通用版2018年高考数学二轮复习专题一平面向量三角函数与解三角形第四讲大题考法__解三角形课件理

2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形、选择题B • 305)的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函数3 5A 在区间［-，—］上单调递增4 4 3B 在区间［―,］上单调递减45 3C 在区间［予‘专］上单调递增3D 在区间［厅,2 ］上单调递减7.【2018浙江卷5］函数y= 2|x|sin2x 的图象可能是1.【2018全国二卷 6】在厶ABC 中,C cos— 2，BC 1，AC 5，则 AB52.【2018全国二卷 10]若 f(x) cosxsinx 在［a, a ］是减函数，贝U a 的最大值是3.【2018全国三卷 4] 若sin1 … 3，则cos24. 5. 0, C . 【2018全国三卷9］ △ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 2 2 2a ，b ，c ,若△ ABC 的面积为-— -，4【2018北京卷7］在平面直角坐标系中，记m 变化时，d 的最大值为d 为点P A. 1(COS 0 sin 0到直线x my 2 0的距离，当B. 2C. 3D.4C . . 296.【2018天津卷6］将函数y sin(2x1. 【2018全国一卷16】已知函数f x 2sinx sin2x ，则f x 的最小值是 _______________ .2.【2018 全国二卷 15】已知 sin a cos 3 1 , cos a sin 3 0，则 sin( a ® __________________ .3. 【2018全国三卷15】函数f x cos 3x n在0, n 的零点个数为6 ---------------------------------------------------4. 【2018北京卷11】设函数f (x ) =cos( x n ( 0),若f(x) f (n)对任意的实数x 都成立，则co的最小值为 _________ . 5.【2018江苏卷7】已知函数y sin(2x _______________________ )(--)的图象关于直线x -对称，则 的值是 ____________________ .2236. 【2018江苏卷13】在厶ABC 中，角A, B,C 所对的边分别为a,b,c , ABC 120 , ABC 的平分线 交AC 于点D ，且BD 1，则4a c 的最小值为 _________ .7. 【2018浙江卷13】在厶ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c •若a= 7，b=2, A=60°，贝U sin B= _________ , c= _________.、填空题B .三.解答题1. [2018 全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，ADC 90°, A 45°, AB 2 , BD 5.12. 【2018 北京卷15】在厶ABC 中，a=7, b=8, cosB=—.(△)求/ A ；(△)求AC边上的高.3. 【2018天津卷15】在厶ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinAacos(B ). 6(I)求角B的大小；(II)设a=2, c=3,求b和sin(2A B)的值.4. 【2018江苏卷16】已知，为锐角‘tan 3 ,迹()舟.(1)求cos2的值；(2)求tan( )的值.5. 【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN (P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚I内的地块形状为矩形ABCD，大棚U内的地块形状为△ CDP，要求A,B均在线段MN上，C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为.(1)用分别表示矩形ABCD和厶CDP的面积，并确定sin的取值范围；(2)若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚U内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4 ：3 .求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.6. 【2018浙江卷18】已知角a的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P345'(I)求sin (a + n 的值; (U)若角B满足sin (a+B=13，求cos B的值・7.【2018上海卷18】设常数a R，函数f(x) a sin 2x c 22cos x(1)若f(x)为偶函数，求a的值; (2) 若〔匸〕1，求方程f(x) 1 .2在区间［，的解.参考答案、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D、填空题 1. 3.3223. 34.235. 7.3 ；37三•解答题 1.解: (1)在厶ABD中，由正弦定理得一BLsin AABsin ADB由题设知,5sin 452 sinADB，所以sin ADB -5由题设知, ADB 90，所以cos ADB 1225 5(2)由题设及(1) 知, cos BDC sin ADB 辽在△ BCD 中,5 由余弦定理得2 2 2BC BD DC 2 BD DC cos BDC 25 8 25. 所以BC 5.32.解：(1)在厶ABC 中,1 n _________________________________ 2—T cosB= —7 ,二 B €( — , n ，二 sinB= 1 cos B<3 7由正弦定理得—sin A bsin B8 -二=<3，二 sinA= £ . T B €( f ,sin A227•- A €( 0,亍)，(n )在厶ABC 中,■/ sinC=sin (A+B ) =sinAcosB+sinBcosA=—3 21 (-)71 4.3_ 3.3 2714女口图所示，在△ ABC 中sinC=g ,二 h=BC sinC = 7 3 弓BC14••• AC 边上的高为子.3.解：在厶ABC 中，由正弦定理— sin A—，可得 bsinA asinB sin B又由 bsinA acos(B n ),6得 as in B acos(B n ),6即sinB cos(B ，可得tanB 3 .又因为 B (0 ,可得(n)解：在△ ABC 中,由余弦定理及a =2, c=3, B =^,有 b 2 a 2 c 2 2accosB 7，故 b= J7 .由 bsin A acos(B —), 6可得sin A因为 a<c , 故cosA因此 sin 2 A 2sin AcosA2,cos2 A 2cos A所以，si n(2A B)sin 2Acos Bcos2 A sinB ^^3 73 3 3 2144.解：(1)因为tan4, tan 3汇，所以sin4c o s cos因为sin 22cos1，所以 2cos25，因此,cos222cos7 25(2)因为，为锐角，所以(0, n .又因为cos()寻，所以sin()厂曲( )害，因此tan( ) 2.因为tan -，所以tan232ta n 242 , 1 tan 7因此，tan( ) tan[2 ( )]；+；爲；：；(—5 2115•解：(1)连结PO并延长交MN于H,贝U PH丄MN , 所以OH=10.过O作OE丄BC于E,贝U OE// MN，所以/ COE书故OE=4Ocos0, EC=40sin B,则矩形ABCD 的面积为2X40cos((40sin 0 +10=800(4sin 0 cos 0 +cOs B △ CDP的面积为 1 x 2X 40co(40 - 40sin) 0=1600 (cos 0 - sin 0)cos 0过N作GN丄MN，分别交圆弧和OE的延长线于G和K，则GK=KN=10 .令/GOK=0,则sin0=4 2(0, n)・当濮[0, n)时，才能作出满足条件的矩形所以sin(的取值范围是[〔，1).4答：矩形ABCD的面积为800 (4sin 0 cos 0 +cQs平方米，△ CDP的面积为1600 (cos 0 - sin 0)cos0n 的取值范围是[1 , 1).4(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4 : 3,设甲的单位面积的年产值为4k，乙的单位面积的年产值为3k (k>0).则年总产值为4k X 800(4sin 0 cos 0 +cbs+Bk x 1600( cos 0 - sin 0 cos 0=8000k (sin 0 cos 0 +)s [ 0, n)2设 f ( 0) =sin 0 cos 0 +cos 0€ [ 0, n),2则f'( ) cos2sin2 sin (2sin2 sin 1) (2sin 1)(sin 1).令 f'( )=0，得 B =,6当9€( (0, n 时，f '( )>0，所以f (0)为增函数;6当0€(J ,匸)时，f '( )<0 ,所以f (0)为减函数,6 2因此，当0=时，f ((取到最大值.6答：当吧时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大•［来源:学§科§网］,］时，即2x(U)由角的终边过点 P( 3,得cos35 55由 sin() —得 cos( )121313由( )得coscos()cossin( )s in,5616所以cos或cos6565 .解：(1) f(x ； )asin 2x2 cos 2 x 1 1 =asi n2x cos2x 1 ,6. ( I)由角的终边过点P(4)得 sin 5所以sin( 冗)sin -5f ( x) a sin(当f (x)为偶函数时：f (x)f( x)，则 a a，解得a 0 o2(2) f ( ) a sin 2 cos —,424由题意f (一)a 13 1 ,4、.3sin 2x 2cos 2 xa .3 , f (x) 3sin2x cos2x1 2sin(2x6)1,令 f (x) 1血，则2sin 2x1151319解得：x ,2424，24或x248. 解: (1) f(x)asin 2x c 22cos x 1 1 = asin2x cos2x 1 , f( x) a sin( 2x)cos(2x)1asin2x cos2x 1当f(x)为偶函数时:f(x)f( x)，则a a，解得a 0。

第1讲三角函数的图象与性质高考定位三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查:1。

三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.真题感悟1.(2016·浙江卷）设函数f(x）＝sin2x＋b sin x＋c,则f(x）的最小正周期(）A。

与b有关，且与c有关 B.与b有关，但与c无关C。

与b无关，且与c无关 D.与b无关，但与c有关解析因为f（x)＝sin2x＋b sin x＋c＝－cos 2x2＋b sin x＋c＋错误!，其中当b＝0时,f(x）＝－错误!＋c＋错误!,f(x)的周期为π；b≠0时，f（x)的周期为2π，即f（x)的周期与b有关但与c无关，故选B。

答案 B2。

（2017·全国Ⅲ卷）函数f(x)＝错误!sin错误!＋cos错误!的最大值为(）A。

错误! B.1C。

错误! D.错误!解析cos 错误!＝cos错误!＝sin错误!，则f(x)＝错误!sin错误!＋sin错误!＝错误!sin错误!，函数的最大值为错误!。

答案 A3.（2017·全国Ⅲ卷)设函数f（x)＝cos错误!，则下列结论错误的是（)A.f(x)的一个周期为－2πB.y＝f（x)的图象关于直线x＝8π3对称C。

f(x＋π）的一个零点为x＝错误!D。

f(x)在错误!单调递减解析函数f(x）＝cos错误!的图象可由y＝cos x的图象向左平移错误!个单位得到，如图可知,f(x)在错误!上先递减后递增，D选项错误。

答案 D4.（2016·浙江卷)已知2cos2x＋sin 2x＝A sin(ωx＋φ)＋b(A＞0)，则A＝________，b＝________。

解析∵2cos2x＋sin 2x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝错误!错误!＋1＝错误!sin错误!＋1＝A sin(ωx＋φ）＋b（A＞0），∴A＝错误!，b＝1.答案错误! 1考点整合1.常用三种三角函数的图象、性质(下表中k∈Z)函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x图象递增区间错误![2kπ－π,2kπ］错误!递减区间错误![2kπ，2kπ＋π］奇偶性奇函数偶函数奇函数对称中心(kπ，0)错误!错误!对称轴x＝kπ＋错误!x＝kπ周期性2π2ππ2。

