东北育才学校数学学科优秀教案

辽宁省东北育才学校高中部高二数学《余弦定理》教学案例及反思本课是在学生们已掌握正弦定理的基础上，继续探究余弦定理. 通过对本课的学习，学生一方面能够领会余弦定理的推导方法、掌握余弦定理的形式与内容，另一方面能够初步具备利用余弦定理解决实际问题的能力. 在问题解决的过程中还可以增强学生独立思考、合作学习的意识.二、学情分析考虑到学生对解三角形的方法已有所掌握，本节课通过具体问题入手创设问题情境，学生能够在熟悉的背景下，通过教师的引导，对余弦定理进行探究和初步应用.自我探究、思考、总结，合作交流等，是本节课中学生学习的主要方式.三、教学目标分析（一）知识与技能目标1.知识目标：掌握余弦定理，并能初步运用余弦定理解斜三角形.2.能力目标：培养学生数学探究能力，培养学生独立思考、合作学习的意识，并进一步培养学生的创新意识.（二）过程与方法本课授课类型为新授课. 本节课拟采用启发式教学模式，通过问题激发学生的求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的引导下发现、分析和解决问题，体验数学发现和创造的过程.（三）情感态度、价值观目标养成实事求是、扎实严谨的科学态度，培养自主探究的兴趣，学会用数学的方法提出问题、创新问题、解决问题，体验数学探究过程中的快乐.四、教学过程：（一）创设情境，引入课题提出问题1：你认为将三角形的哪些元素作为已知，就可以求得其它元素？提出问题2：在上述哪些已知条件下，可以使用正弦定理解三角形？其它问题又该怎样解决呢？旨在通过提问回顾如何确定一个三角形，在怎样的已知条件下使用正弦定理，并以此问为背景孕育新的问题：已知“两边及夹角”或“三边”，怎样解三角形？提出问题3：ABC ∆中，已知4b =，5c =，60A ∠=，求a .设计一个具体问题激发学生的探究和主动学习的欲望，在此问题中，学生很难再利用正弦定理求解，但利用学过的知识必定可以求解此题. 教师鼓励学生独立思考，争取一题多解，给学生创设很大的思维空间，并适时引导学生进行解法讨论、对比，有利于学生获取更多的解决问题的思想和手段，培养学生的合作交流的意识. 教师在点评完学生的解法后，提出新的问题：“对于这类问题是否也像前面正弦定理一样，存在定理或公式可以解这种三角形？”，随后将问题条件一般化，由此进入新课的学习.（二）进行新课1.探究定理提出问题4：如果将问题改为一般的情况：ABC ∆中，已知b ，c 及A ∠，求a . 请同学选择上述的某种解法进行推导.旨在提出一般问题，寻求一般公式表达. 有了前面的求解，学生对公式的推导应该不会感到困难. 但若用几何法推导，则需考虑A ∠为锐角、直角或钝角三种情况. 此时，教师应作点拨：几何法的证明就是把斜三角形化为两个直角三角形，化一般为特殊，在利用勾股定理来证明，推导过程中还渗透有分类讨论的思想方法，这是证明余弦定理的一般方法，但证明过程稍显繁琐，而坐标法和向量法可以避开讨论. 这样做，一方面学生可以领会解题中的数学思想方法，另一方面，教师对学生思维的严谨性也进行了一次很好的训练.通过对推导过程的回顾分析，学生很容易会在已知两边及夹角的条件下得出余弦定理的另两个公式表达，教师适时点拨这组公式体现出的结构上的和谐统一及一种轮换对称的美，向学生渗透学科德育.师生共同分析此表达式的特征：三角形一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的两倍. 至此，余弦定理”浮出”水面.2.强化定理提出问题5：在怎样的条件下使用余弦定理呢？旨在引导学生对余弦定理在解三角形中的应用作分析、归纳和总结.提出问题6：余弦定理指出了斜三角形中三边平方之间的关系，而勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？余弦定理也被称为广义勾股定理，加入对余弦定理和勾股定理的比较和联系的讨论，学生可以体会特殊与一般的辩证关系.（三）知识巩固提出问题7：能否编制一道利用余弦定理解三角形的问题？旨在引导学生对余弦定理在解三角形中的应用作思考和探究，使学生主动参与到数学实践活动中来，以独立思考和相互交流的形式，体验数学发现和创造的过程，培养学生的创新意识.（四）归纳总结提出问题8：本节课你的学习体会是什么？旨在提高学生归纳概括能力，同时使自己的认知结构更完整，知识更系统（五）作业1.必做题：教材 P10 习题1－1B 2，52.选做题：教材P9 练习B 3，习题1－1A 4（3）（六）板书设计（七）教学反思有效问题的提出是我自认为在组织教学时的成功之处.在课堂上，通过创设情境，学生进行自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为余弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实.。

