小学奥数格点型面积精选例题练习习题(含知识点拨)

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)3994399439943994图1 图2 图3【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)30203040【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD 是由一个长方形ABCD 及一个正方形CEFG 拼成的，线段的长度如图所示(单位：厘米)，求ABEFGD 的周长和面积．10104GF ED CB AGH F ED CB A41010【巩固】求图中五边形的面积．例题精讲4-2-6.不规则图形的面积6453【例 2】这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘米．问，此楼梯截面的面积是多少？【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？【例 3】有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是多少？【例 4】有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖住的桌面的面积是多少平方厘米？【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.FBA【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2米的正方形区域，他从图中的A 点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B 点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？BA 1米1米【例 7】 右图中甲的面积比乙的面积大__________平方厘米．6厘米8厘米4厘米【例 8】 右图中，矩形ABCD 的边AB 为4厘米，BC 为6厘米，三角形ABF 比三角形EDF 的面积大9平方厘米，求ED 的长．AB CDE F【巩固】如图所示，4CA AB ==厘米，ABE △比CDE △的面积小2平方厘米，求CD 的长为多少厘米？ABE C D【巩固】如图，平行四边形ABCD 种，10BC cm =，直角三角形ECB 的边8EC cm =，已知阴影部分的总面积比三角形EFG 的面积大210cm ，求平行四边形ABCD 的面积．G FEDCBA【例 9】 如图，ABCD 是74⨯的长方形，DEFG 是102⨯的长方形，求BCO 与EFO 的面积差．O B C D GFE A【例 10】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？680平方米2720平方米60【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？2【例 11】 一块长方形铁板，长15分米，宽12分米，如果长和宽各减少2分米，面积比原来减少多少平方分米？【例 12】 一个长方形，如果长减少5厘米，宽减少2厘米，那么面积就减少66平方厘米，这时剩下的部分恰好成为一个正方形，求原来长方形的面积？【巩固】一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如图)，得到的正方形面积比原长方形面积少231cm．求原长方形纸片的面积．52【巩固】一个正方形，如果把它的相邻两边都增加6厘米，就可以得到一个新正方形，新正方形的面积比原正方形大120平方厘米．求原正方形的面积？66【例 13】一块正方形的钢板，先截去一个宽5分米的长方形，又截去一个宽8分米的长方形(如图)，面积就比原来正方形减少181平方分米．原正方形的边长是多少分米？85【巩固】一张长方形纸片，先把长剪去8厘米，这时面积减少了72平方厘米，又把宽剪去5厘米，这时面积又减少了60平方厘米，原来这张长方形纸片的面积是多少平方厘米？5【巩固】如右图所示，在一个正方形上先截去宽11分米的长方形，再截去宽7分米的长方形，所得图形的面积比原正方形减少301平方分米．原正方形的边长是______分米．11【例 14】如图长方形被分成两部分，已知阴影面积比空白部分面积大34平方厘米，求阴影部分的面积．10cm【例 15】一张长方形纸片，把它的右上角往下折叠(如图甲)，阴影部分面积占原纸片面积的27；再把左下角往上折叠(如图乙)，乙图中阴影部分面积占原纸片面积的________(答案用分数表示)．【巩固】折叠后，原平行四边形面积是折叠后图形面积的1.5倍．已知阴影部分面积之和为1，则重叠部分(即空白部分)的面积是多少？【巩固】如图，一张长方形纸片，长7厘米，宽5厘米．把它的右上角往下折叠，再把左下角往上折叠，未盖住的阴影部分的面积是多少平方厘米？5【例 16】如图，大正方形的边长为10厘米．连接大正方形的各边中点得小正方形，将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【例 17】如图所示，直角三角形中有一个长方形，求长方形的面积？44 4【例 18】一个边长为20厘米的正方形，依次连接四边中点得到第二个正方形，这样继续下去可得到第三个、第四个、第五个正方形．求第五个正方形的面积？【巩固】如图是由5个大小不同的正方形叠放而成的，如果最小的正方形(阴影部分)的周长是8，那么最大的正方形的边长是．第6题【巩固】图中有6个正方形，较小的正方形都由较大的正方形的4边中点连接而成．已知最大的正方形的边长为16厘米，那么最小的正方形的面积等于多少平方厘米？【例 19】已知图中大正方形的面积是22平方厘米，小正方形面积是多少平方厘米？【巩固】如图所示，外侧大正方形的边长是10cm，在里面画两条对角线、一个圆、两个正方形，阴影的总面积为226cm，最小的正方形的边长为多少厘米？【例 20】有一个边长为16厘米的正方形，连接每边的中点构成第二个正方形，再连接每边的中点构成第三个正方形，第四个正方形．求图中阴影部分的面积？【例 21】如图，边长为10的正方形中有一等宽的十字，其面积(阴影部分)为36，则十字中央的小正方形面积为．第2题【例 22】下图大小两个正方形有一部分重合，两块没有重合的阴影部分面积相差是多少？(单位：厘米)6【巩固】如图所示，四个相叠的正方形，边长分别是5、7、9、11.问灰色区与黑色区的面积的差是多少？【例 23】甲、乙、丙三个正方形，它们的边长分别是6、8、10厘米，乙的一个顶点在甲的中心上，丙的一个顶点在乙的中心上．这三个正方形的覆盖面积是多少平方厘米？108 6丙乙甲【巩固】将20张边长为10厘米的正方形纸片，按顺序一张一张地摆放在地板上，摆的时候，要求后摆的纸片必须有一个顶点与前一张的中心重合，且每一张只与其前一张和后一张有重合部分(右图表示已经摆好的5张)．地板被这20张纸片所覆盖部分的面积是多少？【例 24】有2个大小不同的正方形A和B．如下左图所示的那样，在将B正方形的对角线的交点与A正方形的一个顶点相重叠时，相重叠部分的面积为A正方形面积的19．求A与B的边长之比．如果当按下右图那样，将A和B反向重叠的话，所重叠部分的面积是B的几分之几？左图右图【例 25】有一个正方形水池(图中阴影部分)，在它的周围修一个宽是8米的草地，草地的面积为480平方米，求水池的边长？【巩固】一块长方形草坪(图中阴影部分)长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路．求草坪的面积是多少平方米？【例 26】如图所示，一个长方形广场的正中央有一个长方形的水池．水池长8米、宽3米．水池周围用边长为1米的方砖一圈一圈地向外铺．恰好铺了若干圈，共用了152块方砖，那么共铺了圈．水池【例 27】用四个相同的长方形拼成一个面积为2100cm的大正方形，每个长方形的周长是多少平方厘米？【巩固】如图所示，4个相同的长方形和一个小正方形拼成一个大的正方形，大正方形的面积是100平方分米，小正方形的面积是36平方分米，求一个小长方形的面积及周长．【例 28】四个完全相同的长方形拼成右图，大正方形的面积是l00平方分米，小正方形的面积是l6平方分米，求每个长方形的面积是多少？长方形的短边是多少分米？16【巩固】如图，4个相同的长方形和1个小正方形拼成一个大正方形，已知其中小正方形的面积为4平方厘米，大正方形的面积为400平方厘米，则其中长方形的长为厘米，宽厘米．第19题【例 29】街心花园里有一个正方形花坛，四周有一条宽1米的甬道(如图)，如果甬道的面积是12平方米，那么中间花坛的面积是多少平方米？1米【巩固】在一个正方形的小花园周围，环绕着宽5米的水池，水池面积为300平方米，那么正方形花园的面积是多少平方米？5【巩固】有大、小两个长方形(如图)，对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是216cm，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．BA【例 30】已知大正方形比小正方形边长多4厘米，大正方形面积比小正方形面积大96平方厘米．问大、小正方形面积各是多少？【巩固】两个正方形的面积相差29cm，边长相差1cm．求两个正方形的面积和．C BA【巩固】有一大一小两个正方形，它们的周长相差20厘米，面积相差55平方厘米．小正方形的面积是多少平方厘米？【例 31】在一个正方形中放入一个四个顶点与大正方形相接的一个小正方形(如图)，如果两个正方形的周长相差16厘米，面积相差96平方厘米，求小正方形的面积是多少平方厘米？(1)(2)【例 32】用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形，长方形纸片面积分别为44平方厘米与28平方厘米，原正方形纸片面积是多少平方厘米？【例 33】 计划修建一个正方形的花坛，并在花坛周围种上3米宽的草坪，草坪的面积为300平方米，那么修建这个花坛需要占地多少平方米？(2)(1)【巩固】有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1厘米，已知两个长方形之间部分的面积是16平方厘米，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积．【巩固】一块长方形的草坪(见图中阴影部分)，长是宽的2倍，它的四周围的总面积是34平方米的1米宽的小路，求草坪的总面积是多少平方米？AAB C C A BA【例 34】 一块正方形的苗圃(如右图实线所示)，若将它的边长各增加30米(如图虚线所示)，则面积增加9900平方米，问原来这块正方形苗圃的面积是多少平方米？3030【例 35】从一块正方形的玻璃板上锯下宽为0.5米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为5平方米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？50.5【巩固】从一个正方形的木板上锯下宽1m的一个长方形木条后，剩下的长方形面积为26m，问锯下的长方形木条面积是多少？【巩固】从一块正方形木板锯下宽为12米的一个木条以后，剩下的面积是6518平方米．问锯下的木条面积是多少平方米？【例 36】图中，甲、乙两个正方形的边长的和是20厘米，甲正方形比乙正方形的面积大40平方厘米．求乙正方形的面积．【例 37】 有一大一小两块正方形试验田，他们的周长相差40米，面积相差220平方米，那么小正方形试验田的面积是多少平方米？图a图b【例 38】 如图，边长是整数的四边形AFED 的面积是48平方厘米，FB 为8厘米．那么，正方形ABCD 的面积是 平方厘米．A BCDEF 488【例 39】 如图，一个正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是110平方米、15平方米、310平方米和25平方米．已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【例 40】 长方形ABCD 的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD 的面积是多少平方厘米？C 1D 1E 1A 1EBC DA【巩固】如图，长方形ABCD 的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD 的面积？A B C D IH G FEAB C D【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，这条手帕白色部分的面积是多少？【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１ 图2【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？