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2020年高考数学专题一 压轴选择题第三关 以棱柱、棱锥与球的组合体为背景的选择题【名师综述】球作为立体几何中重要的旋转体之一，成为考查的重点．要熟练掌握基本的解题技巧．还有球的截面的性质的运用，特别是其它几何体的内切球与外接球类组合体问题，以及与球有关的最值问题,更应特别加以关注的．试题一般以小题的形式出现,有一定难度．解决问题的关键是画出正确的截面，把空间“切接”问题转化为平面“问题”处理．类型一 四面体的外接球问题典例1．【2018河南漯河中学三模】已知三棱锥的底面是以为斜边的等腰直角三角形， ，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离为（ ） A.B.C.D.【答案】A【解析】由图可知， ，得，解得， ，故选A。
S ABC -AB 4,4AB SA SB SC ====ABC32222OB OD DB =+()224r r=+3r =d ∴=【方法指导】本题属于三棱锥的外接球问题，当三棱锥的某一顶点的三条棱两两垂直，可将其补全为长方体或长方体，三棱锥与长方体的外接球是同一外接球，而长方体的外接球的在球心就是对角线的交点，那么对角线就是外接球的直径2222c b a R ++=，c b a ,,分别指两两垂直的三条棱，进而确定外接球表面积．【举一反三】【2018南宁摸底联考】三棱锥 中， 为等边三角形， ， ，三棱锥 的外接球的体积为（ ） A.B.C. D.【答案】B【解析】由题意可得PA,PB ，PC 两两相等，底面是正三角形，所以三棱锥P-ABC 是正棱锥，P 在底面的身影是底面正三角形的中心O ，由 面PAO ，再由 ，可知 面PBC,所以可知 ，即PA,PB,PC 两两垂直，由于是球外接球，所以正三棱锥P-ABC 可以看成正方体切下来的一个角，与原正方体共外接球，所以。
类型二 三棱柱的外接球问题典例2．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各项点都在同一球面上，若该棱柱，2AB =，1AC =，60BAC ∠=，则此球的表面积等于（ ） A.2π B.4π C.6π D.8π 【答案】D.【解析】由已知条件得：1121sin 602AA ⨯⨯⨯⨯=12AA =，∵2222cos60BC AB AC AB AC =+-⨯⨯，∴BC =，设ABC ∆的外接圆的半径为R ，则2sin 60BCR =，∴1R ==，∴球的表面积等于248ππ=.【名师指导】确定球心位置是解决相关问题的关键，确定一个点到多面体各顶点相等的策略是将问题分解，即先确定到顶点A B C 、、距离相等的点在过ABC ∆的外心且垂直于平面ABC 的直线上，再确定到顶点111A B C 、、距离相等的点过111A B C ∆的外心且垂直于平面111A B C 的直线上，故直三棱柱111ABC A B C -的外接球球心为连接上下底面外心的线段的中点，进而可确定外接球半径．【举一反三】【陕西省榆林市2018届高考模拟第一次测试】已知直三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若13,4,,12AB AC AB AC AA ==⊥=，则球O 的直径为（ ） A. 13B.C.D. 2【答案】A【解析】因为三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，侧棱与底面垂直，△ABC 的外心是斜边的中点，上下底面的中心连线垂直底面ABC ，其中点是球心， 即侧面B 1BCC 1，经过球的球心，球的直径是侧面B 1BCC 1的对角线的长， 因为AB=3，AC=4，BC=5，BC 1=13， 所以球的直径为：13． 故答案为：A 。
2020年高考数学三轮冲刺解答题---圆锥曲线篇（文理通用）面积问题【例】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C ：y =22x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，52)为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 【答案】（1）见详解；（2）3或 【解析】（1）设()111,,,2D t A x y ⎛⎫-⎪⎝⎭，则2112x y =.由于y'x =，所以切线DA 的斜率为1x ，故11112y xx t+=- . 整理得112 2 +1=0. tx y - 设()22,B x y ，同理可得222 2 +1=0tx y -.故直线AB 的方程为2210tx y -+=.所以直线AB 过定点1(0,)2.（2）由（1）得直线AB 的方程为12y tx =+.由2122y tx xy ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得2210x tx --=. 于是()2121212122,1,121x x t x x y y t x x t +==-+=++=+，()212||21AB x t =-==+.设12,d d 分别为点D ，E 到直线AB的距离，则12d d ==因此，四边形ADBE 的面积()(2121||32S AB d d t =+=+设M 为线段AB 的中点，则21,2M t t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭.由于EM AB ⊥u u u u r u u u r ，而()2,2EM t t =-u u u u r ，AB u u u r 与向量(1, )t 平行，所以()220t t t +-=.解得t =0或1t =±.当t =0时，S =3；当1t =±时，S =因此，四边形ADBE的面积为3或【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小.【例】【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ． （1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【答案】（1）p =2，准线方程为x =−1；（2）最小值为1+G （2，0）． 【解析】（1）由题意得12p=，即p =2.所以，抛物线的准线方程为x =−1. （2）设()()(),,,,,A A B B c c A x y B x y C x y ，重心(),G G G x y .令2,0A y t t =≠，则2A x t =.由于直线AB 过F ，故直线AB 方程为2112t x y t -=+，代入24y x =，得()222140t y y t---=， 故24B ty =-，即2B y t =-，所以212,B tt ⎛⎫- ⎪⎝⎭.又由于()()11,33G A B c G A B c x x x x y y y y =++=++及重心G 在x 轴上，故220c t y t-+=，得242211222,2,,03t t C t t G t t t ⎛⎫⎛⎫-+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以，直线AC 方程为()222y t t x t -=-，得()21,0Q t -.由于Q 在焦点F 的右侧，故22t >.从而4224221244242222211|2|||322221222211|||1||2|23Ac t t t FG y t S t t t t t S t t QG y t t t t-+-⋅⋅--====--+--⋅--⋅-. 令22m t =-，则m >0，1221222134324S m S m m m m =-=-=+++++….当m =时，12S S取得最小值12+，此时G （2，0）．【名师点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.【例】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值. 【答案】（1）见解析；（2）169. 【解析】（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =．记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．①设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k=+． 