培智学校数学教案
教学目标：
1.通过本课的学习，学生能够掌握如何求解一元一次方程。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

教学过程：
一、导入（引入新知识）
1.导入问题：小明买了一辆自行车，他花了520元买了一辆新自行车。

请问这辆自行车原价是多少元？
2.让学生思考解决这个问题的方法。

3.引导学生思考使用一元一次方程来解决这个问题。

二、讲解一元一次方程的概念及解题方法
1.简单介绍一元一次方程的含义。

2.讲解如何列方程。

3.讲解解一元一次方程的步骤。

三、练习
1.让学生分组进行练习，解决一些简单的一元一次方程。

2.教师巡视并给予必要的指导和帮助。

四、展示解题方法
1.随机选择一组学生上台展示他们解题的方法。

2.让其他同学评价和发表自己的观点。

五、拓展练习
1.让学生在课后自行完成一些拓展练习题。

2.下节课进行讲解和解答。

六、课堂小结
1.对学生的概念掌握情况进行简单总结，引导学生自己总结。

备注：本教案中不包含标题相同的文字。

东北育才学校高三数学指数对数第一轮复习学案高考要求：1、 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2、 掌握指数函数的概念、图像和性质．3、 理解对数的概念，掌握对数的运算性质．4、 掌握对数函数的概念、图像和性质．5、 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题． 考点回顾：1．幂的有关概念(1)正整数指数幂)(*∈⋅⋅⋅⋅=N n a a a a a n n48476Λ个(2)零指数幂)0(10≠=a a (3)负整数指数幂()10,nn aa n N a-*=≠∈(4)正分数指数幂)0,,,1m na a m n N n *=>∈>；(5)负分数指数幂)10,,,1mnm naa m n N n a-*==>∈>(6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈()()()20,,sr rs a a a r s Q =>∈()()()30,0,rr r ab a b a b r Q =>>∈3．根式的内容（1）根式的定义:一般地，如果a x n=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中()*∈>Nn n ,1，na 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫被开方数。

(2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则⎩⎨⎧<-≥==00a aa a a a n n②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零4．对数的内容 (1)对数的概念如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a(2)对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a (3)对数的运算性质N M MN ①a a a log log log +=N M NM②a a alog log log -= M n M ③a n a log log =其中a>0,a ≠0,M>0,N>0(4)对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且5、 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)互为反函数，从概念、图象、性质去理解它们的区别和联系 名称 指数函数 对数函数一般形式 Y=a x (a>0且a ≠1) y=log a x (a>0 , a ≠1) 定义域 (-∞,+ ∞) (0,+ ∞) 值域 (0,+ ∞) (-∞,+ ∞) 过定点 （０，1）（1，０）图象指数函数y=a x 与对数函数y=log a x (a>0 , a ≠1)图象关于y=x 对称单调性 a> 1,在(-∞,+ ∞)上为增函数 ０＜a<1, 在(-∞,+ ∞)上为减函数 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数０＜a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?比较两个幂值的大小，是一类易错题，解决这类问题，首先要分清底数相同还是指数相同，如果底数相同，可利用指数函数的单调性；指数相同，可以利用指数函数的底数与图象关系（对数式比较大小同理） 记住下列特殊值为底数的函数图象：6、 研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制7、 指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。

直线与平面平行的判定【教学内容分析】本节教材选自人教A版数学必修②第二章第一节课,本节内容在立几学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理,不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。

本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大.【学生学习情况分析】任教的学生在年段属中上程度,学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

【设计思想】本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知,操作确认，合情推理,归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

【教学目标】通过直观感知——观察-—操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。

培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。

让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感.【教学重点与难点】重点是判定定理的引入与理解,难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

【教学过程设计】（一）知识准备、新课引入提问1:根据公共点的情况,空间中直线a和平面α有哪几种位置关系？并完成下表:我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为a⊄α提问2：根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径.（设计意图:通过提问，学生复习并归纳空间直线与平面位置关系引入本节课题,并为探寻直线与平面平行判定定理作好准备）（二）判定定理的探求过程1、直观感知提问：根据同学们日常生活的观察,你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面.生2:门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示。