24【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？【例 44】 如右图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状大小相同的长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．A614DCB【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分的总面积是多少平方厘米？【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A 和B 的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？ABA BCDE FGH【巩固】如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正方形(阴影部分)面积为281cm ，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？第2题【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图．1518141094781【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．51215A 51215【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问大矩形的面积是多少平方厘米？1230201636G FEDC B AS 3S 2S 11230201636G FEDC B A【巩固】阳阳用四块小长方形恰好拼成了一个大的长方形，如图所示．现在知道其中三块长方形的面积分别为48平方厘米、24平方厘米、30平方厘米，那么，阴影部分的面积是多少？302448【巩固】如图，矩形ABCD 被分割成9个小矩形．其中有5个小矩形的面积如图所示．矩形ABCD 的面积为 ．164221CB DA【例 49】 有红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个底面为正方形的盒内，它们之间相互叠合(见下图)．已知露在外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是14，绿色面积是10．求正方形盒底的面积．绿黄红绿黄红【例 50】 如图所示，在正方形ABCD 内，红色、绿色正方形的面积分别是48和12，且红、绿两个正方形有一个顶点重合．黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点．那么黄色正方形的面积是 ．DCBA绿黄红 312【巩固】如图所示，在正方形ABCD 中，红色，绿色正方形的面积分别是52和13，且红、绿两个正方形有一个顶点重合.黄色正方形的一个顶点位于红色正方形两条对角线的交点，另一个顶点位于绿色正方形两条对角线的交点，求黄色正方形面积.绿黄红D C BA【例 51】 如图，三个一样大小的正方形放在一个长方形的盒内，A 和B 是两个正方形的重叠部分，C 、D 、E是空出的部分，每一部分都是矩形，它们的面积比是A ：B ：C ：D ：E =1：2：3：4：5，那么这个长方形的长与宽之比是________．【例 52】 如图如果长方形的面积为56平方厘米，且2MD =厘米、3QC =厘米、5CP =厘米、6BN =厘米，那么请你求出四边形MNPQ 的面积是多少厘米？33NC PD M23566532MBPC N【巩固】长方形的广告牌长为10米，宽为8米，A ，B ，C ，D 分别在四条边上，并且C 比A 低5米，D 在B 的左边2米，四边形ABCD 的面积是 平方米．DCBADCBA【例 53】 直角三角形PQR 的直角边为5厘米，9厘米，问：图中三个正方形的面积之和比4个三角形的面积之和大多少？95QED P R FCBAN MH G A B CFR P DEQ 59【例 54】 如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH ，中间阴影为正方形．已知甲、乙、丙、丁四个长方形面积的和是232cm ，四边形ABCD 的面积是220cm ．⑴求正方形EFGH 的边长？⑵求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和？F E HGDCB A 丙乙丁甲ABC DG H E F hgfe d cba图1 图2 图3【例 55】 如图，平面上CDEF 是正方形，ABCD 是等腰梯形，它的上底23AD =厘米，下底35BC =厘米．求三角形ADE 的面积．FECB DAH 2H 1HADBCEF【例 56】 右图是由9个等边三角形拼成的六边形，已知中间最小的等边三角形的边长是1，问：这个六边形的周长是多少?【例 57】 把正三角形的每条边三等分，以各边的中间一段为边向外作小正三角形，得到一个六角形．再将这个六角形的六个”角”(即小正三角形)的两边三等分，又以它的中间段为边向外作更小的小正三角形，这样就得到如右图所示的图形．如果所作的最小的小正三角形的面积为1平方厘米，求如图中整个图形的面积．图a中中中大图b【例 58】 如图，长方形的面积是小于100的数．它的内部有三个边长是整数的正方形．正方形②的边长是长方形长的512，正方形①的边长是长方形宽的18．那么，图中阴影部分的面积是。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．例题精讲4-2-7.格点型面积【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【例6】“乡村小屋”的面积是多少？【例7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDC【例8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【例9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例13】将边长为正整数n的正方形平均分成2n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲格点型面积【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)3×2=6(个)3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个)1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例 2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；11⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；22以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：V 、V 、V ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】图形内部格点数9N=；图形边界上的格点数20L=；根据毕克定理，则1182LS N=+-=(单位面积)．【例 9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFEDCBA【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(L21)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有4，7，则用粗线围成图形的面积为：(4721)×1=6．5(平方厘米)方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．51+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（）大正方形的面积为219cm ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形的面积是54，2，2，求阴影四边形的面积．B PQFEDCB A【解析】 如图，将正六边形等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF V 面积3=，CDE V 面积9=，四边形面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形面积为542331-=．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形的面积．(b )(a )(c )(d )【解析】 方法一：如图(b )所示，在V 内连接相邻的三个点成V ，再连接、、后是V可看成是由V 分别延长、、边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACD S =V ，3AEB S =V ，4FBC S =V ，所以123410S =+++=V (面积单位)．方法二：如图(c )所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出V 的面积为10．方法三：如图(d )所示：作辅助线可知：平行四边形中有6个小正三角形，而V 的面积是平行四边形面积的一半，即3AEB S =V ，平行四边形中有4个小正三角形，而V 的面积是平行四边形面积的一半，即2ACD S =V ．平行四边形中有8个小正三角形，而V 的面积是平行四边形的一半，即：4FBC S =V ．所以123410S =+++=V (面积单位)．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算V 的面积．【解析】 因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 16】 求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【解析】⑴∵7=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N LN=，∴22277219L=；7⑵∵5S N L=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；N=，∴22285219L=；8⑶∵6=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N LL=；7N=，∴22276218⑷∵7=⨯+-=⨯+-=(面积单位)．S N LL=；8N=，∴22287221【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】图中有1357911131564÷=，+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯=．⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形的面积是多少平方厘米？【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(22)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有9，4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是平方分米．【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为294÷12162549⨯=200(平方分米)．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】如右图所示．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形的面积是6平方厘米．M是中点，N是中点，P是中点．问：三角形的面积是多少平方厘米？SRQABC DEFNM PPMFEDCBA【解析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形由9个小正三角形所组成，所以三角形的面积0.259 2.25=⨯=(平方厘米)．【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形的面积是平方厘米．【解析】ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米。

