高中数学北师大版必修2第一章第一节简单几何体教案

《简单多面体》教学设计本课时编写：崇文门中学高巍巍教材分析:立体几何是认识我们生活的空间世界必须的常识性知识，是数学学科的重要分支.本节是立体几何的起始课，最重要的是认识几何体，并了解柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征.学生通过观察实物和图片，引导学生将观察到实物进行归纳、分类、抽象、概况，得出几何体的结构特征及其概念，构建空间想象能力.这节课主要认识简单多面体.学生们通过观察类比简单并得出结论旋转体得出相应的概念及结构特征.教学目标：【知识与能力目标】1、通过实物操作，增强学生的直观感知.2、能根据几何结构特征对空间物体进行分类.3、会用语言概述棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征.4、会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类.【过程与方法】1、学生通过直观感受空间物体，类比简单旋转体的研究方法，概括出棱柱、棱锥、棱台、简单组合体的结构特征.2、学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识.【情感态度与价值观】1、学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力.2、学生通过学习，提高增强空间想象能力和抽象括能力.教学重难点：【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征.【教学难点】棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括.课前准备：课件、学案、实物模型.教学过程：一、课题引入：首先引导学生复习上节课的简单旋转体，并回忆主要概念复述.问题1：生活中的几何体是都是旋转体吗？如果不是你觉得还有哪些几何体？能举例说明吗？问题2：这幅图片的建筑中抽象出的几何体是旋转体吗？是通过平面图形旋转得到的吗？那这是咱们了解过的哪种几何体呢？它如果不是旋转出来的，那又是由平面图形如何得到的呢？问题3：请你将下列几何体进行分类？【设计意图】通过三个问题串，学生能认识到生活中的几何体并不都是旋转体，还有一类并不是由平面图形旋转形成，而是由平面多边形围成的，引出简单多面体的概念.所有的知识分类得出都自然而然，要顺着学生的思维模式，教师只是加以引导，这样学生才能理解记忆，而不是单纯的死记硬背.二、新课探究：1、简单多面体：由若干个平面多变形围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.问题4：如果将简单多面体进一步分类，你觉得可以分成哪几类呢？类比一下旋转体.2、棱柱：① 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱.两个互相平行的平面叫做棱柱的底面，其余各叫做棱柱的侧面.相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱.侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.上下底面间的距离叫做棱柱的高．问题5：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？ 问题6：一个棱柱至少有几个侧面？一个n 棱柱分别有多少个底面和侧面？有多少条侧棱？有多少个顶点？【设计意图】对多面体概念有更深刻的理解，并引出棱柱的分类和表示.②分类：A.按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱等B.按照侧棱是否和底面垂直，棱柱可分为斜棱柱（不垂直）和直棱柱（垂直）.其中底面为正多边形的直棱柱为正棱柱.③表示：如六棱柱ABCDE-A’B’C’D’E’.④结构特点：A.棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形；顶点底面①定义：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面.有公共顶点的各个三角形叫做棱锥的侧面.各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.顶点到底面的距离叫做棱锥的高．②分类：A.按底面多边形的边数来分，底面是三角形、四边形、五边形…的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥等.B.特别地，若底面为正多边形，顶点在底面的射影为底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥.③表示：用表示顶点和底面的字母表示，如四棱锥S-ABCD.④结构特征：A.底面为多边形；顶点顶点B.其余各面为有公共顶点的三角形；C.正棱锥：底面为正多边形，其余各面为有公共顶点的等腰三角形.4、棱台：①定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分是棱台.原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面、上底面.其他各面叫做棱台的侧面.相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱.两底面间的距离叫做棱台的高．②分类：A.由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台等.B.用平行底面平面截得正棱锥所得到的棱台为正棱台.③表示：如六棱台ABCDE-A’B’C’D’E’.④结构特征：A.棱台的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的相似多边形；B.延长侧棱交于一点，还原为棱锥；C.侧面均为梯形，特别地，正棱台侧面均为等腰梯形.三、知识应用：题型一棱柱、棱锥、棱台的概念例1. 下列说法正确的是()A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行B.棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【答案与解析】A根据棱柱的概念，棱柱的侧面也有可能平行，故B不对，直棱柱侧棱才是棱柱的高，故C 不正确；棱柱的底面有可能是平行四边形，故D 不正确．例2. 判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)① 棱柱的侧面都是平行四边形. ( )② 有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥. ( )③ 用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫棱台. ( )【答案与解析】① √ ② × ③×例3. (1) 如图,过BC 的截面截去长方体的一角,所得的几何体还是不是棱柱,被截去的几何体是不是棱柱？(图1) (图2)(2) 观察长方体共有多少对平行平面,能作为棱柱底面的有几对？(3) 观察下面的三棱锥,能作为棱锥底面的有几个？(图3) (图4)(4) 结合棱台的定义,请同学们判断下列几何体是不是棱台并说明理由.题型二 利用棱柱、棱锥、棱台的概念，解决计算问题例4. 在正四棱锥P －ABCD 中，底面边长为2，斜高为2.求（1）侧棱长； （2）棱锥的高.解：在Rt PBM ∆中，2PM =,112BM BC ==,则PB =在Rt POM ∆中，2PM =,1OM =,则PB ==例5．正三棱柱ABC A'B'C'-的底面边长是4 cm ，过BC 的一个平面交侧棱AA ′于D ，若AD 的长是2 cm ，试求截面BCD 的面积．解：如图，取BC 的中点E ，连接AE ，DE ，则AE ⊥BC ，DE ⊥BC .因为AE ＝32×4＝23，所以DE ＝(23)2＋22＝4， 所以S △BCD ＝12BC ·ED ＝12×4×4＝8(cm 2)．所以截面BCD 的面积是8 cm 2. 【设计意图】更好地理解掌握棱柱、棱锥、棱台的相关概念.一定要学生自己分析，找到问题的症结所在.将立体几何的问题化归为平面几何解决.最终变为三角形、四边形中的求值问题.题型三 利用棱柱、圆锥、圆台的展开图，解决相关问题.例6. 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解：由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．例7．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面边长为1，高为2，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕一周到达A 1点的最短路线的长为________．【设计意图】将立体几何的问题化归为平面几何解决.要熟练掌握立体图形展开图，构建空间想象能力.教学反思：这节课在上节课的基础上继续研究简单多面体，类比的让孩子更多的自主学习研究，在学习中对立体几何产生兴趣，让孩子了解学习立体几何的重要性.例题一定要给学生充分的时间讨论，明确将立体几何的问题化归为平面几何解决是根本思路方法.。

数学必修2立体几何第一章全部教案第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征(一)一、教学目标1 ?学问与技能(1)通过实物操作，增加同学的直观感知。

