数学湘教版必修1练习：第一章 集合与函数 1.2.7 含解析

1.2.2 充分条件和必要条件必备知识基础练1.已知x是实数,则使x2<4成立的一个必要而不充分条件是( )A.x<-2B.x<2C.|x|<2D.-1<={x|-1<x<1},P={x|b-a<∩P≠⌀”的充分条件,则b 的取值范围是( )A.[-2,0)B.(0,2]C.(-3,-1)D.(-2,2)3.(多选题)下列不等式:①x<1;②0<x<1;③-1<x<0;④-1<x<1.其中,可以作为-1<x<1的充分条件的为( )A.①B.②C.③D.④A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件C.“a>b”是“a2>b2”的充分条件D.“a<5”是“a<3”的必要条件5.已知集合A={x|x≥0},B={x|x≥a},若x∈A是x∈B的充分条件,则实数a的取值范围是,若x∈A是x∈B的必要条件,则a的取值范围是.6.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n= .7.设p:x>a,q:x>3.(1)若p是q的必要而不充分条件,求a的取值范围;(2)若p是q的充分而不必要条件,求a的取值范围;(3)若a是方程x2-6x+9=0的根,判断p是q的什么条件.关键能力提升练A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件9.(多选题)已知a,b均为实数,则“a>b”成立的必要条件可以是( )A.|a|>bB.-a<1-bC.a3>b3D.1a <1b10.(山东单县高一月考)方程x2-2x+a=0有实根的充要条件是,方程x2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件可以是.11.(上海虹口期末)已知条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p是q的必要条件,则实数k的取值范围为.答案：1.B 由x2<4得-2<x<2,求使x2<4成立的一个必要而不充分条件,则x<2满足条件.故选B.2.D 因为a=1,所以P={x|b-1<∩P≠⌀,所以-1≤b-1<1或-1<b+1≤1,所以0≤b<2或-2<b≤0,即b的取值范围是(-2,2).3.BCD 由于-1<x<1,①显然不能使-1<x<1一定成立,②③④满足题意.5.(-∞,0][0,+∞)因为x∈A是x∈B的充分条件,所以a≤0;因为x ∈A是x∈B的必要条件,所以a≥0.6.3或4 一元二次方程x2-4x+n=0有实数根⇔(-4)2-4n≥0⇔n≤4.又n∈N+,则当n=4时,方程x2-4x+4=0,有整数根2;当n=3时,方程x2-4x+3=0,有整数根1,3;当n=2时,方程x2-4x+2=0,无整数根;当n=1时,方程x2-4x+1=0,无整数根.所以n=3或n=4.7.解设A={x|x>a},B={x|x>3}.(1)若p是q的必要而不充分条件,则有B⫋A,所以a<3,a的取值范围为(-∞,3).(2)若p是q的充分而不必要条件,则有A⫋B,所以a>3,a的取值范围为(3,+∞).(3)因为方程x2-6x+9=0的根为3,则有A=B,所以p是q的充要条件.8.A P∩Q=P∪Q⇒P=Q⇒P⊆Q,当P⫋Q时,P∩Q≠P∪Q,所以P⊆Q P∩Q=P∪Q,所以甲是乙的充分而不必要条件.9.ABC 因为a>b,所以|a|≥a>b,故A正确;因为a>b,则b-a<0,则b-a<1,所以-a<1-b,故B正确;a>b可推出a3>b3,故C正确;若a=2,b=-3,此时1a >1b,故D不正确.故选BC.10.a≤1a=1(答案不唯一) 因为方程x2-2x+a=0有实根,所以Δ≥0,即(-2)2-4a≥0,解得a≤1.反之,当a≤1时,Δ≥0,则方程x2-2x+a=0有实根,所以a≤1是方程x2-2x+a=0有实根的充要条件.当a=1时,方程x 2-2x+1=0有实根x=1,而当方程x 2-2x+a=0有实根时不一定是a=1,所以a=1是方程x 2-2x+a=0有实根的一个充分而不必要条件.11.(-∞,-2] ∵条件p:2k-1≤x≤1-k,q:-3≤x<3,且p 是q 的必要条件, ∴{2k -1≤-3,3≤1-k ,解得k≤-2.则实数k 的取值范围是(-∞,-2].。

1.1 集合1.1.1 集合第1课时集合与元素A级必备知识基础练1.(多选题)下列每组对象,能构成集合的是( )A.中国各地最美的乡村B.平面直角坐标系中横、纵坐标相等的点C.一切很大的数D.清华大学入学的全体学生2.下列元素与集合的关系判断正确的是( )A.0∈NB.π∈QC.√2∈QD.-1∉Z3.以方程中元素的个数为( )A.1B.2C.3D.44.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2∈A,则实数m 为( )A.2B.3C.0或3D.0或2或35.有下列说法:①N中最小的数为1;②若-a∈N,则a∈N;③若a∈N,b∈N,则a+b的最小值为2;④所有小的正数组成一个集合.其中正确的个数是( )A.0B.1C.2D.36.一个书架上有九个不同种类的书各5本,那么由这个书架上的书组成的集合中含有个元素.7.有下列说法:①N与N+是同一个集合;②N中的元素都是Z中的元素;③Q中的元素都是Z中的元素;④Q中的元素都是R中的元素,其中正确的有.(填序号)8.设x∈R,A表示由3,x,x2-2x构成的集合.(1)求元素x应满足的条件;(2)若-2∈A,求实数x的值.B级关键能力提升练3所组成的集合最多含有元素的个数9.已知x∈R,由x,-x,|x|,√x2,-√x3是( )A.2B.3C.4D.510.(多选题)已知集合A中有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,则a可能为( )A.2B.4C.6D.811.设P,Q为两个数集,P中含有0,2,5三个元素,Q中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q中的元素是a+b,其中a∈P,b∈Q,求P+Q中元素的个数.C级学科素养创新练∈S.请解答下列问题:12.已知集合S满足:若a∈S,则11-a(1)若2∈S,则S中必有另外两个元素,求出这两个元素.(2)证明:若a∈S,则1-1∈S.a(3)在集合S中,元素能否只有一个?若能,把它求出来;若不能,请说明理由.答案：1.BD 中国各地最美的乡村,无法确定集合中的元素,故A不正确;一切很大的数,无法确定集合中的元素,故C不正确;根据集合中元素的确定性可知,B,D都能构成集合.故选BD.2.A 0是自然数,π,√2是无理数,不是有理数,-1是整数,根据元素和集合的关系可知,只有A正确.3.C 由集合元素的互异性可知两个相同的对象算作集合中的一个元素.方程x2-5x+6=0的解为x=2或x=3;方程x2-x-2=0的解为中有3个元素,分别是-1,2,3.故选C.4.B 由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可知,m=3.5.A N中最小的数为0,所以①错误;由-(-2)∈N,而-2∉N可知②错误;若a ∈N,b∈N,则a+b的最小值为0,所以③错误;“小的正数”没有明确的标准,所以④错误.故选A.6.97.②④因为N+表示正整数集,N表示自然数集,Z表示整数集,Q表示有理数集,R表示实数集,所以①③中的说法不正确,②④中的说法正确.8.解(1)由集合中元素的互异性,可得x≠3,x2-2x≠x,且x2-2x≠3,解得x≠-1,x≠0,且x≠3.(2)若-2∈A,则x=-2或x2-2x=-2.由于方程x2-2x+2=0无实数解,所以x=-2.经检验知,当x=-2时三个元素符合互异性.故x=-2.3=-x中,至多有2个不同的实数,所以9.A 因为x,-x,|x|,√x2=|x|,-√x3组成的集合最多含有元素的个数是2.10.AB 集合A中含有3个元素2,4,6,且当a∈A时,6-a∈A,当a=2∈A时,6-a=4∈A,则a=2;当a=4∈A时,6-a=2∈A,则a=4;当a=6∈A时,6-a=0∉A.综上所述,故a=2或4.11.解当a=0时,由b∈Q可得a+b的值为1,2,6;当a=2时,由b∈Q可得a+b的值为3,4,8;当a=5时,由b∈Q可得a+b的值为6,7,11.由集合元素的互异性可知,P+Q中的元素为1,2,3,4,6,7,8,11,共8个.12.(1)解因为2∈S,所以11-2=-1∈S,所以11-(-1)=12∈S,所以11-12=2∈S.所以集合S中另外的两个元素为-1和12.(2)证明由题意,可知a≠1且a≠0,由11-a ∈S,得11-11-a∈S,即11-11-a =1-a1-a-1=1-1a∈S.所以若a∈S,则1-1a∈S.(3)解集合S中的元素不可能只有一个.理由如下:令a=11-a,即a2-a+1=0.因为Δ=(-1)2-4<0,所以此方程无实数解,所以a≠11-a.因此集合S中不可能只有一个元素.。