[推荐学习]2018年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题三平面向量三角函数三角形八三角变换与解三课时作业(八) 三角变换与解三角形( )A ．36B ．37C ．38D ．39 解析：由正弦定理，知a2sin 2A＋b2sin 2B＝2c 2，即2＝2sin 2C ，∴sin C ＝1，C ＝π2，∴sin A (1－cos C )＝sin B sin C ，即sin A ＝sin B ，∴A ＝B ＝π4.以C 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M (2,4)，设∠MPC ＝θ，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则MP 2＋MQ2＝16sin 2θ＋4cos 2θ＝(sin 2θ＋cos 2θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫16sin 2θ＋4cos 2θ＝20＋4tan 2θ＋16tan 2θ≥36，当且仅当tan θ＝2时等号成立，即MP 2＋MQ 2的最小值为36.答案：A11．(2017·长沙市统一模拟考试)化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝________.解析：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝2sin α＋2sin αcos α121＋cos α＝4sin α1＋cos α1＋cos α＝4sin α.答案：4sin α12．(2017·新疆第二次适应性检测)cos10°1＋3tan10°cos50°的值是________．解析：依题意得cos10°1＋3tan10°cos50°＝cos10°＋3sin10°cos50°＝2sin 10°＋30°cos50°＝2sin40°sin40°＝2. 答案：213．(2017·课标全国Ⅲ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析：由正弦定理，得3sin 60°＝6sin B ，∴ sin B ＝22.又∵c ＞b ，∴ B ＝45°，∴ A ＝180°－60°－45°＝75°. 答案：75°14．如图，一栋建筑物的高为(30－103) m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A 处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________ m.解析：在Rt△ABM中，AM＝ABsin∠AMB＝30－103 sin15°＝30－103sin45°－30°＝30－1036－24＝20 6.易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC ＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.。

