山东省中考复习导学案：九年级数学学案导学(乐陵三中)

第31课时直线与圆的位置关系一、基础知识梳理（一）直线与圆的位置关系和圆心到直线的距离d与半径r的数量关系无公共点⇒直线与圆相离⇒有一个公共点⇒直线与圆相切⇒有两个公共点⇒直线与圆相交⇒（二）圆的切线定理1、性质定理：圆的切线过切点的半径。

圆中遇切线时常用辅助线作法：见切点，连圆心，得垂直。

推论1：过圆心垂直于切线的直线必过；推论2：过切点垂直于切线的直线必过。

即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知二推一。

2、判定定理：的直线是切线。

（两个条件缺一不可）切线的判定方法及辅助线作法：①当知道直线和圆的公共点时，“连半径，证垂直”-----用判定定理证明。

②当不确定直线与圆有无公共点时，“作垂直，证半径”-----用圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

（三）切线长定理1、切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

2、切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长，这点和圆心的连线两条切线的夹角。

（四）三角形的内切圆1、定义：和三角形各边都的圆。

内切圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做圆的。

2、三角形的内心是三角形的交点，它到______的距离相等.三角形的内心都在三角形的部.C A1题二、基础诊断题1、如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠B = 30°，BC = 4 cm ，以点C 为圆心，以2 cm 的长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是（ ）． A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．相切或相交2、如图，⊙O 是Rt △ABC 的内切圆，∠ACB ＝900，且AB ＝13，AC ＝12，则图中阴影部分的面积是（ ）A 、π-30C 、π330-D 、π430-3题 5题3、（2014•天津）如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 经过圆心．若∠B=25°，则∠C 的大小等于（ ）A.20° B ． 25° C ． 40° D ． 50°4、正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为（ ）A ．2B ．3C ．5、如图，在平面直角坐标系中，过格点A ，B ，C 作一圆弧，点B 与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是（ )A.点（0，3）B. 点（2，3）C.点（5，1）D. 点（6，1） 6、（2014•威海）如图，在△ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线交AC 于点E ，过点E 作BE 的垂线交AB 于点F ，⊙O 是△BEF 的外接圆．（1）求证：AC 是⊙O 的切线． （2）过点E 作EH ⊥AB 于点H ，求证：CD=HF ．B2题三、典型例题例1、（2014•北京）如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧AB 的中点，⊙O 的切线BD 交AC 的延长线于点D ，E 是OB 的中点，CE 的延长线交切线DB 于点F ，AF 交⊙O 于点H ，连结BH ． （1）求证：AC=CD ； （2）若OB=2，求BH 的长．例2、（2014•聊城）如图，AB ，AC 分别是半⊙O 的直径和弦，OD ⊥AC 于点D ，过点A 作半⊙O 的切线AP ，AP 与OD 的延长线交于点P ．连接PC 并延长与AB 的延长线交于点F ． （1）求证：PC 是半⊙O 的切线； （2）若∠CAB=30°，AB=10，求线段BF 的长．四、达标检测题（一）基础巩固题1、（2014•青岛）如图，AB 是⊙O 的直径，BD ，CD 分别是过⊙O 上点B ，C 的切线，且∠BDC=110°．连接AC ，则∠A 的度数是 _________°．1题 2题2、(2014•淄博)如图，直线AB 与⊙O 相切于点A ，弦CD ∥AB ，E ，F 为圆上的两点，且∠CDE=∠ADF ．若⊙O 的半径为25，CD=4，则弦EF 的长为（ ） A ． 4 B ． 2 C ． 52 D ． 63、（2014•枣庄）如图，A 为⊙O 外一点，AB 切⊙O 于点B ，AO 交⊙O 于C ，CD ⊥OB 于E ，交⊙O 于点D ，连接OD ．若AB=12，AC=8． （1）求OD 的长； （2）求CD 的长．4、（2014•莱芜）如图1，在⊙O 中，E 是弧AB 的中点，C 为⊙O 上的一动点（C 与E 在AB 异侧），连接EC 交AB 于点F ，EB=r 32（r 是⊙O 的半径）． （1）D 为AB 延长线上一点，若DC=DF ，证明：直线DC 与⊙O 相切； （2）求EF •EC 的值；（3）如图2，当F 是AB 的四等分点时，求EC 的值．5、（2014•临沂）如图，已知等腰三角形ABC 的底角为30°，以BC 为直径的⊙O 与底边AB 交于点D ，过D 作DE ⊥AC ，垂足为E ． （1）证明：DE 为⊙O 的切线；（2）连接OE ，若BC=4，求△OEC 的面积．