0f x g x ⋅=的充要条件是 。

3.设()f x 实系数多项式，()7f x ∂=且()()()()()5322x x i x x i f x -++-，则()f x 实数根的个数为 。

4.假设n 阶行列式D 中零元素的个数比n 2 -n 多，则D= 。

5.m 个方程n 个未知数的线性方程组AX B =，其增广矩阵为A ，当 时，此方程有无穷多个解。

6.矩阵1234⎛⎫⎪⎝⎭的伴随矩阵为 。

7.(){}123123,,,,0i W a a a a F a a a =∈++=。

则dim W = 。

8.向量空间[]2F x 上的线性变换()()'f x f x σ=（()f x 导数）关于它的基2{1,,}x x 的矩阵 。

9.在欧空间3R 中，向量()123β=，，在由12002222αα⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，-生成的子空间H 上的正射影的长度为 。

10.三元二次型2222323x y z xy xz yz +++++的矩阵为 。

二.判断正误（每小题2分，共20分）1. 集合 A 有 m 个元素，B 有 n 个元素，则 A B 有 m+n 个元 （ ）2.若整数,a b 互素，则存在唯一的一对整数,s t ，使得1sa tb +=（ ）3.设()()[],f x g x F x ∈，且()()f x g x ≠，则对任给的i a F ∈，()()i i f a g a ≠（ ）4.秩为r 的矩阵必有一个1r -阶子式不为0（2r ≥）（ ）5.线性方程组有解的充要条件是其增广矩阵的最后一列可由前面的列向量线性表示（ ）6.若{}1,m αα和{}1,n ββ线性无关，则{}11,,,m n ααββ线性无关（ ）7.一个向量空间不可能与它的真子空间同构（ ）8.数域F 上的向量空间上的线性变换的集合对线性变换的加法与数乘运算构成一个向量空间（ ）9.由规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵（ ） 10.实对称矩阵一定与一个对角形矩阵合同（ ） 三.单项选择（每小题3分，共30分）１.若()()(),1f x g x =且()()()f x g x h x ，则（ ）A.()()f x h x 且()()f x g xB.()()f x h x 或()()f x g xC. ()()f x g xD. ()()f x h x2.艾森斯坦因判别法是判断一个多项式在有理数域上不可约的一个（ ）Ａ.必要非充分条件 Ｂ.必要且充分条件Ｃ.充分非必要条件Ｄ.既非充分条件又非必要条件3.设111212122212n n n n nn a a a a a a D a a a =，1112121222112n n n n nnb b b b b b D b b b =且ij ij b a =-，则1D =（ ）Ａ.ＤＢ.－ＤＣ.()()121n n D +-Ｄ.()1nD -4.若,A B 为任意n 阶实方阵，则（ ）Ａ.秩{}max AB A B =秩,秩 Ｂ.秩{}min AB A B =秩,秩 Ｃ.秩AB =秩BAＤ.以上都不对5.若数域F 上的n 元齐次线性方程组有非零解，则该方程组（ ）Ａ. 有无限个非零解Ｂ.有有限个非零解Ｃ. F 上任意n 个数均是方程组的解 Ｄ.有唯一非零解6.设(){}'n T A M F A A =∈=-，则dim T =（ ）Ａ.()12n n +Ｂ.()12n n -Ｃ.2n n -Ｄ.22n7.设()L V στ∈，下列命题正确的是（ ）Ａ.若2στ=，则στ=±Ｂ.2σσστθ=，则=或Ｃ.32στσστστ=++=，可逆，则 Ｄ.(),,mστθσθτθ===若则或 8.设αβ，是欧氏空间n R 中的非零向量，0αβαβ=，是，正交的（ ）Ａ.充分而不必要条件 Ｂ.必要而不充分条件 Ｃ.充分必要条件Ｄ.什么条件也不是９、二次型()()112312243,,21x q x x x x x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的矩阵是（ ） Ａ.4 2.52.51⎛⎫⎪⎝⎭Ｂ.4321⎛⎫ ⎪⎝⎭Ｃ.4 2.502.510000⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭Ｄ420310000⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭10.下列命题不正确的是（ ）Ａ.两个数环的交是数环 Ｂ.两个数域的交是数域 Ｃ.两个数环的并是数环Ｄ.两个数域的并不是数域四.计算题（每小题10分，共40分）1．计算n 阶行列式 000000000000x y x y D x y y x=。

