西安交大概率论2016-2017期末试题解答

第一部分 随机事件及其概率基础练习一． 填空1 设====)(,7.0)(,5.0)(,4.0)(B A P B A P B P A P 则若 答案：0.552 三次独立重复射击中，至少有一次击中的概率为则每次击,6437中的概率为 答案：1/43箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________。

答案：8144 任取两个正整数，则它们之和为偶数的概率是_______ 答案：1/25 设10件产品中有3件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为__________答案：2/96已知P （A ）=0.8,P(A-B)=0.5,且A 与B 独立，则P （B ）= 答案：3/87从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于___________ 答案：9876104⨯⨯⨯=0.3024 8箱中盛有8个白球6个黑球，从其中任意地接连取出8个球，若每球被取出后不放还，则最后取出的球是白球的概率等于_________________ 答案：8149平面上有10个点，其中任何三点都不在一直线上，这些点可以确定_____个三角形。

答案：12010设样本空间U={1，2， 10}，A={2，3，4，}，B={3，4，5，}，C={5，6，7}，则()C B A 表示的集合=______________________。

答案：{1,2,5,6,7,8,9,10} 二． 计算题1 一打靶场备有5支某种型号的枪,其中3支已经校正,2支未经校正.某人使用已校正的枪击中目标的概率为1p ,使用未经校正的枪击中目标的概率为2p .他随机地取一支枪进行射击,已知他射击了5次,都未击中,求他使用的是已校正的枪的概率(设各次射击的结果相互独立).解 以M 表示事件“射击了5次均未击中”,以C 表示事件“取得的枪是已经校正的”，则,5/3)(=C P,5/2)(=C P 又,按题设,)1()|(51p C M P -=52)1()|(p C M P -=,由贝叶斯公式 ,)()()|(M P MC P M C P =)()|()()|()()|(C P C M P C P C M P C P C M P +=52)1(53)1(53)1(525151⨯-+⨯-⨯-=p p p.)1(2)1(3)1(3525151p p p -+--= 2 某人共买了11只水果,其中有3只是二级品,8只是一级品.随机地将水果分给C B A 、、三人,各人分别得到4只、6只、1只. (1)求C 未拿到二级品的概率.(2)已知C 未拿到二级品,求B A ,均拿到二级品的概率. (3)求B A ,均拿到二级品而C 未拿到二级品的概率.解 以，，，C B A 分别表示事件C B A ，，取到二级品,则C B A ，，表示事件C B A ，，未取到二级品.(1).11/8)(=C P(2)就是需要求).|(C AB P 已知C 未取到二级品,这时B A ,将7只一级品和3只二级品全部分掉.而B A 、均取到二级品,只需A取到1只至2只二级品,其它的为一级品.于是.5441027234103713)|(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=C AB P(3).55/32)()|()(==C P C AB P C AB P3 一系统L 由两个只能传输字符0和1的独立工作的子系统1L 和2L 串联而成(如图13-1),每个子系统输入为0输出为0的概率为)10(<<p p ;而输入为1输出为1的概率也是p .今在图中a 端输入字符1,求系统L 的b 端输出字符0的概率.ab解 “系统L 的输入为1输出为0”这一事件(记)01(→L )是两个不相容事件之和,即),00()01()01()11()01(2121→→→→=→L L L L L 这里的记号“)11(1→L ”表示事件“子系统1L 的输入为1输出为1,其余3个记号的含义类似.于是由子系统工作的独立性得)}00()01({)}01()11({)}01({2121→→+→→=→L L P L L P L P)}00({)}01({)}01({)}11({2121→→+→→=L P L P L P L P).1(2)1()1(p p p p p p -=-+-=4 甲乙二人轮流掷一骰子,每轮掷一次,谁先掷得6点谁得胜,从甲开始掷,问甲、乙得胜的概率各为多少?解 以i A 表示事件“第i 次投掷时投掷者才得6点”.事件i A 发生,表示在前1-i 次甲或乙均未得6点,而在第i 次投掷甲或乙得6点.因各次投掷相互独立,故有.6165)(1-⎪⎭⎫⎝⎛=i i A P 因甲为首掷,故甲掷奇数轮次,从而甲胜的概率为}{}{531 A A A P P =甲胜+++=)()()(531A P A P A P ),(21两两不相容因 A A⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+= 426565161.116)6/5(11612=-=同样,乙胜的概率为}{}{642 A A A P P =乙胜+++=)()()(642A P A P A P.1156565656153=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=5 将一颗骰子掷两次,考虑事件=A “第一次掷得点数2或5”,=B “两次点数之和至少为7”，求),(),(B P A P 并问事件B A ,是否相互独立.