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专题12 导数与函数的单调性问题【高考地位】在近几年的高考中，导数在研究函数的单调性中的应用是必考内容，它以不但避开了初等函数变形的难点，定义法证明的繁杂，而且使解法程序化，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性的作用. 导数在研究函数的单调性中的应用主要有两方面的应用：一是分析函数的单调性；二是已知函数在某区间上的单调性求参数的取值范围.在高考中的各种题型中均有出现，其试题难度考查相对较大.类型一 求无参函数的单调区间万能模板 内 容使用场景 知函数()f x 的解析式判断函数的单调性 解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域； 第二步 求出函数()f x 的导函数'()f x ；第三步 若'()0f x >，则()f x 为增函数；若'()0f x <，则()f x 为减函数.例1 【河北省衡水市枣强中学2020届高三下学期3月调研】已知函数()ln xx af x e+=. （1）当1a =时，判断()f x 的单调性；【变式演练1】函数，的单调递增区间为__________．【来源】福建省三明第一中学2021届高三5月校模拟考数学试题【变式演练2】已知函数，则不等式的解集为___________.【来源】全国卷地区“超级全能生”2021届高三5月联考数学（文）试题（丙卷）【变式演练3】【黑龙江省哈尔滨六中2020届高三高考数学（文科）二模】已知函数()2sin f x x x =-+，若3(3)a f =，(2)b f =--，2(log 7)c f =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【变式演练4】【湖南省湘潭市2020届高三下学期第四次模拟考试】定义在R 上的连续函数()f x ，导函数为()f x '．若对任意不等于1-的实数x ，均有()()()10x f x f x '+->⎡⎤⎣⎦成立，且()()211x f x f x e -+=--，则下列命题中一定成立的是（ ）A ．()()10f f ->B ．()()21ef f -<-C ．()()220e f f -<D ．()()220e f f ->类型二 判定含参数的函数的单调性万能模板 内 容使用场景 函数()f x 的解析式中含有参数解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ；第二步 讨论参数的取值范围，何时使得导函数'()f x 按照给定的区间大于0或小于0； 第三步 根据导函数的符号变换判断其单调区间.例2 【黑龙江省大庆市第四中学2020届高三下学期第四次检测】已知函数()()2ln 21f x x x ax a R =+-+∈.（1）讨论()f x 的单调性；【变式演练5】（主导函数是一次型函数）【福建省三明市2020届高三（6月份）高考数学（文科）模拟】已知函数()=1,f x nx ax a R -∈.（1）讨论函数f x （）的单调性；()2sin sin 2f x x x =⋅0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()2ln 1x xf x x e e -=+++()()2210f x f x --+≤【变式演练6】（主导函数为类一次型）【山东省威海荣成市2020届高三上学期期中考试】已知函数()x f x e ax -=+.（I ）讨论()f x 的单调性；【变式演练7】（主导函数为二次型）【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()2ln af x x a x x=--，0a ≥. （1）讨论()f x 的单调性；【变式演练8】（主导函数是类二次型）【山西省太原五中2020届高三高考数学（理科）二模】已知函数2()(1)x f x k x e x =--，其中k ∈R.（1）当k 2≤时，求函数()f x 的单调区间；【变式演练9】已知函数，若在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．【来源】江西省南昌市新建区第一中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（文）试题类型三 由函数单调性求参数取值范围万能模板 内 容使用场景 由函数单调性求参数取值范围解题模板第一步 计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步 根据题意转化为相应的恒成立问题； 第三步 得出结论.例3．【江苏省南通市2019-2020学年高三下学期期末】若()()21ln 242f x x b x =-++在()2,-+∞上是减函数，则实数b 的范围是（ ） A ．(],1-∞-B ．(],0-∞C ．(]1,0-D ．[)1,-+∞【变式演练11】（转化为任意型恒成立）【四川省绵阳市2020高三高考数学（文科）三诊】函数2()(2)x f x e x ax b =-++在(1,1)-上单调递增，则2816a b ++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．20D ．18()22ln f x x x =-()f x ()2,1m m +m 1,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭[)0,1【变式演练12】（转化为变号零点）【山西省运城市2019-2020学年高三期末】已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,8B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．()2,8【变式演练13】（直接给给定单调区间）【辽宁省六校协作体2019-2020学年高三下学期期中考试】已知函数()32113f x x mx nx =+++的单调递减区间是()3,1-，则m n +的值为（ ） A ．-4B ．-2C ．2D ．4【变式演练14】（转化为存在型恒成立）【四川省仁寿第一中学北校区2019-2020学年高三月考】若f （x ）321132x x =-++2ax 在（1，+∞）上存在单调递增区间，则a 的取值范围是( )A ．（﹣∞，0]B ．（﹣∞，0）C ．[0，+∞）D ．（0，+∞）【高考再现】1．（2021·全国高考真题（理））设2ln1.01a =，ln1.02b =， 1.041c =-．则（ ） A ．a b c <<B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c a b <<2．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a 的取值范围． 3．已知函数. （1）讨论的单调性；（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：. 【来源】2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题 4.【2017山东文，10】若函数()e xf x (e=2.71828,是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单调递增,则称函数()f x 具有M 性质,下列函数中具有M 性质的是A . ()2xf x -= B. ()2f x x = C. ()3xf x -= D. ()cos f x x =5.【2017江苏，11】已知函数31()2e ex x f x x x =-+-, 其中e 是自然对数的底数. 若2(1)(2)0f a f a -+≤,0a >1a ≠()(0)a x x f x x a=>2a =()f x ()y f x =1y =()()1ln f x x x =-()f x a b ln ln b a a b a b -=-112e a b<+<则实数a 的取值范围是 ▲ .6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数20】已知函数()()e 2xf x a x =-+．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）若()f x 有两个零点，求a 的取值范围．7．【2020年高考全国Ⅰ卷理数21】已知函数()2e xf x ax x =+-．（1）当1a =时，讨论()f x 的单调性； （2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围． 8．【2020年高考全国Ⅱ卷文数21】已知函数()2ln 1f x x =+． （1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围； （2）设0a >，讨论函数()()()f x f a g x x a-=-的单调性．9.（2018年新课标I 卷文）已知函数f (x )=ae x −lnx −1∈ （1）设x =2是f (x )的极值点．求a ，并求f (x )的单调区间； （2）证明：当a ≥1e 时，f (x )≥0∈10.【2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I 卷）】已知函数f(x)=1x −x +alnx ∈ （1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)存在两个极值点x 1,x 2，证明：f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<a −2．【反馈练习】1．【2020届广东省梅州市高三总复习质检（5月）】已知0x >，a x =，22xb x =-，()ln 1c x =+，则（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．b c a <<2.【2020届山东省威海市高三下学期质量检测】若函数()()()1cos 23sin cos 212f x x a x x a x =+++-在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数a 的取值范围为( )A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5⎛⎤-∞-⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．(]1,1,5⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭3.【河南省十所名校2019—2020学年高三毕业班阶段性测试】若函数()sin24sin f x x x m x =--在[0,2π]上单调递减，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(2,2)-B ．[2,2]-C ．(1,1)-D ．[1,1]-4.【黑龙江哈尔滨市第九中学2019-2020学年高三阶段验收】函数()3f x x ax =+，若对任意两个不等的实数()1212,x x x x >，都有()()121233f x f x x x ->-恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,-+∞B ．[)3,+∞C ．(],2-∞-D ．(),3-∞5.【湖北省武汉市新高考五校联合体2019-2020学年高三期中检测】若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______. 6.【四川省宜宾市2020届高三调研】若对(]0,1t ∀∈，函数2()(4)2ln g x x a x a x =-++在(,2)t 内总不是单调函数，则实数a 的取值范围是______7.【河南省南阳市第一中学校2019-2020学年高三月考】若函数()22ln f x x x =-在定义域内的一个子区间()1,1k k -+上不是单调函数，则实数k 的取值范围______.8．若函数在区间是增函数，则的取值范围是_________．【来源】陕西省宝鸡市眉县2021届高三下学期高考模拟文科数学试题 9．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【来源】江西省景德镇市2021届高三上学期期末数学（理）试题10．【黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期开学考试】（1）求函数()sin cos (02)f x x x x x π=+<<的单调递增区间；()cos 2sin f x x a x =+,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭a ()()1ln 1xf x x x+=>1x 2x ()()1212ln ln f x f x k x x -≤-k（2）已知函数2()ln 43f x a x x x =-++在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，求实数a 的范围.11.【黑龙江省哈尔滨三中2020届高三高考数学（文科）三模】函数()()21ln 1x f x x x -=-+. （1）求证：函数()f x 在()0,∞+上单调递增； （2）若m ，n 为两个不等的正数，求证ln ln 2m n m n m n->-+. 12．【湖北省黄冈中学2020届高三下学期适应性考试】已知函数()()ln 1ln f x ax x a x =-+，()f x 的导数为()f x '.（1）当1a >-时，讨论()f x '的单调性； （2）设0a >，方程()3f x x e =-有两个不同的零点()1212,x x x x <，求证121x e x e+>+. 13.【湖南省永州市宁远、道县、东安、江华、蓝山、新田2020届高三下学期六月联考】已知函数()()()ln 12f x a x x a =+-∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()1xf x e ≥-，求实数a 的取值范围．14．【2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）】已知函数()xf x ae ex =-，()()ln 1xg x x b x e =--，其中,a b ∈R .（1）讨论()f x 在区间()0,∞+上的单调性； （2）当1a =时，()()0f x g x ≤，求b 的值.15．【河南省2020届高三（6月份）高考数学（文科）质检】已知函数2()22ln ()f x x ax x a R =-+∈.（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若()f x 存在两个极值点()1221,x x x x >，求证：()()()2121(2)f x f x a x x -<--. 16.【山东省2020年普通高等学校招生统一考试数学必刷卷】已知实数0a >，函数()22ln f x a x a x x=++，()0,10x ∈．（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）若1x =是函数()f x 的极值点，曲线()y f x =在点()()11,P x f x ，()()22,Q x f x ()12xx <处的切线分别为12,l l ，且12,l l 在y 轴上的截距分别为12,b b ．若12//l l ，求12b b -的取值范围．17.【福建省2020届高三（6月份）高考数学（理科）模拟】已知函数()()()2ln 222f x x a x x =++++，0a >.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）求证：函数()f x 有唯一的零点.18．【山东省潍坊市五县2020届高三高考热身训练考前押题】已知函数()f x 满足222(1)()2(0)2x f f x x f x e -'=+-，21()(1)24x g x f x a x a ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，x ∈R ． （1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）当2a ≥且1≥x 时，求证：1ln ln x e x e a x x--<+-．19．【陕西省商洛市商丹高新学校2020届高三下学期考前适应性训练】已知函数3()ln ()f x x a x a R =-∈.∈1）讨论函数()f x 的单调性∈∈2）若函数()y f x =在区间(1,]e 上存在两个不同零点∈求实数a 的取值范围.20．【2020年普通高等学校招生全国统一考试伯乐马模拟考试】已知函数()()22xxf x ax a e e =-++.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若函数()()()2212x x g x f x ax x a e e =-++-存在3个零点，求实数a 的取值范围. 21．【金科大联考2020届高三5月质量检测】已知函数()()()()()22224ln 2144f x x ax x a x a a x a =--+++∈R ．（∈）讨论函数()f x 的单调性；（∈）若0a ≤，证明：函数()f x 在区间)1,a e -⎡+∞⎣有且仅有一个零点．22．已知函数.（1）若，求函数的单调区间； （2）求证：对任意的，只有一个零点.【来源】全国Ⅱ卷2021届高三高考数学（理）仿真模拟试题 23．已知函数. （1）当时，判断的单调性；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围.【来源】安徽省合肥六中2021届高三6月份高考数学（文）模拟试题 24．已知函数. （1）求的单调性；（2）设函数，讨论的零点个数. 【来源】重庆市高考康德卷2021届高三模拟调研卷数学试题（三） 25．已知函数， （1）讨论的单调性；（2）若，，，用表示，的最小值，记函数，，讨论函数的零点个数．【来源】山东省泰安肥城市2021届高三高考适应性训练数学试题（二） 26．已知（） （1）讨论的单调性；（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为. 【来源】贵州省瓮安中学高三2021届6月关门考试数学（理）试题27．已知函数.（1）讨论的单调性；()321()13f x x a x x =--+2a ＝-()f x a ∈R ()f x ()21ln 2f x x ax x ax =-+1a =()f x ()f x a ()()cos sin ,0,2f x x x x x π=-∈()f x ()()(01)g x f x ax a =-<<()g x ()ln()xf x x a x a=+-+a R ∈()f x 4a =()1cos (2sin )2g x x x mx x =++0m >}{min ,m n m n }{()min ()()h x f x g x =，[],x ππ∈-()h x ()ln f x x ax =+a R ∈()f x 1a =()()1f x k x b ≤++()0,∞+221k b k +--1e -+2()2ln ,()f x x ax x a R =+++∈()f x（2）若恒成立，求的最大值.【来源】广东省佛山市五校联盟2021届高三5月数学模拟考试试题 28．已知函数． （1）若，证明：在单调递增； （2）若恒成立，求实数的取值范围．【来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学2021届高三五模数学（理）试题 29．已知函数． （1）若在上为增函数，求实数a 的取值范围；（2）设，若存在两条相互垂直的切线，求函数在区间上的最小值．【来源】四川省达州市2021 届高三二模数学（文）试题 30．已知函数. （1）如果函数在上单调递减，求的取值范围； （2）当时，讨论函数零点的个数.【来源】内蒙古赤峰市2021届高三模拟考试数学（文）试题 31．已知函数． （1）若在R 上是减函数，求m 的取值范围；（2）如果有一个极小值点和一个极大值点，求证 有三个零点． 【来源】安徽省淮南市2021届高三下学期一模理科数学试题32．已知函数．（1）若函数在上为增函数，求实数的取值范围； （2）当时，证明：函数有且仅有3个零点． 【来源】重庆市第二十九中学校2021届高三下学期开学测试数学试题()xf x e ≤a ()ln x f x xe ax a x =--0a ≤()f x ()0,∞+()0f x ≥a 21()cos 2f x x ax x =++()f x [0,)+∞21()()2g x f x x =-()g x sin ()1()x g x F x x -+=,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1()ln(1)1f x a x x =-+-()()22g x f x x =-+(1,)+∞a 0a >()y f x =21()e 1()2x f x x mx m =+-+∈R ()f x ()f x 1x 2x ()f x ()e sin 1xf x ax x =-+-()f x ()0,∞+a 12a ≤<()()()2g x x f x =-11/ 11。