韩山师范学院专升本插班生考试样卷数学与应用数学 专业 高等代数 A 卷一、填空题（每小题2分，共12分） 1. 一个素数p 有 个因数.2. 多项式)(x f 无重因式的充要条件是 .3. 两个实二次型等价的充分必要条件是它们有相同的秩和 .4. 最大的数域是 .5. 次数大于零的多项式在复数域C 中只能有 次的不可约多项式.6. 一个向量空间V 的基所含向量的个数叫做V 的 . 二、判断题（每小题2分，共10分） 1. 4267351 是奇排列.（ ）2. 2是多项式1415623-+-x x x 的二重根.（ ）3. 多项式3261614x x x -+-在有理数域上是不可约的.（ ）4. 任意一个齐次线性方程组都有基础解系.（ ）5. 在欧氏空间C [-1，1]中，向量1与x 正交.（ ） 三、选择题（每小题3分，共18分） 1．若111221221,a a a a = 则下列（ ）是方程组111122121122220,0.a x a x b a x a x b -+=⎧⎨-+=⎩ 的解. （A ）11211112222212,;b a a b x x b a a b ==（B ）11211112222212,;b a a b x x b a a b -==-（C ）11211112222212,;b a a b x x b a a b -==-（D ）11211112222212,.b a a b x x b a a b --==--2.000000200000300000101n n =-（ ）.（A ） (-1)n -3 n ! ; （B ） (-1) 2n n ! ; （C ） (-1)n -2 n ! ; （D ）n ! . 3. 设A ,B ,C 都是n 阶方阵，且ABC =I , 则（ ）成立.（A ）CAB = I （B ）BAC = I （C ）ACB = I （D ） CBA = I 4. 设A 是n 阶可逆矩阵，则下面推断正确的是（ ）（A ） 交换A 的i , j 两行得到B ，则交换A -1的i , j 两行就得到B -1. （B ） 交换A 的i , j 两行得到B ，则交换A -1的i , j 两列就得到B -1.（C ） 把A 的第 j 行的k 倍加到第i 行得到B ，则把A -1的第i 行的k 倍加到第j 行就得到B -1.（D ） 把A 的第 j 行的k 倍加到第i 行得到B ，则把A -1的第i 列的k 倍加到第j 列就得到B -1.5. 设Q 为有理数域，R 为实数域，C 为复数域，则下述结论正确的是（ ）. （A ）Q 构成R 上的向量空间； （B ）Q 构成C 上的向量空间； （C ）R 构成C 上的向量空间； （D ）C 构成R 上的向量空间.6. 已知欧氏空间R 3的线性变换(,,)(,,)x y z x y y y z σ=++，则（ ）成立. （A ）σ 是正交变换，但不是对称变换； （B ）σ 是对称变换，但不是正交变换； （C ）σ 是正交变换，也是对称变换； （D ）σ 不是正交变换，也不是对称变换. 四、计算题（共30分） 1．（7分）计算行列式ab b b b b a b b b D bb a b b b b b a b b b b b a=。

高代试卷《高等代数I》练习卷一、判断题1、若是多项式f()的k(k2)重根的充要条件是是多项式f()的k-1重根。

（）2、设p()不可约，若p()不是f(),g()的公因式，则p()不是f()g()的因式。

（）3、若1,2,,与1,2,,,等价，则可由1,2,,线性表出。

4、n阶方阵A可逆的充要条件是A为一系列初等矩阵的乘积（）5、零次多项式只能整除零次多项式。

（）6。

设n阶方阵A，B为对称矩阵，则AB为对称矩阵的充要条件是A与B可交换。

（）（n2）7若n阶行列式Dn为零，则Dn两行或两列成比例。

（）8。

非齐次线性方程组有无穷解的必要条件是其导出方程组有非零解。

（）9。

若A=0只有零解，则A=b有唯一解。

（）10。

方程个数少于未知量个数的线性方程组必有无穷多解。

（）二、填空题1111、已知D222，则A11A12A13_______________。

3332、设1(t,1,1,1),2(1,t,1,1),，则线性无关的充要条件是1013、A020,f()22,则f(A)=1014、设f()42ab,g()22,(f(),g())g()，则a=,,b=5、已知n阶方阵A的行列式A＝11，则(A)110A。