小学四年级奥数专项练习（七）格点与面积（一）填空题:1.下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位)。

2.下列多边形的面积是_________(面积单位)。

3.求右边多边形的面积,填在相应的括号里:a=（）b=（）4.用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?5.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?6.右图是由8个钉组成的不规则钉阵,我们依次给它们编号,分别为1,2,3,4,5,6,7,8。

这1,3,5;2,3,4;6,7,8分别在一条直线上,用皮筋去套这些钉,一共可以套出多少个三角形?（二）解答题1.下图中的正方形被分成9个相同的小正方形,它们一共有16个顶点(共同的顶点算一个),以其中不在一条直线上的3个点为顶点,可以构成三角形.在这些三角形中,与阴影三角形有同样大小面积的有多少个?2．下图中有A1 A2,…,A10共10个点,以这些点为顶点,可以画多少个不同的三角形?3．在圆周上任意给定6个点,在圆内再选4个点,使得以这10个点为顶点构成尽可能多的彼此不重叠的三角形。

这些三角形最多有多少个?格点与面积（一）填空题:1.下列的图形中,三角形的面积是_________(面积单位)。

答案：8。

解析：设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

2.下列多边形的面积是_________(面积单位)。

答案：36。

解析：可以分成一个长方形和三角形，设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

3.求下列多边形的面积,填在相应的括号里:a=（）b=（）答案：a=10+9÷2-1 b=30+15÷2-1=13.5 =36.5解析：设图形内的点为V,图形边上的点为L,则面积为L÷2-1+V。