河北省“五个一”名校联盟2023届高三年级联考（2022.12）数学试卷命题单位：石家庄市第一中学（满分：150分，测试时间：120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}122,xA x x R =-<<∈，集合{}21log 2,B x x x R =-<<∈，则集合A B = （）A.{}01x x << B.{}1x x < C.112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭D.{}4x x <答案：C.2.已知(3)4i z i +=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部是（）A.1310B.110-C.1310i D.110i -答案：B.3.已知:3p x ≠或7y ≠，:21q xy ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案：B.4.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，左、右焦点分别为12F F 、，O 为坐标原点，P 为右支上一点,且OP ,O 到直线2PF 的距离为b ，则双曲线C 的离心率为（）A.2 C.D.答案：B.5.已知0,0x y >>，且1xy =，则33241x y x y+++的最小值为（）A.2+ B.4C.4+D.4+答案：D.6.设异面直线,a b 所成的角为50，经过空间一定点O 有且只有四条直线与直线,a b 所成的角均为θ，则θ可以是下列选项中的（）A.6πB.3π C.512π D.2π答案：C.7.设1213a =，7ln 4b =，4sin 3c =，那么以下正确的是（）A.a b c >> B.c a b >> C.a c b >> D.c b a>>答案：B.8.已知点列n P 在△ABC 内部，△n ABP 的面积与△n ACP 的面积比为13，在数列{}n a 中，11a =，若存在数列{}n λ使得对*n N ∀∈，13(43)n n n n n n AP a AB a AC λλλ-=++ 都成立，那么4a =（）A.15 B.31C.63D.127答案：D.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.甲乙丙丁四个人排队，事件A ：甲不在排头，事件B ：乙不在排尾，那么7()9P B A =；B.若随机变量ξ服从二项分布(100,0.6)B ，则(0)P ξ==1000.6；C.若随机变量ξ服从正态分布(100,64)N ，则100,8E D ξξ==；D.(41)4()1E X E X +=+，(41)16()1D X D X +=+.答案：BCD10.已知函数()2sin(2)1(0)f x x θθπ=++<<，其一个对称中心为点(,1)6π，那么以下正确的是（）A.函数()f x 的图像向右平移12π个单位后，关于y 轴对称；B.函数()f x 的最小正周期为2π；C.不等式()0f x ≤的解集是7,412x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭；D.当,012x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，36()0f x x π+≥恒成立.答案：ACD.11.已知,,x y z 均为正数，a =b =，c =，则三元数组(,,)a b c 可以是以下（）A.(1,2,3) B.(3,4,9)C.(5,6,10)D.(7,8,13)答案：CD.12.已知等腰三角形ABC ，3AC BC ==，AB =D 为边AB 上一点，且AD =沿CD 把△ADC 向上折起，A 到达点P 位置，使得二面角P CD B --的大小为23π，在几何体PBCD 中，若其外接球半径为R ，其外接球表面积为S ，那么以下正确的是（）A.CD =B.2PB =C.3R =D.39S π=答案：ABD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.13.在921()x x-的展开式中，常数项是第项.答案：4.14.已知函数2()lg(65)f x ax x =-+的值域为R ，那么a 的取值范围是.答案：90,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦15.已知椭圆221105x y +=上有不同的三点,,A B C ，那么△ABC 面积最大值是.答案：4.16.对(0,)x ∀∈+∞，都有32()(2)(ln 1)0xf x x e m x x e e x =+-++-+≥恒成立，那么m 的取值范围是.答案：(,1]2e-∞+四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18～22题每题12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a ，其前n 项和261n S n n =-+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2nn b =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T .解析：（1）由题意可知，261n S n n =-+，21(1)6(1)1(2)n S n n n -=---+≥................................................................................2分两式作差，可得27(2)n a n n =-≥，当1n =时，114a S ==-，所以27(2)4(1)n n n a n -≥⎧=⎨-=⎩..............................................................................................4分（2）由题意可知，(27)2(2)nn n a b n n =-⋅≥，118(1)a b n =-=那么22338......n n n T a b a b a b =-++++，......................................................................6分可知：232(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n -=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，两边乘以2，可得：23412(2)(5)2(3)2(1)2......(27)2n n T n +-=-⋅+-⋅+-⋅++-⋅，......................8分两式作差可得：所以21(2)1028(27)2n n n T n ++--=-+---⋅，即：1(29)220n n T n +=-⋅+....................................................................................10分18.已知在如图所示的三棱锥A BCD -中，4,BD BA BC ===2BAD BCD π∠=∠=，面BAD ⊥面BCD ，（1）求棱AC 的长度；（2）求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值.解析：由题意，取BD 中点设为O ，在面BAD 内做Oz BD ⊥，以O 为坐标原点，,,OC OD Oz 分别为,,x y z 轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系，...........................................1分（1）在直角三角形ABD 内，过A 做AE BD ⊥于E ，可求2AD =，那么AB ADAE BD⋅==21AD DE BD ==，...................2分所以1OE =，那么A ，(2,0,0)C ，所以AC =.....................................................................4分（2）由题意，(0,2,0)B -，(0,2,0)D ，那么BA = ，(2,2,0)BC =，...........................................................................6分设平面ABC 的法向量为(,,)m x y z =，那么：BA m BC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，整理可得30220y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令y=1，那么(1,1,m =-，......................................................................................8分而(2,2,0)CD =-，...........................................................................................................9分直线CD 与平面ABC 所成角的正弦即为CD 与m所成角的余弦，所以cos ,5CD m CD m CD m⋅<>==⋅所以直线CD 与平面ABC所成角的正弦为5.........................................................12分19.在三角形ABC中，若222sin sin sin sin sin A B C A B C ++=，（1）求角A 的大小；（2）如图所示，若2DB =，4DC =，求DA 长度的最大值.解析：由题意可知，由正弦定理可得：222sin a b c A ++=，再由余弦定理可得：22222cos sin b c bc A b c A +-++=，.......................................................................................................2分即：22sin cos b c A bc A +=+，整理可得：cos 2sin()6b c A A A c b π+=+=+， (3)分可知左边2b cc b+≥，当且仅当b c =时，cos 2sin()26A A A π+=+≤，当且仅当3A π=，左右相等只有两边都等于2时，即同时取得等号，所以，3A π=.............................................................................................................5分（2）由（1）可知：b c =,所以三角形ABC 是正三角形.设BDC θ∠=，BCD α∠=，那么由余弦定理可得：2416224cos 2016cos BC θθ=+-⋅⋅=-，即：BC =，同样CA =...........................................7分在三角形BDC 中，由正弦定理可得：2sin sin θα=，整理得：sinα=，.............................................................................................9分因为BD CD <，所以α为锐角，那么cosα=，........................10分那么1cos()cos322πααα+=-=2162016cos 8(2cos )2016sin()366DA πθθθθ=+----=+-≤，当且仅当23πθ=时取得等号，所以DA 最大值为6............................................12分20.甲、乙两人进行一次乒乓球比赛，约定先胜4局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局比赛中，甲、乙获胜的概率均为0.5，且各局比赛结果相互独立，已知前两局比赛均为甲获胜，（1）求甲获得这次比赛胜利的概率；（2）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望.解析：用i A 表示事件：第i 局甲获胜（3,4,5,6,7i =），用i B 表示事件：第i 局乙获胜（3,4,5,6,7i =），.............................................................1分（1）记A 表示事件：甲获得这次比赛的胜利，记B 表示事件：乙获得这次比赛的胜利，那么34563456734567()1()1()()()P A P B P B B B B P A B B B B P B A B B B =-=---4143456734567411113()()1()()22216P B B A B B P B B B A B C --=--=.......................4分（2）ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，由题意ξ可取2，3，4，5，那么23411(2)()()24P P A A ξ====，123453452111(3)()()()224P P B A A P A B A C ξ==+==，.......................7分234345634563456345631111(4)()()()()()()2224P P B B B B P A B B A P B A B A P B B A A C ξ==+++=+=1(5)1(2)(3)(4)4P P P P ξξξξ==-=-=-==.......................................................10分所以11117234544442E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.....................................................12分21.已知函数()e xf x =，2()g x x =-.（1）若()1f x ax ≥+恒成立，求a .（2）若直线l 与函数()f x 的图像切于11(,)A x y ，与函数()g x 的图像切于22(,)B x y ，求证：1214x x +<.解：（1）设函数01)(≥--=ax e x h x ，发现0)0(=h ，所以)0(1)(h ax e x h x ≥--=恒成立，那么0=x 是函数)(x h 的最小值点，也就是极小值点，所以0)0('=h ，求导：a e x h x -=)('，把0=x 代入得：1=a .....................................................................2分证明：当1=a 时，1)(--=x e x h x ，求导：1)('-=x e x h ，当0<x 时，0)('<x h ，)(x h 单调递减；当0>x ，0)('>x h ，)(x h 单调递增.所以0)0()(=≥h x h .