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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2 函数的概念和性质 阅读与思考 数学实验 1.2.4 从解析式看函数的性质 1.2.6 分段函数 1.2.8 二次函数的图像和性质——对称性 小结与复习 问题探索 2.1 指数函数 阅读与思考 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.4 函数与方程 2.4.2 计算函数零点的二分法 2.5 函数模型及其应用 2.5.2 形形色色的函数模型
第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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1.1.2 集合的包含关系
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1．本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质．2．集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实．3．集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法．4．以x为自变量的函数y＝f(x)就是从它的定义域到值域的一个映射．设b＝f(a)，那么(a，b)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数y＝f(x)的图象．显然，任作垂直于x轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点．5．函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定．一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．6．函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法．7．二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值．8．分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.题型一 集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用Venn 图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏． 例1 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． (1)若(∁R A )∪B ＝R ，求a 的取值范围． (2)是否存在a 使(∁R A )∪B ＝R 且A ∩B ＝∅？解 (1)A ＝{x |0≤x ≤2}， ∴∁R A ＝{x |x <0，或x >2}． ∵(∁R A )∪B ＝R .∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2，∴－1≤a ≤0， 即a 的取值范围是[－1,0]． (2)由(1)知(∁R A )∪B ＝R 时， －1≤a ≤0，而a ＋3∈[2,3]，∴A ⊆B ，这与A ∩B ＝∅矛盾．即这样的a 不存在．跟踪演练1 (1)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝________. (2)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B 等于( ) A ．(－∞，2] B ．[1,2] C ．[－2,2]D ．[－2,1]答案 (1){6,8} (2)D解析 (1)先计算∁U A ，再计算(∁U A )∩B . ∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴∁U A ＝{6,8}．∴(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．(2)先化简集合A ，再借助数轴进行集合的交集运算． A ＝{x ∈R ||x |≤2}＝{x ∈R |－2≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x ∈R |－2≤x ≤2}∩{x ∈R |x ≤1}＝{x ∈R |－2≤x ≤1}． 题型二 函数的概念与性质研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象及其变化趋势，从近几年的高考形式来看，对函数性质的考查体现了“小”、“巧”、“活”的特征，做题时应注重上述性质知识间的融合．例2 已知函数f (x )＝mx 2＋23x ＋n 是奇函数，且f (2)＝53.(1)求实数m 和n 的值；(2)求函数f (x )在区间[－2，－1]上的最值． 解 (1)∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，∴mx 2＋2－3x ＋n ＝－mx 2＋23x ＋n ＝mx 2＋2－3x －n . 比较得n ＝－n ，n ＝0. 又f (2)＝53，∴4m ＋26＝53，解得m ＝2. 因此，实数m 和n 的值分别是2和0. (2)由(1)知f (x )＝2x 2＋23x ＝2x 3＋23x .任取x ∈[－2，－1]，且h ＜0， 则f (x ＋h )－f (x )＝23(x ＋h ＋1x ＋h －x －1x )＝2h 3·x (x ＋h )－1x (x ＋h ). ∵h ＜0，x ∈[－2，－1]， ∴x (x ＋h )＞1，即x (x ＋h )－1＞0，∴f (x ＋h )－f (x )＜0，∴函数f (x )在[－2，－1]上为增函数， 因此f (x )max ＝f (－1)＝－43，f (x )min ＝f (－2)＝－53.跟踪演练2 (1)函数y ＝21－1－x 的定义域为( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)(2)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. 答案 (1)B (2)－x (x ＋1)2解析 (1)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，即x ≤1且x ≠0.(2)设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)． 又因为f (x ＋1)＝2f (x )， 所以f (x )＝f (x ＋1)2＝－x (x ＋1)2.题型三 函数图象及其应用函数的图象是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．函数图象广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点． 例3 对于函数f (x )＝x 2－2|x |.(1)判断其奇偶性，并指出图象的对称性； (2)画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．解 (1)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )2－2|－x |＝x 2－2|x |. 则f (－x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．图象关于y 轴对称．(2)f (x )＝x 2－2|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝(x －1)2－1，x ≥0，x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ＜0.画出图象如图所示，根据图象知，函数f (x )的最小值是－1. 单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)； 减区间是(－∞，－1]，[0,1]．跟踪演练3 对于任意x ∈R ，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者，则f (x )的最小值是________． 答案 2解析 首先应理解题意，“函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中的较大者”是指对某个区间而言，函数f (x )表示－x ＋3，32x ＋12，x 2－4x ＋3中最大的一个．如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点A (0,3)，B (1,2)，C (5,8)．从图象观察可得函数f (x )的表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3， x ≤0，－x ＋3， 0<x ≤1，32x ＋12， 1<x ≤5，x 2－4x ＋3， x >5.f (x )的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B (1,2)，所以f (x )的最小值是2. 题型四 分类讨论思想分类讨论思想的实质是：把整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，在解决含有字母参数的问题时，常用到分类讨论思想，分类讨论要弄清对哪个字母进行分类讨论，分类的标准是什么，分类时要做到不重不漏．本章中涉及到分类讨论的知识点为：集合运算中对∅的讨论，二次函数在闭区间上的最值问题、函数性质中求参数的取值范围问题等． 例4 设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值． 解 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，对称轴为x ＝1.当t ＋1<1，即t <0时，函数图象如图(1)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ≤1≤t ＋1，即0≤t ≤1时，函数图象如图(2)，最小值为f (1)＝1；当t >1时，函数图象如图(3)，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上所述f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋1，t ＜0，1，0≤t ≤1，t 2－2t ＋2，t ＞1.跟踪演练4 已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解 ∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .(1)当B ≠∅时，由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或2.当x ＝1时，a ＝2；当x ＝2时，a ＝1.(2)当B＝∅时，即当a＝0时，B＝∅，符合题意．故实数a组成的集合C＝{0,1,2}．1.函数单调性的判定方法(1)定义法．(2)直接法：运用已知的结论，直接判断函数的单调性，如一次函数，二次函数，反比例函数；还可以根据f(x)，g(x)的单调性判断－f(x)，1f(x)，f(x)＋g(x)的单调性等．(3)图象法：根据函数的图象判断函数的单调性．2.二次函数在闭区间上的最值对于二次函数f(x)＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值问题，有以下结论：(1)若h∈[m，n]，则y min＝f(h)＝k，y max＝max{f(m)，f(n)}；(2)若h∉[m，n]，则y min＝min{f(m)，f(n)}，y max＝max{f(m)，f(n)}(a<0时可仿此讨论)．3. 函数奇偶性与单调性的差异函数的奇偶性是相对于函数的定义域来说的，这一点与研究函数的单调性不同，从这个意义上说，函数的单调性是函数的“局部”性质，而奇偶性是函数的“整体”性质，只有对函数定义域内的每一个x值，都有f(－x)＝－f(x)或[f(－x)＝f(x)]，才能说f(x)是奇函数(或偶函数)．。

