数学-初一升初二-衔接班(完整)修改稿

初一升初二衔接课程数学代数部分专题一 有理数及其运算专题说明本专题内容从引入负数开始，与小学学习的整数、分数数纳入初中的有理数范畴，并进行加、减、乘、除、乘方等运算。

了解并利用数轴这一工具，方便地解决问题。

一、数的分类 （1）按大小来分 （2）按学习顺序来分 二、重要概念讲解①数的产生与发展（数的局限性） ②相反数③绝对值（非负数性质） ④倒数⑤大于1的数的科学记数法 三、工具--------数轴（三要素） 数形结合法 四、有理数的运算1、加法（符号、绝对值）2、减法（转化）3、乘法（符号、绝对值）4、运算律 加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac5、运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减, 有括号，先算括号内的。

例题解析【例1】已知023=-+-b a a ，求b a 2+的值。

【例2】计算：（1））（）（317-31211-3-61-1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛；（2）32211-811-321--31-1）（）（）（⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡÷⎪⎭⎫ ⎝⎛。

【例3】9867000000000= （科学记数法） 强化训练 一、选择题1.下列运算中正确的是 ( )A ．03-3-=B ．0=+-a a c ．1)981(89=-⨯- D ．1553= 2．下列说法中正确的是 ( ) A. 0是最小的整数； B ．任何数的绝对值是正数 C ．a -是负数D ．绝对值等于它本身的数是正数和0 3．在有理数一（一4），一23，一21，3）5（一， 0，一33）（+中，负数有 ( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．计算3)2()32(31273-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷的值是 ( ) A ．316- B ．767- C ．718 D ．329 5．如果a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么xy b a 2)(2-+的值为 ( )A.0 B ．-2 C ．-1 D ．无法确定6．一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 ( )A ．321⎪⎭⎫ ⎝⎛mB ．521⎪⎭⎫ ⎝⎛mC ．621⎪⎭⎫ ⎝⎛mD ．1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m二、填空题7．把2)2.1(-，35.1-，3)2.0(-，22.0-按从小到大的顺序排列是 。

20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第9讲——轴对称和轴对称图形（八年级12章）【知识要点】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能完全重合，那么称两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴．角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等． 等腰三角形是轴对称图形． 等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴．等腰三角形的两个底角相等．如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等．对应点所连的线段被对称轴垂直平分． 对应线段相等，对应角相等． 【典型例题】例1 下列的对称图形各有几条对称轴？请画出它们的对称轴．分析：如果一个图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就是轴对称图形．这条直线就是对称轴．解：图（1）有3条对称轴；图（2）有6条对称轴；图（3）有5条对称轴；图（4）有4条对称轴；图（5）有1条对称轴；图（6）有2条对称轴． 画出对称轴如下列所示：例2 已知等腰梯形两个内角之比为1：4，求这个等腰梯形的顶角．分析：因为等腰三角形两底角相等．可设三角形两内角分别是x 度、4x 度，那么另一个角可能是x 度或4x 度，由三角形内角和为180º，可求解． 自我解答：解：设这个等腰三角形两个内角分别是x 度、4x 度． （1）若x 度的角为顶角时，因为等腰三角形两底角相等，则这个三角形的第三个角是4x 度， 由x ＋4x ＋4x ＝180º，求得x ＝20º， ∴顶角为20º；（2）若4x 度的角为顶角，则这个三角形的第三个角是x 度， 由4x ＋x ＋x ＝180º，求得x ＝30º，则4x ＝120º， ∴顶角为120º； 例3 如图，△ABC 中，AB ＝AC ，EF 是腰AB 的垂直平分线，交另一腰AC 于点D ，若BD ＋CD ＝10cm ，求AB 的长．分析：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，知AD ＝BD ． 自我解答：解：∵EF 是AB 的垂直平分线，且D 是EF 上一点，∴AD ＝BD （线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ∴AC ＝AD ＋CD ＝BD ＋CD ＝10cm ， ∵AB ＝AC ， ∴AB ＝10cm ．例4 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30º．求∠BAD 和∠ADC 的度数．分析：由题知△ABC是等腰三角形，由“三线合一”知，AD是△ABC底边BC 上的中线，它又是底边上的高，还是顶角的平分线．自我解答：解：∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD是等腰△ABC底边BC上的中线，∴AD也是BC边上的高，又是∠BAC的角平分线，（“三线合一”）即∠ADC＝90º，∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝30º，∴∠C＝30º（等腰三角形两底角相等），∴∠BAC＝180º－30º－30º＝120º，∴∠BAD＝60º．例5 如图，已知：△ABC和直线l．画出△ABC关于直线l的对称图形．分析：要画出△ABC关于直线l的对称图形，只需先作出点A、B、C关于直线l 的对应点，再连接成三角形即可．自我解答：解：如图，（1）画出点A、B、C关于直线l的对应点CBA'''、、；（2）连接CACBBA''''''、、．△CBA'''就是所画的三角形．例6 如图，在△ABC中，∠C＝90º，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，BD＝2CD，BC＝30cm，求DE的长．分析：由角平分线的性质，可知DE＝CD，求出CD即可．自我解答：解：∵AD平分∠BAC，且∠C＝90º，DE⊥AB，∴DE＝CD（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）∵BC＝30，BD＝2CD，∴CD＝10，∴DE＝10（cm）．说明：运用角平分线性质时，必须强调条件“到角两边的距离”．20XX年秋季初一升初二数学衔接·第9讲——轴对称的应用（八年级12章）【知识要点】一、作一个简单图形关于某直线的对称图形1．作一点P关于直线l的对称点：①若点P在直线l上，则点P关于直线l的对称点就是它本身；②若点P在直线l外，则通过点P作直线l的垂线段并延长，在直线l的另一侧取点，使之与直线l的距离与点P到直线l的距离相等．2．作一个简单图形关于直线l的对称图形：找出该图形的几个关键点，作出这些关键点关于直线l的对称点，再按原图形连结．二、镜面对称对于水平放置在镜面前的图形，若它有一条与水平方向且与镜面平行的对称轴时，镜中的像与原来一样；对于正对镜面放置的图形，若它有一条竖直方向的对称轴，镜中的像就和原来一样．物体正镜面放置时，镜中像的左右顺序与原图形左右顺序相反．三、学习建议对于这部分内容的学习，同学们要结合生活中的大量实例来理解、掌握轴对称的性质，同时要积极开动脑筋，多动手操作．通过收集、整理中国民间剪纸艺术、镶边图案，体会数学知识在实际生活中的广泛应用及期丰富的文化价值．【典型例题】例1 已知△ABC，直线l，画出△ABC关于直线l对称的三角形．lB解：作图步骤如下：lB'⑴画出点A、B、C关于直线l的对称点A’、B’、C’；⑵连结A’B’，B’C’，C’A’．△A’B’C’就是△ABC关于直线l对称的三角形．例2 在河岸同旁有两个居民点A、B，如图所示，现需在河岸边修一水泵站向两居民点送水，为了使所用的输水管最短，请你确定水泵站应建在河边的哪一个位置，并说明理由．河岸AB解：如下图所示，先作出点A关于河岸的对称点A’，边接A’B，与河岸线交于点P，则点P满足条件．河岸A'河岸理由如下：在l 上任取一异于点P 的点P ’，因A 、A ’关于l 对称，由轴对称性质可知，l 是AA ’的垂直平分线，则有PA ＝PA ’，P ’A ＝P’A’．所以PA ＋PB ＝PA ’＋PB ＝A ’B ，由三角形三边关系可知，P’A’＋ P’B＞B A’，所以点P 为所求的点．例3 下列图形都是正多边形，它们是轴对称图形吗？若是，数一数它们各有多少条对称轴，并将结果填入下表中．你能根据上表，猜想正多边形的边数与对称轴条件之间的关系吗？ 解：它们都是轴对称图形，对称轴的条数如下表所示：。

第一讲 和绝对值有关的问题一、绝对值的意义：(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a |。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；第一种 ②负数的绝对值是它的相反数；③零的绝对值是零。

⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a①非负数的绝对值是它本身 第二种②非正数的绝对值是它的相反数⎩⎨⎧≤-≥=)0()0(a a a a a （3）非负数的性质：几个非负数之和零，则每个非负数都等于0二、典型例题题型一：给定范围的绝对值化简例1 设化简的结果是（ ）。

变式练习：A 、 B 、C 、D 、1、若 ，则有（ ）。

A 、B 、C 、D 、2、 已知a <b <c ，化简：a c c b b a -+-+-3、已知a 、b 、c 、d 满足且，那么题型二：与数轴有关的绝对值化简例2 实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则代数式 的值等于（ ）、A 、B 、C 、D 、变式练习：1、有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子化简结果为（）、A、 B、 C、 D、2、有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，那么下列四个式子，中负数的个数是（）、A、0B、1C、2D、3题型三：用零点分段法进行绝对值化简例3 化简变式练习：1、设x是实数，下列四个结论中正确的是（）。

A、y没有最小值B、有有限多个x使y取到最小值C、只有一个x使y取得最小值D、有无穷多个x使y取得最小值2、化简零点分段讨论法的一般步骤是：①；②；③；④；题型四：绝对值的非负性例4 若012=++-y x ，求x +y 的值。

变式练习：1、若33-=-x x ，求x 的取值范围。

2、若42=-x ，求x 的值。

练习题一1、有理数的绝对值一定是（ ） A 、正数 B 、整数 C 、正数或零 D 、自然数2、绝对值等于它本身的数有（ ）A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、无数个3、下列说法正确的是（ ）A 、—|a |一定是负数B 只有两个数相等时它们的绝对值才相等C 、若|a |=|b |，则a 与b 互为相反数D 、若一个数小于它的绝对值，则这个数为负数 4、比较21-、31、41的大小，结果正确的是（ ） A 、21-＜31＜41 B 、21-＜41＜31 C 、41＜21-＜31 D 、31＜21-＜415、判断。

