线性代数§1.7
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线性代数课本答案
2 a11 x1
1.2 矩 阵 的基本 运 算
+ + ··· +
a21 x1 x2
2 a22 x1
+ + ··· +
··· ··· ··· ···
+ + ··· +
an1 x1 xn an2 x2 xn ···
2 ann xn
a12 x1 x2 ··· a1n x1 xn
··· a2n x2 xn
α1 + α2 0.
= 4 β1 + 4 β1 = 4|A| + 4|B| = 20 ，|A − B| =
β2 + β2 β2 β2 β2 0 B4. 能拆成4个二阶行列式的和． a+1 b+2 a b+2 1 b+2 a b a 2 1 b 1 2 = + = + + + = ad − bc + 4a − 2c + d − 3b − 2. c+3 d +4 c d +4 3 d +4 c d c 4 3 d 3 4 B6. 总按第一行展开． 1 + a1 1 1 ··· 1 0 1 + a1 1 1 ··· 1 1
1 B7. 证法一：Dn = ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 1 ··· + 1 1 1 ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 0 ··· 0 an
1.2 矩 阵 的基本 运 算
+ + ··· +
a21 x1 x2
2 a22 x1
+ + ··· +
··· ··· ··· ···
+ + ··· +
an1 x1 xn an2 x2 xn ···
2 ann xn
a12 x1 x2 ··· a1n x1 xn
··· a2n x2 xn
α1 + α2 0.
= 4 β1 + 4 β1 = 4|A| + 4|B| = 20 ，|A − B| =
β2 + β2 β2 β2 β2 0 B4. 能拆成4个二阶行列式的和． a+1 b+2 a b+2 1 b+2 a b a 2 1 b 1 2 = + = + + + = ad − bc + 4a − 2c + d − 3b − 2. c+3 d +4 c d +4 3 d +4 c d c 4 3 d 3 4 B6. 总按第一行展开． 1 + a1 1 1 ··· 1 0 1 + a1 1 1 ··· 1 1
1 B7. 证法一：Dn = ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 1 ··· + 1 1 1 ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 0 ··· 0 an
上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案
第一章行列式1.1计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。
（1） 365247； （2） 5216743； （3） 7654321； （4） 12)1(⋅−⋅L n n ； （5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。
1.2选择 与 ，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。
i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ； （2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。
1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。
1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。
2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。
（1）121051103−−， （2） 430021001011002−， （3） 000100002000010L L L L L L L L L n n −。
1.6 按定义写出行列式xx x x x 111123111212−中 与 的系数。
4x 3x 1.7 按定义说明 级行列式n λλλ−−−nn n nan n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于λ 的 次多项式。
n1.8 计算下列行列式的值。
（1）3621−； （2） |2|−；（3）bia i bbi a −+；上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案（4）λλ−−−1132； （5）θθθθsin cos cos sin −； （6） θθθθsin 0cos 010cos 0sin −；（7）691051203−； （8） 142151322−−−−； （9） 5142022000120003−−−；（10）2000130021403121； （11） 5142122000120023−−； （12）3242402052121303−−−；（13）101200211052014−−−−； （14） dc b a 000000000000。
线性代数第七章课件
2)对于R3中任一向量α=(a1, a2, a3)T,有
a1e1 a2e2 a3e3 .
由定义2.1知e1, e2, e3为R3的一个基,从而dim(R3)=3.
看过例2.1之后，读者关心的一定是解题背后的思路. 到底应该选几个向量、选什么样的向量来证明它们构成一 个基呢？解决这一问题的关键是分析线性空间元素构成时 的“自由度”.像例1的R3 ，它的向量都具有3个分量。每 个分量的位置体现了一个自由度.3个自由度就预示着维数 为3.寻找一个特征基的过程可以如下进行：让体现自由度 的各个不同位置的数字轮流地每次有一处取 1，其余处取0. 这样，有多少个自由度就得到多少个互不相同的向量（对 例2.1而言，按照这种方法得到的三个向量正是e1, e2, e3 ）. 剩下的工作就是确切证明这组向量满足定义2.1中的1）、 2）两条，从而确认它们构成一个基.