东
学部 课时 使用 教材 课题 知识 目标 能力 目标 情感态度 与价值观 初三六年 / 编者 年级 李京秋 初三 课型 班型 新授课 六年制
北 育 才 学 校 数 学 学 科 优
北师大版九年级数学
切线的判定和性质 1、使学生学会较熟炼地运用切线的判定方法和切线的性质证明问题． 2、掌握运用切线的性质和切线的判定的有关问题中辅助线引法的基本规律． 通过对圆的切线位置关系的观察，培养学生能从几何图形的直观位置归纳出几何性 质的能力 经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理 能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点
培养学生的想 象能力， 让学 生 提体 出会 学这 生种 司从 空 宏 观 现 象 推 论 见惯、 熟视无睹 分 子特征 的方 的问题， 激发他 法 们的思维 鼓励学生善于 观察 增强感性认识， 启迪学生用联 想的方法来进 行思考、类比， 培养创造能力
作业
配套练习册和练习卷
板书 设计 教学 效果 预计 课后 反思
教学 目标
重点 教法
准确、熟炼地运用切线的判定及性质 问题探讨发现法
难点 电化教学
准确、熟炼地运用切线的判定及性质
教学 辅助 手段
教具 及 学具
教 学 过 程
教师活动 学生活动 设计意图
秀 教 案
引入： 复习直线与圆的位置关系及切线的性质 . 3 、切线的画法 新课： ⑴A 在⊙O 上，作 CD⊥AB， ⑵A 在⊙O 外，以 A 为圆心，CO 1、CD 探索圆的切线的性质 ∴ 是⊙O 的切线 为直径作圆与⊙O 交于 B、C O ☆圆的切线垂直于过切点的直径 ∴ AB、AC 是⊙O 的切线 B 在⊙O 中，AB 切⊙O 于点 C，∴ OC⊥AB B 切线的性质及推论可简述为 C O A B ⑴经过圆心;⑵垂直于切线;⑶经过切点， A 已知这三个条件中的任何两个，则可推出第 3 个. 知切线，连半径，得垂直；知直径，得直角。 A D C 2、 切线的判定 C 提出问题：如图，AB 是⊙O 的直 例题： A 径，直线 l 经过点 A ， l 与 AB 的夹 例 1、如图，AB 是⊙O 的直径，∠ACB = 45°， 角为∠ α，求证： ，当 l 绕点 A 旋转时， BA = BC BC 是⊙ O 的切线. O (1)随着∠α 的变化，点 O 到 l 的 距离 d 如何变化?直线 l 与⊙O 的 C B 位置关系如何变化? C (2) 当∠ α 等于多少度时，点 O 到 D 在 AB 例2 、如图， AB 是⊙O 的直径，点 l 的距离 d 等于半径 r? 此时，直线 的延长线上， BD = OB ，∠ CAB = 30°， A l 与⊙O 有怎样的位置关系 求证： DA 是⊙O 的切线. ?为什么? D B O ☆经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 常见的证明切线的题目只有两种情形 ⑴已知直线经过圆上的一点,其证法是连结这点和圆心,再证明这个辅 助半径与这条直线垂直即可 ,可简为 :连半径,证垂直. 例 3、已知 AB 是⊙O 的直径， BC 是⊙O ⑵如果已知条件中不知直线与圆有公共点 ,其证法是过圆心作直线的 的切线，切点为 B，OC 平行于弦 AD． 垂线段DC ,再证明垂线段长度等于半径的长即可 ,可简记为:作垂直,证半 求证： 是⊙O 的切线． 径. 例 4．如图：PT 是⊙O 的切线，切点是 T， M 是⊙O 内一点，PM 及 PM 的延长线交⊙O 于 B，C，BM=BP＝2，PT＝ 2 5 ，OM=3， 求⊙O 的半径. 巩固练习：见附页 小结：本节课学习的知识及方法。 作业：见附页

课后反思
以前觉得安排学生在课上活动很耽误时间，也很麻烦，要准备那么多的教具。但是这一次的公开课我不仅仅由原来十分钟就带过的课上到了40分钟，最后还觉得时间有点紧。课后通过学生们的反馈我认识到这样上课的收益很大。一方面他们真正体验到100万是怎样的概念，培养了学生的数感，另一方面，学生对学习数学兴趣更加浓厚了，他们感到学习数学很有用，数学就发生在我们身边。这种收获比学生会做几道数学题更有价值。
情感态度与价值观
在与他人合作交流中，体会数学的应用价值，培养学生的合作意识，激发学生的学习兴趣。
重点
借助于自己熟悉的事物，从不同角度对100万进行感受，发展学生的数感。
难点
合理地设计估算方案、发展学生的数感。
教法
活动探究法
教学辅助手段
多媒体
教具及
学具
天平、尺子、计算器。
教 学 过 程
教师活动
学生活动
学生根据测量和计算的结果，对所提出的问题进行分析和判断，并用比较流畅的语言汇报小组探究的成果。
激发求知欲
通过联想和猜想，引起学生认知上的冲突，增强求知欲，培养学习兴趣，也为后面的实践探究打下伏笔。
通过实践感受100万有多大，鼓励学生从不同角度去认识100万，培养学生的数感。
能够用计算器处理较复杂的数据，并能做出合理的解释和推断。通过小组合作，培养学生的合作交流意识。
培养学生的语言表达能力。
鼓励学生并使学生经历反思、提升的过程。
使学生体会数学与现实世界的紧密联系。在对大数的感受过程中，鼓励学生使用计算器处理复杂的数据，培养学生解决实际问题的意识和能力并增加环保意识和社会责任感。
引导学生梳理知识结构,培养学生的语言表达及归纳能力,形成及时总结反思的良好习惯。

