2018-2019届高三数学(文)一轮复习课件：第4章 平面向量 第3节

2．教材衍化 (1)(必修 A4 P108T3)已知 a·b＝－12 2，|a|＝4，a 和 b 的 夹角为 135°，则|b|为( ) A．12 B．6 C．3 3 D．3
解析 a·b＝－12 2＝|a||b|cos135°， 解得|b|＝6.故选 B.
(2)(必修 A4 P104 例 1)已知|a|＝5，|b|＝4，a 与 b 的夹角 θ＝120°，则向量 b 在向量 a 方向上的投影为___－__2___．
(3)在实数运算中，若 a，b∈R，则|ab|＝|a|·|b|，若 a·b ＝b·c(b≠0)，则 a＝c.但对于向量 a，b 却有|a·b|≤|a|·|b|；若 a·b＝b·c(b≠0)，则 a＝c 不一定成立．例如 a·b＝|a||b|cosθ， 当 cosθ＝0 时，a 与 c 不一定相等．
(4)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cosθ＝ x21x＋1xy2＋21·yx1y22＋2 y22.
特别提醒：(1)a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投 影不是一个概念，要加以区别．
(2)对于两个非零向量 a 与 b，由于当 θ＝0°时，a·b>0， 所以 a·b>0 是两个向量 a，b 夹角为锐角的必要而不充分条 件；a·b＝0 也不能推出 a＝0 或 b＝0，因为 a·b＝0 时，有可 能 a⊥b.
A. －2 B. －1 C. 1 D. 2
本题采用坐标法、方程思想．
解析 a＝(1,2)，b＝(4,2)，则 c＝ma＋b＝(m＋4,2m＋ 2)，|a|＝ 5，|b|＝2 5，∴a·c＝5m＋8，b·c＝8m＋20.
∵c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角， ∴|cc|·|aa|＝|cc|·|bb|，∴5m＋5 8＝8m2＋520，解得 m＝2.故选 D.

0 与任一向量平行( 或共线) 两个向量只有相等或不相等,不能比较大小 0 的相反向量为 0
3.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 交换律: a+b= b+a ; 结合律: (a+b)+c=
加法
求两个向量和的运算
a+(b+c)
减法
求 a 与 b 的相反向量-b 的和的运算叫做 a 与 b 的差 |λ a|= |λ ||a| . 当λ >0 时,λ a 的方向与 a 的方向 相同;当λ <0 时 ,λ a 的方向与 a 的方向 相反;当λ =0 时,λ a= 0
数乘
求实数λ 与向量 a 的 积的运算
(λ μ )a ; λ (μ a)= (λ +μ )a= λ a+μ a ; λ (a+b)= λ a+λ b
4.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ ,使得 b=λ a 【重要结论】
A,B,C 三点共线 ,O 为 A,B,C 所在直线外任一点,则 OA = λ OB +μ OC 且λ +μ =1.
考点专项突破
易混易错辨析
知识梳理自测
【教材导读】 1.两个不同向量能比较大小吗? 提示:不能. 2.共线向量定理中为什么规定a≠0?
把散落的知识连起来
提示:若不规定a≠0,则λ可能不存在,也可能有无数个. 3.当a∥b,b∥c时,一定有a∥c吗? 提示:不一定.当b≠0时,有a∥c.当b=0时,a,c可以是任意向量,不一定共线.
知识梳理
1.向量的有关概念 (1)定义:既有 大小 又有 方向 的量叫做向量. (2)表示方法:①用字母表示:如a,b,c等;

加法和减法 相似， 与合成与向量的____________ 可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量 积．即 W＝ F · s ＝| F || s |cos θ(θ 为 F 与 s 的夹角)．
→→
→→
→ →
第四章 平面向量
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 |b|cos θ. |a|cos θ __________ ；向量b在a方向上的投影是_____________
(3)数量积的几何意义 b在a的方向上的投影|b|cos θ 数量积a·b等于a的长度|a|与_________________________ 的乘积.
3 C．－2 D．－2 3 [ 解析] b 在 a 方向上的投影为|b|cos 120° ＝－2.故选 D.
[ 答案] D
第四章 平面向量
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
→ → → → → 4． (2015· 湖北高考)若向量OA＝(1， －3)， |OA|＝|OB|， OA· OB → ＝0，则|AB|＝＝________. [ 解析] → → → 由题意知，OB＝(3,1)或OB＝(－3，－1)，所以AB
第四章 平面向量
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
2．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ 等于( 2 A. 2 C．0 ) 1 B.2 D．－1
第四章 平面向量
考点自主回扣
考向互动探究
考能感悟提升
课时作业
[ 解析]
a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)．

• • • •
3．平面向量数量积的重要性质 |a |cos θ _________； (1)e·a＝a · e＝ a· b＝0 (2)非零向量a，b ， a⊥b⇔_________； －|a||b| |a||b| (3)当a与b同向时，a·b＝______；当a与b反 2 a· a a 向时，a·b＝________，a·a＝______，|a|＝ a· b ______； |a||b|
考情分析 2016，全 国卷Ⅲ， 3T 2016，北 京卷，4T 2016，全 国卷Ⅰ， 13T 2016，天
命题趋势 1.平面向量 的数量积是 高考的热点， 主要考查平 面向量数量 积的运算、 几何意义、 两向量的模 与夹角以及 垂直问题．
栏目导 航
板 块 一 板 块 二Leabharlann 板 块 三板 块 四
• 1．平面向量的数量积 |a||b|cos θ 非零 • 若两个 ______向量a与b，它们的夹角为 θ，则 a· b＝|a||b| cos θ a与b的数量积(或内积)， _____________ 叫做 0 记作_________________. a· b＝0 • 规定：零向量与任一向量的数量积为 ______. a· b＝±|a||b| • 两个非零向量a与b垂直的充要条件是 __________，两个非零向量a与b平行的充要 |b|cos θ 条件是__________________. • 2．平面向量数量积的几何意义
5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
x1x2＋y1y2 ； 设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a· b＝_____________
由此得到：
2 2 x2＋y2 x ＋ y (1)若 a＝(x，y)，则|a| ＝____________，或|a|＝____________；