初一升初二数学衔接·第8讲——二元一次方程组的解法（七年级第八章）【知识要点】（一）二元一次方程(组)的定义1．二元一次方程：含有两个未知数，并且含有两个未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．注意：二元一次方程定义中，关键在于方程中必须含有两个未知数，并且方程中含未知数的项的次数是1次．2．二元一次方程的一个解:适合一个二元一次方程的一组未知数的值,叫做这个二元一次方程的一个解．3．二元一次方程组: 含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．注意体会二元一次方程组的两个特征：（1）方程组中共含有两个未知数，而每个方程所含未知数的个数可能是2个，也可能是1个；（2）方程组中至少含有两个方程. 每个方程中所含未知数的项的次数是1次． 对所给出的二元一次方程，要能熟练的整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a4．二元一次方程组的解 :二元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个二元一次方程组的解.即:满足方程组中每个方程的一对未知数的值称为该二元一次方程组的解．（二）二元一次方程组的解法 1．代入法：用代入法解二元一次方程组的一般步骤：（1）在方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程变形成用含一个未知数的代数式来表示另一个未知数的关系式．（2）将这个关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的未知数的值，再代入关系式求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用符号“{”联立起来． （5）注意检验．2．加减法：用加减法解二元一次方程组的步骤．（1）方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等． （2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程．（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值．（4）将这个求得的两个未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“{”联立起来． (5)注意检验．注意：解二元一次方程组的方法很多，但常用的方法是代入法和加减法．这两种方法各有长处，解题时应注意审题，选择一种恰当的方法解题．二元一次方程、二元一次方程组及其解法是在一元一次方程及其解法基础上学习的，要注意新旧知识的联系和转化：【典型例题】例1 判断下列方程中，哪些是二元一次方程？哪些不是？为什么？（1）123-=-y x ； （2）13121=+y x ； （3）7532=-x ； （4）01=+xy ； （5）x 1+2y=4；（6）0=+y x ．自我解答：分析：根据二元一次方程的定义来判断． 解：（1）、（2）、（6）都是二元一次方程；（3）不是二元一次方程．因为它只含有一个未知数x ．（4）不是二元一次方程．因为方程中含未知数的项xy 的次数是2次．（5）不是二元一次方程．因为二元一次方程是整式方程，x1不是整式． 点评：二元一次方程是整式方程，方程中分母不能含有未知数．例2 判断下列说法是否正确： （1）二元一次方程734=-y x 的解是⎩⎨⎧-==11y x ； （2）⎩⎨⎧=-=01y x 是二元一次方程44-=-y x 的一个解； （3）方程组⎩⎨⎧+==-3203x y y x 是二元一次方程组；（4）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02113y x yx 是二元一次方程组； （5）方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+-==+0333231y x yx y x 是二元一次方程组； （6）方程组⎩⎨⎧=+=+154432z y y x 是二元一次方程组.自我解答：解：（1）不正确．⎩⎨⎧-==11y x 只是方程734=-y x 的一个解，该方程还有无数个其它的解．（2）正确．把x ＝－1，y ＝0代入方程44-=-y x 左右两边，其值相等． （3）正确．（4）不正确． 因为方程3x+y1=1不是二元一次方程．（5）正确．方程组中尽管有三个方程，但只含有两个未知数，并且含未知数的项的次数都是1次．（6）不正确．因为方程组中含有三个未知数x ，y ，z ．点评：（1）区别“……是方程的（一个）解”与“方程的解是……”两种说法的含义．第一种说法只需判断所给数是否满足方程，第二种说法需判断方程的解集．在不限定条件下，二元一次方程的解有无限多个．（2）二元一次方程组中方程的个数可以是2个，也可以是3个，4个等．例3 已知方程132212=+-+n m y x 是一个二元一次方程，求m 和n 的值． 分析：二元一次方程必须同时满足下列条件：（1）是整式方程；（2）方程中含有两个未知数；（3）方程中含未知数的项的次数是1次． 自我解答：解：根据二元一次方程的意义可得： m ＋2＝1，1－2n ＝1 ∴m ＝－1，n ＝0点评：根据概念解题，必须掌握概念的全部含义．例4 已知方程632=-y x ．（1）用含x 的代数式表示y ；（2）当x 取何值时，y 的值为2？分析：用含x 的代数式表示y ，只需把x 看成已知数，把y 看成未知数，按一元一次方程的解法去解． 自我解答：解：（1）移项，得 632=-y x ，即623-=x y系数化为1，得 362-=x y （2）把y ＝2代入方程，得 2x －6＝6，2x ＝12∴x ＝6即当x ＝6时，y 的值为2． 例5 试求方程1323=+y x 的正整数解．分析：用含x 的代数式表示y ，注意条件“正整数解”，进一步讨论即可． 自我解答：解：由1323=+y x 可得2313x y -=． 根据题意，当x ＝1时，y ＝5；当x ＝3时，y ＝2．∴方程1323=+y x 的整数解是⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==2351y x y x ；．例6 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+ ② 02141① 13y x y x 分析：根据方程的特点，本题采用代入法较好． 自我解答：解法一：由①得 x ＝1－3y ③ 把③代入②得021)31(41=+-y y ，4141-=-y1=y 即把y =1代入③得 x ＝1－3×1＝－2． ∴ ⎩⎨⎧=-=12y x解法二：由②得x ＋2y ＝0，即x ＝－2y ③ 把③代入①得 －2y ＋3y ＝1，y ＝1把y ＝1代入③得 x ＝－2×1＝－2∴ ⎩⎨⎧=-=12y x点评：所选方程不同，变形的方式不同，代入后得到的方程也不同．但对有解方程而言，所得的结果应是相同的．例7 解方程组：⎩⎨⎧==+②42-3① 1223y x y x分析：观察方程①、②，发现y 的系数互为相反数，两方程相加，可消去y ，求得x 的值；方程中x 的系数相等，两方程相减，消去x ，可求得y 的值． 求出一个未知数的值后，代入原方程组任一方程可求得另一个未知数的值． 自我解答：解法一：①＋②，得6x ＝16，x ＝38把x ＝38代入①，得3×38＋2y ＝12y ＝2∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x解法二： ①－②，得2y ＋2y ＝12－4 4y ＝8 y ＝2把y ＝2代入①， 得3x ＋2×2＝12x ＝38∴ ⎪⎩⎪⎨⎧==238y x点评：两个方程相减时，第二个方程中各项符号要变号．例８ 解方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=-=+② 2557①5531x y yx x 分析：先整理成一般形式：⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a ，再确定消去哪个未知数．自我解答：解：原方程组整理得： ⎩⎨⎧-=-=-④2575 ③ 5310y x y x③－④×2，得 －3y ＋14y ＝5＋50 11y ＝55 y ＝5把y ＝5代入③，得 10x －15＝5 x ＝2∴ ⎩⎨⎧==52y x点评：遇到形式比较复杂的方程组，首先化简成一般形式. 再决定采用什么方法去解题．例9 解方程组 ⎩⎨⎧-=+--=+--② 1)(5)(2① 21)(7)(6y x y x y x y x分析：根据此方程的特点，把（x －y ），（x ＋y ）分别看成整体，解出它们的值，再组成新的方程组求x 、y 的值． 自我解答：解：①－②×3， 得 8（x ＋y ）＝24x ＋y ＝3 ③ 把③代入②，得 6（x －y ）－21＝21 x －y ＝7 ④由③、④得 ⎩⎨⎧=-=+② 7① 3y x y x 解得 ⎩⎨⎧-==25y x ．点评：此题充分利用了方程的特点，采用整体代换的方法．解题中充分利用这一方法，可给解题带来方便．例10 解方程组0.1x －2＝y ＋7＝0.7x ＋y分析：此题是方程组的一种特殊形式，将它改写在一般形式，再去求解． 自我解答：解：由原方程组可得：⎩⎨⎧+=-+=-y x x y x 7.021.0721.0整理，得⎩⎨⎧=--=-②26.0 ① 91.0y x y x①－②，得 0.7x ＝7， x ＝10． 把x ＝10代入①，得0.1×10－y ＝9，y ＝－8．∴ 原方程组的解是 ⎩⎨⎧-==810y x ．点评：此形式的方程组可改写成三个一般形式的方程组，任选其中一个，便可求得原方程组的解．例11 解方程组⎩⎨⎧=+=②102① 3:2:y x y x分析：根据比例的性质，由①得2y ＝3x ，代入②可求得x 值，进而求得y 的值．另一种方法是根据方程①，引入比例系数k ．解法如下： 自我解答：解：由方程①，设x ＝2k ③y ＝3k ④ 把③、④代入方程②得 2k ＋3k ＝16， ∴k ＝2把k ＝2代入③、④得 x ＝2， y ＝6．∴ ⎩⎨⎧==64y x ．点评：有比例的方程组，通过“设k ”的办法，可以简化解题过程． 例12 已知代数式q px x ++2，当x ＝－1时，它的值是－5；当x ＝－2时，它的值是4，求p 、q 的值．分析：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p 、q 的方程． 自我解答：解：当x ＝－1时，代数式的值是－5，得5)1()1(2-=+-+-q p①当x ＝－2时，代数式的值是4，得4)2()2(2=+-+-q p②将①、②两个方程整理，并组成方程组⎩⎨⎧=+--=+-④ 02③ 6q p q p 解方程组，便可解决． 结果：由④得q ＝2p 把q ＝2p 代入③，得 －p ＋2p ＝－6 解得p ＝－6把p ＝－6代入q ＝2p ＝－12所以p 、q 的值分别为－6、－12．例13 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=-+ ③　②①325232 0z y x z y x z y x 分析：通过消元的方法,将三元一次方程组转化为二元一次方程组或一元一次方程．自我解答：解：③－①，得y ＝3把y ＝3代入①和②，得⎩⎨⎧=+-=-⑤ 7④3z x z x ④＋⑤，得2x ＝4， x ＝2把x ＝2代入⑤，得z ＝5∴⎪⎩⎪⎨⎧===532 z y x 点评：本题常规解法是先转化为二元一次方程组,但本题运用技巧可直接得到一元一次方程． 例14 解方程组26553423=-+=+=+zy x z y z x ． 分析：首先把方程组转化为一般形式．自我解答：解：原方程组可写成⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=++ ＝265 25z3y 2 423zy x z x 整理得，⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+=+③②①125 103 823z y x z y z x ③×3－②，得15x －4z=26 ④ ①×2＋④，得21x ＝42， x ＝2把x ＝2代入①，得6＋2z ＝8， z ＝1把z ＝1代入②，得3y ＋1＝10， y ＝3∴⎪⎩⎪⎨⎧===1z 3y 2x 点评：题的关键是把方程组化为一般形式． 例15 已知关于x 、y 的方程组⎩⎨⎧=-=+53ny mx y x 与⎩⎨⎧=-=-512y x my nx 的解相同，求m 、n 的值．分析：不易直接解出方程组的解，但根据同解的定义把x ＋y ＝3和x －y ＝5组合成方程组即可． 自我解答：解：依题意得，⎩⎨⎧=-=+53y x y x解得⎩⎨⎧-==14y x 把x ＝4，y ＝－1代入⎩⎨⎧=-=-125my nx ny mx解这个方程组，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==731419n m点评：本题的解题关键是抓住了方程组的解相同的意义求解． 【中考链接】1．（南京市中考题）解方程组 ② 823① 02⎩⎨⎧=+=-y x y x解答：①＋②，得4x ＝8， ∴x ＝2，把x ＝2代入①，得2－2y ＝0， ∴y ＝1，∴原方程组的解是⎩⎨⎧==12x x ． 2．（江苏省南通市中考题）某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元．捐款情况如表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚．若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（ ） （A ）⎩⎨⎧=+=+663227y x y x（B ）⎩⎨⎧=+=+1003227y x y x（C ）⎩⎨⎧=+=+662327y x y x（D ）⎩⎨⎧=+=+1002327y x y x答案：A3．（江苏省常州市中考题）解方程组：⎩⎨⎧=+=+② 82① 5y x y x解答：②－①，得x ＝3，把x ＝3代入①，得 3＋y ＝5 ∴y ＝2，∴方程组的解为⎩⎨⎧==23y x ． 4．（北京市海淀区中考题）解方程组⎩⎨⎧=+-=-16214y x y x解答：由①得，x ＝4y －１ ③把③代入②，得２（4y －１）＋y ＝16 ∴y ＝2，把y ＝2代入③，得x ＝7， 所以原方程组的解为⎩⎨⎧==27y x ． 5．（江苏省苏州市中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-10231312y x y x 解答：把①去分母，化简得：3x －2y ＝8 ③ ②＋③，得：6x ＝18，∴x ＝3，把x ＝3代入②，得：9＋2y ＝10 ∴y ＝21所以原方程组的解是⎪⎩⎪⎨⎧==213y x ．6．（江西省中考题）解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+11)1(2231y x yx 解答：由①得：x ＋1＝6y ③把③代入②，得 12y －y ＝11 ∴y ＝1把y ＝1代入③，得x ＋1＝6 ∴x ＝5所以原方程组的解是⎩⎨⎧==15y x ．仔细复习本讲例题及中考连接。