板块一正方形格点问题在一张纸上, 先画出一些水平直线和一些竖直直线, 并使任意两条相邻的平行线的距离都相等 (通常规定是 1个单位 ,这样在纸上就形成了一个方格网,其中的每个交点就叫做一个格点.在方格网中,以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形,例如,右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形.那么,格点多边形的面积如何计算?它与格点数目有没有关系?如果有,这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧!用 N 表示多边形内部格点, L 表示多边形周界上的格点, S 表示多边形面积, 请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律:12LS N =+-.这个规律就是毕克定理.毕克定理若一个格点多边形内部有 N 个格点,它的边界上有 L 个格点, 则它的面积为 12LS N =+-. 例题精讲格点型面积【例 1】用 9个钉子钉成相互间隔为 1厘米的正方阵 (如右图 .如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形, 这样得到的三角形中, 面积等于 1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于 2平方厘米的三角形有多少个?【解析】面积等于 1平方厘米的三角形有 32个. 面积等于 2平方厘米的三角形有 8个.(1 面积等于 1平方厘米的分类统计如下:①②③底为 2,高为 1 底为 2,高为 1 底为 1,高为 2 3×2=6(个 3×2=6(个 3×2=6(个④⑤⑥底为 1,高为 2 底为 2,高为 1 底为 1,高为 2 3×2=6(个 2×2=4(个 2×2=4(个所以,面积等于 1平方厘米的三角形的个数有:6+6+6+6+4+4=32(个 . (2 面积等于 2平方厘米的分类统计如下:3×2=6(个 1×2=2(个所以,面积等于 2平方厘米的三角形的个数有:6+2=8(个 .【例 2】如图, 44⨯的方格纸上放了 16枚棋子,以棋子为顶点的正方形有个.【解析】根据正方形的大小,分类数正方形.共能组成五种大小不同的正方形(如右图 .11⨯的正方形:9个; 22⨯的正方形:4个; 33⨯的正方形:1个;以 11⨯正方形对角线为边长的正方形:4个;以 12⨯长方形对角线为边长的正方形:2个. 故可以组成 9414220++++=(个正方形.【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形?⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知,图形的边必须是直线段,顶点要在格点上!所以只有⑴是格点多边形.【例 4】如图,计算各个格点多边形的面积.【解析】本题所给的图形都是规则图形, 它们的面积运用公式直接可求, 只要判断出相应的有关数据就行了. 方法一:图⑴是正方形,边长是 4,所以面积是 4416⨯=(面积单位 ;图⑵是矩形,长是 5,宽是 3,所以面积是 5315⨯=(面积单位 ;图⑶是三角形,底是 5,高是 4,所以面积是 54210⨯÷=(面积单位 ;图⑷是平行四边形,底是 5,高是 3,所以面积是 5315⨯=(面积单位 ;图⑸是直角梯形,上底是 3,下底是 5,高是 3,所以面积是 353212+⨯÷=( (面积单位 ; 图⑹是梯形,上底是 3,下底是 6,高是 4,所以面积是 364218+⨯÷=( (面积单位 . 【巩固】如果两格点之间的距离是 2,能利用刚计算的结果说出相应面积么? (教师总结:面积数值均扩大 4倍.方法二:以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外,我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发,即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求.这一种方法很重要, 在下面的题目中我们还将使用这种方法!如图⑶,我们利用“扩展法”将其转化,如图所示,从图中易知三角形面积是长方形面积的一半.如图⑷,我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边,转化成一个长方形,从中易得平行四边形面积.同理,图⑸、⑹也可利用同样的思想.【例 5】如图 (a ,计算这个格点多边形的面积.【解析】方法一 (扩展法 .这是个三角形,虽然有三角形面积公式可用,但判断它的底和高却十分困难,只能另想别的办法:这个三角形是处在长是 6、宽是 4的矩形内,除此之外还有其他三个直角三角形, 如下右图 (b ,这三个直角三角形面积很容易求出,再用矩形面积减去这三个直角三角形面积,就是所要求的三角形面积.矩形面积是 6424⨯=;直角三角形Ⅰ的面积是:6226⨯÷=;直角三角形Ⅱ的面积是 :4224⨯÷=; 直角三角形Ⅲ面积是 4224⨯÷=; 所求三角形的面积是 2464410-++=( (面积单位 .方法二 (割补法 .将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形,如 (c 图.因此三角形的面积是:52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位 .【例 6】(“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题右图是一个方格网,计算阴影部分的面积.【解析】扩展法.把所求三角形扩展成正方形 ABCD 中.这个正方形中有四个三角形:一个是要求的 AEF ; 另外三个分别是:ABE 、 FEC 、 DAF ,它们都有一条边是水平放置的,易求它们的面积分别为 21.5cm , 22cm , 21.5cm .所以,图中阴影部分的面积为:331.5224⨯-⨯+=( (2cm .【例 7】分别计算图中两个格点多边形的面积.⑴⑵【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为 9面积单位.⑵的面积均为 10面积单位.【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢?” “格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢?”下面我们就来探讨一下!在巩固中,我们发现两个图形面积相等.进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是 8个;第二个图形边界上的格点数是 10个,包含在图形内的格点数也相等,都是 6个.【巩固】求下列各个格点多边形的面积.⑵⑴⑷⑶【解析】⑴∵ 12L =; 10N =,∴ 1211011522L S N =+-=+-=(面积单位 ; ⑵∵ 10L =; 16N =,∴ 1011612022L S N =+-=+-=(面积单位 ;⑶∵ 6L =; 12N =,∴ 611211422L S N =+-=+-=(面积单位 ;⑷∵ 10L =; 13N =,∴ 1011311722L S N =+-=+-=(面积单位 .用 N 表示多边形内部格点, L 表示多边形周界上的格点, S 表示多边形面积, 请同学们分析前几个例题的格点数.我们能发现如下规律:12LS N =+-.这个规律就是毕克定理.【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少?【解析】图形内部格点数 9N =;图形边界上的格点数 20L = ;根据毕克定理, 则1182LS N =+-=(单位面积 .【例 9】右图是一个 812⨯面积单位的图形.求矩形内的箭形 ABCDEFGH 的面积.毕克定理若一个格点多边形内部有 N 个格点,它的边界上有 L 个格点, 则它的面积为 12LS N =+-.FD B A【解析】箭形 ABCDEFGH 的面积 810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=( ( (面积单位 .【例 10】右图中每个小正方形的面积都是 1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?19.所以图形的面积为:54192162.5+÷-=(面积单位 .【巩固】如图,每一个小方格的面积都是 1平方厘米,那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米?【解析】方法一:正方形格点阵中多边形面积公式:(N +L2-1 ×单位正方形面积,其中 N 为图形内格点数, L 为图形周界上格点数.有 N =4, L =7,则用粗线围成图形的面积为:(4+72-1 ×1=6. 5(平方厘米方法二:如右上图,先求出粗实线外格点内的图形的面积,有①=3÷2=1. 5,② =2÷2=1,③=2÷2=1,④=2÷2=1,⑤=2÷2=l ,⑥=2÷2=1,还有三个小正方形, 所以粗实线外格点内的图形面积为 1. 5+l +1+1+1+1+3=9. 5,而整个格点阵所围成的图形的面积为 16,所以粗线围成的图形的面积为:16-9. 5=6. 5平方厘米.【例 11】(“小学数学奥林匹克”竞赛试题 55⨯的方格纸,小方格的面积是 1平方厘米,小方格的顶点称为格点.请你在图上选 7个格点,要求其中任意 3个格点都不在一条直线上,并且使这 7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么,所围图形的面积是平方厘米.【解析】为了使这 7个点围成最大的面积,这 7个点应尽量在正方形的边或顶点上,如图选取 7个点,围成面积最大.最大面积为 550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米 .【例 12】(“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在 7月 21日开幕, 下面的图形中, 每一个小方格的面积是 1, 那么 7、 2、 1三个数字所占的面积之和是多少?【解析】要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点． 7 所占的面积为：； 2 所占的面积为：； 1 所占的面积为：．所以，这三个数字所占的面积之和为：．【例 13】 (第六届“从小爱数学” 邀请赛试题两个边长相等的正方形各被分成 25 个大小相同的小方格．现 2 将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分 (块状面积为5.12cm ，右下角的阴影部分(线状面积为 7.4cm 2 ，求大正方形的面积．【解析】块状部分与线状部分之间的部分称为 D，则 D 与前者共 14 个方格，与后者共 17 个方格，因此每个 19 方格的面积是（）（）（cm2 ）25 大正方形的面积为 19cm2 ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题图中正六边形ABCDEF 的面积是 54，AP=2PF，CQ=2BQ，求阴影四边形 CEPQ 的面积． A P F A P F B Q C D E B Q C D E 【解析】如图，将正六边形 ABCDEF 等分为 54 个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积， PEF 面积， CDE 面积，四边形 ABQP 面积．上述三块面积之和为．因此，阴影四边形 CEPQ 面积为．板块二三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为 1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用 S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的 2 倍与周界上格点数的和减去 2．【例 15】如图(a，有 21 个点，每相邻三个点成“∵”或“∴” ，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形 ABC 的面积． page 6 of 9A CB B A E F D (bC B A Ⅱ' Ⅰ ' ⅠⅢⅡⅢ' A E C R B H FD (d G C (a (c 【解析】方法一：如图(b所示，在 ABC 内连接相邻的三个点成 DEF，再连接 DC、EA、FB 后是 ABC 可看成是由 DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到，，，所以 S面积单位．方法二：如图(c所示，作辅助线把图Ⅰ ′、Ⅱ ′、Ⅲ ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出 ABC 的面积为 10．方法三：如图(d所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角形，而 ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半，即 S AEB ，平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形，而 ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即面积单位．．平行四边形 FBGC 中有 8 个 FBC 小正三角形，而 FBC 的面积是平行四边形 FBGC 的一半，即：．所以【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为 1 的等边三角形，计算 ABC 的面积． A C 【解析】因为；：所以面积单位．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为 1 的等边三角形． B 【解析】⑴⑵⑶⑷⑴∵；，∴ S ∵；，∴ S ∵； N7 ，∴ S ∵；，∴⑵⑷⑶面积单位；面积单位；面积单位；面积单位．【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是 128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】图中有个小三角形，那么一个小三角形的面积是，图形内部格点数为 12，图形周界上格点数为 4；图形的面积为：面积单位，进而得图形的面积为：52 ．【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是 1 平方厘米，那么四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？ page 7 of 9【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2x 单位正三角形面积，其中 N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数．有 N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2×1=20(平方厘米．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有 10 个，而将不完整的小正三角形分成 4 部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为 4，所以①部分的面积为 2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为 2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为 10+2+1+4+3=20(平方厘米．【例 19】把同一个三角形的三条边分别 5 等分、7 等分(如图 1，图 2，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图 1 中阴影部分面积是 294 平方分米，那么图 2 中阴影部分的面积是______平方分米．【解析】图 1 中阴影部分占整个三角形面积的部分的面积为 294÷【例 20】 12 16 ，图 2 中阴影部分占整个三角形面积的，故图 2 中阴影平方分米． 25 49 将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】如右图所示．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是 16 平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成 12 个与三角形 PMN 全等(能完全重叠地放在一起的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24 个与三角形 PMN 全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的 3 倍，即 48 平方厘米． page 8 of 9【例 22】 (第五届“华杯赛”试题正六边形 ABCDEF 的面积是 6 平方厘米．M 是 AB 中点，N 是 CD 中点，P 是 EF 中点．问：三角形 MNP 的面积是多少平方厘米？ A M B F P E B R C N D C N D S M A Q F P E 【解析】将正六边形分成六个面积为 1 平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为 4 个小正三角形．于是正六边形 ABCDEF 被分成了 24 个小正三角形，每一个小正三角形的面积是平方厘米，三角形 MNP 由 9 个小正三角形所组成，所以三角形 MNP 的面积平方厘米．【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是 2 平方厘米．那么，三角形 ABC 的面积是_____平方厘米．【解析】平方厘米 page 9 of 9。