从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k kuk -+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i）得||2PQ =||PG =△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号．因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．【名师点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题.【例】（2018浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ：24y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上．(1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；(2)若P 是半椭圆2214y x +=(0x <)上的动点，求PAB ∆面积的取值范围． 【解析】(1)设00(,)P x y ，211(,)4y A y ，222(,)4y B y ．因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程221014()422y x y y ++=⋅，即2210100280y y y x y -+-=的两个不同的实数根．所以1202y y y +=．因此，PM 垂直于y 轴． (2)由(1)可知1202120028y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩，所以2221200013||()384PM y y x y x =+-=-，12||y y -= 因此，PAB ∆的面积32212001||||4)24PABS PM y y y x ∆=⋅-=-． 因为220014y x +=0(0)x <，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈． 因此，PAB ∆面积的取值范围是4。
2020年高考数学三轮冲刺解答题---圆锥曲线篇（文理通用）最值问题【例1】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.【例2】【2019年高考浙江卷】如图，已知点(10)F ，为抛物线22(0)y px p =>的焦点，过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，点C 在抛物线上，使得ABC △的重心G 在x 轴上，直线AC 交x 轴于点Q ，且Q 在点F 的右侧．记,AFG CQG △△的面积分别为12,S S ．（1）求p 的值及抛物线的准线方程；（2）求12S S 的最小值及此时点G 的坐标．【例3】（2017山东）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>2，焦距为2．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）如图，动直线l ：13y k x =-E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，Me的半径为MC ，,OS OT 是Me的两条切线，切点分别为,S T ．求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率．C TSOMBAlxy【例4】（2017浙江）如图，已知抛物线2x y=．点11(,)24A-，39(,)24B，抛物线上的点(,)P x y13()22x-<<，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．yxQABPO（Ⅰ）求直线AP斜率的取值范围；（Ⅱ）求||||PA PQ⋅的最大值．有关点线距离的最值问题：【例】（2020·安徽高三模拟）已知F是抛物线()2:20C y px p=>的焦点，点P在x轴上，O为坐标原点，且满足14OP OF=u u u r u u u r，经过点P且垂直于x轴的直线与抛物线C交于A、B两点，且8AB=.（1）求抛物线C的方程；（2）直线l与抛物线C交于M、N两点，若64OM ON⋅=-u u u u r u u u r，求点F到直线l的最大距离.【例】在平面直角坐标系xoy中，已知点(0,1)A-，B点在直线3y=-上，M点满足//MB OAu u u r u u u r，MA AB MB BA=u u u r u u u r u u u r u u u rg g，M点的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）P为C上动点，l为C在点P处的切线，求O点到l距离的最小值．有关目标函数的最值问题：【例】（2020·云南省云南师大附中高三）已知抛物线()2:20E y px p=>，过其焦点F 的直线与抛物线相交于()11,A x y 、()22,B x y 两点，满足124y y =-. （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为()2,0-，记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，求221211k k +的最小值. 【例】（2020广东高三模拟）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点()()0,0F c c >到直线:20l x y --=的距离为322．设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ，其中,A B 为切点．（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）当点()00,P x y 为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； （Ⅲ）当点P 在直线l 上移动时，求AF BF ⋅的最小值． 有关三角形面积的最值问题：【例】（2020·吉林省高三月考）已知椭圆()222:122x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，22PF =. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且2OM =，求AOB ∆面积的最大值.【例】（2020浙江省宁波高三）已知抛物线2:4C x y =，A 、B 、P 为抛物线C 上不同的三点.（1）当点P 的坐标为()2,1时，若直线AB 过抛物线焦点F 且斜率为1，求直线AP 、BP 斜率之积； （2）若ABP ∆为以P 为顶点的等腰直角三角形，求ABP ∆面积的最小值．【例】（2020·四川省高三二模）已知椭圆C 的中心在坐标原点O ，其短半轴长为1，一个焦点坐标为(1,0)，点A 在椭圆C 上，点B 在直线2y =上，且OA OB ⊥． （1）证明：直线AB 与圆221x y +=相切；（2）设AB 与椭圆C 的另一个交点为D ，当AOB V 的面积最小时，求OD 的长．有关四边形面积的最值问题：【例】（2020·全国高三月考）设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，O 为坐标原点，A 为椭团的上顶点，(2,0)B 为其右焦点，D 是线段AB 的中点，且⊥OD AB . （1）求椭圆C 的方程；（2）过坐标原点且斜率为正数的直线交椭圆C 于P ，Q 两点，分别作PE x ⊥轴，QF x ⊥轴，垂足分别为E ，F ，连接QE ，PF 并延长交椭圆C 于点M ，N 两点.（ⅰ）判断PQM ∆的形状；（ⅱ）求四边形PMQN 面积的最大值.【例】（2020·江苏省高三开学考试）如图，F 是抛物线()220y px p =>的焦点，过点F 且与坐标轴不垂直的直线交抛物线于()11,A x y 、()22,B x y 两点，交抛物线的准线于点H ，其中10y >，124y y =-．过点H 作y 轴的垂线交抛物线于点P ，直线PF 交抛物线于点Q .（1）求p 的值；（2）求四边形APBQ 的面积S 的最小值． 【例】（2020·全国高三月考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x y E a b+=()0a b >>的四个顶点围成的四边形面积为2，圆22:1O x y +=经过椭圆E 的短轴端点．()1求椭圆E 的方程；()2过椭圆E 的右焦点作互相垂直的两条直线分别与椭圆E 相交于A ，C 和B ，D 四点，求四边形ABCD 面积的最小值．有关弦长的最值问题：【例】（2020·重庆高三月考）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1P .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点P 作两直线1l 与2l 分别交椭圆C 于A 、B 两点，若直线1l 与2l 的斜率互为相反数，求AB 的最大值.【例】（2020·梅河口市第五中学高三）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆222:()0O x y r r +=>. （1）若PFx⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为2，点P ，Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值.最值问题与探索问题相结合：【例】已知抛物线24y x =的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =，若直线l l //1，且1l 和C 有且只有一个公共点E 。