(2)能按照几何结构特征对空间物体举行分类。

(3)会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征。

(4)会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。

2. 过程与办法(1)让同学通过直观感触空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。

(2)让同学观看、研究、归纳、概括所学的学问。

3. 情感态度与价值观(1)使同学感触空间几何体存在于现实生活周围，增加同学学习的乐观性，同时提高同学的观看能力。

(2)培养同学的空间想象能力和抽象括能力。

二、教学重点、难点重点：让同学感触大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。

难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。

三、教学用具(1)学法：观看、思量、沟通、研究、概括。

(2)实物模型、投影仪四、教学过程：一、创设情景，揭示课题1. 研究：经典的建造给人以美的享受，其中神秘为何？世间万物，为何千姿百态?2. 提问：学校与初中在平面上讨论过哪些几何图形？在空间范围上讨论过哪些？3. 导入：进入高中，在必修②的第一、二章中，将继续深化讨论一些空间几何图形，即学习立体几何，注重学习办法：直观感知、操作确认、思维辩证、度量计算二、讲授新课：1. 教学棱柱、棱锥的结构特征：②提问：举例生活中有哪些实例给我们以两个面平行的形象？②研究：给一个长方体模型，经过上、下两个底面用刀垂直切，得到的几何体有D哪些公共特征？把这些几何体用水平力推斜后，仍然有哪些公共特征？②定义：有两个面相互平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，由这些面所围成的几何体叫棱柱→列举生活中的棱柱实例（三棱镜、方砖、六角螺帽）结合图形熟悉：底面、侧面、侧棱、顶点、高、对角面、对角线?②分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等表示：棱柱ABCDE-A 'B'C'D''②研究：埃及金字塔具有什么几何特征？②定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥.结合图形熟悉：底面、侧面、侧棱、顶点、高?→研究：棱锥如何分类及表示？②研究：棱柱、棱锥分离具有一些什么几何性质？有什么共同的性质？棱柱：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形棱锥：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像，其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方?2. 教学圆柱、圆锥的结构特征：②研究：圆柱、圆锥如何形成？②定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆柱；以直角三角形的一条直角边为旋转轴，其余两边旋转所成的曲面所围成的几何体叫圆锥?→列举生活中的棱柱实例→结合图形熟悉：底面、轴、侧面、母线、高.→表示办法②研究：棱柱与圆柱、棱柱与棱锥的共同特征？→ 柱体、锥体.②观看书P2若干图形，找出相应几何体；举例：生活中的柱体、锥体.3. 质疑答辩，排难解惑，进展思维，老师提出问题，让同学思量。

1.1 简单几何体教学目标1．知识与技能（1）掌握圆柱，圆锥，圆台，球的概念和结构特征，学会观察分析图形，提高空间想象能力和几何直观能力。

（2）能根据几何结构特征对空间简单几何体进行分类。

（3）会用语言概述圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的定义和结构特征。

2．过程与方法课前通过学生亲自动手制作简单的几何体，提高他们的学习兴趣和动手能力；课上学生通过直观感受空间物体，从实物和多媒体动画演示概括出圆柱、圆锥、圆台、球的定义和结构特征，培养学生的空间想象能力，观察能力，抽象概括能力，总结归纳能力。

3．情感态度与价值观（1）展示生活中很多与简单几何体相关的建筑物和的生活用品的图片，让学生感受空间几何体存在于现实生活周围，通过学生亲手制作简单的几何体模型，增强学生学习的积极性，同时提高学生的动手操作能力、观察能力、抽象概括能力和总结归纳能力。

（2）通过分组讨论、合作交流简单几何体的概念和结构特征，提高学生抽象概括能力和语言表达能力，学会建立几何模型研究空间图形，培养学生的数学建模思想。

（3）每一个学生都参与课堂讨论，提高他们的学习兴趣，促进课堂交流，使每一个学生都有收获，并为后面立体几何的学习打下了良好的基础和得到了很多实验模型。

学情分析本节课是在学生初中已经学习过一些简单几何图形的基础上再次深入学习的，学生有一定的知识基础和认知能力，同时通过初中三年的学习，高一的学生有了一定的空间想象能力、动手能力和抽象概括能力，这些都为这节课的学习打下了良好的基础。

本节课的难点就是学生要从直观感知升华到对简单几何体概念形成的抽象概括，这个对部分同学还是很有难度的，解决这些问题，可以通过学生对圆柱、圆锥、圆台、球的模型的动画演示，和近距离观察、触摸、讨论和交流来实现。

重点难点教学重点：感受大量空间几何体的实物及模型，了解几种旋转体的定义和结构特征。

教学难点：如何让学生概括出球、圆柱、圆锥、圆台的概念及结构特教学过程【导入】简单几何体的导入我们生活在丰富的图形世界中，从巨大的天体到微小的原子，自然界和人类的智慧给我们展示了丰富多彩的几何图形，请看下列图片，你能从中找到哪些熟悉的简单的空间图形？（展示生活中的图片）观察得：所举的建筑物和生活物品基本上都是由柱体，椎体，台体，球这些几何体组合而成的，（展示具有柱、锥、台、球结构特征的空间物体）。