小学数学《格点与面积》练习题（含答案）内容概述同学们，一看这个题目，你一定会有许多疑问：什么是格点?格点与面积之间又有什么关系等等．这一节我们就来探讨这些问题。

在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达?下面就让我们一起来探讨这些问题吧！正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？【例2】如右图，计算各个格点多边形的面积.分析：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了.【例3】如右图（a），计算这个格点多边形的面积.【例4】（1998年新加坡小学数学奥林匹克竞赛）右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算右图中两个格点多边形的面积。

【例6】用N表示多边形内部格点， L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积,填写下表：图形图形内的格点数（N）边界上的格点数（L）面积（S）例2图4例3例4例5（1）【例7】本讲开始提到的图“乡村小屋”的面积是多少？【例8】 (保良局亚洲区城市小学数学竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例9】右图中每个小正方形的面积都是1,那么图中这只“狗”所占的面积是多少?【例10】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图).如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形,这样得到的三角形中,面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少?面积等于2平方厘米的三角形有多少个？三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形.【例11】如右图（a），有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形.计算三角形ABC的面积.【例12】如右图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算△ABC的面积.【例13】把大正三角形每边八等份,组成如右图所示的三角形网.如果大三角形的面积是128,求图中粗线所围成的三角形的面积.【例14】（第五届“华杯赛”）正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?练习一1.求下列各个格点多边形的面积.2. 右图是一个8 12面积单位的图形.求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积.3.求下列格点多边形的面积（每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形）.4.右图有12个点,相邻两个点之间的距离是1厘米,这些点可以连成多少个面积为2平方厘米的三角形?5.将图中的图形分割成面积相等的三块.正方形格点问题正方形格点问题就是它的格点都是由两组互相垂直相交的平行线的交点构成的.每一个小方格都是一个小正方形.【例15】判断下列图形哪些是格点多边形？分析：根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线，顶点要在格点上！所以只有（1）是格点多边形。