正是由于一般线性空间与普通数组向量加法与数乘运 算性质的一致性，使我们可以把数组向量的那些基于线性 运算的概念以及与之相关的性质、命题，包括它们的证明 方法，都平移到线性空间中来。例如，对向量组线性相关 的定义，可以叙述如下： 设V是数域F上的线性空间,α1,α2, · · · ,αs 是V中向量， 如果存在数域F中不全为零的一组数k1, k2,· · · , ks，使
情况的线性空间称为有限维线性空间,符合第二种情况的 则称为无限维线性空间.本书中主要讨论有限维线性空间. 定义2.1 设V是数域F上的线性空间，如果V中存在n 个向量ε1，ε2，· · · ，ε n满足: 1) ε1， ε2 ，· · · ε n线性无关; 2) V中任何向量α均可由ε1，ε2，· · · ，εn线性表示,则称 ε1，ε2，· · · ，εn为V的一个基(或基底). 基的向量个数n称为 线性空间V的维数,记为dim(V). 零空间是不存在基的线性空间,其维数为零. 维数为n的线性空间称为n维线性空间.
线性代数PPT全集
a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大 为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上 既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁 琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加 强这些方面的训练。
第一章 行列式 第二章 矩阵及其运算 第三章 矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章 向量组的线性相关性
第五章 相似矩阵及二次型
基础 基本内容
a13 x3 a23 x3
b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;
线性代数ppt
A 其中A是A的伴随阵.
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
推论 设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章 行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中 为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算： （1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以 同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列 式不变． (倍加运算)
线性代数第七讲
义定' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个部分组。
若（1）r i i i ααα,...,,21线性无关；（2）每个j α（ j =1, 2, …, m ）均可由 r i i i ααα,...,,21 线性表出，则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。
义定'' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个部分组。
若（1）r i i i ααα,...,,21线性无关；（2）对任意 j α（j =1, 2, …, m ）均可由 ,,21i i ααr i α...,线性相关，则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。
例 已知向量组m s s ααααα,...,,,...,,121+。
假设每个j α（j = s +1, s +2, …, m ）均可由 s ααα,...,,21线性表出，则秩{s ααα,...,,21}=秩{m s s ααααα,...,,,...,,121+}证明 设 秩{}s ααα,,, 21 =r ，任取 s ααα,...,,21的一个极大无关组 r i i i ααα,,,21 ，则 s ααα,...,,21可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。
已知 m s s ααα,...,,21++可由s ααα,...,,21线性表出，故由传递性得 m s s ααα,...,,21++亦可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。
于是，每个 j α ( j =1, 2, …, m ) 均可由 r i i i ααα,...,,21线性表出。
又r i i i ααα,,,21 线性无关，所以r i i i ααα,,,21 也是 m s s ααααα,...,,,...,,121+的一个极大无关组。
线性代数全套课件
a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例 计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置， 即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其 对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对 换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动， 这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做 相邻对换（邻换）。 定理1 一个排列中的任意两数对换， 排列改变奇偶性。
线性代数 同济大学第七版
【例 1.6】 若
1 4 3 D 0 3 5 7 6 2
则
1 0 7 D T 4 3 6 2 5 2
19
第二节
行列式的性质
性质1
T 转置行列式的值等于原行列式的值，即 D D 。
在例1.6中的二个行列式 DT , D 的值相等，即
1 4 D 0 7 3 6 1 0 7 5 DT 4 3 6 2 5 2 2 3
n 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开 根据这一性质， 即：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a11 A11 a21 A21 an1 An1
这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。
20
第二节
行列式的性质
性质2
交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。 交换以下行列式D的第一行和第三行，有
第二节
行列式的性质
则 D 等于下列两列行列式之和：
a11 D a21 a12 a1i a1n a11 a21 an1 i a1n a12 a1 i a2 n a22 a2 ann an 2 ani
a22 a2i a2 n
4 2 1 4 2 3k 5k k 2 3 5 6 2 7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式 符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
23
第二节
行列式的性质
性质4
行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第 i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行
， 2， ，n 的余子式，它是 D 中划 M 1j 表示元素a1j jn 1 其中，
【VIP专享】线性代数 克拉默法则 专题
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克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式D不等于零 则方 程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解 因为
D27 D181
提示
2 1 5 1
D
8 27
18
1 3 16 64
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
§1.7 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题.
a11x1 a12x2 a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22
a2n xn annxn
b2 bn
(＊)
a11 a12 a1n
行列式 D a21 a22 a2n 称为方程组(＊)的系数行列式.