第一章立体几何初步§1简单几何体【课时目标】1．能根据圆柱、圆锥、圆台和球的定义及结构特征，掌握它们的相关概念和表示方法．2．能根据棱柱、棱锥、棱台的定义和结构特征，掌握它们的相关概念、分类和表示方法．1．以____________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．2．分别以________________、___________、_____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．3．棱柱的结构特征：两个面____________，其余各面都是____________，并且每相邻两个四边形的公共边都____________，由这些面围成的几何体叫作棱柱．侧棱垂直于底面的棱柱叫作__________，底面是正多边形的直棱柱叫作__________．4．棱锥的结构特征：有一个面是__________，其余各面是_______________________，这些面围成的几何体叫棱锥．如果棱锥的底面是____________，且各侧面________，就称作正棱锥．5．棱台的结构特征：用一个__________棱锥底面的平面去截棱锥，____________之间的部分叫作棱台．一、选择题1．棱台不具备的性质是()A．两底面相似B．侧面都是梯形C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点2．下列命题中正确的是()A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台3．下列说法正确的是()A．直角三角形绕一边旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．通过圆台侧面上一点，有无数条母线4．下列说法正确的是()A．直线绕定直线旋转形成柱面B．半圆绕定直线旋转形成球体C．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台D．圆柱的任意两条母线所在的直线是相互平行的5．观察下图所示几何体，其中判断正确的是()A．①是棱台B．②是圆台C．③是棱锥D．④不是棱柱6．纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到右侧的平面图形，则标“△”的面的方位是()A．南B．北C．西D．下二、填空题7．由若干个平面图形围成的几何体称为多面体，多面体最少有________个面．8．将等边三角形绕它的一条中线旋转180°，形成的几何体是________．9．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图？其序号是________．三、解答题10．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．11．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2，母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和底面半径．能力提升12．下列四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中可以沿两个正方形的相邻边折叠围成一个正方体的图形的是()13．如图，在底面半径为1，高为2的圆柱上A点处有一只蚂蚁，它要围绕圆柱由A 点爬到B点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？1．学习本节知识，要注意结合集合的观点来认识各种几何体的性质，还要注意结合动态直观图从运动变化的观点认识棱柱、棱锥和棱台的关系．2．棱柱、棱锥、棱台中的基本量的计算，是高考考查的热点，要注意转化，即把三维图形化归为二维图形求解．在讨论旋转体的性质时轴截面具有极其重要的作用，它决定着旋转体的大小、形状，旋转体的有关元素之间的关系可以在轴截面上体现出来．轴截面是将旋转体问题转化为平面问题的关键．3．几何体表面距离最短问题需要把表面展开在同一平面上，然后利用两点间距离的最小值是连接两点的线段长求解．第一章立体几何初步§1简单几何体答案知识梳理1．半圆的直径2．矩形的一边直角三角形的一条直角边直角梯形垂直于底边的腰3．互相平行四边形互相平行直棱柱正棱柱4．多边形有一个公共顶点的三角形正多边形全等5．平行于底面与截面作业设计1．C[用棱台的定义去判断．]2．C[A、B的反例图形如图所示，D显然不正确．]3．C[圆锥是直角三角形绕直角边旋转得到的，如果绕斜边旋转就不是圆锥，A不正确，圆柱夹在两个平行于底面的截面间的几何体才是旋转体，故B不正确，通过圆台侧面上一点，有且只有一条母线，故D不正确．]4．D[两直线平行时，直线绕定直线旋转才形成柱面，故A错误．半圆以直径所在直线为轴旋转形成球体，故B不正确，C不符合棱台的定义，所以应选D．] 5．C6．B7．48．圆锥9．①②10．解 截面BCFE 右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB ′—CFC ′，其中△BEB ′和△CFC ′是底面．EF ，B ′C ′，BC 是侧棱，截面BCFE 左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA ′—DCFD ′．其中四边形ABEA ′和四边形DCFD ′是底面．A ′D ′，EF ，BC ，AD 为侧棱．11．解圆台的轴截面如图所示，设圆台上、下底面半径分别为x cm 和3x cm ，延长AA 1交OO 1的延长线于点S ．在Rt △SOA 中，∠ASO ＝45°，则∠SAO ＝45°．∴SO ＝AO ＝3x cm ，OO 1＝2x cm ．∴12(6x ＋2x)·2x ＝392，解得x ＝7，∴圆台的高OO 1＝14 cm ，母线长l ＝2OO 1＝14 2 cm ，底面半径分别为7 cm 和21 cm ．12．C13．解 把圆柱的侧面沿AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形，如图所示，连接AB ′，则AB ′即为蚂蚁爬行的最短距离．∵AB ＝A ′B ′＝2，AA ′为底面圆的周长，且AA ′＝2π×1＝2π， ∴AB ′＝A ′B ′2＋AA ′2＝4＋(2π)2＝21＋π2，即蚂蚁爬行的最短距离为21＋π2．。

1 简单几何体学习目标 1.理解旋转体与多面体的概念.2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征.3.掌握棱柱、棱锥、棱台的基本性质．知识点一两平面平行和直线与平面垂直的概念思考1 如何定义两平面平行？思考2 如何判定直线与平面垂直？梳理(1)________________的两个平面平行．(2)如果一条直线与一个平面内的__________________都垂直，则这条直线与这个平面垂直．知识点二旋转体与多面体旋转体一条__________绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作____________；封闭的旋转面围成的几何体叫作______________多面体把若干个________________围成的几何体叫作________________知识点三常见的旋转体及概念思考1 以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥吗？思考2 能否由圆锥得到圆台？梳理名称图形及表示定义相关概念球记作：球O 球面：以________________所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的________叫作球面．球体：球面所围成的几何体叫作球体，简称球球心：半圆的________．球的半径：连接球心和球面上任意一点的线段．球的直径：连接__________上两点并且过______的线段圆柱记作：圆柱OO′以________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆柱高：在__________上这条边的长度．底面：垂直于____________的边旋转而成的________．侧面：__________________的边旋转而成的曲面．母线：__________________的边，无论转到什么位置都叫作侧面的母线圆锥记作：圆锥OO′以直角三角形的__________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆锥圆台记作：圆台OO′以直角梯形_____ _____________所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的________所围成的几何体叫作圆台特别提醒：(1)经过旋转体轴的截面称为该几何体的轴截面．(2)圆柱的母线互相平行，圆锥的母线相交于圆锥的顶点，圆台的母线延长后相交于一点．知识点四常见的多面体及相关概念思考观察下列多面体，试指明其类别．梳理(1)棱柱①定义要点：(ⅰ)两个面________________；(ⅱ)其余各面都是________________；(ⅲ)每相邻两个四边形的公共边都________________．②相关概念：底面：两个________________的面．侧面：除底面外的其余各面．侧棱：相邻______________的公共边．顶点：底面多边形与________的公共顶点．③记法：如三棱柱ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱柱：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、…….(ⅱ)直棱柱：侧棱________于底面的棱柱．(ⅲ)正棱柱：底面是________________的直棱柱．(2)棱锥①定义要点：(ⅰ)有一个面是________________；(ⅱ)其余各面是三角形；(ⅲ)这些三角形有一个________________．②相关概念：底面：除去棱锥的侧面余下的那个________________．侧面：除底面外的其余__________面．侧棱：相邻两个________的公共边．顶点：________的公共顶点．③记法：如三棱锥S－ABC.④分类及特殊棱锥：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有________、__________、__________、……，(ⅱ)正棱锥：底面是______________，且各侧面________的棱锥．(3)棱台①定义要点：用一个______________________的平面去截棱锥，________与________之间的部分．②相关概念：上底面：原棱锥的________．下底面：原________的底面．侧棱：相邻的________的公共边．顶点：________与底面的公共顶点．③记法：如三棱台ABC－A1B1C1.④分类及特殊棱台：(ⅰ)按底面多边形的边数分，有____________________、________________、________________、……，(ⅱ)正棱台：由________________截得的棱台．类型一旋转体的概念例1 下列命题正确的是________．(填序号)①以直角三角形的一边所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰所在直线为旋转轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的几何体是圆锥；⑤半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球；⑥用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面．反思与感悟(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．跟踪训练1 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球心与球面上任意一点的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1C．2 D．3类型二多面体及其简单应用例2 (1)下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，说明理由．(提示：可以证明BC綊MN)引申探究若用一个平面去截本例(2)中的四棱柱，能截出三棱锥吗？反思与感悟(1)棱柱的识别方法①两个面互相平行．②其余各面都是四边形．③每相邻两个四边形的公共边都互相平行．(2)棱锥的识别方法①有一个面是多边形．②其余各面都是有一个公共顶点的三角形．③棱锥仅有一个顶点，它是各侧面的公共顶点．④对几类特殊棱锥的认识(ⅰ)三棱锥是面数最少的多面体，又称四面体．它的每一个面都可以作为底面．(ⅱ)各棱都相等的三棱锥称为正四面体．(ⅲ)正棱锥有以下性质：侧面是全等的等腰三角形，顶点与底面正多边形中心的连线与底面垂直．(3)棱台的识别方法①上、下底面互相平行．②各侧棱延长交于一点．跟踪训练2 下列说法正确的是( )A．有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台B．两底面平行，并且各侧棱也互相平行的几何体是棱柱C．棱锥的侧面可以是四边形D．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面1．下列几何体中棱柱有( )A．5个B．4个C．3个D．2个2．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台3．下面有关棱台说法中，正确的是( )A．上下两个底面平行且是相似四边形的几何体是四棱台B．棱台的所有侧面都是梯形C．棱台的侧棱长必相等D．棱台的上下底面可能不是相似图形4．等腰三角形ABC绕底边上的中线AD所在的直线旋转一周所得的几何体是( ) A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球5．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的母线长为________．1．圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．棱柱、棱锥、棱台定义的关注点(1)棱柱的定义有以下两个要点，缺一不可：①有两个平面(底面)互相平行；②其余各面(侧面)每相邻两个面的公共边(侧棱)都互相平行．(2)棱锥的定义有以下两个要点，缺一不可：①有一个面(底面)是多边形；②其余各面(侧面)是有一个公共顶点的三角形．(3)用一水平平面截棱锥可得到棱台．答案精析问题导学知识点一思考1 两平面无公共点．思考2 直线和平面内的任何一条直线都垂直．梳理(1)无公共点(2)任何一条直线知识点二平面曲线旋转面旋转体平面多边形多面体知识点三思考1 不是．以直角三角形的一条直角边所在的直线为轴旋转180°所得的旋转体是圆锥的一半，不是整个圆锥．思考2 用平行于圆锥底面的平面截去一个圆锥可以得到．梳理半圆的直径曲面圆心球面球心矩形的一边曲面一条直角边曲面垂直于底边的腰曲面旋转轴旋转轴圆面不垂直于旋转轴不垂直于旋转轴知识点四思考(1)五棱柱；(2)四棱锥；(3)三棱台．梳理(1)①(ⅰ)互相平行(ⅱ)四边形(ⅲ)互相平行②互相平行两个侧面侧面④(ⅰ)三棱柱四棱柱五棱柱(ⅱ)垂直(ⅲ)正多边形(2)①(ⅰ)多边形(ⅲ)公共顶点②多边形三角形侧面侧面④(ⅰ)三棱锥四棱锥五棱锥(ⅱ)正多边形全等(3)①平行于棱锥底面底面截面②截面棱锥侧面侧面④(ⅰ)三棱台四棱台五棱台(ⅱ)正棱锥题型探究例1 ④⑤⑥解析①以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转一周可得到圆台；③它们的底面为圆面；④⑤⑥正确．跟踪训练1 C例2 3解析①中两个四棱柱放在一起，如下图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错；②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确；根据棱锥的概念知，③正确；根据棱台的概念知，④正确；棱柱的底面可以是三角形，故⑤错．正确的个数为3.(2)解①长方体是棱柱，是四棱柱．因为它有两个平行的平面ABCD与A1B1C1D1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义．②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB1M与CC1N，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BB1M－CC1N；另一部分有两个平行的平面ABMA1与DCND1，其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱ABMA1－DCND1.引申探究解如图，几何体B－A1B1C1就是三棱锥．跟踪训练2 B [A中所有侧棱不一定交于一点，故A不正确；B正确；C中棱锥的侧面一定是三角形，故C不正确；D中棱柱的侧面也可能平行，故D不正确．]当堂训练1．D [由棱柱的定义知，①③为棱柱．]2．D [由旋转体的结构特征知，D正确．]3．B [由棱台的结构特征知，B正确．]4．B [中线AD⊥BC，左右两侧对称，旋转体为圆锥．]5．2解析如图所示，设等边三角形ABC为圆锥的轴截面，由题意知，圆锥的母线长即为△ABC的边长，且S△ABC＝34AB2，∴3＝34AB2，∴AB＝2.故答案为2.。