所以1=a ..................................................................................................................................4分（2）由题意可知：x x f e )('=，x x g 2)('-=，那么：21222)(211x x x e x e x x ---=-=..........................................................................................6分解之可得：212222)(22x x x x x ----=-，即2212-=x x ，所以1x 满足)22(211--=x e x ，即044)22(21111=-+=-+x e x e x x ..............................8分令44)(-+=x e x m x，可知)(x m 单调递增，且02)21(<-=e m ，0143(43>-=e m ，所以43211<<x ，..........................................................................................................10分而212212-<-=x x ，所以4121<+x x ，命题得证.........................................................................................12分22.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C ，左、右焦点分别为1(1,0)F -、2(1,0)F ，左、右顶点分别为B A 、，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为3π，点P 在直线4=x 上，直线P A 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中N M 、不与左右顶点重合.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）从点A 向直线MN 做垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.解：（1）由题意可得：1c =，设11PF r =，22PF r =，那么22222111211212124()24cos 22r r c r r r r c FTF r r r r +-+--∠==2211212424122b r r b r r r r -==-，....................................................................................................1分可知2212122r r r r a +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12r r =取得等号，所以上式222242112b b a a ≥-=-，即12cos FTF ∠的最小值为2221b a -，又12FTF ∠的最大值为3π，所以2212cos 132b a π==-，...........................................2分所以2234b a =，又1c =，所以解得2,a b ==，所以椭圆C 的标准方程为13422=+y x ............................................................................................................................................4分（2）由题意可知，直线MN 斜率为0时，显然不成立；设直线:MN x my t =+，点),(),,(2211y x N y x M ，联立直线MN 与椭圆C ：⎪⎩⎪⎨⎧=++=13422y x tmy x ，整理可得：01236)43(222=-+++t mty y m ，43123,4362221221+-=+-=+m t y y m mt y y ，...........................................5分由上，设直线)2(2:11++=x x y y MA ，直线22:(2)2y NB y x x =--，两直线联立可知交点为P ，解之：)24(2)24(22211--=++x y x y ，所以：31)2()2(1221=+-x y x y ，即：31)2()2(122221=+-x y x y y ..........................................7分而)2)(2(43)41(3222222+--=-=x x x y ，代入上式，31)2)(2(342121=++-x x y y ，高三年级五校联考数学试卷第11页（共11页）即：31)2)(2(342121=++++-t my t my y y ，..........................................................9分然后韦达定理代入可得:31)2(41233422=+--t t ，解之可得：1t =或2-（舍）...........................................11分可知直线MN 过定点)0,1(E ，又由条件：EQ AQ ⊥，所以Q 在以AE 为直径的圆上，圆心即为)0,21(-D ，DQ 为定值23.....................................................................12分。
2021届安徽省五校高三上学期12月联考理科综合生物试卷★祝考试顺利★(含答案)考生注意：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分100分,考试时间90分钟。
2.考生作答时,请将答案答在答题卡上。
第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；第Ⅱ卷请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效。
第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题（本大题共25小题,每题2分,共50分。
在每小题列出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。
）1．2020年9月8日,全国抗击新冠肺炎疫情表彰大会在京举行,隆重表彰了在抗击新冠肺炎疫情斗争中做出杰出贡献的功勋模范人物,授予钟南山“共和国勋章”,授予张伯礼、张定宇、陈薇“人民英雄”国家荣誉称号。
新冠肺炎疫情警示人们要养成良好的生活习惯,提高公共卫生安全意识。
下列相关叙述正确的是（）A．新冠肺炎病毒的元素组成只有C、H、O、NB．病毒能在餐具上增殖,清洗餐具时要彻底C．新冠肺炎病毒不属于生命系统的结构层次D．新冠肺炎病毒依靠自身核糖体合成蛋白质2.下列关于生物体内水和无机盐的叙述,不正确的是（）A.小麦种子燃尽后的灰烬主要成分是无机盐B.血红蛋白的合成伴随着水的生成C.越冬的植物体内自由水与结合水的比值下降D.植物从土壤中吸收的水分主要用于光合作用和呼吸作用3.关于细胞中化合物的叙述,正确的是（）A.组成脱氧核糖核酸和三磷酸腺苷的元素相同B.纤维素和胰岛素的合成都需要供给N源C.血红蛋白和叶绿素分子都含有C、H、O、N,两者都有肽键D.蛋白质分子中的N主要存在于R基中,核酸中的N主要存在于碱基中4.下列有关生物膜的相关叙述,不正确的是（）A.细胞膜上的受体是细胞间进行信息交流的必需结构B.一切细胞均具有以磷脂双分子层为骨架的细胞膜C.大肠杆菌具有生物膜,但无具膜的细胞器D.不同功能的生物膜上的蛋白质的种类和数量不同5.一项来自某大学的研究揭示了体内蛋白分选转运装置的作用机制,即为了将细胞内的废物清除,细胞膜塑形蛋白会促进囊泡（分子垃圾袋）形成,将来自细胞区室表面旧的或受损的蛋白质带到了内部回收利用工厂,在那里将废物降解,使组件获得重新利用。
怀远一中、颍上一中、蒙城一中、涡阳一中、淮南一中2021届高三“五校”联考化学试题考试时间:2020年12月5日试题说明：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷（非选择题）两部分。
全卷满分100分，考试时间90分钟2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，并将条形码粘贴在规定区域内。
3.选择题使用2B铅笔填涂；非选择题使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清晰。
请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．、草稿纸上．．．．．．．．．．．．．．．．．；在试题卷的答题无效．．．．．。
4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，答题卷上不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。
5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。
可能用到的相对原子质量：H1O16Cu64Cl35.5第I卷(选择题共45分)一、选择题（本题共15小题，每小题3分，共45分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的）1、化学与生活、生产及环境等密切相关。
下列说法错误的是（）A.木材和织物用水玻璃浸泡后，不易着火B.煤经过气化和液化等化学变化可转化为清洁能源C.K2FeO4可以对饮用水进行消毒和净化D.体积分数为95%的酒精溶液可以更有效地灭活新型冠状病毒2、下列化学用语表达正确的是（）A.明矾的化学式：KAl(SO4)2S2-B.具有16个质子、18个中子和18个电子的单核微粒：3416C.比例模型可以表示CO2或SiO2D.BaSO4的电离方程式：BaSO4Ba2++SO2-43、N A为阿伏伽德罗常数的值，下列说法正确的是（）A.0.1mol H2和0.1mol I2于密闭容器中充分反应后，其分子总数为0.2N AB.11g由3H和16O组成的超重水中，中子数和电子数之和为10N AC.等物质的量的NaN3和Na2O2中所含阴离子数目均为N AD.0.5mol雄黄（As4S4，结构）含有N A个S－S键4、常温下，下列各组离子在指定溶液中一定能大量共存的是（）A.与Al反应生成H2的溶液中：K+、HCO－3、NO－3、SO2-4B.透明溶液中：Cu2+、Na+、SO2-4、Cl－C.能使甲基橙变黄的溶液中：K+、Al3+、CO2－3、AlO－2D.pH=7的溶液中：Fe3+、NH4+、Cl－、NO－35、下列离子方程式书写正确的是（）A.将2mol Cl2通入含有1mol FeI2的溶液中：2Fe2++2I－+2Cl2=2Fe3++4Cl－+I2B.向NH4HCO3溶液中加入足量石灰水：Ca2++HCO－3+OH－=CaCO3↓+H2OC.“84”消毒液的漂白原理：ClO －+CO 2+H 2O =HClO +HCO －3D.用浓盐酸酸化的KMnO 4溶液与H 2O 2反应，证明H 2O 2具有还原性：2MnO －4+5H 2O 2+6H +=2Mn 2++5O 2↑+8H 2O 6、下列有关实验能达到相应实验目的的是（）甲乙丙丁A.甲装置可用于二氧化锰与浓盐酸反应制备氯气B.乙装置可用于检验SO 2气体中混有的CO 2气体C.丙装置可用于分离烧杯中的I 2和NH 4ClD.丁装置可用于由硫酸铜溶液获得硫酸铜晶体7、科学家合成一种化合物是很多表面涂层的重要成分，其结构如图所示，其中W 、X 、Y 、Z 为原子序数依次增大的短周期主族元素，只有X 、Y 在同一周期。
蒙城一中 涡阳一中 淮南一中 怀远一中 颍上一中2023届高三第二次五校联考数学试题命题学校：怀远一中 考试时间：2023年5月12日考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）{},R M x x x x ==∈M =R ðA. B.C.D.(),0∞-(],0-∞()0,∞+[)0,∞+【答案】A 【解析】【分析】解方程得到，从而得到补集.[)0,M =+∞【详解】，故. {}[),R 0,M x x x x ∞==∈=+(),0M =-∞R ð故选：A2. 若复数，实数a ，b 满足，则（ ） 1i z =-0bz a z+-=a b +=A. 2 B. 4C.D.1-2-【答案】B 【解析】【分析】法一：化简得到，得到，，；102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩2a =2b =4a b +=法二：化简得到，由韦达定理进行求解. 20z az b -+=【详解】法一：∵，1i z =-∴， ()1i 1i 1i 11i 01i 222b b b b a a a +⎛⎫-+-=-+-=-++-+= ⎪-⎝⎭∴, 102102b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得，，. 2a =2b =4a b +=法二：∵， 0bz a z+-=∴，20z az b -+=因为，故也满足， 1i z =-1i z =+20z az b -+=由韦达定理可得，， 1i+1+i 2a =-=()()1i 1+i 2b =-=故. 4a b +=故选：B3. 已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角a b c 1a = ()()1a b a b -⋅+=- 1a b ⋅= 2c b =-a c （ ） A. 45° B. 60°C. 135°D. 150°【答案】C 【解析】【分析】由向量的数量积运算公式，再应用向量夹角公式求夹角，最后结合向量反向共线求出夹角即可.【详解】∵，，()()1a b a b -⋅+=- 221a b -=-∵，1a b ⋅=∴，则，cos ,a b a b a b ⋅===⋅[]0,πθ∈π,4a b = 设向量与的夹角为，与反向,则. a c θ2,c b c =-bπ3ππ44θ=-=故选：C.4. 图1是世界上单口半径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——口径抛物面射电望远500m 镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），其边缘距离底部的落差约为156.25米，它的一个轴截面开口向上的抛物线C 的一部分，放入如图2所示的平面直角坐标系内，已知该抛物线上点P 到底部水平线（x 轴）距离为，则点到该抛物线焦点F 的距离为xOy 125m （ ）A. B. C. D.225m 275m 330m 380m 【答案】A 【解析】【分析】设抛物线为且，根据在抛物线上求p ，利用抛物线定义求P 到该抛22x py =0p >(250,156.25)物线焦点F 的距离.【详解】令抛物线方程为且，22x py =0p >由题设在抛物线上，则，得，(250,156.25)2312.5250p =2250200312.5p ==又且，则P 到该抛物线焦点F 的距离为米. (),P P P x y 125P y =1251002252P py +=+=故选：A5. 已知函数是定义在上的偶函数，函数是定义在上的奇函数，且，在()f x R ()g x R ()f x ()g x 上单调递减，则（）[)0,∞+A. B. ()()()()23ff f f >()()()()23f g f g <C. D.()()()()23g g g g >()()()()23g f g f <【答案】D 【解析】【分析】利用函数的单调性以及函数的奇偶性，判断各选项的正负即可.【详解】因为，在上单调递减，是偶函数，是奇函数， ()f x ()g x [)0,∞+()f x ()g x 所以在上单调递减，在上单调递增，()g x R ()f x (],0-∞对于A ，，但无法判断的正负，故A 不正确； ()()23f f >()()2,3f f 对于B ，，但无法判断的正负，故B 不正确；()()23g g >()()2,3g g 对于C ，，在上单调递减，所以，故C 不正确； ()()23g g >()g x R ()()()()23g g g g <对于D ，，在上单调递减，，故D 正确. ()()23f f >()g x R ()()()()23g f g f <故选：D .6. 若两条直线：，：与圆的四个交点能构成矩形，则1l y x m =+2l y x n =+22220x y x y t +--+=（ ）m n +=A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】A 【解析】【分析】由题意知圆心到两直线的距离相等，得到等量关系求解即可. 【详解】由题意直线平行，且与圆的四个交点构成矩形， 12,l l 则可知圆心到两直线的距离相等，由圆的圆心为：，22220x y x y t +--+=()1,1圆心到的距离为：1:l y x m =+1d 圆心到的距离为：2:l y x n =+2d ，m n ⇒=由题意，m n ≠所以， 0m n m n =-⇒+=故选：A.7. 已知事件A ，B ，C 的概率均不为0，则的充要条件是（ ） ()()P A P C =A. B. ()()()P A C P A P C =+ ()()P AB P BC =C. D.()()P A B P B C = ()()P AC P AC =【答案】D 【解析】【分析】根据和事件的概率公式判断A 、C ，根据积事件的概率公式判断D ，根据相互独立事件的概率公式判断B.【详解】对于A ，因为，由， ()()()()P A C P A P C P A C =+- ()()()P A C P A P C =+ 只能得到，并不能得到，故A 错误；()0PA C ⋂=()()P A P C =对于B ，由于不能确定，，是否相互独立，A B C 若，，相互独立，则，， A B C ()()()P AB P A P B =()()()P BC P B P C =则由可得，()()P AB P BC =()()P A P C =故由无法确定，故B 错误；()()P AC P BC =()()P A P C =对于C ，因为，()()()()P A B P A P B P A B =+- ，()()()()P B C P B P C P B C =+- 由，只能得到， ()()P A B P B C = ()()()()P A P A B P B P B C -⋂=-⋂由于不能确定，，是否相互独立，故无法确定，故C 错误； A B C ()()P A P C =对于D ，因为，， ()()()P AC P A P AC =-()()()P AC P C P AC =-又，所以，故D 正确； ()()P AC P AC =()()P A P C =故选：D.8. 若，对于恒有，则的最大值是m ∃∈R [],x a b ∀∈2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭b a -（ ） A.B.C.D.3π4π4π32π【答案】B 【解析】【分析】把不等式化简可得m 的范围，求出b-a 最大值即可.