326．设4阶方阵A,2,3,4,B,2,3,4,其中,,2,3,4均为4维列向量，A4,B3，则行列式AB。

7。

设A为nm阶矩阵，则齐次线性方程组A0的基础解系中所含向量的个数是8。

将f()4223表成2的方幂和9。

秩AB秩A秩B110。

已知A是一个34矩阵，且秩(A)2，而B010202，则秩03BA。

11、将A的第j列的k倍加到第i列相当于右乘初等矩阵________________112、11111是关于一次多项式，该式中一次项的系数是________。

11三、选择题1、位于n阶排列i1i2ik1nik1in中的数n与其余数形成的逆序数是（）A．n-1；B．k-1；C。

k；D。

n-k2、设A，B均为P上n阶可逆矩阵，则（）A。

韩山师范学院专升本插班生考试样卷数学与应用数学专业高等代数 A卷一、选择题(每小题3分，共15分)1．m个方程n个未知量的线性方程组中，若其系数矩阵的秩等于m, 则( )成立。

（A）方程组一定有解; （B）方程组一定有无穷多解;（C）方程组一定无解; （D）方程组一定有唯一解.2. 设E1E2…E s A E s+1…E t =I,其中E i为初等矩阵，i = 1,2,…, t , 则A-1等于( ).（A）E1E2…E t；（B）E t…E2E1；（C）E s+1…E t E1…E s；（D）E t…E s+1E1…E s .3. 设A1, A2,…, A s都是n阶方阵，则对角线分块矩阵12sAAA⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭的秩等于( ).（A）秩(A1A2…A s)；（B）秩A1×秩A2×…×秩A s；（C）秩(A1+A2+…+A s)；（D）秩A1+秩A2+…+秩A s .4. 设α1 , α2 ,…, αs与β1 , β2 ,…, βs均为线性相关的向量组，则下列结论正确的是（）.（A）α1+β1, α2+β2,…,αs+βs线性相关；（B）α1+β1,α2+β2,…,αs+βs线性无关；（C）α1,α2,…,αs,β1,β2,…,βs线性相关；（D）α1, α2,…,αs,β1,β2,…,βs线性无关.5.1221 , , 333α⎛⎫=-⎪⎝⎭，2212, ,333α⎛⎫=-⎪⎝⎭是R3的规范正交组，添加( )可以扩充为R3的规范正交基.（A）122, ,333⎛⎫-⎪⎝⎭；（B）122, ,333⎛⎫--⎪⎝⎭；（C）221, ,333⎛⎫--⎪⎝⎭；（D）212, ,333⎛⎫--⎪⎝⎭.二、填空题（把答案填在题中横线上。

每小题3分，共15分）1. 在n 元排列中，反序数最大的排列的反序数为 .2. 实数域上的不可约多项式的次数只能是 .3. 5432()2101616146f x x x x x x =-+-+-在Q [x ]内的典型分解式为.4. 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数是 .5. m ×n 矩阵A 的行向量组所生成的F n 的子空间叫做A 的 .三、判断题(每小题2分，共14分. 你认为正确的，在题后圆括号内打“√”，错误的打“×”。

2012年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学（二）答案必须答在答题卡上指定的位置，答在试卷上无效．．．．．．．。