6、(2014•菏泽)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若32DE CE ，求cos ∠ABC 的值．（二）能力提升题1、（2014年山东泰安）如图，P 为⊙O 的直径BA 延长线上的一点，PC 与⊙O 相切，切点为C ，点D 是⊙上一点，连接PD ．已知PC=PD=BC ．下列结论： （1）PD 与⊙O 相切；（2）四边形PCBD 是菱形；（3）PO=AB ；（4）∠PDB=120°． 其中正确的个数为（ ）A. 4个 B ． 3个 C ． 2个 D ． 1个1题 2题2、（2014•日照）如图，在Rt △OAB 中，OA=4，AB=5，点C 在OA 上，AC=1，⊙P 的圆心P 在线段BC 上，且⊙P 与边AB ，AO 都相切．若反比例函数y=xk（k ≠0）的图象经过圆心P ，则k= ．3、（2014•德州）如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦BC 为5cm ，D 、E 分别是∠ACB 的平分线与⊙O ，AB 的交点，P 为AB 延长线上一点，且PC=PE ． （1）求AC 、AD 的长；（2）试判断直线PC 与⊙O 的位置关系，并说明理由．4、 (2014•东营)如图，AB 是⊙O 的直径，OD 垂直于弦AC 于点E ，且交⊙O 于点D ，F 是BA 延长线上一点，若∠CDB=BFD ．（1）求证：FD 是⊙O 的一条切线； （2）若AB=10，AC=8，求DF 的长．5、（2014•潍坊）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，以AB 为直径作⊙O ，恰与另一腰CD 相切于点E ，连接OD 、OC 、BE ． （1）求证：OD ∥BE ；（2）若梯形ABCD 的面积是48，设OD=x ，OC=y ，且x+y=14，求CD 的长．6、（2014•日照）阅读资料：小明是一个爱动脑筋的学生，他在学习了有关圆的切线性质后，意犹未尽，又查阅到了与圆的切线相关的一个问题： 如图1，已知PC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长BA 交切线PC 与P ，连接AC 、BC 、OC ．因为PC 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，所以∠OCP=∠ACB=90°，所以∠B=∠2． 在△PAC 与△PCB 中，又因为：∠P=∠P ，所以△PAC ∽△PCB ，所以PBPCPC PA =，即PC=PA •PB ． 问题拓展：（Ⅰ）如果PB 不经过⊙O 的圆心O （如图2）等式PC=PA •PB ，还成立吗？请证明你的结论； 综合应用：（Ⅱ）如图3，⊙O 是△ABC 的外接圆，PC 是⊙O 的切线，C 是切点，BA 的延长线交PC 于点P ；（1）当AB=PA ，且PC=12时，求PA 的值；（2）D 是BC 的中点，PD 交AC 于点E ．求证：AE CEPA PC =22．五、课后反馈1、已知⊙1O 和⊙2O 的半径是一元二次方程0652=+-x x 的两根，若圆心距1O 2O =5，则⊙1O 和⊙2O 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切2、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH 的各边分别与半圆相切且平行于AB 或BC ，则矩形EFGH 的周长是 ．3、如图，△ABC为等边三角形，AB=6，动点O在△ABC的边上从点A出发沿着A→C→B→A的路线匀速运动一周，速度为1个单位长度每秒，以O程中与△ABC的边第二次．．．相切时是出发后第_______秒.4、如图，AB与⊙O相切于点C，∠A=∠B，⊙O的半径为6，AB=16，求OA的长．5、已知：如图②，AB是⊙O的直径．CA与⊙O相切于点A．连接CO交⊙O于点D，CO的延长线交⊙O于点E．连接BE、BD，∠ABD=30°，求∠EBO和∠C的度数．6、如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过点D作⊙O的切线AD，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形．（1）求AD的长；（2）BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由．7、如图所示，菱形ABCD的顶点A、B在x轴上，点A在点B的左侧，点D在y轴的正半轴上，∠BAD=60°，点A的坐标为(－2，0)．⑴求线段AD所在直线的函数表达式．⑵动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，按照A→D→C→B→A的顺序在菱形的边上匀速运动一周，设运动时间为t秒．求t为何值时，以点P为圆心、以1为半径的圆与对角线AC相切？。

第3课时 整式的乘除、因式分解一、基础知识梳理（课前完成）（一）整式的乘除 1．幂的运算性质（1）.______..=n m a a （m ，n 都是正整数）。

例：_______.32=a a 。

（2）.()______=nab （n 为正整数）。

例：()________3=ab 。

（3）. ()______=nm a （m ，n 都是正整数）。

例：()_________32=a 。

（4）. ______.=÷n ma a（0≠a ，m ，n 都是正整数，并且n m >）。

例：______23=÷a a 。

（5）.______0=a （0≠a ） （6）. _________=-na （0≠a ， n 是正整数）2．整式的乘法：（1）单项式乘以单项式：_______3.62=xy x 。