板块一 正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点， 则它的面积为12LS N =+-． 例题精讲格点型面积【例 1】用9个钉子钉成相互间隔为1厘米的正方阵(如右图)．如果用一根皮筋将适当的三个钉子连结起来就得到一个三角形，这样得到的三角形中，面积等于1平方厘米的三角形的个数有多少？面积等于2平方厘米的三角形有多少个？【解析】面积等于1平方厘米的三角形有32个．面积等于2平方厘米的三角形有8个．(1)面积等于1平方厘米的分类统计如下：①②③底为2，高为1底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)3×2=6(个)3×2=6(个)④⑤⑥底为1，高为2底为2，高为1底为1，高为23×2=6(个)2×2=4(个)2×2=4(个)所以，面积等于1平方厘米的三角形的个数有：6+6+6+6+4+4=32(个)．(2)面积等于2平方厘米的分类统计如下：3×2=6(个)1×2=2(个)所以，面积等于2平方厘米的三角形的个数有：6+2=8(个)．【例 2】如图，44⨯的方格纸上放了16枚棋子，以棋子为顶点的正方形有个．【解析】根据正方形的大小，分类数正方形．共能组成五种大小不同的正方形(如右图)．⨯的正方形：1个；11⨯的正方形：4个；33⨯的正方形：9个；22以11⨯正方形对角线为边长的正方形：4个；以12⨯长方形对角线为边长的正方形：2个．故可以组成9414220++++=(个)正方形．【例 3】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【例 4】如图，计算各个格点多边形的面积．【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．【巩固】如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【例 5】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b)，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c)图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【例 6】 (“新加坡小学数学奥林匹克”竞赛试题)右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF ；另外三个分别是：ABE 、FEC 、DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【例 7】 分别计算图中两个格点多边形的面积．⑴ ⑵【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到⑴的面积均为9面积单位．⑵的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．⑵⑴⑷⑶【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 8】我们开始提到的“乡村小屋”的面积是多少？【解析】图形内部格点数9N=；图形边界上的格点数20L=；根据毕克定理，则1182LS N=+-=(单位面积)．【例 9】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFEDCBA【解析】箭形ABCDEFGH的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【例 10】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【解析】图形内部格点数为54，图形周界上格点数为19．所以图形的面积为：54192162.5+÷-=(面积单位)．【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【解析】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式：(N+L2-1)×单位正方形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=4，L=7，则用粗线围成图形的面积为：(4+72-1)×1=6．5(平方厘米)方法二：如右上图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．有①=3÷2=1．5，②=2÷2=1，③=2÷2=1，④=2÷2=1，⑤=2÷2=l ，⑥=2÷2=1，还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为1．5+l +1+1+1+1+3=9．5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16，所以粗线围成的图形的面积为：16-9．5=6．5平方厘米．【例 11】 (“小学数学奥林匹克”竞赛试题)55⨯的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是 平方厘米．【解析】 为了使这7个点围成最大的面积，这7个点应尽量在正方形的边或顶点上，如图选取7个点，围成面积最大．最大面积为550.5323.5⨯-⨯=(平方厘米)．【例 12】 (“保良局亚洲区城市小学数学”竞赛试题)第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【解析】 要计算三个数字所占的面积之和，可以先分别求出每个数字所占的面积．显然，图中的三个数字都可以看作格点多边形，根据毕克定理，可以很方便地求出每个数字所占的面积．值得注意的是：数字“7”内部有两个格点，而数字“2”和“1”内部都没有格点．7所占的面积为：215218.5+÷-=；2所占的面积为：242111÷-=；1所占的面积为：17217.5÷-=．所以，这三个数字所占的面积之和为：8.5117.527++=．【例 13】 (第六届“从小爱数学”邀请赛试题)两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm ，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm ，求大正方形的面积．【解析】 块状部分与线状部分之间的部分称为D ，则D 与前者共14个方格，与后者共17个方格，因此每个方格的面积是2197.4 5.121714cm 25-÷-=（）（）（）大正方形的面积为219cm ．【例 14】 (第六届“华杯赛”试题)图中正六边形ABCDEF 的面积是54，AP =2PF ，CQ =2BQ ，求阴影四边形CEPQ 的面积．B PQFEDCB A【解析】 如图，将正六边形ABCDEF 等分为54个小正三角形．根据平行四边形对角线平分平行四边形面积，PEF 面积3=，CDE 面积9=，四边形ABQP 面积11=．上述三块面积之和为391123++=．因此，阴影四边形CEPQ 面积为542331-=．板块二 三角形格点问题所谓三角形格点多边形是指：每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形．关于三角形格点多边形的面积同样有它的计算公式：如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么有22S N L =⨯+-，就是格点多边形面积等于图形内部所包含格点数的2倍与周界上格点数的和减去2．【例 15】 如图(a )，有21个点，每相邻三个点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形．计算三角形ABC 的面积．(b )(a )(c )(d )【解析】 方法一：如图(b )所示，在ABC 内连接相邻的三个点成DEF ，再连接DC 、EA 、FB 后是ABC可看成是由DEF 分别延长FD 、DE 、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到2ACDS=， 3AEBS=，4FBCS=，所以123410S =+++=(面积单位)．方法二：如图(c )所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出ABC 的面积为10．方法三：如图(d )所示：作辅助线可知：平行四边形ARBE 中有6个小正三角形，而ABE 的面积是平行四边形ARBE 面积的一半，即3AEBS=，平行四边形ADCH 中有4个小正三角形，而ADC 的面积是平行四边形ADCH 面积的一半，即2ACDS =．平行四边形FBGC 中有8个小正三角形，而FBC 的面积是平行四边形FBGC 的一半，即：4FBCS =．所以123410S =+++=(面积单位)．【巩固】如图，每相邻三个点所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，计算ABC 的面积．【解析】 因为5N =；3L =：所以22253211S N L =⨯+-=⨯+-=(面积单位)．【例 16】求下列格点多边形的面积(每相邻三个点“∵”或“∴”成面积为1的等边三角形)．⑴⑵⑶⑷【解析】⑴∵7=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N LN=，∴22277219L=；7⑵∵5=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N LN=，∴22285219L=；8⑶∵6=⨯+-=⨯+-=(面积单位)；S N LN=，∴22276218L=；7⑷∵7S N L=⨯+-=⨯+-=(面积单位)．L=；8N=，∴22287221【例 17】把大正三角形每边八等分，组成如右图所示的三角形网．如果大三角形的面积是128，求图中粗线所围成的三角形的面积．【解析】图中有1357911131564÷=，+++++++=(个)小三角形，那么一个小三角形的面积是128642图形内部格点数为12，图形周界上格点数为4；图形的面积为：2124226⨯=．⨯+-=(面积单位)，进而得图形的面积为：26252【例 18】如图，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【解析】法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：(2N+L-2)x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数．有N=9，L=4，所以用粗线围成的图形的面积为：(9×2+4-2)×1=20(平方厘米)．法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4，所以①部分的面积为2，②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2，8，6，所以②、③、④部分的面积分别为1，4，3．所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20(平方厘米)．【例 19】把同一个三角形的三条边分别5等分、7等分(如图1，图2)，然后适当连接这些等分点，便得到了若干个面积相等的小三角形．已知图1中阴影部分面积是294平方分米，那么图2中阴影部分的面积是______平方分米．【解析】图1中阴影部分占整个三角形面积的1225，图2中阴影部分占整个三角形面积的1649，故图2中阴影部分的面积为294÷12162549⨯=200(平方分米)．【例 20】将图中的图形分割成面积相等的三块．【解析】如右图所示．【例 21】如图涂阴影部分的小正六角星形面积是16平方厘米，问：大正六角星形面积是多少平方厘米？【解析】如图，涂阴影部分的小正六角星形可分成12个与三角形PMN全等(能完全重叠地放在一起)的小三角形．而图中的大正六角星形除去小正六角星形后．有6×4=24个与三角形PMN全等的小三角形，所以大正六角星形的面是小正六角星形的3倍，即48平方厘米．【例 22】(第五届“华杯赛”试题)正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米．M是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．问：三角形MNP的面积是多少平方厘米？SRQABC DEFNM PPMFEDCBA【解析】将正六边形分成六个面积为1平方厘米的正三角形，再取它们各边的中点将每个正三角形分为4个小正三角形．于是正六边形ABCDEF被分成了24个小正三角形，每一个小正三角形的面积是6240.25÷=(平方厘米)，三角形MNP由9个小正三角形所组成，所以三角形MNP的面积0.259 2.25=⨯=(平方厘米)．【例 23】如果下图中任意相邻的三个点构成的三角形面积都是2平方厘米．那么，三角形ABC的面积是_____平方厘米．【解析】ABC ABD BCD ACD S S S S ∆∆∆∆=++21221229=⨯+⨯+⨯66()=平方厘米。