一、选择题：1~10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上．．．．．．．．．．．．。

1.2)2cos(lim1--→x x x =A.1B.cos1C.0D.2π2.设函数y=x 2+1，则dxdy = A331x B.x 2 C.2x D.21x 3. 设函数f （x ）=cosx ，则f ’(2π)=A.-1B.- 21C.0D.14.下列区间为函数f （x ）=sinx 的单调增区间的是A.（0，2π）B.（2π，π） C.（2π，23π） D （0, 2π）5.dx x ⎰3=A.3x 3+c B.x 3+c C.c x +33 D 2x+c 6.dx x ⎰+11=A.e 1+x+c Bc x++11. C.x+c D.ln|1+x|+c 7.设函数z=ln （x+y ），则an x z|∂∂= A.0 B. 21C.ln2D.18. 曲线y=24x -与x 轴所围成的平面图形的面积为A.2B.4C.2πD.4π9.设函数z=e x+y 2，则22xz∂∂=A.2yB.e x +2yC.e x +y 2D.e x10. 设事件A 、B 互不相容，P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P （A+B ）=A.0.44B.0.5C.0.1D.0.06二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分，把答案填写在答题卡相应题号后．．．．．．．．。

11. 32lim 22-++∞→x x x x = . 12. xxx 32sin lim∞→= .13.设函数f （x ）={,10,2<+≥+x x x x a 在x=0处连续，则a= .14.曲线y=x 3+3x 的拐点坐标为 .15.设函数f （x ）=cosx ，则f ’(x)= .16.曲线y=sin （x+1）在点（-1,0）处的切线率为 . 17.dx xe x ⎰22= . 18.⎰1cos xdx = .19.⎰+∞-0dx e x = .20.设函数z=x 3e x，则全微分dz= .三、解答题：21~28小题，共70分，解答应写出推理、演算步骤，并将其写在答题卡相应．．．．．题号后．．．。