1.7简单几何体的面积和体积学情分析学生在初中虽然已经接触过简单的空间几何体的概念，也掌握了一些简单平面图形的面积计算，但学生尚缺乏空间想象能力以及知识的迁移与类比能力.教学方法教师启发讲授，学生探究学习。

学生在初中虽然已经接触过简单的空间几何体的概念，但学生尚缺乏空间想象能力以及知识的迁移与类比能力，因此，在教学中我将采用引导教学法，借助多媒体和实物展示再现柱、锥、台的侧面展开过程，一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，和学生一起探究知识的形成过程，也便于知识的理解、记忆和迁移。

教学过程活动1【导入】创设情境情景导入：已知ABB1A1是圆柱的轴截面，AA1＝a，AB＝b，P是BB1的中点,一只小虫沿圆柱的侧面从A1爬到P，如何求小虫爬过的最短路程？要解决这个问题需要将圆柱的侧面展开，本节我们将借助几何体的侧面展开图来研究几何体的表面积．活动2【活动】探究探究点1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积思考1：在初中我们已经学过了正方体和长方体的表面积，长方体的表面积与其平面展开图的面积有怎样的关系呢？长方体的表面积就是其展开图的面积之和。

那么柱锥台的表面积是否也有这样的关系？思考2:把圆柱的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开图与原图有什么关系？如果圆柱的底面半径为r，母线为l，那么它的表面积如何求？展开图的长方形的面积等于圆柱的侧面积。

思考3:把圆锥的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？如果圆锥的底面半径为r，母线为l，那么它的表面积如何求？思考4:把圆台的侧面沿着一条母线展开，得到什么图形?展开的图形与原图有什么关系？如果圆台的上、下底面半径分别为r1、r2，母线为l，那么它的表面积如何求？思考5：将圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式进行比较，你能发现它们的联系和区别吗？（类比方法思考圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的转化与联系）学生活动：（讨论交流回答问题）思考1、思考2、思考3、思考4分别是柱、锥、台的侧面展开图与侧面面积的关系推导,借此学生可以尝试解决情境导入的实际问题.思考5引导学生抓住各个公式的结构特征及公式间的联系去理解、记忆、应用公式.【练习】练习应用探究应用：例1.一个圆柱形的锅炉，底面直径,高，求锅炉的表面积（保留2个有效数字）.分析：圆柱表面积与侧面积的关系.例2圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm,它的侧面展开图的扇环的圆心角是180°，那么圆台的侧面积是多少？（结果中保留）探究点2.直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积思考：把直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面分别沿着一条侧棱展开，分别得到什么图形？侧面积是多少？分析：类比圆柱、圆锥、圆台！课堂训练：1.将边长为1的正方形以其一边所在的直线为旋转轴旋转一周,所得几何体的侧面积是()A.4πB.8πC.2πD.π2.圆锥底面半径为6,高是6，中截面把圆锥截成一个小圆锥和一个圆台，则圆台的侧面积为______.课堂小结：1.基本内容：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是、、；S圆柱侧＝，S圆锥侧＝，S圆台侧＝.2.思想方法：1.让学生经历几何体的侧面展开过程，体会空间问题平面化的思想。