（2）单项式乘以多项式：()()_______222=-xyy x 。

（3）多项式乘以多项式：()()__________432=+-y x y x 。

3.整式的除法：（1）单项式除法：_______263=÷x x 。

（2）多项式除以单项式：()()_________4482=-÷-x xy x 。

（二）因式分解1．分解因式的概念（1）.分解因式：把一个多项式化成几个____________的形式。

（2）.分解因式与整式乘法的关系： 2．分解因式的基本方法：（1）. 提公因式法：_____________=++mc mb ma 。

（2）．运用公式法：（1）平方差公式：_________22=-b a ；（2）完全平方公式：__________222=+±b ab a 。

二、基础诊断题101. 计算()34a 的结果是（ ）A ．7aB ．12aC ．16aD ．64a2.计算：_______5.322=b a ab ，()______3923=-÷x x 。

九年级中考一轮复习导学案：九年级数学学案导学九年级中考一轮复习导学案：九年级数学学案导学一、学案导学的重要性九年级是初中学习的最后阶段，也是中考的重要准备阶段。

在这一时期，进行有效的数学复习，帮助学生掌握基本知识和解题技巧，对于提高中考成绩至关重要。

而学案导学作为一种新型的教学方式，能够引导学生自主学习、主动探究，提高学习效果。

二、学案导学的实施步骤1、确定文章类型：首先需要明确本学案导学的文章类型，是记叙文、议论文还是说明文等。

对于九年级数学学案导学，本文属于说明文类型。

2、梳理思路：在明确文章类型后，需要梳理思路，将输入的关键词和内容按照逻辑顺序进行排列，形成一个清晰的思路。

3、展开情节：在思路形成后，可以依据逻辑顺序，展开情节，进行逐步说明和分析。

4、提取重点：在文章的正文部分，需要提取出本次复习中九年级数学学案中的重点知识点，并进行归纳总结。

5、补充细节：除了重点知识点外，还需要根据实际需要，补充一些细节和例子，以使文章更加完整和具体。

6、回归主题：最后，需要回归到主题上，对本次复习的重点知识点进行总结和回顾。

三、九年级数学学案导学具体内容1、知识点梳理：首先，我们需要将九年级数学教材中的知识点进行梳理，按照章节顺序列出知识点，并注明每个知识点的考试要求和难度。

2、知识点归纳：将知识点按照类别进行归纳，如几何、代数、概率等，以便学生进行分类复习。

3、经典例题：针对每个知识点，选取1-2道经典例题进行讲解，让学生更好地理解和掌握知识点。

4、练习题：根据知识点和经典例题，设计相应的练习题，让学生在解题过程中巩固知识，提高解题能力。

5、考试模拟：在学案导学的最后，加入2-3套中考数学模拟试题，让学生感受考试氛围，提高应试能力。

四、九年级数学学案导学注意事项1、注重基础：九年级数学学案导学应注重基础知识的复习和巩固，确保学生具备扎实的数学基础。

2、结合实际：在复习过程中，应结合实际例子，让学生更好地理解数学知识在实际生活中的应用。

第6课时 一元一次方程、一元一次方程组一、基础知识梳理（课前完成）1.方程与方程的解含有__________的等式叫做方程.使方程左右两边相等的_________的值叫做方程的解. 2.一元一次方程含有______个未知数,并且未知数的指数是________次的整式方程是一元一次方程. 3.等式的基本性质基本性质1 等式的两边都加上或减去_______________________,所得结果仍是等式； 基本性质2 等式两边都乘以或除以_________________________,所得结果仍是等式. 4.移项把方程的某一项改变_________后，从方程的一边移到另一边，这个过程叫做移项. 5.二元一次方程与二元一次方程组 ⑴二元一次方程含有________个未知数，并且含有未知数的项的指数都是____的方程叫做二元一次方程.⑵二元一次方程组由两个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组. ⑶二元一次方程组的解使二元一次方程组的_____个方程左右两边都相等的两个未知数的值是二元一次方程组的解.二、基础诊断题1.已知y x =，则下面变形错误的是（ ）A.a y a x +=+ B . a y a x -=- C. y x 22= D. ay a x = 2.若2=x 是关于x 的方程m x =+12的解，则m 的值为（ ） A ．1- B. 0 C. 5 D. 31 3.解方程2122132+=--x x 时，去分母，得：（ ） A ．12134+=--x x B. 12132+=+-x x C. 12132+=--x x D. 12134+=+-x x4.(1)解方程：()x x =+43 (2)解方程:()2456-=-x5.下面哪个方程组是二元一次方程组是（ ）A.⎩⎨⎧==+x y y x 2102 B . ⎩⎨⎧=+=+00z x y x C. ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+051y x yx D. ⎩⎨⎧==00x xy 6.下面两组数值中，哪些是二元一次方程1232=+y x 的解。