第三章 解析几何专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律. 一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题； 二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求角． (2)当a ，b 不共线时，有〈a ，b 〉为：直角⇔a ·b ＝0；钝角⇔a ·b <0(且a ，b 不反向)；锐角⇔a ·b >0(且a ，b 不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1.（2019·浙江温州中学高三月考）设点M 是长方体1111ABCD A B C D -的棱AD 的中点，14AA AD ==，5AB =，点P 在面11BCC B 上，若平面1D PM 分别与平面ABCD 和平面11BCC B 所成的锐二面角相等，则P 点的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C 【解析】设P 在平面ABCD 的投影为1P ，平面1D PM 与平面ABCD 所成的锐二面角为α则11cos MDP D PMS S α∆∆=M 在平面11BCC B 的投影为BC 中点1M ，平面1D PM 与面11BCC B 所成的锐二面角为β则11cos CPM D PMS S β∆∆=故1111MDP CPM D PMD PMS S S S ∆∆∆∆=即11MDP CPM S S ∆∆=得到111125,522C M h h ⨯⨯=⨯⨯= 即P 到直线11C M 的距离为定值，故P 在与11C M 平行的直线上 又点P 在面11BCC B 上，故轨迹为一条线段. 故答案选C例2.（2019·四川石室中学高三开学考试（文））设双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点为,,A B P 是双曲线上不同于,A B 的一点，设直线,AP BP 的斜率分别为,m n ，则当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A.3125 3 5【答案】D 【解析】由双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，则(,0),(,0)A a B a -，设00(,)P x y ，则2200221x y a b -=，可得2222002()x a y b a-=， 则0000,y y m n x a x a ==+-，所以2202220y b mn x a a ==-， 所以()22222222323ln ln 323ln 33b b b b b mn mn m n a a a a a ⎛⎫⎛⎫+--+=+⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23223()26ln 3b b b b a a a a=⋅+⨯-⨯-，设0b t a =>，则322()326ln 3f t t t t t =+--， 则322262436(2)(23)()324t t t t t f t t t t t t-+--+'=+--==， 当(0,2)t ∈时，()0f t '<，()f t 单调递减； 当(2,)t ∈+∞时，()0f t '>，()f t 单调递增， 所以当2t =时，函数()f t 取得最小值，即当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，2b a =， 所以双曲线的离心率为2222215c a b b e a a a+===+=，故选D ． 例3.（2019·全国高考真题（文））双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为（ ） A ．2sin40° B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D 【解析】 由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒， 2222222sin 50sin 50cos 50111tan 501cos 50cos 50cos50c b e a a ︒︒+︒⎛⎫∴==+=+︒=+== ⎪︒︒︒⎝⎭，故选D ． 例4.（2018·全国高考真题（理））设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅u u u u r u u u r=（ ） A ．5 B ．6C ．7D ．8【答案】D 【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为23的直线方程为2(2)3y x =+， 与抛物线方程联立22(2)34y x y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩，消元整理得：y y -+=2680， 解得(1,2),(4,4)M N ，又(1,0)F ， 所以(0,2),(3,4)FM FN ==u u u u v u u u v，从而可以求得03248FM FN ⋅=⨯+⨯=u u u u v u u u v，故选 D.例5.（四川省攀枝花市第十二中学2019届10月月考）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足∥，·＝·，M 点的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 距离的最小值． 【答案】（1） ； （2）2 .【解析】 (1)设，由已知得．所以，，．再由题意可知(＋)·，即所以曲线的方程为 .(2)设为曲线：上一点，因为所以的斜率为.因此直线的方程为即则点到的距离.又所以当时取等号，所以点到距离的最小值为2.例6.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上学期第二次月考）设，分别是椭圆的左、右焦点．（1）若是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）-2;1；（2）【解析】（1）易知，，，所以，，设，则因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值；当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值．（2）显然直线不满足题设条件，可设直线，，，联立消去，整理得，所以由得又所以又因为，即，所以故由①，②得例7.（江西师范大学附属中学2018届10月月考）在平面直角坐标系中，点，点在轴上，点在轴非负半轴上，点满足：（1）当点在轴上移动时，求动点的轨迹C的方程；（2）设为曲线C上一点，直线过点且与曲线C在点处的切线垂直，与C的另一个交点为，若以线段为直径的圆经过原点，求直线的方程．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）设A（a，0），M（x，y），B（0，b），则=（x﹣a，y），=（﹣a，b），=（a，1）∵=2，∴有（x﹣a，y）=2（﹣a，b），即有x﹣a=﹣2a，y=2b，即x=﹣a，y=2b∵，∴有a（x﹣a）+y=0∴﹣x（x+x）+y=0，∴﹣2x2+y=0即C的方程是y=2x2；（Ⅱ）设Q（m，2m2），直线l的斜率为k，则y′=4x，∴k=∴直线l的方程为y﹣2m2=（x﹣m）与y=2x2联立，消去y可得2x2+x﹣2m2﹣=0，该方程必有两根m与x R，且mx R=﹣m2﹣∴（2m2）y R=4（﹣m2﹣）2∵，∴mx R+（2m2）y R=0，∴﹣m2﹣+4（﹣m2﹣）2=0，∴m=±∴直线l的方程为．