专题一 平面向量、三角函数与解三角形[研高考·明考点]2016卷Ⅱ ———T 9·诱导公式、三角恒等变换求值问题T 13·同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公[析考情·明重点]第一讲 小题考法——平面向量[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)已知向量a ＝(1,3)，b ＝(－2，k )，且(a ＋2b )∥(3a －b )，则实数k ＝( )A ．4B ．－5C ．6D ．－6(2)(2018届高三·湘中名校联考)若点P 是△ABC 的外心，且PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，∠ACB ＝120°，则实数λ的值为( )A.12B ．－12C ．－1D ．1[解析] (1)a ＋2b ＝(－3,3＋2k )，3a －b ＝(5,9－k )，由题意可得－3(9－k )＝5(3＋2k )，解得k ＝－6.(2)设AB 的中点为D ，则PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→.因为PA ―→＋PB ―→＋λPC ―→＝0，所以2PD ―→＋λPC ―→＝0，所以向量PD ―→，PC ―→共线．又P 是△ABC 的外心，所以PA ＝PB ，所以PD ⊥AB ，所以CD ⊥AB .因为∠ACB ＝120°，所以∠APB ＝120°，所以四边形APBC 是菱形，从而PA ―→＋PB ―→＝2PD ―→＝PC ―→，所以2PD ―→＋λPC ―→＝PC ―→＋λPC ―→＝0，所以λ＝－1，故选C.[答案] (1)D (2)C[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量线性运算问题的方法(1)充分利用平行四边形法则与三角形法则，结合平面向量基本定理、共线定理等知识进行解答．(2)如果图形比较规则，向量比较明确，则可考虑建立平面直角坐标系，利用坐标运算来解决．[演练冲关]1．(2017·南昌调研)设a ，b 都是非零向量，下列四个选项中，一定能使a |a |＋b|b |＝0成立的是( )A ．a ＝2bB ．a ∥bC ．a ＝－13bD ．a ⊥b解析：选C “a |a |＋b|b |＝0，且a ，b 都是非零向量”等价于“非零向量a ，b 共线且反向”，结合各选项可知选C.2．(2017·福州模拟)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0.若存在实数m ，使得AB ―→＋AC ―→＝m AM ―→成立，则m ＝( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 由MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0知，点M 为△ABC 的重心，设点D 为边BC 的中点，则AM ―→＝23AD ―→＝23×12(AB ―→＋AC ―→)＝13(AB ―→＋AC ―→)，所以AB ―→＋AC ―→＝3AM ―→，则m ＝3，故选B. 3．(2017·沈阳质检)已知向量AC ―→，AD ―→和AB ―→在正方形网格中的位置如图所示，若AC ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λμ＝( )A ．－3B ．3C ．－4D ．4解析：选A 建立如图所示的平面直角坐标系xAy ，设网格中小正方形的边长为1，则AC ―→＝(2，－2)，AB ―→＝(1,2)，AD ―→＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1，0)，即⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3，所以λμ＝－3.故选A.[典例感悟][典例] (1)(2018届高三·广西三市联考)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3，则b ·(2a －b )＝( )A ．2B ．－1C ．－6D ．－18(2)(2017·全国卷Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1(3)(2018届高三·湖北七市(州)联考)平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，若|a |＝|b |＝2，|c |＝1，则|a ＋b ＋c |＝________.[解析] (1)∵|a |＝1，|b |＝23，a 与b 的夹角的余弦值为sin 17π3＝－32，∴a ·b ＝－3，则b ·(2a －b )＝2a ·b －b 2＝－18.(2)如图，以等边三角形ABC 的底边BC 所在直线为x 轴，以BC的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (1,0)，设P (x ，y )，则PA ―→＝(－x, 3－y )，PB ―→＝(－1－x ，－y )，PC ―→＝(1－x ，－y )，所以PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322－32，故当x ＝0，y ＝32时，PA ―→·(PB ―→＋PC ―→)取得最小值，为－32.(3)∵平面向量a ，b ，c 不共线，且两两所成的角相等，∴它们两两所成的角为120°，∴|a＋b ＋c |2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c ＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2|a ||b |·cos120°＋2|b ||c |cos 120°＋2|a ||c |cos 120°＝22＋22＋12＋2×2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋2×2×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，故|a ＋b ＋c |＝1.[答案] (1)D (2)B (3)1[方法技巧]解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中的模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解．(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决．[演练冲关]1．(2017·云南调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1,1)，|b |＝2，则|3a ＋b |＝( ) A ．13＋6 2 B ．2 5 C.30D.34解析：选D 依题意得|a |＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，则|3a ＋b |＝a ＋b2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2＝18＋12＋4＝34，故选D.2．(2018届高三·湖南五市十校联考)△ABC 是边长为2的等边三角形，向量a ，b 满足AB ―→＝2a ，AC ―→＝2a ＋b ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选C BC ―→＝AC ―→－AB ―→＝2a ＋b －2a ＝b ，则向量a ，b 的夹角即为向量AB ―→与BC ―→的夹角，故向量a ，b 的夹角为120°.3．(2017·天津高考)在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2.若BD ―→＝2DC ―→，AE ―→＝λAC ―→－AB ―→ (λ∈R)，且AD ―→·AE ―→＝－4，则λ的值为________．解析：法一：AD ―→＝AB ―→＋BD ―→＝AB ―→＋23BC ―→＝AB ―→＋23(AC ―→－AB ―→)＝13AB ―→＋23AC ―→.又AB ―→·AC ―→＝3×2×12＝3，所以AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB ―→＋23AC ―→·(－AB ―→＋λAC ―→)＝－13AB ―→2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23AB ―→·AC ―→＋23λAC ―→2＝－3＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫13λ－23＋23λ×4＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.法二：以点A 为坐标原点，AB ―→的方向为x 轴正方向，建立平面直角坐标系(图略)，不妨假设点C 在第一象限，则A (0,0)，B (3,0)，C (1，3)． 由BD ―→＝2DC ―→，得D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233，由AE ―→＝λAC ―→－AB ―→，得E (λ－3，3λ)，则AD ―→·AE ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫53，233·(λ－3，3λ)＝53(λ－3)＋233×3λ＝113λ－5＝－4，解得λ＝311.答案：311[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 2．平面向量的性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB ―→|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. (4)|a ·b |≤|a |·|b |. (二) 二级结论要用好 1．三点共线的判定(1)A ，B ，C 三点共线⇔AB ―→，AC ―→共线．(2)向量PA ―→，PB ―→，PC ―→中三终点A ，B ，C 共线⇔存在实数α，β使得PA ―→＝αPB ―→＋βPC ―→，且α＋β＝1.[针对练1] 在▱ABCD 中，点E 是AD 边的中点，BE 与AC 相交于点F ，若EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→(m ，n ∈R)，则mn＝________.解析：如图，AD ―→＝2AE ―→，EF ―→＝m AB ―→＋n AD ―→，∴AF ―→＝AE ―→＋EF―→＝m AB ―→＋(2n ＋1)AE ―→，∵F ，E ，B 三点共线，∴m ＋2n ＋1＝1，∴mn＝－2. 答案：－22．中点坐标和三角形的重心坐标(1)设P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则线段P 1P 2的中点P 的坐标为x 1＋x 22，y 1＋y 22.(2)三角形的重心坐标公式：设△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心坐标是G ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33.3．三角形“四心”向量形式的充要条件设O 为△ABC 所在平面上一点，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|＝a2sin A.(2)O 为△ABC 的重心⇔OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0.(3)O 为△ABC 的垂心⇔OA ―→·OB ―→＝OB ―→·OC ―→＝OC ―→·OA ―→. (4)O 为△ABC 的内心⇔a OA ―→＋b OB ―→＋c OC ―→＝0. (三) 易错易混要明了1．要特别注意零向量带来的问题：0的模是0，方向任意，并不是没有方向；0与任意向量平行；λ0＝0(λ∈R)，而不是等于0；0与任意向量的数量积等于0，即0·a ＝0；但不说0与任意非零向量垂直．2．当a ·b ＝0时，不一定得到a ⊥b ，当a ⊥b 时，a ·b ＝0；a ·b ＝c ·b ，不能得到a ＝c ，即消去律不成立；(a ·b )·c 与a ·(b ·c )不一定相等，(a ·b )·c 与c 平行，而a ·(b·c )与a 平行．3．两向量夹角的范围为[0，π]，向量的夹角为锐角与向量的数量积大于0不等价． [针对练2] 已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是________．解析：依题意，当a 与b 的夹角为钝角时，a ·b ＝－2λ－1<0，解得λ>－12.而当a 与b 共线时，有－2×1＝－λ，解得λ＝2，即当λ＝2时，a ＝－b ，a 与b 反向共线，此时a 与b 的夹角为π，不是钝角，因此，当a 与b 的夹角为钝角时，λ的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞)． 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，2∪(2，＋∞) [课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·沈阳质检)已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12，若a ∥b ，则实数x 为( ) A ．－23B.23C.38D ．－38解析：选C ∵a ∥b ，∴3×12＝4x ，解得x ＝38，故选C.2．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，73C.⎝ ⎛⎭⎪⎫79，－73D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－79，－73解析：选A 设c ＝(x ，y )，由题可得a ＋b ＝(3，－1)，a －c ＝(1－x,2－y )．因为c ⊥(a ＋b )，b ∥(a －c )，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x －y ＝0，－y ＋－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝79，y ＝73，故c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫79，73.3．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1,2)，b ＝(m,3m －2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选D 由题意知向量a ，b 不共线，故2m ≠3m －2，即m ≠2.4．(2017·西安模拟)已知向量a 与b 的夹角为120°，|a |＝3，|a ＋b |＝13，则|b |＝( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．1解析：选B 因为|a ＋b |＝13，所以|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝13，即9＋2×3×|b |cos 120°＋|b |2＝13，得|b |＝4.5．(2018届高三·西安八校联考)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是( )A.322B ．－322C ．3 5D ．－3 5解析：选C 依题意得，AB ―→＝(2,1)，CD ―→＝(5,5)，AB ―→·CD ―→＝(2,1)·(5,5)＝15，|AB ―→|＝5，因此向量CD ―→在AB ―→方向上的投影是AB ―→·CD ―→|AB ―→|＝155＝3 5.6．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，则下列结论正确的是( ) A ．OA ―→＝13AB ―→＋23BC ―→B ．OA ―→＝23AB ―→＋13BC ―→C ．OA ―→＝13AB ―→－23BC ―→D ．OA ―→＝－23AB ―→－13BC ―→解析：选D ∵OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA ―→＝－23×12(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AC ―→)＝－13(AB ―→＋AB ―→＋BC ―→)＝－23AB ―→－13BC ―→，故选D. 7．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，则b ＝( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫32，12 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，334 D ．(1,0)解析：选B 设b ＝(cos α，sin α)(α∈(0，π)∪(π，2π))，则a ·b ＝(3，1)·(cos α，sin α)＝3cos α＋sin α＝2sin π3＋α＝3，得α＝π3，故b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.8．(2018届高三·广东五校联考)已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(λ＋2,1)，若|a ＋b |＝|a －b |，则实数λ的值为( )A ．－1B ．2C ．1D ．－2解析：选A 由|a ＋b |＝|a －b |可得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，所以a ·b ＝0，即a ·b ＝(λ，1)·(λ＋2,1)＝λ2＋2λ＋1＝0，解得λ＝－1.9．(2017·惠州调研)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，则△ABC 的形状为( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．正三角形D ．等腰直角三角形解析：选A (OB ―→－OC ―→)·(OB ―→＋OC ―→－2OA ―→)＝0，即CB ―→·(AB ―→＋AC ―→)＝0，∵AB ―→－AC ―→＝CB ―→，∴(AB ―→－AC ―→)·(AB ―→＋AC ―→)＝0，即|AB ―→|＝|AC ―→|，∴△ABC 是等腰三角形，故选A.10．(2017·日照模拟)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，则AD ―→·AC ―→＝( )A ．0B ．4C ．8D ．－4解析：选B 因为AB ＝BC ＝4，∠ABC ＝30°，AD 是BC 边上的高，所以AD ＝4sin 30°＝2，所以AD ―→·AC ―→＝AD ―→·(AB ―→＋BC ―→)＝AD ―→·AB ―→＋AD ―→·BC ―→＝AD ―→·AB ―→＝2×4×cos 60°＝4，故选B.11．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→，则λ＋μ的最大值为( )A ．3B ．2 2 C. 5D ．2解析：选A 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,2)，D (0,2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22＝25，所以圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45. 因为P 在圆C 上，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫1＋255cos θ，2＋255sin θ. 又AB ―→＝(1,0)，AD ―→＝(0,2)，AP ―→＝λAB ―→＋μAD ―→＝(λ，2μ)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋255cos θ＝λ，2＋255sin θ＝2μ，则λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋φ)≤3(其中tan φ＝2)，当且仅当θ＝π2＋2k π－φ，k ∈Z 时，λ＋μ取得最大值3. 12．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝7，BC ＝3，则AO ―→·BC ―→的值为( )A.32B.52 C ．2D ．3解析：选A 取BC 的中点为D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD ―→＝12(AB―→＋AC ―→)，BC ―→＝AC ―→－AB ―→，所以AO ―→·BC ―→＝(AD ―→＋DO ―→)·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＋DO ―→·BC ―→＝AD ―→·BC ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·(AC ―→－AB ―→)＝12(AC―→2－AB ―→2)＝12×(7)2－22＝32.故选A.二、填空题13．(2017·山东高考)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量．若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________．解析：因为3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，所以cos 60°＝3e 1－e 2e 1＋λe 2|3e 1－e 2|·|e 1＋λe 2|＝3－λ21＋λ2＝12， 解得λ＝33. 答案：3314．已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，且m ，n 夹角的余弦值为13，若n ⊥(tm ＋n )，则实数t 的值为________．解析：∵n ⊥(tm ＋n )，∴n ·(tm ＋n )＝0，即tm ·n ＋|n |2＝0.又4|m |＝3|n |，∴t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4.答案：－415．(2017·石家庄质检)已知AB ―→与AC ―→的夹角为90°，|AB ―→|＝2，|AC ―→|＝1，AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→ (λ，μ∈R)，且AM ―→·BC ―→＝0，则λμ的值为________．解析：根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0,0)，B (0,2)，C (1,0)，所以AB ―→＝(0,2)，AC ―→＝(1,0)，BC ―→＝(1，－2)．设M (x ，y )，则AM ―→＝(x ，y )，所以AM ―→·BC ―→＝(x ，y )·(1，－2)＝x －2y ＝0，所以x ＝2y ，又AM ―→＝λAB ―→＋μAC ―→，即(x ，y )＝λ(0,2)＋μ(1,0)＝(μ，2λ)，所以x ＝μ，y ＝2λ，所以λμ＝12y x ＝14.答案：1416．(2017·北京高考)已知点P 在圆x 2＋y 2＝1上，点A 的坐标为(－2,0)，O 为原点，则AO ―→·AP ―→的最大值为________．解析：法一：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (cos α，sin α)，则AP ―→＝(cos α＋2，sin α)，AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4≤6，当且仅当cos α＝1，即α＝0，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.法二：由题意知，AO ―→＝(2,0)，令P (x ，y )，－1≤x ≤1，则AO ―→·AP ―→＝(2,0)·(x ＋2，y )＝2x ＋4≤6，当且仅当x ＝1，P (1,0)时等号成立，故AO ―→·AP ―→的最大值为6.答案：6B 组——能力小题保分练1．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE 并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF ―→·BC ―→的值为( )A ．－58B.18C.14D.118解析：选B 如图所示，AF ―→＝AD ―→＋DF ―→.又D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且DE ＝2EF ，所以AD ―→＝12AB ―→，DF―→＝12AC ―→＋14AC ―→＝34AC ―→，所以AF ―→＝12AB ―→＋34AC ―→.又BC ―→＝AC ―→－AB ―→，则AF ―→·BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ―→＋34AC ―→ · (AC ―→－AB ―→)＝12AB ―→·AC ―→－12AB ―→2＋34AC ―→2－34AC ―→·AB ―→＝34AC ―→2－12AB ―→2－14AC ―→·AB ―→＝34|AC ―→|2－12|AB ―→|2－14×|AC ―→|×|AB ―→|×cos∠BAC . 又|AB ―→|＝|AC ―→|＝1，∠BAC ＝60°， 故AF ―→·BC ―→＝34－12－14×1×1×12＝18.故选B.2．(2017·长春质检)已知a ，b 是单位向量，且a·b ＝－12.若平面向量p 满足p·a ＝p ·b＝12，则|p |＝( ) A.12B ．1 C. 2D ．2解析：选B 由题意，不妨设a ＝(1,0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，p ＝(x ，y )，∵p ·a ＝p ·b ＝12，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12，－12x ＋32y ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.∴|p |＝x 2＋y 2＝1，故选B.3．(2017·浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA ―→·OB ―→，I 2＝OB ―→·OC ―→，I 3＝OC ―→·OD ―→，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 1<I 3<I 2C ．I 3<I 1<I 2D ．I 2<I 1<I 3解析：选C 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA ―→·OB ―→－OB ―→·OC ―→＝OB ―→·(OA ―→－OC ―→)＝OB ―→·CA ―→＝|OB ―→|·|CA ―→|cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于点G ，又AB ＝AD ， ∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ， ∴|OA ―→|·|OB ―→|<|OC ―→|·|OD ―→|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0， ∴OA ―→·OB ―→>OC ―→·OD ―→，即I 1>I 3， ∴I 3<I 1<I 2.4．(2018届高三·湖北八校联考)如图，O 为△ABC 的外心，AB ＝4，AC＝2，∠BAC 为钝角，M 为BC 边的中点，则AM ―→·AO ―→的值为( )A ．2 3B ．12C ．6D ．5解析：选D 如图，分别取AB ，AC 的中点D ，E ，连接OD ，OE ，可知OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∵M 是BC 边的中点，∴AM ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)，∴AM ―→·AO ―→＝12(AB ―→＋AC ―→)·AO ―→＝12AB ―→·AO ―→＋12AC ―→·AO ―→＝AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→.由数量积的定义可得AD ―→·AO ―→＝|AD ―→||AO ―→|·cos〈AD ―→，AO ―→〉，而|AO ―→|cos 〈AD ―→，AO ―→〉＝|AD ―→|，故AD ―→·AO ―→＝|AD ―→|2＝4，同理可得AE ―→·AO ―→＝|AE ―→|2＝1，故AD ―→·AO ―→＋AE ―→·AO ―→＝5，即AM ―→·AO ―→＝5，故选D.5．在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC ―→＝3CD ―→，点O 在线段CD 上(与点C ，D 不重合)，若AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，则x 的取值范围是________．解析：依题意，设BO ―→＝λBC ―→，其中1<λ<43，则有AO ―→＝AB ―→＋BO ―→＝AB ―→＋λBC ―→＝AB ―→＋λ(AC ―→－AB ―→)＝(1－λ)AB ―→＋λAC ―→.又AO ―→＝x AB ―→＋(1－x )AC ―→，且AB ―→，AC ―→不共线，于是有x ＝1－λ，由λ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，43知，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－13，0，即x 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－13，0.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，06．(2017·江苏高考)如图，在同一个平面内，向量OA ―→，OB ―→，OC ―→的模分别为1,1，2，OA ―→与OC ―→的夹角为α，且tan α＝7，OB ―→与OC ―→的夹角为45°.若OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→(m ，n ∈R)，则m ＋n ＝________.解析：法一：如图，以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC ―→|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC ―→|sin α＝2×752＝75，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin(α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB ―→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB ―→|sin(α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45. 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3.法二：由tan α＝7，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，所以OB ―→·OC ―→＝1×2×22＝1，OA ―→·OC ―→＝1×2×152＝15，OA ―→·OB ―→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35， 由OC ―→＝m OA ―→＋n OB ―→，得OC ―→·OA ―→＝m OA ―→2＋n OB ―→·OA ―→，即15＝m －35n .①同理可得OC ―→·OB ―→＝m OA ―→·OB ―→＋n OB ―→2， 即1＝－35m ＋n .②①＋②得25m ＋25n ＝65，即m ＋n ＝3. 答案：3第二讲 小题考法——三角函数的图象与性质考点(一) 主要考查三角函数的图象变换或根据图象求解析式或参数三角函数的图象及应用[典例感悟][典例] (1)(2017·合肥质检)要想得到函数y ＝sin 2x ＋1的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移π4个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移π2个单位长度，再向下平移1个单位长度(2)(2017·贵阳检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的最小正周期为π，若其图象向左平移π3个单位长度后关于y 轴对称，则( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝π6C ．ω＝4，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6(3)(2017·贵阳检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)，其导数f ′(x )的图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为( )A ．2 2B ． 2C ．－22D ．－24[解析] (1)先将函数y ＝cos 2x 的图象向右平移π4个单位长度，得到y ＝sin 2x 的图象，再向上平移1个单位长度，即得y ＝sin 2x ＋1的图象，故选B.(2)依题意得，T ＝2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，其图象向左平移π3个单位长度得到函数fx ＋π3＝sin2x ＋2π3＋φ的图象关于y 轴对称，于是有2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π－π6，k ∈Z.又|φ|<π2，因此φ＝－π6，故选D.(3)依题意得f ′(x )＝A ωcos(ωx ＋φ)，结合函数y ＝f ′(x )的图象可知，T ＝2πω＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π，ω＝2.又A ω＝1，因此A ＝12，则f ′⎝⎛⎭⎪⎫3π8＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝－1.因为0<φ<π，所以3π4<3π4＋φ<7π4，所以3π4＋φ＝π，φ＝π4，故f (x )＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12×22＝－24，故选D. [答案] (1)B (2)D (3)D[方法技巧]1．函数表达式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的确定方法2．三角函数图象平移问题处理的“三看”策略[演练冲关]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π2＝sin2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.2．(2017·云南模拟)函数f (x )＝sin ωx ()ω>0的图象向左平移π3个单位长度，所得图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0，则ω的最小值是( )A.32B ．2C ．1 D.12解析：选 C 依题意得，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ωx ＋π3(ω>0)的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0，于是有f2π3＋π3＝sin ω2π3＋ π3＝sin ωπ＝0(ω>0)，则ωπ＝k π，k ∈Z ，即ω＝k ∈Z ，因此正数ω的最小值是1，故选C.3．(2017·陕西质检)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )＝________.解析：依题意得22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＝22，则πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ，由于该函数图象过点2，－12，因此sin(π＋φ)＝－12，即sin φ＝12，而－π2≤φ≤π2，故φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π6. 答案：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π64.(2017·兰州模拟)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG (点G 是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f (1)＝________.解析：由题意得，A ＝3，T ＝4＝2πω，ω＝π2.又∵f (x )＝A cos(ωx ＋φ)为奇函数，∴φ＝π2＋k π，k ∈Z ，∵0<φ<π，则φ＝π2，∴f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2，∴f (1)＝－ 3.答案：－ 3[典例感悟][典例] (1)(2017·沈阳质检)已知f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调递减区间分别为( )A ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8B ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8C ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8D ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(2)(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减 (3)(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5[解析] (1)f (x )＝2sin 2x ＋2sin x cos x ＝1－cos 2x ＋sin 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1，则T＝2π2＝π.由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z)，得3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z)，令k ＝0得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，故选B.(2)根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π，所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos x ＋π3＝－1，所以B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2，所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－π4ω＋φ＝k 1π，k 1∈Z ，π4ω＋φ＝k 2π＋π2，k 2∈Z ，且|φ|≤π2，则ω＝2k ＋1，k ∈Z ，φ＝π4或φ＝－π4.对比选项，将选项各值依次代入验证：若ω＝11，则φ＝－π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在区间⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调递减，故选B.[答案] (1)B (2)D (3)B[方法技巧]1．求函数单调区间的方法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))(A ，ω，φ为常数，A ≠0，ω>0)的单调区间时，令ωx ＋φ＝z ，得y ＝A sin z (或y ＝A cos z )，然后由复合函数的单调性求得．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间． 2．判断对称中心与对称轴的方法利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验f (x 0)的值进行判断．3．求三角函数周期的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan ()ωx ＋φ的最小正周期为π|ω|.(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12个周期．[演练冲关]1．(2017·洛阳模拟)下列函数中，是周期函数且最小正周期为π的是( ) A ．y ＝sin x ＋cos xB ．y ＝sin 2x －3cos 2xC ．y ＝cos|x |D ．y ＝3sin x 2cos x2解析：选B 对于A ，函数y ＝sin x ＋cos x ＝2sin x ＋π4的最小正周期是2π，不符合题意；对于B ，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝121－cos 2x －32(1＋cos 2x )＝1－32－1＋32cos 2x 的最小正周期是π，符合题意；对于C ，y ＝cos|x |＝cos x 的最小正周期是2π，不符合题意；对于D ，函数y ＝3sin x 2cos x 2＝32sin x 的最小正周期是2π，不符合题意．故选B.2．(2017·长春质检)关于函数y ＝2sin3x ＋π4＋1，下列叙述有误的是( )A ．其图象关于直线x ＝－π4对称B ．其图象可由y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到C ．其图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫11π12，0对称 D ．其值域是[－1,3]解析：选C 由3x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)解得x ＝π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝－1，得函数y ＝2sin3x＋π4＋1的一个对称轴为x ＝－π4，故A 正确；由图象变换知识可得横坐标变为原来的13，就是把x 的系数扩大3倍，故B 正确；由3x ＋π4＝k π(k ∈Z)解得x ＝－π12＋k π3，k ∈Z ，取k ＝3，得x＝11π12，此时y ＝1，所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12，1，故C 错误；由于－1≤sin3x ＋π4≤1，所以函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＋1的值域为[－1,3]，故D 正确．3．(2018届高三·湘中名校联考)已知函数f (x )＝sin ωx －π6＋12，ω>0，x ∈R ，且f (α)＝－12，f (β)＝12.若|α－β|的最小值为3π4，则函数的单调递增区间为________．解析：由f (α)＝－12，f (β)＝12，|α－β|的最小值为3π4，知T 4＝3π4，即T ＝3π＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋12.由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π()k ∈Z ，即函数f (x )的单调递增区间为－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z.答案：－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈Z[典例感悟][典例] (1)(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝cos 2x ＋6cos π2－x ＝cos 2x ＋6sin x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5. (2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3，∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时，f (x )min ＝－32，∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1. [答案] (1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1 [方法技巧]求三角函数的值域(最值)的常见类型及方法[演练冲关]1．当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：y ＝3－sin x －2cos 2x ＝3－sin x －2(1－sin 2x )＝2⎝⎛⎭⎪⎫sin x －142＋78.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.∴当sin x ＝14时，y min ＝78，当sin x ＝－12或sin x ＝1时，y max ＝2.答案：7822．设x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1的最大值为________． 解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以tan x >0，所以函数y ＝sin 2x 2sin 2x ＋1＝2sin x cos x 3sin 2x ＋cos 2x ＝2tan x 3tan 2x ＋1＝23tan x ＋1tan x ≤223＝33，当且仅当3tan x ＝1tan x 时等号成立，故函数的最大值为33. 答案：33 3．(2017·南宁模拟)已知函数f (x )＝cos3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π6，m ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ∈R 且m >π6，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m 的取值范围是________． 解析：由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cos π＝－1，∴要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，需要π≤3m ＋π3≤7π6，即2π9≤m ≤5π18. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18[必备知能·自主补缺] (一) 主干知识要记牢 1．三角函数的图象及常用性质2．三角函数的两种常见的图象变换 (1)y ＝sin x ――――――→向左φ或向右φ平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ) ――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．(2)y ＝sin x 错误!y ＝sin ωx ――→向左φ或向右φ 平移⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)． (二) 二级结论要用好1．sin α－cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝x 上方(特殊地，当α在第二象限时有 sin α－cos α＞1)．2．sin α＋cos α＞0⇔α的终边在直线y ＝－x 上方(特殊地，当α在第一象限时有sin α＋cos α>1)．(三) 易错易混要明了求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意ω，A 的符号．ω<0时，应先利用诱导公式将x 的系数转化为正数后再求解；在书写单调区间时，弧度和角度不能混用，需加2k π时，不要忘掉k ∈Z ，所求区间一般为闭区间．如求函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x 的单调减区间，应将函数化为f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，转化为求函数y ＝sin x －π3的单调增区间．[课时跟踪检测]A 组——12＋4提速练一、选择题1．(2017·宝鸡质检)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z) C.⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) 解析：选B 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z)得，k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z)，所以函数f (x )＝tan2x －π3的单调递增区间为k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z)，故选B.2.函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4C ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4 D ．f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π4 解析：选A 由题图可知， 函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8×4＝π，所以ω＝2，即f (x )＝sin(2x ＋φ)．又函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，1，所以sin π4＋φ＝1，则π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π＋π4(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，即函数f (x )＝sin2x＋π4，故选A. 3．(2017·天津高考)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( )A ．ω＝23，φ＝π12B ．ω＝23，φ＝－11π12C ．ω＝13，φ＝－11π24D ．ω＝13，φ＝7π24解析：选A 法一：由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，得5π8ω＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，①由f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得11π8ω＋φ＝k ′π(k ′∈Z)，②由①②得ω＝－23＋43(k ′－2k )．又最小正周期T ＝2πω>2π，所以0<ω<1，ω＝23.又|φ|<π，将ω＝23代入①得φ＝π12.选项A 符合．法二：∵f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π，∴ω＝2π3π＝23，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z.又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.故选A.4．(2017·湖北荆州质检)函数f (x )＝2x －tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象大致为( )解析：选C 因为函数f (x )＝2x －tan x 为奇函数，所以函数图象关于原点对称，排除选项A ，B ，又当x →π2时，y <0，排除选项D ，故选C.5．(2017·安徽芜湖模拟)若将函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象向右平移m (m >0)个单位长度后所得的图象关于直线x ＝π4对称，则m 的最小值为( )A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B 平移后所得的函数图象对应的解析式是y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －m ＋π6，因为该函数的图象关于直线x ＝π4对称，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－m ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，所以m ＝π6－k π2(k ∈Z)，又m >0，故当k ＝0时，m 最小，此时m ＝π6.6．(2017·云南检测)函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为( )A ．(－1＋4k π，1＋4k π)，k ∈ZB ．(－3＋8k π，1＋8k π)，k ∈ZC ．(－1＋4k,1＋4k )，k ∈ZD ．(－3＋8k,1＋8k )，k ∈Z解析：选D 由题图，知函数f (x )的最小正周期为T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z)，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得8k －3≤x ≤8k＋1(k ∈Z)，所以函数f (x )的单调递增区间为(8k －3,8k ＋1)(k ∈Z)，故选D.7．(2017·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65 B ．1 C.35D.15解析：选A 因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，于是f (x )的最大值为65.8．(2017·武昌调研)若f (x )＝cos 2x ＋a cos π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为( )A ．[－2，＋∞)B ．(－2，＋∞)C ．(－∞，－4)D ．(－∞，－4]解析：选D f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4，故选D.9．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，若将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数为偶函数，则φ＝( )A.5π6B.2π3C.π3 D.π6解析：选 D 函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin2x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，由于该函数是偶函数，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，又0<φ<π，∴φ＝π6，故选D.10．若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值为π2，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6 解析：选A f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ωx ＋π3.因为f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|min ＝π2，所以T 4＝π2，得T ＝2π(T 为函数f (x )的最小正周期)，故ω＝2πT＝1，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，故选A.11．(2018届高三·广西三市联考)已知x ＝π12是函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(0<φ<π)图象的一条对称轴，将函数f (x )的图象向右平移3π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )在－π4，π6上的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．－ 2D ．－ 3解析：选 B f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ.∵x ＝π12是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ图象的一条对称轴，∴2×π12＋π6＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，即φ＝π6＋k π(k ∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝π6，则f (x )＝2sin2x ＋π3，∴g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＋π3＝－2sin2x －π6，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最小值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－1，故选B.12．(2017·广州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函数，直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则( )A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递减C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增 解析：选D f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ωx ＋φ＋π4，因为0<φ<π且f (x )为奇函数，所以φ＝3π4，即f (x )＝－2sin ωx ，又直线y ＝2与函数f (x )的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，所以函数f (x )的最小正周期为π2，由2πω＝π2，可得ω＝4，故f (x )＝－2sin 4x ，由2k π＋π2≤4x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π2＋π8≤x ≤k π2＋3π8，k ∈Z ，令k ＝0，得π8≤x ≤3π8，此时f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，3π8上单调递增，故选D.。