【基础知识梳理】1. 一次函数与一次方程（组）、一元一次不等式的关系：⑴ 当一次函数y=kx+b （k M 0）的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程 kx+b=0 的解，因此可利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解或一元一次不等式的解 集.（2） 二元一次方程的每一组解就是对应一次函数图象上的点的坐标（3） 二元一次方程组的解就是对应两个一次函数图象的交点坐标 .因此可利用一次 函数的图象求二元一次方程组的近似解.2. 一次函数与日常生活、生产实践有着广泛联系，实际生活中利用一次函数解决生 产、生活、市场经济相关的函数应用问题，帮助方案设计和选择作出最佳的决策.用一次函数解决实际问题时，要注重数形结合，做到眼中有式 （解析式），脑中有 图（图象）.【基础诊断】1、一次函数y=2x ・2的图象如图所示，则方程2x ^0的解为 _________________ 。

、（2014?枣庄）将一次函数y=x 的图象向上平移2个单位，平移后，若y >0,则 的取值范围是（）3、 弹簧的长度与所挂物体的质量的关系是一次函数， 如图所示，则不挂物体时弹簧 的长度是 ______ cm.4、 如图所示，表示的是某航空公司托运行李的费用 y （元）与托运行李的质量x （千 克）的关系，由图中可知行李的质量只要不超过 _________ 克，就可以免费托运.5、 蜡烛在空气中燃烧的长度与时间成正比，如果一支原长 __ 15cm 的蜡烛4分钟后， 其长度变为13cm,请写出剩余长度y （cm ）与燃烧时间x （分钟）的关系式为 .（不写x 的范围）一次函数（2）2、A. x >4B. x >- 4C. D .x >- 2【精典例题】例1.在同一坐标系下，函数y=2x，10与y=5x，4的图象如图所示：请根据图象回答:"2 Y_ _10(1)方程组丿一科—的解为______________ 。