解 将骰子掷一次共有6种等可能结果,故.3/16/2)(==A P 设以i X 表示第i 次掷出骰子的点数,则}).6({1})7({)(2121≤+-=≥+=X X P X X P B P因将骰子掷两次共有36个样本点,其中621≤+X X 有6,5,4,3,221=+X X 共5种情况,这5种情况分别含有1,2,3,4,5个样本点,故.12/712/5136/)54321(1)(=-=++++-=B P以),(21X X 记两次投掷的结果,则AB 共有(2,5),(2,6),(5,2),(5,3)(5,4),(5,5),(5,6)这7个样本点.故 .36/7)(=AB P今有).(36/7)12/7)(3/1()()(AB P B P A P === 按定义B A ,相互独立.6 B A ，两人轮流射击,每次各人射击一枪,射击的次序为A B A B A ,,,,,射击直至击中两枪为止.设各人击中的概率均为p ,且各次击中与否相互独立.求击中的两枪是由同一人射击的概率.解 A 总是在奇数轮射击,B 在偶数轮射击.先考虑A 击中两枪的情况.以12+n A 表示事件“A 在第12+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. 12+n A 发生表示“前n 2轮中A 共射击n 枪而其中击中一枪,且A 在第12+n 轮时击中第二枪”（这一事件记为C ），同时“B 在前n 2轮中共射击n 枪但一枪未中”(这一事件记为D )，因此)()()()(12D P C P CD P A P n ==+nn p p p p n )1()1(11-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=- .)1(122--=n p np注意到 ,,,753A A A 两两互不相容,故由A 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为A )的概率为∑∑∞=-∞=++∞=-===1122112121)1()()()(n n n n n n p np A P A P A P1122])1[()1(-∞=∑--=n n p n p p.)2(1])1(1[1)1(2222p pP p p --=---(此处级数求和用到公式.1,)1(1112<=-∑∞=-x nx x n n 这一公式可自等比级数1,11<=-∑∞=x x x n n 两边求导而得到.) 若两枪均由B 击中,以)1(2+n B 表示事件 “B 在第)1(2+n 轮),2,1( =n 射击时又一次击中,射击在此时结束”. )1(2+n B 发生表示在前12+n 轮中B 射击n 枪其中击中一枪,且B 在第)1(2+n 轮时击中第2枪，同时A 在前12+n 轮中共射击1+n 枪,但一枪未中.注意到 ,,,864A A A 两两互不相容,故B 击中了两枪而结束射击(这一事件仍记为B )的概率为∑∞=+-+∞=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==111)1(21)1()1(1)()(n n n n n p p p p n B P B P 12112222])1[()1()1(-∞=∞=--=-=∑∑n n n np n p p p np.)2()1(])1(1[1)1(222222p p p p p --=---= 因此,由一人击中两枪的概率为222)2()1()2(1)()()(p p p p B P A P B A P --+--=+= .21pp --= 7 有3个独立工作的元件1,元件2,元件3,它们的可靠性分别为.,,321p p p 设由它们组成一个“3个元件取2个元件的表决系统”,记为2/3].[G 这一系统的运行方式是当且仅当3个元件中至少有2个正常工作时这一系统正常工作.求这一2/3][G 系统的可靠性. 解 以i A 表示事件“第i 个元件正常工作”，以G 表示事件“2/3][G 系统正常工作”，则G 可表示为下述两两互不相容的事件之和： 321321321321A A A A A A A A A A A A G = 因321,,A A A 相互独立,故有)()()()()(321321321321A A A P A A A P A A A P A A A P G P +++=)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=.)1()1()1(321321321321p p p p p p p p p p p p +-+-+-= 8 甲、乙、丙三部机床独立工作由一名工人照看，某段时间内甲、乙、丙三部机床不需要照看的概率依次为3/4、2/3、1/2，求在这段时间内有机床需要工人照看的概率及恰有1台机床需要工人照看的概率。