第1章 集合与函数
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1.1.1 集合的含义和表示
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第1章 集合与函数 1.1.2 集合的包含关系 1.2.1 对应、映射和函数 1.2.2 表示函数的方法 1.2.3 从图像看函数的性质 1.2.5 函数的定义域和值域 1.2.7 二次函数的图像和性质——增减性和最值 数学实验 第2章 指数函数、对数函数和幂函数 阅读与思考 2.1.1 指数概念的推广 2.2.1 对数的概念和运算律 2.2.3 对数函数的图像和性质 2.3.2 幂函数的图像和性质 2.4.1 方程的根与函数的零点 数学实验 2.5.1 几种函数增长快慢的比较
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1.2.2 表示函数的方法
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数学实验
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1.2 函数的概念和性质
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1.2.1 对应、完整版】
阅读与思考

．本章主要内容有集合的初步知识；基于集合和对应观点的函数概念，函数的表示和基本性质；二次函数的图象和性质．．集合是最基本的数学概念，元素和集合的关系(属于或不属于)，集合的关系及运算(包含、相等、交、并、补)，这些都是今后经常要使用的数学概念，要能熟练地运用集合语言描述数学事实．．集合的表示方法有列举法、描述法和图象法，其中图象法又有维恩图表示和对特定数集(区间)在数轴上表示的方法．．以为自变量的函数＝()就是从它的定义域到值域的一个映射．设＝()，那么(，)就是函数图象上的一个点，所有这样的点组成的集合就是函数＝()的图象．显然，任作垂直于轴的直线，它和任一函数的图象最多只能有一个公共点．．函数的定义域有两种确定方式，即由解析式确定或由函数对应法则的实际含义所确定．一般说，如给出了一个解析式而未说明它的实际含义，那么这一函数的定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．．函数的单调递增和单调递减的概念、直观形象和基本判别方法；函数的最大(小)值和最大(小)值点的概念和直观形象；奇函数和偶函数的概念、直观形象和基本判别方法．．二次函数的图象特征、增减性、对称性、顶点和在一个区间的最大、最小值．．分段函数概念的引入是因为解决实际问题的需要，与分段函数有关的问题，必然要分段讨论，这里再次提醒，分段函数是一个函数而不是两个或更多个函数.题型一集合的运算集合的运算是指集合间的交、并、补这三种常见的运算，在运算过程中往往由于运算能力差或考虑不全面而出现错误，不等式解集之间的包含关系通常用数轴法，而用列举法表示的集合运算常用图法，运算时特别注意对∅的讨论，不要遗漏．例已知集合＝{≤≤}，＝{≤≤＋}．()若(∁)∪＝，求的取值范围．()是否存在使(∁)∪＝且∩＝∅？解()＝{≤≤}，∴∁＝{<，或>}．∵(∁)∪＝.∴∴－≤≤，即的取值范围是[－]．()由()知(∁)∪＝时，－≤≤，而＋∈[]，∴⊆，这与∩＝∅矛盾．即这样的不存在．跟踪演练()已知集合＝{}，＝{}，＝{}，则(∁)∩＝.。

1。

1。

2集合的包含关系[学习目标］1。

明确子集，真子集，两集合相等的概念。

2.会用符号表示两个集合之间的关系.3.能根据两集合之间的关系求解参数的范围。

4.知道全集,补集的概念，会求集合的补集．［知识链接]1．已知任意两个实数a，b，如果满足a≥b，b≥a，则它们的大小关系是a＝b。

2．若实数x满足x＞1,如何在数轴上表示呢？x≥1时呢？答案3．方程ax2－(a＋1）x＋1＝0的根一定有两个吗？答案不一定．［预习导引］1．集合之间的关系或B A 2.(1）任意一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A.（2）空集是任意一个集合的子集，即对任意集合A,都有∅⊆A.要点一有限集合的子集确定问题例1 写出集合A＝｛1,2，3}的所有子集和真子集．解由0个元素构成的子集：∅;由1个元素构成的子集:｛1｝，｛2｝，｛3｝;由2个元素构成的子集:{1,2}，｛1，3},｛2,3}；由3个元素构成的子集:｛1,2,3}．由此得集合A的所有子集为∅，｛1｝,｛2}，｛3｝，{1，2｝，｛1,3｝，｛2,3}，{1,2，3}．在上述子集中,除去集合A本身，即｛1,2,3｝，剩下的都是A的真子集．规律方法1。

求解有限集合的子集问题，关键有三点：(1)确定所求集合；(2）合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；（3）注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．2．一般地，若集合A中有n个元素，则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．跟踪演练1 已知集合M满足{2，3｝⊆M⊆｛1,2，3，4，5}，求集合M及其个数．解当M中含有两个元素时，M为｛2,3};当M中含有三个元素时,M为｛2,3,1},{2,3,4},｛2,3，5｝;当M中含有四个元素时，M为{2,3，1,4｝，｛2,3，1，5｝,｛2，3,4,5}；当M中含有五个元素时，M为｛2,3,1,4，5}；所以满足条件的集合M为{2，3｝，{2，3,1},｛2,3，4｝，{2，3，5｝，{2，3，1,4}，｛2，3，1,5},｛2，3，4，5},｛2，3,1，4,5},集合M的个数为8.要点二集合间关系的判定例2 指出下列各对集合之间的关系：（1)A＝{－1,1},B＝{（－1,－1),（－1，1），（1，－1），（1,1）｝;（2）A＝{x｜x是等边三角形｝,B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x｜－1＜x＜4｝，B＝｛x｜x－5＜0｝;（4）M＝｛x｜x＝2n－1，n∈N＋}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N＋｝．解(1）集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．（2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.（3)集合B＝｛x|x＜5｝,用数轴表示集合A，B如图所示，由图可知A B。

．集合．集合的含义和表示第课时集合的概念[学习目标].通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.体会元素与集合间的“从属关系”.记住常用数集的表示符号并会应用.会判断集合是有限集还是无限集．[知识链接]．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．．解不等式－＞得＞，即所有大于的实数集在一起称为这个不等式的解集．．一元二次方程－＋＝的解是＝，＝.[预习导引]．集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的．．元素与集合的关系知识点关系概念记法读法元素与集合的关系 属于 若是一个集合，是的一个元素，就说属于∈ 属于 不属于若不是的元素，就说不属于 ∉ 不属于.常用数集及符号表示名称非负整数集自然数集正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号＋.集合的分类集合空集：没有元素的集合，记作∅.要点一集合的基本概念例下列每组对象能否构成一个集合：()我们班的所有高个子同学；()不超过的非负数；()直角坐标平面内第一象限的一些点；()的近似值的全体．解()“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．()任给一个实数，可以明确地判断是不是“不超过的非负数”，即“≤≤”与“＞或＜”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过的非负数”能构成集合；()“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；()“的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“”是不是它的近似值，所以“的近似值的全体”不能构成集合．规律方法判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是。