中考数学压轴题第一部分函数图象中点的存在性问题1 因动点产生的相似三角形问题2 因动点产生的等腰三角形问题3 因动点产生的直角三角形问题4 因动点产生的平行四边形问题5 因动点产生的梯形问题6 因动点产生与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题第二部分图形的平移、翻折与旋转7 图形的平移8 图形的翻折9 图形的旋转中考数学压轴题五大类型一、函数图像中的存在性问题（1）动点与相似三角形问题例题1：（2014•温州，第21题10分）如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNE的面积之比．练习：（2013•莱芜压轴题）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．（1）求抛物线的表达式；（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．（2）动点与等腰三角形问题例题2：6. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O，经过点A（1，14）；点F（0，1）在y轴上．直线y=﹣1与y轴交于点H．（1）求二次函数的解析式；（2）点P是（1）中图象上的点，过点P作x轴的垂线与直线y=﹣1交于点M，求证：FM 平分∠OFP；（3）当△FPM是等边三角形时，求P点的坐标．20.（2014•邵阳，第26题10分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2﹣（m+n）x+mn（m ＞n）与x轴相交于A、B两点（点A位于点B的右侧），与y轴相交于点C．（1）若m=2，n=1，求A、B两点的坐标；（2）若A、B两点分别位于y轴的两侧，C点坐标是（0，﹣1），求∠ACB的大小；（3）若m=2，△ABC是等腰三角形，求n的值．(2014年四川资阳，第24题12分)如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的一个交点为A （3，0），与y轴的交点为B（0，3），其顶点为C，对称轴为x=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点M为y轴上的一个动点，当△ABM为等腰三角形时，求点M的坐标；（3）将△AOB沿x轴向右平移m个单位长度（0＜m＜3）得到另一个三角形，将所得的三角形与△ABC重叠部分的面积记为S，用m的代数式表示S．（3）动点与直角三角形问题例题3：14.（2014•毕节地区，第27题16分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为A（﹣1，﹣1），与x轴交点M（1，0）．C为x轴上一点，且∠CAO=90°，线段AC的延长线交抛物线于B点，另有点F（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线Ac的解析式及B点坐标；（3）过点B做x轴的垂线，交x轴于Q点，交过点D（0，﹣2）且垂直于y轴的直线于E 点，若P是△BEF的边EF上的任意一点，是否存在BP⊥EF？若存在，求P点的坐标，若不存在，请说明理由．练习:（2014•四川自贡，第24题14分）如图，已知抛物线y=ax2﹣x+c与x轴相交于A、B 两点，并与直线y=x﹣2交于B、C两点，其中点C是直线y=x﹣2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角形；（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．（2014•德州，第24题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作y轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．（4）动点与平行四边形问题例题4：（2014•珠海，第22题9分）如图，矩形OABC的顶点A（2，0）、C（0，2）．将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°．得矩形OEFG，线段GE、FO相交于点H，平行于y 轴的直线MN分别交线段GF、GH、GO和x轴于点M、P、N、D，连结MH．（1）若抛物线l：y=ax2+bx+c经过G、O、E三点，则它的解析式为：y=x2﹣x；（2）如果四边形OHMN为平行四边形，求点D的坐标；（3）在（1）（2）的条件下，直线MN与抛物线l交于点R，动点Q在抛物线l上且在R、E两点之间（不含点R、E）运动，设△PQH的面积为s，当时，确定点Q的横坐标的取值范围．练习：（2014•浙江湖州，第23题分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C，过点C作CA∥x 轴交抛物线于点A，在AC延长线上取点B，使BC=AC，连接OA，OB，BD和AD．（1）若点A的坐标是（﹣4，4）①求b，c的值；②试判断四边形AOBD的形状，并说明理由；（2）是否存在这样的点A，使得四边形AOBD是矩形？若存在，请直接写出一个符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．（2014•济宁，第22题11分）如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A（5，0）、B（﹣1，0）两点，过点A作直线AC⊥x轴，交直线y=2x于点C；（1）求该抛物线的解析式；（2）求点A关于直线y=2x的对称点A′的坐标，判定点A′是否在抛物线上，并说明理由；（3）点P是抛物线上一动点，过点P作y轴的平行线，交线段CA′于点M，是否存在这样的点P，使四边形P ACM是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（5）动点与平行问题例题5：13.（2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣3与x轴的交点为A、D（A在D的右侧），与y轴的交点为C．（1）直接写出A、D、C三点的坐标；（2）若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；（3）设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以BC∥AP？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（6）动点与线段和最小，线段差最大以及面积最大（最小）值问题例题6：（2014年山东泰安，第29题）二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，4），且与直线y=﹣x+1相交于A、B两点（如图），A点在y轴上，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（﹣3，0）．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在AB上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交AB于点M，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，点N在何位置时，BM与NC相互垂直平分？并求出所有满足条件的N点的坐标．练习：1、如图，已知抛物线y=（x﹣2）（x+a）（a＞0）与x轴交于点B、C，与y轴交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线过点M（﹣2，﹣2），求实数a的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H，使CH+EH的值最小，直接写出点H的坐标．2、（2013甘肃兰州12分、28压轴题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，﹣），点M 是抛物线C 2：y=mx 2﹣2mx ﹣3m （m ＜0）的顶点． （1）求A 、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．二、图形的变化与代数综合问题（7）图形的平移（2014济南28）如图1，抛物线2163x y -=平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．第28题图1S；（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积阴影∠为直角，边MN （2）如图2，直线AB与y轴相交于点P，点M为线段OA上一动点，PMNOM=，试探求：与AP相交于点N，设t∆为等腰三角形；①为何值时MAN②为何值时线段PN的长度最小，最小长度是多少．练习（2014年江苏南京，第24题）已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？（8）图形的翻折例题8：（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，-3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．练习：（2013•盐都区一模）已知二次函数y=ax2+bx-2的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=-2和x=5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将△AEF 沿EF翻折，使点A落在点D处，得到△DEF．①是否存在某一时刻t，使得△DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；（9）图形的旋转例题9：如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．（1）求此二次函数的解析式．（2）动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？若不变，求∠EPF 的度数；若变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值练习：（2013•南京二模）阅读材料，回答问题：如果二次函数y1的图象的顶点在二次函数y2的图象上，同时二次函数y2的图象的顶点在二次函数y1的图象上，那么我们称y1的图象与y2的图象相伴随．例如：y=（x+1）2+2图象的顶点（-1，2）在y=-（x+3）2+6的图象上，同时y=-（x+3）2+6图象的顶点（-3，6）也在y=（x+1）2+2的图象上，这时我们称这两个二次函数的图象相伴随．。

