(重庆市)2014年高考真题数学(文)试题

重庆市2014年初中毕业暨高中招生考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数是互为相反数，可知17-的相反数是17，故选A ． 【考点】相反数的定义 2.【答案】B【解析】根据同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减得64642222x x x x -÷==，故选B ． 【考点】同底数幂的除法运算 3.【答案】A【解析】因为二次根式中被开方数是非负数，即0a ≥，故选A 【考点】二次根式中被开方数的取值范围 4.【答案】C【解析】n 边形的内角和是(2)180n -⨯︒，将5n =代人即得五边形的内角和是540，故选C ． 【考点】多边形的内角和 5.【答案】D【解析】气温最低即数值最小，8-在这四个数中处在数轴的最左边，故8-最小，故选D 【考点】有理数的大小比较 6.【答案】B【解析】将方程的两边向时乘最简公分母1x -得整式方程21x =-，解得3x =.经检验，3x =是原分式方程的解，故选B ．【考点】分式方程的解法 7.【答案】D【解析】根据方差越小越稳定，而0.020.03 0.050.11<<<，故丁的成绩最稳定，故选D 【考点】方差的意义 8.【答案】B【解析】因为//AB CD ，根据“两直线平行，同位角相等”得142EFD ∠=∠=︒，又因为FG FE ⊥，所以2180904248∠=︒-︒-︒=︒，故选B ．【考点】平行线的性质及垂直的定义，OA OB =43AB OC =242=3π.所以22ax a ，由①得a 只能等于【考点】一次函数图象与坐标轴的交点、解不等式组、三角形的面积计算等，DC BC =62210BC CE BE ⨯=CF BE ⊥︒,OCF ∴∠+∠又OBM ∠+BM CF =等腰R MF【解析】解：AD BC ⊥tan 4BAD ∠=,12AD =9BD ∴=CD BC ∴=2(1)(x 1)x x -+-1111x +-+补图如下：(2)用1A ,2A 表示餐饮企业，1B ,2B 表示非餐饮企业，画树状图如下：10%)150(19-24．【答案】证明：如图) BAC ∠=12∴∠=∠,AB AC =,∴∠B FCA ∠=∠ABF ∴△BE CF ∴=(2)①过E 45B ∠=AD BC ⊥2BM ED =⊥②AD BC∠=∠15=MC MC78∴∠=∠,∠=BAC∴∠=ACB∴∠=∠57∠=ADE【解析】【考点】全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、角乎分线的性质等1AM ME=⨯12x=-，(3)由(2)知，当矩形PMNQ的周长最大时，2)5AB =,2BD AB =+1122ABD AB AD S BD AE ==△ 解得4AE =2222543BE AB AE ∴=-=-=若点Q 在线段BD 的延长线上时，如图1，34∠=∠'A Q A ∴=在Rt BF ∆若点Q 在线段BD 上，如图2：1=3∠∠，3=5+∠∠35∴∠=∠4A ∴∠=∠'5F Q ∴='1A ∠=∠设QB QA =在Rt BF ∆③当PD PQ =时，如图4，有1=2=3∠∠∠1A ∠=∠253DQ ∴=11 / 11。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则解：分层抽样的抽取比例为，×5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）V=×﹣×8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，22B===+2+2＞2∴a+b=a+=a+=a+3++7+7a=4+210．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，且g（x）（﹣，﹣]（﹣]（﹣]（﹣]，x=﹣＜，二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．解：∵=∴∴13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．ωω（，﹣）图象上每一点的横坐标缩短为个单位长度得到函数﹣ω﹣（x+（（）=sin=故答案为：14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．=15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．，联立得，联立得×，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n 项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．∴17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．P=18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．求出sinC，且，cosC==；22=2sinCabsinC=sinC19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．y=+﹣﹣，x﹣a=+﹣﹣﹣=20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．BAD=，BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得BAD=，（BM=OBM=（，，=，=，，即PO==•OM=S PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．|=，于是可求得椭圆的标准方程；与椭圆﹣=2，得==，得，，因此，所求椭圆的标准方程为与椭圆，所以+﹣，即3﹣﹣得+1|=，==。

2014年重庆高考数学试题〔文〕一.选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分.在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的〔〕.A 第一象限.B 第二象限 .C 第三象限.D 第四象限【答案】B 【解析】..1,2-(B 选）复数对应点2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，如此7a =〔〕.5A .8B .10C .14D【答案】B 【解析】..861,35.102,217144531B d a a d d a a a a a a 选即=+=∴=+==∴==+=3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，从高中生中抽取70人，如此n 为〔〕.100A .150B .200C .250C【答案】A 【解析】..100,:70)15003500(3500A n n 选解得：按相同比例进行抽样==+∴4.如下函数为偶函数的是〔〕.()1A f x x =-3.()B f x x x =+.()22x x C f x -=-.()22x x D f x -=+【答案】D 【解析】..,D D C B A 选为偶函数为奇函数，是非奇非偶函数，5.执行如题〔5〕图所示的程序框图，如此输出，的值为.10A .17B .19C .36C【答案】C【解析】+++=S选+=0C∴.9192356.命题x≥；:p对任意x R∈，总有||0q x=是方程"20":"1"x+=的根如此如下命题为真命题的是〔〕∧⌝.B p q.A p q⌝∧.D p q∧⌝∧.C p q【答案】A【解析】为真命题，∴为假命题，正确.Ap选A.q7.某几何体的三视图如下列图，如此该几何体的体积为〔〕A.12B.18C.24D.30【答案】C【解析】CS S V 选几何体表的体积的上部三棱锥后余下的；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形三棱锥三棱柱∴24324331-5243-354*3=•••••==8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+如此该双曲线的离心率为〔〕A.2B.15C.4D.17 【答案】D 【解析】.,17,174,1∴,4,3-a 4∴3-)-(222222221D acc b a b a c b a ab b ab b PF PF 选则令且解得====+====9.假设b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是〔〕A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D 【解析】..3474327437)43)((,14343log 43log 4log )43(log )43(log 22224D a b b a a b b a a b b a b a a b abb a ab b a b a b a 所以，选即+=•+≥++=++=+=+=+∴=+=+=+10.函数]1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311)(---=⎪⎩⎪⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的零点，如此实数m 的取值范围是〔〕A.]21,0(]2,49(⋃--B.]21,0(]2,411(⋃--C.]32,0(]2,49(⋃--D.]32,0(]2,411(⋃--【答案】A 【解析】..2]21,0(∪]2-,49-(∈.49-]1,0(∈,)0,1-(2-)0,1-(),2-0(21)0,1-(),1,1(.).1()(∴--)()(Amxxyxmxfmmxxfxg所以，选个交点时，有显然相切的斜率为与，过的斜率为，，点的斜率为点图像如图所示= +===二、填空题11.集合=⋂==BABA则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______.【答案】{3, 5, 13} 【解析】A∩B={3, 5, 13}12.向量=⋅=--=bababa则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.【答案】10 【解析】10.103πcos10364cosθ||||∴3πθ,10||),6-2-(=•=••+=•=•===b abababa所以，，13. 将函数()()⎪⎭⎫ ⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，如此=⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______.【答案】22【解析】22)6π(224πsin )6π(∴2πφ≤2π-,6πφ,21ω∴)6π21sin()φωsin()(2)6πsin(6πsin .===<==+=+=+==f f x x x f x y x y 所以，倍，则得到，再把横坐标扩大为，得到左移把反向解题 0=+-a y x 14. 直线与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，如此实数a 的值为_________.【答案】60,或 【解析】60,∴60,232|2--1|.20-)2,1-(∴3),2,1-(Δ或，或解得又的距离到直线圆心半径心为等腰直角三角形，圆===+===+=a a a d r d a y x r ABC15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，如此小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ 〔用数字作答〕【答案】329【解析】3295329202021515.20≤,20≤,0≥,0≥,≤520-020-0.分钟的概率为至少早到所以，小王比小张到校之比，即是所求概率可行区域面积与总面积分，则据题有轴表示小张到校时间分，轴表示小王到校时间设几何概型=••=+p y x y x x y y x三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 〔本小题总分为13分.〔I 〕小问6分，〔II 〕小问5分〕{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.〔I 〕求n a 与n S ；〔II 〕设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式与其前n 项和n T .【答案】 〔I 〕+∈==N n n S n a n n ,.1-22〔II 〕+•=•=N n T b n n n n ∈,32-42,421-【解析】 〔I 〕+∈===+==+=∴==N n n S n a n n a a S n d n a a d a n n nn n ,.1-22.1-2)1-(2,1,22111所以，由题知〔II 〕+•=•=•===•=====++=++N n T b q q b T b q b b b q q q S q a q n n n n n n n n n n n n ∈,32-42,4232-424-1)4-1(2-1)-1(,42∴,24,016)17(-∴0)1(-1-11-1-112442所以，解得17. 〔本小题总分为13分.〔I 〕小问4分，〔II 〕小问4分，〔III 〕小问5分〕20名学生某次数学考试成绩〔单位：分〕的频数分布直方图如下：〔I 〕求频数直方图中a 的值；〔II 〕分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； 〔III 〕从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率. 【答案】 〔I 〕0.005 〔II 〕2,3〔III 〕 103【解析】 〔I 〕005.0005.01.0d122a 3a 6a 7a ∴10,====•+++=a a d 所以，，解得组距由题知 〔II 〕人和的学生人数分别为与所以，成绩在的学生人数成绩在的学生人数成绩在32)70,60[)60,50[32010005.03203)70,60[,22010005.02202)60,50[=•••=••==•••=••=d a n d a m 〔III 〕103)70,60[2103)70,60[2.3233)70,60[.10252中的概率为人的成绩均在所以，所取中的概率人的成绩均在所取种人，共有人中任选人，从这共有成绩在种取法人，共有人中任选）知，从由（=∴p18.〔本小题总分为12分〕在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a〔1〕假设25,2==b a ，求C cos 的值;〔2〕假设CAB B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值.【答案】 〔I 〕51-〔II 〕a=b=3【解析】 〔I 〕51-cos .51-2-cos ,.278,25,2222==+==∴=++==C ab c b a C c c b a b a 所以，由余弦定理知〔II 〕33∴69∴sin 29sin 26,2,84∴83⇒sin 3sin sin ⇒sin 4sin sin sin sin cos sin sin cos sin )1(cos sin )1(cos sin ⇒sin 4)11-2cos 2(sin )11-2cos 2(sin ∴sin 22cos sin 2cos sin ΔABC 2222=====+====+===++=+=+=++=+++=+++=+++=+b a b a b a ab C C ab S b a c c c b a cb a C B A C C B A B A B A B A A B B A C AB B AC A B B A 所以，19.〔本小题总分为12分〕函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21=〔1〕求a 的值；〔2〕求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）（2014•重庆）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B．2．（5分）（2014•重庆）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5B．8C．10D．14【分析】由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B．3．（5分）（2014•重庆）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100B．150C．200D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．4．（5分）（2014•重庆）下列函数为偶函数的是（）A．f（x）=x﹣1B．f（x）=x2+xC．f（x）=2x﹣2﹣x D．f（x）=2x+2﹣x【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f（﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；B、f（x）=x2+x，其定义域为R，f（﹣x）=x2﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；C、f（x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；故选：D．5．（5分）（2014•重庆）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10B．17C．19D．36【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19．故选：C．6．（5分）（2014•重庆）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A．7．（5分）（2014•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．8．（5分）（2014•重庆）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．4D．【分析】根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==．故选：D．9．（5分）（2014•重庆）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A．6+2B．7+2C．6+4D．7+4【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0．b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7 +7=4+7，当且仅当a=4+2取等．故选：D．10．（5分）（2014•重庆）已知函数f（x）=，，，，，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．（﹣，﹣2]∪（0，]B．（﹣，﹣2]∪（0，]C．（﹣，﹣2]∪（0，]D．（﹣，﹣2]∪（0，]【分析】由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）（2014•重庆）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B={3，5，13} ．【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}．12．（5分）（2014•重庆）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=10．【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），∴，∴＜，＞=2=10．故答案为：10．13．（5分）（2014•重庆）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=．【分析】由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．14．（5分）（2014•重庆）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．15．（5分）（2014•重庆）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【分析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）（2014•重庆）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和．（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0．求{b n}的通项公式及其前n项和T n．【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16．∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4．又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴．．17．（13分）（2014•重庆）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．18．（13分）（2014•重庆）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab 的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．19．（12分）（2014•重庆）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符，进而可得函数f（x）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5．20．（12分）（2014•重庆）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，∵AB=2，∠BAD=，∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，又∵BM=，∠OBM=，∴在△OBM中，OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=，即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，∴OM⊥BC，又∵PO⊥底面ABCD，BC⊂底面ABCD，∴PO⊥BC，又∵OM∩PO=O，OM，PO⊂平面POM，∴BC⊥平面POM；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos∠BAO=2cos（）=，设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，故PA2=PO2+OA2=a2+3，由△POM也为直角三角形得：PM2=PO2+OM2=a2+，连接AM，在△ABM中，AM2=AB2+BM2﹣2AB•BM•cos∠ABM==，由MP ⊥AP 可知：△APM 为直角三角形，则AM 2=PA 2+PM 2，即a 2+3+a 2+ =，解得a= ，即PO=，此时四棱锥P ﹣ABMO 的底面积S=S △AOB +S △BOM = •AO•OB + •BM•OM=，∴四棱锥P ﹣ABMO 的体积V= S•PO=21．（12分）（2014•重庆）如图，设椭圆 +=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，丨 丨丨 丨=2 ，△DF 1F 2的面积为．（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF 1|= =，|DF 2|=，从而可得2a=2 ，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|，由F 1P 1⊥F 2P 2，得x 1=﹣或x 1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2，由丨 丨丨 丨=2 ，得|DF 1|== c ，从而 = |DF 1||F 1F 2|= c 2=，故c=1．从而|DF 1|=，由DF 1⊥F 1F 2，得 = + = ，因此|DF 2|=，所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2 ，故a= ，b 2=a 2﹣c 2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知x 2=﹣x 1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|x 1|， 由（Ⅰ）知F 1（﹣1，0），F 2（1，0），所以 =（x 1+1，y 1），=（﹣x 1﹣1，y 1），再由F 1P 1⊥F 2P 2，得﹣+ =0，由椭圆方程得1﹣=，即3 +4x 1=0，解得x 1=﹣或x 1=0． 当x 1=0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当x 1=﹣时，过P 1，P 2，分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，设C（0，y 0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=．。