第1章测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={-2,-1,0,1,2},N={x|N=( )A.{-1,1}B.{-1,0,1}C.{-2,-1,0,1}D.{-1,0,1,2}2.已知集合A={x|x-1≥0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0}B.{1}C.{1,2}D.{0,1,2}3.设x∈R,则“x3>8”是“|x|>2”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.已知M,N都是U的子集,则图中的阴影部分表示( )A.M∪NB.∁U(M∪N)C.(∁U M)∩ND.∁U(M∩N),1}={a2,a+b,0},则a2 023+b2 023的值为( ) 5.已知a,b∈R,若集合{a,baA.-1B.0C.1D.-1或06.集合A={x|x<-1或x≥3},B={x|ax+1≤0}.若B ⊆A,则实数a 的取值范围是( ) A.[-13,1)B.[-13,1]C.(-∞,-1)∪[0,+∞)D.[-13,0)∪(0,1)7.设集合A={x|x 2-8x+15=0},B={x|ax-1=0},若A∩B=B,求实数a 组成的集合的子集个数是( ) A.6 B.3C.4D.88.设集合A={x|a-1<x<a+1},B={x|1<x<5}.若A∩B=⌀,则实数a 的取值范围是( ) A.[0,6]B.(-∞,2]∪[4,+∞)C.(-∞,0]∪[6,+∞)D.[2,4]二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.设全集U={0,1,2,3,4},集合A={0,1,4},B={0,1,3},则( )A.A∩B={0,1}B.∁U B={4}C.A∪B={0,1,3,4}D.集合A的真子集个数为810.已知集合A={2,3},B={x|m可以是( )A.3或2B.1C.0D.-111.下列说法正确的是( )A.“a≠0”是“a2+a≠0”的必要而不充分条件C.“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“菱形的对角线一定不相等”D.“k>4,b<5”是“一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x 轴于正半轴”的充要条件三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.13.已知全集U={0,1,2,3},A={= .四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知全集U为R,集合A={x|0<x≤2},B={x|-2<x+1<2},求:(1)A∩B;(2)(∁U A)∩(∁U B).16.(15分)已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.17.(15分)已知p:实数x满足a<x<4a(其中a>0),q:实数x满足2<x≤5.(2)若p是q的必要而不充分条件,求实数a的取值范围.18.(17分)已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0,a∈R}.(1)若A是空集,求a的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求a的值,并把这个元素写出来;(3)若A中至多有一个元素,求a的取值范围.19.(17分)已知集合A n={(x1,x2,…,x n)|x i∈{0,1}(i=1,2,…,n)},若x,y ∈A n,记x=(x1,x2,…,x n),y=(y1,y2,…,y n),定义x⊗y=(x1+y1)(x2+y2)…(x n+y n).(1)若x=(1,1,1,1)且x⊗y=4,求y;(2)令B={+n为偶数(card(B)表示集合B中元素的个数);(3)若集合A ⊆A n ,且A 中的每一个元素均含有4个0和4个1,对任意N={-1,0,1},故选B.2.C 由题意得A={x|x≥1},B={0,1,2},则A∩B={1,2}.3.A 由x 3>8,得x>2⇒|x|>2;当|x|>2时,则x>2或x<-2,不能得到x 3>8,比如x=-3.所以“x 3>8”是“|∪N 的补集.5.A ∵{a,ba ,1}={a 2,a+b,0},∴b=0,∴{a,0,1}={a 2,a,0},则1=a 2,解得a=-1或a=1(舍去).则a+b=-1.故选A. 6.A ∵B ⊆A,∴①当B=⌀时,即ax+1≤0无解,此时a=0,满足题意.②当B≠⌀时,即ax+1≤0有解,当a>0时,可得x≤-1a ,要使B ⊆A,则需要{a >0,-1a<-1,解得0<a<1.当a<0时,可得x≥-1a ,要使B ⊆A,则需要{a <0,-1a≥3,解得-13≤a<0.综上,实数a 的取值范围是[-13,1).故选A.7.D A={3,5},B={x|ax=1},∵A∩B=B,∴B ⊆A. ∴①当a=0时,B=⌀,符合题意; ②当B≠⌀时,1a=3或1a=5,∴a=13或a=15,∴实数a 组成的集合的元素有3个,∴实数a组成的集合的子集个数为23=8.故选D.8.C ∵A={x|a-1<x<a+1},∴A≠⌀.又A∩B=⌀,如图可知a+1≤1或a-1≥5.故a≤0或a≥6,即a的取值范围为(-∞,0]∪[6,+∞).9.AC 因为A={0,1,4},B={0,1,3},所以A∩B={0,1},A∪B={0,1,3,4},选项A,C都正确;又全集U={0,1,2,3,4},所以∁U B={2,4},选项B错误;集合A={0,1,4}的真子集有7个,所以选项D错误.10.AC 当m=0时,方程m≠0时,B={6m },因为B⊆A,所以6m=2或6m=3,解得m=3或m=2.对于C,“任意菱形的对角线一定相等”的否定是“存在菱形,其对角线不相等”;对于D,当k>4,b<5时,函数y=(k-4)x+b-5的图象如图所示,显然交y轴于负半轴,交x轴于正半轴.当一次函数y=(k-4)x+b-5的图象交y轴于负半轴,交x轴于正半轴时,即x=0,y=b-5<0,所以b<5.当y=0时,x=5-bk-4>0,因为b<5,所以k>4.所以选项D中的说法是正确的.12.∃x∈[0,+∞),x2+x<013.-3 ∵∁U A={1,2},∴A={0,3},∴0,3是关于=-3.15.解B={x|-3<x<1},(1)因为A={x|0<x≤2},所以A∩B={x|0<x<1}.(2)∁U A={x|x≤0或x>2},∁U B={x|x≤-3或x≥1},所以(∁U A)∩(∁U B)={x|x≤-3或x>2}.16.解(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2,所以a的取值范围是(2,+∞).17.解(1)若a=1,p为真,p:1<x<4,q为真,q:2<x≤5.(2)设A={x|a<x<4a,a>0},B={x|2<x≤5}.∵p是q的必要而不充分条件,∴B⫋A,∴{a≤2,4a>5,∴解得54<a≤2.综上所述,a的范围为(54,2].18.解集合A是方程ax2-3x+2=0在实数范围内的解组成的集合.(1)A 是空集,即方程ax 2-3x+2=0无解,得{a ≠0,Δ=(-3)2-8a <0,∴a>98,即实数a 的取值范围是(98,+∞).(2)当a=0时,方程只有一解,方程的解为x=23;当a≠0,且Δ=0,即a=98时,方程有两个相等的实数根,A 中只有一个元素43,∴当a=0或a=98时,A 中只有一个元素,分别是23或43.(3)A 中至多有一个元素,包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况,根据(1),(2)的结果,得a=0或a≥98,即a 的取值范围是{a |a =0,或a ≥98}.19.(1)解由4=1×1×1×4=1×1×2×2(不考虑顺序),而x i +y i 只可能为0或1或2,则x ⊗y=4只可能为2个y i 为0,2个y i 为1,∴y=(1,1,0,0)或(1,0,1,0)或(1,0,0,1)或(0,0,1,1)或(0,1,1,0)或(0,1,0,1).(2)证明由(1)可得+n=2n+2=2(n+1)为偶数.(3)解4=1×1×1×1×1×1×2×2,也就是取y 时,与x 中为1的位置恰好只有2个重合也为1,x 中0的位置y 中为1,则此时y 中1的个数为4+2=6,与4个0和4个1不符,无法找出这样的元素.。

故m的取值范围是{m|m≤－16}.
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
14
规律方法
b f(x)＝ax ＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－ ] 上是递 2a
2
b 减函数，在[－ ，＋∞)上是递增函数. 2a
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
15
跟踪演练2 已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]. (1)当a＝－1时，求函数f(x)的最大值和最小值；
f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，
又f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，
∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
12
2a＝2， ∴2b＝4， 2a＋2c＝0，
a＝1， ∴b＝2， c＝－1，
－x1)· (x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式).
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
11
跟踪演练1
已知f(x)为二次函数，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋
4x.求f(x)的解析式.
解 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
则f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数有最大值8， 4a－2a－1－a2 ∴ ＝8. 4a 解之得a＝－4.
∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值
10
规律方法
用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式
的设法有三种形式，即f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x