第20课时等腰三角形【基础知识梳理】一、等腰三角形1．性质：（1）等腰____ ____。

（2）角：两个底角。

（3）重要线段：顶角的底边的、底边上的高互相重合（三线合一）。

（4）对称性:是轴对称图形，对称轴为顶角平分线或底边的或底边上的高所在的直线。

2. 判定方法：（1）利用定义。

（2）等角对________；（3）“二线合一”。

二、等边三角形：1.性质：（1）边：三边都。

（2）角：三个角都，都等于。

（3）重要线段：与等腰三角形的相同。

（4）对称性:是图形，对称轴有条。

2. 判定方法：（1）利用定义。

（2）三个内角都________的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是________的等腰三角形是等边三角形.三、角平分线上的点是到这个角两边的________相等，角的内部到________________，在这个角的平分线上.四、线段垂直平分线上的点到____________相等，到一条线段两个端点距离相等的点，在____________.五、含300角的直角三角形的性质在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的。

【基础诊断】1. （2013•新疆）等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长2．（2013•十堰）如图，点D，E在△ABC的边BC上，AB=AC，BD=CE．求证：AD=AE．3.（2014•新疆，第12题5分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D在AC上，BD=BC，则∠ABD的度数是．【精典例题】考点1．（2014江苏无锡）已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条B．7条C．8条D．9条【点拨】本题考查了等腰三角形中的常见分类讨论思想，解决本题的关键是注意要分类讨论，但注意能不能构造出三角形。

例2：. （2014年山东泰安）如图，∠ABC=90°，D、E分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是AE的中点，FD与AB相交于点M．（1）求证：∠FMC=∠FCM；（2）AD与MC垂直吗？并说明理由．分析：（1）根据等腰直角三角形的性质得出DF⊥AE，DF=AF=EF，进而利用全等三角形的判定得出△DFC≌△AFM（AAS），即可得出答案；（2）由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，即可得出∠FDE=∠FMC=45°，即可理由平行线的判定得出答案．（1）证明：∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点，∴DF⊥AE，DF=AF=EF，又∵∠ABC=90°，∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余，∴∠DCF=∠AMF，在△DFC和△AFM中，，∴△DFC≌△AFM（AAS），∴CF=MF，∴∠FMC=∠FCM；（2）AD⊥MC，理由：由（1）知，∠MFC=90°，FD=EF，FM=FC，∴∠FDE=∠FMC=45°，∴DE∥CM，∴AD⊥MC．点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，得出∠DCF=∠AMF是解题关键．【自测训练】A—基础训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1．（2013•德州）如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE，∠D=74°，则∠B的度数为（）2．（2014•呼和浩特，第13题3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36，则该等腰三角形的底角的度数为．3. （2013哈尔滨）如图，在 ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为( )．(A)4 (B)3 (C) 52(D)24. （2014•扬州，第10题，3分）若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为cm．5.（2013•攀枝花）如图，在△ABC中，∠CAB=75°，在同一平面内，将△ABC 绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，则∠BAB′=（a）6．（2014•广西玉林市、防城港市，第10题3分）在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为20cm，则AB边的取值范围是（）P OFEDCBA且AE=3，则AB 的长为8.（2013•黔西南州）如图，已知△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在同一直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 度．9. （ 2014•广西贺州，第17题3分）如图，等腰△ABC 中，AB =AC ，∠DBC =15°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠A 的度数是 ．10．如图，P 是边长为2的正方形ABCD 的边CD 上任意一点，且PE ⊥DB ，垂足为E ，PF ⊥CA ，垂足为F ，则PE+PF 的长是 .11、如图3，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，P 是AD 上的动点，PE ⊥AC 于E ，PF ⊥BD 于F ，则PE+PF 的值为 （ ）A.513B.25 C.2 D.512 三、解答题12. （2013•荆门）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上．（1）求证：BE=CE ； （2）如图2，若BE 的延长线交AC 于点F ，且BF ⊥AC ，垂足为F ，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF ≌△BCF ．第10题图ABC DP OE FB 提升训练一、选择题（每小题有四个选项，只有一个选项是正确的.）1. （2013泰安）如图，在平行四边形ABCD 中，AB=4，∠BAD 的平分线与BC 的延长线交于点E ，与DC 交于点F ，且点F 为边DC 的中点，DG ⊥AE ，垂足为G ，若DG=1，则AE 的边长为（ ）A ．2B ．4C ．4D ．82. (2013年临沂)如图，在平面直角坐标系中,点A 1 ， A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0),A 2(2,0),B 1(0,1)，B 2（0,2），分别以A 1A 2B 1B 2其中的任意两点与点．．O ．为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ d ） （A ）3 4. (B) 1 3. (C) 23. (D) 1 2. 3. （2013•莱芜）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（1，），M 为坐标轴上一点，且使得△MOA 为等腰三角形，则满足条件的点M 的个数二、填空题4. （2013•雅安）若（a ﹣1）2+|b ﹣2|=0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为 ．第5题图第6题图第7题图5.（2013•黄冈）已知△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE=．6. （2013•玉林）如图，在直角坐标系中，O是原点，已知A（4，3），P是坐标轴上的一点，若以O，A，P三点组成的三角形为等腰三角形，则满足条件的点P共有个，写出其中一个点P的坐标是．7.（2013菏泽）如图，▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B 的落点记为B′，则DB′的长为．三、解答题11. （2013•株洲）已知在△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB（如图1）或线段AB的延长线（如图2）于点P．（1）当点P在线段AB上时，求证：△APQ∽△ABC；（2）当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．12. （2013•牡丹江）已知∠ACD=90°，MN是过点A的直线，AC=DC，DB⊥MN于点B，如图（1）．易证BD+AB=CB，过程如下：过点C作CE⊥CB于点C，与MN交于点E∵∠ACB+∠BCD=90°，∠ACB+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE．∵四边形ACDB内角和为360°，∴∠BDC+∠CAB=180°．∵∠EAC+∠CAB=180°，∴∠EAC=∠BDC．又∵AC=DC，∴△ACE≌△DCB，∴AE=DB，CE=CB，∴△ECB为等腰直角三角形，∴BE=CB．又∵BE=AE+AB，∴BE=BD+AB，∴BD+AB=CB．（1）当MN绕A旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，BD、AB、CB满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（2）给予证明．（2）MN在绕点A旋转过程中，当∠BCD=30°，BD=时，则CD=，CB=课后反馈---对于考察多各知识点的综合题，以重点考察（核心考察）为依据分类选取。