【详解】由，得，即2π2sin204m x m x ⎛⎫-+⋅+≤ ⎪⎝⎭()2sin cos sin cos 0m x x m x x -+⋅+⋅≤,()()sin cos 0m x m x --≤由几何意义可知，函数的图像在函数，的图像之间， y m =sin y x =cos y x =如下图所示，， m ≤≤要使达到最大，仅需要或，此时.b a -m =m =π3ππ44b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知，，，若（），()()01111122nn n x a a x a x ⎛⎫+=+-++- ⎪⎝⎭3n ≥*n ∈N 3i a a ≥0,1,2,,i n =L则n 的可能值为（ ） A. 6 B. 8C. 11D. 13【答案】BC 【解析】【分析】根据二项式展开式的通项公式以及二项式系数最大值的知识求得正确答案.【详解】依题意，，()11122121n nx x ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎫+ ⎝⎭⎦⎛⎪所以， ()()()111C 1C 122iiii iii nn a x x x ⎡⎤⎛⎫-=⋅-=⋅⋅- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭依题意，，其中， 111111C C 2211C C 22y y y y n n y y y y n n --++⎧⎛⎫⎛⎫⋅≥⋅⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪⋅≥⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩1,2,3,,1y n =- 化简得，继续化简得，111C C 21C C 2y y n n y y n n-+⎧⨯≥⎪⎪⎨⎪≥⨯⎪⎩()()()()()()1!!2!!1!1!!1!!!21!1!n n y n y y n y n n y n y y n y ⎧⨯≥⎪⋅--⋅-+⎪⎨⎪≥⨯⎪⋅-+⋅--⎩即，1123,2223n yn y y y n y n y +⎧≥⎪-+≥⎧⎪⎨⎨+≥--⎩⎪≥⎪⎩依题意，，所以，解得.3i a a ≥133233n n +⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩811n ≤≤故选：BC10. 如图，杨辉三角形中的对角线之和1，1，2，3，5，8，13，21，…构成的斐波那契数列经常在自然中神奇地出现，例如向日葵花序中央的管状花和种子从圆心向外，每一圈的数字就组成这个数列，等等.在量子力学中，粒子纠缠态、量子临界点研究也离不开这个数列.斐波那契数列的第一项和第二项都{}n a 是1，第三项起每一项都等于它前两项的和，则（ ）A. B. 24620222023a a a a a ++++= 135********a a a a a ++++= C.D.2222123202320232024a a a a a a ++++= 132435202120231220222023111111a a a a a a a a a a a a ++++=- 【答案】BCD 【解析】【分析】由已知且，利用及累加法判断A ；利用及11n n n a a a -++=2n ≥22121n n n a a a +-=-21222n n n a a a ++=-累加法判断B ；利用及累加法判断C ；利用及累加法21121n n n n n a a a a a ++++=-2112111n n n n n n a a a a a a ++++=-判断D.【详解】由题设且，11n n n a a a -++=2n ≥由，，，...，， 21a a =453a a a =-675a a a =-22121n n n a a a +-=-所以， 2462132121...1n n n a a a a a a a a ++++++=-+=-则，A 错误；246202220231a a a a a ++++=- 由，，，...，，12a a =342a a a =-564a a a =-21222n n n a a a ++=-所以，则，B 正确；1352122n n a a a a a ++++++= 135********a a a a a ++++= 由，则，12n n n a a a ++=-21121n n n n n a a a a a ++++=-所以222221232023123123423()()a a a a a a a a a a a a a ++++=+-+-++ ，C 正确；202320242022202320232024()a a a a a a -=由， 1221212112111n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-===-所以132435202120231111a a a a a a a a ++++ 122323342021202220222023111111a a a a a a a a a a a a =-+-++-，D 正确. 122022202311a a a a =-故选：BCD.11. 如图，正三棱锥和正三棱锥，.若将正三棱锥E PBD -C PBD -2BD =E PBD -绕旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，处，且A ，B ，C ，D四点共面，点A ，C 分别位于BD 两BD 1A 侧，则（ ）A.B.PA BD ⊥1PA BD ∥C. 多面体D. 点P 与点E1PA ABCD 【答案】AD 【解析】【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理结合正三棱锥的性质可判断A ，B ；由已知可得，正三棱锥侧棱两两互相垂直，放到正方体中，借助正方体研究线面位置关系和外接球表面积可判断C ；由题意转E 动的半径长为，转动的半径长为可判断D .1EM =P PM =【详解】取的中点为，连接， BD M ,EM PM 由，所以，,EB ED CB CD ==,PM BD EM BD ⊥⊥又，平面，所以平面， = EM PM M ,EM PM ⊂EMP BD ⊥EMP 将正三棱锥绕旋转，使得点E ，P 分别旋转至点A ，处， E PBD -BD 1A 所以平面，所以，故A 正确； PA ⊂EMP BDPA ⊥因为平面，所以，故B 不正确；1PA ⊂EMP 1BD PA ⊥因为A ，B ，C ，D 四点共面，，1112AD AA AB A D A B =====可得：，，22211AA AB BA +=22211AA AD DA +=所以平面， 11,,,,AA AB AA AD AB AD A AB AD ⊥⊥⋂=⊂ABCD 所以平面，同理平面，由已知为正方形，1AA ⊥ABCD PC⊥ABCD ABCD所以可将多面体的正方体，1PA ABCD则多面体 1PA ABCD 表面积为，选项C 不正确；6π由题意转动的半径长为，转动的半径长为，E 1EM =P PM =所以点P 与点E ，故D 正确. 故选：AD. 12. 已知，则（ ）11ln e e 10βαγαβγ-+-==>A. B.C.D.αγ…βγ…2βαγ-…2βαγ+…【答案】AB 【解析】【分析】分别绘制函数，通过三个函数的图像彼此之间的位()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===置关系逐项分析.【详解】设， ()()()11ln e e 1,,x x x f x g x h x x x x-+-===则，当时，单调递减，当时，单调递增，()'2ln x fx x-=1x ＞()()'0,f x f x ＜01x ＜＜()()'0,f x f x ＞，∴()()()1max 11,e 0f x f f -===，当时，单调递减，； ()()1'21e x x g x x -+=-x ＞0()()'0,g x g x ＜()11g =单调递增，并且，； ()()'210,h x h x x=＞()1e 0h -=()1e 11h =-＞的大致图像如下：()()(),,f x g x h x又，并且，是减函数，，是增函11ln e e 10t βαγαβγ-+-===＞1ln 1αα+≤()g x ()11,1g β=∴≥()h x 数，，， 11e 1h ⎛⎫=⎪-⎝⎭∴11e e 1γ-≤-＜不是单调的函数，对于，对应和，并且，()f x 01t ＜≤1α2α1201,1αα≤≥＜又设， ()()()11ln ln 2e e x x k x h x f x x x x++=-=--=-，当时，单调递增，时，单调递减，()'21ln x k x x +=1e x -＞()()'0,k x k x ＞10ex -＜＜()()'0,k x k x ＜，()()1min e 0k x k -==即当时，，，AB 正确；1e x -＞()()h x f x ＞1γαβ∴＜＜对于选项CD ，由于不能确定对应的自变量是还是，所以不能确定其正确性. ()f x t =1α2α故选：AB.【点睛】画出函数图像，大致确定三条曲线彼此之间的位置是解题的关键三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在某地A 、B 、C 三个县区爆发了流感，这三个地区分别3%，2%，4%的人患了流感.若A 、B 、C 三个县区的人数比分别为4：3：3，先从这三个地区中任意选取一个人，这个人患流感的概率是______. 【答案】0.03 【解析】【分析】患流感的人可能来自三个地方，利用条件概率公式求解.【详解】设事件D 为此人患流感，，，分别代表此人来自A 、B 、C 三个地区，根据题意可知：1A 2A 3A ，，，()1410P A =()2310P A =()3310P A =，，， ()13100P D A =()22100P D A =()34100P D A =()()()()()()()112233P D P A P D A P A P D A P A P D A =++. 4332343030.031010010100101001000100=⨯+⨯+⨯===故答案为：0.0314. 如图，一个棱长6分米的正方体形封闭容器中盛有V 升的水（没有盛满），若将该容器任意放置均不能使容器内水平面呈三角形，写出的一个可能取值：______.【答案】37（答案不唯一） 【解析】【分析】如图，在正方体中，若要使液面形状不可能为三角形， ABCD EFGH -则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC , 据此计算即可得解.【详解】如图，在正方体中，ABCD EFGH -若要使液面形状不可能为三角形，则平面EHD 平行于水平面放置时，液面必须高于平面EHD ，且低于平面AFC ,若满足上述条件，则任意转动正方体，液面形状都不可能为三角形， 设正方体内水的体积为V ，而， G EHD B AFC V V V V --<<-正方体而（升）， 26=1166332G EHD B AFC V V --=⨯⨯⨯=（升）3636180B AFC V V --=-=正方体所以V 的取值范围是. ()36,180故答案为： ()36,18015. 已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，点P 在双()1,0F c ()2,0F c -τ22221x ya b -=0a >0b >曲线上，，圆：，直线与圆O 相交于A ，C 两点，直线与圆O 相交12PF PF ⊥O 2223x y c +=1PF 2PF于B ，D 两点.若四边形，则的离心率为______. ABCD 2τ【解析】【分析】由弦长公式可得，AB ==CD ==的面积为，再由勾股定理结合双曲线的定义解得，可求双曲线的离心率. ABCD 12AB CD ⋅44425c b =【详解】因为四边形，因为，所以， ABCD 212PF PF ⊥AC BD ⊥设分别为到直线的距离，12,d d O ,AB CD所以，AB ==CD ==所以，212ABCD S AB CD =⋅==∴①，()422222121293c c d d d d -++⋅41514b=∵，，且，122PF d =212PF d =12PF PF ⊥∴，由双曲线的定义可得：，22212d d c +=1221222PF PF d d a -=-=平方可得：，所以代入①，22212214484d d d d a +-⋅=2122b d d =可得：，44425c b =即，令，则，，，2225c b =22b =25c =23a =223b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭双曲线的离心率为. c e a ===16. 完美数（Perfectnumber ）是一类特殊的自然数，它的所有真因数（除自身之外的正因数）的和恰好等于它本身，寻找“完美数”用到函数，为n 的所有真因数之和，如()*:n n σ∈N ()n σ，28是一个“完美数”，则再写出一个“完美数”为______；()2812471428σ=++++=()2160σ=______. 【答案】 ①. 6（或496，8128，33550336等）②. 5280【解析】【分析】根据为n 的所有真因数之和，第一空直接计算即可，分析的正因素的特点，求解即()n σ()n σ可.【详解】，()61236σ=++=，2160的所有真因数的个数为，432160235=⨯⨯542139⨯⨯-=，()()()()012340123012160222223333552160744021605280σ=++++++++-=-=故答案为：6；5280四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创造了“勾股方图”，后人称其为“赵爽弦图”，类比“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，用3个全等的小三角形拼成了如图所示的等边，若，ABC 2DF =. sin BAD ∠=（1）求； sin CAF ∠（2）求的面积. ABC【答案】（1（2【解析】【分析】（1）在中，由及求得；ACF △sin ACF ∠AFC ∠sin CAF ∠（2）在中，设（），则，由正弦定理求得，然后利用余ABD △AF DB t ==0t >2AD t =+73AB t =弦定理即可求解. 【小问1详解】由知，，为正三角形，ACF ABD BCE △≌△≌△ACF BAD ∠=∠DEF ，120120AFC ADB ∠=∠= ，∵. sin BAD ∠=∴，，sin ACF ∠=13cos 14ACF ∠=.()131sin sin 60142CAF ACF ∠=-∠=-=【小问2详解】设（），则，AF DB t ==0t >2AD t =+由正弦定理：，则，sin sin BD ABBAD ADB=∠∠=73AB t =中，，ABD △2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅⋅∠即，则，， ()222491(2)2292t t t t t ⎛⎫=++-+⨯- ⎪⎝⎭3t =7AB =所以. 177sin 602ABC S =⨯⨯=18. 已知棱长为2的正方体中，E ，F 分别是棱，的中点.1111ABCD A B C D -BC 1CC（1）求多面体的体积；1CEFADD （2）求直线和平面所成角的正弦值.1BD 1AEFD【答案】（1）73（2【解析】【分析】（1）运用棱台体积公式计算； （2）建立空间直角坐标系，运用数量积计算. 【小问1详解】∴，，∴，∴A ，E ，F ，四点共面， 1//EF BC 11//BC AD 1//EF AD 1D 易知多面体是一个三棱台，1CEFADD (11-13CEF DAD CEF DAD V S S CD =++⋅△△；11722323⎛=++⨯=⎝【小问2详解】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，为z 轴建立空间直角坐标系如上图， 1DD 则，()()()()()12,0,0,2,2,0,0,2,0,1,2,0,0,0,2A B C E D ，()()()111,2,0,2,0,2,2,2,2AE D A D B =-=-=-设平面的一个法向量为，则有，即， 1AEFD (),,m x y z = 1·0·0m D A m AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩22020x z x y -=⎧⎨-+=⎩令，则，1y =()2,2,2,1,2x z m ==∴=设直线与平面的夹角为，则；1BD 1AEFDθ11sin m D B m D Bθ== 综上，多面体的体积为，直线与平面1CEFADD 731BD 1AEFD 19. 甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第（）次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，在丙手中的方法数n *N n ∈n a 为.n b （1）求证：数列为等比数列，并求出的通项； {}1n n a a ++{}n a （2）求证：当n 为偶数时，.n n a b >【答案】（1）证明见解析， 22(1)3n nn a +-=（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）首先确定第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为，再结合条件列出关于数列的递推公2n {}n a 式，即可证明数列是等比数列，并且变形后，利用累加求{}1n n a a ++()()()111112n n n n n a a ------=-和，即可求解数列的通项公式；（2）首先由条件确定，再根据（1）的结果，确定数列的通项公式，再比较大小.22nn n a b +={}n b 【小问1详解】由题意知：第n 次抛沙包后的抛沙包方法数为，2n 第次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为，若第n 次抛沙包后沙包在甲手中，则第次抛沙包1n +1n a +1n +后，沙包不可能在甲手里，只有第n 次抛沙包后沙包在乙或丙手中， 故，且()10212nnn n n n a a a a +=⨯+-⨯=-10a =故，12nn n a a ++=，()1122n n n na a n a a +-+=≥+所以数列为等比数列，{}1n n a a ++由，得，112n n n a a --+=()()()111112n n n n n a a ------=-， ()()()12112112a a ---=-， ()()()23223112a a ---=-，()()()34334112a a ---=-……………，()()()111112n n n n n a a ------=-以上各式相加， ()()()1112121112n n na a -⎡⎤---⎣⎦---=+可得；22(1)3n nn a +-=【小问2详解】由题意知：第n 次抛沙包后沙包在乙、丙手中的情况数相等均为， n b 则，22nn n a b +=∵当n 为偶数时，，22(1)222333n n n nn a +-+==>2223n n n n a b -=<∴.n n a b >20. 