．函数的概念和性质．对应、映射和函数[学习目标].能记住映射的定义，知道什么是象，什么是原象，会根据对应法则说出象和原象.会判断给出的对应是否是映射.能记住函数的定义，知道什么是函数的定义域、值域.能说出函数的三要素．[预习导引]．映射()在数学里，把集合到集合的确定性的对应说成是映射．()映射的定义：设，是两个非空的集合．如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个元素，在集合中都有唯一元素和它对应，这样的对应叫作从集合到集合的映射，记作：→.()在映射：→中，集合叫作映射的定义域，与中元素对应的中的元素叫的象，记作＝()，叫作的原象．．函数()函数就是数集到数集的映射．()函数的定义：设，是两个非空的数集．如果按照某种对应法则，对于集合中的任何一个数，在集合中都有唯一的数和它对应，这样的对应叫作定义于取值于的函数，记作：→，或者＝()(∈，∈)．()在函数＝()(∈，∈)中，叫作函数的定义域，与∈对应的数叫的象，记作＝()，由所有∈的象组成的集合叫作函数的值域．()函数的三要素：①对应法则；②定义域；③值域.要点一映射定义的理解例判断下列对应哪些是从集合到集合的映射．哪些不是，为什么？()＝{∈＋}，＝{∈}，：→＝±；()＝，＝{}，：→＝()＝{}，＝{}，：→＝(－).解()任一个都有两个与之对应，∴不是映射．()对于中任意一个非负数都有唯一的元素和它对应，对于中任意的一个负数都有唯一的元素和它对应，∴是映射．()在的作用下，中的分别对应到中的，∴是映射．规律方法判断一个对应是不是映射，应该从两个角度去分析：()是不是“对于中的每一个元素”；()在中是否“有唯一的元素与之对应”．一个对应是映射必须是这两个方面都具备；一个对应对于这两点若有一点不具备就不是映射．说明一个对应不是映射，只需举一个反例即可．跟踪演练下列对应是不是从到的映射，能否构成函数？()＝，＝，：→＝；()＝{＝，∈＋}，＝，：→＝；()＝[，＋∞)，＝，：→＝；()＝{是平面内的矩形}，＝{是平面内的圆}，：作矩形的外接圆．解()当＝－时，的值不存在，∴不是映射，更不是函数．()是映射，也是函数，因中所有的元素的倒数都是中的元素．。