第25课时 图形的变换⑵平移、旋转、翻折【基础知识梳理】 1.平移在平面内，将一个图形沿着某个 移动一定的 ，这样的图形运动称作平移；平移不改变图形的 和 . 2.平移的特征平移前后的两个图形对应点连线 且 ，对应线段 且 ，对应角 . 3.旋转在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向 一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转.这个定点称为 ，转动的角称为 .4.旋转的基本性质⑴旋转不改变图形的 和 ．⑵图形上的每一点都绕 沿 转动了相同的角度. (3)任意一对对应点与 的连线所成的角度都是旋转角. (4)对应点到旋转中心的距离 . 【基础诊断】1、（3分）（2014•呼和浩特）已知线段CD 是由线段AB 平移得到的，点A （﹣1，4）的对应点为C （4，7），2、(2014年贵州黔东南5．（4分）)如图，将Rt△ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B 的对应点D 恰好落在BC 边上．若AC=，∠B=60°，则CD 的长为（ ）A ． 0.5B ． 1.5C ．D ． 13. (2014济南 12. 3分) 如图，直线233+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B A ,两点，把AOB ∆沿着直线AB 翻折后得到B O A '∆，则点O '的坐标是A ．)3,3(B ．)3,3( C．)32,2( D ．)4,32(【精典例题】例1、(2014济南 20. 3分)如图，将边长为12的正方形ABCD 是沿其对角线AC 剪开，再把ABC ∆沿着AD 方向平移，得到C B A '''∆，当两个三角形重叠的面积为32时，它移动的距离A A '等于________.【解析】本题考查图形变换的性质，设m A A ='，则222121264m (m)+-=-，解之m =4或8，应填4或8．A D A例2、（2014•四川宜宾，第14题，3分）如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，AB =3，BC =4，将△ABC 折叠，使点B 恰好落在边AC 上，与点B ′重合，AE 为折痕，则EB ′= 1.5 ．例3、（2014•山东潍坊，第22题12分）如图1，在正方形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，连接AE 、BF ，交点为G ． (1)求证：AE ⊥BF ；(2)将△BCF 沿BF 对折，得到△BPF （如图2），延长FP 交BA 的延长线于点Q ，求sin ∠BQP 的值； (3)将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转，使边AB 正好落在AE 上，得到△AHM （如图3），若AM 和BF 相交于点N ，当正方形ABCD 的面积为4时，求四边形GHMN 的面积．考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形． 分析：（1）由四边形ABCD 是正方形，可得∠ABE =∠BCF =90°，AB =BC ，又由BE =CF ，即可证得△ABE ≌△BCF ,可得∠BAE =∠CBF ，由∠ABF +∠CBF =900可得∠ABF +∠BAE =900，即AE ⊥BF ；（2）由△BCF ≌△BPF , 可得CF =PF ,BC =BP ,∠BFE =∠BFP ，由CD ∥AB 得∠BFC =∠ABF ,从而QB =QF ，设PF 为x ,则BP 为2x ,在Rt △QBF 中可求 QB 为25x ，即可求得答案； （3）由2)(AMAN AHM AGN =∆∆可求出△AGN 的面积，进一步可求出四边形GHMN 的面积．【自测训练】A—基础训练1、（2014•山东枣庄，第8题3分）将一次函数y=x的图象向上平移2个单位，平移后，若y＞0，则x转90°得到△A′B′C′，则点P的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（1，3）D．（1，4）3（2014•遵义10．（3分））如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（ C ）﹣1轴上．将△AOB绕点B按顺时针方向旋转一定角度后得△A′O′B′，点A的对应点A′在x轴上，则点O′的坐标为（ C ）（，），，（，4）5、（2014•莱芜，第8题3分）如图，AB为半圆的直径，且AB=4，半圆绕点B顺时针旋转45°，点A旋转到A′的位置，则图中阴影部分的面积为（B ）6、（2014•黑龙江哈尔滨,第8题3分）将抛物线y=﹣2x2+1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为（D ）A．y=﹣2（x+1）2﹣1 B．y﹣2（x+1）2+3 C．y=﹣2（x﹣1）2+1 D．y=﹣2（x﹣1）2+3二、填空题7、（2014•四川巴中，第18题3分）如图，直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△A0B 绕点A顺时针旋转90°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．8、（2014•广东梅州,第11题3分）如图，把△ABC绕点C按顺时针方向旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D．若∠A′DC=90°，则∠A= ．9、（2014•江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和A'B'C'重合在一起，将三角板A'B'C'绕其顶点C'按逆时针方向旋转角α（0°< α≤90°），有以下四个结论：①当α=30°时，A'C与AB的交点恰好为AB的中点；②当α=60°时，A'B'恰好经过点B；=；③在旋转过程中，存在某一时刻，使得AA'BB'⊥，④在旋转过程中，始终存在AA'BB'其中结论正确的序号是①②④ .(多填或填错得0分，少填酌情给分）10、（2014•江西，第11题3分）如图，在△ABC中，AB=4，BC=6，∠B=60°，将三角形ABC沿着射线BC的方向平移2个单位后，得到三角形△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为___ 12___。