七升八暑期衔接班数学培优讲义目录1. 第一讲：与三角形有关的线段；2. 第二讲：与三角形有关的角；3. 第三讲：与三角形有关的角度求和；4. 第四讲：专题一：三角形题型训练(一)；5. 第五讲：专题二：三角形题型训练(二)；6. 第六讲：全等三角形；7. 第七讲：全等三角形的判定（一）SAS；8. 第八讲：全等三角形的判定（二）SSS，ASA，AAS；9. 第九讲：全等三角形的判定（三）HL；10.第十讲：专题三：全等三角形题型训练；11. 第十一讲：专题四：全等三角形知识点扩充训练；12. 第十二讲：角平分线的性质定理及逆定理；13. 第十三讲：轴对称；14. 第十四讲：等腰三角形；15. 第十五讲：等腰直角三角形；16. 第十六讲：等边三角形（一）；17. 第十七讲：等边三角形（二）;18. 第十八讲：专题五：全等、等腰三角形综合运用（一）19. 第十九讲：专题六：全等、等腰三角形综合运用（二）20. 第二十讲：专题七：综合题题型专题训练；第一讲与三角形有关的线段【知识要点】一、三角形1. 概念：①三条线段；②不在同一直线上；③首尾相连. A2. 几何表示：①顶点；②内角、外角；③边；④三角形.3. 三种重要线段及画法：①中线；②角平分线；③高线.B C二、三角形按边分类：（注意：等边三角形是特殊的等腰三角形）不等边三角形三角形等腰三角形腰底不相等的等腰三角形腰底相等的等腰三角形等边三角形三、三角形的三边关系( 教具)引例：已知平面上有A、B、C 三点. 根据下列线段的长度判断A、B、C 存在的位置情况：(1)若AB=9，AC=4，BC=5，则A、B、C 存在的位置情况是：(2)若AB=3，AC=10，BC=7，则A、B、C 存在的位置情况是：(3)若AB=5，AC=4，BC=8，则A、B、C 存在的位置情况是：(4)若AB=3，AC=9，BC=10，则A、B、C 存在的位置情况是：(5)若AB=4，AC=6，BC=12，则A、B、C 存在的位置情况是：总结：三角形的三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边.三角形的三边关系定理的推论：三角形任意两边之差小于第三边.【应用】利用定理判断三条线段能否构成三角形或确定三角形第三边的长度或范围.1．已知BC=a，AC=b，AB=c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；2．已知BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c.（1）A、B、C 三点在同一条直线上，则a，b，c 满足：；（2）若构成△ABC，则a，b，c 满足：；【新知讲授】例一、如图，在△ABC中.①AD为△ABC的中线，则线段= = 1；A 2②AE为△ABC的角平分线，则= = 1；2③AF为△ABC的高线，则= =90 °；④以AD为边的三角形有；B F E D C⑤∠AEC是的一个内角；是的一个外角.例二、已知，如图，BD⊥AC，AE⊥CG，AF⊥AC，AG⊥AB，则△ABC的BC边上的高线是线段( ).(A)BD (B) AE (C) AF (D) AG例三、（1）以下列各组长度的线段为边，能．构成三角形的是( ).(A)7cm ，5cm，12cm (B)6cm ，8cm，15cm(C)4cm ，6cm，5cm (D)8cm ，4cm，3cm GFEBA D C（2）满足下列条件的三条线段不能．．组成三角形的是. （a、b、c 均为正数）①a=5，b=9，c=7；②a∶b∶c=2 ∶3∶5；③1，a，b，其中1+a＞b；④a，b，c，其中a+b＞c；⑤a+2，a+6，5；⑥a＜b＜c，其中a+b＞c.例四、已知三角形的三边长分别为2，5，x，则x 的取值范围是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5，2x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形的三边长分别为2，5，2 4 x，则x 的取值范围是.3③已知三角形三边长分别为2，x，13，若x 为正整数，则这样的三角形个数为( ).(A)2 (B)3 (C)5 (D)13④已知三角形的两边长分别为2，5，则三角形周长l 的取值范围是.⑤已知一个三角形中两边长分别为a、b，且a＞b，那么这个三角形的周长l 的取值范围是.(A)3b ＜l ＜3a (B)2a ＜l ＜2a+2b (C)a+2b ＜l ＜2a+b (D)a+2b ＜l ＜3a-b例五、已知三角形的三边长分别为5，11-x ，3x-1.（1）则x 的取值范围是；（2）则它的周长l 的取值范围是；（3）若它是一个等腰三角形，则x 的值是.发散：①已知三角形的三边长分别为2，5-x ，x-1 ，则x 的取值范围是.②已知三角形两边的长分别为 3 和7，则第三边 a 的取值范围是；若它的周长是偶数，则满足条件的三角形共有个；若它是一个等腰三角形，则它的周长为.③已知等腰三角形腰长为2，则三角形底边 a 的取值范围是；周长l 的取值范围是.④已知三角形三边的长a、b、c 是三个连续正整数，则它的周长l 的取值范围是. 若它的周长小于19，则满足条件的三角形共有个.⑤若 a 、b、c 是△ABC的三边长，化简| a b c | +| a b c | 的结果为( ).(A) 2b (B)0 (C) 2a (D) 2a 2c⑥已知在△ABC中，AB=7，BC∶AC=4∶3，则△ABC的周长l 的取值范围为.【题型训练】1. 以下列各组线段为边，能组成三角形的是( ).(A)2cm ，3cm，5cm (B)5cm ，6cm，10cm (C)1cm ，1cm，3cm (D)3cm ，4cm，9cm2．各组线段的比分别为①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶4∶5；⑤3∶3∶6. 其中能组成三角形的有( ).(A)1 组(B)2 组(C)3 组(D)4 组3. 三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）(A) 中线(B) 角平分线(C) 高线(D) 角平分线或中线4. 已知三角形的三边长分别为6，7，x，则x 的取值范围是( ).(A)2 ＜x＜12 (B)1 ＜x＜13 (C)6 ＜x＜7 (D)1 ＜x＜75．已知三角形的两边长分别为 3 和5，则周长l 的取值范围是( ).（A）6＜l ＜15 （B）6＜l ＜16 （C）11＜l ＜13 （D）10＜l ＜166．已知等腰三角形的两边长分别为 5 和11，则周长是( ).（A）21 （B）27 （C）32 （D）21 或277．等腰三角形的底边长为8，则腰长 a 的范围为.8. 等腰三角形的腰长为8，则底边长 a 的范围为.9. 等腰三角形的周长为8，则腰长 a 的范围为；底边长 b 的范围为.10. 三角形的两边长分别为6，8，则周长l 的范围为.11. 三角形的两边长分别为6，8，则最长边 a 的范围为.12. 等腰三角形的周长为14，一边长为3，则另两边长分别为.13. 若a、b、c 分别为△ABC的三边长，则｜a+b-c ｜- ｜b-c-a ｜+｜c-b-a ｜= .14. 已知在ΔABC中，AB=AC，它的周长为16 厘米，AC边上的中线BD把ABC分成周长之差为 4 厘米的两个三角形，求ABC各边的长. ADB C15. 等腰三角形一腰的中线（如图，等腰△ABC中，AB=AC，BD为△ABC的中线）把它的周长分为15 厘米和 6 厘米两部分，求该三角形各边长. ADB C综合探究、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；3.如图，在△ABC中，∠ABC的外角∠CBD、∠ACB的外角∠BCE的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系.A A AII B CB C B C D D EI例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间的关系发散探索一：如图，∠A B D、∠ACD的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.A A I ADIID B CB C B C D发散探索二：如图，∠ABD的平分线与∠ACD的邻补角∠ACE的平分线所在的直线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D 之间的数量关系.AIBB DCEIAA IDEC B CE D发散探索三：如图，∠ABD的邻补角∠DBE平分线与∠ACD的邻补角∠DCF的平分线交于点I ，探索∠I 与∠A、∠D之间的数量关系.A A AD【知识要点】第二讲与三角形有关的角一、三角形按角分类: ①锐角三角形；②直角三角形；③钝角三角形；A二、三角形的内角和定理：三角形内角和为180°（∠ A+∠B+∠1=180°）；三、三角形的内角和定理的推论：1 2①直角三角形两锐角互余；B C②三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角之和（∠2=∠A+∠B）；③三角形的任意一个外角大于任意一个和它不相邻的内角；四、n 边形的内角和定理：（n-2 ）×180°；五、n 边形的外角和为360°.【新知讲授】例一、①正方形的每个内角的度数为；正五边形的每个内角的度数为；正六边形的每个内角的度数为；正八边形的每个内角的度数为；正十边形的每个内角的度数为；正十二边形的每个内角的度数为.②若一个正多边形的内角和等于等于外角和的 5 倍，则它的边数是.③若一个正多边形的每一个内角都等于144°，则它的边数是.④若一个正多边形的每一个内角都等于相邻外角的 2 倍°，则它的边数是.例二、如图，△ABC中，∠A=50°，两条高线B D、CE所在直线交于点H，求∠BHC的度数.A AEECH D BDHB C例三、如图，△ABC中，∠A=50°，两条角平分线B D、CE交于点I ，求∠BIC 的度数.AEIB C例四、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D，求证：AB∥CD，AD∥BC.A D例五、如图，AB∥C D，AD∥BC，AE⊥BC，AF⊥CD，求证：∠BBAD+∠EAF=180°.CA DFD例六、如图，六边形ABCDEF中，AF∥CD，∠A=∠D，∠B=∠E，求证：BC∥EF.A FEBC D例七、如图，在凸六边形ABCDEF中，∠A+∠B+∠F=∠C+∠D+∠E，求证：BC∥EF.DECFA B【题型训练】1.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=90°，∠BEC=105°，求∠ A.AEDB C2.如图，△ABC中，BD、CE为两条角平分线，若∠BDC=∠AEC，求∠A 的度数.AEDB C3.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC=125°，∠E=40°，求∠BAC的度数.EADB C M4.如图，在△ABC中，BD为内角平分线，CE为外角平分线，若∠BDC与∠E 互补，求∠BAC的度数.EADB C M第二讲作业1.如果一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是( ).(A) 等腰三角形(B) 直角三角形(C) 锐角三角形(D) 钝角三角形2.如图所示，∠A、∠1、∠2的大小关系是( ).(A) ∠A＞∠1＞∠2 (B) ∠2＞∠1＞∠A(C) ∠A＞∠2＞∠1 (D) ∠2＞∠A＞∠13.下面四个图形中，能判断∠1＞∠2 的是( ).(A) (B) (C) (D)4．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ).A．75°B．90°C．105°D．120°5. 在活动课上，小聪将一副三角板按图中方式叠放，则∠=( ).(A) 30°(B) 45°(C) 60°(D) 75°6. 如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度数为( ).(A)120 °(B)180 °(C)240 °(D)300 °7．如图，在△ABC中，∠C＝70o，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2=( ).(A)360 o (B)250 o (C)180 o (D)140 o8.如图，折纸活动中，小明制作了一张△ABC 纸片，点D、E 分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠，A 与A′重合，若∠ A=75°，则∠1+∠2= ( ).(A) 150°(B) 210°(C) 105°(D) 75°9.如图，在△ABC 中，∠B=67°，∠C=33°，AD是△ABC的角平分线，则∠CAD 的度数为（）(A)40 °(B)45 °(C)50 °(D)55 °10.已知ΔABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B+∠C=3∠A，则此三角形( ).(A) 一定有一个内角为45 (B) 一定有一个内角为60(C) 一定是直角三角形(D) 一定是钝角三角形11.将一副三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB的度数为( ). OB(A) 75°(B) 95°(C) 105°(D) 120°12.若一个正多边形的每一个内角都等于160°，则它是( ). A(A) 正十六形(B) 正十七形(C) 正十八边形(D) 正十九边形13.一个多边形的内角和比它的外角和的 2 倍还大180°，这个多边形的边数为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)1014.已知：在△ABC 中，∠B是∠A的 2 倍，∠C比∠A大20°，则∠A等于( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)90 °15.如图，人民币旧版壹角硬币内部的正多边形每个内角度数是.16.如图，在△ABC中，D、E 分别是边AB、AC上的两点，BE、CD相交于点F，∠A=62°，∠ACD=40°，∠ABE=20°，求∠BFC的度数.AD E17.