情感态度与价值观
通过作图及与其他人的合作，培养学生对图形的欣赏意识。
重点
平移图形的规律，作图的顺序
难点
平行线的作法及对应点的连结
教法
自主探究式
教学辅助手段
多媒体
教具及
学具
多媒体
教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
复习引入：
提问：1、什么叫平移？2、平移有哪些性质？3、决定平移的两大要素是什么？
回忆，并给出准确答案
让不同层次的学生都能有展示自己的机会
课堂小结：
在教师的引导下，学生总结本节课的主要内容和作图是应该注意事项。
学生畅所欲言，互相补充，完善本节课的学习
老师鼓励学生用规范的数学语言
作业
板书设计
课题
复习引入：例题的讲解：发展延伸效果
预计
课后反思
本节内容比较简单，学生整体掌握较好；借助多媒体进行实验验证，直观、形象。但发展延伸的内容较难接受一点，望在以后的教学过程中再加强。
东北育才学校数学学科优秀教案
学部
常态
编者
高晶
课型
概念课
课时
1
年级
初二
班型
54人
使用教材
北师大版
课题
简单的平移作图
教学
目标
知识
目标
经历对图形进行观察、分析、欣赏和动手操作、画图等过程，掌握有关画图的操作技能，学会平移作图，掌握作图技巧。
能力
目标
通过对图形的观察、分析、对比平移前后的图形特征，动手操作，发展学生的动手能力。
对本节课内容的学习是一个很好的铺垫
探究新知：
提出问题：（课件演示）经过平移，线段AB的端点移到了点D，你能作出线段AB平移后的图形吗？

题通过具体应用加 深对知识的理解， 同时体会数学就 在我们身边，增强 数学的应用意五、典例精析如图，ZB=ZC=90。

，AC=DF, BF=EC, BA 与 ED 是 否相等？分析问题并给以板演证明在解决问题的过 程中，体会分析问 题的方法，加深对 公理的认识六、总结反思总结：判定直角三角形全等的方法。

直角角 形 全 等 条件 rAAS一锐角一直角边彳ASA一边一两边一锐角斜边AAS两直角边SAS 斜边直角边HL总结直角三角 形全等的条件。

体会判定直角三 角形全等的一般 方法与特殊方法， 在此基础上，归纳 判定直角三角形 全等的方法，构建 知识斜边直角边（文字语板书设七、作业探索直角三角形全等的条件（符号语言）在教学时应及时了解并尊重学生的个体差异。

学生的个体差异表现为认知方式和思维策略的 不同，以及认知水平和学习能力的差异，因此在教学时要及时调整方式，尽可能满足多样化的学 习需要，以认知水平、学习能力较好一些的学生带动稍微薄弱的学生的思维，但却不能代替他们 的思考，掩盖他们的疑问。

在小组合作和全班交流中给不同层次的学生留有一个平台，互相学习， 取长补短，使知识的学习和吸收更具有实效性。

（图形语A.两条直角边对应相等C.斜边和一条直角边对应相B.斜边和一锐角对应相等D.两个锐角对应相等随堂练习一一直角三角形全等判定1.如图，PB丄AB于B, PC丄AC于C,且PB二PC,则厶APB^AAPC的理由是（）A.SASB.ASAC.HLD.AAS2.如图，BE丄AD的延长线于E, CF丄AD于F,且BE二CF,则厶BED^ACFD的理由是（）A.HLB.ASAC.SASD.AAS3.如图，AABC中，AD丄BC, D为BC的中点，则厶ABD今/XACEE的理由是（A.HLB.ASAC.SASD.AAS4.如图，AABC中，AD丄BC于D, BE丄AC于E, AD与BE相交于F,若BF=AC,那么ZABC的大小是（）A.40°B.45°C.50°D.60°5.判断两个直角三角形全等的方法，不正确的有（）o6.如图，AB丄BD, EDIBD, AC二EC, AC丄EC,求证：BD二AB+EDB C。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学让我们共同成长教学案例[摘要]：对于新班主任来说，了解学生心理状态并与学生共同成长十分必要。