《概率论与数理统计》试卷A（考试时间：90分钟； 考试形式：闭卷）（注意：请将答案填写在答题专用纸上，并注明题号。

答案填写在试卷和草稿纸上无效）一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1、A ，B 为二事件，则AB =()A 、AB B 、A BC 、A BD 、A B2、设A ，B ，C 表示三个事件，则A B C 表示()A 、A ，B ，C 中有一个发生 B 、A ，B ，C 中恰有两个发生C 、A ，B ，C 中不多于一个发生D 、A ，B ，C 都不发生 3、A 、B 为两事件，若()0.8P AB =，()0.2P A =，()0.4P B =，则()成立A 、()0.32P AB = B 、()0.2P A B =C 、()0.4P B A -=D 、()0.48P B A = 4、设A ，B 为任二事件，则()A 、()()()P AB P A P B -=- B 、()()()P AB P A P B =+C 、()()()P AB P A P B =D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是()A 、A 与B 独立 B 、A 与B 独立C 、()()()P AB P A P B =D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为其分布函数为()F x ，则(3)F =()A 、0B 、0.3C 、0.8D 、17、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它 ，则常数c =()A 、15 B 、14C 、4D 、58、设X ～)1,0(N，密度函数22()x x ϕ-=，则()x ϕ的最大值是()A 、0B 、1 C、9、设随机变量X 可取无穷多个值0,1,2,…,其概率分布为33(;3),0,1,2,!k p k e k k -==，则下式成立的是()A 、3EX DX ==B 、13EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1,93EX DX ==10、设X 服从二项分布B(n,p),则有()A 、(21)2E X np -=B 、(21)4(1)1D X np p +=-+C 、(21)41E X np +=+D 、(21)4(1)D X np p -=-11、独立随机变量,X Y ，若X ～N(1,4)，Y ～N(3,16)，下式中不成立的是()A 、()4E X Y +=B 、()3E XY =C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为：则常数c=()A 、0B 、1C 、14 D 、14- 13、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()A 、1B 、0C 、12D 、-1 14、已知1,3EX DX =-=,则()232E X ⎡⎤-⎣⎦=()A 、9B 、6C 、30D 、36 15、当X 服从( )分布时,EX DX =。

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页共4 页第2 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；(10分)设ˆθ是一定是θ的相合估计。

共4 页第3 页共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于页1(1,F n -(24,19)=0.429,21.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ= 第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N 的置信区间为 分）某卡车为乡村小学运送书籍，共装有1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n，则X,nX相互独立，1,2,i n= ()E X=()D X: (1)0x y<<<⎰⎰10000,X独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页5,,X 是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：，试求5,,)Y X =的数学期望和方差。

概率论与数理统计第一章 随机事件及其概率第三节 事件的关系及运算一、选择1.事件AB 表示 （ C ）（A ） 事件A 与事件B 同时发生 （B ） 事件A 与事件B 都不发生（C ） 事件A 与事件B 不同时发生 （D ） 以上都不对2.事件B A ,，有B A ⊂，则=B A Y （ B ）（A ） A （B ）B （C ） AB （D ）A B U二、填空1.设,,A B C 表示三个随机事件，用,,A B C 的关系和运算表示⑴仅A 发生为ABC⑵,,A B C 中正好有一件发生为ABC ABC ABC ++⑶,,A B C 中至少有一件发生为A B C ++三、简答题1.任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。

事件A 表示“出现点数为偶数”，事件B 表示“出现点数可以被3整除”，请写出下列事件是什么事件，并写出它们包含的基本事件,,,,A B A B AB A B ++解：A 表示“出现点数为偶数”，{}2,4,6A =B 表示“出现点数可以被3整除”，{}3,6B =A B +表示“出现点数可以被2或3整除”，{}2,3,4,6A B += AB 表示“出现点数既可以被2整除，也可以被3整除”，{}6AB =A B +表示“出现点数既不可以被2整除，也不可以被3整除”，{}1,5A B +=2.向指定目标射击两次。

设事件,,,A B C D 分别表示“两次均未击中”、“击中一次”、“击中两次”、“至少击中一次”，请写出所有基本事件，并用基本事件表示事件,,,A B C D解：基本事件为 1w ：“第一次击中，第二次击中”2w ：“第一次未击中，第二次击中”3w ：“第一次击中，第二次未击中” 4w ：“第一次未击中，第二次未击中”4{}A w =，23{,}B w w =，1{}C w =，123{,,}D w w w =3.袋中有10个球，分别写有号码1---10，其中1，2，3，4，5号球为红球；6，7，8号球为白球；9，10号球为黑球。

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页 第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ） 课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。

西安交通大学考试题 B课 程 概 率 论学 院 考 试 日 期 2021 年 7月 9 日 专业班号姓 名 学 号 期中期末一、填空题(每题6分，共30分)1.一个产品须经过两道独立工序，每道工序产生次品的概率分别为3.0和2.0，那么一 个产品出厂后是次品的概率为 . 2.随机变量T 在[0，6]上服从均匀分布，那么方程 012=++x T x 有实根的概率为 .3.假设Y X 、的分布列为：Y X 、相互独立，那么α= 。