2012 级高等代数Ⅰ试题及答案一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． 下列说法正确的是（）A ． 任何多项式都不整除零多项式B ． 零多项式与任何多项式都互素C ． 零次多项式与任何多项式都互素D ． 零次多项式与零多项式不互素2． 设 (),(),()[] f x g x p x P x Î , 且 () p x 在数域P 上不可约，如果 ) ( ) ( ) ( x g x f x p ，则 一定成立的是 ( )A ． ) ( ) ( x f x p 且 ) ( ) ( x g x pB ． ) ( ) ( x f x p 但 ) ( | ) ( x g x p /C ． ) ( | ) ( x f x p / 且 ) ( | ) ( xg x p / D ． ) ( ) ( x f x p 或 )( ) ( x g x p 3． 设A 和B 都是n 阶方阵，O 表示零矩阵，若AB O = ，则一定成立的是（ ）A ． A 和B 都是可逆矩阵 B ．A O = 或B O =C ． ||0AB = D ．A 可逆，B 不可逆4．已知齐次线性方程组 O X A n m = ´ 只有零解,下列结论一定成立的是（ ）A ． A 的秩为mB ． A 的行秩为nC ． A 的列向量组线性相关D ． A 的行向量组线性无关5． 设A 是n 阶方阵，k 是一个非零常数，若 0 kA = ，则一定成立的是（ ）A ． 0A =B ． A 可逆C ． A 是零矩阵D ． A 的秩等于n二、判断题（每小题2分，共10分）6． 任意多项式都定义有次数．（）7． 任意两个不全为零的多项式都有首项系数是1 的最大公因式．（ ）8． 任意矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵．（ ）9． 任意齐次线性方程组不一定总有解．（）10． 任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价．（）三、填空题（每小题2分，共10分）11． 含有n 个未知量，系数矩阵的秩为r 的齐次线性方程组有非零解，则基础解系所 含解的个数等于____________．12．以纯虚数i 为根的非零实系数多项式中次数最低的首1多项式为_______________． 13． 如果一个 4 阶矩阵的秩为1，那么此矩阵的任意两行．14． 方程个数和未知量个数相等的齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列 式_____ _____．15． 多项式 () f x 被x c - 所除得到的余式为．四、计算题（每小题10分，共50分）16． 如果 1 ) 1 ( 2 4 2 ＋ ＋ － Bx Ax x ，求 A ，B ．17． 计算n 阶行列式：n aa a a na a a a na a a a n aaa a D + + + + = 1 3 2 1 3 1 2 1 32 1 13 2 1 1 L M O M M M L LL ．18． 设 1(2,1,2,2,4) a =- ， 2 (1,1,1,0,2) a =- ， 3 (0,1,2,1,1) a =- ， , 1 , 1 , 1 ( 4 - - - = a ), 1 , 1 - 5 (1,2,1,1,1) a = ．试确定向量组 ,,,, 12345 a a a a a 的一个极大线性无关组与秩．19． 用导出组的基础解系表出下列非齐次线性方程组的全部解：31 22461 x y z w x y z w x y z w --+= ì ï-+-= í ï --+=- î． 20． 已知矩阵 100 011 111 A æö ç÷= ç÷ ç÷ - èø， 22 37 22 B æöç÷ =- ç÷ ç÷ èø，若( )A E XB += ，求矩阵X ． 五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证明： ) ( | ) ( 2 2 x f x g 当且仅当 ()|() g x f x ．22． 设向量组 ,, 123 a a a 线性无关，向量组 ,, 234 a a a 线性相关，试证： 1 a 不能 由 ,, 234 a a a 线性表示．高等代数Ⅰ参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共10分）1． C2． D 3． C 4． B5． A二、判断题（每小题2分，共10分）6． × 7． √ 8． √ 9． × 10． √三、填空题（每小题2分，共10分）11． rn - 12． 12+ x 13． 线性相关 14． 为零15． )(c f 四、计算题（每小题10分，共50分）16． 解 设 1 ) ( 24＋ ＋Bx Ax x f = ，则 Bx Ax x f 2 4 ) ( 3＋ = ¢ ． （2分）由一次因式和根的关系及重因式知îíì = + = ¢ = + + = 0 2 4 ) 1 ( 0 1 ) 1( B A f B A f ， （8 分） 解得 1 = A ， 2 - = B ．