如图，已知直线DE分别交△ABC 的边AB、AC于D、E 两点，交边BC的延长线于点F，若∠B=67°，∠ACB=74°，∠AED=48°，求∠BDF的度数．第三讲：与三角形有关的角度求和【知识要点】1. 与三角形有关的四个基本图及其演变；2. 星形图形的角度求和.【新知讲授】例一、如图，直接写出∠ D 与∠A、∠B、∠C 之间的数量关系.A A ADDB CB C B C D箭形：；蝶形：；四边形：.请给出“箭形”基本图结论的证明（你能想出几种不同的方法）：例二、三角形两条内、外角平分线的夹角与第三个内角之间的关系A1.如图，△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A 的关系；IB C2.如图，在△ABC中，∠A B C、∠ACB的外角∠ACD的平分线交于点I ，探求∠I 与∠A的关系；AIB C DE3. 如图，在△ ABC 中，∠ ABC 的外角∠ C B D 、∠ ACB 的外角∠ BCE 的平分线交于点 I ，探求∠ I 与∠ A 的关系 .ABC例三、“箭形”、“蝶形”、“四边形”两条内、外角平分线的夹角与另两个内角之间D的关系E发散探索一： 如图，∠ A B D 、∠ ACD 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系 .IAAIADIIDBCBCBCD发散探索二： 如图，∠ ABD 的平分线与∠ ACD 的邻补角∠ ACE 的平分线所在的直线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量关系.A IBBDCEIAA IDECBCED发散探索三： 如图，∠ ABD 的邻补角∠ DBE 平分线与∠ ACD 的邻补角∠ DCF 的平分线交于点 I ，探索∠ I 与∠ A 、∠ D 之间的数量 关系 .AAADDBC B C B DC FEFEIIFI例四、如图，在△ ABC 中， BP 、BQ 三等分∠ ABC ， CP 、CQ 三等分∠ ACB.（ 1）若∠ A=60°，直接写出：∠ BPC 的度数为，∠ BQC 的度数为；（ 2）连接 PQ 并延长交 BC 于点 D ，若∠ BQD=63°，∠ CQD=80°，求△ ABC 三个内角的度数 .A例五、如图，B D、CE交于点M，OB平分∠ ABD，OC平分∠ ACE，OD平分∠ ADB，OE平分∠ AEC，求证：∠BOE=∠COD；AE ODM【题型训练】BC1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E 的度数和. AD CB EA2.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.EFBC 3．如图，已知∠1=60°，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数和.发散探索：①如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ；②如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；③如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .④如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .⑤如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑥如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= ；⑦如图，BC⊥EF，求∠ A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数.D第三讲作业1.如图，B 岛在 A 岛的南偏西30°，A 岛在C岛的北偏西35°，B 岛在 C 岛的北偏西78°，则从B岛看A、C两岛的视角∠ABC的度数为( ).(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °2.如图，D、E 分别是AB、AC 上一点，BE、CD 相交于点F，∠ACD=30°，∠ABE=20°，∠BDC+∠BEC=170°则∠ A 等于( ).(A)50 °(B)85 °(C)70 °(D)60 °3.一副三角板，如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是( ).(A)75 °(B)60 °(C)65 °(D)55 °ADEFB C4.如图，在△ABC中，∠BAC=36°，∠C=72°，BD平分∠ABC交AC于点D，AF∥BC，交BD的延长线于点F，AE 平分∠CAF交DF 于E 点. 我们定义：在一个三角形中，有一个角是36°，其余两个角均为72°的三角形和有一个角是108°，其余两个角均为36°的三角形均被称作“黄金三角形”，则这个图中黄金三角形共有( ).(A)8 个(B)7 个(C)6 个(D)5 个5．如图，∠A=35°，∠B=∠C=90°，则∠D的度数是( ).(A)35 °(B)45 °(C)55 °(D)65 °6.如图，已知∠A+∠BCD=140°，BO平分∠ABC，DO平分∠ADC，则∠BOD=( ).(A)40 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °7.如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到了一个四边形，则∠1+∠2= ．8.如图，在△ABC中，∠A=80°，点D为边BC延长线上的一点，∠ACD=150°，则∠B= .9.将一副直角三角板如上图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠ 1 的度数为.10.一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点 D 恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M ．若∠ADF=100，°则∠BMD为．1.如图，在△ABC中，∠B=47°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC= .12.如图，∠ACD是△ABC的外角，∠ABC的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，，如此下去，∠A n﹣1BC的平分线与∠A n﹣1CD的平分线交于点A n ．设∠A=θ．则∠A1= ；A n = ．13.已知：如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，则1 11 BOC 90 A21802 2A ；如图 2 ，在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的两条三等分角线分别对应交于点O1 、O2 ，则BO1C 21801A ，BO C11802A ；；根据以上阅读理解，当n 等分角时，内部有2n 1 个交点，你以猜想3 3 3 3 BO n 1 C =( ).(A) 2 1180 AA A A n nO n-1(B) 1 2 O2180 A On n O1 O2O1 n 1(C) (C)n180 A1 n 1 C B C B C(D) 1180图1n 1A图2 图3 n n14.在△ ABC中，∠ C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，BE 平分∠ ABC，求∠ DBE度数.B第四讲专题一：三角形题型训练（一）【知识要点】平行线、三角形内角和的综合运用【新知讲授】例一、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF 分别平分∠ABC、∠ADC，请你判断BE、DF 的位置关系并证明你的结A论.DEFB C例二、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.ADEM B C例三、如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC的外角，请你判断BE、DF的位置关系并证明你的结论. ADNBCFME例四、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的平分线与∠ADC的平分线交于点E，请你判断B E、DE的位置关系并证明你的结论.DBCEA例五、如图，∠A=∠C=90°，BE平分∠ABC，DF 平分∠ADC的的外角，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.MDF例六、如图，∠A=∠C=90°，∠ABC的外角平分线与∠ADC的外角平分线交于点E，请你判断BE、DE的位置关系并证明你的结论.NEDMCBA例七、如图，△ABC中，P 为BC边上任一点，PD∥AB，PE∥AC.（1）若∠ A=60°，求∠ DPE的度数；（2）若EM平分∠BEP，DN平分∠CDP，试判断EM与DN之间的位置关系，写出你的结论并证明.ADEB P CM N例八、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠BDE＝∠BED，∠CDF＝∠CFD.（1）若∠ A=70°，求∠ EDF的度数；（2）EM平分∠BED，FN平分∠CFD，若EM∥FN，求∠A 的度数. AEFB M D N C例九、如图，△ABC中，D、E、F 分别在三边上，∠DBE＝∠DEB，∠DCF＝∠DFC. A（1）若∠A=70°，求∠EDF的度数；E（2）EM平分∠ BED，FN平分∠ CFD，若EM∥FN，求∠ A 的度数.F【题型训练】 B M D N C1. 如图1、图 2 是由10 把相同的折扇组成的“蝶恋花”和“梅花”，图中的折扇完全打开且无重叠，则“梅花”图案中五角星的 5 个锐角的度数均为( ).(A) 36 °(B) 42 °(C) 45 °(D) 48 °2. 如图，在△ABC中，∠B=∠C，D是BC上一点，DE⊥BC交AC于点E，DF⊥A B，垂足为F，若∠AED=160°，则∠EDF等于( ).(A)50 °(B)60 °(C)70 °(D)80 °3. 如图，△ABC中，∠B=∠C，∠BAD=32°，∠ADE=∠AED，则∠CDE= .AE4. 已知△ABC 中，∠ACB—∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC于E，∠BAC的外角的平分线交BC的延长线于F，则△AEF 的形状是.5. 如图，AB∥CD，∠A=∠C，AE⊥DE，∠D=130°，则∠B的度数为.6．如图：点D、E、F 为△A BC三边上的点，则∠1+∠2 +∠3+∠4+∠5+∠6= ．DA D CEB EC FA Bc 60 ，∠P=110°，则de 的7. 若一束光线经过三块平面镜反射，反射的路线如图所示，图中的字母表示相应的度数，若值为，x的值.B M CA D，则∠BAD= ，8. 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交边BC于点M，连接MD，且MD恰好平分∠AMC，若∠MDC=4°5∠ABC= .第四讲作业1. 如图，已知△ABC的三个顶点分别在直线a、b 上，且a∥b，若∠1=120°，∠2=80°，则∠3 的度数是( ).(A)40 °(B)60 °(C)80 °(D)120 °2. 如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，若∠ABC=30°，∠BAC=75°，则∠CEF的大小为( ).(A)60 °(B)75 °(C)90 °(D)105 °3. 如图，已知D、E 在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED=40°，则∠A 的度数为( ).(A)100 °(B)90 °(C)80 °(D)70 °4. 已知，直线l 1∥l2，将一块含30°角的直角三角板如图所示放置，∠1=25°，则∠2等于( ).(A) 30°(B) 35°(C) 40°(D) 45°5. 如图，将三角尺的直角顶点放在直线 a 上，a∥b，∠1=50°，∠2=60°，则∠3的度数为( ).(A) 50°(B) 60°(C) 70°(D) 80°6. 小明同学把一个含有45°角的直角三角板在如图所示的两条平行线m，n 上，测得=120°，则的度数是( ).(A)45 °(B)55 °(C)65 °(D)75 °7. 如图，在Rt △ABC中，∠C=90°．D 为边CA延长线上的一点，DE‖AB, ∠ADE=42°，则∠ B 的大小为( ).(A) 42 °(B) 45 °(C) 48 °(D)58 °8. 如图，B 处在 A 处的南偏西45°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东80°方向，则∠ACB等于（）(A)65 °(B)72 °(C)75 °(D)78 °9. 如图，已知AC∥ED，∠C=26°，∠CBE=37°，则∠BED的度数是( ).(A)63 °(B)83 °(C)73 °(D)53 °10. 如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线 b 上．若∠1=40°，则∠2的度数为．11. 如图，已知DE∥BC，CD是∠ACB的平分线，∠B=70°，∠ A=60°.（1）求∠ EDC的度数；（2）求∠ BDC度数.12．如图，∠ DAB+∠D=180°，AC平分∠ DAB，且∠ CAD=25°，∠ B=95°.(1)求∠ DCA的度数；(2)求∠ FEA的度数.13．如图，B 处在A处的南偏西57°的方向， C 处在 A 处的南偏东15°方向，C 处在 B 处的北偏东82°方向，求∠C的度数.A北南CB第五讲专题一：三角形题型训练（二）知识点：三角形三边的关系定理：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°典型例题：1、已知Δ ABC的周长为10，且三边长为整数，求三边的长。