4.设随机事件~(0.5)X P ，那么=-)23(2X E ____________________.5. D ( X ) = 4, D (Y ) = 9, D ( X Y ) = 12, 那么X+Y 与Y 间的相关系数为=+Y Y X ,ρ___________..二、单项选择题(每题5分，共25分) 1.设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为⎩⎨⎧<<<<+=其他,020,10,)(),(y x y x a y x f ，那么常数=a(A) 31 (B) 3 (C) 2 (D) 21成绩X Y 1 2 31 61 91 181 2 31 α β√共 3 页第2 页课 程 概 率 论学 院 考 试 日 期 2021 年 7月 9 日一、；2.32；3.92；4.0.25；5.14619. 二、1.A ；2.D ；3.B ；4.D ；5.C三、解：设事件 A 表示“答复是〞，1B 表示骰子掷出1，2，3，4点，2B 表示掷出5或6点。

那么(1分)〔1〕 由全概率公式)()()()()(2211B A P B P B A P B P A P +=6132213132+=⋅+⋅=θθ (4分)〔2〕由Bayes 公式144613232)()()()(111+=+==θθθθA P B A P B P A B P(4分) 四、解：1.011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰1201111(0)(0)()12222P z X P X Y X P Y dy ≤==+≤==≤==⎰(2分)2. 当2z ≥时，()1F z =当1z <-时，()0F z =当12z -≤<时，()()()F z P Z z P X Y z =≤=+≤(1)(1)(0)(0)(1P X Y z X P X P X Y z X P X P X Y z X =+≤=-⋅=-++≤=⋅=++≤=[]1(1)()(1)3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤- (2分)当10z -≤<时，1011()1(1)33z F z dy z +==+⎰当01z ≤<时，011()110(1)33z F z dy z ⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰当12z ≤<时，1011()111(1)33z F z dy z -⎡⎤=++=+⎢⎥⎣⎦⎰ (2分)所以 0 11()(1) 1231 z 2z F z z z <-⎧⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎩，那么1,12()30,z f z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它(1分) 五、2,S R =π由题意得则联合密度函数为22221,(,)0,x y Rf x y R⎧+≤⎪=π⎨⎪⎩其它 (1分)()(,)X f x f x y dy R x R +∞-∞==-≤≤⎰(2分)()(,)Y f y f x y dy R y R +∞-∞==-≤≤⎰(221()(),X Y f x f y R =≠π所以不独立 (1分)2RR EX x dx R -==π⎰0 (1分)RR EY -==⎰0 (1分)2222x y R xyEXY dxdy R +≤==π⎰⎰0 (1分) (,)Cov X Y EXY EX EY =-⋅=0，那么X,Y 不相关 (1分)六、设赴约前t 分钟离开，那么花费⎩⎨⎧>-≤-==tX t X k t X X t c X f C ),(),()(，(3分)⎰==3010)()()(dxx p x f X Ef EC〔2分〕)45050()3010()22(201)(201)(23010k c t k c t kc dx t x k dx x t c t t+++-+=-+-=⎰⎰〔2分〕EC 最小，kc kc t ++=3010*〔2分〕七、 解 设一年中死亡等人数是X 人，X=,3000,,1,0 死亡的概率P=0.001，把考虑3000个人在一年中是否死亡看成3000重伯努力试验，故X 服从二项分布，即X~B(3000,0.01). 保险公司每年收入3000,3000010=⨯付去2000X 元。