为调查某地区植被覆盖面积x （单位：公顷）和野生动物数量y 的关系，某研究小组将该地区等面积花分为400个区块，从中随机抽取40个区块，得到样本数据（），部分数据如下： (),i i x y 1,2,,40i = x … 2.7 3.6 3.2 3.9 … y…50.663.752.154.3…经计算得：，，，.401160==∑ii x4012400==∑i i y ()4021160=-=∑i i x x ()()4011280=--=∑i i i x x y y （1）利用最小二乘估计建立y 关于x 的线性回归方程；（2）该小组又利用这组数据建立了x 关于y 的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系xOy 下，横坐标x ，纵坐标y 的意义与植被覆盖面积x 和野生动物数量y 一致.设前者与后者的斜率分别为1k ，，比较，的大小关系，并证明.2k 1k 2k 附：y 关于x 的回归方程中，斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： ，y abx =+ 1221ˆni ii niix y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，a y bx =-$$nnx yr =【答案】（1）828y x =+（2），证明见解析 12k k <【解析】【分析】（1）根据最小二乘法计算公式求解； （2）根据相关系数证明. 1r ≤【小问1详解】，，，， 160440x ==24006040y ==12808160b == 603228a =-=故回归方程为； 828y x =+【小问2详解】x 关于y 的线性回归方程为，11x a b y =+ ()()()1121ˆniii nii x x y y b y y ==--=-∑∑， ，()()()40114021iii ii x x y y k bx x ==--==-∑∑ ()()()2401240111ii iii y y k b x x y y ==-==--∑∑ 则 ，r 为y 与x 的相关系数， ()()()()240121402221i i i i ii x x y y k r k x x y y ==⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==--∑∑又，，，故，即， 1r ≤1k 20k >121k k ≤12k k ≤下证：， 12k k ≠若，则，即恒成立，12k k =1r =()8281,2,,40i i y x i =+= 代入表格中的一组数据得：，矛盾， 50.68 2.728≠⨯+故.12k k <综上，y 关于x 的回归方程为.828y x =+21. 已知椭圆C ：（）的左焦点与圆的圆心重合，过右焦22221xy a b+=0a b >>1F 220x y ++=点的直线与C 交于A ，B 两点，的周长为8. 2F 1ABF （1）求椭圆C 的方程；（2）若C 上存在M ，N 两点关于直线l ：对称，且（O 为坐标原点），求k 2230kx y -+=OM ON ⊥的值.【答案】（1）2214x y +=（2） 2k =±【解析】【分析】（1）根据圆心求出焦点坐标再根据定义求出a ，可得标准方程；（2）先由M ，N 两点关于直线l ：对称设出直线方程，再由垂直得出2230kx y -+=最后结合点差法求值即可.12120,0,OM ON x x y y ⋅=+=【小问1详解】 由，得，∴220x y ++=()1F c =根据椭圆定义，又因的周长为8，∴，，1ABF 48a =2a =∴，椭圆C 的方程为；2221b a c =-=2214x y +=【小问2详解】设线段的中点，，，MN ()00,Q x y ()11,M x y ()22,N x y由直线，且， 3:02l kx y -+=l MN ⊥设，则联立 MN :l x ky m =-+22,44,x ky m x y =-+⎧⎨+=⎩得()2224240k y kmy m +-+-=()()()()22222Δ2444164km k m k m =-+-=+-， 12224km y y k +=+212244m y y k -=+()22121212x x m km y y k y y =-++∵OM ON ⊥∴，即12120,0,OM ON x x y y ⋅=+= ()()22121210m km y y k y y -+++=∴ ①()22541m k =+得， 221122221,41,4x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2222121204x x y y -+-=即，∴， 12121212104y y y y x x x x -++⋅=-+1212114y y k x x +⋅=+∵，，∴，得， 00132x k y =-012120y y y x x x +=+001342y y =-021y =-∴②2214kmk =-+联立①②，消去m 得，，421124800k k --=∴，，∴或 24k =2k =±2,2,k m =⎧⎨=-⎩2,2,k m =-⎧⎨=⎩经验证，满足，∴. Δ0>2k =±22. 已知正实数，函数，，为的导函数. 1012a b <≤≤<()1x x f x a b -=+[]0,1x ∈()g x ()fx （1）若，求证：；1a b +=()0g b ≤（2）求证；对任意正实数m ，n ，，有.1m n +=n m m n m n m n +≤≤+【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 【解析】【分析】（1）化简要证明的不等式后构造 结合函数的单调性求出最值证()()()ln 1ln 1h x x x x x =---明即可；（2）由（1）知，应用单调性证明可得. 【小问1详解】， ()1ln (1)ln e e x x x a x b f x a b --=+=+ ()()ln (1)ln e ln e ln x a x b f x g x a b --'==()ln 2(1)ln 2e ln e ln 0x a x b g x a b -=+>'∴在上单调递增，得()g x []0,1()()1ln ln bbg x g b a a bb -≤=-要证：()0g b ≤只需证：.即1ln ln b b a a b b -≤11ln ln a b a a b b --≤即证：ln ln a b a b a b a b≤令，， ()ln x x x ϕ=()0,1x ∈()21ln 0xx x ϕ'-=>∴在上单调递增()x ϕ()0,1故证，即a b a b ≤()()ln ln 1ln 1a a b b a a ≤=--令，， ()()()ln 1ln 1h x x x x x =---10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()22ln e h x x x '⎡⎤=-⎣⎦，，在上单调递增 21e ln 024h ⎛⎫=> ⎪'⎝⎭219e ln 010100h ⎛⎫='< ⎪⎝⎭()h x '10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭∴存在唯一使， 010,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()00h x '=在上单调递减，在上单调递增 ()h x ()00,x 01,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴()()(){}max 0,10h x h h ≤=∴，故原不等式成立，即；a b a b ≤()0g b ≤【小问2详解】由（1）知，在上单调递减 ()f x []0,1∴，即 ()()12f b f f a ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭b a a b a b a b +≤≤+由于，且m ，n 为正实数，不妨令 1m n +=1012m n <≤≤<∴.n m m n m n m n +≤+≤+。
2021届高三联考文科数学试题考生注意：1.本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；第II 卷请用直径0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，．在试题卷、草稿纸上作答无效．．．．．．．．．．．．．。
3.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，函数、导数及其应用，三角函数、解三角形，平面向量，复数，数列，不等式。
第I 卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|2≤x ≤4}，B ＝{x|x 2－4x ＋3<0}，则A ∩B ＝A.{x|<x<4}B.{x|2≤x<3}C.{x|2<x<3}D.{x|<x ≤4}2.已知复数z 满足i ·z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数为A.－1＋iB.－1－iC.1＋iD.1－i3.设p ：|x ＋1|<1，q ：－2<x<2，则p 是q 的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知a ＝20.2，b ＝log 20.2，c ＝log 0.20.3，则a ，b ，c 的大小关系为A.a<b<cB.b<a<cC.c<b<aD.b<c<a5.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用。
明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理(图1所示)。
假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O 到水面的距离h 为1.5m ，筒车的半径r 为2.5m ，简车转动的角速度ω为12rad/s ，如图2所示，盛水桶M 在P 0处距水面的距离为3m ，则2s 后盛水桶M 到水面的距离近似为A.3.2mB.3.4mC.3.6mD.3.8m6.在正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 的中点，若AB ＝2，则|AM BN +|＝A.2B.10C.4D.257.函数f(x)＝21log x的部分图象可能是8.若正实数x ，y 满足x ＋y ＝l ，则下列不等式恒成立的是 1x y ≤ 12xy C 2212x y +≥ D.1114x y +≤ 9.已知数列{a n }为单调递增的等差数列，且a 1＝1，若a ，1＋a 3，a 6成等比数列，则a 20＝A.18B.28C.38D.5810.已知函数f(x)满足f(2－x)＝f(x)，当x ≥1时，f(x)＝2x －1＋x 2－2x ＋1，，则不等式f(2x －1)<f(x ＋1)的解集为 A.(23，2) B.(23，1)∪(1，2) C.(－∞，－1)∪(2，＋∞) D.(－∞，23)∪(2，＋∞) 11.在边长为3的等边△ABC 中，D 为△ABC 内一点，∠ADC ＝120°。
蒙城一中涡阳一中淮南一中，怀远一中颍上一中2023届高三第一次五校联考地理试题命题学校：怀远一中考试时间：2022年12月16日考生注意：1.本试卷满分100分，考试时间90分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。
选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
第I卷（选择题共44分）一、选择题（本大题共22小题，每小题2分，共计44分。
在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）图1中是我国北方某小镇的太阳能路灯景观图。
该镇中学课外实践小组对路灯的能源装置太阳能集热板进行了长时间的观测研究，并提出了改进的设想。
下表为该小组观测记录简表，夏至日集热板倾角为16°34′。
如图1中b所示。
据此完成1～2题。
注：表中时间为北京时间。
1.该小镇的位置在A.118°E，40°NB.118°E，36°34′NC.122°E，40°ND.122°E，36°34′N2.该小组拟设计一自动调控装置，通过电脑调控使集热板每天正午正对太阳，以获得更多的太阳辐射能。
设计小组设计的集热板在该小镇一年中调整角度为A.90°B.46°52′C.23°26′D.40°马达加斯加岛的Q地（如图2）为丘陵地形，年降水量约为900mm，季节变化明显。
在Q地这片落叶林地上，过去以传统的刀耕火种方式种植玉米为主，因土壤贫瘠而单产很低。
近年来，在我国农业科技工作者指导下实施蔬菜（雨季）和水稻（干季）轮作。
右表阴影部分示意马达加斯加Q地过去传统种植的农事活动月份分布。
据此完成3～5题。
2021年安徽省“五校联盟”高考数学第二次联考试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．3C．4D．53．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sin A＜sin B⇔cos A＞cos BC．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立4．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．36．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．87．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．908．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b9．f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝0 10．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C 最大且b＝3时，△ABC的面积等于（）A．B．C．D．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos ∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}，S n是a n的前n项的和，且满足，数列{b n}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{S n}的前n项和为T n，设，求{c n}的前n项的和D n．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．19．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于点N，求证：动直线NH过定点．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．21．已知函数f（x）＝e x（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A＝{x|x2﹣1＞0}，B＝{x|log2x＞0}，则A∩B＝（）A．{x|x＞0}B．{x|x＞1}C．{x|x＜﹣1}D．{x|x＜﹣1或x＞1}解：由A中不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞1，即A＝{x|x＜﹣1或x＞1}，由B中不等式变形得：log2x＞0＝log21，解得：x＞1，即B＝{x|x＞1}，则A∩B＝{x|x＞1}，故选：B．2．已知a，b∈R，i是虚数单位，若（1+i）（1﹣bi）＝a，则的值为（）A．2B．3C．4D．5解：由（1+i）（1﹣bi）＝a，得（1+b）+（1﹣b）i＝a，则，得a＝2，b＝1．∴．故选：A．3．下列说法中错误的是（）A．命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”B．在△ABC中，A＜B⇔sin A＜sin B⇔cos A＞cos BC．已知某6个数据的平均数为3，方差为2，现又加入一个新数据3，则此时这7个数的平均数和方差不变D．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”与“都是红球”互斥且对立解：命题“∀x＞1，x2﹣x＞0”的否定是“∃x0＞1，x02﹣x0≤0”满足命题的否定形式，所以A确；A＞B，则a＞b，利用正弦定理可得a＝2r sin A，b＝2r sin B，故sin A＞sin B．由同角三角函数的基本关系可得cos A＜cos B，所以B正确；这6个数的平均数为3，方差为2现又加入一个新数据3，此时这7个数的平均数为3，方差为2×＝，所以C不正确；从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则事件“至多一个红球”包含：事件：没有红球和事件，只有一个红球；与“都是红球”互斥且对立，所以D正确；故选：C．4．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥所有表面积中，最大面的面积为（）A．2B．C．D．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱锥体A﹣BCD；如图所示：所以：CD＝2，BC＝2，BD＝2，，AD＝2，AB＝2，所以，，．故选：C．5．已知平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，则|﹣|＝（）A．B．2C．D．3解：平面向量＝（，﹣1），||＝，且（+2）•（﹣）＝2，＝2，可得＝2，则|﹣|＝＝＝．故选：A．6．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条，行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句．讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”．