巧解格点与面积巧点睛一一方法和技巧通过寻找面积之间的关系，培养学生探索问题、解决问题、发现规律的能力。

巧指导一一例题精讲A级冲刺名校•基础点晴【例1】下图是用橡皮盘钉在钉板上围成的几个图形，每相邻两点之间的距离都是1厘米，计算这些图形的面积各是多少平方厘米。

做一做1计算下图各格点多边形的面积，每格面积为1。

【例2】下图每相邻两点之间的距离都是1厘米，求各个图形的面积，再填好下表，最后总结出一般规律。

图形边上点数内部点数面积分析与解按照例1的分析方法，进行分割。

图①的面积是2平方厘米，图②的面积是4.5平方厘米，图③的面积是5.5平方厘米，图④的面积是7平方厘米，图⑤的面积是2平方厘米。

填表：寻找规律:图①：4 + 2 + 1 —1=2图②：9 + 2 + 1 —1=4.5图③：9 + 2 + 1 —1=5.5图④：10 + 2 + 3 — 1=7图⑤：6 + 2 + 0 —1=2于是，图形的面积与格点数有如下关系：图形的面积二边上点数+ 2+内部点数一1做一做2下图是一个8X8的正方形，求正方形内四边形ABCD 的面积。

（先用分割法，再用整点法）【例3】右图中每一小格的面积都是1平方厘米，那么粗线围成的图形面积是多少平方厘米?做一做3设每相邻两点间的距离为1,利用格点面积公式计算下图中阴影部分的面积。

■B级更上层楼【例4】如下图，计算下列各格点多边形的面积，统计每个图形周界上的格点数与图形内包含的格点数。

我们对表内的数据分析发现：任何一个格点多边形的面积等于周界上的格点数除以2减1再加上图形内包含的格点数。

如果用S表示面积，用N表示图形内的格点数，用L表示周界上的格点数，再列成下表，它们之间的关系就更清楚了。

做一做4求下列格点多边形的面积（每相邻三点”.・”“・・・”构成面积为1的等百年三角形）。

心.【例5】右图中每相邻三点连接后组成的等边三角形的面积为1 平方厘米。

问三角形ABC的面积是多少？分析与解边上点数为4，内部点数为4,可以• • / •、• • • 利用公式求出面积。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴ ⑵ ⑶毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12L S N =+-． 例题精讲4-2-7.格点型面积【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212（）(面积单位)；+⨯÷=图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218（）(面积单位)．+⨯÷=如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．)方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【解析】 方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)． 方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积 【难度】2星 【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】 扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )． 【答案】4【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1） （2） （3）（4）【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)； ⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12L S N =+-．这个规律就是毕克定理． 【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理， 则1182L S N =+-=(单位面积)． 【答案】18【例 7】 右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．HGF E D CA【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】解答【解析】 箭形A B 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】 比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积 【难度】3星 【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】 ①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。

格点与面积知识点总结1：正方形格点多边形面积公式2：三角形格点多边形面积公式3：割补法求不规则多边形面积【例题精讲】例1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

请据此计算下面两个图形的面积。

【答案】13平方厘米和15平方厘米。

正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1（1）边界格点数：20个，内部格点数：4个，面积：20÷2+4-113（平方厘米）（2）边界格点数：14个，内部格点数：9个，面积：14÷2+9-1=15（平方厘米）【例题小结】对比已学割补法与格点面积的优势，引导学生掌握更高效的方法。

练1在下面的正方形网格中，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

网格中多边形的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米【解析】边界格点数是34个，内部格点数是20个，因此面积是34÷2+20-1=36平方厘米。

例2在下图中，每个小方格的面积都是2平方厘米，那么格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】13平方厘米正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-1边界格点数：7 个，内部格点数：4 个面积：（7÷2+4-1）×2=13（平方厘米）【例题小结】单位小正方形面积是几，利用格点公式求出的面积也要扩大几倍。

练2小新将某市的地图轮廓绘制到了网格上，且每相邻的四个点围成的正方形的面积都是1平方厘米。

请帮小新计算出该市在地图上的面积。

【答案】20平方厘米【解析】边界格点数是14个，内部格点数是14个，因此面积是14÷2+14−1=20（平方厘米）。

例3在下图中，每个小方格的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】22平方厘米。

割补方法：整体－空白整体：6×6=36（平方厘米）空白：正方形格点多边形的面积=边界格点数÷2+内部格点数-112÷2+9－1=14（平方厘米）阴影：36-14=22（平方厘米）【例题小结】阴影部分面积=整体-空白练3在下图中，每个小正方形的边长都是1厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【答案】14平方厘米【解析】可以将阴影部分面积和十字形的空白部分看做一个整体，面积是：8÷2+21－1=24（平方厘米），十字形的空白部分的面积是12÷2+5－1=10（平方厘米），因此阴影部分面积是24-10=14（平方厘米）。

格点与面积
例1 下图是一个格点图。

图中有长方形、三角形、平行四边形和梯形各一个。

请你利用方格网计算出它们的面积各是多少？（每个小正方形的面积是1平方厘米）
例2 在图中正方形格点中，这个宝塔图形的面积是多少？
例3 下图是一个四角形，每个小正方形的面积均为1平方厘米。