4页第 1页共 4 页第 2 页共 4 页第3 页共 4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准()f x=⎨⎩共页第1 页(0,2)N (,1)N μ，12512X ++共 页 第 2 页共页第3 页共页第 4 页一、1、解、()0.09,()()()()0.18,()0.27,p AB p BA p B AB P B p AB p B ==-=-==1()3p A B ⇒=2、解、101121()()112535()844f x dx ax b dx a b ax b dx a b +∞-∞⎫=+=⇒+=⎪⎪⎬⎪+=⇒+=⎪⎭⎰⎰⎰，11,2a b ⇒== 3、解、所以4、解、2222()2,()0.4,() 4.16(3)(69) 1.16E X D X E X E X E X X =-=∴=⇒+=++=5、解、, (1,2)Z X Y ZN =+∴(1)(1)(1)(0)0.5P X Y P Z F +≤=≤==Φ=Φ=6、解、由已知得 1234(0,8), (0,8),X X N X X N +- 2221(2) 8Y C χ∴=+⇒=7、解、1123112ˆ()()() 333E E aX bX X a b a b μμμ=++=++=⇒+= 212351511ˆ()(())() 1241243E E a b X X X a b a b μμμ=-++=-++=⇒-= 11,26a b ∴==二、解、设,1,2,3i A i =分别表示居民为肥胖者、不胖不瘦者、瘦者，B 表示患有高血压病，123()=0.1()=0.82()=0.08P A P A P A ，，，123()0.2,()0.1,()0.05,P B A P B A P B A === 由全概率公式31()()()0.106i ii P B P A P B A ===∑ 由逆概率公式11()()10()0.1887()53P A P B A P A B P B === 三、解、0()(,) 0y x x X x e dy e f x f x y dy x o +∞--+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 00()(,) 0y y y Y y e dx ye f y f x y dx y o --+∞-∞⎧>=⎪==⎨≤⎪⎩⎰⎰ 11112201(1)(,)12x y x x y P X Y f x y dxdy dx e dy e e ----+≤+≤===+-⎰⎰⎰⎰四、解、随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 3 i p ⋅1 0 61 121 142 61 61 61 123 121 61 0 14 j p ⋅ 14 12 14(1,1)(1)(1)P X Y P X P Y ==≠==，所以不独立234611113663XYP ， 111123()234636636E XY =⨯+⨯+⨯+⨯= 1111232, 2,424EX EY =⨯+⨯+⨯==(,)()()()0Cov X Y E XY E X E Y =-≠， 0XY ρ≠，所以相关五、解、(100,0.2), ()1000.220, ()1000.20.816X b E X D X =⨯==⨯⨯=(1430)P X ≤≤≈Φ-Φ(2.5)( 1.5)=Φ-Φ- (2.5)(1.5)10.99380.933210.927=Φ+Φ-=+-=六、解、+11()()1E X xf x dx x dx x ββββ+∞∞+-∞==⋅=-⎰⎰，ˆ 11X X X βββ=⇒=-- 似然函数(1)11()()()n n n i i i i L f x x βββ-+===∏=∏，取对数1()(1)()ni i LnL nLn Ln x βββ==-+∏，1()()0n i i dLnL n Ln x d βββ==+∏=，11ˆ()()n n i ii i n n Ln x Ln x β====∏∑。

