数理经济学茹少峰第章课后题及答案

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数理经济学_茹少峰_第1章课后题及答案

第1章习题答案1．什么是数理经济学？解：什么是数理经济学尚无统一的定义，以下是几种代表性的定义。

美国经济学家Kenneth J. Arrow（阿罗）等人在《数理经济学手册》一书中指出：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。

Alpha C. Chiang（蒋中一）、Kevin Wainwright（凯尔文·温赖特）在《数理经济学的基本方法》一书中指出：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。

就分析的具体对象而言，它可以是微观或宏观经济理论，也可以是公共财政、城市经济学或其他学科方面的理论。

路甬祥、杜瑞芝分别在《现代科学技术大众百科—科技与社会卷》和《数学史辞典》指出：数理经济学是运用数学符号、数学方法和数学图形表述和论证经济现象及其相互依存关系的一门综合性边缘学科，研究经济活动中的数量关系并从中寻找规律。

杨小凯在《数理经济学基础》中指出：数理经济学主要是进行定性分析的理论经济学，它研究最优经济效果、利益协调和最优价格的确定这些经济学基本理论问题，为经济计量学、管理科学、经济控制论提供模型框架、结构和基础理论，它实在是经济学的基础之基础。

由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。

因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。

2．数理经济学是如何诞生的？简述其发展过程。

解：数理经济学的诞生和发展是数学在经济学中应用的过程，也是经济学发展的必然结果。

因为经济学家不仅仅要关心现实生活中的许多经济现象，更要对经济现象的数量，如价格、产量、收入、就业、失业、CPI、GDP等进行度量，要和数量打交道，便要研究数量之间的变化与关系，以此来把握经济运行规律，故数学就必然进入经济学的领域。

概率论与数理统计茆诗松第二版课后

⎧0,
p(
x)
=
1 θ
Ι 0< x<θ
，
F
(
x)
=
⎪x ⎪⎨θ
,
⎩1,
x < 0; 0≤ x <θ; x ≥θ.
有 X (1)与 X (3)的密度函数分别为
p1 ( x)
=
3[1 −
F (x)]2
p(x)
=
3(θ − x)2 θ3
Ι 0< x<θ
，
p3 (x)
=
3[F (x)]2
p(x)
=
3x2 θ3
+
2)
，
2
且
Cov(Y(1) ,
Y(n) )
=
n
1 +
2
−
1 n +1
⋅
n n +1
=
(n
1 + 1)2 (n
+
2)
可得
E ⎢⎣⎡
1 2
(X
(1)
+
X
(n)
)⎥⎦⎤
=
1 2
[ E (Y(1)
)
+
E (Y( n )
)]
+
θ
−
1 2
=
θ
，
Var⎢⎣⎡
1 2
( X (1)
+
X (n) )⎥⎦⎤
=
1 4
[Var(Y(1) )
n1 + n2
n1 + n2
n1 + n2
8．设总体 X 的均值为µ ，方差为σ 2，X1, …, Xn 是来自该总体的一个样本，T (X1, …, Xn)为µ 的任一线性

数理经济学课后题第2章

第二章习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。

如果价格从20元提高为21元，则需求量将作如何变动？解：2220206000212160001513.61p q p q q q ======当时，，得；当时，，得所以，价格从20元提高为21元，则需求量从15万册下降到13.61万册。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。

证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。

解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。

若价格从9下降为8.50，问需求量将作如何变动？解：2280008000997.568.5109.22918.51p q p q ======++当时，；当时，所以，价格从9下降为8.5时，需求量将从97.56上升为109.22.5．若某人的效用函数取下述形式：322121)3()2(),(++=x x x x u ，其中：u 为总效用函数，1x ，2x 为所消费商品的数量，要求计算：（1）每一商品的边际效用函数；（2）当消费的每种商品均为3个单位时，第一种商品的边际效用值。

解：（1）商品1的边际效用函数：()()3112223MU x x =++商品2的边际效用函数：()()22212323MU x x =++（2）123x x ==当时，()()31232332160MU =++= 6．假定某厂商的生产函数为：αα-=1),(L AK L K Q ，其中：0>A 及10<<α。

数理经济学课后题第2节

第二章习题答案1．假设教材《数理经济学》的需求集为：{}6000|),(2==q p q p D ，其中，q 为需求量（万册），p 为价格（元）。

2．设某厂商的成本函数为323151500)(q q q q C +-+=，证明，其边际成本总是正的。

证明：因为边际成本函数，()()22C'156331120q q q q =-+=-+>所以，其边际成本总是正的。

3．设某厂商的成本函数为q q q q C +++=1201000)(，求边际成本函数。

解：边际成本函数为()C'20q =++4．设某一商品的需求函数为：18000)(2+==p p q q D，其中：q 为需求量，p 为价格。

茹少锋教授管理运筹学课后答案

4．有如下目标规划模型：
试用单纯形法求其满意解，若有多个满意解，求出其中两个。
解：将原模型转化为
A = b=
选d-i=（i=1，2，3）取为基变量， =(0,P1, P2)
B-1b= B-1A-C=
检验数行按形成：
单纯形表
1
0
1
0
0
-1
0
0
6
(2)
-1
0
1
0
0
-1
0
2
2
-3
0
0
1
0
0
-1
6
p0
0
180
0
6
0+180
140+0
280+0
280
2
7
0+180
140+180
280+0
320
1
8
0+360
140+180
280+0
360
0
9
0+360
140+180
280+0
420+0
420
3
10
0+360
140+180
280+180
420+0
460
2
k=1时，S1=10，u1=0，1，2，3，4，5
当时取到最大值， =
k=3时，
当时取到最大值，
k=2时
当时有最大值，
k=1时
当时有最大值，
故最优策略集为
2．某工厂生产三种产品，运送各种产品的重量与利润关系如下表所示。现将三种产品运往市场销售。运输能力总量不超过10吨，问如何安排运输使得总利润最大？