教学过程 一、考纲解读在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等.三角函数模块在高考试卷中通常有1大1小两个问题，总分值在25分左右，小题难度中等，大题属简单题，无论是全国卷还是省市卷大都放在第一个解答题位置，是考生得分的关键点之一.（1）任意角的概念、弧度制 （2）三角函数① 理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义. ② 能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2，απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，了解三角函数的周期性.③ 理解正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性. ④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.（3）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.（4）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）.（5）正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (6) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 二、复习预习复习相关概念:三角函数基本概念、诱导公式、同角三角函数关系、三角函数图像和性质、两角和与差的计算及二倍角公式以及三角函数的实际应用,正余弦定理等.在复习该部分内容时要有整体意识，抓住角的变换主线解决相关问题，其中三角函数的图形和性质是核心内容，相对于其它模块而言，三角函数的考查的点分散得比较细，这也要引起重视，复习一定要全面，常见的思想方法有化归转化，数形结合等. 三、知识讲解考点1 三角函数的定义及性质（1）任意角的概念、弧度制.扇形相关内容,如弧长,面积,圆锥侧面等 （2）三角函数①任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.②正弦、余弦、正切的诱导公式， x y x y x y tan ,cos ,sin ===的图像，三角函数的周期性. ③正弦函数、余弦函数在区间[]π2,0的性质（如单调性、最大和最小值以及与x 轴交点等）.正切函数在区间⎪⎭⎫⎝⎛-2,2ππ的单调性.④ 理解同角三角函数的基本关系式：x xxx x tan cos sin ,1cos sin 22==+ ⑤ 了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响.⑥ 会用三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.考点2 三角恒等变形（1）两角和与差的三角函数公式① 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. ② 会用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.③ 会用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系. （2）简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）. 考点3 解三角形 (1)正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. (2) 应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.四、例题精析例1 [2014全国1卷]设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 ( )A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【规范解答】解法1.选B （演绎推理） ∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=解法2.选B （特殊角） 取6πβ=代入1sin tan cos βαβ+=，可得3tan =α，所以3πα=，通过四个选项验证，只有选项B 符合。