本文讲述了教师巧妙与学生沟通的方法，让学生与教师共同成长的成功案例。

[关键词]：沟通；共同成长[案例背景]晓晓（化名），一个活泼开朗的女孩儿，数学成绩较差，但学习态度认真，有学习数学的热情，在刚刚结束的内测考试中取得136分的成绩，进步显著。

[情景描述]2011年11月25日，星期五，上午，数学课，我激情澎湃地讲解着一道题，并用自信满满的语气对学生们说：“凡是这样有两个问题的题目，在解决第二个问题时一定能用到第一个问题的结论…”学生们都瞪着眼睛专心地听着,教室里只回响着我一个人的演讲词,突然,传来一个清脆女孩儿的声音：“老师，不一定吧？肯定有别的题不是这样的！”我吓了一跳，停顿下来，定睛一看，是晓晓，后背倚在座位上，跷着腿，满脸却布满认真的疑惑。

这个突如其来的声音和她略显悠闲的坐姿让全班学生的眼神开始游动，然后是几乎所有同学都用等待的眼神盯紧我，我一头冷汗，停顿了几秒中，故作平静地说：“我们至今为止见过的题目中大多数都是这样的，大多数的题目有这样的规律。

好吧，下次请有问题的同学举手，请站起来向老师提出问题。

”同时不禁向晓晓投去一个责备的目光。

…下课了…我回到办公室，对刚刚课上发生的这件事心有余悸，主要是因为当时的我太投入自己的演讲，而那个声音又太突然，毫无预兆地打断了我的思路和情绪，这让我差一点不知所措，想到这些我有点生气，为什么晓晓不举手呢？而且她当时的状态让我觉得她很骄傲。

于是我把晓晓叫到办公室，准备和她聊一聊。

我一脸严肃地问：“晓晓，今天在课堂上你突然打断老师讲课，提问的时候不举手，也不站起来，这样做对吗？看你的状态，是不是觉得这次考试考的不错，所以骄傲了？”本以为一向倔强开朗的晓晓态度会很强硬，意料之外的是，她低着头，非常小声地说：“老师，上课的时候我就看出来你好象不高兴了，我没有骄傲…”随即眼泪竟然如泉涌般落了下来，而且发出抽泣的声音，这个意外的反应让我惊呆了，楞了几秒钟，赶忙回转思路说：“好了，好了，别哭了，平静一下，其实你今天提的问题很好，但是你采取的方式对台上的人显得不够尊重，所以老师把你叫过来谈一谈，一会还要上课，你先回去吧，我们下午再谈。

东北育才学校高三数学向量的概念 向量的加法与减法 实数与向量的第一轮复习学案高考要求：1．理解向量的有关概念，掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向量的量积及其运算法则，理解向量共线的充要条件.2．会用向量的代数运算法则、三角形法则、平行四边形法则解决有关问题．不断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 考点回顾：1）向量的有关概念①向量：既有大小又有方向的量。

向量一般用c b a,,……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB 。

向量的大小即向量的模（长度），记作|AB |。

②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0与任意向量平行。

<注意与0的区别>③单位向量：模为1个单位长度的向量。

④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一直线上。

⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合，记为b a。

2）向量加法①求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设b a,，则a +b=BC AB =AC 。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”。

说明：（1）a a a00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 3)向量的减法① 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量。

记作a,零向量的相反向量仍是零向量。

关于相反向量有：（i ）)(a =a；(ii) a +(a )=(a )+a =0 ；(iii)若a 、b是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 。

②向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a与b 的差，记作：)(b a b a。

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。

b a 的作图法：b a 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b有共同起点）。

注：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学线性规划教学案例生：2 分钟作图师：好，先作到这，我们一起在几何画板上来确定区域．第一步做出边界的直线，注意虚实(几何画板演示)，第二部，确定区域是在直线的上方还是下方，有几种方法来确定?生：(1)斜截式的情况 (2)一般式的情况 (3)代点法师：我们用代点法来确定，代入错误!未找到引用源。

点，显然这三个不等式都不满足，故应该在其上方，也就是这样一个区域．(画板演示)二．新课讲授师：在上基础上大家继续来考虑这样一个问题：已知实数错误!未找到引用源。

满足错误!未找到引用源。

，求错误!未找到引用源。

的最小值．(板书)师：前面的不等式组对应的是坐标平面里的一个区域，有形的意义，那这里的错误!未找到引用源。

是否具有形的意义？生：直线的截距师：什么样直线的截距？生：斜率为－1的直线．师：对我们这个问题有什么帮助呢？生：可将直线平移，研究截距的最小值．师：说具体点就是斜率为－1的直线经平移与这个区域有交点时截距的最小值．借助于图形，能否找出截距的最小值？生：在A点取得最小值．师：为何是A点而不是B点呢？借助于坐标纸和几何画板我们比较容易观察出来，可如果作草图势必会出现误差，谁能给出一个更加让人信服的解释？生：斜率的角度考虑．师：从形的角度考虑给我们提供了一个很好的思路，但光靠形来解决问题不够准确，需要数来辅助，斜率为－1恰好介于错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