茹少峰数量经济学课程PPT第一章

定义方程定义方程实质上是数学恒等式，常用符号“ =” 表示。定义方程一般用于描述经济学概念或前提假设。行为方程行为方程描述经济现象的规律，由所研究问题内含的经济学规律决定。行为方程在数学上是两个或两个以上变量的一种函数关系，而在经济学上，是两个或两个以上经济学变量的行为关系。均衡条件均衡条件仅出现在均衡模型中，它是联结行为方程和方程组的桥梁和纽带。在均衡模型中，通常通过均衡条件方程来求得模型的均衡解。
第三节数理经济学的研究方法和基本问题
1.研究方法数理经济学通常是从一定的假设条件出发，将经济活动量转化为一个或一组变量，继而写出函数式或方程组，从而得到相应的经济现象或经济系统的数学描述，然后运用数学推理方法得出结论，这是数理经济学的一般研究方法，简言之，数理经济学研究方法就是建立经济问题的数学模型与求解模型。
第一章数理经济学概述
本章主要学习的内容： 1、数理经济学的定义 2、数理经济学的诞生和发展 3、数理经济学的研究方法和基本问题 4、数理经济学研究的内容与地位
第一节数理经济学的定义
目前对于数理经济学尚无统一的定义，以下是几种有代表性的定义：阿罗(Kenneth J. Arrow)：数理经济学是包括数学概念和方法在经济学，特别是在经济理论中的各种应用。蒋中一(Alpha C. Chiang )：数理经济学是一种经济分析方法，是经济学家利用数学符号描述经济问题，运用已知的数学定理进行推理的一种方法。
总结
由以上定义可以看出：数理经济学主要是介绍数学方法如何应用到经济分析中，如经济问题如何用数学模型表示，一个变量的变化如何影响另一变量的变化等问题。因此，数理经济学与其说是一门经济学分支学科，不如说它是一种经济学分析方法。

《概率论与数理统计》第一章课后习题解答共16页word资料

吴赣昌编《概率论与数理统计》（理工类）三版课后习题解答习题1－31、袋中5个白球，3个黑球，一次任取两个。

（1）求取到的两个求颜色不同的概率；（2）求取到的两个求中有黑球的概率。

解：略2、10把钥匙有3把能打开门，今取两把，求能打开门的概率。

解:设A=“能打开”，则210S n C =法一，取出的两把钥匙，可能只有一把能打开，可能两把都能打开，则112373A n C C C =+ 所以()A Sn P A n = 法二，A ={都打不开}，即取得两把钥匙是从另7把中取得的，则27A n C =，所以27210()1()1C P A P A C =-=- 3、两封信投入四个信筒，求（1）前两个信筒没有信的概率，（2）第一个信筒内只有一封信的概率。

解：24S n =（两封信投入四个信筒的总的方法，重复排列）（1）设A=“前两个信筒没有信”，即两封信在余下的两个信筒中重复排列，22A n =；（2）设B=“第一个信筒内只有一封信”，则应从两封信中选一封放在第一个信筒中，再把余下的一封信放入余下的三个信筒中的任一个，1123B n C =带入公式既得两个概率。

4、一副扑克牌52张，不放回抽样，每次取一张，连续抽4张，求花色各异的概率.解：略5、袋中有红、黄、黑色求各一个，有放回取3次，求下列事件的概率。

A=“三次都是红球”；B=“三次未抽到黑球”，C=“颜色全不相同”，Ｄ＝“颜色不全相同” 解：略6、从0,1,2,,9L 等10个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：1A =‘三个数字中不含0和5’，2A =‘三个数字中不含0或5’，3A =‘三个数字中含0但不含5’.解 3813107()15C P A C ==. 333998233310101014()15C C C P A C C C =+-=，或 182231014()1()115C P A P A C =-=-=， 2833107()30C P A C ==. 7、从一副52张的扑克牌中任取3张，不重复，计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率。

茹少锋运筹学课后答案西北大学考研第二章到第十章分解

0
1 A= 1
1 1
0
0
0
1
b
1 2
C=（2，3，0，0）
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
0
x3
1
-1
1
0
1
0
x4
1
0
0
1
2
2
3
0
0
对应图中原点。以 1 为轴心项，换基迭代，得
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
2
x1
1
-1
1
0
1
0
x4
0
1
-1
1
1
0
5
-2
0
-2
此时对应图中 A 点，坐标是（1，0）以 1 为轴心项，换基迭代，得
x3 2 4x3 6
x1, x2 , x3 0
1 解：由题意知：A= 1
1 1
2
2
4
=（
p1, p2, p3 ）
b=
6
c=（3，1，3）
（1） B1 =（ p1, p2 ），︱ B1 ︳≠0， B1 是基， x1 ， x2 是基变量， x3 是非基变量，令
x1
x2
x3 =0，得 x1 =-2， x2 =4 即 x3 = 2, 4,0 为基解，但不是基本可行解。
0 x4 600,
5．某公司从事某种商品的经营，现欲制定本年度 10 至 12 月的进货及销售计划。
已知该种商品的初始库存量为 2000 件，公司仓库最多可存放 10000 件，公司拥有的经