2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．y=3x D．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4 D．q2和q47．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）A．B．C．4 D．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（）A．﹣4 B．1 C．10 D．119．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（）A．8 B．10 C．6 D．410．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（）A．B．2 C．D．312．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．14．已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是．15．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是．16．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．18．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．19．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．20．在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．21．已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．2016-2017学年陕西省西安市交通大学附中高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（每小题3分，共12个小题）．1．已知命题p：∀x∈R，x＞2，那么命题￢p为（B）A．∀x∈R，x＜2 B．∃x∈R，x≤2 C．∀x∈R，x≤2 D．∃x∈R，x＜22．双曲线的渐近线方程为（A）A．B．C．y=3x D．3．已知点A是椭圆上一点，F为椭圆的一个焦点，且AF⊥x轴，|AF|=焦距，则椭圆的离心率是（C）A．B．C．D．4．已知p：x2﹣4x﹣5＞0，q：x2﹣2x+1﹣λ2＞0，若p是q的充分不必要条件，则正实数λ的取值范围是（D）A．（0，1]B．（0，2） C． D．（0，2]5．P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上的点，F1、F2是其焦点，且=0，若△F1PF2的面积是9，a+b=7，则双曲线的离心率为（B）A．B．C．D．6．已知命题p1：函数y=2x﹣2﹣x在R上为增函数，p2：函数y=2x+2﹣x在R上为减函数，则在命题q1：p1∨p2，q2：p1∧p2；q3：（￢p1）∨p2；q4：p1∨（￢p2）；其中为真命题的是（C）A．q1和q3B．q2和q3C．q1和q4 D．q2和q47．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（B）A．B． C．4 D．8．已知A（4，1，3），B（2，3，1），C（3，7，﹣5），点P（x，﹣1，3）在平面ABC内，则x的值为（D）A．﹣4 B．1 C．10 D．119．过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），如果x1+x2=6，那么|AB|=（A）A．8 B．10 C．6 D．410．在平行六面体ABCD﹣EFGH中，若=2x+3y+3z，则x+y+z等于（D）A．B．C．D．11．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则点F到双曲线的渐进线的距离为（A）A．B．2 C．D．312．在正四棱锥P﹣ABCD中，O为正方形ABCD的中心，=λ（2≤λ≤4），且平面ABE与直线PD交于F，=f（λ），则（A）A．f（λ）=B．f（λ）=C．f（λ）=D．f（λ）=二．填空题（每小题4分，共4个小题）．13．已知双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则椭圆的离心率e=．14．已知双曲线的两个焦点F1（﹣，0），F2（，0），P是此双曲线上的一点，且•=0，||•||=2，则该双曲线的方程是﹣y2=1．15．已知直线l，m的方向向量分别是=（1，1，0），=（﹣1，t，2），若l⊥m，则实数t的值是1．16．设平面α的一个法向量为=（1，2，﹣2），平面β的一个法向量为=（﹣2，﹣4，k），若α∥β，则k=4．三．解答题．（本大题共5小题．请将过程详写在答题卡上．）17．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为（3，0）和（﹣3，0）（1）求椭圆的标准方程．（2）若P为短轴的一个端点，求三角形F1PF2的面积．【解答】解：（1）设椭圆标准方程为，由题意可得所以a=5，b=4因此椭圆标准方程为（2）设P（0，4）为短轴的一个端点，s F1PF2==12．所以18．设命题p：方程+=1表示双曲线；命题q：∃x0∈R，x02+2mx0+2﹣m=0（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若命题q为真命题，求实数m的取值范围；（Ⅲ）求使“p∨q”为假命题的实数m的取值范围．．【解答】解：（Ⅰ）当命题p为真命题时，方程+=1表示双曲线，∴（1﹣2m）（m+2）＜0，解得m＜﹣2，或m＞，∴实数m的取值范围是{m|m＜﹣2，或m＞}；…（Ⅱ）当命题q为真命题时，方程x02+2mx0+2﹣m=0有解，∴△=4m2﹣4（2﹣m）≥0，解得m≤﹣2，或≥1；∴实数m的取值范围是{|m≤﹣2，或≥1}；…（Ⅲ）当“p∨q”为假命题时，p，q都是假命题，∴，解得﹣2＜m≤；∴m的取值范围为（﹣2，]．…19．设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，其准线与x轴的交点为Q，过Q点的直线l交抛物线于A，B两点．（1）若直线l的斜率为，求证：；（2）设直线FA，FB的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的值．【解答】（1）证明：由题意可得，联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），．则．∴；（2）设直线，与抛物线联立得y2﹣2pky+p2=0．∴．则20．在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；（2）求二面角B﹣AE﹣C的余弦值．【解答】解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，∵AB=AE，BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE，又∵平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，∴AO⊥平面BCDE，由题意，BE2=2AB2=2DB2，∴AB=BD=DE=AE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），C（1，0，0），D（0，1，0），E（﹣1，1，0），A（﹣，），则=（），=（﹣1，0，0），∵cos＜，＞===﹣，∴与的夹角为120°，异面直线AB与DE所成角为60°．（2）设平面ACE的法向量=（x，y，z），=（），=（﹣1，1，0），则，取x=1，得=（1，1，0），设平面ABE的法向量为=（a，b，c），=（），，则，取a=1，得=（1，2，），设二面角B﹣AE﹣C的平面角为θ，cosθ=|cos＜＞|==．∴二面角B﹣AE﹣C的余弦值为．21．已知直线l与椭圆交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为，向量=（ax1，by1），=（ax2，by2），且⊥，O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断△AOB的面积是否为定值，如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，∴，∴b2=a2﹣c2=1∴椭圆的方程为；（Ⅱ）△AOB的面积为定值1．∵，∴a2x1x2+b2y1y2=0，∴4x1x2+y1y2=0①若直线l斜率不存在，设直线l的方程为x=p，则x1=x2=p，y1=﹣y2，∵4x1x2+y1y2=0，∴∵，∴==1；∴S△AOB②若直线l斜率存在，设直线l的方程为y=kx+r，代入椭圆方程，可得（4+k2）x2+2krx+r2﹣4=0∴x1+x2=﹣，x1x2=∵4x1x2+y1y2=0∴（4+k2）x1x2+kr（x1+x2）+r2=0∴r2﹣4﹣+r2=0∴2r2=4+k2，∴r2≥2∴△=16（k2﹣r2+4）＞0=d•|AB|=×设原点O到直线l的距离为d，则S△AOB=综上可知，△AOB的面积为定值1。