例8.（江苏省苏州市2018届高三上期末）如图，已知椭圆的右顶点为A（2，0），点P（2e，）在椭圆上（e为椭圆的离心率）．（1）求椭圆的方程；（2）若点B，C（C在第一象限）都在椭圆上，满足，且，求实数的值．【答案】（1）；（2）【解析】(1)由题意知，且，又，．解得，所以，所以椭圆的方程为．(2)设，又，则：，，．所以，有．又，所以．所以．即，又，解得或．又，所以．又．所以，即．所以 ．又由题意知，所以．【压轴训练】1．两圆222240x y ax a +++-=和2224140x y by b +--+=恰有三条公切线，若,a R b R ∈∈且0ab ≠，则2211a b+的最小值为（ ） A.1 B.3C.19D.49【答案】A 【解析】试题分析：由题意得两圆22()4x a y ++=与22(2)1x y b y +-=相外切，即222242149a b a b +=+⇒+=，所以222222222222221111(4)1414()[5][52]1999a b a b a b a b a b b a b a++=+=++≥+⋅=，当且仅当22224=a b b a 时取等号，所以选A.2．已知两点(0,3)A -，(4,0)B ，若点P 是圆2220x y y +-=上的动点，则△ABP 面积的最小值是（ ） A ．112B ．6C ．8D ．212【答案】A 【解析】由题意知，圆的方程为：()2211x y +-=，1695AB =+= 直线AB 方程为：143x y +=-，即34120x y --= 设()cos ,1sin P q q +∴点P 到直线AB 的距离：()5sin 163cos 4sin 1655d θϕθθ-+--==，其中3tan 4ϕ= ∴当()sin 1θϕ-=-时，min 115d =()min min 11122ABP S AB d ∆∴=⋅= 本题正确选项：A3．（2008·全国高考真题（理））若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A.221a b +≤ B.221a b +≥C.22111a b +≤D.22111a b+≥ 【答案】D 【解析】依题意可得，M 点在单位圆上，所以直线1x ya b+=与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离22111d a b =≤+，即22111a b +≥，故选D 4.（2018·北京高考真题（理））在平面直角坐标系中，记d 为点()cos ,sin P θθ到直线20x my --=的距离，当θ、m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C 【解析】22cos sin 1θθ+=∴Q ，P 为单位圆上一点，而直线20x my --=过点()2,0A ，所以d 的最大值为1213OA +=+=，选C.5.（四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2019届高三第一次调研）已知、是椭圆：的两个焦点，为椭圆上一点，且，若的面积为9，则的值为（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4 【答案】C 【解析】是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，可得，，，，，故选C.方法二：利用椭圆性质可得6.（2018届北京市城六区高三一模）已知点在圆上，点在圆上，则下列说法错误的是（）A. 的取值范围为B. 取值范围为C. 的取值范围为D. 若，则实数的取值范围为【答案】B【解析】∵M在圆C1上，点N在圆C2上，∴∠MON≥90°，∴≤0，又OM≤+1，ON≤+1，∴当OM=+1，ON=+1时，取得最小值（+1）2cosπ=﹣3﹣2，故A正确；设M（1+cosα，1+sinα），N（﹣1+cosβ，﹣1+sinβ），则=（cosα+cosβ，sinα+sinβ），∴2=2cosαcosβ+2sinαsinβ+2=2cos（α﹣β）+2，∴0≤≤2，故B错误；∵两圆外离，半径均为1，|C1C2|=2，∴2﹣2≤|MN|≤2+2，即2﹣2≤≤2+2，故C正确；∵﹣1≤|OM |≤+1，-1≤|ON|≤+1，∴当时，≤﹣λ≤，解得﹣3﹣2≤λ≤﹣3+2，故D 正确．故选B ．7.（2018届四川省蓉城名校高三4月联考）已知圆1C ： ()2251x y ++=， 2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，若M 为1C 上的动点，且10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，则CM u u u u v的最小值为（ ） A. 22 B. 23 C. 4 D. 25 【答案】A【解析】∵圆1C ： ()2251x y ++=，圆2C ： ()225225x y -+=，动圆C 满足与1C 外切且2C 与内切，设圆C 的半径为r ，由题意得1211516CC CC r r +=++-=（）（）， ∴则C 的轨迹是以（()()505,0-，， 为焦点，长轴长为16的椭圆，∴其方程为221,6439x y += 因为10CM C M ⋅=u u u u v u u u u v ，即CM 为圆1C 的切线，要CM u u u u v 的最小，只要1CC 最小，设()00,M x y ，则 ()222222010001511025391164x CM CC x y x x ⎛⎫=-=++-=+++-- ⎪⎝⎭u u u u ru u u u v20002510641,88,64x x x =++--≤≤Q ()()2min 2581086412 2.64CM -∴==+⨯-+-=u u u u r ，选A. 8．（2019·天津高三开学考试）设()f x ，()g x 是定义在R 上的两个周期函数，()f x 的周期为4，()g x 的周期为2，且()f x 是奇函数，当(]0,2x ∈时，()22f x x x =-，()()2,010.5,12k x x g x x ⎧+<≤=⎨<≤⎩，设函数()()()h x f x g x =+，若在区间(]0,13x ∈上，函数()h x 有11个零点，则k 的取值范围是______.【答案】21,43⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦【解析】令()()()h x f x g x =+=0，所以()()f x g x =-在区间(]0,13x ∈上，函数()f x x y 和=-g()的图像有11个交点，()()2,010.5,12k x x y g x x ⎧-+<≤=-=⎨-<≤⎩作出函数()f x 与()y g x =-的图象如图，由图可知，函数()f x 与1()(122y g x x =-=-<„，34x <„，56x <„，78910,1112x x x <<≤<≤，）„仅有3个实数根；所以要使关于x 的方程()()f x g x =-有8个不同的实数根，则2()2y f x x x ==-(0x ∈，2]与()(2)y g x k x =-=-+，(0x ∈，1]的图象有2个不同交点，由(1,0)到直线+20kx y k +=的距离为1，得2|3|11k k =+，解得2(0)4k k =-<，Q 两点(2,0)-，(1,1)连线的斜率13k -=，所以13k =-∴2143k -<≤-．故答案为：21,43⎛⎤-- ⎥ ⎝⎦.9．（2019·云南师大附中高三月考（文））边长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 为上底面1111D C B A 的中心，N 为下底面ABCD 内一点，且直线MN 与底面ABCD 所成线面角的正切值为2，则点N 的轨迹围成的封闭图象的面积为_____. 【答案】 【解析】 如下图所示，由题意知，M 在底面ABCD 内的投影为底面ABCD 的中心O ，连接ON ， 则MNO ∠即为直线MN 与底面ABCD 所成的角，所以，tan 2OMMNO ON∠==， 则12ON =，所以N 的轨迹是以底面ABCD 的中心O 为圆心，以12为半径的圆， 因此，N 的轨迹围成的封闭图象的面积为2124S ππ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故答案为：4π. 10．