教学准备1. 教学目标外心：三角形外接圆圆心，中垂线交点，到三顶点距离相等内心：三角形内切圆圆心，角平分线交点，到三边距离相等重心：三角形中线交点垂心：三角形高线交点2. 教学重点/难点外心：三角形外接圆圆心，中垂线交点，到三顶点距离相等内心：三角形内切圆圆心，角平分线交点，到三边距离相等重心：三角形中线交点垂心：三角形高线交点3. 教学用具4. 标签教学过程知识提要复习见导引注：1、外心：三角形外接圆圆心，中垂线交点，到三顶点距离相等内心：三角形内切圆圆心，角平分线交点，到三边距离相等重心：三角形中线交点垂心：三角形高线交点典例解读1 如图所示，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、P分别为A1B1、BB1、CC1的中点，(1)求D1P与AM，CN与AM所成的角(2)判断D1P与AN是否为异面直线？若是，求其距离2 如图,四面体ABCS中,SA、SB、SC两两垂直,∠SBA=45°,∠SBC=60°,M为AB 的中点，求(1) BC与平面SAB所成的角。

(2) SC与平面ABC所成角的正弦值。

3 如图,在矩形ABCD中,AB= ，BC=3，沿对角线BD将△BCD折起，使点C移到C’点，且C’点在平面ABD上的射影O恰在AB上，(1)求证：BC’⊥平面AC’D。

(2)求点A到平面BC’D的距离。

(3) 求直线AB与平面BC’D所成角的大小。

4 已知ABCD是矩形，P是矩形所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB，PC中点，(1)求证：MN //平面PAD。

(2)当MN⊥面PCD时,求二面角P-CD-B的大小。

5在各棱长均为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，M为CC1的中点，求截面AB1M与底面所成角的大小。

北师大版高中必修2第一章立体几何初步教学设计一、教学目标1.了解立体图形的概念和分类2.掌握正方体、长方体、正四面体、正六面体、圆锥、圆柱的定义、性质及计算方法3.能够分析物体的表面积和体积，并解决实际问题4.培养学生观察能力、空间想象力和动手能力二、教学重难点1.立体图形的分类和定义2.正方体、长方体、正四面体、正六面体的特征和计算方法3.圆锥、圆柱特征的分析和计算方法4.能够解决实际问题所需的计算方法5.培养学生观察能力、空间想象力和动手能力三、教学内容和方法第一节：立体图形的概念和分类教学内容：1.立体图形的概念2.立体图形的分类教学方法：通过展示大量立体图形模型，引导学生了解立体图形的概念和分类方式，鼓励学生自己制作简单的模型，并在课堂上展示第二节：正方体、长方体、正四面体、正六面体的定义和特征教学内容：1.正方体、长方体、正四面体、正六面体的定义及特征2.正方体、长方体、正四面体、正六面体的表面积和体积的计算方法和公式教学方法：通过图形展示和制作模型的方式，直观的展示正方体、长方体、正四面体、正六面体的特征和计算方法，并通过问题引导学生思考和解决实际问题第三节：圆锥、圆柱的特征和计算方法教学内容：1.圆锥、圆柱的定义和特征2.圆锥、圆柱的表面积和体积的计算方法和公式教学方法：通过制作模型和问题引导的方式，实现圆锥、圆柱的定义和计算方法的展示和实际运用，让学生更好地理解和记忆相关知识四、教学评价和反思教学评价：在教学过程中，通过多种展示和问题引导的方式，学生对立体图形的概念和分类方式、各种图形的特征以及表面积和体积的计算方法，有了较深入的了解和掌握，学生在制作和计算过程中，培养了观察能力、空间想象力和动手能力。

反思：在教学过程中，可以利用电子媒介和互动交流的方式，更好地展示和指导学生的学习和实践，增加教学的趣味性和实用性。

同时要着力培养学生的创新意识，鼓励学生运用所学知识去解决实际问题，提升学生综合运用能力。

§1 简单几何体
1．1简单旋转体
1．2简单多面体
【问题导思】
观察下列图形
思考它们有什么共同特点？是怎样形成的？
【提示】共同特点：组成它们的面不全是平面图形．可以由平面图形旋转而成．
1．旋转体的定义：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
2．圆柱、圆锥、圆台的概念及比较
【问题导思】 观察下列图形
思考它们有什么共同特征？
【提示】 组成几何体的每个面都是平面多边形． 1．多面体的定义
把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体．2．棱柱、棱锥、棱台的结构特征
一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°得到什么图形？旋转360°又得到什么图形？
【思路探究】解答本题可先分析各种可能的旋转轴，然后根据旋转体的有关概念及空间想象能力进行判断．
【自主解答】图(1)、(2)旋转一周得到的几何体是圆锥；
图(3)旋转一周所得几何体是两个圆锥拼接而成的几何体；
图(4)旋转180°是两个半圆锥的组合体，旋转360°，旋转轴左侧的直角三角形旋转得到的圆锥隐藏于右侧直角三角形旋转得到的圆锥内．
1．平面图形的旋转问题一方面要观察平面图形的形状，另一方面要注意旋转轴的位置．
2．线段绕轴旋转一周后形成图形的意义
(1)垂直于旋转轴且与旋转轴有交点的线段旋转所得的图形是圆面；(2)垂直于旋转轴但与旋转轴没有交点的线段旋转所得的图形是圆环面；(3)不垂直。