代数部分专题一 有理数及其运算专题说明本专题内容从引入负数开始，与小学学习的整数、分数数纳入初中的有理数范畴，并进行加、减、乘、除、乘方等运算。

了解并利用数轴这一工具，方便地解决问题。

一、数的分类 （1）按大小来分 （2）按学习顺序来分 二、重要概念讲解①数的产生与发展（数的局限性） ②相反数③绝对值（非负数性质） ④倒数⑤大于1的数的科学记数法 三、工具--------数轴（三要素） 数形结合法 四、有理数的运算1、加法（符号、绝对值）2、减法（转化）3、乘法（符号、绝对值）4、运算律 加法交换律 a b b a +=+加法结合律 )()(c b a c b a ++=++ 乘法交换律ab=ba 乘法结合律(ab)c=a(bc)乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac5、运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减, 有括号，先算括号内的。

例题解析【例1】已知023=-+-b a a ，求b a 2+的值。

【例2】计算： （1））（）（317-31211-3-61-1÷⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛； （2）32211-811-321--31-1）（）（）（⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡÷⎪⎭⎫ ⎝⎛。

【例3】9867000000000= （科学记数法） 强化训练 一、选择题1.下列运算中正确的是 ( )A ．03-3-=B ．0=+-a a c ．1)981(89=-⨯- D ．1553= 2．下列说法中正确的是 ( ) A. 0是最小的整数； B ．任何数的绝对值是正数 C ．a -是负数D ．绝对值等于它本身的数是正数和0 3．在有理数一（一4），一23，一21，3）5（一， 0，一33）（+中，负数有 ( ) A.1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．计算3)2()32(31273-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--÷的值是 ( ) A ．316- B ．767- C ．718 D ．329 5．如果a 与b 互为相反数，且x 与y 互为倒数，那么xy b a 2)(2-+的值为 ( ) A.0 B ．-2 C ．-1 D ．无法确定6．一根1m 长的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次后剩下的绳子的长度为 ( )A ．321⎪⎭⎫ ⎝⎛mB ．521⎪⎭⎫ ⎝⎛mC ．621⎪⎭⎫ ⎝⎛mD ．1221⎪⎭⎫ ⎝⎛m二、填空题7．把2)2.1(-，35.1-，3)2.0(-，22.0-按从小到大的顺序排列是 。

目录第一部分——温故知新专题一整式运算 (1)专题二乘法公式 (3)专题三平行线的性质与判定 (9)专题四三角形的基本性质 (11)专题五全等三角形 (14)专题六如何做几何证明题 (17)专题七轴对称 (22)第二部分——提前学习专题一勾股定理 (25)专题二平方根与算数平方根 (29)专题三立方根 (32)专题四平方根与立方根的应用 (35)专题五实数的分类 (39)专题六最简二次根式及分母有理化 (42)专题七非负数的性质及应用 (46)专题八二次根式的复习 (49)第一部分——温故知新专题一 整式运算1.由数字与字母 组成的代数式叫做单项式。

单独一个数或字母也是单项式。

单项式中的 叫做单项式的系数单项式中所有字母的 叫做单项式的次数 2.几个单项式的和叫做多项式多项式中 叫做这个多项式的次数 3.单项式和多项式统称为4.整式加减实质就是 后5.同底数幂乘法法则：nm n m a a a +=·（m .n 都是正整数）；逆运算=+nm a6.幂的乘方法则：()=nma （m .n 都是正整数）；逆运算=mna 7.积的乘方法则：()=nab （n 为正整数）；逆运算=nn b a8.同底数幂除法法则：nm n m aa a -=÷（a ≠0，m .n 都是正整数）；逆运算=-nm a9.零指数的意义：()010≠=a a ；10.负指数的意义：()为正整数p a aap p,01≠=- 11.整式乘法：（1）单项式乘以单项式；（2）单项式乘以多项式；（3）多项式乘以多项式 12.整式除法：（1）单项式除以单项式；（2）多项式除以单项式知识点1.单项式多项式的相关概念归纳：在准确记忆基本概念的基础上，加强对概念的理解，并灵活的运用 例1.下列说法正确的是（ ）A ．没有加减运算的式子叫单项式B .35abπ-的系数是35-C .单项式－1的次数是0D .3222+-ab b a 是二次三项式 例2.如果多项式()1132+---x n xm 是关于x 的二次二项式，求m ，n 的值知识点2.整式加减归纳：正确掌握去括号的法则，合并同类项的法则 例3.多项式()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--8313322xy y kxy x 中不含xy 项，求k 的值知识点3.幂的运算归纳：幂的运算一般情况下，考题的类型均以运算法则的逆运算为主，加强对幂的逆运算的练习，是解决这类题型的核心方法。

初一升初二暑期数学衔接教材第一讲 与三角形有关的线段知识点1、三角形的概念☑ 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

☑ 三角形的表示方法三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。

三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.知识点2、三角形的三边关系【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？☑ 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。

即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差）【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cmB ．4cmC ．7cmD ．11cm【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。

（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？ （2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？ 【练习】1、三角形三边为3，5，3-4a ，则a 的范围是 。

2、三角形两边长分别为25cm 和10cm ，第三条边与其中一边的长相等，则第三边长为 。

3、等腰三角形的周长为14，其中一边长为3，则腰长为4、一个三角形周长为27cm ，三边长比为2∶3∶4，则最长边比最短边长 。

ADB C E FOA DEB CF平移型对称型第 五 讲 全等三角形【知识要点】1．全等三角形的定义：（1）操作方式：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形； （2）几何描述：大小、形状完全相同的两个三角形叫全等三角形；（几何中就是借助于边、角以及其它可度量的几何量来描述几何图形的大小和形状）2．全等三角形的几何表示：如图，△ABC ≌△DEF ；（注意对应点、对应边、对应角） 3．全等的性质：（求证线段相等、求证角相等的常规思维方法） 性质1：全等三角形对应边相等； 性质2：全等三角形对应角相等； 几何语言 ∵△ABC ≌△DEF∴AB=DE ；AC=DF ，BC=EF ；∠A=∠D ，∠B=∠E ，∠C=∠F. 性质3：全等三角形的对应边上的高、对应角平分线、对应边上的中线相等 性质4：全等三角形的周长、面积相等 4.三角形全等的常见基本图形【新知讲授】例1．如图，△OAB ≌△OCD ，AB ∥EF ，求证：CD ∥EF.巩固练习：已知△ABC ≌△DEF ，且∠B ＝700，∠F －∠D ＝600，求△DEF 各内角的度数。

例2．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD、BE交于点F，△ADC ≌△BDF.（1）∠C=50°，求∠ABE的度数.（2）若去掉原题条件“AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E”，仅保持“△ADC≌△BDF”不变，试问：你能证明：“AD⊥BC于点D，BE⊥AC”吗？巩固练习：1．如图，△ABC≌△ADE，延长边BC交DA于点F，交DE于点G.（1）求证：∠DGB=∠CAE；（2）若∠ACB=105°，∠CAD=10°，∠ABC=25°，求∠DGB的度数.2．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部的点F处.（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律.3．如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′.（1）图中有全等三角形吗？请写出来；（2）图中有等腰三角形吗？请写出来；（3）延长A A′、B B′交于点P，求证：∠P=∠AOB.AD BCE例3.如图，△ABC 中，D 、E 分别为AC 、BC 上的一点，若△ABD ≌△EBD ，AB=8，AC=6，BC=10.（1）求CE 的长； （2）求△DEC 的周长.巩固练习:1.如图，将△ABC 沿直线l 向右平移得到△DEF. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）图中有平行线吗？请写出来；（3）请补充一个条件，使得AF=3CD ，并你的理由.2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，将Rt △ABC 沿DE 折叠，使A 点与B 点重合，折痕为DE. （1）图中有全等三角形吗？请写出来； （2）若∠A=35°，求∠CBD 的度数；（3）若AC=4，BC=3，AB=5，求△BCD 的周长.3．如图，在△ABC 中，△BDF ≌△ADC. （1）求证：BE ⊥AC ；（2）若BD=5，CD=2，求△ABF 的面积.例4．如图，△ABF ≌△CDE.（1）求证：AB ∥CD ；AF ∥CE ；（2）若△AEF ≌△CFE ，求证：∠BAE=∠DCF ；（3）在（2）的条件下，若∠B=35°，∠CED=30°，∠DCF=20°，求∠EAF 的度数.【课后练习】 一、选择题1．小明去照相复印社，用一张A4的底稿复印了两张A4和两张B4的复印件，下列说法：①A4的底稿和A4的复印件是全等形；②A4的底稿和B4的复印件是全等形；③两张A4的复印件之间是全等形；④两张B4的复印件之间是全等形，其中正确结论的个数是( ).（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．下面结论是错误的是（ ）.（A ）全等三角形对应角所对的边是对应边 （B ）全等三角形两条对应边所夹的角是对应角 （C ）全等三角形是一个特殊的三角形（D ）如果两个三角形都与另一个三角形全等，那么这两个三角形全等 3．如图，△ABC ≌△AEF ，则下列结论中不一定成立的是( ).（A ）AC=AF （B ）∠EAB=∠FAC （C ）EF=BC （D ）EF 平分∠AFB4．如图，已知△ABC ≌△DEF ，AB=DE ，AC=DF ，则下列结论：①BC=EF ；②∠A=∠D ；③∠ACB=∠DEF ；④BE=CF ，其中正确结论的个数是（ ）.（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．如图，△ABD ≌△EFC ，AB=EF ，∠A=∠E ，AD=EC ，若BD=5，DF=2.2则CD=（ ）. （A ）2.2 （B ）2.8 （C ）3.4 （D ）4（第3题图） （第4题图） （第5题图） 6.如图，已知△ABD≌△ACD，下列结论：①△ABC 为等腰三角形；②AD 平分∠BAC ；③AD ⊥BC ；④AD=BC.AEF CAAF其中正确结论的个数是( ).(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 二、填空题7．已知：如图，△ACD ≌△AEB ，其中CD=EB ，AB=AD ，则∠ADC 的对边是 ，AC 的对应边是 ，∠C 的对应角是 .8．如图，已知△ABD ≌△DCA ，AB 的对应边是DC ，AD 的对应边是 ，∠BAD 的对应角是 ，AB 与CD 的位置关系是 .9．如图，若△OAD ≌△OBC ，且∠O=65°，∠C=20°则∠OAD= ．（第7题图） （第8题图） （第9题图）10．将一个无盖正方体纸盒展开（如图①），沿虚线剪开，用得到的5张纸片（其中4张是全等的直角三角形纸片） 拼成一个正方形（如图②）。

初一升初二衔接课程数学三角形与三角形有关的线段1.定义：不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。

三角形ABC 用符号表示为△ABC.三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 2.三角形三边的不等关系三角形的任意两边之和大于第三边. 三角形的任意两边之差小于第三边。

3.三角形的高：从三角形的 向它的 作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高,（注意八字形）注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