2014年重庆高考数学试题（文）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2014重庆文1）实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）. A. 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限2. 在等差数列{}n a 中，1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.A.5B.8C.10D.143. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）.A.100B.150C.200D.250 4. 下列函数为偶函数的是（ ）.A.()1f x x =- 2B.()f x x x =+C.()22xxf x -=-D.()22xxf x -=+5.（2014重庆文5） 执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）. A.10 B.17C.19D.366.（2014重庆文6）已知命题：:p 对任意x ∈R ，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是（ ）.A.p q ∧⌝B.p q ⌝∧C.p q ⌝∧⌝D.p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A.12B.18C.24D.308.（2014重庆文8）设21F F ，分别为双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得俯视图左视图正视图32452212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为（ ）.A.2B.15C.4D.179.（2014重庆文9）若42log 34log a b a b +=+（）的最小值是（ ）. A.326+ B.327+ C.346+ D.347+10. 已知函数13(10]()()()1(01]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==--+⎨⎪∈⎩，，，且，，在(]11-，内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）. A.91(2](0]42--，， B.111(2](0]42--，， C.92(2](0]43--，， D.112(2](0]43--，， 二、填空题11.（2014重庆文11）已知集合{3451213}{235813}A B A B ===，，，，，，，，，，则______.12.（2014重庆文12）已知向量60(26)||=--=⋅=与的夹角为，且，，a b a b a b _________.13.（2014重庆文13）将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______. 14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BC AC ⊥，则实数a 的值为_________.15.（2014重庆文15）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_________（用数字作答）. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （2014重庆文16）（本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17. （2014重庆文17）（本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率. 18.（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a .（1）若522a b ==，，求C cos 的值； （2）若C A B B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值. 19.（2014重庆文19）（本小题满分12分）已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中a ∈R ，且曲线)(x f y =在点(1(1))f ，处的切线垂直于直线x y 21=. （1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值.20.（2014重庆文20）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）7632如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，23AB BAD π=∠=，，M 为BC 上一点，且12BM =. （1）求证：BC ⊥平面POM ；（2）若M P AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.21.（2014重庆文21）（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分）如图所示，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F ，，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||||F F DF =12DF F △的面积为2.（1）求该椭圆的标准方程；（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程，若不存在，请说明理由.MOP D CB ADF 2F 1Oyx。

数学试卷 第1页（共4页）数学试卷 第2页（共4页）绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷(文史类)数学试题卷（文史类）共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项:1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为2-，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限2.在等差数列{}n a 中，12a =，3510a a +=，则7a =( )A .5B .8C .10D .143.某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为( )A .100B .150C .200D .250 4.下列函数为偶函数的是( )A .()1f x x =-B .2()f x x x =+C .()22x x f x -=-D .()22x x f x -=+5.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为 ( )A .10B .17C .19D .366.已知命题p ：对任意x ∈R ，总有||0x ≥；q ：1x =是方程20x +=的根.则下列命题为真命题的是( ) A .p q ∧⌝ B .p q ⌝∧ C .p q ⌝∧⌝D .p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A .12B .18C .24D .308.设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得2212(||||)3PF PF b ab -=-，则该双曲线的离心率为 ( )A .2B .15C .4D .17 9.若42log 34)log a b ab +=(，则a b +的最小值是( )A .623+B .723+C .643+D .743+10.已知函数13,(1,0],()1,(0,1],x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(1,1]-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A .91(,2](0,]42--UB .111(,2](0,]42--U C .92(,2](0,]43--UD .112(,2](0,]43--U 姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共4页） 数学试卷 第4页（共4页）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上. 11.已知集合{3,4,5,12,13}A =，{2,3,5,8,13}B =，则A B=I . 12.已知向量a 与b 的夹角为60︒，且a (2,6)=--，|b|10=，则a g b = .13.将函数ππ()sin()(0)22f x x ωφωφ=+>-，≤＜图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到sin y x =的图象，则π()6f = . 14.已知直线0x y a -+=与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于A ，B 两点，且AC BC ⊥，则实数a 的值为 .15.某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .（用数字作答）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问7分）已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和. （Ⅰ）求n a 及n S ；（Ⅱ）设{}n b 是首项为2的等比数列，公比q 满足244(1)0q a q S -++=.求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T .17.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问4分，（Ⅲ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如下：（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[5060)，与[6070)，中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[5070)，的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且8a b c ++=.（Ⅰ）若2a =，52b =，求cos C 的值；（Ⅱ）若22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=，且ABC △的面积9sin 2S C =，求a 和b 的值.19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）已知函数3()ln 42x a f x x x =+--，其中a ∈R ，且曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于直线12y x =.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间与极值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2AB =，π3BAD ∠=，M 为BC 上一点，且12BM =.（Ⅰ）证明：BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如图，设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =，12DF F △的面积为2.（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由.。

2014年重庆高考数学试题（文）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限 2．在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ） .100A .150B .200C .250C 4．下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x xD f x -=+s 为（ ）.19C D ．366．已知命题 :p 对任意x R ∈，总有||0x ≥；:1q x =是方程20x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ） .A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧A ．8．设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左．右焦点，双曲线上存在一点P 使得,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）A.2 B ．15 C ．4 D ．17 9．若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）A.326+ B ．327+ C ．346+ D ．347+10．已知函数13,(1,0](),1,(0,1]x f x x x x ⎧-∈-⎪=+⎨⎪∈⎩且()()g x f x mx m =--在(]1,1-内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．]21,0(]2,49(⋃--B ．]21,0(]2,411(⋃--C ．]32,0(]2,49(⋃--D ．]32,0(]2,411(⋃--二．填空题11．已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______．12．已知向量a 与b 的夹角为60，且(2,6),||10a b =--=，则a b ⋅=_________． 13．将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______． 14．已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆222440x y x y ++--=相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________．15．某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答） 三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16.（本小题满分13分．（I ）小问6分，（II ）小问5分）已知{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和． （I ）求n a 及n S ；（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q满足()01442=++-S q a q ，求{}n b 的通项公式及其前n 项和n T ．17．（本小题满分13分．（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频数直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数；（III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人， 求次2人的成绩都在[)7060，中的概率． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a （1）若25,2==b a ，求C cos 的值; （2）若C AB B A sin 22cos sin 2cossin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a和b 的值． 19．（本小题满分12分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切 线垂直于x y 21=（1）求a 的值；（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