（10 分）17． 解n aaa n a a a naa a n a a a na aa n a a a n aaa n a a a D ncc c c c c + + + + + + + + + + + + + + + + + + + = + + + 1 32 2 1 1 31 2 2 1 1 3 2 1 2 1 1 3 2 2 1 1 131 21 L L M O MM M L L LL L L M （2分）n aaa naa a na aa n a aa na a a na a a c + + + + + + + = + + + + ¸ 1 32 13 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 ) 2 1 1 ( )1 ( 211L M O M M M L LL L L （8 分）na a a na a a c a c c a c c a c n n+ + + + = + + + + = - - - L L M O M M M L L L L M2 1 1 10 0 10 1 0 10 1 10 0 1) 2 1 1 ( 113 3 12 2 ．（10 分） 18． 解 按列拼成矩阵÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ øö ç ç çç ç ç èæ - - - - - - - = ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 1 11 2 4 1 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 11 1 0 12 ) , , , , ( 5 43 2 1 a a a a a ． （2 分）用行初等变换化简得÷ ÷ ÷÷ ÷÷øöç ç çç ç ç è æ - - - - ® ¢ ¢ ¢ ¢ ¢ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 1 3 0 0 0 0 1 1 02 1 1 1 1) , , , , ( 5 4 3 2 1 a a a a a ． （8 分）由初等变换不改变列向量组的线性关系得原向量组的一个极大线性无关组为 3 2 1 , , a a a ，向 量组 ,,,, 12345 a a a a a 的秩为 3．（10 分）19． 解 构造增广矩阵并作行初等变换得÷ ÷÷ ÷ øö ç ç ç ç è æ - - - ® ÷ ÷ ÷ø ö ç ç ç è æ - - - - - - - = 0 0 0 0 0 2 1 2 1 0 0 2 1 1 0 1 1 1 6 4 2 2 1 3 1 1 1 0 1 1 1 1 A ．（2分）得到原线性方程组的一般解为ï î ï í ì + = + + = w z wy x 2 212 1． 令 0 , 0 = = w y ，得原方程组的一个特解 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 0 2 1 0 2 1 0 g ．（5 分）对应齐次线性方程组的一般解为î íì = + = w z wy x 2． 令 0 , 1 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ø ö ç ç ç ç ç è æ = 0 0 1 1 1 h ，令 1 , 0 = = w y ，得 ÷ ÷ ÷ ÷÷ øöç ç ç ç ç è æ = 1 2 0 1 2 h ．（9 分）原方程组的全部解为{} R k k k k Î + + = 2 1 2 21 1 0 ,h h g g ． （10分）20． 解 构造分块矩阵÷ ÷ ÷øöç ç ç è æ - - = + 2 2 2 1 1 7 3 1 2 0 2 2 0 0 2 ) , ( B E A ．（2 分）作初等行变换得÷ ÷ ÷øö ç ç ç è æ - - ® + 1 1 1 0 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 1 ) , ( B E A ．（6 分）由初等变换与初等矩阵的联系知÷ ÷ ÷ øö ç ç ç è æ - - = 1 1 3 1 1 1 X ．（10 分）五、证明题（每小题10分，共20分）21． 证 充分性 若 ()|() g x f x ，则存在多项式 ) (x h ，使得 ) ( ) ( ) ( x h x g x f = ．两端 平方得 ) ( ) ( ) ( 2 2 2 x h x g x f = ，即 ) ( | ) ( 22 x f x g ．（4 分）必要性 若 0 g = ，则 0 f = ，结论成立． 若g 为非零常数，易知结论也成立．若 1 ) ( ³ ¶ g ，由多项式的因式分解定理，设 f g , 标准分解式为12 12 s r r r s g ap p p = L ， 12 12 , sm m m s f bp p p = L i p 是不可约多项式。