解 把四个点的坐标代入曲线方程 得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
4 3
3
D12 D136 D218
提示
11 1 1
D
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
线性代数 克莱姆法则
a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1)
齐次线性方程组的相关定理 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
例2 问 取何值时，齐次方程组
2y 2z 0 (5 λ)x 2x (6 λ)y 0 2x (4 λ)z 0
有非零解？
5 2 6 0 2 0 4
解
D
2 2
5 2 8
5 6 4 44 46
1 3
1 3 0 1
1 5
27,
D1 81 x1 3, D 27 D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27 D4 27 x4 1. D 27
线性方程组
定理1.7 如果线性方程组1 的系数行列式D 0, 则1 一定有解,且解是唯一的 . 定理(逆否) 若线性方程组 1无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零.
3 2
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0 , 2 或
3 时齐次方程组有非零解.
y a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 通过四点(1, 3)、 补例 设曲线 (2, 4)、(3, 3)、(4, -3), 求该曲线。
解：把四个点的坐标代入曲线方程，得方程组
赵林《线性代数》
安徽建筑工业学院继续教育学院自学周历及作业安排课程名称：线性代数注：作业面授时交批作业:1、计算下列各行列式:(1)265232112131412-; (2)dc b a 10110011001---.2、证明(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++ (2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 3. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)x a aa x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; (2)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111124. 用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;5. λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？6.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .7. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 8. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 9．求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 10. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 11. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.12. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.13.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .14. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B .15. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 16.已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA -1=BA -1+3E ,求B .17. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.18. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .19. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .21. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 22.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 23. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x24. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 25. λ取何值时, 非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?26. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.27. 已知向量组：A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T ,证明：B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 28. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.29. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; 30. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 31. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 32. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;33. 设向量组：(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a ,b .34. 求下列齐次线性方程组的基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;35. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.36. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321; 37. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 38. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. 39. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 40. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 41.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.42. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 43. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .44.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.45. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;编者：赵林。
线性代数_第一章
i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列 式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则
线性代数_课件
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22
五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列， 为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即 ：
(
p1 p2... pn )
(
pn
pn1... p1)
Cn2
n(n 1) 2
(
pn
pn1... p1)
n(n 1) 2
k
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例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号， 后一项带负号。
辅导讲义(线性代数第一讲)
4、利用行列式行列 展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】 设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】 已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例 行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析 对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。 按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质 性质 1．行列式和它的转置行列式相等； 性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数 乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。
1.7 简化阶梯形矩阵--线性代数PPT
1.7 简化阶梯形矩阵
.T 设是阶梯形矩阵,一个非零元⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---00000310003011040101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000003100001110
41211定义T 如果的主元所在列只有.T 简化阶则为梯形矩阵称
,A 对任意矩阵4定理A T 与是行等价的,T 化为简化阶梯形矩阵0,T A 设为的阶梯形证明12,,,.
r j j j 标号为01,2,
,1,T r r 将的第行乘以适当常数加到第行.
r j 可使第列上主元以外的元素都为零使得,T 存在简化阶梯形矩阵(A 或者可以经有限次初等行变换).T A 称为的简化阶梯形0,T r 有个主元主元所在列的
1,2,
,2,r -第行.
都为零,.A T 依此类推就可以得到的简化阶梯形证毕1r -然后将所得矩阵的第行乘以适当常数加到1r j -使得第列上主元以外的元素
11214246482311236979A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭
12140110000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
阶梯形 −−→
12070103000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
−−−−→−+-+-2313)1()1(R R R R 01040103.000300001110-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
−−−−→−+-12)1(R R 简化阶梯形 ▌ 12140110000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
任意矩阵的简化阶梯形是唯一的
.。
pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)
g ( x) = bn x n + 是两个本原多项式.令
h( x) = f ( x) g ( x) = cm + n x
i+ j =k
m+n
+
+ c1 x + c0 ,
其中ck = ∑ ai b j ,假设h( x)不是本原多项式, 则有素数 p 能整除 h( x)的所有系数.因为f ( x), g ( x) 都是本原多项式,故有i, j (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 使得 p | a0 ,… , p | ai 1 , p ai , p | b0 ,… , p | b j 1 , p b j .