（2019·江苏高考真题）在平面直角坐标系中，P 是曲线上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是_____. 【答案】4. 【解析】 当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q 即为点P 到直线的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q 到直线的距离为，故答案为：．11．（2019·山东高三月考）已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线为l .若位于x 轴上方的动点A 在准线l 上，线段AF 与抛物线C 相交于点B ，且1AF AF BF-=，则抛物线C 的标准方程为____.【答案】22y x = 【解析】如图所示，设(0)2AFO παα∠=<<，过点B 作BB l '⊥于点B '，由抛物线的定义知，BF BB ='，FC p =，ABB AFO α∠=∠='；在Rt AB B '∆中，cos BB BF ABABα=='，cos BF AB α=，从而(1cos )AF BF AB AB α=+=+；又1AF AF BF-=，所以(1cos )1cos AB AF AB αα+-=，即1cos 1cos AF αα+-=，所以1cos AF α=；在Rt AFC ∆中，cos CF pAFAFα==，cos p AF α=， 所以1·cos 1cos p αα==， 所以抛物线C 的标准方程为22y x =． 故答案为：22y x =．12．（2018·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，()5,0B ，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=u u u v u u u v，则点A 的横坐标为________． 【答案】3 【解析】分析：先根据条件确定圆方程，再利用方程组解出交点坐标，最后根据平面向量的数量积求结果. 详解：设(),2(0)A a a a >，则由圆心C 为AB 中点得5,,2a C a +⎛⎫⎪⎝⎭易得()()():520C x x a y y a --+-=e ，与2y x =联立解得点D 的横坐标1,D x =所以()1,2D .所以()55,2,1,22a AB a a CD a +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭u u u v u u u v ，由0AB CD ⋅=u u u v u u u v 得()()()2551220,230,32a a a a a a a +⎛⎫--+--=--== ⎪⎝⎭或1a =-，因为0a >，所以 3.a =13.（2019·江苏高三月考）设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，已知椭圆C过点P(2，1)，当线段AB 长最小时椭圆C 的离心率为_______. 【答案】22【解析】因为A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，所以(,0)A a ，(0,)B b ，又椭圆C 过点(2,1)P ， 所以22411a b+=， 所以2222222222414()4193⎛⎫=+=++=+++= ⎪⎝⎭a b AB a b a b ab b a ，当且仅当22224a b b a=，即222a b =时，取等号，此时222a c =，所以离心率为1222===c e a . 故答案为2214.（2019·河南南阳中学高三月考）已知平面上一定点()2,0C 和直线:8l x =，P 为该平面上一动点，作PQ l ⊥，垂足为Q ，且11022PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u uv u u u v u u u v u u u v（1）求动点P 的轨迹方程；（2）若EF 为圆22:(1)1+-=N x y 的任一条直径，求PE PF u u u v u u u v⋅的最小值．【答案】（1）2211612x y +=（2）123-【解析】（1）设(),P x y ，则()8,Q y ()2,PC x y ∴=--u u u v ，()8,0PQ x =-u u u v221110224PC PQ PC PQ PC PQ ⎛⎫⎛⎫+⋅-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u uv u u u v u u u v u u u v u u u u v v Q()()22212804x y x ∴-+--=，整理可得：2211612x y +=P ∴的轨迹方程为：2211612x y += （2）由题意知，圆N 的圆心为：()0,1，则,E F 关于()0,1对称 设(),P x y ，()cos ,1sin E θθ+ ()cos ,1sin F θθ∴--()cos ,sin 1PE x y θθ∴=-+-u u u v ，()cos ,sin 1PF x y θθ=---+-u u u v()()222222cos 1sin 11PE PF x y x y θθ∴⋅=-+--=+--u u u v u u u v∴要求PE PF u u u v u u u v⋅得最小值，只需求解出点P 到点()0,1的距离d 的平方的最小值设()4cos ,23sin P αα()222216cos 23sin 14sin 43sin 17d αααα=+-=--+[]sin 1,1α∈-Q ∴当sin 1α=时，2d 取最小值：1343-()2min min1134311243PE PFd ∴⋅=-=--=-u u u v u u u v15．（2019·江苏高考真题）如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求:线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位:百米）．（1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）对规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离． 【答案】（1）15（百米）； （2）见解析；（3）17+321. 【解析】 解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====. 因为PB ⊥AB ，所以84 cos sin105PBD ABE∠=∠==.所以12154cos5BDPBPBD===∠.因此道路PB的长为15（百米）.（2）①若P在D处，由（1）可得E在圆上，则线段BE上的点（除B，E）到点O的距离均小于圆O的半径，所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处，连结AD，由（1）知2210AD AE ED=+=，从而2227cos0225AD AB BDBADAD AB+-∠==>⋅，所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.（3）先讨论点P的位置.当∠OBP<90°时，线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径，点P不符合规划要求；当∠OBP≥90°时，对线段PB上任意一点F，OF≥OB，即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径，点P符合规划要求.设x ya M N+=⋅为l上一点，且1PB AB⊥，由（1）知，115PB=，此时11113sin cos1595PD PB PBD PB EBA=∠=∠=⨯=；当∠OBP>90°时，在1PPB△中，115PB PB>=.由上可知，d≥15.再讨论点Q的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q只有位于点C的右侧，才能符合规划要求.当QA=15时，2222156321CQ QA AC=-=-=此时，线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =321时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+321. 因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+321（百米）. 