2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阅值见表．经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型f（x）＝．假设该人喝一瓶啤酒后至少经过n（n∈N*）小时才可以驾车，则n的值为（）（参考数据：ln15≈2.71，ln30≈3.40）车辆驾驶人员血液酒精含量阈值驾驶行为类别阈值（mg/100mL）饮酒驾车[20，80）醉酒驾车[80，+∞）A．5B．6C．7D．8解：由散点图可得该人喝一瓶啤酒后的2个小时内，其酒精含量阈值大于20，令，得，解得n＞2ln15≈2×2.71＝5.42，∵n∈N*，∴n的值为6．故选：B．7．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则共有多少个这样的三位回文数（）A．64B．72C．80D．90解：3位回文数的特点为，百位和个位数字相同但不能为零，第一步，选百位和个位数字，共有9种选法；第二步，选中间数字，有10种选法；故3位回文数有9×10＝90个，故选：D．8．设a＝log54，b＝ln2，c＝π0.1，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．a＜c＜b解：∵0＝log51＜log54＜log55＝1，∴0＜a＜1，∵0＝ln1＜ln2＜lne＝1，∴0＜b＜1，又∵＝＝＝＝＝，且ln5＜lne2＝2，∴，∴0＜b＜a＜1，∵π0.1＞π0＝1，∴c＞1，∴b＜a＜c，故选：B．9．f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1，则y＝f（x）在（2，f（2））处的切线方程为（）A．2x﹣y﹣3＝0B．2x+3y+7＝0C．2x﹣y+3＝0D．2x+3y﹣7＝0解：取x＝2，得f（2）＝2f（2）﹣1，可得f（2）＝1，对函数f（x）＝2f（4﹣x）﹣x2+2x﹣1求导，得f'（x）＝﹣2f'（4﹣x）﹣2x+2，∴f'（2）＝﹣2f'（2）﹣2，得f'（2）＝﹣，由此可得曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处的切线斜率k＝﹣．∴所求切线方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简2x+3y﹣7＝0，故选：D．10．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，，当内角C 最大且b＝3时，△ABC的面积等于（）A．B．C．D．解：因为，由正弦定理得a+b＝，两边平方，得a2+2ab+b2＝，所以9（a2+b2﹣c2）＝5a2+5b2﹣8ab，由余弦定理得cos C＝＝（2）＝，当且仅当，即a＝b时取等号，此时cos C取得最小值，C取得最大值，三角形ABC中，sin C＝，△ABC的面积S＝＝＝2．故选：C．11．如图，已知F1，F2分别为双曲线C：的左、右焦点，过F1的直线与双曲线C的左支交于A、B两点，连接AF2，BF2，在△ABF2中，AB＝BF2，cos ∠ABF2＝，则双曲线的离心率为（）A．2B．C．D．解：设|AF2|＝m，由双曲线的定义可得|AF1|＝m﹣2a，由|AB|＝|BF2|，可得m﹣2a＝|BF2|﹣|BF1|＝2a，即有m＝4a，因为△ABF2为等腰三角形，所以cos∠ABF2＝cos（π﹣2∠F1AF2）＝﹣cos2∠F1AF2＝1﹣2cos2∠F1AF2＝，解得cos∠F1AF2＝，在△F1AF2中，cos∠F1AF2＝＝＝，化为c＝a，即有e＝＝．故选：D．12．已知函数，x1、x2、x3∈[0，π]，且∀x∈[0，π]都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数x1有且只有1个；②满足题目条件的实数x2有且只有1个；③f（x）在上单调递增；④ω的取值范围是．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4解：∵ω＞0，当x∈[0，π]时，．设进行替换，作出函数y＝cos t的图象如下图所示：由于函数y＝f（x）在[0，π]上满足f（x3）＝0的实数x3有且只有3个，即函数y＝cos t在上有且只有3个零点，由图象可知，解得，结论④不正确；由图象知，y＝cos t在上只有一个最小值点，有一个或两个最大值点，结论①正确，结论②错误；当时，，由知，所以y＝cos t在上递增，则函数y＝f（x）在上单调递增，结论③正确．综上，正确的有①③．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足约束条件，则z＝3x+2y的最小值是﹣1．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（﹣1，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为﹣1．故答案为：﹣1．14．若二项式的展开式的各项系数之和为﹣1，则含x﹣1项的系数是﹣672．解：由题意令x＝1代入二项式可得：（1+a）7＝﹣1，则1+a＝﹣1，所以a＝﹣2，所以二项式（x2﹣）7的展开式的通项公式为T＝C，令14﹣3r＝﹣1，解得r＝5，所以含x﹣1的系数为C＝﹣21×32＝﹣672，故答案为：﹣672．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|＝3|FB|，则线段AB的中点到y轴的距离为．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为2，可得p＝2，即有抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线的方程为x＝﹣1，设直线AB的方程为x＝my+1，与抛物线的方程y2＝4x联立，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①由|AF|＝3|FB|，可得＝3，即有0﹣y1＝3（y2﹣0），②由①②解得m＝±，可得AB的中点的横坐标为2m2+1＝2×+1＝．所以线段AB的中点到y轴的距离为．故答案为：．16．已知菱形ABCD的边长为4，对角线BD＝4，将△ABD沿着BD折叠，使得二面角A﹣BD﹣C为120°，则三棱锥A﹣BCD的外接球的表面积为．解：将△ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AE⊥BD，CE⊥BD，所以∠AEC即为二面角A﹣BD﹣C的平面角，所以∠AEC＝120°；△ABD与△BCD是边长为4的等边三角形．分别记三角形△ABD与△BCD的重心为G、F，则，；即EF＝EG；因为△ABD与△BCD都是边长为4的等边三角形，所以点G是△ABD的外心，点F是△BCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OF⊥平面BCD，OG⊥平面ABD，所以△OGE与△OFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以Rt△OGE与Rt△OFE全等，因此，所以；因为AE⊥BD，CE⊥BD，AE∩CE＝E，且AE⊂平面AEC，CE⊂平面AEC，所以BD⊥平面AEC；又OE⊂平面AEC，所以BD⊥OE，连接OB，则外接球半径，所以外接球表面积为．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}，S n是a n的前n项的和，且满足，数列{b n}是等差数列，b2+b6＝a4，a5﹣b4＝2b6．（1）求{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{S n}的前n项和为T n，设，求{c n}的前n项的和D n．解：（1）n＝1时，a1＝1；n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝（2a n﹣1）﹣（2a n﹣1﹣1）＝2a n﹣2a n﹣1，则a n＝2a n﹣1，所以{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以；由{b n}是等差数列，设公差为d，由2b4＝b2+b6＝a4＝8，a5﹣b4＝16﹣4＝2b6，得b4＝4，b6＝6，所以2d＝6﹣4，即d＝1，所以b n＝n；（2）由（1）可得，T n＝（2+22+23+…+2n）﹣n＝﹣n＝2n+1﹣n﹣2，＝，所以D n＝﹣（+）+（+）﹣（+）﹣…+（﹣1）n（+）＝﹣2+（﹣1）n•．18．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是边长为3的等边三角形，CD＝CB，CD⊥平面ABC，点M、N分别为AC、CD的中点，点P为线段BD上一点，且BM∥平面APN．（1）求证：BM⊥AN；（2）求直线AP与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（1）证明：⇒CD⊥BM，又∵正△ABC中，AM＝MC⇒BM⊥AC，∴⇒BM⊥面ACD，∴BM⊥AN，（1分）（2）解：连接MD交AN于G，连接PG，作PH⊥BC于H，连接AH，∵⇒PH⊥平面ABC，∴∠PAH为AP与平面ABC所成角，（1分）又∵AN，DM都是△ACD的中线，∴G为△ACD的重心．（1分）又∵⇒BM∥PG，∴P为BD的三等分点，（1分）∴Rt△AHP中：PH＝1，，（1分）∴（1分）法二：建立如图空间直角坐标系：（1分）∵，∴P（3﹣3λ，3λ，0）（1分）设面APN的法向量为，∴，（1分）令x＝1，则，∴，（1分）∴P（2，1，0），（1分）又∵面ABC的法向量为：，（1分）∴．19．已知圆C：（x﹣1）2+y2＝16，点F（﹣1，0），P是圆C上一动点，若线段PF的垂直平分线和CP相交于点M．（1）求点M的轨迹方程E．（2）A，B是M的轨迹方程与x轴的交点（点A在点B左边），直线GH过点T（4，0）与轨迹E交于G，H两点，直线AG与x＝1交于点N，求证：动直线NH过定点．解：（1）由圆（x﹣1）2+y2＝16，可得圆心C（1，0），半径r＝4，因为|FC|＝2＜4，所以点F在圆C内，又由点M在线段PF的垂直平分线上，所以MF＝MP，所以MC+MF＝MP+MC＝PC＝4，由椭圆的定义知，点M的轨迹是以F，C为焦点的椭圆，其中a＝2，c＝1，b2＝3，所以点M的轨迹方程为．证明：（2）设直线GH的方程为x＝my+4，G（x1，y1），H（x2，y2），A（﹣2，0），B（2，0），将x＝my+4代入，得（3m2+4）y2+24my+36＝0，，，∵相交，∴△＞0，设直线AG的方程为，令x＝1得，∴N（1，）∵＝﹣＝﹣＝0，所以直线NH恒过（2，0）．20．公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提出了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答．该问题如下：设两名运动员约定谁先赢k（k＞1，k∈N*）局，谁便赢得全部奖金a元．每局甲赢的概率为p（0＜p＜1），乙赢的概率为1﹣p，且每场比赛相互独立．在甲赢了m（m＜k）局，乙赢了n（n＜k）局时，比赛意外终止．奖金该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．（1）规定如果出现无人先赢k局则比赛意外终止的情况，甲、乙便按照比赛再继续进行下去各自赢得全部奖金的概率之比P甲：P乙分配奖金．若k＝4，m＝2，n＝1，，求P甲：P乙．（2）记事件A为“比赛继续进行下去乙赢得全部奖金”，试求当k＝4，m＝2，n＝1时比赛继续进行下去甲赢得全部奖金的概率f（p），并判断当时，事件A是否为小概率事件，并说明理由．规定：若随机事件发生的概率小于0.05，则称该随机事件为小概率事件．解：（1）设比赛再继续进行X局甲赢得全部奖金，则最后一局必然甲赢．由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部奖金．当X＝2时，甲以4：1赢，所以；当X＝3时，甲以4：2赢，所以；当X＝4时，甲以4：3赢，所以．所以，甲赢的概率为．所以，P甲：P乙＝243：13；（2）设比赛继续进行Y局乙赢得全部奖金，则最后一局必然乙赢．当Y＝3时，乙以4：2赢，P（Y＝3）＝（1﹣p）3；当Y＝4时，乙以4：3赢，；所以，乙赢得全部奖金的概率为P（A）＝（1﹣p）3+3p（1﹣p）3＝（1+3p）（1﹣p）3．于是甲赢得全部奖金的概率f（p）＝1﹣（1+3p）（1﹣p）3．求导，f'（p）＝﹣3（1﹣p）3﹣（1+3p）⋅3（1﹣p）2（﹣1）＝12p（1﹣p）2．因为，所以f'（p）＞0，所以f（p）在上单调递增，于是．故乙赢的概率为，故事件A是小概率事件．21．已知函数f（x）＝e x（x2+mx+m2），g（x）＝ax2+x+axlnx．（1）若函数f（x）在x＝﹣1处取极小值，求实数m的值；（2）设m＝0，若对任意x∈（0，+∞），不等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的值．解：（1）f′（x）＝e x[x2+（m+2）x+m2+m]，由题意得f′（﹣1）＝0，即m＝±1，当m＝1时，f′（x）＝e x（x+1）（x+2），此时f（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增，符合题意；当m＝﹣1时，f′（x）＝e x（x+1）x，此时f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，+∞）上单调递减，不符合题意．综上可得，m＝1．（2）由f（x）≥g（x）得xe x﹣1﹣a（x+lnx）≥0，指数化得不等式e x+lnx﹣1﹣a（x+lnx）≥0恒成立，令t＝x+lnx，则∀t∈R，不等式e t﹣at﹣1≥0恒成立，令h（t）＝e t﹣at﹣1，t∈R，则h′（t）＝e t﹣a，当a≤0时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，h（﹣1）＝+a﹣1＜0，不符合题意；当a＞0时，令h′（t）＝0，得x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，h′（t）＜0，h（t）单调递减，当x∈（lna，+∞）时，h′（t）＞0，h（t）单调递增，所以h（t）min＝h（lna）＝a﹣alna﹣1，所以a﹣alna﹣1≥0，即lna+﹣1≤0，令φ（a）＝lna+﹣1，则φ′（a）＝，所以φ（a）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又φ（1）＝0，所以a＝1．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是：（t是参数）．（1）若直线l与曲线C相交于A、B两点，且|AB|＝，试求实数m值．（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．解：（1）曲线C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为直角坐标方程是：x2+y2＝4x，即（x﹣2）2+y2＝4；直线l的直角坐标方程为：y＝x﹣m，∴圆心（2，0）到直线l的距离（弦心距）为d＝＝，圆心（2，0）到直线y＝x﹣m的距离为：即＝，∴|m﹣2|＝1，解得m＝1或m＝3；…（2）曲线C的方程可化为（x﹣2）2+y2＝4，其参数方程为（θ为参数）；又M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y＝2+2cosθ+2sinθ＝2+2sin（θ+），∴x+y的取值范围是．…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|．（1）求不等式f（x）＜2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）有解，求a的取值范围．解：（1）函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣1|＝，当x≥1时，不等式化为x+2＜2，解得x＜0，可得x∈∅；当﹣＜x＜1时，不等式化为3x＜2，解得x＜，可得﹣＜x＜；当x≤﹣时，不等式化为﹣x﹣2＜2，解得x＞﹣4，可得﹣4＜x≤﹣；综上可得，原不等式的解集为（﹣4，）；（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣有解，即为：f（x）min≤a﹣，由x≥1时，x+2≥3；﹣＜x＜1时，﹣＜3x＜3：x≤﹣时，﹣x﹣2≥﹣．可得f（x）min＝﹣，即有a﹣≥﹣，解得﹣1≤a≤3；所以a的取值范围是[﹣1，3]．。
