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不定积分(A)求下列不定积分dx~~2X(x 2)2dxdx2) xV x2x .2dx 4) 1 x1、1) 3)5)7) 2、1) 3) 5) 7) 9) 11) 13) 15) 17)2 3X 53^△dx cos2x2 ；~2~dx6)cos xsin xX 3(2e )dxx求下列不定积分(第一换元法)(1 —y^'xYxdX8) x3(3 2x) dxsin t ..dtxtdxcosxsin xdx2) 32 3xdx,) xl n x In (I n x)xcos(x2)dxsinx , 厂dxcos xdx2x2 1sin 2xcos3xdxdxx x6) e e“、cos3xdx12)tan3x secxdx14)3x9 x2dx16)______ 13cos2 x—dx4sin x10 2arccosxdxarctan x ,dx 18) x(1 x)3、求下列不定积分（第二换元法）1) 2)sinxdx3) 4)2x----------- d x, (a 0)2 2.a x5)7) 4、1) 3) 5)7) 5、1)2)3)dx6)dx1 \2xdxx -J x28)dx1 T x2求下列不定积分（分部积分法）xSnxdxx2In xdxx2arcta nxdxIn2xdx求下列不定积分（有理函数积分）3xdxx 32x 32x 3xdxx(x21)1、一曲线通过点方程。
2、已知一个函数2)4)6)8)arcs inxdxe 2x sin -dx2x2cosxdx2 2 xx cos dx2(B)（M,3），且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数,F（x）的导函数为1 x2，且当x 1时函数值为2求该曲线的，试求此函数。
3、证明：若f(x)dx F(x)c，则f (ax b)dx 丄F(axa b) c,(a 0)o sin x4、设f(x)的一个原函数为求xf(x)dx。
不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2xdx２）⎰xxdx2３）dxx⎰-2)2(４）dxxx⎰+221５）⎰⋅-⋅dxxxx32532６）dxxxx⎰22sincos2cos７）dxxe x)32(⎰+８）dxxxx)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dxx⎰-3)23(２）⎰-332xdx３）dttt⎰sin４）⎰)ln(lnln xxxdx５）⎰xxdxsincos６）⎰-+xx eedx７）dxxx)cos(2⎰８）dxxx⎰-4313９）dxxx⎰3cossin10）dxxx⎰--249111）⎰-122xdx12）dxx⎰3cos13)⎰xdxx3cos2sin14)⎰xdxx sectan315)dxxx⎰+23916)dxxx⎰+22sin4cos3117)dxxx⎰-2arccos211018)dxxxx⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dxxx⎰+211２）dxx⎰sin３）dxxx⎰-42４）⎰>-)0(,222adxxax５）⎰+32)1(xdx６）⎰+xdx21７）⎰-+21xxdx８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdxxs⎰２）⎰xdxarcsin３）⎰xdxx ln2４）dxxe x⎰-2sin2５）⎰xdxx arctan2６）⎰xdxx cos2７）⎰xdx2ln８）dxxx2cos22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx xx⎰+33２）⎰-++dxxxx1033223）⎰+)1(2xxdx（Ｂ）1、一曲线通过点)3,(2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
2、已知一个函数)(xF的导函数为211x-，且当1=x时函数值为π23，试求此函数。
3、证明：若⎰+=c x F dx x f )()(，则)0(,)(1)(≠++=+⎰a cb ax F a dx b ax f 。
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)思路:52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx +⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x=-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x xx x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