解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3. 因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25. 从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34. 因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--. 所以P （−13，9），22(134)(93)15PB =-+++=. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3）， 所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟. 在线段AD 上取点M （3，154），因为22221533454OM ⎛⎫=+<+= ⎪⎝⎭， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径. 因此Q 选在D 处也不满足规划要求. 综上，P 和Q 均不能选在D 处. （3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设x y a M N +=⋅为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，115PB =，此时()113,9P -； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15. 再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求. 当QA =15时，设Q （a ，9），由22(4)(93)15(4)AQ a a =-+-=>，得a =4321+，所以Q （4321+，9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径. 综上，当P （−13，9），Q （4321+，9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4321(13)17321PQ =+--=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17321+（百米）.16.（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆： 的离心率为，短轴为.点满足.(1)求椭圆的方程；(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）.（2）答案见解析.【解析】 （1），所以从而的方程为.（2）当不为轴时，设：，、.联立与的方程可得，所以，，.因为为定值，所以，解得.此时定值为.当为轴时，，..综上，存在使得为定值.17.（河北省衡水金卷2018年调研卷（二））已知点，过点作与轴平行的直线，点为动点在直线上的投影，且满足.（1）求动点的轨迹的方程；（2）已知点为曲线上的一点，且曲线在点处的切线为，若与直线相交于点，试探究在轴上是否存在点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由.【答案】(1);(2)见解析.【解析】(1)设，由题得又，∴，，由，得，即，∴轨迹的方程为.（2）设点，， 由，得， ∴， ∴直线的方程为 令，可得， ∴点的坐标为， ∴，（*）要使方程（*）对恒成立，则必有解得. 即在轴上存在点，使得以为直径的圆恒过点，其坐标为. 18. （2019·广东高三月考（理））已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-=【解析】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=， 则124x x k +=，128x x =-， 又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=. （2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r 又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.。
第2讲 圆锥曲线的综合问题A 组 小题提速练一、选择题1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1，5]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)解析：∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，则由题意得b a >2，∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2>1＋4＝5. 答案：C2．(2018·河南八市联考)已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是( )A.72 B ．3 C.52D ．2解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，依据抛物线的定义，得|QM |－|QF |≥|x Q ＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪x Q ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3－12＝52，选C. 答案：C3．已知圆C ：x 2＋y 2＋6x ＋8y ＋21＝0，抛物线y 2＝8x 的准线为l ，设抛物线上任意一点P 到直线l 的距离为m ，则m ＋|PC |的最小值为( ) A ．5 B.41 C.41－2D ．4解析：由题得，圆C 的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F (2,0)．根据抛物线的定义，得m ＋|PC |＝|PF |＋|PC |≥|FC |＝41. 答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( ) A ．1B. 2C ．2D ．2 2解析：设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S ＝12×2c ×b ＝bc ＝1≤b 2＋c 22＝a22.所以a 2≥2.所以a ≥ 2. 所以长轴长2a ≥22，故选D. 答案：D5．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4. 答案：B6．(2018·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1，2)D ．(2,2)解析：过M 点作准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)． 答案：D7．(2018·湖南师大附中月考)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与抛物线y2＝x 的一个交点的横坐标为x 0，若x 0>1，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，62 B ．(2，＋∞)C ．(1，2) D.⎝⎛⎭⎪⎫62，＋∞ 解析：联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝bax ，消去y 得b 2a 2x 2＝x ，由x 0>1知b 2a 2<1，即c 2－a 2a2<1，故e 2<2，又e >1，所以1<e <2，故选C. 答案：C8．直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为( ) A.13 B.12 C.23D.34解析：如图，|OB |为椭圆中心到l 的距离，则|OA |·|OF |＝|AF |·|OB |，即bc ＝a ·b2，所以e ＝c a ＝12.故选B.答案：B9．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.12 B ．1 C.32D ．2解析：设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1，又点P 到焦点F 的距离为2，∴由定义知点P 到准线的距离为2，∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1，代入抛物线方程得|y P |＝2，∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝12×1×2＝1.