2024届高三第二次五校联考数学试题（答案在最后）考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答題前､考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答題卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.一､单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集U =R ，{}10A x x =+<，集合{}2|log 1B x x =<，则集合()U B A ⋂=ð（）A.[1,2]- B.(0,2)C.[1,)-+∞D.[1,1)-【答案】B 【解析】【分析】先求出集合,A B ，再利用补集运算求U A ð，最后求交集即可.【详解】由{}10A x x =+<，得{}1A x x =<-，{}1U A x x =≥-ð，由{}2|log 1B x x =<，得{}|02B x x =<<，故()()0,2U A B = ð.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合交集和补集的运算，考查了对数函数求值.属于较易题.2.已知z 为复数且()1i 13i ⋅-=+z （i 为虚数单位），则共轭复数z 的虚部为（）A.2 B.2iC.2- D.2i-【答案】C 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z ，即可得到其共轭复数，从而得到其虚部.【详解】解：因为()1i 13i ⋅-=+z ，所以()()()()213i 1i 13i 1i 3i 3i 12i 1i 1i 1i 2z ++++++====-+--+，所以12i z =--，则共轭复数z 的虚部为2-.故选：C3.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且1a ，3a ，7a 成等比数列，则1a d=（）A.2 B.4 C.5D.6【答案】A 【解析】【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，{}n a 是等差数列，且1a ，3a ，7a 成等比数列，所以()()22317111,26a a a a d a a d =⋅+=+，222211111446,2a a d d a a d d a d ++=+=，由于0d ≠，所以112,2a a d d==.故选：A4.“2a =”是“直线220++=ax y 与直线()110x a y +-+=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】代入2a =，可得两直线为同一直线，可得结果.【详解】当2a =时，直线220++=ax y 即直线222010x y x y ++=⇒++=，直线()110x a y +-+=即直线直线10x y ++=，所以两直线重合，故选：D.5.在锐角ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin ,3,32A c AB AC ==⋅= ，则sin sin b c B C +=+（）A.2B.C.3D.3【答案】B 【解析】【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出a ，由正弦定理可得sin sin sin b c aB C A+=+，化简即可得到答案.【详解】因为ABC 为锐角三角形，3sin 2A =，所以60A =，由cos 3AB AC cb A ⋅== ，则2b =，由余弦定理可得：2222cos 7=+-=a b c bc A，即a =由正弦定理可得：7221sin sin sin sin603b c a B C A +===+.故选：B.6.甲､乙等6名高三同学计划今年暑假在,,,A B C D ，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲､乙都单独1人去某一个景点打卡游玩，则不同游玩方法有（）A.96种B.132种C.168种D.204种【答案】C 【解析】【分析】各级题意，剩下4人去其他两个景点游戏，由此按旅游的人数2种情况讨论，结合分类加法计数原理，即可求解.【详解】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游戏，则剩下的4人去其他两个景点游戏，则其余4为主播有两种情况：①若3为主播去一个景点，1为主播去另一个景点，有232442A C A 96=种不同游戏方法；②分别都是2为主播去一个景点，有2222424222C C A A 72A ⋅⋅=种不同游戏方法，由分类计数原理得，共有9672168+=种.故选：C.7.已知不等式e 1ln +>-x ax x x 有解，则实数a 的取值范围为（）A.21,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B.1,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C.21,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】分离参数转化为1ln exx xa x -->，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数法求出()min f x ，()min a f x >即为所求.【详解】不等式e 1ln xax x x +>-有解，即1ln e x x xa x -->，0x >，只需要min1ln e x x x a x --⎛⎫> ⎪⎝⎭，令()1ln exx xf x x --=，()()()212ln e xx x x f x x +-+∴='，0x >，令()2ln g x x x =-+，0x >，()110g x x∴=+>'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，又()110g =-<，()2ln 20g =>，所以存在()01,2x ∈，使得()00g x =，即002ln 0x x -+=，()00,x x ∴∈，()0g x <，即()0f x '<；()0,x x ∞∈+，()0g x >，即()0f x '>，所以函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()000001ln e x x x f x x --∴=，又由002ln 0x x -+=，可得020e e x x =，()0000002201ln 121e e e x x x x xf x x ---+-∴===-.21ea ∴>-.故选：A.【点睛】思路点睛：由题意问题转化为1ln e xx xa x -->，0x >，构造函数()1ln e x x x f x x --=，利用导数求出()f x 的最小值，即只要()min a f x >.8.已知实数x ，y 满足13y y x x +=4y +-的取值范围是（）A.)42⎡-⎣ B.)44⎡-⎣ C.62,22⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ D.62,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】将实数x ，y 满足13y y x x +=通过讨论x ，y 得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图4y +-40y +-=距离范围的2倍，求出切线方程根据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.【详解】解：因为实数x ，y 满足13y y x x +=，所以当0,0x y ≥≥时，2213yx +=其图像位于焦点在y 轴上的椭圆第一象限，当0,0x y ><时，2213yx -=其图像位于焦点在x 轴上的双曲线第四象限，当0,0x y <>时，2213yx -=其图像位于焦点在y 轴上的双曲线第二象限，当0,0x y <<时，2213y x --=其图像不存在，作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中13y y x x +=图像如下：任意一点(,)x y40y +-=的距离d =42y d+-=4y +-40y +-=距离范围的2倍，双曲线2213y x -=，2213y x -=0y +=40y +-=平行通过图形可得当曲线上一点位于P 时，2d 取得最小值0y +=时2d 取得最大值，不能取等号0(0)y c c ++=<与2213y x +=其图像在第一象限相切于点P由2222063013y c x c y x ++=⇒++-=⎨+=⎪⎩因为()()224630x c c ∆=-⨯⨯-=⇒=或c =所以直线0y +=40y +-=42=4y d +-=0y +=40y +-=的距离为4022--=42=4y d +-=4y +-的取值范围是)44⎡-⎣故选：B【点睛】三种距离公式：（1）两点间的距离公式：平面上任意两点111222(,),(,),P x y P x y间的距离公式为12||PP =（2）点到直线的距离公式：点111(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离d =（3）两平行直线间的距离公式：两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离d =二､多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.9.一组数据1210,,,x x x 是公差为2-的等差数列，若去掉首末两项，则（）A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差没变【答案】BC 【解析】【分析】根据等差数列的性质，结合平均数、中位数、方差、极差的定义，判断作答.【详解】数据1210,,,x x x 是公差为2-的等差数列，对于A ，原数据的平均数10561561115(1010)2i i x x x x x x =+==⨯+=∑，去掉首末两项后的平均数9562562114(88)2i i x x x x x x =+==⨯+=∑，即平均数不变，A 不正确；对于B ，原数据的中位数为562x x +，去掉首末两项后的中位数为562x x +，即中位数不变，B 正确；对于C ，原数据的方差10222222222222561111()[97531(1)(3)(5)(7)(9)]3310210i i x x s x =+=-=+++++-+-+-+-+-=∑，去掉首末两项后的方差92222222222562211()531(1)(3)(5)(7)]21828i i x x s x =+=-=++++-+-+-+-=∑，即方差变小，C 正确；对于D ，原数据的极差11018x x -=，去掉首末两项后的极差2914x x -=，即极差变小，D 不正确.故选：BC10.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A.若cos cos a A b B =，则ABC 一定是等腰三角形B.若cos()cos()1A B B C -⋅-=，则ABC 一定是等边三角形C.若cosC cos a c A c +=，则ABC 一定是等腰三角形D.若cos(2)cos 0B C C ++>，则ABC 一定是钝角三角形【答案】BCD【解析】【分析】对于A ：利用正弦定理得到A B =或π2A B +=，即可判断；对于B ：由余弦函数的有界性求出π3A B C ===，即可判断；对于C：由余弦定理求出b c =，即可判断；对于D ：利用三角公式判断出cos 0B <或cos 0A <，即可得到答案.【详解】对于A ：因为cos cos a A b B =，由正弦定理得：sin cos sin cos A A B B =，所以sin 2sin 2A B =.因为A ，B 为ABC 的内角，所以22A B =或22πA B +=，所以A B =或π2A B +=.所以ABC 是等腰三角形或直角三角形.错误；对于B ：由余弦函数的有界性可知：若()()1cos 1,1cos 1A B B C -≤-≤-≤-≤.因为()()cos ·cos 1A B B C --=，所以()()cos 1,cos 1A B B C -=-=或()()cos 1,cos 1A B B C -=--=-.当()()cos 1,cos 1A B B C -=-=时，有A B =且B C =，所以π3A B C ===，所以ABC 是等边三角形.当()()cos 1,cos 1A B B C -=--=-时，有πA B -=且πB C -=，不符合题意.所以ABC 一定是等边三角形.正确；对于C ：因为cosC cos a c A c +=，由余弦定理得：22222222a b c c b a a c c ab bc+-+-⋅+⋅=，所以222b bc =，所以b c =，则ABC 一定是等腰三角形.正确；对于D ：在ABC 中，πA B C ++=，所以()()()cos 2cos πcos B C B A B A +=+-=--()()cos cos πcos C A B A B =--=-+.所以()()()cos 2cos cos cos 0B C C B A B A ++=---+>，所以()()cos cos 0B A B A -++<，即2cos cos 0B A <，所以cos 0B <或cos 0A <.所以ABC 一定是钝角三角形，正确.故选：BCD11.已知正四面体O ABC -的棱长为3，下列说法正确的是（）A.平面OAB 与平面ABC 夹角的余弦值为13B.若点P 满足()1OP xOA yOB x y OC =++--，则OPC.在正四面体O ABC -内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为12D.点Q 在ABC 内，且2OQ QA =，则点Q轨迹的长度为π3【答案】ABC 【解析】【分析】于A ，建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合法向量夹角余弦公式即可验算；对于B ，可得,,,P A B C ，故只需求出O 到面ABC 的距离验算即可；对于C ，用大正四面体内切球半径与小四面体外接球半径（含参）比较大小，得出参数（体积）范围即可判断；对于D ，用几何法得出点Q 的轨迹不是一个完整的圆即可判断.【详解】将正四面体补全为正方体，并如图建系，()3232323232323232320,0,0,,,0,,0,,0,,,,,222222222O A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()1,1,01,0,1,0,1,1,1,0,1==--,设面OAB 的一个法向量()1111,,n x y z =，面ABC 的一个法向量()2222,,n x y z =，所以111100x y x z +=⎧⎨+=⎩，22220y z x z -+=⎧⎨-+=⎩，取121,1x x =-=，解得11221y z y z ====，所以面OAB 的一个法向量()11,1,1n =- ，面ABC 的一个法向量()21,1,1n =，设平面OAB 与平面ABC 夹角为1212121,cos cos ,3n n n n n n αα⋅===时，A 对.()1OP xOA yOB x y OC =++-- ，则,,,P A B C 共面，正四面体棱长为3，则正方体棱长为2，所以,,022OA ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，2min 2||OA n OP n ⋅===B 对.大正四面体内切球半径663124⋅=，小正四面体棱长为a，此外接球半径4a ，36622,1,441212a a V a ≥∴≤=≤，C 对.分别在OA 上取1Q 使11Q A =，延长OA 至2Q 使23Q A =，11222,2Q O Q A Q O Q A ∴==，取12,Q Q 的中点,M Q ∴在以M 为球心，12122Q Q =为半径的球面上，且Q 在ABC 内，作M 在平面ABC 上的射影M '，1,,333MM M Q Q ''∴=⨯=∴==为图中 RS ，显然不是一个完整的圆，Q ∴的轨迹长度不为2ππ33⋅=，D 错.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到四点共面，转换为验算点面距离即可顺利得解.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若n 为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式12nx ⎫+⎪⎭的展开式的常数项是__________.【答案】7【解析】【分析】首先算出第六十百分位数，然后写出二项式的通项，再()()18023r r r -+-=⇒=，最后得到常数项即可.【详解】因为660% 3.6⨯=，所以第六十百分位数为8，又二项式的通项为()8113181C 2rrr r r T x x --+⎛⎫⎛⎫=⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()()18023r r r -+-=⇒=，所以常数项为228C 712⎛⎫ ⎪⎝=⎭，故答案为：7.13.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 的准线l 与x 轴交于点A ，过点A 的直线与抛物线C 相切于点P ，连接PF ，在APF 中，设sin sin PAF AFP λ∠=∠，则λ的值为__________.【答案】2【解析】【分析】设点P 在准线上的射影为Q ，则PF PQ =，设PA 的方程为(2py k x =+，联立方程组，结合Δ0=，求得1k =±，得到sin 2PAQ ∠=，在APF 中，利用正弦定理，即可求解.【详解】由抛物线2:2(0)C y px p =>，可得焦点(,0)2p F ，准线方程为2px =-，则(,0)2p A -，设点P 在准线上的射影为Q ，则PF PQ =，因为直线AP 与抛物线C 相切，设PA 的方程为()(0)2py k x k =+≠，联立方程组2()22p y k x y px⎧=+⎪⎨⎪=⎩，整理得222221(2)04k x k px p k +-+=，所以22224(2)0k p p k ∆=--=，解得1k =±，所以sin 2PAQ ∠=，在APF 中，由正弦定理可知sin sin sin 2PF PQ PAF PAQ AFP PA PA λ∠====∠=∠.故答案为：22.14.对于函数()()cos 0f x x kx x =-≥，当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为α，当该函数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为β，求()()2221sin21cos21ααββαβ+++=-__________.【答案】3-【解析】【分析】函数()()cos 0f x x kx x =-≥恰有两个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有两个交点，根据图象可知：cos y x =与直线y kx =(0)x ≥在点A 相切，函数()()cos 0f x x kx x =-≥恰有四个个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有四个交点，根据图象可知：cos y x =与直线y kx =(0)x ≥在B 点相切，根据导数的几何意义以及三角恒等变换化简可得答案.【详解】函数()()cos 0f x x kx x =-≥恰有两个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有两个交点，函数()()cos 0f x x kx x =-≥恰有四个个零点等价于cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有四个交点，cos y x =与直线y kx =(0)x ≥的图象如下：根据图象可知，cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有两个交点时，则cos y x =与y kx =在点A 处相切，且切点的横坐标为α，此时对应的函数解析式为cos y x =-，所以sin y x '=，则sin k α=，又cos k αα-=，所以cos sin ααα-=，则()222cos 21sin cos 1sin2sin 2cos sin ααααααααα⎛⎫+ ⎪+⎝⎭==--同理，cos y x =与直线y kx =(0)x ≥有且只有四个交点时，则cos y x =与y kx =在点B 处相切，且切点的横坐标为β，此时对应的函数解析式为cos y x =，所以sin y x '=-，则sin k β=-，又cos k ββ=，所以cos sin βββ=-，则()()22222222cos 1cos sin 1cos2sin 1cos 11sin βββββββββ⎛⎫+- ⎪+⎝⎭==---所以()()2221sin21cos231ααββαβ+++=--故答案为：3-.