数理经济学茹少峰第章课后题及答案

1.求下列函数的极值。

(1) y2x xyy 2 3ax 3by(2)y 2x 1 2x/ 316ln x‘ (3) yx 1(4)yx 1x解：(1) 根据二元函数极值的必要条件，可得f x 2x y 3a 0，f y x 2y 3b 0解得，(x,y)(2a b,2b a)为可能的极值点。

根据充分条件，函数 f (x, y)的二阶导师组成的 Hessian 矩阵为2H 3 0,因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点，极值为 3a 5ab(2) 根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

(3) 根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为X 1。

由充分条件知y 6x 6。

当x 1时y ''，所以该函数极值不存在。

1 1 1 1(x,y ) (0,0),(x,y )(形),(x,y )(1,尹x,y )能的极值点。

根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的Hessian 矩阵为2. (4)根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为由充分条件知当x e时, 讨论函数f x ，e 。

2xln x 3x 。

4x 1~~3e因此该函数存在极大值为2xy x2y 1的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件, 可得(x, y) (0,0)时,1 0，因此函数在该点无极值;3b 21 1(肓,(x,y )(为可1 - 21 J/Vy12 323 2 12H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为(x, y) 1 1 （〒2）时，H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为 (x, y) 1 1 (2,2)时，H3 2 1 2矩阵，因此函数在该点有严格极大值为 1 2 3 21；812 0，( 1)A0,( 1)2 A 2则海赛矩阵为负定1 1 (x, y)( 一,一)时，H2 2 2 0，( 1)A0,( 1)2 A 2则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为 3. 试说明对于任意的生产函数f (x) AK是凹函数。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案

=
(0, 1,
0)}
=
8 13
⋅5 12
⋅
7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0,
0)}
=
5 13
⋅8 12
⋅7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0, 1, 1)}
=
8 13
⋅5 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0, 1)}
=
5 13
故(X, Y ) 的联合分布函数为
⎧0,
F
(
x,
y
)
=
⎪ ⎪⎪ ⎨
x x
2 2
y ,
2
,
⎪ ⎪
y
2
,
⎪⎩1,
x < 0 或 y < 0, 0 ≤ x < 1, 0 ≤ y < 1, 0 ≤ x < 1, y ≥ 1, x ≥ 1, 0 ≤ y < 1, x ≥ 1, y ≥ 1.
8．设二维随机变量(X, Y ) 在边长为 2，中心为(0, 0) 的正方形区域内服从均匀分布，试求 P{X 2 + Y 2 ≤ 1}．
x2 2
−
x3 3
⎟⎟⎠⎞
0
=
k 6
=1，
0y
1
∫ ∫ ∫ ∫ （2） P{X
> 0.5} =
1
dx
0.5
x
6dy =
x2

西北大学_茹少锋管理运筹课后答案

x1'
2.90x3 20000 2.85x1 3.10x1' 3.25x2'
1000
x1'
x1
x2'
x2
x3'
x3
2000
xi
0,i
1,2,3;
x
' j
0,
j
1,2,3
1．求下列线性规划问题的所有基解、基可行解、最优解
max z 3x1 x2 3x3
s
t.
x1 x2 x1 2x2
0
1 A= 1
1 1
0
0
0
1
b
1 2
C=（2，3，0，0）
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
0
x3
1
-1
1
0
1
0
x4
1
0
0
1
2
2
3
0
0
对应图中原点。以 1 为轴心项，换基迭代，得
cB
xB
2 x1
3 x2
0 x3
0 x4
b
2
x1
1
-1
1
0
1
0
x4
0
1
-1
1
1
0
5
此时对应图中 A 点，坐标是（1，0）
6．某饲养场饲养动物出售，设每头动物每天至少需 700g 蛋白质、30g 矿物质、100mg
维生素。现有五种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量单价如表 2-10 所示。
表 2-10 饲料所含的营养成分及价格
饲料蛋白质/g 矿物质/g 维生素/g 价格/（元·k g1 ）

数理经济学(茹少峰编著)PPT模板

题
5.4极值问题的比较静态分析
5.6支出极小化问题
BDຫໍສະໝຸດ F第5章等式约束最优化及其经济学应用
5.7斯勒茨基等式的传统推导 5.8企业利润极大化问题 5.9生产成本极小化问题
第6章不等式约束的极值问题
10 及其经济学应用