答案：B10．已知圆：C 1(x －4)2＋y 2＝169，圆C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为( ) A.x 264－y 248＝1 B.x 248＋y 264＝1 C.x 248－y 264＝1 D.x 264＋y 248＝1 解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16，∴M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.答案：D11．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1 C.x 227＋y 218＝1 D.x 218＋y 29＝1 解析：因为直线AB 过点F (3,0)和点(1，－1)，所以直线AB 的方程为y ＝12(x －3)，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b 2＝1消去y ，得(a 24＋b 2)x 2－32a 2x ＋94a 2－a 2b 2＝0，所以AB 的中点的横坐标为32a 22a24＋b2＝1，即a 2＝2b 2，又a 2＝b 2＋c 2，所以b ＝c ＝3，选择D.答案：D12．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率e ＝52，点A (0,1)与双曲线上的点的最小距离是2305，则该双曲线的方程为( )A.x 22－y 2＝1 B.x 23－y 2＝1 C.x 24－y 2＝1 D.x 24－y 22＝1 解析：由c ＝a 2＋b 2，知c a ＝a 2＋b 2a ＝52，解得a ＝2b ，所以双曲线的方程为x 24b 2－y 2b2＝1，即为x 2－4y 2＝4b 2.设B (x ，y )是双曲线上任意一点，故|AB |2＝x 2＋(y －1)2＝4b 2＋4y 2＋(y －1)2＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －152＋4b 2＋45，当y ＝15时，|AB |取得最小值4b 2＋45＝2305，解得b ＝1，所以该双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 答案：C 二、填空题13．若椭圆短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为1，则椭圆的标准方程为________．解析：由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝12，a －c ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.椭圆方程为x 24＋y 23＝1或x 23＋y 24＝1.答案：x 24＋y 23＝1或x 23＋y 24＝1 14．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC 的边长为2，则a ＝________.解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2. 答案：215．已知直线l ：y ＝kx ＋t 与圆：x 2＋(y ＋1)2＝1相切，且与抛物线C ：x 2＝4y 交于不同的两点M ，N ，则实数t 的取值范围是________． 解析：因为直线l 与圆相切，所以|t ＋1|1＋k2＝1⇒k 2＝t 2＋2t .再把直线l 的方程代入抛物线方程并整理得x 2－4kx －4t ＝0，于是由Δ＝16k 2＋16t ＝16(t 2＋2t )＋16t >0，得t >0或t <－3. 答案：t >0或t <－316．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C 于点P .若点P 的横坐标为2a ，则C 的离心率为________． 解析：设直线方程为y ＝b a(x －c )，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－y 2b 2＝1y ＝bax －c，得x ＝a 2＋c 22c，由a 2＋c 22c ＝2a ，e ＝c a，解得e ＝2＋3(e ＝2－3舍去)． 答案：2＋ 3B 组 大题规范练1．已知动点M 到定点F 1(－2,0)和F 2(2,0)的距离之和为4 2. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)设N (0,2)，过点P (－1，－2)作直线l ，交曲线C 于不同于N 的两点A ，B ，直线NA ，NB 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值．解析：(1)由椭圆的定义，可知点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点，42为长轴长的椭圆． 由c ＝2，a ＝22，得b ＝2.故动点M 的轨迹C 的方程为x 28＋y 24＝1.(2)当直线l 的斜率存在时，设其方程为y ＋2＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 28＋y 24＝1，y ＋2＝k x ＋1得(1＋2k 2)x 2＋4k (k －2)x ＋2k 2－8k ＝0.Δ＝[4k (k －2)]2－4(1＋2k 2)(2k 2－8k )>0，则k >0或k <－47.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k k －21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－8k 1＋2k 2.从而k 1＋k 2＝y 1－2x 1＋y 2－2x 2＝2kx 1x 2＋k －4x 1＋x 2x 1x 2＝2k －(k －4)4k k －22k 2－8k ＝4. 当直线l 的斜率不存在时，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，142，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－142， 所以k 1＋k 2＝4. 综上，恒有k 1＋k 2＝4.2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，左焦点为F (－1,0)，过点D (0,2)且斜率为k 的直线l 交椭圆于A ，B 两点． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)在y 轴上，是否存在定点E ，使AE →·BE →恒为定值？若存在，求出E 点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．解析：(1)由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设过点D (0,2)且斜率为k 的直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋2，消去y 整理得(1＋2k 2)x 2＋8kx ＋6＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8k 1＋2k 2，x 1x 2＝61＋2k 2.又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝－2k 2－42k 2＋1.y 1＋y 2＝(kx 1＋2)＋(kx 2＋2)＝k (x 1＋x 2)＋4＝42k 2＋1. 设存在点E (0，m )，则AE →＝(－x 1，m －y 1)， BE →＝(－x 2，m －y 2)，所以AE →·BE →＝x 1x 2＋m 2－m (y 1＋y 2)＋y 1y 2＝62k 2＋1＋m 2－m ·42k 2＋1－2k 2－42k 2＋1＝2m 2－2k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1. 要使得AE →·BE →＝t (t 为常数)，只需2m 2－2k 2＋m 2－4m ＋102k 2＋1＝t ，从而(2m 2－2－2t )k 2＋m 2－4m ＋10－t ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－2－2t ＝0，m 2－4m ＋10－t ＝0，解得m ＝114，从而t ＝10516，。