第1课时简单旋转体[核心必知]几种简单旋转体[问题思考]1．铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．2．圆台的母线一定交于一点吗？提示：圆台可以看作用平行于底面的平面去截圆锥得到的．因此圆台的母线一定交于一点．3．你能说出圆柱、圆锥、圆台之间的关系吗？提示：圆柱、圆锥、圆台的形状不同，它们之间既有区别又有联系，并且在一定条件下可以相互转化．当圆台的下底面保持不变，而上底面越来越大时，圆台就越来越接近于圆柱，当上底面增大到与下底面相同时，圆台转化为圆柱，当圆台的上底面越来越小时，圆台就越来越接近于圆锥，当上底面收缩为一个点时，圆台就转化为圆锥了．讲一讲1．下列叙述正确的个数是( )①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球．A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 解析：选A ①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图1，故①错；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图2，故②错；③半圆面绕其直径所在直线旋转一周形成球，故③错．对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．练一练1．下列命题正确的是( )A．过圆锥侧面上一点有无数条母线B．在圆锥的侧面上画出的线段只能是曲线段不能是直线段C．圆台的母线有无数条，它们都互相平行D．以一个等腰梯形上、下底的中点的连线为旋转轴，将各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆台解析：选D A不正确，当该点不在顶点处时，只有一条母线；B不正确，因为所有母线都是直线段；C不正确，因为所有母线延长后相交于一点；D正确，符合圆台的结构特征.讲一讲2．如图，请描述(1)，(2)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体及曲面．[尝试解答] 解：(1)旋转形成的几何体是一个圆环，形成的曲面是一个封闭的圆环曲面，形如自行车的轮胎．(2)旋转形成的几何体是一个球，形成的曲面是一个球面．(1)判断平面图形旋转后立体图形的形状，应根据平面图形的特点判断．(2)由立体图形判断几何体是由什么样的平面图形旋转而成的，关键是看该立体图形是由哪些简单几何体构成的，然后通过轴截面的形状作出判断．练一练2．若将例题中图形改为如图所示，形成的几何体又是怎样的呢？解：旋转而成的几何体如图所示．用一个平面去截圆柱，截面是什么图形？[错解] 截面是圆．[错因] 本题错解原因有两个：一是截面与底面的位置关系考虑不全面；二是没有真正把握圆柱是一种几何体，而几何体是封闭的实体．[正解] 如图所示，截面是圆面或者是椭圆面(或椭圆面的一部分)或者是矩形面．1．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是( )A．①② B．②③C．①③ D．②④解析：选D 依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．2．截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱 B．圆锥C．球 D．圆台解析：选C 由球的性质可知，用平面截球所得的截面都是圆面．3．有下列三个命题：①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；②圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；③圆锥的轴截面是等腰三角形．其中错误命题的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选C ①将矩形的一边作为旋转轴旋转一周得到的几何体是圆柱．②圆台的两条母线的延长线必相交，故①②错误，③是正确的．4．过球面上两点可能作出的球的大圆有____________．解析：若两个点与圆心不共线，则有且只有1个，若两个点与圆心共线，则有无数个．答案：一个或无数个5．平行于圆锥的底面的平面截这个圆锥所得的截面是________．答案：圆面6．如图所示几何体可看作由什么图形旋转360°得到？画出平面图形和旋转轴．解：先画出几何体的轴，然后再观察寻找平面图形．旋转前的平面图形如下：一、选择题1．给出以下说法：①圆台的上底面缩小为一点时(下底面不变)，圆台就变成了圆锥；②球面就是球；③过空间四点总能作一个球．其中正确说法的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3解析：选B 根据圆锥和圆台的形状之间的联系可知①正确；球面是曲面，球是球体的简称，是实心的几何体，故②不正确；当空间四点在同一条直线上时，过这四点不能作球，故③不正确．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成( )A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥解析：选D 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形、由旋转体的定义可知所得几何体．3．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )解析：选A 图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．4．以下几何体中符合球的结构特征的是( )A．足球 B．篮球C．乒乓球 D．铅球解析：选D 因为球包括球面及球体内部(即实心)．而足球、篮球、乒乓球都是中空的，可视为球面，铅球是球体，符合球的结构特征．5．如图所示的几何体由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个竖直的平面去截这个几何体，则所截得的图形可能是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(1)(4)D ．(1)(5)解析：选D 轴截面为(1)，平行于圆锥轴截面的截面是(5)． 二、填空题6．直角三角形围绕其斜边所在的直线旋转得到的旋转体由________组成． 解析：所得旋转体如图，是由两个圆锥组成的．答案：两个圆锥 7．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体； ②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ③通过圆台侧面上一点，有无数条母线． 其中正确命题的序号是________．解析：①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)．②正确，如图(2)．③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．答案：②8．圆台两底面半径分别是2 cm 和5 cm ，母线长是310 cm ，则它的轴截面的面积是______．解析：画出轴截面，如图，过A 作AM ⊥BC 于M ，则BM ＝5－2＝3(cm)，AM ＝AB 2－BM 2＝9(cm)，∴S 四边形ABCD ＝＋2＝63(cm 2)．答案：63 cm2三、解答题9．如图，将曲边图形ABCDE绕AE所在的直线旋转一周，由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的？其中CD∥AE，曲边DE为四分之一圆周且圆心在AE上．解：将直线段AB，BC，CD及曲线段DE分别绕AE所在的直线旋转，如下图中的左图所示，它们分别旋转得圆锥、圆台、圆柱以及半球．10．如图所示的四个几何体中，哪些是圆柱与圆锥，哪些不是，并指出圆柱与圆锥的结构名称．解：②是圆锥，圆面AOB是圆锥的底面，SO是圆锥的高．SA，SB是圆锥的母线．③是圆柱，圆面A′O′B′和圆面AOB分别为上、下底面．O′O为圆柱的高，A′A与B′B 为圆柱的母线．①不是圆柱，④不是圆锥．第2课时简单多面体[核心必知]1．简单多面体的定义把由若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．2．几种常见的简单多面体续表[问题思考]1．如图所示的几何体是不是锥体，为什么？提示：不是锥体．因为锥体的各侧棱必交于一点，而此物体不具备这一特征，所以不是锥体．2．“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体一定是棱锥吗？提示：棱锥有一个面是多边形，其余各面都是三角形．但是也要注意“有一个面是多边形，其余各面都是三角形”的几何体未必就是棱锥，如图所示的几何体满足各面都是三角形，但这个几何体不是棱锥．讲一讲1．给出下列几个结论：①长方体一定是正四棱柱；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点；③多面体至少有四个面；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点．