问第
题及其经济学应用
章不等式约束的极
第8章一般均衡分析的线性规划模型
8.1线性规划模型 8.2两个变量的线性规划问题的图解法 8.3单纯形法 8.4对偶问题 8.5线性规划的经济学应用
第9章一般均衡分析的非线性
13 规划模型
第9章一般均衡分析的非线性规划模型
9.1一般非线性规划模型
9.2两商品和两要素的非线性规划模型
9.3两商品和两要素的非线性规划模型解释斯托尔帕萨缪尔森定理
导
B
2.8多元函数的求
导
C
2.9隐函数
D
2.10边际、弹性和增
长率
E
2.11水平曲线的分
析
F
2.12齐次函数和欧
拉定理
第3章静态分析与比较静态分
07 析
第3章静态分析与比较静态分析
3.1静态分析与比较静态分析
3.3简单的国民收入决定模型的静态分析与比较静态分析
3.5LM曲线的静态分析与比较静态分析
9.4两商品、要素模型的应用
14 第10章动态经济分析
第10章动态经济分析
10.1微分方程 10.3差分方程 10.5动态最优化引论
10.2微分方程在经济学中的应用
10.4差分方程在经济学中的应用
10.6动态最优化问题在经济学中的应用

数理经济学习题参考答案

1
2
则有
6
x >0 ⇒ u =1 2
⇒ 2−x −x = 0
⇒
(2x
) 1
2
−1 x
=0
1
1
⇒ x = 0 or x = 1
1
12
⇒ x = 2 or x = 3
2
1
2
其中所用到的条件依次为第二互补条件, 第三互补条件, 第一互补条件. 由于 x = (0,2)T
不满足梯度差非负的第一个条件, 删去. 同理
kλ
l =1 1l
= 1,
kλ
l =1 2l
= 1,
且使得
∑k
y1 = λ xl 1l l =1 ∑k
y2 = λ xl 2l l =1
对于任意 λ ∈ (0,1), 由于 λλ + (1 − λ)λ ≥ 0, l = 1, 2, ", k , 且
1l
2l
因此
( ) ( ) ( ) ∑k λλ + (1−λ)λ = ∑k λλ + ∑k (1− λ)λ
11. 证明: 显然所有包含 S 的半空间的交集仍然包含 S . 现证该交集也包含于 S , 否则必存在 x 属于半空间的交集但不属于 S , 则根据凸集分离定理, 存在实数 α 与不为 0 的向量 u 使得对于任意 z ∈ S 都有
uT z > α > uT x
{ } { } 这表明 S ⊂ y : uTy ≥ α , x ∉ y : uTy ≥ α , 或者说我们找到了一个新的包含了 S 的半
x1 x1
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ + (1 − λ)⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜f
x2 x2
⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝λf

数理经济学茹少峰第4章课后题及标准答案

第四章习题答案1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 3322--++= （2）x xy 212-=（3）()1613+-=x y （4）()1ln >=x xx y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛=2112)(x H03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得0)21(22'>-=x y因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

（3）根据一元函数极值的必要条件，可得03632'=+-=x x y求得极值点为1=x 。

由充分条件知66''-=x y 。

当1=x 时0''=y ，所以该函数极值不存在。

（4）根据一元函数极值的必要条件，可得0ln 12'=-=xxy 求的极值点为e x =。

由充分条件知4''3ln 2xxx x y -=。

当e x =时，013''<-=ey ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()122-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得03,032332=-+==-+=x x y x f y y y x f y x)21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=yx y x y x xy x H 61331336)(2222 )0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；)21,21(),(=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(--=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为813. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。