本章复习提升易混易错练易错点1 忽略集合中元素的意义导致错误 1.()方程组{x +y =5,3x -4y =-6的解构成的集合是 ( )A.{x =2,y =3}B.{2,3}C.{(2,3)}D.(2,3) 2.()已知集合M ={(x ,y )|(x +3)2+(y -1)2=0},N ={-3,1},则M 与N 的关系是 ( ) A.M =N B.M ⊆NC.M ⊇ND.M ,N 无公共元素 3.()已知集合M ={x |y =x 2+2x +4},N ={y |y =2x 2+2x +3},则M ∩N = .易错点2 忽略集合中元素的互异性导致错误 4.()已知集合P ={x |-1≤x ≤1},M ={-a ,a }.若P ∪M =P ,则实数a 的取值范围是 ( )A.{a |-1≤a ≤1}B.{a |-1<a <1}C.{a |-1<a <1且a ≠0}D.{a |-1≤a ≤1且a ≠0} 5.(2021河北张家口尚义第一中学高一期中,)已知集合A ={a +1,a -1,a 2-3},若1∈A ,则实数a 的值为 .6.()设集合A ={(x -1)2,7x -3,5},B ={25,6x +1,5x +9},若A ∩B ={25},则A ∪B = .易错点3忽略对空集情况的讨论导致错误7.(多选)()已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},则使A ∪B=A的实数m的取值范围可以是()A.{m|-3≤m≤4}B.{m|m>2}C.{m|2<m<4}D.{m|m≤4}8.()已知集合A={x|x2-3x-4=0},B={x|mx+1=0},且B⫋A,则实数m 的值为.9.(2020山东淄博第一中学高一上期中,)已知集合A={x|x2+x-2=0},集合B={x|x2+ax+a+3=0},若A∩B=B,求实数a的取值集合.10.(2021贵州遵义航天高级中学高一上月考,)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}.(1)若A∩B=⌀,求实数m的取值范围;(2)若A∪B=A,求实数m的取值范围.易错点4忽略对端点值的取舍导致解题错误11.(2019北京人大附中高一期中,)已知集合A={x|x>1},B={x|x>a},若A⊆B,则实数a的取值范围是. 12.()已知集合A={x|x≥4或x<-5},B={x|a+1≤x≤a+3,a∈R},若B⊆A,求实数a的取值范围.易错点5不能正确区分条件与结论导致错误13.(2021安徽马鞍山高一上质检,)命题p:-1≤x<2的一个必要不充分条件是()A.-1≤x≤2B.-1≤x<2C.0≤x<2D.0≤x<314.(2021天津实验中学高一上月考,)一元二次方程ax2+4x+3=0有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A.a<0B.a>0C.a<-1D.a>1易错点6忽略命题中的隐含条件导致错误15.()若命题p:∃x∈R,√x>1,则¬p:.思想方法练一、补集思想在集合问题中的应用1.(2021安徽马鞍山第二中学月考,)若集合A⊆{1,2,3},且A中至少含有一个奇数,则这样的集合A有()A.3个B.4个C.5个D.6个2.()已知集合A={x|x2-2x+9-a=0},B={x|ax2-4x+1=0,a≠0},若集合A,B中至少有一个非空集合,求实数a的取值范围.二、分类讨论思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用3.()已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有2个子集,则实数a的取值是()A.1B.0,1C.-1,1D.-1,0,14.()已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0}, C={x|x2-mx+2=0}.(1)命题p:“∀x∈B,都有x∈A”,若命题p为真命题,求实数a的值;(2)若“x∈A”是“x∈C”的必要条件,求实数m的取值范围.三、数形结合思想在集合问题中的应用5.(2021福建仙游第一中学高一上月考,)高二(一)班共有学生50人,每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人,这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人,在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人,在物理、化学中只选一门的学生都至少有6人,那么同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为()A.16B.17C.18D.196.()已知集合A={x|x<-1或x≥1},B={x|2a<x<a+1,a<1},B⊆A,求实数a的取值范围.四、转化与化归思想在集合与常用逻辑用语问题中的应用7.(2021上海交通大学附属中学高三上期中,)已知x∈R,则“|x-2|<1”是“x<3”的()A.既不充分也不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件8.(2021湖南邵阳邵东第一中学高一上期中,)已知命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0,命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0,若命题p,q都是真命题,求实数a的取值范围.五、特殊化思想在集合问题中的应用9.()定义差集A-B={x|x∈A,且x∉B},现有三个集合A,B,C分别用圆表示,则下列图中阴影部分表示集合C-(A-B)的为()10.(2020安徽六安第一中学高一上月考,)设I为全集,S1,S2,S3是I 的三个非空子集,且S1∪S2∪S3=I,则下面结论正确的是 ()A.(∁I S1)∩(S2∪S3)=⌀B.S1⊆[(∁I S1)∩(∁I S3)]C.[(∁I S1)∩(∁I S2)]=∁I(S1∪S2)D.S1⊆[(∁I S2)∪(∁I S3)]答案全解全析 易混易错练1.C 解方程组{x +y =5,3x -4y =-6得{x =2,y =3,∴方程组{x +y =5,3x -4y =-6的解构成的集合为{(2,3)}.故选C .2.D 易得M ={(x ,y )|(x +3)2+(y -1)2=0}={(-3,1)}是点集,而N ={-3,1}是数集,所以两个集合没有公共元素,故选D .3.答案 {y |y ≥52}解析 易得M =R,N ={y |y =2(x +12)2+52}={y |y ≥52},所以M ∩N ={y |y ≥52}.4.D 由P ∪M =P 得M ⊆P ,所以a ∈P ,-a ∈P ,即-1≤-a ≤1,且-1≤a ≤1,解得-1≤a ≤1,又因为-a ≠a ,所以a ≠0.故选D .5.答案 0或-2解析 若a +1=1,则a =0,此时A ={1,-1,-3},符合题意;若a -1=1,则a =2,此时A ={3,1,1},不满足集合中元素的互异性,舍去;若a 2-3=1,则a =-2或a =2(舍去),当a =-2时,A ={-1,-3,1},符合题意. 综上,a =0或a =-2.6.答案 {25,-31,5,-23,-11} 解析 由A ∩B ={25}得25∈A ,所以(x-1)2=25或7x-3=25,解得x=6或x=-4或x=4.当x=6时,A={25,39,5},B={25,37,39},A∩B={25,39},不满足题意,故x=6舍去;当x=-4时,A={25,-31,5},B={25,-23,-11},A∩B={25},满足题意,此时A∪B={25,-31,5,-23,-11};当x=4时,A={9,25,5},B={25,25,29},B中元素不满足集合中元素的互异性,故x=4舍去.综上,A∪B={25,-31,5,-23,-11}.7.ACD∵A∪B=A,∴B⊆A.①若B不为空集,则m+1<2m-1,解得m>2.∵A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},∴m+1≥-2,且2m-1≤7,解得-3≤m≤4.此时2<m≤4.②若B为空集,则m+1≥2m-1,解得m≤2,符合题意.综上,实数m满足m≤4即可,故选ACD.或0或18.答案-14解析A={x|x2-3x-4=0}={-1,4}.因为B⫋A,所以当B=⌀时,mx+1=0无.解,得m=0;当B≠⌀时,若B={-1},则m=1,若B={4},则m=-14综上所述,m的值为-1或0或1.49.解析集合A={x|x2+x-2=0}={-2,1}.由A∩B=B,得B⊆A.当B =⌀时,Δ=a 2-4(a +3)<0,即-2<a <6,显然B ⊆A. 当B ≠⌀时,由B ⊆A ,得B ={-2}或B ={1}或B ={-2,1}. 若B ={-2},则{a 2-4(a +3)=0,4-2a +a +3=0,即{a =-2或a =6,a =7,无解,舍去; 若B ={1},则{a 2-4(a +3)=0,1+a +a +3=0,即{a =-2或a =6,a =-2,所以a =-2; 若B ={-2,1},则{a 2-4(a +3)>0,-a =-1,a +3=-2,即{a <-2或a >6,a =1,a =-5,无解,舍去.综上,实数a 的取值集合为{a |-2≤a <6}.10.解析 (1)∵A ={x |-2≤x ≤5},B ={x |m +1≤x ≤2m -1}, ∴A ∩B =⌀时,分B =⌀和B ≠⌀两种情况讨论: 若B =⌀,则m +1>2m -1,解得m <2;若B ≠⌀,则{m +1>5,m +1≤2m -1或{2m -1<-2,m +1≤2m -1,解得m >4.综上,实数m 的取值范围是{m |m <2或m >4}. (2)若A ∪B =A ,则B ⊆A.当B =⌀时,有m +1>2m -1,解得m <2; 当B ≠⌀时,有{m +1≥-2,2m -1≤5,m +1≤2m -1,解得2≤m ≤3.综上,实数m 的取值范围是{m |m ≤3}. 11.答案 {a |a ≤1}解析 如图,在数轴上表示出A ,B , 因为A ⊆B ,所以a ≤1.12.解析 易知a +3>a +1,所以B ≠⌀,利用数轴表示B ⊆A ,如图所示,或则a +3<-5或a +1≥4,解得a <-8或a ≥3.所以a 的取值范围是{a |a <-8或a ≥3}.13.A 根据必要不充分条件的定义可知,只需找一个x 的取值集合,使{x |-1≤x <2}是此取值集合的一个真子集即可,结合选项可知,{x |-1≤x <2}是{x |-1≤x ≤2}的真子集. 故选A .14.C ∵一元二次方程ax 2+4x +3=0有一个正根和一个负根, ∴{Δ=16-12a >0,3a<0,解得a <0.故满足题意的a 的取值集合应是集合{a |a <0}的真子集,结合选项可知选C .15.答案 ∀x ∈R,√x ≤1或x <0解析 特称命题的否定是全称命题,又√x >1中x 的取值范围是{x |x >1},其补集为{x |x ≤1},所以¬p 为∀x ∈R,√x ≤1或x <0.思想方法练1.D 由题可知,集合A 为非空集合.集合{1,2,3}的非空子集共有23-1=7个,其中不含奇数的集合只有1个,所以至少含有一个奇数的集合共有7-1=6个.故选D.2.解析对于集合A,由Δ=4-4(9-a)<0,解得a<8;对于集合B,由Δ=16-4a<0,解得a>4.因为A,B两个集合中至少有一个集合不为空集,所以a的取值范围是{a|a≥8或a≤4,且a≠0}.3.D集合A有且仅有2个子集,说明集合A中只含有一个元素.对于集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},当a=0时,A={0},满足题意.当a≠0时,Δ=4-4a2=0,即a=±1.若a=1,则A={-1},满足题意;若a=-1,则A={1},满足题意.所以a=0或a=±1,故选D.4.解析(1)由题意得A={1,2}.∵命题p为真命题,∴B⊆A.又∵B={x|[x-(a-1)](x-1)=0},∴B有两种情况:①若B={1},则a-1=1,解得a=2;②若B={1,2},则a-1=2,解得a=3.因此,a的值为2或3.(2)∵“x∈A”是“x∈C”的必要条件,∴由“x∈C”能推出“x∈A”,从而C⊆A,因此,集合C有四种情况:①C=A,此时{Δ=m2-8>0,m=1+2,解得m=3;②C ={1},此时{Δ=m 2-8=0,m =2,此时方程组无实数解,m 的值不存在;③C ={2},{Δ=m 2-8=0,m =4,此时方程组无实数解,m 的值不存在;④C =⌀,此时Δ=m 2-8<0,解得-2√2<m <2√2. 综上可知,m 的取值范围为{m |m =3或-2√2<m <2√2}. 5.C 把50名学生看成一个集合U , 选择物理课程的人组成集合A , 选择化学课程的人组成集合B , 选择生物课程的人组成集合C ,要使同时选择物理和化学这两门课程的学生人数最多,且满足物理、化学、生物这三门课程都不选的有10人,这三门课程都选的有10人, 则其他几个选择的人数均为最少,故只选物理的最少有6人,只选化学的最少有6人,三门课程中只选化学、生物的最少有3人,只选物理、生物的最少有3人,只选生物的最少有4人,以上最少有42人,可作出如下图所示的Venn 图,所以三门课程中只选物理、化学的至多有8人,所以同时选择物理和化学这两门课程的学生人数至多为10+8=18. 故选C .6.解析 ∵a <1,∴2a <a +1,∴B ≠⌀. 利用数轴表示B ⊆A ,如图所示.或.由图知要使B⊆A,需a+1≤-1或2a≥1,即a≤-2或a≥12≤a<1}.又∵a<1,∴实数a的取值范围是{a|a≤-2或127.D由|x-2|<1可得1<x<3,∵{x|1<x<3}⫋{x|x<3},∴“|x-2|<1”是“x<3”的充分不必要条件.故选D.8.解析∵命题p:∀x∈{x|0≤x≤1},x2-a≥0为真命题,∴a≤x2对任意x∈{x|0≤x≤1}恒成立,∴a≤(x2)min,即a≤0.∵命题q:∃x∈R,x2+2ax+a+2=0为真命题,∴方程x2+2ax+a+2=0有实数根,即Δ=4a2-4(a+2)=4a2-4a-8≥0,∴a≤-1或a≥2.∵命题p,q都是真命题,∴a≤-1.故实数a的取值范围为a≤-1.9.A如图所示,取A={1,2,4,5},B={2,3,5,6},C={4,5,6,7}.依题意得A-B={1,4},从而C-(A-B)={5,6,7},结合图形知,选项A正确.10.C令S1⫋I,S2=S3=I,则[(∁I S1)∩(S2∪S3)]=[(∁I S1)∩I]≠⌀,因此A错误;令S1=I,则∁I S1=⌀,即[(∁I S1)∩(∁I S3)]=⌀,因此B错误;令S2=S3=I,则[(∁I S2)∪(∁I S3)]=⌀,若S1⊆[(∁I S2)∪(∁I S3)],则S1=⌀,不符合题意,因此D错误;由集合的运算性质易知C正确.故选C.。