第四章 不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）⎰2x dx ２）⎰x x dx 2３）dx x ⎰-2)2( ４）dx x x ⎰+221 ５）⎰⋅-⋅dx xxx 32532 ６）dx x x x ⎰22sin cos 2cos ７）dx x e x)32(⎰+８）dx x x x)11(2⎰-２、求下列不定积分（第一换元法）１）dx x ⎰-3)23( ２）⎰-332xdx３）dt tt ⎰sin ４）⎰)ln(ln ln x x x dx５）⎰x x dx sin cos ６）⎰-+x x e e dx７）dx x x )cos(2⎰ ８）dx xx ⎰-4313 ９）dx x x ⎰3cos sin 10）dx x x⎰--249111）⎰-122x dx 12）dx x ⎰3cos 13)⎰xdx x 3cos 2sin 14)⎰xdx x sec tan 315) dx x x ⎰+239 16)dx x x ⎰+22sin 4cos 31 17)dx x x ⎰-2arccos 2110 18)dx x x x ⎰+)1(arctan3、求下列不定积分（第二换元法）１）dx xx⎰+211 ２）dx x ⎰sin３）dx x x ⎰-42 ４）⎰>-)0(,222a dx xa x５）⎰+32)1(x dx ６）⎰+xdx 21７）⎰-+21xx dx ８）⎰-+211xdx４、求下列不定积分（分部积分法）１）inxdx xs ⎰ ２）⎰xdx arcsin３）⎰xdx x ln 2４）dx x e x ⎰-2sin 2５）⎰xdx x arctan 2 ６）⎰xdx x cos 2７）⎰xdx 2ln ８）dx x x 2cos 22⎰５、求下列不定积分（有理函数积分）１）dx x x ⎰+33２）⎰-++dx x x x 1033223）⎰+)1(2x x dx（Ｂ） １、一曲线通过点)3,(2e ，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。
不定积分例题及参考答案87427763不定积分例题及参考答案第4章不定积分内容概要课后习题全解 习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1)思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C--==-+⎰★(2)dx⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C ---=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22xx dx+⎰（）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx-思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C-=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dxx +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++⎰⎰⎰★★(6)221x dxx +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
不定积分练习题及答案11308(总3页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--不定积分练习题211sin )_________2xdx -=⎰一、选择题、填空题：、（ 22()(ln )_______x e f x x f x dx =⎰、若是的原函数，则：3sin(ln )______x dx =⎰、2224()(tan )sec _________;5(1,1)________;6'()(),'()_________;1()7(),_________;18()arcsin ,______()x x xe f x f x xdx y F x f x f ax b dx f e f x dx c dx x exf x dx x c dx f x --===+==+==+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族点的积分曲线是、则、设则、设则____;9'(ln )1,()________;10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______;12'()(),'()(),()_____()()()()()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x dx x x xdx f x F x f x x f x f x dx A F x B x C x κϕϕ=+==-====⎰⎰⎰、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x cϕ+++13()[()]()()[()]()()()()()()()dA d f x dx f xB f x dx f x dx dxC df x f xD df x f x c====+⎰⎰⎰⎰、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______11()()ln ()()ln x f x f x e dx xA cB x cC cD x cxx-==++-+-+⎰、设则：15______1()arcsin ()()2arcsin(21)2()arcsin(21)A c B cC x cD x c =+-+-+16()[,][,]()()()()()()()()'()f x a b a b A f x B f x C f x D f x f x 、若在上的某原函数为零，则在上必有____的原函数恒等于零；的不定积分恒等于零；恒等于零；不恒等于零,但导函数恒为零。