三角形的三条高相交于一点。

．．．．．．．．．．．．．4.三角形的中线：三角的三条中线相交于一点。

（三角形中线分三角形面积相等的两个三角形）5.三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交， 与 之间的线段,叫做三角形的角平分线.三角形三个角的平分线相交于一点．．．．．．．．．．．．．．．三角形的三条中线的．．．．．．．．．交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 6.三角形的稳定性:例1.一个等腰三角形的周长为32 cm ，腰长的3倍比底边长的2倍多6 cm.求各边长.例2.已知：△ABC的周长为48cm，最大边与最小边之差为14cm，另一边与最小边之和为25cm，求：△ABC的各边的长。

例3.已知△ABC的周长是24cm，三边a、b、c满足c+a=2b，c-a=4cm，求a、b、c的长.例4.已知等腰三角形的周长是16cm．（1）若其中一边长为4cm，求另外两边的长；（2）若其中一边长为6cm，求另外两边长；（3）若三边长都是整数，求三角形各边的长．例5.已知等腰三角形的周长是25，一腰上的中线把三角形分成两个，两个三角形的周长的差是4,求等腰三角形各边的长。

20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第4讲——因式分解教学建议：本讲内容分为四个课时进行。

第三、四课时（三）分组分解法及十字相乘法【知识要点】一．分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也就是说，分组后每组之间必须要有公因式可提取，或者分组后可直接运用公式．二．十字相乘法：1．使用十字相乘法把二次三项q px x ++2因式分解，如果常数项q 分解成a 、b 两个因数的积，并且a ＋b 等于一次项系数p ，那么二次三项式))(()(22b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++ 2、使用十字相乘法把二次三项式c bx ax ++2分解因式，如果二次项系数a 分解成1a 、2a ，常数项c 分解成1c 、2c ；并且1221c a c a +等于一次项系数b ，那么二次三项式))(()(22112112212212c x a c x a c c x c a c a x a a c bx ax ++=+++=++ 借助于画十字交叉线排列如下：三．复习1．因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解．因式分解是整式乘法的逆运算．2．因式分解的方法：①提公因式法：)(c b a m mc mb ma ++=++； ②运用公式法：平方差公式：))((22b a b a b a -+=-， 完全平方公式：222)(2b a b ab a ±=+±； ③十字相乘法：))(()(2b x a x ab x b a x ++=+++，))(()(2211211221221c x a c x a c c x c a c a x a a ++=+++；④分组分解法：将多项式适当分组，再选择上面提到的方法进行分解． ①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式；②提取公因式以后或没有公因式，再考虑公式法或十字相乘法；③对二次三项式先考虑能否用完全平方公式，再考虑能否用十字相乘法； ④用以上方法不能分解的三项以上的多项式，考虑用分组分解法． 4．说明：①因式分解要进行到不能再分解为止； ②结果中相同因式应写成幂的形式；③根据不同多项式的特点，灵活的综合应用各种方法分解因式是本章的重点和难点，因此掌握好因式分解的概念、方法、步骤是学好本章的关键． 【典型例题】例1 把63223-+-x x x 分解因式． 自我解答：分析：把前两项结合在一起，后两项结合在一起，两组分别有公因式可提：）（22223-=-x x x x ，）（2363-=-x x ，这时又有新的公因式2-x 可提，可进行分解．解：63223-+-x x x ＝）（）（63223-+-x x x ＝）（）（2322-+-x x x ＝）（）（322+-x x ． 说明：这道题还可以按一、三项一组，二、四项一组进行分组，）（）（）（）（）（）（23323623623632222232323-+=+-+=+-+=--+=-+-x x x x x x x x x x x x x x 同样可以完成分解．例2 把3232ay y ax ax axy +--分解因式 自我解答：分析：首先应提出a ，再把剩下的一、二项组合为一组，)(2232x y x x xy --＝，三、四项组合为一组，)()(223232x y y y y x y y x ---+＝＝－，两组都有公因式）（22x y -，再提公因式，完成分解． 解：3232ay y ax ax axy +--＝）（3232y y x x xy a +--＝]([2332））（y x y x xy a -+-＝][2222）（）（x y y x y x a -+-＝）（）（y x x y a +-22＝2）＋（）（x y x y a -． 说明：分解因式时，有公因式，要先提出公因式，同时要注意，分解因式要分彻底，如果）（）（x y x y x y +-=-22．这道题分组还可按一、三与二、四分组，或一、四与二、三分组，可自己试一试．例3 把222444 z y xy x -+-分解因式 自我解答：分析：把前三项作为一组，运用完全平方公式写成22）（y x -，第四项作为一组，再利用平方差公式完成因式分解． 解：222444 z y xy x -+-＝222444z y xy x -+-）（＝2222）（）（z y x --＝）（）（z y x z y x 2222--+-． 说明：这道题的分组是唯一的．要能想到这种分组方法，除了熟悉公式外，多做这种类型题目，也会有很大帮助．例4 将下列各式分解因式（1）892++x x ；（2）892+-x x ；（3）862+-x x ；（4）862++x x 自我解答：分析：以上四个二次三项式的常数项都是8，可以分解为8=4×2；8=(－4)×(－2)；8=1×8； 8=(－1)×(－8)它们分解的结果要由一次项系数来决定； 解（1）892++x x ＝)8)(1(++x x ； （2）892+-x x ＝)8)(1(--x x ；（3）862+-x x ＝)2)(4(--x x ；（4）862++x x ＝)2)(4(++x x ．说明：当常数项是正数时，把它分解成两个同号的因数，并且符号与一次项系数的符号相同；二次三项式的常数项分解因数有多种情况，由这两个因数的和是否等于一次项系数来决定取舍，若相等则取之．例5 把2)(3)(2+---y x y x 分解因式 自我解答：分析：把)(y x -看作一个整体，原式就是一个关于)(y x -的二次三项式，运用十字相乘法进行因式分解．解：2)(3)(2+---y x y x＝]1)][(2)[(----y x y x ＝)1)(2(----y x y x ． 说明：例中，把一个代数式看作一个整体，事实上运用了换元的思想方法，此处不必把换元的过程写出来．例6 将下列各式分解因式：（1）8652-+x x ；（2）83952--x x ； （3）262--x x ；（4）15432--x x ． 自我解答：解：说明：（1）二次项系数不为1的二次三项式进行因式分解时，分解因数及十字相乘都有多种情况产生，往往要经过多次尝试，,直到满足条件为止．（2）一般地，二次项系数只考虑分解为两个正因数的积． 例7 把下列各式分解因式：（1）1137522-++--n n n a a a ；（2）54622+---y x y x ． 自我解答：解：）（）（）（＝）（）（＝）（＝）（55325375227522121221241113-++-+--------++a a a a a a a a a a a a a n n n n n n（2）54622+---y x y x ＝）（）（449622++-+-y y x x ＝2223）（）（+--y x ＝）（）（2323---++-y x y x ＝）（）（51---+y x y x ．说明：指数中含有字母的多项式分解因式时，若有公因式要提，应比较相同字母的指数的大小，提出的公因式中这个字母的指数取最小的． 例8 把下列各式分解因式：（1）4032222--++）（）（x x x ；（2）24211-++-）（）（）（x x x x ． 自我解答：解：（1）设y x x =+22，则原式＝403--）（y y ＝4032--y y ＝）（）（58+-y y＝）（）（528222++-+x x x x ＝）（）（）（52242++-+x x x x ； （2）24211-++-）（）（）（x x x x ＝24222-+-+）（）（x x x x ，设y x x =+2，原式＝242--）（y y＝2422--y y ＝）（）（46+-y y ＝）（）（4622++-+x x x x ＝）（）（）（4232++-+x x x x ． 说明：使用换元法（或换元思想）把原题转化为关于y 的二次三项式，再应用十字相乘法进行分解，这种办法是通过换元，达到化繁为简，便于选准方法分解因式，但是必须注意将所设代回后还要看是否还能继续分解，如果能，必须分解彻底．20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第3讲·课后练习姓名：自己定时45分钟完成一、选择题：（2.5分/题，共25分）1、的公因式是多项式c b a c a bc a 2222291827+-（ ）A 、a 2B 、3a 2c 2C 、9a 2cD 、9a 2b 2c 3 2、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（）)12(313132 1)(12)(313131 1)1(1222222222+=++-=++-+-=----=--b b a b a b a D b a b ab a C y x m m y m x B x x x x A 、、、、3、下列多项式在有理数范围内能用平方差公式分解因式的是（）A 、x 4+y 2B 、-4a 2-b 2C 、9x 2-3y 2D 、a 4-b 4 4、下列因式分解中，错误的个数是（）①a 2-9b 2=(a+9b)(a-9b) ②m 4n 2-9=(m 2n+3)(m 2n-3)③-a 2-b 2=(-a+b)(-a-b) ④-4-0.25b 2c 2=(2+0.5bc)(2-0.5bc) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个别 5、下列各多项式中，是完全平方式的个数有（）x x ++412①1)1x (x +-②2961x x +-③91292+-x x ④A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个6、如果(a-2b)2+4=(a-2b-2)2，则等式的左边应添加的项是（） A 、-4a-8b B 、-4a+8b C 、4a-8b D 、4a+8b 7．）的解集是（不等式53263-<-x x A 、x ＞9B 、x ＜9C 、x ＞32D 、x ＜328．2312x x x <⎧⎨+<⎩（陕西省）不等式组的解集是（） A 、2331<<xB 、23<x C 、x ＞1D 、231<<x9．）的最小整数解为（不等式组⎪⎩⎪⎨⎧-≤-->xx x 28432A 、-1B 、0C 、1D 、410．（山东省）若m ＜n ＜0，则下列结论中错误的是（ ）A 、n-m ＞0B 、1>nm C 、m-5＞n-5 D 、-3m ＞-3n二、填空题：（2分/题，共30分） 1. 14abx-8ab 2x+2ax=2ax （）2. ））（（b a c ab b a abc +-=-+-4281214122 3. ）（式利用平方差公式分解因=-22425n m 4. ）（式利用平方差公式分解因=-2209.0811x y 5. ）（解因式利用完全平方差公式分=--2296y x xy 6. ）（因式利用完全平方公式分解=+---25)(10)(2x y y x 7. ）（分解因式=--22296c b a abc 8. ）（分解因式=-m m 3225 9. ）（因式分解=-x x 163 10. ）（因式分解=--+22)2()2(b a b a 11. ）（利用平方差公式计算 29370722=- 12. 12x-4-9x 2=-( )213. 22 25)(10)(）（=++-+y x y x 14. ）（利用乘法公式计算： 86.028.686.014.322=⨯++ 15. ）（）因式分解（ )(4))((422=++++-+n m n m b a b a 三、解答题（1题7分，2、3、4题每小题8分；5、6题每题7分共45分） 1、的值，试求，，已知mab mb ma b a m 2561.1439.625.122++===2、把下列各式分解因式ab b a b a a b m b a m ++-+---))((2(9)(312））（）（3、把下列各式分解因式4421812(23)1a bx y ---（）（）4、把下列各式分解因式222314284922a ab b a a a -+-+-（）（）5、分解因式将642644)(y x y x -+6、？而不大于的值大于取何值时，代数式当91521x x -附加题：（10分）？且的解满足取何整数值时，方程组113222><⎩⎨⎧=+-=+y x y x ky x k20XX年秋季·第3讲·课后练习参考答案一、选择题CBDCCB ADBC二、填空题1答案：1472+-bb2、答案：ab 81 -3、答案：)25)(25(nmnm-+4、答案：)3.091)(3.091(xyxy-+5、答案：2)3 (yx--6、答案：2)5 (+-yx7、答案：2)3 (c ab--8、答案：)2)(2)(4(22-++mmmm9、答案：)4x)(4x(x-+10、答案：8ab11、答案：41400012、答案：-(3x-2)13、答案：x+y-514、答案：1615、答案：2)22(nmba--+三、解答题1、802808108825.1825.1561.1439.625.1561.1439.625.1)()2(2222222=++∴=⨯=⨯⨯=⨯=+⨯====+=++=mabmbmabambamabbam）（原式时，，当解：原式2、)1)(()())((2)31)((3)(9)(312+-+=++-+=+-=-+-=bababababambambambam）原式（）原式解：（3、)132)(132(2)3)(3)(9()9)(9()()9(12222222222--+-=-++=-+=-=yxyxbabababababa）原式（）原式解：（4、22222)1()12(2)72()7(722)2(1--=+--=-=+⋅⋅-=aaaaababbaa）原式（）原式解：（5、23223232643264232264)()()2)(2()2()(yxyxyxyxyxyxyxyx-+=-+++=-+=解：原式6解：.9152122222222244244521595211而不大于的值大于时，代数式当，由题意，得xxxxxxx--<≤--<≤-∴-≥>-≤-<≤-<≤-<附加题：1、22121215621534115342562256256262523222，由⑤，得：由④，得：⑤④代入①得把得②①②①<<-∴-><⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<-∴⎩⎨⎧><-=∴=+++=+=∴+=⨯+⎩⎨⎧=+-=+kkkkkyxkxkkxkykykyyxkyx。