求图中阴影部分的面积。

例4、求下列图形的面积。

例5、如图，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

则在此图中最多可以画出多少个面积是2平方厘米的格点正方形？
课堂练习
1、求下面各图形的面积。

2、求下图中各图形的面积。

3、求下图中各图形的面积。

4、下面是一个5*5的方格图，求出图中阴影部分面积的和（每小格的面积是1平方厘米）。

5、图中每个小正方形的边长都是1厘米，则在图中最多可以画出面积是3平方厘米的格点三角形多少个？
课后作业
1、计算所给图形的面积。

2、求出下面格点图形的面积。

3、在下面5*10的方格图中，连接格点，画出4个面积为7的图形，要求每个图形形状都不相同（每个小方格的面积是1）。

4、下图是由8个边长为1厘米的正方形所组成的一个图形，共有15个格点。

请以15个格点中的3个为顶点作一个面积为3.5平方厘米的三角形。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【例3】如图(a)，计算这个格点多边形的面积．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲4-2-7.格点型面积【例4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【例6】“乡村小屋”的面积是多少？【例7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDCB______【例8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系【例9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为27.4cm，求大正方形5.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为2的面积．【例13】将边长为正整数n的正方形平均分成2n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

模組一、正方形格點問題在一張紙上，先畫出一些水準直線和一些豎直直線，並使任意兩條相鄰的平行線的距離都相等(通常規定是1個單位)，這樣在紙上就形成了一個方格網，其中的每個交點就叫做一個格點．在方格網中，以格點為頂點畫出的多邊形叫做格點多邊形，例如，右圖中的鄉村小屋圖形就是一個格點多邊形．那麼，格點多邊形的面積如何計算？它與格點數目有沒有關係？如果有，這兩者之間的關係能否用計算公式來表達？下麵就讓我們一起來探討這些問題吧！用N 表示多邊形內部格點，L 表示多邊形周界上的格點，S 表示多邊形面積，請同學們分析前幾個例題的格點數．我們能發現如下規律：12L S N =+-．這個規律就是畢克定理．【例 1】判斷下列圖形哪些是格點多邊形？⑴⑵⑶⑷畢克定理若一個格點多邊形內部有N 個格點，它的邊界上有L 個格點， 則它的面積為12LS N =+-． 例題精講4-2-7.格點型面積【例 2】如圖，計算各個格點多邊形的面積．【例 3】如圖(a)，計算這個格點多邊形的面積．【例 4】右圖是一個方格網，計算陰影部分的面積．【例 5】分別計算圖中兩個格點多邊形的面積．【巩固】求下列各個格點多邊形的面積．（1）（2）（3）（4）【例 6】“鄉村小屋”的面積是多少？【例 7】右圖是一個812面積單位的圖形．求矩形內的箭形ABCDEFGH的面積．HGFAEDCB______【例 8】比較圖中的兩個陰影部分①和②的面積，它們的大小關係【例 9】右圖中每個小正方形的面積都是1，那麼圖中這只“狗”所占的面積是多少？【巩固】如圖，每一個小方格的面積都是1平方釐米，那麼用粗線圍成的圖形的面積是多少平方釐米？【例 10】第一屆保良局亞洲區城市小學數學邀請賽在7月21日開幕，下麵的圖形中，每一個小方格的面積是1，那麼7、2、1三個數字所占的面積之和是多少？【例 11】55的方格紙，小方格的面積是1平方釐米，小方格的頂點稱為格點．請你在圖上選7個格點，要求其中任意3個格點都不在一條直線上，並且使這7個點用直線連接後所圍成的面積盡可能大．那麼，所圍圖形的面積是平方釐米．【例 12】兩個邊長相等的正方形各被分成25個大小相同的小方格．現將這兩個正方形的一部分重疊起來，若左上角的陰影部分(塊狀)面積為25.12cm，右下角的陰影部分(線狀)面積為27.4cm，求大正方形的面積．【例 13】將邊長為正整數n的正方形平均分成2n個小正方形，每個小正方形的頂點稱為格點。

模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数． 我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【例 1】 判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶毕克定理若一个格点多边形内部有N 个格点，它的边界上有L 个格点，则它的面积为12LS N =+-．例题精讲4-2-7.格点型面积【例 2】 如图，计算各个格点多边形的面积．【例 3】 如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【例 4】 右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【例 5】 分别计算图中两个格点多边形的面积．【巩固】 求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【例6】“乡村小屋”的面积是多少？【例7】右图是一个812面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH的面积．HGFAEDC【例8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【例9】右图中每个小正方形的面积都是1，那么图中这只“狗”所占的面积是多少？【巩固】如图，每一个小方格的面积都是1平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【例10】第一届保良局亚洲区城市小学数学邀请赛在7月21日开幕，下面的图形中，每一个小方格的面积是1，那么7、2、1三个数字所占的面积之和是多少？【例11】55的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点．请你在图上选7个格点，要求其中任意3个格点都不在一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大．那么，所围图形的面积是平方厘米．【例12】两个边长相等的正方形各被分成25个大小相同的小方格．现将这两个正方形的一部分重叠起来，若左上角的阴影部分(块状)面积为25.12cm，右下角的阴影部分(线状)面积为27.4cm，求大正方形的面积．【例13】将边长为正整数n的正方形平均分成2n个小正方形，每个小正方形的顶点称为格点。

长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题汇总长沙小升初奥数几何问题之格点与面积经典例题。

经典例题例1、图中有21个点,其中每相邻的三点“∴”或“∵”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形,试计算四边形的面积。

（小升初8月1号天天练）【详解】方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成A、B两个小三角形。

这两个小三角形都以辅助线为底的话，A就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的1倍，所以A的面积是1个面积单位三角形的4×1倍，即4。

同理，B就是底边是1个面积单位三角形的4倍、高是1个面积单位三角形的2倍，所以B的面积是1个面积单位三角形的'4×2倍，即8。

所以，原三角形面积为：4+8=12（面积单位）。

方法二（扩展法）：如图②将原图扩展成一个大的等边三角形，很明显这个等边三角形的边长是三角形格点的5倍，而四个扩展的三角形A、B、C、B的面积的求法与分割法中的求法类似，灵活运用倍数思想！大的等边三角形：5×5=25A：3×1=3B：2×1=2C：4×1=4D：4×1=4所以原三角形的面积为：25-3-2-4-4=12（面积单位）。

方法三（毕克定理）：运用三角形格点图的毕克定理，图形内部格点数为5,图形周界上格点数为4，所以，原三角形的面积为：(5+4÷2-1)×2=12(面积单位)。

例2、如图是一组总面积为80平方厘米的七巧板，用它构成右图阴影部分的形状，这个形状内接与长方形，请问这个长方形的面积为多少？（小升初8月2号天天练）【详解】长方形的长、宽不知道，所以不能直接用面积公式，但是告诉了另一个参照图形--七巧板的面积，此时我们要努力找出两者之间的联系！之前我们一直给出的是在格点图中的图形，现在我们不妨自己来构造格点图！如图，将长方形分割成3×5个小正方形，而阴影面积一共占了8个小正方形，所以每个小正方形的面积是：80÷8=10（平方厘米），所以长方形的面积是：10×3×5=150（平方厘米）。