之间，若介于另两条直线之间则取B点，若恰等于AB，这AB段上所有的点都可以让错误!未找到引用源。

取得最小值．好，大家求出A点的坐标及错误!未找到引用源。

的最小值．生：错误!未找到引用源。

，错误!未找到引用源。

师：现在这个问题我们求解完了，下面我们一起来反思一下这是一个什么类型的问题？师/生：错误!未找到引用源。

满足一个不等式组，即在一定的约束条件下，这里的约束条件是直线型，我们称之为线性约束条件，在线性约束条件的基础之上研究什么呢？研究关于错误!未找到引用源。

２）其中＂测度＂的意义依D确定，当D分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．
（预设例题1
下列概率问题中哪些属于几何概型？
⑴袋中有2个黑球，2个白球，从中摸出两个球，问恰有1个是黑球的概率？
⑵箭靶的直径为1m，靶心的直径为12cm，任意向靶射箭，射中靶心的概率为多少？
⑶随机地投掷硬币50次，求至少有一次正面向上的概率？
东北育才学校数学学科教案
学部
高中部
授课教师
课型
新授课
课时
第1课时
授课年级
高一
班型
特长
使用教材
普通高中课程标准实验教科书（人教社B版·必修3）
课题
几何概型
教学
目标
知识
与能力
过程
与方法
1．通过游戏、案例分析，体会几何概型与古典概型的区别；会用类比的方法学习新知识，提高学生的解题分析能力；
2．经历将一些实际问题转化为几何概型的过程，探求正确应用几何概型的概率计算公式解决问题的方法，增强几何概型在解决实际问题中的应用意识；
（２）几何概型的基本特点：
１）试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；
２）每个基本事件出现的可能性相等．
（３）几何概型的概率：
一般地，在几何区域 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域 内＂为事件 ，则事件 发生的概率 ．
（4）说明：
１）区域D内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关．
情感态度与价值观
通过对几何概型的研究，感知生活中的数学，体会数学文化，培养学生的数学素养。
重点
初步体会几何概型，将求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题

情感态度 通过实际问题的解决，激发学生的学习热情，体会数学与现实生活的密
与价值观 切联系。 用待定系数法求函数的解析式
难点
多媒体计算机
学生自主探索为主，
教法
投影
以教师指导为辅，
教学设想
用待定系数法求函数解析式步骤
学法 指导
自主探索性学习方法为 主,培养学生观察、分析、 归纳、合作交流的方法
为辅
首先,从整体上认识待定系数法,体会其在各个领域上的应用;然后,讲解待定系数法的定义,体 会"待定"的含义;然后点题(应用待定系数法求函数解析式),先以正比例函数为例,通过一点可 以惟一确定函数图象,也是确定惟一函数解析式.最后是这节课的重点,求二次函数的解析式, 并加以应用.
东北育才学校 数学 学科优秀教案
学部 课时 使用 教材 课题
教学 目标
重点 教学 辅助 手段
国际部 1
编者 年级
王丽卓 高一
课型 班型
新授课
人民教育出版社B版 数学 第册
知识 与能力 过程 与方法
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
待定系数法 掌握待定系数法的定义及解决实际问题的步骤，培养学生分析问题、用 适当方法解决问题的能力；
教师指导——学生探索发现——学生归纳总结
教学设计
（1）引入部分：先一代数恒等式求未知系数（如 x 2－ 3x－ 4－ (x a)(x b) ，求a,b的值。这
实际上也是分解因式的应用），让学生说出如何确定a,b的值；再以化学中的配平方程式为例
（
如
） Cu HNO3 Cu (NO3 ) 2 NO HO2
配
平
时
用
1 x法
1Cu xHNO3 1Cu (NO3 )2 xNO xHO2 然后根据元素O列方程，解出x的值；物理中力学中解