表示函数的方法[学习目标].掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．[知识链接]．在平面上，两个点可以确定一条直线，因此作一次函数的图象时，只需找到两个点即可．．二次函数＝＋＋(≠)的顶点坐标为(－，)．．函数＝－－＝(＋)(－)，所以函数与轴的交点坐标为(－)，()．[预习导引]．表示函数的方法()把一个函数的对应法则和定义域交待清楚的办法，就是表示函数的方法；()表示函数的三种主要方法分别是：解析法、图象法和列表法．．解析法()解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来得到的式子，叫作解析式，也叫作解析表达式或函数关系式．()解析法就是用解析式来表示函数的方法．．图象法函数图象的作图过程通常有列表、描点、连线三个步骤.要点一待定系数法求函数解析式例()已知反比例函数()满足()＝－，求()的解析式；()一次函数＝()，()＝，(－)＝－，求()．解()设反比例函数()＝(≠)，由()＝＝－，解得＝－，故()＝－.()设一次函数()＝＋(≠)，∵()＝，(－)＝－，∴解得∴()＝－.∴()＝×－＝.规律方法待定系数法求函数解析式的步骤如下：()设出所求函数含有待定系数的解析式．如一次函数解析式设为()＝＋(≠)，反比例函数解析式设为()＝(≠)，二次函数解析式设为()＝＋＋(≠)．()把已知条件代入解析式，列出含待定系数的方程或方程组．()解方程或方程组，得到待定系数的值．()将所求待定系数的值代回原式．跟踪演练已知二次函数()满足()＝，()＝，()＝，求该二次函数的解析式．解设二次函数的解析式为()＝＋＋(≠)，由题意得解得故()＝＋.要点二换元法(或配凑法)求函数解析式例求下列函数的解析式：()已知＝＋，求()；()已知(＋)＝＋，求()．解()方法一(换元法)令＝＝＋，有＝.。

2018-2019年高中数学湘教版《必修一》《第一章集合与函数》课后练习试卷【9】含答案考点及解析班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________ 题号一二三总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题,集合 1.已知全集，，则等于( ) B．A．D．C．【答案】C 【解析】试题分析：根据题意，由于全集,集合，而，因此可知=，故答案为C.考点：集合的交集点评：主要是考查了集合的基本运算，属于基础题。

2.非空数集中，所有元素的算术平均数记为，即．若非空数集满足下列两个条件：①；②，则称为的一个“保均值子集”．据此，集合的“保均值子集”有（）A．个B．个C．个D．个【答案】C 【解析】试题分析：非空数集A={1，2，3，4，5}中，所有元素的算术平均数E（A）==3，∴集合A的“保均值子集”有：{3}，{1，5}，{2，4}，{3，1，5}，{3，2，4}，{1，5，2，4}，{1，2，3，4，5}共7个；故选C．考点：本题主要考查集合的概念，学习能力。

点评：简单题，关键是理解新定义，计算元素的算术平均数。

3.若集合，则等于_____A．C．B．D．【答案】B 【解析】试题分析：因为y=中定义域为R，因此集合M=R，而对于y=,则使得表达式有意义的x的取值范围是x,那么集合MP={x|x}。

故答案为{x|x},选B.考点：本题主要考查了集合的交集的运算问题。

点评：解决该试题的关键是根据指数函数的性质和偶次根式的定义可知x的取值范围，进而得到集合M,P的求解运用。

4.若集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合C=｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝的真子集的个数为（）A．6B．8C．3D．7【答案】D【解析】因为集合A=｛-1，1｝，B=｛0，2｝，则集合C=｛z︱z=x+y,x∈A,y∈B｝中元素的个数为{-1,1,3}，因此可知真子集的根数为7个，选D. 5.设集合；则( )A．C．B．D．【答案】A【解析】解：因为，则，选A 6.已知集合，则=（）A．{3,5}B．{3,6}C．{3,7}D．{3,9}【答案】D【解析】略7.全集，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知集合则 ( )A．B．C．D．【答案】A【解析】。

第2课时表示集合的方法[学习目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法、描述法).2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合.3.能记住各类区间的含义及其符号，会用区间表示集合．[知识链接]1．质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，不能被其他自然数(不包括0)整除的数．2．函数y＝x2－2x－1的图象与x轴有2个交点，函数y＝x2－2x＋1的图象与x 轴有1个交点，函数y＝x2－x＋1的图象与x轴没有交点．[预习导引]1．列举法(1)把集合中的元素一个一个地写出来表示集合的方法，叫作列举法．(2)用列举法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出每个元素的名字，相邻的名字用逗号分隔．2．描述法(1)把集合中元素共有的，也只有该集合中元素才有的属性描述出来，以确定这个集合，叫作描述法．(2)用描述法表示集合，通用的格式是在一个大括号里写出集合中元素的共有属性；也可以在大括号里先写出其中元素的一般属性或形式，再写出特写的符号(竖线)，然后在符号后面列出这些元素要满足的其他条件．3．区间设a，b是两个实数，且a＜b，区间的含义及表示如下表要点一用列举法表示集合例1 用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．解 (1)设小于10的所有自然数组成的集合为A ，那么A ＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}．(2)设方程x 2＝x 的所有实数根组成的集合为B ，那么B ＝{0,1}．(3)设由1～20以内的所有质数组成的集合为C ，那么C ＝{2,3,5,7,11,13,17,19}． 规律方法 对于元素个数较少的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．应用列举法时要注意：①元素之间用“，”而不是用“、”隔开；②元素不能重复．跟踪演练1 用列举法表示下列集合：(1)我国现有的所有直辖市；(2)绝对值小于3的整数集合；(3)一次函数y ＝x －1与y ＝－23x ＋43的图象交点组成的集合． 解 (1){北京，上海，天津，重庆}；(2){－2，－1,0,1,2}；(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x －1，y ＝－23x ＋43的解是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝75，y ＝25，。