注意到 ci + j = a0bi + j +
+ ai 1b j +1 + ai b j + ai +1b j 1 +
+ ai + j b0 ,
而且 p整除上式中除ai b j以外的所有项,因此,也 必有p | ai b j .因为 p是素数,故p | ai或p | b j ,与假设 矛盾,因此h( x)是本原多项式.
引理7.1 每个非零的有理系数多项式均可分解成 一个有理数和一个本原多项式之积, 而且这样的分 解在不计 ± 号时是唯一的.
证明 设f ( x)是Q上的非零多项式, 则有整数a 使得af ( x)的系数均为整数.设b是af ( x)的所有 系数的最大公因子, 则有af ( x) = bg ( x), 其中g ( x) 是一个本原多项式, 从而f ( x) = (a / b) g ( x)是 一个有理数a / b和一个本原多项式g ( x)之积.
例如, 设f ( x) = 3 x x 6 x + 2.
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小结
1. 用克拉默法则解方程组的两个条件 用克拉默法则解方程组的两个条件: (1)方程个数等于未知量个数 方程个数等于未知量个数; 方程个数等于未知量个数 (2)系数行列式不等于零 系数行列式不等于零. 系数行列式不等于零 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系 数与常数项之间的关系. 它主要适用于理论推导, 数与常数项之间的关系 它主要适用于理论推导 并不 适用于实际计算. 适用于实际计算
a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = b1 a 21 x1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = b2 (1) 设线性方程组 a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a nn x n = bn 不全为零, 若常数项b 若常数项 1, b2, , bn不全为零 则称此方程组为 非齐次线性方程组; 若常数项b 全为零, 非齐次线性方程组 若常数项 1, b2, , bn全为零 则称 此方程组为齐次线性方程组 齐次线性方程组; 此方程组为齐次线性方程组 定理1: 克拉默 克拉默(Cramer)法则 如果线性方程组 法则)如果线性方程组 定理 (克拉默 法则 如果线性方程组(1) 的系数行列式不等于零, 的系数行列式不等于零 即 a11 a12 a1n a 21 a 22 a 2 n D= ≠0 a n1 a n 2 a nn
思考题
当线性方程组的系数行列式为零时, 当线性方程组的系数行列式为零时 能否用克拉 默法则解方程组? 此时方程组的解为何? 默法则解方程组 此时方程组的解为何
思考题解答
不能. 此时方程组可能为无解, 或有无穷多解. 不能 此时方程组可能为无解 或有无穷多解
�
个方程依次相加, 在把 n 个方程依次相加 得
( ∑ ak 1 Akj ) x1 + +( ∑ akj Akj ) x j + +( ∑ akn Akj ) xn = ∑ bk Akj n
n
n
由行列式代数余子式的性质可知, 上式中x 由行列式代数余子式的性质可知 上式中 j 的系 数等于D, 的系数均等于0, 等式右端为D 数等于 而 xi (i ≠ j) 的系数均等于 等式右端为 j . 于是 Dxj=Dj ( j=1, 2, , n) (2) 因此, 当 D≠0 时, 方程组 有唯一解 方程组(2)有唯一解 有唯一解: 因此 ≠ Dn D1 D2 x1 = , x2 = , , x n = . D D D 由于方程组(2)与方程组 等价, 与方程组(1)等价 由于方程组 与方程组 等价 Dn D1 D2 x1 = , x2 = , , x n = . 故 D D D 也是方程组(1)的唯一解 的唯一解. 也是方程组 的唯一解
3 5 2 4 3 0 11 1 1 D1 = 6 5 1 3 6 1 4 1 2
3 2 4 0 11 67 1 = , D2 = 1 6 3 5 1 3 6 3 0 1 4 1 = 0, 2
3 4 11 D3 = 1 1 6 5 1 1 6
3 0
5 3
1 4
67 1 = , 2
2
3 4 11 = 67, D4 = 1 1 1 6 5 1 1 3 6
例1: 用克拉默法则解方程组 2 x1 + x 2 5 x 3 + x 4 = 8 x1 3 x 2 6 x4 = 9 2 x 2 x 3 + 2 x 4 = 5 x1 + 4 x 2 7 x 3 + 6 x 4 = 0 解: 2 1 5 1 0 7 2r 1 3 0 6 r1 2r2 1 3 D= 0 2 1 2 r4 r2 0 2 1 4 7 6 0 7 7 5 13 c + 2c 3 5 1 2 = 2 1 2 0 1 7 7 12 c 3 + 2c 2 7 7 3 3 = = 27, 7 2