概率论与数理统计(茆诗松)第二版第一章课后习题1.5参考答案

习题1.51．三人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为1/5, 1/3, 1/4，求此密码被译出的概率．解：设A , B , C 分别表示“第一、第二、第三人能单独译出”，有A , B , C 相互独立，即C B A ,,相互独立，故所求概率为535214332541)()()(1)(1)(=−=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ． 2．有甲乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各任取一粒，求：（1）两粒种子都能发芽的概率；（2）至少有一粒种子能发芽的概率；（3）恰好有一粒种子能发芽的概率．解：设A , B 分别表示“甲批、乙批的种子能发芽”，有A , B 相互独立，（1）所求概率为P (AB ) = P (A ) P (B ) = 0.8 × 0.9 = 0.72；（2）所求概率为P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.8 + 0.9 − 0.72 = 0.98；（3）所求概率为P (A ∪B − AB ) = P (A ∪B ) − P (AB ) = 0.98 − 0.72 = 0.26．3．甲、乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.8和0.7，现已知目标被击中，求它是甲射中的概率．解：设A , B 分别表示“甲、乙射击命中目标”，有A , B 相互独立，故所求概率为)()()()()()()()()()()()|(B P A P B P A P A P AB P B P A P A P B A P A P B A A P −+=−+==U U 8511.0474094.08.07.08.07.08.08.0===×−+=． 4．设电路由A , B , C 三个元件组成，若元件A , B , C 发生故障的概率分别是0.3, 0.2, 0.2，且各元件独立工作，试在以下情况下，求此电路发生故障的概率：（1）A , B , C 三个元件串联；（2）A , B , C 三个元件并联；（3）元件A 与两个并联的元件B 及C 串联而成．解：设A , B , C 分别表示“元件A , B , C 发生故障”，有A , B , C 相互独立，（1）所求概率为552.08.08.07.01()((1)(1)(=××−=−=−=P P P P C B A P U U ；（2）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.012；（3）所求概率为P (A ∪BC ) = P (A ) + P (BC ) − P (ABC ) = P (A ) + P (B ) P (C ) − P (A ) P (B ) P (C )= 0.3 + 0.2 × 0.2 − 0.3 × 0.2 × 0.2 = 0.328．5．在一小时内甲、乙、丙三台机床需维修的概率分别是0.9、0.8和0.85，求一小时内（1）没有一台机床需要维修的概率；（2）至少有一台机床不需要维修的概率；（3）至多只有一台机床需要维修的概率．解：设A , B , C 分别表示“甲、乙、丙三台机床不需要维修”，有A , B , C 相互独立，（1）所求概率为P (ABC ) = P (A ) P (B ) P (C ) = 0.1 × 0.2 × 0.15 = 0.003；（2）所求概率为388.085.08.09.01()()(1)(1)(=××−=−=−=C P B P A P C B A P C B A P U U ；（3）所求概率为)()()()()(BC A P C B A P C AB P ABC P BC A C B A C AB ABC P +++=U U U)()()()()()()()()()()()(C P B P A P C P B P A P C P B P A P C P B P A P +++== 0.1 × 0.2 × 0.15 + 0.1 × 0.2 × 0.85 + 0.1 × 0.8 × 0.15 + 0.9 × 0.2 × 0.15 = 0.059．6．设A 1 , A 2 , A 3相互独立，且P (A i ) = 2/3，i = 1, 2, 3．试求A 1 , A 2 , A 3中（1）至少出现一个的概率；（2）恰好出现一个的概率；（3）最多出现一个的概率．解：（1）所求概率为27263131311)()()(1)(1)(321321321=××−=−=−=A P A P A P A A A P A A A P U U ；（2）所求概率为)(321321321A A A A A A A A A P U U)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++=92323131313231313132=××+××+××=；（3）所求概率为)(321321321321A A A A A A A A A A A A P U U U)()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P +++=277313131323131313231313132=××+××+××+××=． 7．若事件A 与B 相互独立且互不相容，试求min{P (A ), P (B )}．解：因事件A 与B 相互独立且互不相容，有P (AB ) = P (A ) P (B ) 且AB = ∅，即P (AB ) = 0，则P (A ) P (B ) = 0，即P (A ) = 0或P (B ) = 0，故min{P (A ), P (B )} = 0．8．假设P (A ) = 0.4，P (A ∪B ) = 0.9，在以下情况下求P (B )：（1）A , B 不相容；（2）A , B 独立；（3）A ⊂ B ．解：（1）因A , B 不相容，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B )，故P (B ) = P (A ∪B ) − P (A ) = 0.9 − 0.4 = 0.5；（2）因A , B 独立，有P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ) P (B )，故8333.06.05.04.014.09.0)(1)()()(==−−=−−=A P A P B A P B P U ；（3）因A ⊂ B ，有P (B ) = P (A ∪B ) = 0.9．9．设A , B , C 两两独立，且ABC = ∅．（1）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，试求x 的最大值；（2）如果P (A ) = P (B ) = P (C ) < 1/2，且P (A ∪B ∪C ) = 9/16，求P (A )．解：（1）因ABC = ∅，有P (AB ∪AC ) = P (AB ) + P (AC ) − P (ABC ) = P (A ) P (B ) + P (A ) P (C ) = 2 x 2，则2 x 2 = P (AB ∪AC ) ≤ P (A ) = x ，得x ≤ 0.5，另一方面，x 可以取到0.5，若取P (A ) = P (B ) = 0.5，P (AB ) = 0.25，B A B A C U =，则5.0)()()()()()()()(=−+−=+==AB P B P AB P A P B P A P A P C P U ，且P (AB ) = 0.25 = P (A ) P (B )，A , B 独立，)()(25.0)()()()(C P A P AB P A P B A P AC P ==−==，有A , C 独立，)()(25.0)()()()(C P B P AB P B P A P BC P ==−==，有B , C 独立，即P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，A , B , C 两两独立，且ABC = ∅，得x 可以取到0.5，故x 的最大值等于0.5；注：掷两次硬币，设A 表示“第一次出现正面”，B 表示“第二次出现正面”，C 表示“恰好出现一次正面”，有P (A ) = P (B ) = P (C ) = 0.5，ABC = ∅，且AB 表示“两次都出现正面”，P (AB ) = 0.25 = P (A )P (B )，有A , B 独立；AC 表示“第一次出现正面，第二次反面”，P (AC ) = 0.25 = P (A )P (C )，有A , C 独立；BC 表示“第一次出现反面，第二次正面”，P (BC ) = 0.25 = P (B )P (C )，有B , C 独立．