数学：第一章《集合与函数》单元测试（湘教版必修1）一、选择题（本大题共10个小题；每小题3分，共30分）在每小题给出的四个结论中，只有一项是符合题目要求的，把正确结论的代号填入本大题后的答题表内. 1．已知全集U R =，集合{|212}M x x =-≤-≤和{|21,1,2,}N x x k k ==-=的关系的韦恩（Venn ）图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 （ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个 2．函数(0)y x x =-≤的反函数是（ ）A ．2(0)y x x =≥ B ．2(0)y x x =-≥C ．2(0)y x x =≤D ．2(0)y x x =-≤ 3．|x | < 2是|x | < 1的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件4．已知函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩ 若()()22f a f a ->,则实数a 的取值范围是（ ）A ．()(),12,-∞-+∞B ．()1,2-C ．()2,1-D ．()(),21,-∞-+∞5．函数)(x f 在区间（－2，3）上是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）A ．（3，8）B ．（－7，－2）C ．（－2，3）D ．（0，5）6．函数)(x f y =的定义域为[1，4]，则函数)(x f y =的定义域是 （ ）A ．[1，2]B ．[－2，2]C ．]1,2][]2,1[--D ．[1，16]7．已知复合命题“p 且q ”为假命题，则可以肯定的是（ ）A ．p 为假命题B ．q 为假命题C ．p 、q 中至少有一个为假命D ．p 、q 均为假命题 8．已知y n xm x y x y x a a a log ,11log ,)1(log ,0,0,122则且=-=+>>=+等于（ ）A ．)(21n m + B ．)(21n m - C ．m + nD ．m －n9．若不等式6|2|<+ax 的解集为（－1，2），则实数a 等于 （ ）A ．8B ．2C ．－4D ．－810．已知B A Z x x N x B x N x A 则,},1|{},5|{∈>∈=≤∈=等于 （ ）A ．{1,2,3,4,5}B ．{2,3,4}C ．{2,3,4,5,}D ．}51|{≤<∈x R x二、填空题（本大题共5个小题；每小题4分，共20分）把答案填在题中横线上.11．命题“若m > 0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0有实数根”的否命题是 . 12．函数29124)(x x x f -+-=的定义域为 .13．若函数=-⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=)))9200(((,)0(0)0()0(1)(2f f f x x x x x f 则π . 14．已知函数)1(,12)(2++=x f x x f 则函数的值域为 .15．对于任意定义在R 上的函数)(x f ，若实数x 0满足00)(x x f =，则称x 0是函数f (x )的一个不动点.若二次函数1)(2+-=ax x x f 没有不动点，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共5小题，共50分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．（本小题满分8分） 试用定义判断函数),1(12)(+∞-=在区间x xx f 上的单调性． 17．（本小题满分10分） 比较2122255++xx 与的大小.18．（本小题满分10分）已知边长为1的正方形ABCD （如图），P 是对角线BD 上的点，连结AP 延长AP 交BC 或其延长线于Q ，设DP = x ，y 为△ADP 和△BPQ 的面积之和.写出y 关于x 的函数关系式.19．（本大题满分10分）已知二次函数x x f f bx ax x f ==+=)(,0)2()(2且方程满足有等根.（1）求f (x )的解析式；（2）求f (x )的值域；（3）是否存在实数m 、n(m<n)，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n]和[4m ，4n].若存在，求出m 、n 的值；若不存在，请说明理由.20．（本大题满分12分）已知集合{})2(,,,,321≥=k a a a a A k 其中),,2,1(k i Z a i =∈，由A 中的元素构成两个相应的集合(){}A b a A b A a b a S ∈+∈∈=,,,，(){}A b a A b A a b a T ∈-∈∈=,,,，其中()b a ,是有序实数对，集合T S 和的元素个数分别为n m ,.若对于任意的A a A a ∉-∈，总有，则称集合A 具有性质P .（Ⅰ）检验集合{}3,2,1,0与{}3,2,1-是否具有性质P ，并对其中具有性质P 的集合写出 相应的集合T S 和； （Ⅱ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：()21-≤k k n ；（Ⅲ）判断n m 和的大小关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题1．B 2．B 3．B 4．C 5．B 6．D 7．C 8．B 9．C 10．C1．B ；由{212}M x x =-≤-≤得31≤≤-x ，则{}3,1=⋂N M ，有2个． 2．B ；【解1】因为0x ≤，所以0y x =-≥，由y x =-，得2x y =-，所以(0)y x x =-≤的反函数为2(0)y x x =-≥．故选B ．【解2】（排除法）因为0x ≤，所以排除A,C ；又因为0y x =-≥，所以排除D ．故选B ．4．C ；【解法1】函数()24f x x x =+在0x ≥时是增函数,函数()24f x x x =-在0x <时是增函数,并且当0x =时, 2244x x x x +=-,所以, ()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩在R 上是增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ．【解法2】画出函数()224,0,4,0.x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩的图象,可以看出,已知函数是R 上的增函数．于是由()()22f a f a ->得22,a a ->即220a a +-<，解得21a -<<．故选Ｃ． 【解法3】用特殊值排除．当0a =时,()()()()222448,00f a f f a f -==+===, 不等式()()22f af a ->成立,从而排除A,D ； 当1a =-时, ()()()()221145,1415f a f f a f -==+==-=--=-,不等式()()22f af a ->成立,从而排除B ．故选C ．二、填空题11．若m ≤0，则关于x 的方程x 2+ x －m = 0没有实数根；12．}32{； 13．12+π； 14．[)+∞,3； 15．13<<-a三、解答题16．解：设211x x <<…………2分则)1)(1()(2)()(211221---=-x x x x x f x f…………4分01010,1211221>->->-∴<<x x x x x x…………5分0)1)(1()(22112>---∴x x x x…………6分)()(,0)()(2121x f x f x f x f >>-∴即 …………7分 故函数f (x )在区间（1，+∞）上递减. …………8分17．解：∵5＞1时或即当11,1,212222-<>>+>+∴x x x x x ， …………2分 2122255++>xx…………4分 当11,1,212222-===+=+x x x x x 或即时…………5分 2122255++=xx…………6分 当11,1,212222<<-<+<+x x x x 即时，…………7分 2122255++<xx…………9分212212222255,11;55,11++++=-==>-<>∴xxx xx x x x 时或当时或当；当.55,1121222++<<<-x x x 时…………10分 18．解：（1）x BP x DP -=∴=2,…………2分又△APD ∽△BPQ (]2,0,2∈-=∴x xxQB …………5分BP BQ PD AD y 22212221⋅+⋅=…………8分则：(]2,0,1)1(22∈-+=x xx y …………10分19．解：（1）0)2(,)(2=+=f bx ax x f.21,1,00)1(0)1(,)(02,02422-===--=∆∴=-+==+=+∴a b b x b ax x x f b a b a 即有等根即又即x x x f +-=∴221)(…………3分（2）2121)1(2121)(22≤+--=+-=x x x x f∴函数⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,)(的值域为x f…………6分（3）设有实数m 、n(m<n)使f (x )定义域为[m ，n]，值域为[4m ，4n] 当81214,21)(,1max ≤≤==n n x f x 即时…………7分⎩⎨⎧==∴n n f mm f n m x f 4)(4)(,],[)(则上是增函数在 …………8分⎩⎨⎧=-==-=∴0606n n m m 或或，由于0,6,=-=∴<n m n m 取…………10分20．（Ⅰ）解：集合{}3,2,1,0不具有性质P ，{}3,2,1-具有性质P ，其相应的集合T S 和是()(){}()(){}3,2,1,2,1.3,3,1-=--=T S ； …………3分（Ⅱ）证明：首先由A 中的元素构成的有序实数对共有2k 个，因为()T a a A i i ∈∈,,0),,2,1(k i =,又因为当A a A a ∉-∈时，，所以当()()T a a T a a i j j i ∉∈,,时，),,2,1(k i =． 于是集合T 中的元素的个数最多为()()121212-=-=k k k k n ，即()21-≤k k n ．…………6分（Ⅲ）解：n m =，证明如下：①对于()S b a ∈,，根据定义()T b b a A b a A b A a ∈+∈+∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是S 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a +=+与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,+与()d d c ,+也是T 中的不同元素.可见S 中的元素个数不多于T 中的元素个数，即n m ≤； …………9分②对于()T b a ∈,，根据定义()S b b a A b a A b A a ∈-∈-∈∈,,，从而，则 如果()()d c b a ,,与是T 中的不同元素，那么d b c a ==与中至少有一个不成立，于是d c b a -=-与d b =中至少有一个不成立，故()b b a ,-与()d d c ,-也是S 中的不同元素.可见T 中的元素个数不多于S 中的元素个数，即m n ≤． …………11分由①、②可知n m =． …………12分。

1．1 集合1．1.1 集合的含义和表示第1课时集合的概念[学习目标] 1.通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性.2.体会元素与集合间的“从属关系”.3.记住常用数集的表示符号并会应用.4.会判断集合是有限集还是无限集．[知识链接]1．在初中，我们学习数的分类时，学过自然数的集合，正数的集合，负数的集合，有理数的集合．2．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3．解不等式2x－1＞3得x＞2，即所有大于2的实数集在一起称为这个不等式的解集．4．一元二次方程x2－3x＋2＝0的解是x＝1，x＝2.[预习导引]1．集合的概念在数学语言中，把一些对象放在一起考虑时，就说这些事物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字．这些对象中的每一个，都叫作这个集合的一个元素．我们约定，同一集合中的元素是互不相同的．2．元素与集合的关系3.常用数集及符号表示4.集合⎩⎨⎧有限集：元素个数有限的集合无限集：元素无限多的集合空集：没有元素的集合，记作∅.要点一 集合的基本概念例1 下列每组对象能否构成一个集合： (1)我们班的所有高个子同学； (2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体．解 (1)“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合．(2)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；(4)“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值的全体”不能构成集合．规律方法 判断一组对象能否构成集合的关键在于看是否有明确的判断标准，使给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的．如果是“确定无疑”的，就可以构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．跟踪演练1 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有正三角形；(2)第一册课本上的所有难题； (3)比较接近1的正整数全体； (4)某校高一年级的16岁以下的学生． 答案 (1)(4) 解析要点二 元素与集合的关系例2 所给下列关系正确的个数是( ) ①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N ＋；④|－3|∉N ＋.A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 B解析 －12是实数，2是无理数，∴①②正确．N ＋表示正整数集，∴③和④不正确．规律方法 1.由集合中元素的确定性可知，对任意的元素a 与集合A ，在“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种情况中必有一种且只有一种成立．2．符号“∈”和“∉”只表示元素与集合之间的关系，而不能用于表示其他关系． 3．“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．跟踪演练2 设不等式3－2x ＜0的解集为M ，下列关系中正确的是( )。