其中，错误的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3[尝试解答] 选B 对于①，长方体的底面不一定是正方形，故①错，②显然是正确的；对于③，一个图形要成为空间几何体，至少需有四个顶点．当有四个顶点时，易知它可围成四个面，因而一个多面体至少应有四个面，而且这样的面必是三角形，故③是正确的；对于④，棱台的侧棱所在的直线就是截得原棱锥的侧棱所在的直线，而棱锥的侧棱都有一个公共的点，即棱锥的顶点，于是棱台的侧棱所在的直线均相交于同一点，故④是正确的．认识、判断一个几何体的结构特征，主要从它的侧面、侧棱、底面等角度描述，因此只有理解并掌握好各几何体的概念，才能认清其属性．练一练1．下列命题中正确的是( )A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C．一个棱柱至少有五个面、六个顶点、九条棱D．棱柱的侧棱长有的都相等，有的不都相等解析：选C A、B都不能保证侧棱平行这个结构特征，对于D，由棱柱的结构特征知侧棱都相等，一个最简单的棱柱是三棱柱，有五个面、六个顶点、九条棱．讲一讲2.如图几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面．[尝试解答] ∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，∴这个几何体不是棱柱．在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE＝2；在BB1上取点F，使BF＝2；连接C1E，EF，C1F，则过点C1，E，F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC­EFC1，其侧棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1­EA1B1F，如图．认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它的面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它符合哪种几何体的结构特征或是由哪些几何体组合而成的几何体，并能用适当的平面将其分割开．练一练2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )A．棱柱B．棱台C．棱柱与棱锥组合体D．不能确定解析：选A 将过固定的一边的两端点的互相平行的两个侧面作为棱柱的底面，其他面作为棱柱的侧面来看待，正好符合棱柱的结构特征．3.如图是一个矩形的游泳池，池底为一斜面，装满水后形成的几何体可由哪些简单几何体组成？解：该几何体可由一个长方体补上一个三棱柱得到(如图①)；也可以由长方体切割去一个三棱柱得到(如图②)．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，由这些面围成的几何体是棱柱吗？[错解] 因为棱柱的两个底面平行，其余各面都是平行四边形，所以所围成的几何体是棱柱．[错因] 棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱．显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．定义都是非常严格的，只要不满足所有的条件就会有特殊的例子出现．这提醒我们必须严格按照定义判定．[正解] 满足题目条件的几何体不一定是棱柱，如图所示．1．下列说法正确的有( )①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例(如下图所示)加以检验，故②③均不对．2．棱台不一定具有的性质是( )A．两底面相似 B．侧面都是梯形C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点解析：选C 只有正棱台的侧棱都相等．3．下列几何体中棱柱的个数为( )A．5 B．4 C．3 D．2解析：选D 由棱柱的定义及特征知①③为棱柱．4．用6根长度相等的木棒，最多可以搭成____________个三角形．解析：用三根木棒，摆成三角形，用另外3根木棒，分别从三角形的三个顶点向上搭起，搭成一个三棱锥，共有4个三角形．答案：45．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不正确的是________．①该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体；②该几何体有12条棱、6个顶点；③该几何体有8个面，并且各面均为三角形；④该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形．解析：用平面ABCD可将该几何体分割成两个四棱锥，因此它是这两个四棱锥的组合体，因而四边形ABCD是它的一个截面而不是一个面，故填④.答案：④6．如图所示为长方体ABCD­A′B′C′D′，E、F分别为棱A′B′、C′D′上的点，且B′E＝C′F，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？如果不是，请说明理由．解：截面BCFE上方部分是棱柱，为棱柱BEB′－CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，为棱柱ABEA′－DCFD′，其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．一、选择题1．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )A．四边形B．三角形C．三角形或四边形 D．不可能为四边形解析：选C 如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．2．若正棱锥的底面边长和侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥 B．四棱锥C．五棱锥 D．六棱锥解析：选D 解答本题要看所给的四种棱锥中能否使所有的棱长都相等．3．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个解析：选D 如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，取四棱锥A1­ABCD，则此四棱锥的四个侧面都是直角三角形．4．观察图中四个几何体，其中判断正确的是( )A．(1)是棱台 B．(2)是圆台C．(3)是棱锥 D．(4)不是棱柱解析：选C 图(1)不是由棱锥截来的，所以(1)不是棱台；图(2)上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4)是棱柱；很明显(3)是棱锥．5．有一个正三棱锥和一个正四棱锥，它们所有的棱长都相等，把这个正三棱锥的一个侧面重合在正四棱锥的一个侧面上，则所得到的这个组合体是( )A．底面为平行四边形的四棱柱B．五棱锥C．无平行平面的六面体D．斜三棱柱解析：选D 如图，正三棱锥A­BEF和正四棱锥B­CDEF的一个侧面重合后，面BCD和面AEF平行，其余各面都是四边形，故该组合体是斜三棱柱．二、填空题6．在正方体上任意选择四个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面是等腰直角三角形，有一个面是等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图所示，①显然可能；②不可能；③如四面体A′AB′D′满足条件；④如四面体A′BC′D满足条件；⑤如四面体A′ABC满足条件．答案：①③④⑤7．下列四个命题：(1)棱柱的两底面是全等的正多边形；(2)有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(3)有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱；(4)四棱柱的四条体对角线两两相等，则该四棱柱为直四棱柱．其中正确的序号是________．解析：(1)棱柱的两底面全等，但不一定是正多边形；(2)，(3)都不能保证侧棱与底面垂直；(4)易知对角面是长方形，侧棱与底面垂直，正确．答案：(4)8．用铁丝作一个三角形，在三个顶点分别固定一根筷子，把三根筷子的另一端也可用铁丝连成一个三角形，从而获得一个几何模型，如果筷子长度相等，那么这个几何体可能是____________．解析：在该模型中已知一面为三角形，则根据筷子的位置情况，判断即可．答案：三棱柱或三棱台三、解答题9．指出如图所示图形是由哪些简单几何体构成．解：分割原图，使它们每一部分都是简单几何体．(1)是一个三棱柱和一个四棱柱组成的几何体．(2)是一个圆锥和一个四棱柱组合而成的几何体．10．画一个三棱台，再把它分成：(1)一个三棱柱和另一个多面体；(2)三个三棱锥，并用字母表示．解：画三棱台一定要利用三棱锥．(1)如图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′­AB″C″.(2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′­ABC，B′­A′BC，C′­A′B′C.。