（2）设P (A ) = P (B ) = P (C ) = x ，有21<x ，因P (A ∪B ∪C ) = P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (AB ) − P (AC ) − P (BC ) + P (ABC )= P (A ) + P (B ) + P (C ) − P (A ) P (B ) − P (A ) P (C ) − P (B ) P (C ) = 3x − 3x 2，则233169x x −=，即0)43)(41(1632=−−=+−x x x x ，得41=x 或43=x ，但21<x ，故41=x ． 10．事件A , B 独立，两个事件仅A 发生的概率或仅B 发生的概率都是1/4，求P (A ) 及P (B )．解：因A , B 独立，且41)()(==B A P B A P ，有)()](1[)()()](1)[()()(B P A P B P A P B P A P B P A P −==−=，则P (A ) = P (B )，得41)](1)[(=−A P A P ，即0]21)([41)()]([22=−=+−A P A P A P ，故21)(=A P ，21)(=B P ． 11．一实习生用同一台机器接连独立地制造3个同种零件，第i 个零件是不合格品的概率为p i = 1/(i + 1)，i = 1, 2, 3，以X 表示3个零件中合格品的个数，求P {X ≤ 2}．解：设A i 表示“第i 个零件是不合格品”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立，故)1)(1)(1(1)()()(1)(1}3{1}2{321321321p p p A P A P A P A A A P X P X P −−−−=−=−==−=≤434332211=××−=． 12．每门高射炮击中飞机的概率为0.3，独立同时射击时，要以99%的把握击中飞机，需要几门高射炮？解：设X n 表示n 门高射炮击中飞机的次数，且每门高射炮击中飞机的概率为p = 0.3，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.7 n ≥ 0.99，即0.7 n ≤ 0.01，故9114.127.0ln 01.0ln =≥n ，即需要13门高射炮就能以99%的把握击中飞机． 13．投掷一枚骰子，问需要投掷多少次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2？解：设X n 表示投掷n 次骰子出现点数为6的次数，且每次投掷骰子出现点数为6的概率p = 1/6，则至少有一次出现点数为6的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (5/6) n ≥ 1/2，即(5/6) n ≤ 1/2，故8018.3)6/5ln()2/1ln(=≥n ，即需要投掷4次，才能保证至少有一次出现点数为6的概率大于1/2． 14．一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80/81，试求该射手进行一次射击的命中率．解：设X 表示该射手四次射击的命中次数，且射手进行一次射击的命中率为p ，则至少命中一次的概率为8180)1(1}0{1}1{4=−−==−=≥p X P X P ，即811)1(4=−p ，故射手进行一次射击的命中率为32=p ． 15．每次射击命中率为0.2，试求：射击多少次才能使至少击中一次的概率不小于0.9？解：设X n 表示n 次射击的命中次数，且每次射击命中率为p = 0.2，则至少命中一次的概率为P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.8 n ≥ 0.9，即0.8 n ≤ 0.1，故3189.108.0ln 1.0ln =≥n ，即射击至少11次才能使至少击中一次的概率不小于0.9． 16．设猎人在猎物100米处对猎物打第一枪，命中猎物的概率为0.5．若第一枪未命中，则猎人继续打第二枪，此时猎物与猎人已相距150米．若第二枪仍未命中，则猎人继续打第三枪，此时猎物与猎人已相距200米．若第三枪仍未命中，则猎物逃逸．假如该猎人命中猎物的概率与距离成反比，试求该猎物被击中的概率．解：设A i 表示“第i 枪命中猎物”，i = 1, 2, 3，有A 1 , A 2 , A 3相互独立，则P (A 1) = 0.5，31)(150100)(12==A P A P ，41)(200100)(13==A P A P ，故所求概率为)()()()(321211321211A A A P A A P A P A A A A A A P ++=U U43129413221312121)()()()()()(321211==××+×+=++=A P A P A P A P A P A P ． 17．某血库急需AB 型血，要从身体合格的献血者中获得，根据经验，每百名身体合格的献血者中只有2名是AB 型血的；（1）求在20名身体合格的献血者中至少有一人是AB 型血的概率；（2）若要以95%的把握至少能获得一份AB 型血，需要多少位身体合格的献血者．解：设X n 表示n 名身体合格的献血者中AB 型血的人数，且每名献血者是AB 型血的概率为p = 0.02，（1）P {X 20 ≥ 1} = 1 − P {X 20 = 0} = 1 − (1 − p )20 = 1 − 0.9820 = 0.3324；（2）因P {X n ≥ 1} = 1 − P {X n = 0} = 1 − (1 − p ) n = 1 − 0.98 n ≥ 0.95，即0.98 n ≤ 0.05，故2837.14898.0ln 05.0ln =≥n ，即需要149位献血者才能以95%的把握至少能获得一份AB 型血． 18．一个人的血型为A , B , AB , O 型的概率分别为0.37, 0.21, 0.08, 0.34．现任意挑选四个人，试求：（1）此四人的血型全不相同的概率；（2）此四人的血型全部相同的概率．解：（1）所求概率为P (A 1) = 4! × 0.37 × 0.21 × 0.08 × 0.34 = 0.0507；（2）所求概率为P (A 2) = 0.374 + 0.214 + 0.084 + 0.344 = 0.0341．19．甲、乙两选手进行乒乓球单打比赛，已知在每局中甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．比赛可采用三局两胜制或五局三胜制，问哪一种比赛制度对甲更有利？解：三局两胜制，甲2∶0胜乙的概率为0.6 2 = 0.36，甲2∶1胜乙的概率为2 × 0.6 2 × 0.4 = 0.288，则三局两胜制时，甲获胜的概率为P (A 1) = 0.36 + 0.288 = 0.648；五局三胜制，甲3∶0胜乙的概率为0.6 3 = 0.216，甲3∶1胜乙的概率为3 × 0.63 × 0.4 = 0.2592，且甲3∶2胜乙的概率为20736.04.06.02423=××⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛，则五局三胜制时，甲获胜的概率为P (A 2) = 0.216 + 0.2592 + 0.20736 = 0.68256；故P (A 1) < P (A 2)，五局三胜制时对甲更有利．20．甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两场为止，此人即为冠军．而每次比赛双方取胜的概率都是1/2，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率．