2018年高考数学（理）二轮复习讲练测专题三 三角函数与平面向量总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届陕西省宝鸡市金台区高三上期中】已知()()1,1,,3AB BC x ==-，若AC AB ⊥，则x = ( ) A. 3 B. 1 C. 3-或2 D. 4-或1 【答案】B【解析】AC = ()()()1,1,31,2x x +-=+-，由AC AB ⊥得120,1x x +-== ，选B. 2．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝（ ） A. 195-B. 519-C. 3117-D. 1731- 【答案】D3．在ABC ∆中， ()223b c a bc -=-，则角A 等于（ ） A.56π B. 23π C. 3π D. 6π 【答案】B【解析】()223b c a bc -=-即22223b bc c a bc -+=-所以()22212cos 0,23b c a bc A A A ππ+-=-∴=-∈∴=故选B.4．【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于（ ） A.14 B. 14-2 D. 2【答案】A【解析】由cos （α﹣4π）=cos2α，得22cos cossin sincos sin 44ππαααα+=-)()()sin cos sin cos cos sin αααααα+=+-， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin α+cos α＞0， 则cos α﹣sin α2 两边平方得： 112sin cos 2αα-= ， ∴1sin cos 4αα=． 故答案为：A. 5．cos 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭()x ππ-≤≤的值域为( ) A. 11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. [－1,1] C. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D. 132⎡-⎢⎣ 【答案】C【解析】由－π≤x ≤π，可知－2π≤2x ≤2π，－ 23π≤2x －6π≤3π，函数y ＝cosx 在区间2[3π-,0]内单调递增，在区间[0,]3π内单调递减，且cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－12，cos 3π＝12，cos 0＝1，因此所求值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C.6．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T， φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 7．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（ ）A. 向右平移6π个单位长度B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】D8．在ABC ∆中，若5,15,30a b A ===︒，则边c 的长度等于( )A. 5 C. 255以上都不对 【答案】C【解析】∵515∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：5=15+c 2﹣5，即c 2﹣，解得：5则 故答案为：C.9．【2018届广西玉林市陆川中学高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ） A. 1- B. 0 C. 1 D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=, 故选：C.10．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的图形关于直线8x π=对称 C. ()f x 的一个零点为8x π=-D. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减【答案】D【解析】逐一考查所给的选项：函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，则函数的周期为： ()*T k k N π=∈，取2k =可得函数的一个周期为2π；函数图象的对称轴满足： ()242x k k Z πππ+=+∈，则： ()28k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数的一条对称轴为8x π=；函数的零点满足： ()24x k k Z ππ+=∈，则： ()28k x k Z ππ=-∈， 令0k =可得函数的一个零点为8x π=-；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性； 本题选择D 选项.11．若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B. 3π C. 43π D. 23π- 【答案】A【解析】()a b a +⊥ ()204a b a a a b a b ⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=-，412cos ,,,2423a b a b a b a b π⋅-===-∴=⨯, 故选：A ．12．如图，在直角坐标系xoy 中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP λAB μBC =+，其中λ,μR ∈，则4λμ- 的取值范围是（ ）5251717] 【答案】B【解析】以A为坐标原点，AB为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系则A（0，0），D（0，1），C（1，1），B（2，0）直线BD的方程为x+2y﹣2=0，C到BD的距离5∴以点C为圆心，以12为半径的圆方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=14，设P（m，n）则AP=（m，n），AB=（2，0），BC=（﹣1，1）；∴（m，n）=（2x﹣y，y）∴m=2x﹣y，n=y，∵P在圆内或圆上∴（2x﹣y﹣1）2+（y﹣1）2≤14，设4x﹣y=t，则y=4x﹣t，代入上式整理得80x2﹣（48t+16）x+8t2+7≤0，设f（x）=80x2﹣（48t+16）x+8t2+7，x∈[12，32]，则12{32ff⎛⎫≤⎪⎝⎭⎛⎫≤⎪⎝⎭，解得2≤t≤5∴4x﹣y的取值范围是[2，5．故选：B．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省济宁市高三上学期期末】已知cos4πα⎛⎫+=⎪⎝⎭sin2α=________.【答案】1125-14．已知向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，则m =__________． 【答案】1±【解析】向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，故()()2222·0,a b a b a b a b +-=-=∴=1.m =⇒=±故答案为： 1±.15．【2018届四省名校（南宁二中等）高三上第一次大联考】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos c B C =， 45A =︒，则B =__________.【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有： sin sin 3sin cos C B B C =，sin 0,tan 3,60B C C ≠∴==，三角形内角和为180，则180456075B =--=. 16．如图所示， 23BAC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),AP xAD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是__________．【答案】423,423⎡-+⎣【解析】三、解答题（共6道小题，共70分）17. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且bsin A a sin 2B =. (1)求角B 的大小；(2)若，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1) πB 3=;（273【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得1cos B 2=，则πB 3= . (2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得ac 7≤ ，结合面积公式可知ABC S 73. 试题解析：(1)∵bsin A a sin 2B =,由正弦定理得： sin Bsin A sin A?2sin Bcos B = ∵0A π<<, 0B π<< ∴sin A 0>,sin B 0> ∴1cos B 2= ∴πB 3=.18．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –23（x ∈R ）.（1）求f （2π3）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间.【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）π, ,,36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ .【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为-2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得f （x ）的最小正周期为π，令222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，，解不等式可求出函数的单调减区间.19．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟】已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的三个内角A ， B ， C 的对边，且sin 2cos C c c A =+．（1）求角A ；（2）若a =， ABC ∆b ， c ． 【答案】(1) 23A π=;(2) 2b c ==. 【解析】试题分析：（1）利用正弦定理边转角，消去sin C 后，利用辅助角公式化为关于角A 的三角方程，根据角的范围求出角A ；（2）利用余弦定理得出关于b,c 关系式，再利用三角形面积公式得出b,c 关系，联立方程组解出b 和c. 试题解析：（1sin 2cos C c c A =+及正弦定理，sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠3sin 2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又0A π<<，所以5666A πππ-<-<， 所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 32S bc A ==，故4bc =，①由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，② 由①②解得2b c ==．20．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线， 1cos 7B =， 129AD =ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）ABC S ∆=【解析】试题分析: （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A ；（2）由题意和平方关系求出sinB ，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC ，由正弦定理求出a 和c 关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a 、c ，由三角形的面积公式求出答案．解析: （Ⅰ）∵cos 3sin 0a C a C b c +--=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C +=+，即()sin cos sin sin sinC A C A C A C +=++，化简得：3sin cos 1A A -=，∴()01sin 302A -=．在ABC ∆中， 000180A <<，∴003030A -=，得060A =．（Ⅱ）在ABC ∆中， 1cos 7B =，得43sin B =， 则()31143sin sin 72C A B =+=+53=sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222?cos AD AB BD AB BD B =+-， 则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==， 故1sin 1032ABC S ac B ∆== 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.21．【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()()33cos22sin πsin π2f x x x x ⎛⎫=++-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;(2)已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()3,3f A a ==,求ABC ∆周长的最大值．【答案】(1) π, 对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z (2) ΔABC 周长的最大值为9 【解析】试题分析：(1) ()f x = π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,再利用正弦定理的性质求解即可;(2)由()f A =π3A =,再利用余弦定理2222cos a b c bc A =+-,结合基本不等式可得26b c a +≤=,则可得结论.试题解析：(1) ()f x ()32sin πsin π2x x x ⎛⎫++-⎪⎝⎭3cos22cos sin x x x -3cos2sin2x x -=π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 所以2ππ2T ==, 令()π2π6x k k +=∈Z ,解得()ππ212k x k =-∈Z , 所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z .22．已知向量()1,sin a x =， (cos 3b x =，⑴ 若a b ⊥，求tan2x 的值；⑵ 令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间. 【答案】(1) 3()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析： ()1由条件a b ⊥可得向量数量积，得出cos x 、sin x 的数量关系，即可求出tan x ，就可以求出结果；(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得出三角函数的图象．试题解析：⑴ ， ()(1,sin cos 3cos 3sin 0x x x x ∴=⋅=+=，tanx ∴= 22tan tan21tan x x x ∴==-. ⑵()(π1,sin cos 3cos 3sin 2sin 6x x x x x ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， ()π2sin 6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+得()5ππππZ 1212k x k k -≤≤+∈， ()g x ∴的单调增区间是()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。