2014 年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个备选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1．（5 分）（2014?重庆）实部为﹣ 2，虚部为 1 的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【剖析】依据复数的几何意义，即可获得结论．【解答】解：实部为﹣ 2，虚部为 1 的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，应选： B．2．（5 分）（2014?重庆）在等差数列A．5B．8{ a n } 中， a1=2， a3+a5=10，则 a7=（C．10D．14）【剖析】由题意可得a4=5，从而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列 { a n } 中 a1=2， a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得 a4=5，∴公差 d=，=1∴ a7=a1+6d=2+6=8应选： B．3．（5 分）（2014?重庆）某中学有高中生3500 人，初中生 1500 人，为认识学生的学习状况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70 人，则 n 为（）A．100B．150C．200D．250【剖析】计算分层抽样的抽取比率和整体个数，利用样本容量=整体个数×抽取比率计算 n 值．【解答】解：分层抽样的抽取比率为=，整体个数为 3500+1500=5000，∴样本容量 n=5000×=100．应选： A．4．（5 分）（2014?重庆）以下函数为偶函数的是（）A．f（ x） =x﹣1B．f （x）=x2+xx﹣2﹣ x．（）x+2﹣ xC．f（ x） =2 D f x=2【剖析】依据偶函数的定义，挨次剖析选项，先剖析函数的定义域，再剖析 f （﹣x）=f（x）能否建立，即可得答案．【解答】解：依据题意，挨次剖析选项：A、f（x）=x﹣1，其定义域为 R，f（﹣ x）=﹣x﹣1，f（﹣ x）≠f （x），不是偶函数，不切合题意；B、f（x）=x2+x，其定义域为 R，f（﹣ x）=x2﹣x，f（﹣ x）≠ f（x），不是偶函数，不切合题意；C、f （x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣ x）=2﹣x﹣ 2x，f（﹣ x） =﹣ f（ x），是奇函数不是偶函数，不切合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为 R，f（﹣ x）=2﹣x+2x，f（﹣ x）=f（ x），是偶函数，切合题意；应选： D．5．（5 分）（2014?重庆）履行如下图的程序框图，则输出s 的值为（）ArrayA．10B．17C．19D．36【剖析】依据框图的流程模拟运转程序，直到不知足条件k＜ 10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2× 2﹣ 1=3；第二次循环 S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环 S=5+5=10， k=2×5﹣1=9；第四次循环 S=10+9=19，k=2× 9﹣ 1=17，不知足条件 k＜10，跳出循环体，输出S=19．应选： C．6．（5 分）（2014?重庆）已知命题： p：对随意 x∈R，总有 | x| ≥0，q：x=1 是方程 x+2=0 的根；则以下命题为真命题的是（）A．p∧￢ q B．￢ p∧q C．￢ p∧￢ q D．p∧q【剖析】判断命题 p，q 的真假，利用复合命题的真假关系即可获得结论．【解答】解：依据绝对值的性质可知，对随意x∈ R，总有 | x| ≥ 0 建立，即 p 为真命题，当 x=1 时， x+2=3≠0，即 x=1 不是方程 x+2=0 的根，即 q 为假命题，则 p∧￢ q，为真命题，应选： A．7．（5 分）（2014?重庆）某几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为（）A．12B．18C．24D．30【剖析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，依据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及有关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为 3 和4 的直角三角形，∴几何体的体积V= ×3×4×5﹣× ×3×4×3=30﹣6=24．应选： C ．8．（ 5 分）（2014?重庆）设 1，F 2 分别为双曲线﹣（＞，＞）的左、 F=1 a0 b 0右焦点，双曲线上存在一点 P 使得（ | PF 1| ﹣| PF 2| ）2=b 2﹣ 3ab ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．4D ．【剖析】依据（| PF | ﹣| PF | ）22﹣ 3ab ，由双曲线的定义可得 （ 2a ）2 2﹣3ab ， 12=b=b 求得 a= ，c== b ，即可求出双曲线的离心率．【解答】 解：∵（ | PF 1| ﹣| PF 2| ）2=b 2 ﹣3ab ，∴由双曲线的定义可得（ 2a ）2 =b 2﹣3ab ，∴ 4a 2+3ab ﹣b 2=0，∴ a= ，∴ c==，b∴ e= = ．应选： D ．．（ 分）（ 2014? 重庆）若log 4（3a+4b ）=log 2 ，则a+b 的最小值是（）9 5A ．6+2B ．7+2C ．6+4D ．7+4【剖析】 利用对数的运算法例可得＞0，a ＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】 解：∵ 3a+4b ＞0，ab ＞ 0，∴ a ＞ 0．b ＞ 0∵ log 4（3a+4b ） =log 2 ，∴log4（3a+4b） =log4（ ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0．b＞0∴＞ 0，∴a＞ 4，则 a+b=a+=a+=a+3+= （ a ﹣ 4） ++7+7=4 +7，当且仅当 a=4+2取等．应选： D．分）（重庆）已知函数（），，10．（ 5f，且 g（ x）2014?x =，，=f（x）﹣ mx﹣m 在（﹣ 1， 1] 内有且仅有两个不一样的零点，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣，﹣2] ∪（0， ]B．（﹣，﹣2] ∪（0， ]C．（﹣，﹣2] ∪（0， ]D．（﹣，﹣ 2] ∪（0， ]【剖析】由 g（x）=f（x）﹣ mx﹣m=0，即 f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形联合即可获得结论．【解答】解：由 g（ x） =f（x）﹣ mx﹣m=0，即 f （x）=m（x+1），分别作出函数 f （x）和 y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知 f （1）=1， h（x）表示过定点 A（﹣ 1， 0）的直线，当 h（x）过（ 1， 1）时， m= 此时两个函数有两个交点，此时知足条件的m 的取值范围是0＜m≤，当 h（x）过（ 0，﹣ 2）时， h（ 0）=﹣2，解得 m=﹣ 2，此时两个函数有两个交点，当 h（x）与 f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即 m（x+1）2+3（ x+1）﹣ 1=0，当 m=0 时， x=，只有1解，当 m≠0，由△ =9+4m=0 得 m=﹣，此时直线和 f（ x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣ 2 或 0＜m≤，应选： A．二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，把答案填写在答题卡相应的地点上．11．（5 分）（ 2014?重庆）已知会合 A={ 3，4，5，12，13} ，B={ 2，3，5，8，13} ，则 A∩B= { 3，5，13}．【剖析】依据题意，剖析会合A、 B 的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：依据题意，会合 A={ 3， 4， 5， 12，13} ， B={ 2， 3，5，8，13} ，A、B 公共元素为 3、5、13，则 A∩B={ 3，5，13} ，故答案为： { 3， 5，13} ．．（分）（重庆）已知向量与的夹角为 60°，且（﹣，﹣）， |=，12 52014?= 2 6|则?= 10 ．【剖析】利用向量的模、夹角形式的数目积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣ 2，﹣ 6），∴，∴＜，＞=2=10．故答案为： 10．13．（ 5 分）（ 2014?重庆）将函数 f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为本来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度获得 y=sinx 的图象，则 f（）=．【剖析】由条件依据函数 y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 sin（ 2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得 2ω =1，且φ﹣ω =2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得 f（x）的分析式，从而求得 f （）的值．【解答】解：函数 f（x） =sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为本来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度获得函数y=sin[ 2ω（x﹣）+φ）]=sin（ 2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω =2kπ， k∈ Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴ f（ x）=sin（ x+ ），∴f（）=sin（ + ）=sin = ．故答案为：．14．（5 分）（ 2014?重庆）已知直线 x﹣y+a=0 与圆心为 C 的圆 x2+y2+2x﹣4y﹣ 4=0订交于 A、B 两点，且 AC⊥ BC，则实数 a 的值为0 或 6．【剖析】依据圆的标准方程，求出圆心和半径，依据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心 C（﹣ 1，2），半径 r=3，∵AC⊥BC，∴圆心 C 到直线 AB 的距离 d=，即 d==，即 | a﹣3| =3，解得 a=0 或 a=6，故答案为： 0 或 6．15．（ 5 分）（2014?重庆）某校清晨8：00 开始上课，假定该校学生小张与小王在清晨 7：30～7：50 之间到校，且每人在该时间段的任何时辰到校是等可能的，则小张比小王起码早 5 分钟到校的概率为（用数字作答）．【剖析】设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（ x，y）能够当作平面中的点试验的所有结果所组成的地区为Ω={（ x，y| 30≤x≤50，30≤y≤50} 是一个矩形地区，则小张比小王起码早 5 分钟到校事件 A={ （x， y） | y﹣x≥5} 作出切合题意的图象，由图依据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）能够当作平面中的点试验的所有结果所组成的地区为Ω={（x，y| 30≤x≤ 50，30≤ y≤ 50}是一个矩形地区，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王起码早 5 分钟到校事件 A={ x| y﹣x≥ 5} 作出切合题意的图象，则符合题意的地区为△ ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则 S△ABC= ×15×15，由几何概率模型可知小张比小王起码早 5 分钟到校的概率为=，故答案为：．三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（ 13 分）（ 2014?重庆）已知 { a n} 是首项为 1，公差为 2 的等差数列， S n表示{ a n} 的前 n 项和．（Ⅰ）求 a n及S n；（Ⅱ）设{ b n} 是首项为 2 的等比数列，公比为 q 知足 q2﹣（ a4+1）q+S4=0．求{ b n}的通项公式及其前n 项和 T n．【剖析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出 a4和 S4，代入 q2﹣（ a4+1）q+S4=0 求出等比数列的公比，而后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵ { a n } 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得， a4=7，S4=16．∵q2﹣（ a4+1）q+S4=0，即 q2﹣8q+16=0，∴（ q﹣4）2=0，即 q=4．又∵ { b n} 是首项为 2 的等比数列，∴．．17．（13 分）（2014?重庆） 20 名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频次散布直方图如图：（Ⅰ）求频次散布直方图中 a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[ 50，60）与 [ 60， 70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在 [ 50，70）的学生任选 2 人，求此 2 人的成绩都在 [ 60，70）中的概率．【剖析】（Ⅰ）依据频次散布直方图求出 a 的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在 [ 50，60）和 [ 60，70）的频次分别为0.1 和 0.15，用样本容量 20 乘以对应的频次，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出知足 [ 50，70）的基本领件，再找到在 [ 60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）依据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在 [ 50， 60）中的学生人数为 2×0.005×10×20=2，成绩落在 [ 60，70）中的学生人数为 3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在 [ 50，60）中的 2 人为 A， B，成绩落在 [ 60，70）中的 3 人为C，D，E，则成绩在 [ 50， 70）的学生任选 2 人的基本领件有 AB，AC， AD，AE， BC，BD，BE，CD， CE，DE共 10 个，此中 2 人的成绩都在 [ 60，70）中的基本领件有CD，CE，DE共 3 个，故所求概率为 P=．18．（13 分）（2014?重庆）在△ ABC中，内角 A、B、C 所对的边分别是a、b、c，且 a+b+c=8．（Ⅰ）若 a=2，b= ，求 cosC的值；22，且△的面积，求和的值．（Ⅱ）若 sinAcos+sinBcosa b=2sinC ABC S= sinC【剖析】（Ⅰ）由 a+b+c=8，依据 a=2，b= 求出 c 的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左侧利用二倍角的余弦函数公式化简，正弦函数公式及引诱公式变形，再利用正弦定理获得整理后利用两角和与差的a+b=3c，与 a+b+c=8 联立求出 a+b 的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S= sinC 求出 ab 的值，联立刻可求出 a 与 b 的值．【解答】解：（Ⅰ）∵ a=2，b= ，且 a+b+c=8，∴ c=8﹣（ a+b）= ，∴由余弦定理得： cosC==﹣；=22可得：+sinB?，（Ⅱ）由 sinAcos+sinBcossinA?=2sinC=2sinC整理得： sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴ sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得： a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S= absinC= sinC，∴ab=9②，联立①②解得： a=b=3．19．（ 12 分）（ 2014?重庆）已知函数f（ x）= + ﹣ lnx﹣，此中 a∈ R，且曲线y=f（x）在点（ 1， f（1））处的切线垂直于直线y= x．（Ⅰ）求 a 的值；（Ⅱ）求函数 f （x）的单一区间与极值．【剖析】（Ⅰ）由曲线 y=f（x）在点（ 1， f（1））处的切线垂直于直线y= x 可得f（′1）=﹣2，可求出 a 的值；（Ⅱ）依据（ I）可得函数的分析式和导函数的分析式，剖析导函数的符，从而可得函数 f（x）的单一区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵ f（x）= + ﹣ lnx﹣，∴ f ′（ x）= ﹣﹣，∵曲线 y=f（ x）在点（ 1，f（1））处的切线垂直于直线y= x．∴f （′ 1） = ﹣a﹣1=﹣2，解得： a= ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知： f（ x） = +﹣lnx﹣，f ′（x）= ﹣﹣=（x＞0），令 f ′（x） =0，解得 x=5，或 x=﹣ 1（舍），∵当 x∈（ 0，5）时， f ′（x）＜ 0，当 x∈（ 5，+∞）时， f ′（x）＞ 0，故函数 f（x）的单一递加区间为（ 5，+∞）；单一递减区间为（ 0， 5）；当 x=5 时，函数取极小值﹣ ln5．20．（ 12 分）（ 2014?重庆）如图，四棱锥 P﹣ABCD中，底面是以O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD， AB=2，∠ BAD= ，M 为 BC上一点，且 BM= ．（Ⅰ）证明： BC⊥平面 POM；（Ⅱ）若 MP⊥AP，求四棱锥 P﹣ABMO 的体积．【剖析】（Ⅰ）连结 OB，依据底面是以 O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD，AB=2，∠BAD= ，M 为 BC上一点，且 BM= ，联合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得 OM⊥BC及 PO⊥BC，从而由线面垂直的判断定理获得 BC⊥平面 POM；（Ⅱ）设 PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出 PO 的值，及四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O 为中心的菱形， PO⊥底面 ABCD，故 O 为底面 ABCD的中心，连结 OB，则 AO⊥OB，∵ AB=2，∠ BAD= ，∴ OB=AB?sin∠ BAO=2sin（）=1，又∵ BM= ，∠ OBM= ，∴在△ OBM 中， OM2=OB2+BM2﹣2OB?BM?cos∠ OBM= ，即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，∴OM⊥BC，又∵ PO⊥底面 ABCD，BC? 底面 ABCD，∴ PO⊥BC，又∵ OM∩PO=O， OM，PO? 平面 POM，∴ BC⊥平面 POM；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得： OA=AB?cos∠BAO=2cos（）=，设PO=a，由PO⊥底面ABCD可得：△POA为直角三角形，故 PA2=PO2+OA2=a2+3，由△ POM 也为直角三角形得：PM2=PO2+OM2=a2+ ，连结 AM，在△ ABM 中，AM2=AB2+BM2﹣2AB?BM?cos∠ABM==，由 MP⊥AP 可知：△ APM 为直角三角形，22222则 AM =PA+PM ，即 a +3+a + = ，解得 a=，即 PO=，此时四棱锥 P﹣ABMO 的底面积 S=S△AOB+S△BOM，= ?AO?OB+ ?BM?OM=∴四棱锥 P﹣ABMO 的体积 V= S?PO=21．（12 分）（2014?重庆）如图，设椭圆+（＞＞）的左右焦点分别为=1 a b01，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1 2，丨丨，△ 1 2的面积为．丨 =2F F丨DF F（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）能否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在 x 轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不一样的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明原因．【剖析】（Ⅰ）设 F（1﹣ c，0），F（2c，0），依题意，可求得 c=1，易求得 | DF1| ==，| DF2| =，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 订交， P1（x1，y1），P2（ x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知 x2=﹣x1，y1 =y2，|P1P2| =2| x1| ，由 F1P1⊥F2P2，得 x1=﹣或 x1=0，分类议论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设 F1（﹣ c， 0），F2（ c，0），此中 c2=a2﹣b2，丨丨| =，由丨 =2，得 | DF1=丨c从而=| DF1|| F1F2| =c2=，故 c=1．从而 | DF1| =，由 DF1⊥F1F2，得=+= ，所以 | DF2| =，所以 2a=| DF1|+| DF2| =2，故 a=，b2=a2﹣c2=1，所以，所求椭圆的标准方程为+y2；=1（Ⅱ）设圆心在 y 轴上的圆 C 与椭圆+y2=1 订交， P1（x1，y1），P2（ x2，y2）是两个交点，y1＞ 0， y2＞0，F1P1，F2P2是圆 C 的切线，且F1P1⊥ F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知 x2=﹣x1，y1=y2，| P1P2| =2| x1| ，由（Ⅰ）知 F1（﹣ 1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣ x1﹣ 1，），再由 F1 1⊥F2 2，得﹣+，y1PP=0由椭圆方程得 1﹣=，即 3+4x1，解得 1 ﹣或x1 ．=0x ==0当 x1时， 1，P2 重合，此时题设要求的圆不存在；=0P当 x1﹣时，过 P1，P2，分别与 F1 1， F2 2 垂直的直线的交点即为圆心C，设 C =P P（0，y0）由F ，F是圆 C的切线，知 CP ⊥F，得﹣，而| =| x +1| = ，1P1 2P211P1?= 1 | y11故 y0= ，故圆 C的半径 | CP| ==．1综上，存在知足题设条件的圆，其方程为x2+= ．。