20XX年秋季初一升初二数学衔接·第7讲——全等三角形（八年级上11章）【知识要点】一、能完全重合的两个三角形叫做全等三角形，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角．全等三角形的对应边相待，对应角相等．二、全等三角形的判定方法：1．三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”．2．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”．3．两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”．4．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS”．【典型例题】例1已知：如图，△ABC≌△DFE，写出图中相等的边和角．自我解答：分析：全等三角形的对应边相等，对应角相等．解：∵△ABC≌△DFE，∴AB＝DF，AC＝DE，BC＝FE，∠A＝∠D，∠ABC＝∠DFE，∠C＝∠E．例2 如图，已知：△ABC≌△ADE，∠EAC＝21º，求∠BAD的度数．自我解答：分析：由△ABC≌△ADE，可知∠EAD＝∠CAB，进一步可推出∠EAC＝∠DAB．解：∵ABC≌△ADE，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAD－∠CAD＝∠CAB－∠CAD，即∠EAC＝∠DAB，∵∠EAC＝21º，∴∠DAB＝21º．例3 如图，AC＝BD，AB＝DC，（1）说明∠B＝∠C的理由；（2）∠BAE与∠CDE能否相等？自我解答：分析：由图可知AD＝DA，再结合已知条件可得△ABD≌△DCA．解：（1）∵⎪⎩⎪⎨⎧DAADDCABBDAC＝＝＝∴△ABD≌△DCA（SSS），∴∠B＝∠C．（2）∠BAE＝∠CDE．说明方法（一），由（1）得∠B＝∠C，又∵∠AEB＝∠DEC，由三角形内角和等于180º，可得∠BAE＝∠CDE．说明方法（二），由（1）得△ABD≌△DCA，∴∠BAD＝∠CDA，∠CAD＝∠BDA，∴∠BAD－∠CAD＝∠CDA－∠BDA，即∠BAE＝∠CDE．ABCDE例4 如图，AD ＝AE ，∠1＝∠2，BD ＝CE ．说明∠BAE ＝∠CAD 的理由． 自我解答：解：∵⎪⎩⎪⎨⎧∠∠CE BD AE AD ＝＝＝21∴△ABD ≌△ACE （SAS ）， ∴∠BAD ＝∠CAE ，∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ， 即∠BAE ＝∠CAD ．说明：此题还可以用下列方法说明．∵BD ＝CE ， ∴BD ＋DE ＝CE ＋DE ，即BE ＝CD ， ∵∠1＝∠2， ∴∠ADC ＝∠AEB ，由⎪⎩⎪⎨⎧∠∠CD BE ADC AEB AD AE ＝＝＝ ∴△ABE ≌△ACD （SAS ）， ∴∠BAE ＝∠CAD ．例5 如图，AB ＝AD ，∠1＝∠2，∠B ＝∠ADE ．判断BC 与DE 是否相等，说明理由．分析：只需说明△ABC ≌△ADE 即可． 自我解答：解：BC ＝DE ．理由如下： ∵∠1＝∠2∴∠1＋∠DAC ＝∠2＋∠DAC ， ∴∠BAC ＝∠DAE ，由⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠ADE B AD AB DAE BAC ＝＝＝ ∴△ABC ≌△ADE （ASA ） ∴BC ＝DE ．例6 如图，AB ＝AC ，BD ＝CE ，O 是BE 、CD 的交点，连接AO ．该图中共有哪几对全等三角形？说明理由． 自我解答：解：（1）△ABE ≌△ACD ．理由：∵AB ＝AC ，BD ＝CE ， ∴AD ＝AE ，由⎪⎩⎪⎨⎧∠∠AD AE CAD BAE AC AB ＝＝＝，可得△ABE ≌△ACD （SAS ）． （2）△BOD ≌△COE ．理由：由（1）知△ABE ≌△ACD ，则∠ABO ＝∠ACO ，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠∠∠∠CE BD COE BOD ACO ABO ＝＝＝， ∴△BOD ≌△COE （AAS ）．（3）△ABO ≌△ACO ．理由：由（2）知△BOD ≌△COE ，则BO ＝CO ，∠ABO ＝∠ACO ，∵⎪⎩⎪⎨⎧∠∠CO BO ACO ABO AC AB ＝＝＝， ∴△ABO ≌△ACO （SAS ）．（4）△ADO ≌△AEO ．理由：由（3）知△ABO ≌△ACO ，则∠BAO ＝∠CAO ； 又由（1）知AD ＝AE ；∵⎪⎩⎪⎨⎧∠∠AO AO CAO BAO AE AD ＝＝＝，∴△ADO ≌△AEO （SAS ）．（5）△BDC ≌△CEB ．理由：由（1）知△ABE ≌△ACD ，则CD ＝BE ；∵⎪⎩⎪⎨⎧CB BC BE CD CE BD ＝＝＝，∴△BDC ≌△CEB （SSS ）．【中考链接】1．（北京市海淀区中考题）如图，点D 在AB 上，点E 在AC 上，CD 与BE 相交于点O ，且AD ＝AE ，AB ＝AC ．若∠B ＝20º，则∠C ＝度． 答案：20º提示：△ABE ≌△ACD2．（河北省中考题）已知：如图，点E 是正方形ABCD 的边CD 上一点，点F 是CB 的延长线上一点，且EA ⊥AF ． 求证：DE ＝BF ．证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠ADE ＝∠ABF ＝90º， ∵EA ⊥AF ，∴∠BAF ＋∠BAE ＝∠BAE ＋∠DAE ＝90º， ∴∠BAF ＝∠DAE ，由⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BAF DAE ABAD ABF ADE 得△ADE ≌△ABF （SAS ） ∴DE ＝BF ．3．（徐州市中考题）已知：如图，AB ＝CD ，DE ⊥AC ，BF ⊥AC ，E 、F 是垂足，DE ＝BF ．求证：AF ＝CE ，且AB //CD ． 证明：∵DE ⊥AC ，BF ⊥AC ， ∴∠AFB ＝∠CED ＝90º， 在Rt △AFB 和Rt △CED 中⎩⎨⎧==DE BF CDAB ∴Rt △AFB ≌Rt △CED （HL ） ∴AF ＝CE ，∠A ＝∠C ， ∴AB //CD ． 4．（20XX 年荆州市中考题）如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，DF 交AC 于点E ，且AE ＝CE ，FC //AB ． 求证：CD ＝AF ． 证明：∵FC //AB ， ∴∠DAE ＝∠FCE ， 在△ADE 和△CFE 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠) ( 对顶角相等CEF AED CEAE FCE DAE ∴△ADE ≌△CFE （ASA ） ∴DE ＝FE ，在△AEF 和△CED 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DE EF CED AEF CE AE )( 对顶角相等∴△AEF ≌△CED （SAS ）∴CD ＝AF ．20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第7讲·课后练习姓名：一、选择题：1．下列结论正确的个数是（ ）① 有两个角和一个角的对边对应相等的两个三角形全等； ② 三条边对应相等的两个三角形全等； ③ 两个等边三角形全等；④ 有一边对应相等的两个等边三角形全等； ⑤ 三个角对应相等的两个三角形全等。

初一升初二——第一讲 平方根一、学习目标1、了解算术平方根与平方根的概念，并且会用根号表示；2、会进行有关平方根和算术平方根的运算；3、理解算术平方根与平方根的区别和联系，培养同学们的抽象概括能力。

二、知识要点1、算术平方根：如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记作“a ” ，读作“根号a ”。

注意：（1）规定0的算术平方根为0，即00=；（2）负数没有算术平方根，也就是a 有意义时，a 一定表示一个非负数；（3）a 0≥（0≥a ）。

2、平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫二次方根）。

注意：（1）一个正数a 必须有两个平方根，一个是a 的算术平方根“a ” ，另外一个是“-a ”,读作“负根号a ” ，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，是它本身； （3）负数没有平方根。

3、开平方：求一个数a 的平方根的运算。

其中a 叫做被开方数。

⎩⎨⎧<-≥==)0()0(2a a a a a a ()a a =2()0≥a三、典型例题例1、 求下列各数的算术平方根与平方根（1）25 （2）100 （3）1（4）0 （5）94（6）7例2、 计算（1）81 （2）41 （3）-169 例3、计算 （1）()264 （2）24925⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()22.7（4）()22- （5）2544369++ （6）416925-⨯ 例4、当22-+a a 有意义时，a 的取值范围是多少？四、经典练习1、求下列各数的算术平方根和平方根. （1）16 （2）225121（3）12（4）0.01 （5）()25- （6）（-101）22、计算（1）28116⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （2）()25.0-（3）146449+ （4）41225.0+⨯3、判断（1）－52的平方根为－5 （ ） （2）正数的平方根有两个，它们是互为相反数 （ ） （3）0和负数没有平方根 （ ） （4）4是2的算术平方根 （ ） （5）9的平方根是±3 （ ）（6）因为161的平方根是±41,所以161=±41 （ ）4、121---x x 有意义，则x 的范围___________5、如果a (a ＞0)的平方根是±m ，那么（ ） A.a 2=±mB.a =±m2C.a =±mD.±a =±m五、课后作业1、下列各数中没有平方根的数是（ ） A.－(－2)3B.3－3C.aD.－（a 2+1）2、2a 等于（ ） A.aB.－aC.±aD.以上答案都不对3、若正方形的边长是a ,面积为S ，那么（ ） A.S 的平方根是aB.a 是S 的算术平方根C.a =±SD.S =a4、当x ___________时，x 31-是二次根式．5、要使21-+x x 有意义，则x 的范围为___________ 6、计算（1）-16964 （2）2243+初一升初二——第二讲 立方根一、学习目标1. 掌握立方根的概念，并会用根号表示一个数的立方根。