专题跟踪训练(八)一、选择题1．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝80，b ＝100，A ＝30°，则此三角形( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是直角三角形，也可能是锐角三角形[解析] 依题意得a sin A ＝b sin B ，sin B ＝b sin A a ＝100sin 30°80＝58<32，因此0°<B <60°或120°<B <150°.若0°<B <60°，则C ＝180°－(B ＋30°)>90°，此时△ABC 是钝角三角形；若120°<B <150°，此时△ABC 仍是钝角三角形．因此，此三角形一定是钝角三角形，故选C.[答案] C2．(2015·贵州贵阳期末)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )A ．－235 B.235 C.45D ．－45[解析] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＋sin α＝435⇒sin π3cos α＋cos π3sin α＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒32sin α＋12cos α＝45，故sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝sin αcos 7π6＋cos αsin 7π6＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin α＋12cos α＝－45，故选D.[答案] D3．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，D 是BC 边上一点，AD ＝5，AC ＝7，DC ＝3，则AB 的长为()A.615 B ．5 C.562D ．5 6[解析] 在△ADC 中，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22·AD ·DC ＝25＋9－492×5×3＝－12，所以∠ADC ＝120°，则∠ADB ＝60°.在△ABD 中，由正弦定理可得AB ＝AD sin ∠ADB sin B ＝5×3222＝562，故选C. [答案] C4．(2015·江西南昌一模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°，cos A ＝35，则b 等于( )A.53 B.107 C.57D.5214[解析] 因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝45，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝45cos 45°＋35sin 45°＝7210.由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57，故选C.[答案] C5．(2015·贵阳七校联盟)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π4的值为( )A ．－7210 B.7210 C ．－210D.210[解析] 由三角函数的定义得tan θ＝2，cos θ＝±55，所以tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝－43，cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35，所以sin 2θ＝cos 2θtan 2θ＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π4＝22(sin 2θ＋cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫45－35＝210，故选D.[答案] D6．(2015·河南郑州质量预测)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是( )A.334B.736C.213D.334或736[解析] sin(B ＋A )＝sin B cos A ＋cos B sin A ，sin(B －A )＝sin B cos A －cosB sin A ，sin 2A ＝2sin A cos A ，sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝3sin 2A ，即2sin B cos A ＝6sin A cos A ．当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，又c ＝7，得b ＝213.由三角形面积公式知S ＝12bc ＝736；当cos A ≠0时，由2sin B cos A ＝6sin A cos A 可得sin B ＝3sin A ，根据正弦定理可知b ＝3a ，再由余弦定理可知cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－76a 2＝cos π3＝12，可得a ＝1，b ＝3，所以此时三角形的面积为S ＝12ab sin C ＝334.综上可得三角形的面积为736或334，所以选D.[答案] D 二、填空题7．(2014·温州十校联考)已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于________． [解析] 由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得，cos 2α－sin 2α＝22cos α＋22sin α，而α为锐角，∴cos α＋sin α≠0，∴cos α－sin α＝22，两边平方得，1－sin 2α＝12，∴sin 2α＝12.[答案] 128．(2015·广东卷)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.[解析] 由sin B ＝12得B ＝π6或5π6，因为C ＝π6，所以B ≠5π6，所以B ＝π6，于是A ＝2π3.由正弦定理，得3sin 2π3＝b12，所以b ＝1. [答案] 19．(2015·贵阳质检)在△ABC 中，a ，b ，c 为∠A ，∠B ，∠C 的对边，若cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，b ＝7，则a 2＋c 2的最小值为____________．[解析] ∵cos 2B ＋cos B ＋cos(A －C )＝1，∴－cos(A ＋C )＋cos(A －C )＝1－cos 2B,2sin A sin C ＝2sin 2B ，由正弦定理得ac ＝b 2，即7＝ac ≤12(a 2＋c 2)(当且仅当a ＝c 时等号成立)，∴a 2＋c 2的最小值为14.[答案] 14 三、解答题10．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13.(1)求c 的值； (2)求cos(B －C )的值．[解] (1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，且a ＝3，b ＝3，cos B ＝13，所以9＝9＋c 2－2×3c ×13， 解得c ＝2或0(舍去)，故c ＝2. (2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429，因为a ＝b >c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝79，于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327. 11．(2015·山西太原一模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，且c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ； (2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ，求A 的值． [解] (1)∵c ＝2，C ＝π3，∴由余弦定理得4＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝a 2＋b 2－ab ， ∵△ABC 的面积等于3， ∴12ab sin C ＝3，∴ab ＝4，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)∵sin C ＋sin(B －A )＝2sin 2A ， ∴sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ， ∴sin B cos A ＝2sin A cos A ， ①当cos A ＝0时，A ＝π2；②当cos A ≠0时，sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4b ＝2a，解得a ＝233，b ＝433，∴b 2＝a 2＋c 2，∴B ＝π2.∵C ＝π3，∴A ＝π6.综上所述，A ＝π2或A ＝π6.12．(2015·辽宁五校期末)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －7π6.(1)求函数f (x )的最大值，并写出f (x )取最大值时x 的取值集合； (2)已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝32，b ＋c ＝2.求实数a 的取值范围．[解] (1)f (x )＝2cos 2x －sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －7π6＝(1＋cos 2x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos 7π6－cos 2x sin 7π6＝1＋32sin 2x ＋12cos 2x ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∴函数f (x )的最大值为2.当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝1，即2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z 时取到．∴函数取最大值时x 的取值集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π＋π6，k ∈Z .(2)由题意，f (A )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋1＝32，化简得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＝12. ∵A ∈(0，π)，∴2A ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，13π6，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3.在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos π3＝(b ＋c )2－3bc .由b ＋c ＝2，知bc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋c 22＝1，即a 2≥1，当且仅当b ＝c ＝1时取等号． 又由b ＋c >a 得a <2，∴a 的取值范围是[1,2)．。