一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限2. 在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）.5A .8B .10C .14D3. 某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）.100A .150B .200C .250D【答案】A 【解析】试题分析：()70350015*********n =+⨯=.故选A. 考点：分层抽样.4. 下列函数为偶函数的是（ ）.()1A f x x =- 2.()B f x x x =+ .()22xxC f x -=- .()22xxD f x -=+5. 执行如题（5）图所示的程序框图，则输出s 的值为（ ）.10A .17B .19C .36D【答案】C 【解析】试题分析：2,0k s ==;10k <成立，运行第一次，2,3s k ==;10k <成立，运行第二次，5,5s k ==10k <成立，运行第三次，10,9s k ==10k <成立，运行第四次，19,17s k ==10k <不成立，输出19s =故选C.考点：循环结构.6. 已知命题:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥； :1q x =是方程20x +=的根,则下列命题为真命题的是( ).A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧⌝ .D p q ∧7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.12B.18C.24D.308.设21F F ，分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得2212(||||)3,PF PF b ab -=-则该双曲线的离心率为( )A.2B.15C.4D.179.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是( )A.326+B.327+C.346+D.347+ 【答案】D 【解析】试题分析：由题意，0,ab >且340a b +>，所以0,0a b >>. 又()42log 34log a b ab +=，所以，34a b ab +=，所以431a b+=.10.11.已知函数13,(1,0](),()()1,1]1,(0,1]x f x g x f x mx m x x x ⎧-∈-⎪==---+⎨⎪∈⎩且在（内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A.91(,2](0,]42--B.111(,2](0,]42-- C.92(,2](0,]43-- D.112(,2](0,]43--【答案】A 【解析】 试题分析：二、填空题：本在题共5小题，第小题5分，共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11. 已知集合{3,4,5,12,13},{2,3,5,8,13}A B ==，则A B =_______.12. 已知向量=⋅=--=b a b a b a则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.13. 将函数()()⎪⎭⎫⎝⎛<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则=⎪⎭⎫⎝⎛6πf ______.14. 已知直线0=+-a y x 与圆心为C 的圆044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且BCAC ，则实数a的值为_________.15.某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____（用数字作答）所以()1151592202032DEFABCDSP AS∆⨯⨯===⨯正方形所以答案应填：932.考点：几何概型.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题满分13分.（I）小问6分，（II）小问7分）已知{}n a是首项为1，公差为2的等差数列，n S表示{}n a的前n项和.（I）求na及nS；（II）设{}n b是首项为2的等比数列，公比q满足()01442=++-Sqaq，求{}n b的通项公式及其前n项和nT.又因12b =，是{}n b 公比4q =的等比数列，所以11211242n n n n b b q ---==⋅=从而{}n b 的前n 项和()()1124113n nn b q T q-==-- 考点：1、等差数列的通项公式与前n 项和公式；2、等比数列的通项公式与前n 项和公式17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：（I ）求频率分布直方图中a 的值；（II ）分别球出成绩落在[)6050，与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，的学生中人选2人，求此2人的成绩都在[)7060，中的概率. 【答案】（I ）0.005a =；（II ）2,3；（III ）310. 【解析】试题分析：（I ）由频率分布直方图的意义可知，图中五个小长方形的面积之和为1，由此列方程即可求得.（II ）根据（I ）的结果，分别求出成绩落在[)6050，与[)7060，的频率值，分别乘以学生总数即得相应的频18.（本小题满分13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分）在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a（Ⅰ）若25,2==b a ，求C cos 的值; （Ⅱ）若C A B B A sin 22cos sin 2cos sin 22=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a 和b 的值.【答案】（Ⅰ）15-；（Ⅱ）3,3a b ==.【解析】试题分析：（Ⅰ）由8=++c b a 及25,2==b a 可得72c =，而后由余弦定理可求C cos 的值; （Ⅱ）由降幂公式C A B B A sin 22cos sin 2cossin 22=+1cos 1cos sin sin 2sin 22B A A BC ++⇒⋅+⋅= sin sin 3sin 3A B C a b c ⇒+=⇒+=19.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分） 已知函数23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线垂直于x y 21=. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数)(x f 的单调区间与极值.20.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分） 如题（20）图，四棱锥P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，2,3AB BAD π=∠=，M 为BC 上一点，且12BM=. （Ⅰ）证明：BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）516. 【解析】试题分析：（Ⅰ）因为PO ⊥底面ABCD ，所以有PO BC ⊥，因此欲证BC ⊥平面POM ，只要证BC OM ⊥，而这一点可通过连结OB ，利用菱形学科网的性质及勾股定理解决.（Ⅱ）欲求四棱锥P ABMO -的体积.，必须先求出PO ,连结AM ，设PO x =，在ABM ∆利用余弦定理求出||AM ，由三个直角三角形,,PAO PMO PAM ，依据勾股定理建立关于x 的方程即可. 试题解析： 解：由POM ∆也是直角三角形，故222234PM PO OM a =+=+21.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）如题（21）图，设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点D 在椭圆上，112DF F F ⊥，121||22||F F DF =12DF F ∆的面积为22. （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.从而122112122222DF F S DF F F c ∆=⋅==故1c =.从而122DF =，由112DF F F ⊥得222211292DF DF F F =+=，因此2322DF =.所以12222a DF DF =+=，故2222,1a b a c ==-=因此，所求椭圆的标准方程为：2212x y +=。

高考文科数学真题（重庆卷）2014年(总分150, 做题时间120分钟)[*]一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（）SSS_SINGLE_SELA 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2.SSS_SINGLE_SELA 5B 8C 10D 143.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）SSS_SINGLE_SELA 100B 150C 200D 2504.下列函数为偶函数的是（）SSS_SINGLE_SELABCD5.执行右图所示的程序框图，则输出的s为（）SSS_SINGLE_SELA 10B 17C 19D 366.SSS_SINGLE_SELABCD7.某几何体的三视图如下图，则几何体的体积为（）SSS_SINGLE_SELA 12B 18C 24D 308.SSS_SINGLE_SELABCD9.SSS_SINGLE_SELABCD10.SSS_SINGLE_SELABCD二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.SSS_FILL12.SSS_FILL13.SSS_FILL14.SSS_FILL15.某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为__________ （用数字作答）SSS_FILL三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，学科网证明过程或演算步骤.SSS_TEXT_QUSTI1.SSS_TEXT_QUSTI2.SSS_TEXT_QUSTI1.SSS_TEXT_QUSTI2.SSS_TEXT_QUSTI3.SSS_TEXT_QUSTI 1.SSS_TEXT_QUSTI 2.SSS_TEXT_QUSTI 1.SSS_TEXT_QUSTI 2.SSS_TEXT_QUSTI 1.SSS_TEXT_QUSTI 2.SSS_TEXT_QUSTI1.求该椭圆的标准方程；SSS_TEXT_QUSTI 2.1。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,文1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.2.(2014重庆,文2)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=().A.5B.8C.10D.14答案:B解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.3.(2014重庆,文3)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为().A.100B.150C.200D.250答案:A解析:由题意知,抽样比为703500=150,所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.4.(2014重庆,文4)下列函数为偶函数的是().A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案:D解析:由题意知,所给四个函数其定义域均为R,关于原点对称.由偶函数的定义知,选项A,B,C中函数均不满足f(-x)=f(x).而D选项中,f(-x)=2-x+2x=f(x),显然为偶函数,故选D.5.(2014重庆,文5)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为().A.10B.17C.19D.36答案:C解析:执行过程如下:k=2,s=0;经判断执行“是”,此时s=0+2=2,k=3;经判断执行“是”,此时s=2+3=5,k=5;经判断执行“是”,此时s=5+5=10,k=9;经判断执行“是”,此时s=10+9=19,k=17;经判断执行“否”,此时输出s=19.故选C.6.(2014重庆,文6)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是().A.p∧ qB. p∧qC. p∧ qD.p∧q答案:A解析:由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以 p为假, q为真.所以p∧ q为真, p∧q为假, p∧ q为假,p∧q为假.故选A.7.(2014重庆,文7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.12B.18C.24D.30答案:C解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,为直三棱柱ABC-A1B1C1截掉了三棱锥D-A1B1C1,所以其体积V=V ABC-A1B1C1−V D-A1B1C1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24.8.(2014重庆,文8)设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为().A.√2B.√15C.4D.√17答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b 2a2-3·ba=4,解得ba=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2,所以e=√17.故选D.9.(2014重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是().A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3答案:D解析:由log4(3a+4b)=log2√ab,得12log2(3a+4b)=12log2(ab),所以3a+4b=ab,即3b+4a=1.所以a+b=(a+b)(3b +4a)=3ab+4ba+7≥4√3+7,当且仅当3ab=4ba,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D.10.(2014重庆,文10)已知函数f(x)={1x+1-3,x∈(-1,0],x,x∈(0,1],且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是().A.(-94,-2]∪(0,12]B.(-114,-2]∪(0,12]C.(-94,-2]∪(0,23]D.(-114,-2]∪(0,23]答案:A解析:由题意画出f(x)的图象,如图所示.令g(x)=f(x)-mx-m=0,得f(x)=m(x+1),所以g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,可转化为y=f(x)与y=m(x+1)的图象在(-1,1]上有且仅有两个不同的交点.y=m(x+1)是过定点(-1,0)的一条直线,m是其斜率.由数形结合知,符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间.因为l4与y=f(x)相切,所以1x+1-3=m(x+1)有两个相等的实根,即m(x+1)2+3(x+1)-1=0有两个相等的实根,即Δ=9+4m=0,解得m=-94.设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,易求k1=0,k2=12,k3=-2,所以m∈(-94,-2]∪(0,12].二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,文11)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=.答案:{3,5,13}解析:由已知条件,结合交集运算,可得A∩B={3,5,13}.12.(2014重庆,文12)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a·b=. 答案:10解析:由题意得|a|=2√10,所以ab=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×12=10.13.(2014重庆,文13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=.答案:√22解析:本题可逆推,由y=sin x的图象推f(x)=sin(ωx+φ)的图象.将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.14.(2014重庆,文14)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a 的值为.答案:0或6解析:由题意,得圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC ⊥BC ,所以圆心C 到直线x-y+a=0的距离d=√2=√22r=3√22,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.15.(2014重庆,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 .(用数字作答) 答案:932解析:用x 轴表示小张到校时刻,用y 轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x ,小王到校的时刻为y ,则x-y ≥5.由题意,知0≤x ≤20,0≤y ≤20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.由{x -y =5,x =20得A (20,15).易知B (20,20),C (5,0),D (20,0). 由几何概型概率公式,得所求概率P=S △ACDS 正方形ODBE=12×15×1520×20=932. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分)(2014重庆,文16)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .分析:通过已知条件,借助等差数列的通项公式以及前n 项和公式,即可求出a n 和S n ;在第(2)问充分利用第(1)问的结论,求出a 4,S 4并代入方程,求出q ,然后利用等比数列通项公式及前n 项和公式可求出结果. 解:(1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16. 因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0, 即q 2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列, 所以b n =b 1q n-1=2·4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q=23(4n -1).17.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问4分,(3)小问5分)(2014重庆,文17)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.分析:由频率分布直方图各小矩形面积和为1,可列出关于a 的方程,然后解方程求出a 的值;在第(2)问中,利用第(1)问的结果,分别计算得出[50,60)与[60,70)的频率,然后根据频率公式求出频数;在第(3)问中,利用第(2)问的结果得出成绩在[50,70)的人数,然后分别用字母来表示来自[50,60),[60,70)的人,并列出所有基本事件,再利用古典概型的概率公式求出概率.解:(1)据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a )×10=1,解得a=1200=0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2. 成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1,A 2,成绩落在[60,70)中的3人为B 1,B 2,B 3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3).其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),故所求概率为p=310.18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,文18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a+b+c=8,(1)若a=2,b=52,求cos C 的值;(2)若sin A cos 2B 2+sin B cos 2A 2=2sin C ,且△ABC 的面积S=92sin C ,求a 和b 的值.分析:先通过已知条件,求出c ,然后借助余弦定理求出cos C 的值;在第(2)问中,利用已知条件中的关系式,根据二倍角公式,得到sin A ,sin B ,sin C 之间的关系,然后借助正弦定理转化为边的关系,再结合已知条件列出关于a ,b 的方程组,求出a ,b 的值. 解:(1)由题意可知:c=8-(a+b )=72.由余弦定理得,cos C=a 2+b 2-c 22ab=22+(52)2-(72)22×2×52=-15.(2)由sin A cos 2B2+sin B cos 2A 2=2sin C 可得: sin A ·1+cosB 2+sin B ·1+cosA2=2sin C , 化简得sin A+sin A cos B+sin B+sin B cos A=4sin C. 因为sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B )=sin C , 所以sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知:a+b=3c. 又因a+b+c=8,故a+b=6.由于S=12ab sin C=92sin C ,所以ab=9, 从而a 2-6a+9=0,解得a=3,b=3.19.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文19)已知函数f (x )=x 4+a x-ln x-32,其中a ∈R ,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.分析:利用已知条件得切线的斜率为-2,然后求出f (x )在x=1处的导数,列出关于a 的方程,求出a 的值;在第(2)问中,充分利用导数判断函数单调性与极值的方法,求导后转化为求方程f'(x )=0,然后判断f'(x )在每个区间的符号,在求解过程中要注意函数的定义域. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=14−a x 2−1x ,由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x ,知f'(1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)由(1)知f (x )=x 4+54x -ln x-32, 则f'(x )=x 2-4x -54x 2, 令f'(x )=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x ∈(0,5)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,5)内为减函数; 当x ∈(5,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f (x )在x=5时取得极小值f (5)=-ln 5.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,文20)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB=2,∠BAD=π3,M 为BC 上一点,且BM=12.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.分析:先利用平面几何的方法,求出OB,然后在△OBM中,借助余弦定理求出OM的值,运用勾股定理的逆定理,得出线线垂直,再结合已知条件,利用线面垂直的判定定理,得出BC⊥平面POM;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到OA的长度,然后分别在△POM,△ABM,△POA中借助余弦定理得到关于PO的方程,求出PO的长度,再分别计算△AOB与△OMB的面积得出四边形ABMO的面积,最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P-ABMO 的体积.(1)证明:如图,因ABCD为菱形,O为菱形中心,连结OB,则AO⊥OB.因∠BAD=π3,故OB=AB·sin∠OAB=2sinπ6=1,又因BM=12,且∠OBM=π3,在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+(12)2-2·1·12·cosπ3=34.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)解:由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cosπ6=√3.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.由△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2= a2+34.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+(12)2-2·2·12·cos2π3=214.由已知MP⊥AP,故△APM为直角三角形, 则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+34=214,得a=√32,a=-√32(舍去),即PO=√32.此时S ABMO=S△AOB+S△OMB=12·AO ·OB+12·BM ·OM =12×√3×1+12×12×√32=5√38. 所以四棱锥P-ABMO 的体积V P-ABMO =13·S ABMO ·PO=13×5√38×√32=516. 21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文21)如图,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=2√2,△DF 1F 2的面积为√22.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.分析:先通过已知条件,借助a ,b ,c 之间的关系,转化为关于a ,b ,c 的方程,然后利用a ,b ,c 的几何意义,求出a ,b ,c 的值,从而得到椭圆的标准方程;在第(2)问中,充分利用数形结合的思想方法,首先设出交点P 1,P 2的坐标,然后写出向量F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,再由F 1P 1⊥F 2P 2列出关于x 1的方程求出x 1,得到圆心坐标,最后利用两点间的距离公式求出半径得到圆的方程.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2√2得|DF 1|=122√2=√22c.从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=√22c 2=√22,故c=1.从而|DF 1|=√22,由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3√22. 所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2√2,故a=√2,b 2=a 2-c 2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2.由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0),所以F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0.由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0.解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y1x 1+1=-1. 而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=√(-43)2+(13-53)2=4√23. 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+(y -53)2=329.。