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数()325f x x ax bx =+++，曲线()y f x =在点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =+（1）求a ，b 的值；（2）求()y f x =在[2,2]-上的最大值和最小值.【答案】（1）2,4a b ==-（2）最大值为13，最小值为9527.【解析】【分析】（1）由导数的几何意义列方程组求解（2）由导数分析单调性后求解【小问1详解】依题意可知点(1,(1))P f 为切点，代入切线方程31y x =+可得()1311 4.f =⨯+=∴()1154f a b =+++=，即2a b +=-，又由()325f x x ax bx =+++得，()232f x x ax b '=++，而由切线31y x =+的斜率可知()13f '=∴323a b ++=，即20a b +=，由220a b a b +=-⎧⎨+=⎩，解得2,4a b ==-【小问2详解】由（1）知()32245f x x x x =+-+，()()2()344322f x x x x x '=+-=-+，令()0f x '=，得23x =或2x =-，当x 变化时，()f x ，()f x '的变化情况如下表：x2-2(2,)3-232(,2)32()f x '0-＋()f x 13单调递减9527单调递增13∴()f x 最大值为13，最小值为295327f ⎛⎫=⎪⎝⎭16.如图，在平行四边形ABCD 中，AB =1，BC =2，∠ABC =60°，四边形ACEF 为正方形，且平面ABCD ⊥平面ACEF ．（1）证明：AB ⊥CF ；（2）求点C 到平面BEF 的距离；（3）求平面BEF 与平面ADF 夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）4.【解析】【分析】(1)利用余弦定理计算AC ，再证明AB AC ⊥即可推理作答.(2)以点A 为原点，射线AB ，AC ，AF 分别为x ，y ，z 轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算点C 到平面BEF 的距离.(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.【小问1详解】在ABCD Y 中，AB =1，BC =2，∠ABC =60°，由余弦定理2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅∠得，22212212cos 603AC =+-⨯⨯= ，即AC =有2224AC AB BC +==，则90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，因平面ABCD ⊥平面ACEF ，平面ABCD ⋂平面ACEF AC =，AB ⊂平面ABCD ，于是得AB ⊥平面ACEF ，又CF ⊂平面ACEF ，所以AB CF ⊥.【小问2详解】因四边形ACEF 为正方形，即AF AC ⊥，由(1)知,,AB AC AF 两两垂直，以点A 为原点，射线AB ，AC ，AF 分别为x ，y ，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，(0,0,0),(1,0,0),(A B C F D E -，(FE BF ==-，设平面BEF 的一个法向量111(,,)n x y z = ，则1110n FE n BF x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令11z =，得n = ，而(BC =- ，于是得点C 到平面BEF的距离||2||n BC d n ⋅===，所以点C 到平面BEF的距离为2.【小问3详解】由(2)知，(AF AD ==-，设平面ADF 的一个法向量222(,,)m x y z = ，则2220m AF m AD x ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21y =，得m =，3cos ,4||||m n m n m n ⋅〈〉===，设平面BEF 与平面ADF 夹角为θ，(0,2πθ∈，则有3cos |cos ,|4m n θ=〈〉=，sin 4θ==，所以平面BEF 与平面ADF夹角的正弦值为4.【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．17.现需要抽取甲､乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲箱或乙箱的概率均为12.（1）求首次检验抽到合格产品的概率；（2）在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；（3）将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.【答案】（1）1720（2）917（3）方案一【解析】【分析】（1）按照条件概率的计算公式即可得出答案；（2）按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解；（3）由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策方案.【小问1详解】将首次检验选到甲箱记为事件1A ，选到乙箱记为事件2A ，首次检验抽到合格品记为事件B .则首次检验抽到合格品的概率()()()()()112219181721021020P B P A P B A P A P B A =+=⨯+⨯=.【小问2详解】在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率()()()()()()1111199210171720P A P B A P A B P A B P B P B ⨯====.【小问3详解】将二次检验抽到合格品记为事件C .由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率()1917P A B =，则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率()29811717P A B =-=.()()()()()()()1212P CA B P CA B P C B P CA B P CA B P B P B =+=+()()()()()()()()112212P A B P CA B P A B P CA B P B P A B P B P A B =⋅+⋅()()()()1122P A B P C A B P A B P C A B =+.从而，在首次检验通过，即事件B 发生的条件下：①若选择方案一，则()()11910P C A B P B A ==，()()22810P C A B P B A ==.故此条件下在二次检验抽到合格品的概率()998814517101710170P C B =⨯+⨯=.所以在方案一下，检验通过的概率()()()1451717020P BC P C B P B ==⨯；②若选择方案二，则()()12810P C A B P B A ==，()()21910P C A B P B A ==.故此条件下在二次检验抽到合格品的概率()988914417101710170P C B =⨯+⨯=.所以在方案二下，检验通过的概率()()()1441717020P BC P C B P B ==⨯.而14517144171702017020⨯>⨯，故选择方案一检验通过的概率更大.18.设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点()10B ,且与x 轴不重合，l 交圆A 于,C D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）设动点E 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）曲线C 与x 轴交于12,A A .点2A 在点1A 的右侧，直线m 交曲线C 于点,M N 两点(m 不过点)2A ，直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12,k k 且1294k k =-，直线1A M 和直线2A N 交于点00(,)P x y .①探究直线m 是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；②证明：0x 为定值，并求出该定值.【答案】（1）()221043x y y +=≠（2）①过定点，()1,0；②证明见解析，4【解析】【分析】（1）根据题意，得到EA EB EA ED AD +=+=，结合椭圆的定义，即可求解；（2）①设点()()1122,,M x y N x y ⋅，且:m x my t =+，联立方程求得1212,y y y y +，结合1294k k =-，列出方程求得t 的值，即可求解；②设直线1A M 和直线2A N 的斜率为12MA NA k k ⋅，求得1234MA MA k k ⋅=-，结合2294NA MA k k =-，得到12002123MA NA k x k x -==+，求得0x 的值，即可求解.【小问1详解】解：如图所示，因为||||,//AD AC EB AC =，可得EBD ACD ADC ∠=∠=∠，所以EB ED =，则EA EB EA ED AD +=+=，又圆C 的标准方程为22(1)16x y ++=，可得圆心坐标为(1,0)A -，且4AD =，所以4EA EB +=，又由(1,0)B ，可得2AB =，即2,1,a c b ===由椭圆定义可得点E 的轨迹方程为()221043x y y +=≠.【小问2详解】解：①设点()()1122,,,M x y N x y ，且直线:m x my t =+，联立方程22143x my t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2223463120m y mty t +++-=，则()()()222Δ64343120mt m t =-+->且212122263123434mt t y y y y m m --+=⋅=++，()()()()12121212122222y y y y k k x x my t my t ==--+-+-()()122212122(2)y y m y y m t y y t =+-++-，所以()()222222231293431264223434t m t mt m m t t m m -+=---⎛⎫⋅+-+- ⎪++⎝⎭，即()2222222729312921(2)0434344m t t t m t m m --⎛⎫+-+-= ⎪++⎝⎭，因为2t ≠，所以()()()()2224921832340mt m t t m++-+-+=，化简得16160t -=，解得1t =，所以直线m 过定点()21,0F ；②设直线1A M 和直线2A N 的斜率为12MA NA k k ⋅，因为2211143x y +=，可得22113(4)4y x =-，又由122111211132244MA MA y y y k x x x k ⋅=⨯==-+--因为直线2MA 与直线2NA 的斜率分别是12,k k 且2294NA MA k k =-，且直线1A M 和直线2A N 交于点00(,)P x y ，所以1200000221232MA NA y k x x y k x x +-===+-.所以04x =.【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量k ）；②利用条件找到k 过定点的曲线0(),F x y =之间的关系，得到关于k 与,x y 的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.19.在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数（质数）.历史上研究素数在自然数中分布规律的公式有“费马数”()221N nn +∈；还有“欧拉质数多项式”：()241N n n n ++∈.但经后人研究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术—DZB 数据加密协议：将一个既约分数的分子分母分别乘以同一个素数，比如分数23的分子分母分别乘以同一个素数19，就会得到加密数据3857.这个过程叫加密，逆过程叫解密.（1）数列{}n a 中123,,a a a 经DZB 数据加密协议加密后依次变为511285458759,,341542786444--.求经解密还原的数据123,,a a a 的数值；（2）依据123,,a a a 的数值写出数列{}n a 的通项公式（不用严格证明但要检验符合）.并求数列{}n a 前n 项的和n S ；（3）为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数()21,,f x x x αβ=+-是方程()0f x =的两个根()(),f x αβ>'是()f x 的导数.设()()()111,1,2,n n n n f a a a a n f a +==-=' .证明：对任意的正整数n ，都有n a α>.（本小题数列{}n a 不同于第（1）（2）小题）【答案】（1）132=-a ，256a =，3712a =-（2）11(1)1n n a n n ⎛⎫=-⨯+ ⎪+⎝⎭，2,.1,.1n n n n S n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩当为奇数当为偶数（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据费马数公式求解素数，再根据DZB 数据加密协议，即可求解；（2）首先猜想数列{}n a 的通项公式，再利用裂项相消的方法求和；（3）首先求α和β，得到数列{}n a 的递推关系式，再根据基本不等式，即可证明.【小问1详解】根据费马数()221nF n =+求得()()()217,3257,465537F F F ===1351173,3417 2.2a =⨯=⨯∴=- 2512852575,1512257 6.6u =⨯=⨯∴= 37458759655377,7864446553712.12a =⨯=⨯∴=-【小问2详解】根据上面的数据得数列{}n a 的这项公式为()21(1)1n n n a n n +=-⨯+经检.验：123a a a ⋅⋅的数值符合该公式.()2111(1)(1)11n n n n a n n n n +⎛⎫=-⨯=-⨯+ ⎪++⎝⎭∴数列{}n a 前n 项的和1111111(1)1(1)22311n n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-+-+=-+- ⎪ ⎪ ++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 2,.1,.1n n n n n n +⎧-⎪⎪+=⎨⎪-⎪+⎩当为奇数当为偶数【小问3详解】证明：11,22αβ-==()()21,21n n f x x f a a '=+∴='+ ()2151111142121421222n n n n n n n a a a a a a a α++-∴=-=++-≥==++由1112a -=>依次可得231,,2n a a a ⋅> （基本不等式取等条件不成立.）.【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问，根据“费马数”，求数列的前3项，第二问的关键是需讨论n 为奇数和偶数两种情况求和，第3问的关键是构造基本不等式证明不等式.。
2023届安徽省五校联盟高三下学期第二次联考理综物理试题（基础必刷）一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题约里奥·居里夫妇于1934年发现了人工放射性同位素磷30，获得了诺贝尔物理学奖。
磷30的衰变方程为P→Si＋X＋γ，则（ ）A．γ光子是磷30跃迁产生的B．X是磷30核内的质子转化产生的C．磷30的平均结合能比硅30的大D．一定质量的磷30经过2个半衰期后将全部发生衰变第(2)题根据玻尔原子理论，一个氢原子从n=3能级跃迁到n=2能级，该氢原子（ ）A．放出光子，库仑力做正功B．放出光子，库仑力做负功C．吸收光子，库仑力做负功D．吸收光子，库仑力做正功第(3)题使用一焦距为的薄凸透镜观察一只沿着透镜主轴爬行的蚂蚁，发现蚂蚁的成像为正立放大，且在0.5秒间像距从改变至，则蚂蚁在这观察的0.5秒间爬行的平均速度为何？（ ）A．以接近镜心B．以远离镜心C．以接近镜心D．以远离镜心E．以接近镜心第(4)题一带负电的粒子只在电场力作用下沿x轴正方向运动，其电势能E p随位移x变化的关系如图所示，其中O~x2段是关于直线x=x1对称的曲线，x2~x3段是直线，则下列说法正确的是（ ）A．x1处电场强度最小，但不为零B．粒子在O~x2段做匀变速运动，x2~x3段做匀速直线运动C．在O、x1、x2、x3处电势φ0、φ1、φ2、φ3的关系为φ1>φ2=φ0>φ3D．0~x2段的电场强度大小、方向均不变第(5)题如图所示为模拟远距离输电的实验电路图，两变压器均为理想变压器，变压器的匝数，四根输电线的电阻，、为两个相同的小灯泡，灯丝电阻，忽略灯丝电阻随温度的变化。
当端输入低压交流电时，下列说法正确的是（ ）A．电流表示数比示数小B．的热功率大于的热功率C．、两灯泡的功率相同D．的功率比的功率要小第(6)题对于一个在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法中正确的是（ ）A．振子对平衡位置的位移增大，则其加速度减小B．从任意时刻开始的四分之一周期时间内路程等于振幅C．振子对平衡位置的位移的方向与速度的方向相反，则其速度的大小正在增大D．从任意时刻开始的二分之一周期时间内合力的冲量为零第(7)题某物体温度升高后，增大的是（ ）A．分子平均动能B．总分子势能C．每一个分子的动能D．每一个分子的势能第(8)题如图所示，一电荷量为Q的带正电点电荷固定于O点，边长为L的正方形abcd与O点在同一平面内，O、a、d三点共线，且。