解：设每局比赛中，甲胜乙、乙胜甲、甲胜丙、丙胜甲、乙胜丙、丙胜乙分别记为A b , B a , A c , C a , B c , C b ，则甲得冠军的情况有两类：① A b A c ，A b C a B c A b A c ，A b C a B c A b C a B c A b A c ，……，(A b C a B c )k A b A c ，……，② B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c A b ，B a C b A c B a C b A c B a C b A c A b ，……，(B a C b A c )k A b ，……，故甲得冠军的概率为P (A ) = (0.5 2 + 0.5 5 + 0.5 8 + ……) + (0.5 4 + 0.5 7 + 0.5 10 + ……)145141725.015.05.015.03432=+=−+−=；由对称性知乙得冠军的概率145)()(==A P B P ；而丙得冠军的情况也有两类：① A b C a C b ，A b C a B c A b C a C b ，A b C a B c A b C a B c A b C a C b ，……，(A b C a B c )k A b C a C b ，……，② B a C b C a ，B a C b A c B a C b C a ，B a C b A c B a C b A c B a C b C a ，……，(B a C b A c )k B a C b C a ，……，故丙得冠军的概率为P (C ) = (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……) + (0.5 3 + 0.5 6 + 0.5 9 + ……)725.015.0233=−×=． 21．甲、乙两个赌徒在每一局获胜的概率都是1/2．两人约定谁先赢得一定的局数就获得全部赌本．但赌博在中途被打断了，请问在以下各种情况下，应如何合理分配赌本：（1）甲、乙两个赌徒都各需赢k 局才能获胜；（2）甲赌徒还需赢2局才能获胜，乙赌徒还需赢3局才能获胜；（3）甲赌徒还需赢n 局才能获胜，乙赌徒还需赢m 局才能获胜．解：记每一局中甲赢的概率为p = 0.5，假设赌博继续下去，按甲、乙最终获胜的概率分配赌本，（1）由对称性知，甲、乙获胜的概率相等，则P (A 1) = P (B 1) = 0.5，故甲、乙应各得赌本的一半；（2）因甲获胜的概率为P (A 2) = p 2 + 2 (1 − p ) p 2 + 3 (1 − p ) 2 p 2 = 0.5 2 + 2 × 0.5 3 + 3 × 0.5 4 = 0.6875，则乙获胜的概率P (B 2) = 1 − P (A 2) = 0.3125，故甲应得赌本的68.75%，乙应得赌本的31.25%；（3）因甲获胜的概率为n m n n np p m m n p p n p p n p A P 123)1(12)1(21)1(1)(−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=L 1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=m n n n n m m n n n L ，则乙获胜的概率为P (B 3) = 1 − P (A 3)⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−=−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ，故甲应得赌本的1215.0125.0215.015.0−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+m n n n n m m n n n L ，乙应得赌本的⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−−+++1215.0125.0215.015.01m n n n n m m n n n L ．注：也可假设无论结果如何，都要进行n + m 局比赛，甲获胜的条件是前n + m − 1局比赛中，甲至少赢得n 局比赛，故甲获胜的概率为1211311)1(11)1(1)(−+−+−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n p m n m n p p n m n p p n m n A P L 15.011111−+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+−+++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+−++⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+=m n m n m n n m n n m n L ． 22．一辆重型货车去边远山区送货．修理工告诉司机，由于车上六个轮胎都是旧的，前面两个轮胎损坏的概率都是0.1，后面四个轮胎损坏的概率都是0.2．你能告诉司机，此车在途中因轮胎损坏而发生故障的概率是多少吗？解：设X 与Y 分别表示在途中损坏的前胎个数与后胎个数，A 与B 分别表示至少有一个前胎与后胎损坏，且每个前胎损坏的概率为p 1 = 0.1，每个后胎损坏的概率为p 2 = 0.2，A 与B 相互独立，则P (A ) = P {X ≥ 1} = 1 − P {X = 0} = 1 − (1 − p 1)2 = 1 − 0.92 = 0.19，P (B ) = P {Y ≥ 1} = 1 − P {Y = 0} = 1 − (1 − p 2)4 = 1 − 0.84 = 0.5904，故P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = 0.19 + 0.5904 − 0.19 × 0.5904 = 0.6682．23．设0 < P (B ) < 1，试证事件A 与B 独立的充要条件是)|()|(B A P B A P =．证：必要性，若事件A 与B 独立，则)()()()()()()|(A P B P B P A P B P AB P B A P ===，)(()()(()()|(A P P B P A P P B A P B A P === 故)|()|(B A P B A P =；充分性，若)|()|(B A P B A P =，有)(1)()()()()()(B P AB P A P P B A P B P AB P −−==，则P (AB )[1 − P (B )] = P (B )[P (A ) − P (AB )]，即P (AB ) − P (AB )P (B ) = P (A )P (B ) − P (B )P (AB )，故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．24．设0 < P (A ) < 1，0 < P (B ) < 1，1)|()|(=+B A P B A P ，试证A 与B 独立．证：因)(1)(1)()(()()()()|()|(B P B A P B P AB P P B A P B P AB P B A P B A P −−+=+=+U ， )(1)()()(1)()(B P AB P B P A P B P AB P −+−−+= )](1)[()]()()(1)[()](1)[(B P B P AB P B P A P B P B P AB P −+−−+−= )](1)[()()()]([)()()()()()(2B P B P B P AB P B P B P A P B P B P AB P AB P −+−−+−= 1)](1)[()()()()](1)[()]([)()()()(2+−−=−−+−=B P B P B P A P AB P B P B P B P B P B P A P AB P ，且1|()|(=+B A P B A P ，则0)](1)[()()()(=−−B P B P B P A P AB P ，故P (AB ) = P (A ) P (B )，即事件A 与B 独立．25．若P (A ) > 0，P (B ) > 0，如果A , B 相互独立，试证A , B 相容．证：因A , B 相互独立，有P (AB ) = P (A ) P (B ) > 0，故AB ≠ ∅，即A , B 相容．。