2014年高考文科数学重庆卷解析版2014年普通高等学校招生考试（重庆卷）数学文科试题答案及解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.1.实部为-2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 【答案】B【解析】实部为横坐标，虚部为纵坐标。

2.在等差数列{}na 中，1352,10aa a =+=,则7______a=A.5B.8C.10D.14 【答案】B【解析】将条件全部化成1a d 和:112410a d a d +++=,解得1d =,于是7168aa d =+=.考察关于等差数列的基本运算，属于简单题.3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本。

已知从高中生中抽取70人，则n 为（）A.100B.150C.200D.250【答案】A【解析】高中生在总体中所占的比例，与样本中所占的比例相等，也就是有：3500701005000n n=⇒=。

考察分层抽样的简单计算.4.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =-B.()2f x x x=+ C.()22xxf x -=-D.()22xxf x -=+【答案】D【解析】利用奇偶性的判断法则：()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。

即可得到答案为D 。

考察最简单的奇偶性判断.5.执行如图所示的程序框图，则输出s 的值为（）A.10B.17C.19D.36 【答案】C【解析】按照程序框图问题的计算方法，按照程序所给步骤进行计算：0,22,35,510,919,17s k s k s k s k s k ==→==→==→==→==→结束【点评】：本题考查了对程序框图循环结构的理解。