第13课时反比例函数（2）反比例函数的应用典型例题例1．（2014•白银）如图，边长为1的正方形ABCD中，点E在CB延长线上，连接ED交AB于点F，AF=x（0.2≤x≤0.8），EC=y．则在下面函数图象中，大致能反映y与x之闻函数关系的是（）D两点，且OC=3BD，则实数k的值为．例3（2012四川攀枝花）据媒体报道，近期“手足口病”可能进入发病高峰期，某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“手足口病”，对教室进行“薰药消毒”。

已知药物在燃烧机释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（毫克）与燃烧时间x（分钟）之间的关系如图8所示（即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分），根据图象所示信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，y与x之间的函数关系式级自变量的取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量低于2毫克时，对人体无毒害作用，那么从消毒开始，至少在多长时间内，师生不能进入教室？达标检测题（一）基础检测）2．（2012菏泽）已知二次函数的图像如图所示，那么一次函数y bx c =+和反比例函数ay x=在同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 3.（湖南株洲市）如下图，直线(0)x t t =>与反比例函数21,y y x x-==的图象分别交于B 、C 两点，A 为y 轴上的任意一点，则∆ABC 的面积为A ．3B ．32t C ．32D ．不能确定4．（2012临沂）如下图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x=>和2(0)k y x x=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是（ ） A ．∠POQ 不可能等于90° B ．12k PM QM k =C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称D ．△POQ 的面积是()1212k k +3题图 4题图5（2014•盐城）如图，反比例函数y=（x ＜0）的图象经过点A （﹣1，1），过点A 作AB⊥y 轴，垂足为B ，在y 轴的正半轴上取一点P （0，t ），过点P 作直线OA 的垂线l ，以直线l 为对称轴，点B 经轴对称变换得到的点B′在此反比例函数的图象上，则t 的值是（ ）6. (2013年临沂)如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线xy 3在第一象限内的图像经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是 7．（2014•孝感）如图，Rt△AOB 的一条直角边OB 在x 轴上，双曲线y=经过斜边OA 的中点C ，与另一直角边交于点D ．若S △OCD =9，则S △OBD 的值为 ．8．(2014年山东省滨州市)如图，菱形OABC 的顶点O 是原点，顶点B 在y 轴上，菱形的两条对角线的长分别是6和4，反比例函数的图象经过点C ，则k 的值为 ．9．（2014•遵义）如图，反比例函数y=（k ＞0）的图象与矩形ABCO 的两边相交于E ，F 两点，若E 是AB 的中点，S △BEF =2，则k 的值为 ．三 解答题..1.(2013浙江丽水)如图，科技小组准备用材料围建一个面积为60m 2的矩形科技园ABCD ，其中一边AB靠墙，墙长为12m ，设AD 的长为x m ，DC 的长为y m 。