I 2018年高考数学分类汇编之三角函数和解三角形一、选择题1.【2018全国二卷6】在中，，，则 A ．BCD ．2.【2018全国二卷10】若在是减函数，则的最大值是A ．B ．C ．D ．3.【2018全国三卷4】若，则 A ．B ．C ．D ．4．【2018全国三卷9】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则 A ．B ．C ．D ．5.【2018北京卷7】在平面直角坐标系中，记d 为点P （cos θ，sin θ）到直线20x my --=的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为 A. 1B. 2C. 3D.46.【2018天津卷6】将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A 在区间35[,]44ππ上单调递增 B 在区间3[,]4ππ上单调递减 C 在区间53[,]42ππ上单调递增 D 在区间3[,2]2ππ上单调递减 7．【2018浙江卷5】函数y=||2x sin2x 的图象可能是ABC △cos 2C 1BC =5AC =AB =()cos sin f x x x =-[,]a a -a π4π23π4π1sin 3α=cos2α=897979-89-ABC △A B C ，，a b c ABC △2224a b c +-C =π2π3π4π6II A ． B ．C ．D ．二、填空题1.【2018全国一卷16】已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_________． 2．【2018全国二卷15】已知，，则__________．3.【2018全国三卷15】函数在的零点个数为________．4.【2018北京卷11】设函数f （x ）=πcos()(0)6x ωω->，若π()()4f x f ≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为__________．5．【2018江苏卷7】已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．6．【2018江苏卷13】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为 ．7.【2018浙江卷13】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b=2，A=60°，sin cos 1αβ+=cos sin 0αβ+=sin()αβ+=()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭[]0π，III 则sin B=___________，c=___________． 三．解答题1.【2018全国一卷17】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=，45A ∠=，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .2.【2018北京卷15】在△ABC 中，a=7，b=8，cosB=–17． （Ⅰ）求∠A ； （Ⅱ）求AC 边上的高．3.【2018天津卷15】在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin cos()6b A a B π=-.（I ）求角B 的大小； （II ）设a=2，c=3，求b 和sin(2)A B -的值. 4.【2018江苏卷16】已知,αβ为锐角，4tan 3α=，cos()αβ+=． （1）求cos2α的值； （2）求tan()αβ-的值．5.【2018江苏卷17】某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O 的一段圆弧MPN （P 为此圆弧的中点）和线段MN 构成．已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD ，大棚Ⅱ内的地块形状为CDP △，要求,A B 均在线段MN 上，,C D 均在圆弧上．设OC 与MN 所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD 和CDP △的面积，并确定sin θ的取值范围；（2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为43∶．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．IV 6.【2018浙江卷18】已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （3455-，-）．（Ⅰ）求sin （α+π）的值； （Ⅱ）若角β满足sin （α+β）=513，求c osβ的值． 7.【2018上海卷18】设常数a R ∈，函数f x （）=x x a 2cos 22sin + （1）若f x （）为偶函数，求a 的值；（2）若4f π〔〕1=，求方程1f x =-（）ππ-［，］上的解. 参考答案一、选择题 1.A 2.A 3.B 4.C 5.C 6.A 7.D二、填空题1. 2. 3. 3 4.23 5.π6- 6. 9 7.3721； 三．解答题 1.解：（1）在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠. 由题设知，52sin 45sin ADB=︒∠，所以sin ADB ∠=. 由题设知，90ADB ∠<︒，所以cos 5ADB ∠==. （2）由题设及（1）知，cos sin 5BDC ADB ∠=∠=在BCD △中，由余弦定理得 2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠258255=+-⨯⨯25=. 所以5BC =.2.解：（Ⅰ）在△ABC 中，∵cosB=–17，∴B ∈（π2，π），∴sinB==12-V 由正弦定理得sin sin a b A B =⇒7sin A，∴．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A=π3．（Ⅱ）在△ABC 中，∵sinC=sin （A+B ）11()72-+．如图所示，在△ABC 中，∵sinC=h BC ，∴h=sin BC C ⋅=7=，∴AC边上的高为33．3.解：在△ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =．又因为(0π)B ∈，，可得B=π3．（Ⅱ）解：在△ABC 中，由余弦定理及a=2，c=3，B=π3，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =．因为a<c ，故cos A =sin 22sin cos A A A ==21cos22cos 17A A =-=． 所以，sin(2)sin 2cos cos2sin AB A B A B -=-=1127-= 4.解：（1）因为，，所以．因为，所以，因此，． 4tan 3α=sin tan cos ααα=4sin cos 3αα=22sin cos 1αα+=29cos 25α=27cos22cos 125αα=-=-VI （2）因为为锐角，所以． 又因为，因此． 因为，所以，因此，．5.解：（1）连结PO 并延长交MN 于H ，则PH ⊥MN ，所以OH=10．过O 作OE ⊥BC 于E ，则OE ∥MN ，所以∠COE=θ，故OE=40cosθ，EC=40sinθ，则矩形ABCD 的面积为2×40cosθ（40sinθ+10）=800（4sinθcosθ+cosθ）， △CDP 的面积为12×2×40cosθ（40–40sinθ）=1600（cosθ–sinθcosθ）． 过N 作GN ⊥MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ，则GK=KN=10． 令∠GOK=θ0，则si nθ0=14，θ0∈（0，π6）．当θ∈[θ0，π2）时，才能作出满足条件的矩形ABCD ， 所以sinθ的取值范围是[14，1）．答：矩形ABCD 的面积为800（4sinθcosθ+cosθ）平方米，△CDP 的面积为 1600（cosθ–sinθcosθ），sinθ的取值范围是[14，1）． （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3，设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k （k>0）， 则年总产值为4k×800（4sinθcosθ+cosθ）+3k×1600（cosθ–sinθcosθ） =8000k （sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，π2）．,αβ(0,π)αβ+∈cos()αβ+=sin()αβ+=tan()2αβ+=-4tan 3α=22tan 24tan 21tan 7ααα==--tan 2tan()2tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+VII 设f （θ）=sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，π2），则222()cos sin sin (2sin sin 1)(2sin 1)(sin 1)f θθθθθθθθ=--=-+-=--+′． 令()=0f θ′，得θ=π6，当θ∈（θ0，π6）时，()>0f θ′，所以f （θ）为增函数； 当θ∈（π6，π2）时，()<0f θ′，所以f （θ）为减函数， 因此，当θ=π6时，f （θ）取到最大值．答：当θ=π6时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．[来源:学§科§网]6.（Ⅰ）由角α的终边过点34(,)55P --得4sin 5α=-，所以4sin(π)sin 5αα+=-=. （Ⅱ）由角α的终边过点34(,)55P --得3cos 5α=-，由5sin()13αβ+=得12cos()13αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16cos 65β=-. 7. 解：（1）11cos 22sin )(2+-+=x x a x f =12cos 2sin ++x x a ， 当)(x f 为偶函数时：)()(x f x f -=，则a a -=，解得0=a 。