20XX年秋季初一升初二数学衔接·第5讲——平行线与相交线【知识要点】1．余角与补角：如果两个角的和是直角，那么这两个角互为余角（comp l ement a ry a ng l e）;如果两个角的和是平角，那么这两个角互为补角（supp l ement a ry a ng l e）．由此可以看出：①余角、补角都是针对两个角而言，它们都是成对出现的；②余角、补角的只与角的大小有关，而与角的位置无关．余角与补角的性质：同角或等角的余角相等，同角或等角补角相等．2．对顶角及其性质：如图，直线a与b相交，则∠1和∠3，∠2和∠4是对顶角．在识别对顶角时，要抓住待征：有一个公共顶点，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线．对顶角的性质：对顶角相等．注意：相等的角不一定是对顶角．3．同位角、内错角、同旁内角重点、难点都是识别同位角、内错角、同旁内角．如图，∠1和∠2是同位角，∠3与∠2是内错角，∠4与∠2是同旁内角。

它们都是由直线a、b被c所截而成的．识别这些角的关键是：分清这些角是由哪两条直线被哪一条直线所截而成的，在截线的同旁找同位角、同旁内角，在截线的两旁找内错角，只有找出三条相交直线的关系才能作出判断．同位角成“F”形，内错角成“Z”形，同旁内角成“U”形．4．直线平行的条件判定两条直线平行的方法有多种：（1）按定义进行判定：即在同一个平面内，两条不相交的直线就是平行线．（2）用直线平行的传递性判定：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行．（3）两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．即：同位角相等，两直线平行．两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．即：内错角相等，两直线平行．两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．即：同旁内角互补，两直线平行．（4）同一个平面内垂直于同一条直线的两条直线平行．5．平行线的待征（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．即：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．即：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．即：两直线平行，同旁内角互补．注意：平行线的“判定”及“性质”的条件与结论正好相反，容易混淆．平行线的判定是在已知条件下去判定两条直线是否平行，而平行线的性质是在已知两直线平行的前提下，推出某些结论．在学习中必须清楚，并非同位角、内错角一定相等以及同旁内角一定互补．只有在两条直线平行的前提下，才有上面的结论．这一部分学习中，还要求同学们能够在较复杂的图形中，合理地运用“判定”和“性质”进行相应的推理和计算，要学会“说理”，能够写出推理的过程．6．用尺规作线段和角限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作图．它与一般的画图不同，除了作图工具限制外，每一步作图都必须要有依据．现在要求掌握以下2个基本作图：（1）作一条线段等于已知线段．（2）作一个角等于已知角．较为复杂的作图，都是由若干基本作图按一定的顺序组合起来的．要完成一个较为复杂的作图，关键是确定基本作图的顺序，顺序正确了，才可能作出正确的图形，同时每一步要有充分的依据，不能随便画．每一个作图的分析过程，也是逻辑推理的过程，认真完成一个作图，是对同学们的推理能力的一次锻炼和提高．【典型例题】例1、如图，O是直线AB上一点，∠AOE=∠FOD=90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互为余角的角有哪些？与∠DOE互为补角的角有哪些？自我解答：解：与∠DOE互余的角有：∠EOF、∠BOD、∠BOC因为∠BOE=90°，即∠BOD+∠DOE=90°，而OB平分∠DOC，则∠BOC=∠BOD，∠EOF+∠DOE=∠DOF=90°，所以∠DOE的余角有3个．与∠DOE互补的角是有∠BOF、∠COE理由是：∵∠AOE=∠DOF=90°，∴∠AOF+∠FOE=∠DOE+∠EOF=90°，即∠AOF与∠DOE分别为∠EOF的余角，∴∠AOF=∠DOE，又∵∠BOF+∠AOF=180°，∴∠BOF+∠DOE=180°，∵∠EOF=∠BOC，∴∠EOF+∠DOE=∠DOE+∠BOC，∴∠BOF=∠COE．点评：本题利用已知条件和图形寻找余角、补角，要注意不能仅从表面上作出简单结论，因为互为余角和互为补角只是一种数量关系，与角的位置无关，只与角的大小有关．例2、一个角的补角是它的余角的4倍，求这个角的度数．自我解答：解：设这个角的度数是x，则它的余角是90°－x，补角是180°－x，由题意，得：180°－x＝4（90°－x）解之，得：x＝60°，答：这个角的度数是60°．点评：利用方程解答有关几何计算问题，关键是找出“等量关系”．例3、如图，根据下列条件，可以判定哪两条直线平行，判定的依据是什么？（1）∠1＝∠C；（2）∠2＝∠4；（3）∠2＋∠5＝180º（4）∠3＝∠B；（5）∠6＝∠2．自我解答：解：平行）（内错角相等，两直线（已知）＝）（平行）（同位角相等，两直线（已知）＝）（线平行）（同旁内角互补，两直（已知）＝＋）（平行）（内错角相等，两直线（已知）＝）（平行）（同位角相等，两直线（已知）＝）（AC//DFAB//DEBDFACDEABACDFC∴∠∠∴∠∠∴︒∠∠∠∠∴∴∠∠26534//180523//422//11点评：在比较复杂的图形中，首先要找出所给的两个角是由哪两条直线被第三条直线所截而成的哪种类型的角，再运用学过的判定方法加以判定。

20XX年秋季初一升初二数学衔接·第11讲——一次函数及其图象【知识要点】一、函数的概念在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x的值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数。

其中x是自变量，y是因变量。

1．如何判断函数关系：判断两个变量是否存在函数关系，要注意三点：①是否存在一个变化过程；②是否存在两个变量；③x在某范围内每一个取值，y是否有唯一确定的值与它对应。

2．函数的三种表示方法：①图象法观形象，是研究函数性质的重要工具，但不够准确；②列表法：清楚，一目了然，但不够全面；③解析式：用代数式表示两个变量间的关系，但不直观，有些函数关系也不能用解析式表达。

3．确定自变量的取值范围：①实际问题中自变量取值范围要使实际问题有意义；②解析式中要考虑使表达式有意义（如分式的分母不为0，二次根式中被开方数非负等）。

二、一次函数两个变量x和y之间的关系可以表示成bkxy+=（k、b为常数，且k≠0）的形式，则y是x的一次函数。

特别的，当b＝0时，得kxy=（k是常数且k≠0），称y是x的正比例函数。

由此可知，正比例函数是一次函数的特殊形式，一次函数bkxy+=当b=0时为正比例函数，一次函数包括正比例函数。

三、函数的图象1．函数的图象：把一个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出经的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图象。

显然：函数图象上任意点P（x，y）中的x，y满足函数关系式，满足函数关系式的任意一对x，y的值所对应的点一下在该函数的图象上。

要判断一个点P（x，y）是否在某个函数的图象上，只需将该点的坐标代入解析式，看其是否满足该解析式。

如果点的坐标满足解析式，则该点在此函数的图象上；否则这个点不在此函数的图象上。

2．作函数图象的步骤：①列表：给出一些自变量的值及其对应的函数值；②描点：以表中每对对应值为点的坐标，在直角坐标系中描出相应的点；③连线：用平滑曲线顺次（从左到右）连接各点。

20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第10讲——实数【知识要点】 一、实数1．有理数和无理数统称为实数2．实数的分类：实数有两种分类分式：（1）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧数无理数：无限不循环小分数负整数正整数整数有理数实数0（2）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负无理数负有理数负实数正无理数正有理数正实数实数0 3．实数中的相关概念：（1）相反数：在实数范围内，a 与－a 互为相反数，0的相反数仍然是0．（2）倒数：若a ≠0，则a 与a1互为倒数，0没有倒数．（3）绝对值：正实数的绝对值等于它本身；负实数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0．4．实数和数轴上的点一一对应．即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反之，数轴上的每一个点都表示一个实数． 二、实数的运算1．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算．有理数的运算法则和运算规律对实数同样适用．2．化简：运算结果含有根号的，就遵循以下两个化简标准：①被开方数不含分母；②被开方数不含开得尽方的因数．当被开方数中含有开得尽方的因数时或分母时，可以利用法则：ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）和ba b a =（a ≥0，b ＞）的逆用形式b a ab ⋅=（a ≥0，b ≥0）和ba ba =（a ≥0，b ＞）进行化简．3．对含根号式子进行加、减运算时，一定要先化简，再进行运算． 【典型例题】例1 （1）求364-的绝对值（2）已知一个数的绝对值是3，求这个数．解：（1）∵4)4(64333-=-=-∴|364-|＝4 （2）∵3|3|3|3|=-=，∴绝对值为3的数是±3．例2 把下列各数填入相应的集合内：－6.8，11，0，114，311-，364-，3.14，－π，18.0 ，π0． （1）有理数集合：{ …} （2）无理数集合：{ …} （3）正实数集合：{ …} （4）整数集合： { …}解：（1）有理数集合：{－6.8，0，311-，364-，3.14，18.0 ，π0，…} （2）无理数集合：{11，114，－π，…}（3）正实数集合：{11，114，3.14，18.0 ，π0，…} （4）整数集合： {0，364-，π0， …} 例3 x 、y 在数轴上对应的点如图所示：化简：||||||||y x y x y x ++-++．分析：数轴上左边的点所表示的数比右边的点所表示的数小，x 、y 对应的点与原点的位置关系很重要．自我解答：x y解：∵x ＜0＜y ，且|x|＜|y|，∴x －y ＜0，x ＋y ＜0∴|y x ||y x ||y ||x |++-++＝)y x ()y x (y x ++--+- ＝y x y x y x +++-+- ＝y 3x +- 例4 化简：（1）5210⨯（2）53412-⨯（3）5315⨯分析：可运算两个运算法则ab b a =⋅（a ≥0，b ≥0）和baba =（a ≥0，b ＞0），按实数的运算顺序进行． 自我解答：解：（1）2452105210==⨯=⨯ （2）1545165341253412-=-=-=-⨯=-⨯ （3）3953155315==⨯=⨯ 例5 化简：（1）2)23(-（2）)57)(57(-+分析：（1）、（2）两式分别符合完全平方公式和平方差公式的结构特征，可直接运用公式进行计算． 自我解答：解：（1）34743432232)3()23(222-=+-=+⨯⨯-=- （2）257)5()7()57)(57(22=-=-=-+例6 计算：（1）13327-+（2）3123112--（3）327175+-（4）)52453204(52+-（5）)372)(17()37(2-+--分析：先化简，再按实数的运算顺序进行计算．自我解答：解：（1）解法一：31413341333313327=-=-=-+=-+解法二：311311913332713332713327=-+=-+=-+=-+=-+ （2）333233323123112=--=-- （3）395339335327175=+-=+-（4）10552)525958(52)52453204(52=⨯=+-=+- （5）)372)(17()37(2-+--＝)3727314(9767-+--+- ＝37273149767+-+-+- ＝755-20XX 年秋季初一升初二数学衔接·第10讲·课堂练习姓名：1．数轴上表示21-的点到原点的距离是（ ） A 、21- B 、21 C 、2- D 、22．已知一个数的倒数是－2，那么这个数是（ ） A 、2- B 、21- C 、21 D 、23．纳米是一种长度单位，1纳米＝10-9米．已知某种植物花粉的直径约为35000纳米，那么用科学记数法表示该种花粉的直径为（ ）A 、4105.3⨯米B 、4105.3-⨯米C 、5105.3-⨯米D 、9105.3-⨯米 4．在实数41433032，。