2012年河南省普通高等学校选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学注意事项：答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效. 一、选择题 （每小题2 分，共60 分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.1．函数 xx y 1arctan 4++=的定义域是 （ ）A ．[4-,+∞）B ．(4-,+∞)C ．[4-, 0）⋃(0,+∞)D ．（4-, 0）⋃(0,+∞) 【答案】C.【解析】 x +4要求04≥+x ，即4-≥x ；x1arctan 要求0≠x .取二者之交集，得∈x [4-, 0）⋃(0,+∞) 应选C.2．下列函数为偶函数的是（ ）A ．()x x y -+=1log 32B ．x x y sin =C ． ()x x ++1ln D. x e y =【答案】B.【解析】 显然A ，D 中的函数都是非奇非偶，应被排除；至于C ， 记 ()()x x x f ++=1ln 2 则 ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-x x x f 1ln 2()x x-+=1ln2=++=xx 11ln2()().1ln 2x f x x -=++-所以()x f 为奇函数，C 也被排除.应选B.3．当0→x 时，下列无穷小量中与)21ln(x +等价的是（ ）A ． xB ．x 21C ．2xD ．x 2 【答案】D.【解析】因为12)21ln(lim0=+→xx x ，所以应选D.4．设函数()xx f 1sin 2=， 则0=x 是()x f 的（ ）A ．连续点B ．可去间断点C ．跳跃间断点D ．第二类间断点 【答案】D ．【解析】 因为()x f 在0=x 处无定义，且无左、右极限，故0=x 是()x f 的第二类间断点.选D ． 5．函数3x y =在0=x 处A ．极限不存在B ．间断C ．连续但不可导D ．连续且可导 【答案】C.【解析】因为3x y =是初等函数，且在0=x 处有定义，故()x f 在0=x 处连续；又321.31x y ='，故()x f 在0=x 处不可导.综上，应选 C.6．设函数()()x x x f ϕ= ，其中()x ϕ在0=x 处连续且的()00≠ϕ，则()0f '（ ）A ．不存在B ．等于()0ϕ'C ．存在且等于0D ．存在且等于()0ϕ 【答案】A. 【解析】()()()00lim 00--='-→-x f x f f x ()xx x x 0lim0--=-→ϕ()()0lim 0ϕϕ-=-=-→x x ； ()()()00lim 00--='+→+x f x f f x ()x x x x 0lim 0-=+→ϕ()()0lim 0ϕϕ==+→x x ； 因为()≠'-0f ()0+'f ，所以()0f '不存在，选A. 7．若函数()u f y =可导，x e u =，则=dy （ ）A ．()dx e f x 'B ．()()x x e d e f 'C ．()dx e x f x .'D ．()[]()x x e d e f '【答案】D B.【解析】根据一阶微分形式的不变性知 ()()()x x e d e f du u f dy '='=，故选B. 8．过曲线()x f y 1=有水平渐进线的充分条件是（ ） A ．()0lim =∞→x f x B ．()∞=∞→x f x limC ．()0lim 0=→x f x D ．()∞=→x f x 0lim【答案】B.【解析】根据水平渐进线的定义： 如果()C x f x =∞→lim 存在，则称C y =为曲线()x f y =的一条水平渐进线，易判断出应选B.9．设函数x x y sin 21-=，则=dydx（ ） A ． y cos 211- B ．x cos 211-C ．ycos 22- D ．x cos 22-【答案】D .【解析】因为x x x dx dy cos 211sin 21-='⎪⎭⎫⎝⎛-=，所以，=-==x dx dy dy dx cos 21111xc o s 22-，选D . 10．曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B.【解析】 因为()()()00lim00--='-→-x f x f f x ()x x x 1sin 1lim 0-+=-→1sin lim 0==-→xx x ； ()()()00lim00--='+→+x f x f f x ()111l i m 0=-+=+→xx x ，故()10='f 存在. 所以，曲线()⎩⎨⎧<+≥+=,0,sin 1,0,1x x x x x f 在点()1,0处的切线斜率是()10='f ，选B.11． 方程033=++c x x （其中c 为任意实数）在区间()1,0内实根最多有（ ） A ．4个 B ．3 个 C ．2个 D ．1个 【答案】D ．【解析】 令c x x y ++=33.则0332>+='x y ，因此曲线c x x y ++=33在()1,0内是上升的，它至多与x 轴有一个交点，即方程033=++c x x 在区间()1,0内至多有一个实根.选D ．12．若()x f '连续，则下列等式正确的是（ ）A ．()[]()x f dx x f ='⎰ B ．()()x f dx x f ='⎰ C ．()()x f x df =⎰ D ．()[]()x f dx x f d =⎰【答案】A ．13．如果()x f 的一个原函数为x x arcsin -，则()=⎰dx x f 在（ ） A ．C x +++2111 B ．C x+--2111 C ．C x x +-arcsin D ．C x+-+2111【答案】C.【解析】根据原函数及不定积分的定义，立知()=⎰dx x f C x x +-arcsin ，选C. 14．设()1='x f ，且()10=f ，则()=⎰dx x f （ ）A ．C x +B ．C x x ++221C ．C x x ++2D ．C x +221【答案】B.【解析】因为()1='x f ，故 ()C x dx x f +==⎰1 .又()10=f ，故.1=C 即 ()1+=x x f .所以，()=⎰dx x f ().2112C x x dx x ++=+⎰选B. 15． =-⎰dt t dx d x2012sin 2)cos (（ ） A ．2cos x - B ．()x x cos .sin cos 2C ． 2c o s x xD ． ()2i n c o s x【答案】B. 【解析】 =-⎰dt t dx d x 2012sin 2)cos (()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡'--x x sin .sin cos 2()x x cos .sin cos 2=，选B. 16．=-⎰dx e x x 2132（ ）A ．1B ．0C ．121--eD ．11--e 【答案】C. 【解析】=-⎰dx e x x 2132)(212x e d x -⎰-（分部）()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=⎰--21010222|x d e e x x x 11121|2----=--=e ee x .选 C.17．下列广义积分收敛的是（ ）A ． ⎰10ln 1xdx x B.⎰10031dx xxC ．⎰+∞1ln 1xdx xD ．dx e x ⎰+∞--35 【答案】D. 【解析】因为 ⎰+→+100ln 1lim εεxdx x ()⎰+→=10ln ln lim εεx xd∞==+→|120ln 21lim εεx ，所以，⎰10031dx xx 发散； 因为 ⎰+→+10031lim εεdx xx ⎰-→+=1034lim εεdx x ∞=-=+→|1031lim 3εεx ，所以，⎰10ln 1xdx x发散； 因为⎰+∞1ln 1xdx x ()⎰+∞=1ln ln x xd ∞==+∞|12ln 21x ，所以，⎰+∞1ln 1xdx x发散；dx e x⎰+∞--35()()151535355105151551|e e e x d e x x =--=-=--=+∞--+∞--⎰收敛。