打破 1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1. (2021 江西上饶一模 ,20) 椭圆M:=1( a>b>0)的离心率为, 点P 1,在椭圆M上.(1)求椭圆 M的方程;(2)经过椭圆 M的右焦点 F 的直线 l 与椭圆 M交于 C, D两点, A, B 分别为椭圆 M的左、右极点,记△ABD与△ ABC的面积分别为S1和 S2,求 |S 1-S 2| 的取值范围 .2. (2021 宁夏银川一中四模,20) 椭圆C:=1( a>b>0)的左、右焦点分别为F1, F2,点 M在椭圆上 , 有|MF1|+|MF2|= 4, 椭圆的离心率为e=(1)求椭圆 C的标准方程;(2) N(4,0),过点N作斜率为k( k>0)的直线 l 与椭圆交于A, B 不相同两点,线段 AB的中垂线为l' ,记 l' 的纵截距为m,求 m的取值范围 .3 .(2021 北京海淀区二模 ,20) 椭圆: 2 2 2 1 的左右极点分别为1,2C x + y =A A .(1)求椭圆 C的长轴长与离心率;(2)假设不垂直于 x 轴的直线 l 与椭圆 C订交于 P, Q两点,直线 A1P 与 A2Q交于点 M,直线 A1Q与 A2P交于点 N.求证:直线 MN垂直于 x 轴 .4. (2021 广东珠海质检 ,20) 抛物线C1: y2=2px( p>0),圆 C2: x2+y2=4,直线 l : y=kx+b 与抛物线 C1相切于点 M,与圆 C2相切于点 N.(1)假设直线 l 的斜率 k=1,求直线 l 和抛物线 C1的方程;(2) 设F为抛物线C1的焦点,设△ FMN,△ FON的面积分别为S1, S2,假设 S1=λ S2,求λ的取值范围 .5. (2021 重庆巴蜀中学适应性考试( 七 ),20)椭圆=1( a>b>0)与直线 y= x- 2相切,设椭圆的上极点为 M, F1, F2是椭圆的左、右焦点, 且△MFF为等腰直角三角形.12(1)求椭圆的标准方程 ;(2)直线 l 过点 N 0, -交椭圆于 A, B 两点,直线 MA、 MB分别与椭圆的短轴为直径的圆交于S, T两点,求证: , ,三点共线.O S T6. (2021 河北衡水联考 ,20) 椭圆=1( a>b>0)的离心率 e=, 左、右焦点分别为F1, F2,且 F2与抛物线 y2=4x 的焦点重合 .(1)求椭圆的标准方程 ;(2)假设过 F1的直线交椭圆于 B, D两点,过 F2的直线交椭圆于 A, C两点,且 AC⊥ BD,求|AC|+|BD| 的最小值 .参照答案高考大题专项五直线与圆锥曲线压轴大题打破 1圆锥曲线中的最值、范围、证明问题1. 解 (1) 因为 e= = , 椭圆 M 过点 P 1, , 所以 c=1, a=2.所以椭圆 M 方程为 + =1.(2) 当直线 l 无斜率时 , 直线方程为 x=1, 此时 C 1, - , D 1, , △ ABD , △ABC 面积相等 , |S 1-S 2|= 0;当直线 l 斜率存在 ( 明显 k ≠0) 时 , 设直线方程为 y=k ( x- 1),设 C ( x 1, y 1 ), D ( x 2, y 2) .由消去 y 得 (3 +4k 2) x 2- 8k 2x+4k 2- 12=0,明显>0, 方程有根 , 且 x 1+x 2= , x 1x 2=,此时 |S -S |= 2||y 2|-|y||= 2|y +y |=,12121因为 k ≠0, 那么上式=≤= =k=±时等号成立,所以|S -S | 的最大值1 2为,所以 0≤12≤.|S-S|2 解 (1) 因为124,所以 24, 所以4.|MF |+|MF |=a=a= .因为 e= , 所以 c=1,所以 b 2=a 2 -c 2=3, 所以椭圆 C 的标准方程为 + =1.(2) 由题意可知直线l 的斜率存在 , 设l : ( 4),( 1, y1),( 2, y 2),y=k x-A xB x由消去 y 得(4 k2+3) x2- 32k2x+64k2- 12=0,x1+x2=, x1x2=,又=- 4(4 k2+3)(64 k2- 12) >0,解得 - <k< ,故0<k< .设 A, B的中点为 P( x0, y0),那么x0==,y0=k( x0- 4) =-,所以 l' : y-y 0=- ( x-x 0),即 y+=- x-,化简得 y=- x+, 令x=0, 得m=, k∈0,,m'=, 当k∈0,时,m'>0恒成立,所以 m=在k∈0,上为增函数,所以0<m<.3. (1) 解椭圆C的方程可化为+y2=1,所以 a=, b=1, c=1.所以长轴长为2a=2, 离心率e= =.(2)证明显然直线 A1P, A2Q, A1Q, A2P 的斜率都存在,且互不相等,分别设为 k1, k2, k3, k4.设直线 1 的方程为y=k 1(x+), 2的方程为y=k2(x-), 联立直线 1 与直线 2 方程得A P AQ AP A Qx M=.同理可得 x N=.下面证明 k1k4=- .设 P( x0, y0),那么 +2 =2.所以 k1k4=·===- . 同理 k2k3=- . 所以 x N===x M.所以直线 MN垂直于 x 轴 .4. 解 (1) 由题设知 l : x-y+b= 0, 且 b>0, 由 l 与 C 相切知 , C (0,0) 到 l 的距离 d==2, 得 b=2, 所以22l : x-y+ 2 =0. 将 l 与 C 1 的方程联立消x 得 y 2- 2py+4p =0,其 =4p 2- 16p=0 得 p=4 ,∴C 1: y 2=8 x.综上所述 , l : x-y+ 2=0, C 1: y 2=8 x.(2) 不如设 k>0, 依照对称性 , k>0 获取的结论与 k<0 获取的结论相同 . 此时 b>0, 又知 p>0, 设 M ( x 1, y 1), N ( x 2, y 2), 由消去 y 得 k 2x 2+2( kb-p ) x+b 2=0,由 =4( kb-p ) 2- 4k 2b 2=0, 得 p=2kb , M,,由 l 与 C 2 切于点 N 知 C 2(0,0) 到 l : kx-y+b= 0 的距离 d==2, 得 b=2 , 那么 p=4k,故M,4.由得 N - , , 故 |MN|= |x M -x N |= + =.F 0 2+2,,0 到 l : kx-y+b= 0 的距离 d ==2k 所以 S 1=S △ FMN = |MN|d 0=,又因为 S =S = |OF| ·|y |= 2k , 所以 λ = =22+3, 当= +2 ( k +1)=2k + +3≥22△FONN且仅当 2k 2= 即 k= 时取等号 , 与上同理可得 , k<0 时亦是同上结论 . 综上所述 , λ 的取值范围是 [3 2 , ).+ +∞ 5 (1) 解 ∵△ 1 2 为等腰直角三角形,. MFF∴b=c, a= b,∴椭圆的方程为x2+2y2=2b2.由消去 x 整理得:4 y2+8y+16- 2b2=0,∵椭圆与直线相切,∴=128- 16(16 - 2b2) =0,解得 b2=4.∴椭圆的标准方程为x2+2y2=8,即+ =1.(2)证明由题意得直线 AB的斜率存在,设直线 AB的方程为 y=kx- ,由消去 y 整理得(1 +2k2) x2- kx-=0,∵直线 AB与椭圆交于两点,∴=+4×(2 k2+1) = (9 k2+4) >0.设点 A( x1, y1), B( x2, y2),那么 x1+x2=, x1x2=,又 M(0,2),∴·12( 1-2)(22) =x x + y y -=x x +kx-kx -1212=(1 +k2) x1x2- k( x1+x2) + =-·-·+=-+1 =0.⊥ ,∴MA MB∴∠ SMT= .∵圆的直径为椭圆的短轴 ,∴圆心为原点,O∴点, ,三点共线.O S T6.解 (1)抛物线 y2=4x 的焦点为(1,0),所以 c=1,又因为 e= = =, 所以a= ,所以 b2=2,所以椭圆的标准方程为+ =1.(2) ①当直线BD的斜率k存在且k≠0时 , 直线BD的方程为y=k( x+1),代入椭圆方程+ =1,化简得 (3 k2+2) x2+6k2 x+3k2- 6=0.设 B( x , y), D( x2, y ), 那么x +x =-, x x =,1121212|BD|=·|x 1-x 2|==.易知直线 AC的斜率为 - ,所以 |AC|==,|AC|+|BD|= 4( k2+1)+=≥==,当 k2=1,即 k=±1时,上式取等号,故 |AC|+|BD| 的最小值为.②当直线 BD的斜率不存在或等于零时, 易得|AC|+|BD|=>.综上所述 , |AC|+|BD|的最小值为.。