定理2: 如果线性方程组(1)无解或有解但不唯一 定理 如果线性方程组 无解或有解但不唯一, 无解或有解但不唯一 则它的系数行列式必为零. 则它的系数行列式必为零 定理3: 如果齐次线性方程组(3) 定理 如果齐次线性方程组 a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n = 0 a 21 x1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n = 0 (3) a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a nn x n = 0 没有非零解. 的系数行列式 D≠0, 则齐次线性方程组 没有非零解 ≠ 则齐次线性方程组(3)没有非零解 定理4: 如果齐次线性方程组(3)有非零解 有非零解, 定理 如果齐次线性方程组 有非零解 则它的 必为零. 系数行列式 D 必为零 在后面我们将证明: 齐次线性方程组(3)有非零解 在后面我们将证明 齐次线性方程组 有非零解 的充分必要条件为(3)的系数行列式 必为零. 的充分必要条件为 的系数行列式 D 必为零
5 13 0 6 2 1 7 12
3 0 2
8 1 5 1 9 3 0 6 D1 = 2 1 2 5 0 4 7 6 = 81, 2 1 8 1 1 3 9 6 D3 = 0 2 5 2 1 4 0 6 = 27, D1 81 所以 x1 = = = 3, D 27 D3 27 x3 = = = 1, D 27
克拉默(Cramer)法则 §1.7 克拉默 法则
那么, 线性方程组(1)有解 且解是唯一的, 有解, 那么 线性方程组 有解 且解是唯一的 解可以表为 Dn D1 D2 x1 = , x2 = , , x n = . D D D 其中D 是把系数行列式D中第 其中 j 是把系数行列式 中第 j 列的元素用方程组右 阶行列式, 端的常数项代替后所得到的 n 阶行列式 即 a11 a1 j 1 b1 a1 j +1 a1n Dj = a n1 a nj 1 bn a nj +1 a nn 证明: 用系数行列式D的第 证明 用系数行列式 的第 j 列元素的代数余子式 依次乘方程组(1)的 个方程 个方程, A1j, A2j,, Anj依次乘方程组 的n个方程 得 (a11 x1 + a12 x 2 + + a1n x n ) A1 j = b1 A1 j ( a 21 x1 + a 22 x 2 + + a 2 n x n ) A2 j = b2 A2 j (a n1 x1 + a n 2 x 2 + + a nn x n ) Anj = bn Anj
3 0
5 3
2 0
所以
67 D1 3 = 1, x1 = = D 67 3 D2 0 x2 = = = 0, D 67
D3 x3 = D D4 x4 = D
67 2 = 1, = 67 2 67 = = 1. 67
取何值时, 例3: 问λ 取何值时 齐次方程组 (1 λ ) x1 2 x 2 + 4 x 3 = 0 2 x1 + (3 λ ) x 2 + x 3 = 0 x1 + x 2 + (1 λ ) x 3 = 0 有非零解? 有非零解 解: 1λ 2 4 D= 2 3λ 1 1 1 1λ = (1 λ ) 2 ( 3 λ ) 2 + 8 4( 3 λ ) (1 λ ) + 4(1 λ ) = (1 λ ) 2 ( 3 λ ) ( 3 λ ) = [(1 λ ) 2 1]( 3 λ ) 由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为D=0, 由于齐次方程组有非零解的充分必要条件为 则 λ=0, λ=2或λ=3时, 齐次方程组有非零解 或 时 齐次方程组有非零解.
2 8 5 1 1 9 0 6 D2 = 0 5 1 2 1 0 7 6 = 108, 2 1 5 8 1 3 0 9 D4 = 0 2 1 5 1 4 7 0 = 27, D2 108 x2 = = = 4, D 27 D4 27 x4 = = = 1. D 27
例2: 用克拉默法则解方程组 3 x1 + 5 x 2 + 2 x 3 + x 4 = 3 3 x2 + 4 x4 = 4 x + x + x + x = 11 6 2 3 4 1 x1 x 2 3 x 3 + 2 x 4 = 5 6 解: 3 5 2 1 0 3 0 4 = 67 ≠ 0, D= 1 1 1 1 1 1 3 2