=6×P(ξ＝6)+7×P(ξ＝7)+ 8×P(ξ＝8)+9×P(ξ＝9)+10×P(ξ＝10)=8.02<8.1 所以让薛保全参加比赛。
师：看来数学期望可以判定事物的好坏、优劣，某射手射击的平均水平。
以上我们是从具体的射击实例了解了期望,推广到一般,你能给数学期望下个严格定义吗?
生：下定义(教师完善)
探究活动：如果你是编者,除了按书上的形式设计题目外,你还可以怎样设计此题呢?(小组讨论)
老师给几点提示：一定是有限次抽查吗？一定是抽查次数为随机变量吗？必须是产品问题吗？(学生编题后分析)
三小结：本节课从知识上我们学习了期望的定义，了解了期望的作用；从思想方法上,我们学到了由特殊到一般的数学思想,它是我们获得新知识常用的思想方法
东北育才学校高三数学离散型随机变量的期望竞赛课教案
课题
1.2离散型随机变量的期望
教
学
目
标
知识
理解离散型随机变量的期望及作用
能力
提高学生推理论证、抽象概括能力，提出、分析、解决问题的能力及应用数学的意识
情感
培养学生学习数学的兴趣、锲而不舍的钻研精神；初步认识数学的应用价值、科学价值
重点
离散型随机变量期望的理解
(1)上奥运会场的概率为0.4,去上奥运会场给你记1分,去补上给你记０分，那么你得分ξ的期望是多少?
分析：求期望的步骤是什么？
解：因为 ，
所以
(2)投骰子决定去向,则投出的点数ξ的期望是多少？
分析：求期望的步骤是什么？
解：抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为
ξ
1
2
3
4
5
6
P
所以 1× ＋2× ＋3× ＋4× ＋5× ＋6×

教学重点：锥体体积公式的推导教学难点:多面体体积的求解方法及应用教学方法：启发、探究教学工具：多媒体投影仪教学过程：教学程序教学内容师生活动设计意图新课引入1、回忆复习柱体的体积公式.2、回忆复习祖暅原理的内容。

3、思考：等底面积等高的锥体的体积有何关系？由祖暅原理推得等底面积等高锥体的体积相等，设锥体的底面积为s，高为h，如何表示锥体的体积公式？教师提问,学生回答,同时电脑演示幻灯片.复习柱体体积和祖暅原理是本节课的知识和理论基础，同时巩利用锥体体积公式求解台体体积公式.教师板书解题求解过程.方法深化1、求棱长为a的正四面体的体积？变式：已知三棱锥P—ABC中，PA=1，AB=AC=2，∠PAB= ∠PAC= ∠BAC=60°，求三棱锥的体积？解：方法一：直接法学生计算体积公式。

教师引导学生用不同的方法求解.锥体体积公式的直接应用。

引导学生一题多解，探究ss/ss/hx3212V aABCPP中，AB∶A′B′＝1∶2，则三棱锥A′-ABC，B-A′B′C，C—A′B′C′的体积比为___________。

多解，培养唯物辨证的思想。

课堂练习练习：将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使B，D两点间距离变为a，则所得三棱锥D-ABC的体积为________.A CBD思考:你能求出A点到面BDC的距离吗？归纳小结这节课你在知识和方法上有怎样的收获？1、锥体的体积公式2、柱体的体积公式3、求多面体的体积时常用的方法教师引领学生共同归纳本节课所学使学生对本节所学知识A BCD。

辽宁省东北育才学校高中部高二数学组合定义教学案例教学构思一、重点难点分析本小节的重点是组合的定义、组合数及组合数的公式,组合数的性质。

难点是解组合的应用题。

突破重点、难点的关键是对加法原理与乘法原理的把握和应用,并将这两个原理的基本思想贯穿在解决组合应用题当中。

组合与组合数：从n个不同元素中任取mm≤n个元素并成一组,叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个组合。

