高斯定理1.ppt

三、高斯定理(Gauss theorem )
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就： (1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和 摩擦电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时 间）法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近 轴光线行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的 德国数学家、 计算，地球大小和形状的理论研究等。 天文学家和物理 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发 学家。高斯在数 展了概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘 学上的建树颇丰， 法，引入高斯误差曲线。 有“数学王子” (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。 15 美称。
i内 i内
e
• 闭合曲面上各点的场强 E 是闭合面内、外全部电荷共同
q
i内
产生的合场强，而非仅由闭合面内电荷所产生。
E 表面
q
i内

q
i外
• 闭合面外的电荷对总通量无贡献。 • 高斯定理适用于静电场和运动电荷的电场，是电磁场基 本规律之一。 • 静电场是有源场。电力线起始于正电荷，终止于负电荷 。
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分析场强分 布的对称性，判断能否用高斯定理来求电场强度的分布 （常见的对称性有球对称性、轴对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上， ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直，n与 E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到积分号外 面； 3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和，最后由高 斯定理求出场强。

3.点电荷在封闭曲面之外 e E dS 左 E dS 右 E dS 0
dS1
E2
E1
e S E dS 0
q+ dS 2
4.点电荷系电场中的电通量
使 q1 , q2 , qn 在曲面内；
使 qn1 qnk 在曲面外。 闭合面上各点场强
e S de S E cos dS
e S E dS
S
2）通过闭合曲面的电通量 规定: n 的方向指向曲面的外侧。
dS1 E 1 1 E2
de E dS EdS cos ( E n ) 90 通量为正； ( E n) 90 通量为负。
2.通过高斯面的电通量仅由高斯面内电荷的代数和决 定，而与面外电荷无关。 1 3.若电荷连续分布 e S E dS S dq
0
利用库仑定律和场强叠加原理，验证高斯定理。
1.点电荷位于球面中心
1 q E 4π 0 r 2 1 q e S E dS S dS 2 4π 0 r 1 q dS 2 S 4π 0 r
E0
例：求均匀带电球体的内外场强分布。设球体半径 为 R ，所带总带电为 Q。 解：选取同心的球面 为高斯面。
R
1 n S E dS qi
r
r
o
Q
E
P
0
i 1
1. r R
Qr E 3 4π 0 R
2. r R
Q 4 3 q 3 πr 4πR 3 3
高斯定理概要
一、电场线 性质：静电场的电场线不相交、不中断。 二、电通量 e S E dS 1 n 三、高斯定理 S E dS qi

惟一的一次 从宇宙射线中捕捉到磁单极子的实验记录：
斯坦福大学Cabrera等人的研究组利用超导 线圈中磁通的变化测量来自宇宙的磁单极子。
基本装置:
有磁单极子穿过时，感应电流
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
I 2Φ0 / L
I
8Φ 0 L
t
1982.2.14,13:53
qm
超导线圈 Φ2Φ0
I
电感 L
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
d BPx
B
yz
x
z
BxIdBsinI 40 πIrd2lR r 4π 0Ir3R Idl
0 IR 2 2r3
由对称性可知 每一对对称的电流元在P点的 磁场垂直分量相互抵消 所以
y
Idl rˆ
R I
o
Idl r组成的平面
r
dB
x
.d
一、磁场 电流 或运动电荷周围既有电场 又有磁场 磁场的宏观性质： 1）对运动电荷(或电流)有力的作用 2）磁场有能量 二、磁感强度 运动电荷在电磁场中受力：
fqE q B
洛仑兹力公式
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量 二、 磁通连续原理
§3 磁场的高斯定理 一、磁力线 磁通量
I
1.磁力线的特征 无头无尾 闭合曲线
若考虑方向，则可写成
B
0 pm
2πr3
结论：磁偶极子的场沿磁矩方向
4）电磁学中物质分子的模型
3) 平面载流线圈的磁矩 磁偶极子
定义平面载流线圈的磁矩 Pm IS
如果 场点距平面线圈的距 离很远，这样的平面载流

高斯定理 1. 电场强度通量
均匀电场中穿过与电场垂直的平面S的电场线总 数，称为通过该平面的电场强度通量。 n ds
e ES
将曲面分割为无限多个面 元，称为面积元矢量
dS dSn
则电场穿过该面元的电通量为
d e E d S
电场穿过某曲面的电通量为
e E d S
q
l
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E 20 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r l
1
20 R
E
Er 关系曲线
r
R
0
r
高斯定理的应用
例8-10 均匀带电无限大平面的电场. 解： 电场分布也应有面对称性， 方向沿法向。
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 S，两底面到带电平面距离相同。
sE dS 两底 E dS 2 ES 圆柱形高斯面内电荷 q S
由高斯定理得
S
E
E
2 ES S / 0
E 2 0
σ
高斯定理的应用
例8-9 均匀带电球体的电场。球半径为R，体电 荷密度为。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。 作同心且半径为r的高斯面
§1.8利用高斯定理求 e 和 E (Using Gauss’s Theorem to Find eand E ) 1.求 e
[例1-4]
+q
-q
S1 S2 S3 解： 由高斯定理
如图，通过闭合面S1、 S2和S3的电通量分别为 1= ,2= , 3= .