1．设是在上的一个原函数,且为奇函数,则是 ( )()F x ()f x (),-∞+∞()F x ()f x A ．偶函数 B ． 奇函数C ． 非奇非偶函数 D ．不能确定2．已知的一个原函数为,的一个原函数为,则的一个原函数()f x cos x ()g x 2x ()f g x ⎡⎤⎣⎦为 ( )A ．B ． 2x 2cos x C ． D ．2cos x cos x3．设为连续导函数,则下列命题正确的是 ( )()f x A ． ()()1222f x dx f x c '=+⎰B ．()()22f x dx f x c'=+⎰C ． ()()()222f x dx f x ''=⎰D ．()()2f x dx f x c'=+⎰4．设且()22cos sin f x x '= ,则=( )()00f =()f x A ． B ． 212x x -212x -C ． D ．1x -313x x-5．设是的一个原函数,则2xe-()f x ( )()02()limx f x x f x x∆→-∆-=∆A ． B ．22xe -28xe-C ． D ．22xe--24xe-6．设,则=( )()xf x e -=()ln f x dx x'⎰A ．B ． 1x-c +ln x c -+C ．D ． 1c x+ln x c +7．若是的一个原函数,则ln x x ()f x =()f x '8．设的一个原函数为()()tan 2f x k x =,则 2ln cos 23x k =9．若,则()2f x dx x c =+⎰=()231x f x dx -⎰10．()()2cos 2sin 2d θθθ=⎰11．若,则()()f x dx F x c =+⎰()xx ef e dx --=⎰12．若,则()ln cos f x x '=⎡⎤⎣⎦()f x =13．计算()23x xe dx +⎰14．计算()()sin ln cos ln x x dx x⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰15．计算ln(tan )sin cos x dxx x ⎰16．计算21arctan1x dx x +⎰17．计算11sin dx x+⎰18．计算19．计算20．计算21．计算22．计算23. 计算()221tan xex dx+⎰24．已知的一个原函数为,求()f x sin x x()3x f x dx '⎰1、解:可导奇函数的导函数必为偶函数.必为偶函数.选A()()f x F x '∴=2、解:(1),()()cos sin f x x x '==- ()()()22sin 2g x x x f g x x'==∴=-⎡⎤⎣⎦(2)()2cos 2cos (sin )xx x '=- 选B sin 2x =-∴3、解:()()12222f x dx f x d x''=⎰⎰()122f x c =+选A4、解：(1)()22cos 1cos f x x '=- ()1f x x'∴=- (2)()22x f x x c=-+且得()00f =0c =,选A ()22x f x x =-5、解：(1)原式=()()()022limx f x x f x x∆→-∆--⎡⎤⎣⎦-2∆()2f x '=-(2)()2xF x e-= ()()222x xf x e e --'∴==-(3) 原式= 选D222(2)4xx ee ----=6、解：(1)()()ln ln ln f x dx f x d xx''=⎰⎰()ln f x c=+(2)(),xf x e -= ()1lnln 1ln x xf x e ex-∴===(3)原式=选C 1c x+7、解：(1)()ln F x x x= ()()1ln f x F x x'∴==+(2) ()()11ln f x x x''=+=8、解：()2ln cos 23F x x =()()2sin 223cos 2xf x x -∴=-故 ()()4tan 21ln 3x F x x '=-=+43k =-9、解： 原式=()()331113f x d x ---⎰()3113x c =--+10、解：原式=2222cos sin 4sin cos d θθθθθ-⎰221144sin cos d d θθθθ=-⎰⎰11cot tan 44t cθθ=--+或1csc 2c θ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭11、解：原式=()()xxx f edeF e c----=-+⎰12、解：()ln cos f x dx xdx'=⎡⎤⎣⎦⎰⎰()1ln sin f x x c =+()1sin sin c x xf x e c e -==⋅13、解:原式=()22323x xx x e e dx ⎡⎤++⋅⎢⎥⎣⎦⎰()2923xxxe dx dx e dx=++⎰⎰⎰219232ln 91ln 3x x xx e e c ⋅⋅=++++14、解:原式=()()sin ln cos ln ln x x d x⋅⎰()()sin ln sin ln x d x =⎰=()21sin ln 2x c +⎡⎤⎣⎦15、解:原式=()2ln tan tan cosx dxx x⎰()ln tan tan tan x d xx=⎰()()ln tan ln tan x d x =⎰ ()21ln tan 2x c =+⎡⎤⎣⎦16、解:原式=221arctan11x dx x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰21arctan111x d x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰11arctan arctand x x=-⎰211arctan 2cx ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭17、解:原式=21sin 1sin xdx x --⎰21sin cos cos x dx dx x x=-⎰⎰2cos tan cos d xx x =+⎰1tan cos x cx=-+18、解:2,1,2t x t dx tdt==-=原式=()2221211tdt dt tt t=++⎰⎰=2arctan t c+c+回代19、解:令2tan ,sec x t dx tdt==原式=32tan sec sec ttdtt⎰=2tan sec td t⎰()2sec 1sec t d t=-⎰31sec sec 3t t c =-+()()3122221113x x c +-++回代20、解:令2sin ,2cos x t dx tdt ==原式=2cos 2sin cos t dtt t ⎰1csc 2tdt =⎰()1ln csc cot 2t t c -+公式12c 回代21、解:(倒代换)令211,x dx dt t t-==原式==-11arcsin 333t c =-=-+13arcsin 3c x-+回代13arccos 3c x=+(注:(三角代换)令3sec ,x t =,3sec tan dx t tdt =原式=3sec tan 19sec tan 3t t dt t c t t =+⎰)13arccos 3c x+回代22、解:2,1,xt e t ==+ ()222ln 1,1tx tdx dtt=+=+原式=222211211t t t dt dtt t ⋅+-=++⎰⎰=()2arctan t t c-+2c-+回代23、解： 原式=()221tan2tan xex x dx++⎰2tan 2tan x d x e xdx=+⎰⎰2x e 222tan tan 22tan x x x e x x e dx e xdx =-⋅⋅+⎰⎰22tan 2tan x x e x x e dx =-⋅⎰22tan x xe dx +⎰2tan x e x c=+24、解： ()sin x F x x= ()()2cos sin x x xf x F x x -'∴==原式()3x df x =⎰()()323x f x f x x dx=-⋅⎰2222cos sin cos sin 3x x x x x x x x dx x x --=⋅-⎰2cos sin 3sin 3sin x x x x xd x xdx=--+⎰⎰2cos sin 3sin 3sin 3sin x x x x x x xdx xdx =--++⎰⎰2cos 4sin 6cos x x x x x c=--+1．设初等函数在区间有定义，则在上一定 （ ）()f x [],a b ()f x [],a b A ．可导 B ．可微C ．可积D ．不连续2．若连续，下列各式正确的是 （ ）f A ．()()ba d f x dx f x dx =⎰B ．()()df x dx f x dx dx =⎰C ． ()()bx d f t dt f x dx =⎰D ．()()xad f t dt f x dx =⎰3. 下列关系式中正确的是 （ ）A ．B ．21100x x e dx e dx =⎰⎰211x x e dx e dx≥⎰⎰C ．D ．以上都不对211x x e dx e dx ≤⎰⎰4．下列各式中，正确的是 （ ）A ．B ．2101x e dx ≤≤⎰211x e dx e≤≤⎰C ． D ．以上都不对2120x e e dx e ≤≤⎰5．下列函数在区间上可用牛顿——莱布尼兹公式的是 （ ）[]1,1-AB ．C1x 6．设在上，[],a b ()()()0,'0,''0f x f x f x ><>记，，，则有 （ ）()110S f x dx =⎰()()2S f b b a =⋅-()()32b aS f b f a -=+⎡⎤⎣⎦A ． B ．123S S S <<213S S S <<C ． D ．312S S S<<231S S S <<7．xx →=8．设连续，且，则 ()f x ()()xe xF x f t dt -=⎰()'F x =9．设连续，则 ()'f x 1'2x f dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰10．设则()()120121f x f x dx x=-+⎰ ()1f x dx =⎰11．设连续，且则 ()f x ()21301,(1)x f t dt x x -=+>⎰()8f =12．设，则y 的极小值为()01xy t dt =-⎰13．方程，确定，求cos 0yx t e dt tdt +=⎰⎰()y y x =0x dydx=14．设在连续，且满足，求 ()f x []0,1()()13243f x x x f x dx =-⎰()f x 15．讨论方程在区间内实根的个数4013101xx dt t --=+⎰()0,116．设在连续，且在单调减少，讨论在区间()f x [],a b (),a b ()()1xa F x f t dt x a=-⎰的单调性(),a b 17．求()22220limx t xx t e dt te dt→⎰⎰18．设其中为连续函数，求()()2xa x F x f t dt x a=-⎰f ()lim x a F x →19．设，且可导，，求()()01122xf t dt f x =-⎰()f x ()0f x ≠()f x20．若为连续的奇函数，判别的奇偶性()f x ()0xf t dt ⎰21．1321sin x x x dx-⎡⎤⎣⎦⎰22．已知，求221x t e dt -⎰()1xf x dx⎰23．1⎰24．设连续，证明()f x 并由此计算()()20sin 2sin f x dx f x dx ππ=⎰⎰0π⎰1、解：初等函数在定义区间内必连续，连续必可积。