所有这些不同的组合的个数叫做组合数。

从集合的角度看,从n个元素的有限集中取出m个组成的一个集合无序集,相当于一个组合,而这种集合的个数,就是相应的组合数。

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题,其次要搞清需要分类,还是需要分步切记:排组分清有序排列、无序组合,加乘明确分类为加、分步为乘二、教法思考1把排列与组合的概念进行对比的进行学习,这样有利于搞请这两组概念的区别与联系2学生与老师可以合编一些排列组合问题,如“45人中选出5人当班干部有多少种选法”与“45人中选出5人分别担任班长、副班长、体委、学委、生委有多少种选法”这是两个相近问题,同学们会根据自己身边的实际可以编出各种各样的具有特色的问题,教师要引导学生辨认哪个是排列问题,哪个是组合问题这样既调动了学生学习的积极性,又在编题辨题中澄清了概念为了理解排列与组合的概念,建议大家学会画排列与组合的树图如,从a,b,c,d 4个元素中取出3个元素的排列树图与组合树图分别为:排列树图由排列树图得到,从a,b,c,d 取出3个元素的所有排列有24个,它们分别是:abc,abd,,adc,adb,bac,bad,bca,bcd,bda,bdc……dca,dcb组合树图由组合树图可得,从a,b,c,d中取出3个元素的组合有4个,它们是abc,abd,acd,bcd 从以上两组树图清楚的告诉我们,排列树图是对称的,组合图式不是对称的,之所以排列树图具有对称性,是因为对于a,b,c,d四个字母哪一个都有在第一位的机会,哪一个都有在第二位的机会,哪一个都有在第三位的机会,而组合只考虑字母不考虑顺序,为实现无顺序的要求,我们可以限定a,b,c,d的顺序是从前至后,固定了死顺序等于无顺序,这样组合就有了自己的树图学会画组合树图,不仅有利于理解排列与组合的概念,还有助于推导组合数的计算公式3排列组合的应用问题,教师从简单问题问题入手,逐步找到有一个附加条件的单纯排列问题或组合问题,最后在涉及排列与组合的综合问题对于每一道题目,教师可以先让学生独立思考,在进行全班讨论,对于学生的每一种解法,教师要先让学生判定正误,再给予点播对于排列、组合应用问题的解决提倡一题多解,这样有利于培养学生的分析问题解决问题的能力,在学生的多种解法基础上教师要引导学生选择最佳方案,总结解题规律对于学生解题中的常见错误,教师一定要讲明道理,认真分析错误原因,使学生在是非的判定得以提高4两个性质定理教学：定理1：从4个不同的元素a,b,c,d里每次取出3个元素的组合及每次取出1个元素的组合分别是什么这就说明从4个不同的元素里每次取出3个元素的组合与从4个元素里每次取出1个元素的组合是—一对应的定理2：从n1个不同元素里每次取出m 个元素的组合,问:1可以组成多少个组合;2在这些组合里,有多少个是不含有元素a 的;3在这些组合里,有多少个是含有元素a 的;4从上面的结果,可以得出一个怎样的公式在此基础上引出定理2对于01n C =,和0!1=一样,是一种规定而学生经常误以为是推算出来的,因此,教学时要讲清楚三、教学设计示例教学目标知识：使学生正确理解组合的意义,正确区分排列、组合问题;使学生把握组合数的计算公式、组合数的性质用组合数与排列数之间的关系;技能：通过学习组合知识,让学生把握类比的学习方法,并提高学生分析问题和解决问题的能力;情感：通过对排列、组合问题求解与剖析,培养学生学习爱好和思维深刻性,学生具有严谨的学习态度。

学生2:我感觉有无数个.老师:理由？学生2:暂时没想好，就是感觉有无数个。

老师：数学是严谨的,不能全靠感觉,有没有想发言的？（略等一会,大家没有举手的)我们现在不管结果如何?来看看解决这道题的有没有合适的解题思路？可以想一想我们所学的数学思想。

学生3：根据解析几何思想,我们不妨建立适当的直角坐标系,设爆炸点坐标为P(x，y），根据几何条件写出方程，通过研究此方程的解的个数来判断能不能确定爆炸点的具体位置。

（此时掌声已经响起)老师：说的非常的好,用方程的解的个数来判断爆炸点的个数,很有创意。

那我们来看,几何条件是什么呢？(边问边写) /PA/—/PB/=4X330=1320。

(边指着这个式子边说)差为1320，那把这个问题一般化，现在就要看P点到A点与到B点的距离的差为常数的点的轨迹问题。

为了直观起见,我带来一块小黑板,请上来两个同学协助我做个实验，我这里有两段长度不等的绳子，将这两段绳子的各一端放在一起打个结，另一端分别固定在小黑板的两个螺丝钉上，注意绳长之差小于两螺丝钉之间的距离。

(老师和学生一起合作画出曲线，把两段绳子的固定点交换位置，再画出另一支曲线，具体操作略）老师：如果黑板无限大,绳子无限长，这两支曲线向四个方向无限延伸，我把这样的两支曲线合在一起叫做双曲线，请同学们根据我们的演示,归纳出双曲线的定义（1分钟后）学生3: 平面内与两个定点1F ，2F 的距离的差的等于常数的点的轨迹叫做双曲线有几个学生小声说： 差的绝对值.老师：有同学说”差的绝对值”，为什么要加"绝对值”。

（老师指向应和的一位学生，让他回答）学生4:如果不加绝对值，只能表示其中一支曲线.老师：很好.那加上绝对值是不是就可以了呢?还有没有持不同意见的. 学生5:刚才老师说. 绳长之差小于两螺丝钉之间的距离，所以我认为常数应该小于两螺丝钉之间的距离。

老师:相当不错,跟椭圆一样,应该有个条件,条件就是这位学生所说的。