2014年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)数学(文史类)一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2014重庆,文1)实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:B解析:由题意知,该复数在复平面内对应的点为(-2,1),所以该点位于复平面的第二象限.故选B.2.(2014重庆,文2)在等差数列{a n}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=().A.5B.8C.10D.14答案:B解析:由等差数列的性质,可知a1+a7=a3+a5.因为a1=2,a3+a5=10,所以a7=8.故选B.3.(2014重庆,文3)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为().A.100B.150C.200D.250答案:A解析:由题意知,抽样比为703500=150,所以n3500+1500=150,即n=100.故选A.4.(2014重庆,文4)下列函数为偶函数的是().A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案:D解析:由题意知,所给四个函数其定义域均为R,关于原点对称.由偶函数的定义知,选项A,B,C中函数均不满足f(-x)=f(x).而D选项中,f(-x)=2-x+2x=f(x),显然为偶函数,故选D.5.(2014重庆,文5)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为().A.10B.17C.19D.36答案:C解析:执行过程如下:k=2,s=0;经判断执行“是”,此时s=0+2=2,k=3;经判断执行“是”,此时s=2+3=5,k=5;经判断执行“是”,此时s=5+5=10,k=9;经判断执行“是”,此时s=10+9=19,k=17;经判断执行“否”,此时输出s=19.故选C.6.(2014重庆,文6)已知命题p:对任意x∈R,总有|x|≥0;q:x=1是方程x+2=0的根.则下列命题为真命题的是().A.p∧ qB. p∧qC. p∧ qD.p∧q答案:A解析:由题意知,命题p为真命题,命题q为假命题,所以 p为假, q为真.所以p∧ q为真, p∧q为假, p∧ q为假,p∧q为假.故选A.7.(2014重庆,文7)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为().A.12B.18C.24D.30答案:C解析:由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,为直三棱柱ABC-A1B1C1截掉了三棱锥D-A1B1C1,所以其体积V=V ABC-A1B1C1−V D-A1B1C1=12×3×4×5-13×12×3×4×3=24.8.(2014重庆,文8)设F1,F2分别为双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得(|PF1|-|PF2|)2=b2-3ab,则该双曲线的离心率为().A.√2B.√15C.4D.√17答案:D解析:由双曲线的定义知,(|PF1|-|PF2|)2=4a2,所以4a2=b2-3ab,即b 2a2-3·ba=4,解得ba=4(-1舍去).因为双曲线的离心率e=ca =√1+b2a2,所以e=√17.故选D.9.(2014重庆,文9)若log4(3a+4b)=log2√ab,则a+b的最小值是().A.6+2√3B.7+2√3C.6+4√3D.7+4√3答案:D解析:由log4(3a+4b)=log2√ab,得12log2(3a+4b)=12log2(ab),所以3a+4b=ab,即3b+4a=1.所以a+b=(a+b)(3b +4a)=3ab+4ba+7≥4√3+7,当且仅当3ab=4ba,即a=2√3+4,b=3+2√3时取等号.故选D.10.(2014重庆,文10)已知函数f(x)={1x+1-3,x∈(-1,0],x,x∈(0,1],且g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,则实数m的取值范围是().A.(-94,-2]∪(0,12]B.(-114,-2]∪(0,12]C.(-94,-2]∪(0,23]D.(-114,-2]∪(0,23]答案:A解析:由题意画出f(x)的图象,如图所示.令g(x)=f(x)-mx-m=0,得f(x)=m(x+1),所以g(x)=f(x)-mx-m在(-1,1]内有且仅有两个不同的零点,可转化为y=f(x)与y=m(x+1)的图象在(-1,1]上有且仅有两个不同的交点.y=m(x+1)是过定点(-1,0)的一条直线,m是其斜率.由数形结合知,符合题意的直线位于l1(x轴)与l2之间和l3与l4(切线)之间.因为l4与y=f(x)相切,所以1x+1-3=m(x+1)有两个相等的实根,即m(x+1)2+3(x+1)-1=0有两个相等的实根,即Δ=9+4m=0,解得m=-94.设直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,易求k1=0,k2=12,k3=-2,所以m∈(-94,-2]∪(0,12].二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.11.(2014重庆,文11)已知集合A={3,4,5,12,13},B={2,3,5,8,13},则A∩B=.答案:{3,5,13}解析:由已知条件,结合交集运算,可得A∩B={3,5,13}.12.(2014重庆,文12)已知向量a与b的夹角为60°,且a=(-2,-6),|b|=√10,则a·b=. 答案:10解析:由题意得|a|=2√10,所以ab=|a||b|cos<a,b>=2√10×√10×12=10.13.(2014重庆,文13)将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π2≤φ<π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度得到y=sin x的图象,则f(π6)=.答案:√22解析:本题可逆推,由y=sin x的图象推f(x)=sin(ωx+φ)的图象.将y=sin x的图象向左平移π6个单位长度得到y=sin(x+π6)的图象,再保持纵坐标不变,横坐标伸长为原来的两倍,得到f(x)=sin(12x+π6)的图象.所以f(π6)=sin(π12+π6)=sinπ4=√22.14.(2014重庆,文14)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a 的值为.答案:0或6解析:由题意,得圆心C的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC⊥BC,所以圆心C到直线x-y+a=0的距离d=√2=√2 2r=3√22,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.15.(2014重庆,文15)某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.(用数字作答)答案:932解析:用x轴表示小张到校时刻,用y轴表示小王到校时刻,建立如图直角坐标系.设小张到校的时刻为x,小王到校的时刻为y,则x-y≥5.由题意,知0≤x≤20,0≤y≤20,可得可行域如图所示,其中,阴影部分表示小张比小王至少早5分钟到校.由{x -y =5,x =20得A (20,15).易知B (20,20),C (5,0),D (20,0). 由几何概型概率公式,得所求概率P=S △ACD S 正方形ODBE=12×15×1520×20=932. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分13分,(1)小问6分,(2)小问7分)(2014重庆,文16)已知{a n }是首项为1,公差为2的等差数列,S n 表示{a n }的前n 项和. (1)求a n 及S n ;(2)设{b n }是首项为2的等比数列,公比q 满足q 2-(a 4+1)q+S 4=0.求{b n }的通项公式及其前n 项和T n .分析:通过已知条件,借助等差数列的通项公式以及前n 项和公式,即可求出a n 和S n ;在第(2)问充分利用第(1)问的结论,求出a 4,S 4并代入方程,求出q ,然后利用等比数列通项公式及前n 项和公式可求出结果. 解:(1)因为{a n }是首项a 1=1,公差d=2的等差数列,所以a n =a 1+(n-1)d=2n-1. 故S n =1+3+…+(2n-1)=n (a 1+a n )2=n (1+2n -1)2=n 2. (2)由(1)得a 4=7,S 4=16. 因为q 2-(a 4+1)q+S 4=0, 即q 2-8q+16=0, 所以(q-4)2=0,从而q=4.又因b 1=2,{b n }是公比q=4的等比数列, 所以b n =b 1q n-1=2·4n-1=22n-1. 从而{b n }的前n 项和T n =b 1(1-q n )1-q =23(4n -1).17.(本小题满分13分,(1)小问4分,(2)小问4分,(3)小问5分)(2014重庆,文17)20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如下:(1)求频率分布直方图中a 的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.分析:由频率分布直方图各小矩形面积和为1,可列出关于a 的方程,然后解方程求出a 的值;在第(2)问中,利用第(1)问的结果,分别计算得出[50,60)与[60,70)的频率,然后根据频率公式求出频数;在第(3)问中,利用第(2)问的结果得出成绩在[50,70)的人数,然后分别用字母来表示来自[50,60),[60,70)的人,并列出所有基本事件,再利用古典概型的概率公式求出概率.解:(1)据直方图知组距=10,由(2a+3a+6a+7a+2a )×10=1,解得a=1200=0.005. (2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A 1,A 2,成绩落在[60,70)中的3人为B 1,B 2,B 3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个:(A 1,A 2),(A 1,B 1),(A 1,B 2),(A 1,B 3),(A 2,B 1),(A 2,B 2),(A 2,B 3),(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3).其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个:(B 1,B 2),(B 1,B 3),(B 2,B 3),故所求概率为p=310.18.(本小题满分13分,(1)小问5分,(2)小问8分)(2014重庆,文18)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a+b+c=8,(1)若a=2,b=52,求cos C 的值;(2)若sin A cos 2B 2+sin B cos 2A 2=2sin C ,且△ABC 的面积S=92sin C ,求a 和b 的值.分析:先通过已知条件,求出c ,然后借助余弦定理求出cos C 的值;在第(2)问中,利用已知条件中的关系式,根据二倍角公式,得到sin A ,sin B ,sin C 之间的关系,然后借助正弦定理转化为边的关系,再结合已知条件列出关于a ,b 的方程组,求出a ,b 的值. 解:(1)由题意可知:c=8-(a+b )=72.由余弦定理得,cos C=a 2+b 2-c 22ab=22+(52)2-(72)22×2×52=-15. (2)由sin A cos 2B 2+sin B cos 2A2=2sin C 可得:sin A ·1+cosB 2+sin B ·1+cosA2=2sin C ,化简得sin A+sin A cos B+sin B+sin B cos A=4sin C. 因为sin A cos B+cos A sin B=sin(A+B )=sin C , 所以sin A+sin B=3sin C. 由正弦定理可知:a+b=3c. 又因a+b+c=8,故a+b=6.由于S=12ab sin C=92sin C ,所以ab=9, 从而a 2-6a+9=0,解得a=3,b=3.19.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文19)已知函数f (x )=x 4+a x-ln x-32,其中a ∈R ,且曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x. (1)求a 的值;(2)求函数f (x )的单调区间与极值.分析:利用已知条件得切线的斜率为-2,然后求出f (x )在x=1处的导数,列出关于a 的方程,求出a 的值;在第(2)问中,充分利用导数判断函数单调性与极值的方法,求导后转化为求方程f'(x )=0,然后判断f'(x )在每个区间的符号,在求解过程中要注意函数的定义域. 解:(1)对f (x )求导得f'(x )=14−a x 2−1x ,由f (x )在点(1,f (1))处的切线垂直于直线y=12x ,知f'(1)=-34-a=-2,解得a=54.(2)由(1)知f (x )=x 4+54x -ln x-32,则f'(x )=x 2-4x -54x 2,令f'(x )=0,解得x=-1或x=5.因x=-1不在f (x )的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当x ∈(0,5)时,f'(x )<0,故f (x )在(0,5)内为减函数; 当x ∈(5,+∞)时,f'(x )>0,故f (x )在(5,+∞)内为增函数. 由此知函数f (x )在x=5时取得极小值f (5)=-ln 5.20.(本小题满分12分,(1)小问4分,(2)小问8分)(2014重庆,文20)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面是以O 为中心的菱形,PO ⊥底面ABCD ,AB=2,∠BAD=π3,M 为BC 上一点,且BM=12.(1)证明:BC ⊥平面POM ;(2)若MP ⊥AP ,求四棱锥P-ABMO 的体积.分析:先利用平面几何的方法,求出OB ,然后在△OBM 中,借助余弦定理求出OM 的值,运用勾股定理的逆定理,得出线线垂直,再结合已知条件,利用线面垂直的判定定理,得出BC ⊥平面POM ;在第(2)问中,充分利用第(1)问的结论,得到OA 的长度,然后分别在△POM ,△ABM ,△POA 中借助余弦定理得到关于PO 的方程,求出PO 的长度,再分别计算△AOB 与△OMB 的面积得出四边形ABMO 的面积,最后根据棱锥的体积公式求出四棱锥P-ABMO 的体积.(1)证明:如图,因ABCD 为菱形,O 为菱形中心,连结OB ,则AO ⊥OB.因∠BAD=π3,故OB=AB ·sin ∠OAB=2sin π6=1,又因BM=12,且∠OBM=π3,在△OBM 中,OM 2=OB 2+BM 2-2OB ·BM ·cos ∠OBM=12+(12)2-2·1·12·cos π3=34. 所以OB 2=OM 2+BM 2,故OM ⊥BM. 又PO ⊥底面ABCD ,所以PO ⊥BC.从而BC 与平面POM 内两条相交直线OM ,PO 都垂直,所以BC ⊥平面POM.(2)解:由(1)可得,OA=AB ·cos ∠OAB=2·cos π6=√3.设PO=a ,由PO ⊥底面ABCD 知,△POA 为直角三角形, 故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3.由△POM 也是直角三角形,故PM 2=PO 2+OM 2= a 2+34.连结AM ,在△ABM 中,AM 2=AB 2+BM 2-2AB ·BM ·cos ∠ABM=22+(12)2-2·2·12·cos 2π3=214. 由已知MP ⊥AP ,故△APM 为直角三角形, 则PA 2+PM 2=AM 2, 即a 2+3+a 2+34=214,得a=√32,a=-√32(舍去),即PO=√32.此时S ABMO =S △AOB +S △OMB=12·AO ·OB+12·BM ·OM=12×√3×1+12×12×√32=5√38. 所以四棱锥P-ABMO 的体积V P-ABMO =13·S ABMO ·PO=13×5√38×√32=516. 21.(本小题满分12分,(1)小问5分,(2)小问7分)(2014重庆,文21)如图,设椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,点D 在椭圆上,DF 1⊥F 1F 2,|F 1F 2||DF 1|=2√2,△DF 1F 2的面积为√22.(1)求该椭圆的标准方程;(2)是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程;若不存在,请说明理由.分析:先通过已知条件,借助a ,b ,c 之间的关系,转化为关于a ,b ,c 的方程,然后利用a ,b ,c 的几何意义,求出a ,b ,c 的值,从而得到椭圆的标准方程;在第(2)问中,充分利用数形结合的思想方法,首先设出交点P 1,P 2的坐标,然后写出向量F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,再由F 1P 1⊥F 2P 2列出关于x 1的方程求出x 1,得到圆心坐标,最后利用两点间的距离公式求出半径得到圆的方程.解:(1)设F 1(-c ,0),F 2(c ,0),其中c 2=a 2-b 2.由|F 1F 2||DF 1|=2√2得|DF 1|=1F 222=√22c. 从而S △DF 1F 2=12|DF 1||F 1F 2|=√22c 2=√22,故c=1.从而|DF 1|=√22,由DF 1⊥F 1F 2得|DF 2|2=|DF 1|2+|F 1F 2|2=92,因此|DF 2|=3√22. 所以2a=|DF 1|+|DF 2|=2√2,故a=√2,b 2=a 2-c 2=1. 因此,所求椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)如图,设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆x 22+y 2=1相交,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是两个交点,y 1>0,y 2>0,F 1P 1,F 2P 2是圆C 的切线,且F 1P 1⊥F 2P 2.由圆和椭圆的对称性,易知,x 2=-x 1,y 1=y 2. 由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0), 所以F 1P 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+1,y 1),F 2P 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-x 1-1,y 1).再由F 1P 1⊥F 2P 2得-(x 1+1)2+y 12=0.由椭圆方程得1-x 122=(x 1+1)2,即3x 12+4x 1=0.解得x 1=-43或x 1=0.当x 1=0时,P 1,P 2重合,题设要求的圆不存在.当x 1=-43时,过P 1,P 2分别与F 1P 1,F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C. 设C (0,y 0),由CP 1⊥F 1P 1,得y 1-y 0x 1·y1x 1+1=-1. 而y 1=|x 1+1|=13,故y 0=53.圆C 的半径|CP 1|=√(-43)2+(13-53)2=4√23. 综上,存在满足题设条件的圆,其方程为x 2+(y -53)2=329.。