专题三 三角函数与平面向量总分 _______ 时间 _______ 班级 _______ 学号 _______ 得分_______一、选择题（12*5=60分）1．【2018届陕西省宝鸡市金台区高三上期中】已知()()1,1,,3AB BC x ==-，若AC AB ⊥，则x = ( )A. 3B. 1C. 3-或2D. 4-或1【答案】B【解析】AC = ()()()1,1,31,2x x +-=+-，由 B. 2．已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan 2α⎛⎝A. 195-B. 519-C. 3117-D. 1731- 【答案】D3，则角A 等于（ ） 6π 【解析】()223b c a bc -=-即22223b bc c a bc -+=- 所以()22212cos 0,23b c a bc A A A ππ+-=-∴=-∈∴=故选B.4．【2018 届四川省凉山州高三毕业班第一次诊断】已知锐角α满足cos cos24παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos αα等于（ ）A.14 B. 14-【答案】A【解析】由cos （α﹣4π）=cos2α，得22cos cossin sincos sin 44ππαααα+=-)()()sin cos sin cos cos sin αααααα+=+-， 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴sin α+cos α＞0，则cos α﹣sin α． 两边平方得： 112sin cos 2αα-= ， ∴1sin cos 4αα=． 故答案为：A. 5的值域为( ) 2x ≤2π，－ 23π≤2x －6π≤3π，函数y ＝cosx 在区间2[3π-,0]内单调递增，在区间[0, ]3π内单调递减，且cos 23π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－12，cos 3π＝12，cos 0＝1，因此所求值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，故选C. 6．函数()sin y A x ωϕ=+ (0,)2πωϕ>≤的部分图象如图所示，则函数的一个表达式为A. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭ B. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C. 4sin 84y x ππ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭D. 4sin 84y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】A点睛：本题主要考查利用()sin y A x ωφ=+的图象特征，由函数()sin y A x ωφ=+的部分图象求解析式，理解解析式中,,A ωφ的意义是正确解题的关键，属于中档题． A 为振幅，有其控制最大、最小值， ω控制周期，即2T πω=，通常通过图象我们可得2T 和4T， φ称为初象，通常解出A ， ω之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点. 7．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，可以将函数sin2y x =的图像（ ） A. 向右平移6π个单位长度 B. 向左平移12π个单位长度 C. 向左平移6π个单位长度 D. 向右平移12π个单位长度【答案】D8．在ABC ∆中，若30a b A ===︒，则边c 的长度等于( )A. 以上都不对 【答案】C【解析】∵∴由余弦定理a 2=b 2+c 2﹣2bccosA 得：5=15+c 2﹣c ，即c 2﹣，解得：则． 故答案为：C.9．【2018届广西玉林市陆川中学高三上期中】已知向量()11a =-，， ()12b =-，，则()2a b a +⋅＝（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2 【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=, 故选：C.10．设函数()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ） A. ()f x 的一个周期为2π B. ()f x 的图形关于直线8x π=对称 C. ()f x 的一个零点为8x π=-D. ()f x 在区间0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 【答案】D【解析】逐一考查所给的选项： 函数()f x 的最小正周期为22T ππ==，则函数的周期为： ()*T k k N π=∈，取2k =可得函数的一个周期为2π； 函数图象的对称轴满足： ()242x k k Z πππ+=+∈，则： ()28k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数的一条对称轴为8x π=；函数的零点满足： ()24x k k Z ππ+=∈，则： ()28k x k Z ππ=-∈， 令0k =可得函数的一个零点为8x π=-；若0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则32,444x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则函数在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上不具有单调性； 本题选择D 选项.11．若2,4a b ==，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A.23π B. 3π C. 43π D. 23π- 【答案】A【解析】()a b a +⊥ ()204a b a a a b a b ⇒+⋅=+⋅=⇒⋅=-，412cos ,,,2423a b a b a b a b π⋅-===-∴=⨯, 故选：A ．12．如图，在直角坐标系xoy 中，其中A(0,0),B(2,0),C(1,1),D(0,1),图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动.若AP λAB μBC =+，其中λ,μR ∈，则4λμ- 的取值范围是（ ）] 【答案】B【解析】以A 为坐标原点，AB 为x 轴，DA 为y轴建立平面直角坐标系则 A （0，0），D （0，1），C （1，1），B 直线BD 的方程为x+2y ﹣2=0，C 到BDx ﹣1）2+（y ﹣1）2=14， 2，0），BC =（﹣1，1）； 设4x ﹣y=t ，则y=4x ﹣t ，代入上式整理得 80x 2﹣（48t+16）x+8t 2+7≤0，设f （x ）=80x 2﹣（48t+16）x+8t 2+7，x ∈[12， 32]， 则102{ 302f f ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，解得2≤t ≤∴4x ﹣y 的取值范围是[2，． 故选：B ．二、填空题（4*5=20分）13.【2018届山东省济宁市高三上学期期末】 已知cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin2α=________.【答案】1125-14．已知向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，则m =__________． 【答案】1±【解析】向量()()1,2,2,a b m ==-， a b +与a b -垂直，故()()2222·0,a b a b a b a b +-=-=∴=1.m =⇒=±故答案为： 1±.15．【2018届四省名校（南宁二中等）高三上第一次大联考】已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin cos c B C =， 45A =︒，则B =__________. 【答案】75°【解析】由题意结合正弦定理有： sin sin cos C B B C =，sin 0,tan 60B C C ≠∴==，三角形内角和为180，则180456075B =--=. 16．如图所示， 23BAC π∠=，圆M 与,AB AC 分别相切于点,D E ， 1AD =，点P 是圆M 及其内部任意一点，且(),AP xAD y AE x y R =+∈，则x y +的取值范围是__________．【答案】44⎡-+⎣【解析】三、解答题（共6道小题，共70分）17. 在△ABC 中，内角A,B,C 所对应的边分别为a,b,c ，且bsin A a sin 2B =. (1)求角B 的大小；(2)若，求△ABC 的面积的最大值.【答案】(1) πB 3=;（2【解析】试题分析：(1)利用正弦定理边化角结合三角函数的性质可得1cos B 2=，则πB 3= . (2)利用(1)的结论和余弦定理、均值不等式可得ac 7≤ ，结合面积公式可知ABC S的最大试题解析：(1)∵bsin A a sin 2B =,由正弦定理得： sin Bsin A sin A?2sin Bcos B = ∵0A π<<, 0B π<< ∴sin A 0>,sin B 0> ∴1cos B 2= ∴πB 3=.18．【2018届江西省新余四中高三上学期第一次段考】已知函数f （x ）=sin 2x –cos 2x –sin x cos x （x ∈R ）. （1）求f （2π3）的值. （2）求f （x ）的最小正周期及单调递减区间. 【答案】（Ⅰ）2;（Ⅱ）π, ,,36k k k z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析：（1）直接利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式及辅助角公式，把函数的关系式变形为-2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭,进一步求出函数的值；（2）利用（1）的结论，直接根据周期公式可得f （x ）的最小正周期为π，令222262k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，，解不等式可求出函数的单调减区间.19．【2018届西藏拉萨市高三第一次模拟】已知a ， b ， c 分别为ABC ∆的三个内角A ，B ，C sin 2cos C c c A =+．b ，c ． sin C 后，利用辅助角公式化为关于角A ）利用余弦定理得出关于b,c 关系式，再利用三b 和c.（1sin 2cos C c c A =+及正弦定理，sin 2sin sin cos A C C C A =+，由于sin 0C ≠2cos A A =+，即sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 又0A π<<，所以5666A πππ-<-<，所以62A ππ-=，故23A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==，故4bc =，① 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，故()22312120b c a bc -=-=-=，故b c =，②由①②解得2b c ==．20．【2018届江西省南昌市高三第一轮】已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，且cos sin 0a C C b c +--=．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若AD 为BC 边上的中线， 1cos 7B =， AD =，求ABC ∆的面积．【答案】（Ⅰ）060A =（Ⅱ）ABC S ∆=【解析】试题分析: （1）由正弦定理化简已知的式子，由内角和定理、诱导公式、两角和差的正弦公式化简后，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出A ；（2）由题意和平方关系求出sinB ，由内角和定理、诱导公式、两角和的正弦公式求出sinC ，由正弦定理求出a 和c 关系，根据题意和余弦定理列出方程，代入数据求出a 、c ，由三角形的面积公式求出答案． 解析:（Ⅰ）∵cos sin 0a C C b c +--=，由正弦定理得：sin cos sin sin sin A C A C B C =+，即()sin cos sin sin sinC A C A C A C =++，化简得：cos 1A A -=，∴()01sin 302A -=．在ABC ∆中， 000180A <<，∴003030A -=，得060A =．（Ⅱ）在ABC ∆中， 1cos 7B =，得sin B =，则()11sin sin 72C A B =+=+=sin 7sin 5a A c C ==． 设7,5a x c x ==，在ABD ∆中，由余弦定理得： 2222?cos AD AB BD AB BD B =+-， 则2212911125492574427x x x x =+⨯-⨯⨯⨯⨯，解得1x =，即7,5a c ==，故1sin 2ABC S ac B ∆== 点睛: 本题考查了正弦定理、余弦定理，三角形的面积公式，以及两角和差的正弦公式等，注意内角的范围，考查化简、变形、计算能力．注意当已知三角形的一个边和两个角时,用正弦定理.已知两角一对边时,用正弦定理,已知两边和对角时用正弦较多.21．【2018届山东省师大附中高三第三次模拟】已知()()32sin πsin π2f x x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 最小正周期及其图象的对称轴方程;的对边分别为,,a b c ,且()3f A a ==,求ABC ∆()π12k ∈Z (2) ΔABC 周长的最大值为9;(2)由()f A =可得π3A =,再利用26b c a +≤=,则可得结论. 试题解析：(1) ()f x ()32sin πsin π2x x x ⎛⎫++- ⎪⎝⎭2cos sin x x x -=sin2x x -=π2cos 26x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭所以2ππ2T ==, 令()π2π6x k k +=∈Z ,解得()ππ212k x k =-∈Z , 所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z .22．已知向量()1,sin a x =， (cos b x =，⑴ 若a b ⊥，求tan2x 的值；⑵ 令()f x a b =⋅，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到函数()y g x =的图象，求函数()y g x =的单调递增区间.【答案】(1) ()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【解析】试题分析： ()1由条件a b ⊥可得向量数量积，得出cos x 、sin x 的数量关系，即可求出tan x ，就可以求出结果；(2)根据三角函数的图象平移，按照条件给出的横坐标都缩小为原来的一半，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得出三角函数的图象．试题解析：⑴ ， ()(1,sin cos cos 0x x x x ∴=⋅==，tanx ∴= 22tan tan21tan x x x ∴==-.⑵()(π1,sin cos cos 2sin 6x x x x x ⎛⎫=⋅=+=+ ⎪⎝⎭， ()π2sin 6f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），得到π2sin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再把所得图象沿x 轴向左平移π12个单位，得到()π2sin 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+得)5ππZ 12k x -≤， ()g x ∴的单调增区间是()5πππ,πZ 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦.。