1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。

简单几何体知识网络简单几何体结构简图画龙点晴概念棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行由这些面所围成的几何体称为棱柱。

两个互相平行的面叫做棱柱的底面,其余各面叫做棱柱的侧面,两个侧面的公共边叫做棱柱的侧棱,侧面和底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.不在同一个平面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线,两个底面的距离叫做棱柱的高.棱柱的分类: 按侧棱与底面的关系,棱柱可分为:斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱.直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱.正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱.按底面的多边形的边数可分为: 底面是三角形、四边形、五边形……我们把这些棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……棱柱的表示法: 棱柱用表示底面各顶点的字母表示,或者用棱柱对角线的两个端点的字母表示,如五棱柱可表示为:棱柱ABCDE-A/B/C/D/E/,或棱柱AC/.棱柱的性质：(1)侧棱都相等,侧面都是平行四边形；(2)两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；(3)过不相邻的两条侧棱的截面（对角面）是平行四边形；直棱柱的性质: 直棱柱的侧棱长和高相等，侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形。

平行六面体: 底面是平行四边形的四棱柱叫做平行六面体.长方体: 底面是矩形的直平行六面体叫做长方体, 长方体的一条对角线长的平方和等于一个顶点上三条棱的长的平方和.正方体: 棱长都相等的长方体叫做正方体.公式棱柱的侧面积和全面积: 直棱柱的侧面积等于它的底面周长C与高h的乘积, 即ChS直棱柱,斜棱柱的侧面积等于它的直截面(垂直于侧棱并与每条侧棱都相交的截面)的周长C1与侧棱长l 的乘积,即l C S ⋅=1斜棱柱侧, 棱柱的全面积等于侧面积与两底面积的和.[活用实例][例1] 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=5，AD=4，AA1=3，AB ⊥AD ，∠A1AB=∠A1AD=3π，(1)求证:顶点A1在底面ABCD 的射影O 在∠BAD 的平分线上;(2)求这个平行六面体的表面积.[题解](1) 如图,连结A1O,则A1O ⊥底面ABCD.作OM ⊥AB 交AB 于M,作ON ⊥AD 交AD 于N,连结A1M,A1N.由三垂线定理得A1M ⊥AB,A1N ⊥AD.∵ ∠A1AM=∠A1AN,∴ Rt △A1NA ≌Rt △A1MA.∴ A1M=A1N.∴ OM=ON. ∴ 点O 在∠BAD 的平分线上. (2),232133cos 1=⨯==πAA AM 23=∴AN ,∴侧面AB1和侧面DC1的面积都等于423⨯=6,侧面AD1和侧面BC1的面积都等于523⨯=7.5,又AB ⊥AD ，∴两底面面积都等于45⨯=20，∴平行六面体的表面积为2（6+7.5）+20=47.[例2] 如图,A1B1C1-ABC 是直三棱柱,过点A1、B 、C1的平面和平面ABC 的交线记作l .(1)判定直线A1C1和l 的位置关系,并加以证明;(2)若A1A=1,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,求顶点到直线l 的距离.[题解](1)根据棱柱的定义知平面A1B1C1和平面ABC 平行.由题设知直线A1C1=平面A1B1C1∩平面A1BC1,直线l =平面A1BC1∩平面ABC. 根据两平面平行的性质定理有l ∥A1C1.(2)解法一:过点A1作A1E ⊥l 于E,则A1E 的长为点A1到l 的距离.连结AE.由直棱柱的定义知A1A ⊥平面ABC.∴ 直线AE 是直线A1E 在平面ABC 上的射影.又 l 在平面ABC 上,根据三垂线定理的逆定理有AE ⊥l .由棱柱的定义知A1C1∥AC,又l ∥A1C1,∴ l ∥AC.作BD ⊥AC 于D,则BD 是Rt △ABC 斜边AC 上的高,且BD=AE,从而AE=BD=.512534=⨯=⨯AC BC AB 在Rt △A1AE 中,∵ A1A=1,∠A1AE=90°,.5131)512(22121=+=+=∴A A AE E A 故点A1到直线l 的距离为513.解法二:同解法一得l ∥AC.由平行直线的性质定理知∠CAB=∠ABE,从而有Rt △ABC ∽Rt △BEA,AE:BC=AB:AC, AC AB BC AE ⨯=∴ , 以下同解法一.[例3] 如图,已知A1B1C1-ABC 是正三棱柱,D 是AC 中点.(1)证明AB1∥平面DBC1;(2)假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.[题解](1)∵A1B1C1-ABC 是正三棱柱, ∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C 交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.在△AB1C 中,∵AD=DC,∴DE ∥AB1.又⊄1AB 平面DBC1, DE ⊂平面DBC1, ∴AB1∥平面DBC1.(2)作DF ⊥BC,垂足为F,则DF ⊥面B1BCC1,连结EF,则EF 是ED 在平面B1BCC1上的射影. ∵AB1⊥BC1,由(1)知AB1∥DE,∴DE ⊥BC1,则BC1⊥EF,∴∠DEF 是二面角α的平面角.设AC=1, 则DC=.21∵△ABC 是正三角形,∴在Rt △DCF 中,,43sin =⋅=C DC DF CF=.41cos =⋅C DC 取BC 中点G.∵EB=EC,∴EG ⊥BC. 在Rt △BEF 中,AC=1,,2GF BF EF ⋅= 又BF=BC-FC=43, GF=41, 16341432=⋅=∴EF , 即EF=43..14343tan ===∠∴EF DF DEF∴∠DEF=45°. 故二面角α为45°.概念棱锥：有一个面是多边形、其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥.这个多边形叫做棱锥的底面,其余各面叫做棱锥的侧面,相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱,各侧面的公共点叫做棱锥的顶点,顶点到底面的距离叫做棱锥的高.棱锥的分类: 按底面多边形的边数,棱锥可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……棱锥的表示法: 棱锥用表示顶点和底面各顶点,或者底面一条对角线端点的字母来表示. 例如,棱锥S-ABCDE,或棱锥S-AC.正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面上的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱锥. 正棱锥的性质：(1)各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；(2)棱锥的高、斜高及斜高在底面上的射影（底面的边心距）组成一个直角三角形，这个直角角三角形的一个锐角是侧面与底面的夹角；(3)棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影（底面正多边形外接圆半径）也组成一个直角三角形，这个直角三角形的一个锐角是侧棱与底面的夹角。

第一节简单几何体、直观图和三视图【学习目标】1.考查柱、锥、台、球体及简单组合体的结构特征，多以选择题或填空题的形式出现，一般难度较低．2．三视图及直观图的画法是本节的重点，也是高考的热点，一般在选择题或填空题中考查．在整个复习过程中，要把握好以下两点：一、充分借助于定义，辨析空间几何体的不同结构；二、熟练掌握不同视图之间边的大小关系，顺利实现实物图和直观图之间的互换. 【第1课时】一．预习案1.多面体的结构特征(1)棱柱的侧棱都，上下底面是的多边形．(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个的三角形．(3)棱台可由的平面截棱锥得到，其上下底面是多边形2．旋转体的结构特征(1)圆柱可以由矩形绕旋转一周得到．(2)圆锥可以由直角三角形绕旋转一周得到．(3)圆台可以由直角梯形绕或等腰梯形绕旋转一周得到，也可由的平面截圆锥得到．(4)球可以由半圆或圆绕旋转一周得到．基础自测1.以下命题正确的是( )A．直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台2. [2012·山东济宁]下列四个几何体中，每个几何体的三视图中有且仅有两个视图相同的是( )A．①②B．①③C．③④D．②④二．探究、合作、展示例1下列命题中正确的是( )A ．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C ．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥D ．棱台各侧棱的延长线交于一点[互动训练1] 说出如下图中几何体的结构特征．例2[2011·湖南改编]如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为__________，体积为__________．[互动训练2] [2012·广东一模]一空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为12π＋853，则正视图与侧视图中x 的值为 ( ) A. 5B. 4C. 3D. 2三．当堂检测案1. 下列说法正确的是( )A ．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B ．梯形的直观图可能是平行四边形C ．矩形的直观图可能是梯形D ．正方形的直观图可能是平行四边形2. [2012·北京海淀一模]一个锥体的主视图和左视图如图所示，下面选项中，不可能．．．是．该锥体的俯视图的是( )3．已知某一几何体的正视图与侧视图如图所示，则在下列图形中，可以是该几何体的俯视图的图形有( )A ．①②③⑤B ．②③④⑤C ．①②④⑤D ．①②③④4. [2012·湖南联考]若一几何体的正视图与侧视图均为边长是1的正方形，且其体积为45，则该几何体的俯视图可以是( )5. 如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的图像可能是 ( )6. [2011·辽宁]一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是__________．7如图，点O为正方体ABCD－A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F 为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是________(填出所有可能的序号)．8从一个底面半径和高都是R的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到如右图所示的几何体，如果用一个与圆柱下底面距离等于l并且平行于底面的平面去截它，求所得截面的面积．【第2课时】一．预习案1空间几何体的三视图(1)三视图的名称几何体的三视图有：、、．(2)三视图的画法①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的方、方、方观察几何体画出的轮廓线．2空间几何体的直观图空间几何体的直观图常用画法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中平行于x′轴、y′轴．已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度，平行于y轴的线段，长度变为．基础自测1、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是( )A ．圆锥B ．正四棱锥C ．正三棱锥D ．正三棱台2、已知正三角形ABC 的边长为a ，则△ABC 的水平放置直观图△A ′B ′C ′的面积为________．3、 如图①所示的直三棱柱的侧棱长和底面边长均为2，正视图和俯视图如图②③所示，则其侧视图的面积为__________二．探究、合作、展示例1、一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为( )A. 14＋24B. 2＋22C. 14＋22 D. 12＋ 2 例2、(1)[2011·山东]右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是( )A. 3B. 2C. 1D. 0(2)[2011·浙江]若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )三．当堂检测案1、[2012·广东一模]已知△ABC 的斜二测直观图是边长为2的等边△A 1B 1C 1，那么原△ABC 的面积为( )A. 2 3B. 3C. 2 6D. 62、如图是某几何体的三视图(单位：cm)．(1)画出这个几何体的直观图(不要求写画法)；(2)求这个几何体的表面积及体积．3、直三棱柱A1B1C1－ABC的三视图如下图所示，D，E分别是棱CC1和棱B1C1的中点，求图中三棱锥E－ABD的侧视图的面积．。