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限2、（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A、5B、8C、10D、143、（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A、100B、150C、200D、2504、（5分）下列函数为偶函数的是（）A、f（x）=x﹣1B、f（x）=x2+xC、f（x）=2x﹣2﹣xD、f（x）=2x+2﹣x5、（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A、10B、17C、19D、366、（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A、p∧￢qB、￢p∧qC、￢p∧￢qD、p∧q7、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、12B、18C、24D、308、（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A、B、 C、4 D、9、（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A、6+2B、7+2C、6+4D、7+410、（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A、（﹣，﹣2]∪（0，]B、（﹣，﹣2]∪（0，]C、（﹣，﹣2]∪（0，]D、（﹣，﹣2]∪（0，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上、11、（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B=、12、（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•=、13、（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx的图象，则f（）=、14、（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B 两点，且AC⊥BC，则实数a的值为、15、（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、（13分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和、（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0、求{b n}的通项公式及其前n项和T n、17、（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率、18、（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8、（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值、19、（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x、（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值、20、（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=、（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积、21、（12分）如图，设椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为、（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由、参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分、在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的、1、（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限题目分析：根据复数的几何意义，即可得到结论、试题解答解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B、点评：本题主要考查复数的几何意义，比较基础、2、（5分）在等差数列{a n}中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A、5B、8C、10D、14题目分析：由题意可得a4=5，进而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值计算即可、试题解答解：∵在等差数列{a n}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故选：B、点评：本题考查等差数列的通项公式，属基础题、3、（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A、100B、150C、200D、250题目分析：计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值、试题解答解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100、故选：A、点评：本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键、4、（5分）下列函数为偶函数的是（）A、f（x）=x﹣1B、f（x）=x2+xC、f（x）=2x﹣2﹣xD、f（x）=2x+2﹣x题目分析：根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f （﹣x）=f（x）是否成立，即可得答案、试题解答解：根据题意，依次分析选项：A、f（x）=x﹣1，其定义域为R，f（﹣x）=﹣x﹣1，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；B、f（x）=x2+x，其定义域为R，f（﹣x）=x2﹣x，f（﹣x）≠f（x），不是偶函数，不符合题意；C、f（x）=2x﹣2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x﹣2x，f（﹣x）=﹣f（x），是奇函数不是偶函数，不符合题意；D、f（x）=2x+2﹣x，其定义域为R，f（﹣x）=2﹣x+2x，f（﹣x）=f（x），是偶函数，符合题意；故选：D、点评：本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域、5、（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A、10B、17C、19D、36题目分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件k＜10，跳出循环体，计算输出S的值、试题解答解：由程序框图知：第一次循环S=2，k=2×2﹣1=3；第二次循环S=2+3=5，k=2×3﹣1=5；第三次循环S=5+5=10，k=2×5﹣1=9；第四次循环S=10+9=19，k=2×9﹣1=17，不满足条件k＜10，跳出循环体，输出S=19、故选：C、点评：本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法、6、（5分）已知命题：p：对任意x∈R，总有|x|≥0，q：x=1是方程x+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A、p∧￢qB、￢p∧qC、￢p∧￢qD、p∧q题目分析：判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论、试题解答解：根据绝对值的性质可知，对任意x∈R，总有|x|≥0成立，即p为真命题，当x=1时，x+2=3≠0，即x=1不是方程x+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A、点评：本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础、7、（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A、12B、18C、24D、30题目分析：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算、试题解答解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24、故选：C、点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键、8、（5分）设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，则该双曲线的离心率为（）A、B、 C、4 D、题目分析：根据（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，求得a=，c==b，即可求出双曲线的离心率、试题解答解：∵（|PF1|﹣|PF2|）2=b2﹣3ab，∴由双曲线的定义可得（2a）2=b2﹣3ab，∴4a2+3ab﹣b2=0，∴a=，∴c==b，∴e==、故选：D、点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题、9、（5分）若log4（3a+4b）=log2，则a+b的最小值是（）A、6+2B、7+2C、6+4D、7+4题目分析：利用对数的运算法则可得＞0，a＞4，再利用基本不等式即可得出试题解答解：∵3a+4b＞0，ab＞0，∴a＞0、b＞0∵log4（3a+4b）=log2，∴log4（3a+4b）=log4（ab）∴3a+4b=ab，a≠4，a＞0、b＞0∴＞0，∴a＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号、故选：D、点评：本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题、10、（5分）已知函数f（x）=，且g（x）=f（x）﹣mx﹣m在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A、（﹣，﹣2]∪（0，]B、（﹣，﹣2]∪（0，]C、（﹣，﹣2]∪（0，]D、（﹣，﹣2]∪（0，]题目分析：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论、试题解答解：由g（x）=f（x）﹣mx﹣m=0，即f（x）=m（x+1），分别作出函数f（x）和y=h（x）=m（x+1）的图象如图：由图象可知f（1）=1，h（x）表示过定点A（﹣1，0）的直线，当h（x）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m的取值范围是0＜m≤，当h（x）过（0，﹣2）时，h（0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（x）与f（x）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（x+1）2+3（x+1）﹣1=0，当m=0时，x=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（x）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A、点评：本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法、二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上、11、（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13} 、题目分析：根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案、试题解答解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}、点评：本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式、12、（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•= 10、题目分析：利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可试题解答解：∵=（﹣2，﹣6），∴，∴=2=10、故答案为：10、点评：本题考查了向量的数量积公式，属于基础题、13、（5分）将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sinx 的图象，则f（）=、题目分析：由条件根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx，可得2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈z，由此求得ω、φ的值，可得f（x）的解析式，从而求得f（）的值、试题解答解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ωx+φ）的图象、再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（x﹣）+φ）]=sin（2ωx+φ﹣ω）=sinx的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2kπ，k∈Z，∴ω=，φ=+2kπ，∴f（x）=sin（x+），∴f（）=sin（+）=sin=、故答案为：、点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题、14、（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B 两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6、题目分析：根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论、试题解答解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6、点评：本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键、15、（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）、题目分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y、（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可、试题解答解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y、（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率△ABC为=，故答案为：、点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键、三、解答题：本大题共6小题，共75分、解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤、16、（13分）已知{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，S n表示{a n}的前n项和、（Ⅰ）求a n及S n；（Ⅱ）设{b n}是首项为2的等比数列，公比为q满足q2﹣（a4+1）q+S4=0、求{b n}的通项公式及其前n项和T n、题目分析：（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n项和公式得答案；（Ⅱ）求出a4和S4，代入q2﹣（a4+1）q+S4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n项和公式得答案、试题解答解：（Ⅰ）∵{a n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1、；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a4=7，S4=16、∵q2﹣（a4+1）q+S4=0，即q2﹣8q+16=0，∴（q﹣4）2=0，即q=4、又∵{b n}是首项为2的等比数列，∴、、点评：本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题、17、（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图：（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率、题目分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求、（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可、试题解答解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005、（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3、（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=、点评：本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题、18、（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8、（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b的值、题目分析：（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值、试题解答解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3、点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键、19、（12分）已知函数f（x）=+﹣lnx﹣，其中a∈R，且曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x、（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间与极值、题目分析：（Ⅰ）由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x 可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（x）的单调区间与极值、试题解答解：（Ⅰ）∵f（x）=+﹣lnx﹣，∴f′（x）=﹣﹣，∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x、∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=、（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x）=+﹣lnx﹣，f′（x）=﹣﹣=（x＞0），令f′（x）=0，解得x=5，或x=﹣1（舍），∵当x∈（0，5）时，f′（x）＜0，当x∈（5，+∞）时，f′（x）＞0，故函数f（x）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当x=5时，函数取极小值﹣ln5、点评：本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档、20、（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=、（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积、题目分析：（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案、试题解答证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，∵AB=2，∠BAD=，∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，又∵BM=，∠OBM=，∴在△OBM中，OM2=OB2+BM2﹣2OB•BM•cos∠OBM=，即OB2=OM2+BM2，即OM⊥BM，∴OM ⊥BC ，又∵PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， ∴PO ⊥BC ，又∵OM ∩PO=O ，OM ，PO ⊂平面POM ， ∴BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB•cos ∠BAO=2cos （）=，设PO=a ，由PO ⊥底面ABCD 可得：△POA 为直角三角形， 故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3， 由△POM 也为直角三角形得： PM 2=PO 2+OM 2=a 2+， 连接AM ，在△ABM 中，AM 2=AB 2+BM 2﹣2AB•BM•cos ∠ABM==，由MP ⊥AP 可知：△APM 为直角三角形， 则AM 2=PA 2+PM 2，即a 2+3+a 2+=，解得a=，即PO=，此时四棱锥P ﹣ABMO 的底面积S=S △AOB +S △BOM =•AO•OB +•BM•OM=，∴四棱锥P ﹣ABMO 的体积V=S•PO=点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档、21、（12分）如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D在椭圆上，DF1⊥F1F2，=2，△DF1F2的面积为、（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y轴上的圆，使圆在x轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由、题目分析：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF1|==，|DF2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由F1P1⊥F2P2，得x1=﹣或x1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程、试题解答解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），F2（c，0），其中c2=a2﹣b2，由=2，得|DF1|==c，从而=|DF 1||F1F2|=c2=，故c=1、从而|DF1|=，由DF1⊥F1F2，得=+=，因此|DF2|=，所以2a=|DF1|+|DF2|=2，故a=，b2=a2﹣c2=1，因此，所求椭圆的标准方程为+y2=1；（Ⅱ）设圆心在y轴上的圆C 与椭圆+y2=1相交，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是两个交点，y1＞0，y2＞0，F1P1，F2P2是圆C的切线，且F1P1⊥F2P2，由圆和椭圆的对称性，易知x2=﹣x1，y1=y2，|P1P2|=2|x1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F2（1，0），所以=（x1+1，y1），=（﹣x1﹣1，y1），再由F1P1⊥F2P2，得﹣+=0，由椭圆方程得1﹣=，即3+4x1=0，解得x1=﹣或x1=0、当x1=0时，P1，P2重合，此时题设要求的圆不存在；当x1=﹣时，过P1，P2，分别与F1P1，F2P2垂直的直线的交点即为圆心C，设C （0，y0）由F1P1，F2P2是圆C的切线，知CP1⊥F1P1，得•=﹣1，而|y1|=|x1+1|=，故y0=，故圆C的半径|CP1|==综上，存在满足题设条件的圆，其方程为x2+=21/ 21。

2014年重庆市高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）在等差数列{an }中，a1=2，a3+a5=10，则a7=（）A．5 B．8 C．10 D．143．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．2504．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．f（）=﹣1 B．f（）=2+ C．f（）=2﹣2﹣D．f（）=2+2﹣5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．366．（5分）已知命题：p：对任意∈R，总有||≥0，q：=1是方程+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．308．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．4D ．9．（5分）若log 4（3a+4b ）=log 2，则a+b 的最小值是（ ） A ．6+2 B ．7+2 C ．6+4 D ．7+410．（5分）已知函数f （）=，且g （）=f （）﹣m ﹣m 在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ）A ．（﹣，﹣2]∪（0，]B ．（﹣，﹣2]∪（0，] C ．（﹣，﹣2]∪（0，] D ．（﹣，﹣2]∪（0，]二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A ∩B= ．12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•= ．13．（5分）将函数f （）=sin （ω+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sin 的图象，则f （）= ． 14．（5分）已知直线﹣y+a=0与圆心为C 的圆2+y 2+2﹣4y ﹣4=0相交于A 、B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为 ．15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为 （用数字作答）．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2﹣（a 4+1）q+S 4=0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．18．（13分）在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，且a+b+c=8． （Ⅰ）若a=2，b=，求cosC 的值；（Ⅱ）若sinAcos 2+sinBcos 2=2sinC ，且△ABC 的面积S=sinC ，求a 和b 的值．19．（12分）已知函数f （）=+﹣ln ﹣，其中a ∈R ，且曲线y=f （）在点（1，f （1））处的切线垂直于直线y=．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求函数f （）的单调区间与极值．20．（12分）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB=2，∠BAD=，M 为BC 上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）若MP ⊥AP ，求四棱锥P ﹣ABMO 的体积．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，=2，△DF 1F 2的面积为． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．2014年重庆市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面内的（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】根据复数的几何意义，即可得到结论．【解答】解：实部为﹣2，虚部为1的复数所对应的点的坐标为（﹣2，1），位于第二象限，故选：B ．【点评】本题主要考查复数的几何意义，比较基础．2．（5分）在等差数列{a n }中，a 1=2，a 3+a 5=10，则a 7=（ ）A ．5B ．8C ．10D ．14【分析】由题意可得a 4=5，进而可得公差d=1，可得a 7=a 1+6d ，代值计算即可．【解答】解：∵在等差数列{a n }中a 1=2，a 3+a 5=10，∴2a 4=a 3+a 5=10，解得a 4=5，∴公差d==1，∴a 7=a 1+6d=2+6=8故选：B ．【点评】本题考查等差数列的通项公式，属基础题．3．（5分）某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为（）A．100 B．150 C．200 D．250【分析】计算分层抽样的抽取比例和总体个数，利用样本容量=总体个数×抽取比例计算n值．【解答】解：分层抽样的抽取比例为=，总体个数为3500+1500=5000，∴样本容量n=5000×=100．故选：A．【点评】本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样方法的特征是关键．4．（5分）下列函数为偶函数的是（）A．f（）=﹣1 B．f（）=2+ C．f（）=2﹣2﹣D．f（）=2+2﹣【分析】根据偶函数的定义，依次分析选项，先分析函数的定义域，再分析f （﹣）=f（）是否成立，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：A、f（）=﹣1，其定义域为R，f（﹣）=﹣﹣1，f（﹣）≠f（），不是偶函数，不符合题意；B、f（）=2+，其定义域为R，f（﹣）=2﹣，f（﹣）≠f（），不是偶函数，不符合题意；C、f（）=2﹣2﹣，其定义域为R，f（﹣）=2﹣﹣2，f（﹣）=﹣f（），是奇函数不是偶函数，不符合题意；D、f（）=2+2﹣，其定义域为R，f（﹣）=2﹣+2，f（﹣）=f（），是偶函数，符合题意；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的判断，注意要先分析函数的定义域．5．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出s的值为（）A．10 B．17 C．19 D．36【分析】根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件＜10，跳出循环体，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：第一次循环S=2，=2×2﹣1=3；第二次循环S=2+3=5，=2×3﹣1=5；第三次循环S=5+5=10，=2×5﹣1=9；第四次循环S=10+9=19，=2×9﹣1=17，不满足条件＜10，跳出循环体，输出S=19．故选：C．【点评】本题考查了当型循环结构程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．6．（5分）已知命题：p：对任意∈R，总有||≥0，q：=1是方程+2=0的根；则下列命题为真命题的是（）A．p∧￢q B．￢p∧q C．￢p∧￢q D．p∧q【分析】判定命题p，q的真假，利用复合命题的真假关系即可得到结论．【解答】解：根据绝对值的性质可知，对任意∈R，总有||≥0成立，即p为真命题，当=1时，+2=3≠0，即=1不是方程+2=0的根，即q为假命题，则p∧￢q，为真命题，故选：A．【点评】本题主要考查复合命题的真假关系的应用，先判定p，q的真假是解决本题的关键，比较基础．7．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．12 B．18 C．24 D．30【分析】几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，根据三视图判断三棱柱的高及消去的三棱锥的高，判断三棱锥与三棱柱的底面三角形的形状及相关几何量的数据，把数据代入棱柱与棱锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱柱消去一个同底的三棱锥，如图：三棱柱的高为5，消去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面为直角边长分别为3和4的直角三角形，∴几何体的体积V=×3×4×5﹣××3×4×3=30﹣6=24．故选：C．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．8．（5分）设F 1，F 2分别为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．C ．4D ．【分析】根据（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，由双曲线的定义可得（2a ）2=b 2﹣3ab ，求得a=，c==b ，即可求出双曲线的离心率．【解答】解：∵（|PF 1|﹣|PF 2|）2=b 2﹣3ab ，∴由双曲线的定义可得（2a ）2=b 2﹣3ab ，∴4a 2+3ab ﹣b 2=0，∴a=，∴c==b ，∴e==． 故选：D ．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查学生的计算能力，属于基础题．9．（5分）若log 4（3a+4b ）=log 2，则a+b 的最小值是（ ） A ．6+2 B ．7+2 C ．6+4 D ．7+4【分析】利用对数的运算法则可得＞0，a ＞4，再利用基本不等式即可得出【解答】解：∵3a+4b ＞0，ab ＞0，∴a ＞0．b ＞0 ∵log 4（3a+4b ）=log 2，∴log 4（3a+4b ）=log 4（ab ） ∴3a+4b=ab ，a ≠4，a ＞0．b ＞0 ∴＞0，∴a ＞4，则a+b=a+=a+=a+3+=（a ﹣4）++7+7=4+7，当且仅当a=4+2取等号．故选：D ．【点评】本题考查了对数的运算法则、基本不等式的性质，属于中档题．10．（5分）已知函数f （）=，且g （）=f （）﹣m ﹣m 在（﹣1，1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（﹣，﹣2]∪（0，] B ．（﹣，﹣2]∪（0，] C ．（﹣，﹣2]∪（0，] D ．（﹣，﹣2]∪（0，]【分析】由g （）=f （）﹣m ﹣m=0，即f （）=m （+1），作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由g （）=f （）﹣m ﹣m=0，即f （）=m （+1）， 分别作出函数f （）和y=h （）=m （+1）的图象如图：由图象可知f （1）=1，h （）表示过定点A （﹣1，0）的直线，当h （）过（1，1）时，m=此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0＜m ≤，当h （）过（0，﹣2）时，h （0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点，当h（）与f（）相切时，两个函数只有一个交点，此时，即m（+1）2+3（+1）﹣1=0，当m=0时，=，只有1解，当m≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f（）相切，∴要使函数有两个零点，则﹣＜m≤﹣2或0＜m≤，故选：A．【点评】本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（5分）已知集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，则A∩B= {3，5，13} ．【分析】根据题意，分析集合A、B的公共元素，由交集的意义即可得答案．【解答】解：根据题意，集合A={3，4，5，12，13}，B={2，3，5，8，13}，A、B公共元素为3、5、13，则A∩B={3，5，13}，故答案为：{3，5，13}．【点评】本题考查集合交集的运算，注意写出集合的形式．12．（5分）已知向量与的夹角为60°，且=（﹣2，﹣6），||=，则•= 10 ．【分析】利用向量的模、夹角形式的数量积公式，求出即可【解答】解：∵=（﹣2，﹣6），∴，∴=2=10．故答案为：10．【点评】本题考查了向量的数量积公式，属于基础题．13．（5分）将函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y=sin的图象，则f（）= ．【分析】由条件根据函数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律，可得sin（2ω+φ﹣ω）=sin，可得2ω=1，且φ﹣ω=2π，∈，由此求得ω、φ的值，可得f（）的解析式，从而求得f（）的值．【解答】解：函数f（）=sin（ω+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）图象上每一点的横坐标缩短为原的一半，纵坐标不变，可得函数y=sin（2ω+φ）的图象．再把所得图象再向右平移个单位长度得到函数y=sin[2ω（﹣）+φ）]=sin（2ω+φ﹣ω）=sin的图象，∴2ω=1，且φ﹣ω=2π，∈，∴ω=，φ=+2π，∴f（）=sin（+），∴f（）=sin（+）=sin=．故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ω+φ）的图象变换规律，属于中档题．14．（5分）已知直线﹣y+a=0与圆心为C的圆2+y2+2﹣4y﹣4=0相交于A、B 两点，且AC⊥BC，则实数a的值为0或6 ．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆的标准方程为（+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，∵AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，即|a﹣3|=3，解得a=0或a=6，故答案为：0或6．【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．15．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．【分析】设小张到校的时间为，小王到校的时间为y．（，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（，y|30≤≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（，y）|y﹣≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．【解答】解：设小张到校的时间为，小王到校的时间为y．（，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（，y|30≤≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={|y﹣≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到△ABC校的概率为=，故答案为：．【点评】本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（13分）已知{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，S n 表示{a n }的前n 项和．（Ⅰ）求a n 及S n ；（Ⅱ）设{b n }是首项为2的等比数列，公比为q 满足q 2﹣（a 4+1）q+S 4=0．求{b n }的通项公式及其前n 项和T n ．【分析】（Ⅰ）直接由等差数列的通项公式及前n 项和公式得答案；（Ⅱ）求出a 4和S 4，代入q 2﹣（a 4+1）q+S 4=0求出等比数列的公比，然后直接由等比数列的通项公式及前n 项和公式得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， ∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+2（n ﹣1）=2n ﹣1．；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，a 4=7，S 4=16． ∵q 2﹣（a 4+1）q+S 4=0，即q 2﹣8q+16=0， ∴（q ﹣4）2=0，即q=4． 又∵{b n }是首项为2的等比数列， ∴．．【点评】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列和等比数列的通项公式、前n 项和公式的求法，是基础题．17．（13分）20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频率分布直方图如图： （Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）分别求出成绩落在[50，60）与[60，70）中的学生人数；（Ⅲ）从成绩在[50，70）的学生任选2人，求此2人的成绩都在[60，70）中的概率．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图求出a的值；（Ⅱ）由图可知，成绩在[50，60）和[60，70）的频率分别为0.1和0.15，用样本容量20乘以对应的频率，即得对应区间内的人数，从而求出所求．（Ⅲ）分别列出满足[50，70）的基本事件，再找到在[60，70）的事件个数，根据古典概率公式计算即可．【解答】解：（Ⅰ）根据直方图知组距=10，由（2a+3a+6a+7a+2a）×10=1，解得a=0.005．（Ⅱ）成绩落在[50，60）中的学生人数为2×0.005×10×20=2，成绩落在[60，70）中的学生人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅲ）记成绩落在[50，60）中的2人为A，B，成绩落在[60，70）中的3人为C，D，E，则成绩在[50，70）的学生任选2人的基本事件有AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10个，其中2人的成绩都在[60，70）中的基本事件有CD，CE，DE共3个，故所求概率为P=．【点评】本题考查频率分布直方图的应用以及古典概型的概率的应用，属于中档题．18．（13分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且a+b+c=8．（Ⅰ）若a=2，b=，求cosC的值；（Ⅱ）若sinAcos2+sinBcos2=2sinC，且△ABC的面积S=sinC，求a和b 的值．【分析】（Ⅰ）由a+b+c=8，根据a=2，b=求出c的长，利用余弦定理表示出cosC，将三边长代入求出cosC的值即可；（Ⅱ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，再利用正弦定理得到a+b=3c，与a+b+c=8联立求出a+b的值，利用三角形的面积公式列出关系式，代入S=sinC求出ab的值，联立即可求出a与b的值．【解答】解：（Ⅰ）∵a=2，b=，且a+b+c=8，∴c=8﹣（a+b）=，∴由余弦定理得：cosC===﹣；（Ⅱ）由sinAcos2+sinBcos2=2sinC可得：sinA•+sinB•=2sinC，整理得：sinA+sinAcosB+sinB+sinBcosA=4sinC，∵sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC，∴sinA+sinB=3sinC，利用正弦定理化简得：a+b=3c，∵a+b+c=8，∴a+b=6①，∵S=absinC=sinC，∴ab=9②，联立①②解得：a=b=3．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．19．（12分）已知函数f（）=+﹣ln﹣，其中a∈R，且曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求函数f（）的单调区间与极值．【分析】（Ⅰ）由曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=可得f′（1）=﹣2，可求出a的值；（Ⅱ）根据（I）可得函数的解析式和导函数的解析式，分析导函数的符号，进而可得函数f（）的单调区间与极值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（）=+﹣ln﹣，∴f′（）=﹣﹣，∵曲线y=f（）在点（1，f（1））处的切线垂直于直线y=．∴f′（1）=﹣a﹣1=﹣2，解得：a=．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（）=+﹣ln﹣，f′（）=﹣﹣=（＞0），令f′（）=0，解得=5，或=﹣1（舍），∵当∈（0，5）时，f′（）＜0，当∈（5，+∞）时，f′（）＞0，故函数f（）的单调递增区间为（5，+∞）；单调递减区间为（0，5）；当=5时，函数取极小值﹣ln5．【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，是导数的综合应用，难度中档．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=．（Ⅰ）证明：BC⊥平面POM；（Ⅱ）若MP⊥AP，求四棱锥P﹣ABMO的体积．【分析】（Ⅰ）连接OB，根据底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB=2，∠BAD=，M为BC上一点，且BM=，结合菱形的性质，余弦定理，勾股定理，可得OM⊥BC及PO⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到BC⊥平面POM；（Ⅱ）设PO=a，利用勾股定理和余弦定理解三角形求出PO的值，及四棱锥P﹣ABMO的底面积S，代入棱锥体积公式，可得答案．【解答】证明：（Ⅰ）∵底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，故O为底面ABCD的中心，连接OB，则AO⊥OB，∵AB=2，∠BAD=，∴OB=AB•sin∠BAO=2sin（）=1，又∵BM=，∠OBM=，∴在△OBM 中，OM 2=OB 2+BM 2﹣2OB •BM •cos ∠OBM=，即OB 2=OM 2+BM 2，即OM ⊥BM ，∴OM ⊥BC ，又∵PO ⊥底面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ，∴PO ⊥BC ，又∵OM ∩PO=O ，OM ，PO ⊂平面POM ，∴BC ⊥平面POM ；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：OA=AB •cos ∠BAO=2cos （）=，设PO=a ，由PO ⊥底面ABCD 可得：△POA 为直角三角形，故PA 2=PO 2+OA 2=a 2+3，由△POM 也为直角三角形得：PM 2=PO 2+OM 2=a 2+，连接AM ，在△ABM 中，AM 2=AB 2+BM 2﹣2AB •BM •cos ∠ABM==， 由MP ⊥AP 可知：△APM 为直角三角形，则AM 2=PA 2+PM 2，即a 2+3+a 2+=，解得a=，即PO=，此时四棱锥P ﹣ABMO 的底面积S=S △AOB +S △BOM =•AO •OB+•BM •OM=，∴四棱锥P ﹣ABMO 的体积V=S •PO=【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的判定，难度中档．21．（12分）如图，设椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点分别为F 1，F 2，点D 在椭圆上，DF 1⊥F 1F 2，=2，△DF 1F 2的面积为． （Ⅰ）求该椭圆的标准方程；（Ⅱ）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆有两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线互相垂直并分别过不同的焦点？若存在，求出圆的方程；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），依题意，可求得c=1，易求得|DF 1|==，|DF 2|=，从而可得2a=2，于是可求得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是两个交点，依题意，利用圆和椭圆的对称性，易知2=﹣1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|1|，由F 1P 1⊥F 2P 2，得1=﹣或1=0，分类讨论即可求得圆心及半径，从而可得圆的方程．【解答】解：（Ⅰ）设F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），其中c 2=a 2﹣b 2，由=2，得|DF 1|==c ，从而=|DF 1||F 1F 2|=c 2=，故c=1． 从而|DF1|=，由DF 1⊥F 1F 2，得=+=，因此|DF 2|=，所以2a=|DF1|+|DF 2|=2，故a=，b 2=a 2﹣c 2=1， 因此，所求椭圆的标准方程为+y 2=1；（Ⅱ）设圆心在y 轴上的圆C 与椭圆+y 2=1相交，P 1（1，y 1），P 2（2，y 2）是两个交点，y 1＞0，y 2＞0，F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，且F 1P 1⊥F 2P 2，由圆和椭圆的对称性，易知2=﹣1，y 1=y 2，|P 1P 2|=2|1|，由（Ⅰ）知F1（﹣1，0），F 2（1，0），所以=（1+1，y 1），=（﹣1﹣1，y 1），再由F 1P 1⊥F 2P 2，得﹣+=0， 由椭圆方程得1﹣=，即3+41=0，解得1=﹣或1=0． 当1=0时，P 1，P 2重合，此时题设要求的圆不存在；当1=﹣时，过P 1，P 2，分别与F 1P 1，F 2P 2垂直的直线的交点即为圆心C ，设C （0，y 0）由F 1P 1，F 2P 2是圆C 的切线，知CP 1⊥F 1P 1，得•=﹣1，而|y 1|=|1+1|=，故y 0=，故圆C 的半径|CP 1|==．综上，存在满足题设条件的圆，其方程为2+=． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查化归思想、方程思想分类讨论思想的综合应用，考查综合分析与运算能力，属于难题．。