概率论与数理统计（茆诗松）第二版第一章课后习题.参考答案（精品）

习题1.41．某班级学生的考试成绩数学不及格的占15%，语文不及格的占5%，这两门课都不及格的占3%．（1）已知一学生数学不及格，他语文也不及格的概率是多少？（2）已知一学生语文不及格，他数学也不及格的概率是多少？解：设A =“数学不及格”，B =“语文不及格”，有P (A ) = 0.15，P (B ) = 0.05，P (AB ) = 0.03，（1）所求概率为2.015.003.0)()()|(===A P AB P A B P ；（2）所求概率为6.005.003.0)()()|(===B P AB P B A P ． 2．设一批产品中一、二、三等品各占60%, 35%, 5%．从中任意取出一件，结果不是三等品，求取到的是一等品的概率．解：设A , B , C 分别表示“取出一、二、三等品”，有P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.35，P (C ) = 0.05，故所求概率为191205.016.0)(1)()()()|(=−=−==C P A P C P C A P C A P ． 3．掷两颗骰子，以A 记事件“两颗点数之和为10”，以B 记事件“第一颗点数小于第二颗点数”，试求条件概率P (A | B ) 和P (B | A )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中的样本点有 (4, 6), (5, 5), (6, 4)，即个数k A = 3，有363)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中的样本点有 (4, 6)，即个数k C = 1，有361)(=AB P ，故1513615361)()()|(===B P AB P B A P ，31363361)()()|(===A P AB P A B P ． 4．以某种动物由出生活到10岁的概率为0.8，而活到15岁的概率为0.5，问现年为10岁的这种动物能活到15岁的概率是多少？解：设A , B 分别表示“这种动物能活到10岁, 15岁”，有P (A ) = 0.8，P (B ) = 0.5，故所求概率为858.05.0)()()()()|(====A P B P A P AB P A B P ． 5．设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知其中一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率．解：设A =“其中一件是不合格品”，B =“两件都是不合格品”，有AB = B ，样本点总数45210=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n ，事件A 中所含样本点个数30624241614=+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=A k ，得4530)(=A P ，事件AB = B 中所含样本点个数624=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=B k ，得456)()(==B P AB P ，故所求概率为2.04530456)()()|(===A P AB P A B P ． 6．设n 件产品中有m 件不合格品，从中任取两件，已知两件中有一件是合格品，求另一件也是合格品的概率．解：设A =“两件中至少有一件是合格品”，B =“两件都是合格品”，有AB = B ，样本点总数2)1(2−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=n n n N ，事件A 中所含样本点个数2)1)((2)1)(()(211−+−=−−−+−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=m n m n m n m n m n m m n m n m k A ，得)1()1)(()(−−+−=n n m n m n A P ，事件AB = B 中所含样本点个数2)1)((2−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=m n m n m n k B ，得)1()1)(()()(−−−−==n n m n m n B P AB P ，故所求概率为11)1()1)(()1()1)(()()()|(−+−−=−−+−−−−−==m n m n n n m n m n n n m n m n A P AB P A B P ． 7．掷一颗骰子两次，以x , y 分别表示先后掷出的点数，记A = {x + y < 10}，B = {x > y }，求P (B | A )，P (A | B )．解：样本点总数n = 6 2 = 36，则事件A 中所含样本点个数k A = 6 + 6 + 6 + 5 + 4 + 3 = 30，有3630)(=A P ，事件B 中所含样本点个数k B = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15，有3615)(=B P ，事件AB 中所含样本点个数k AB = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 3 = 13，有3613)(=AB P ，故301336303613)()()|(===A P AB P A B P ，151336153613)()()|(===B P AB P B A P ． 8．已知P (A ) = 1/3，P (B | A ) = 1/4，P (A | B ) = 1/6，求P (A ∪B )．解：因1214131)|()()(=×==A B P A P AB P ，2161121)|()()(===B A P AB P B P ，故431212131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ． 9．已知3.0)(=A P ，P (B ) = 0.4，5.0(=B A P ，求)|(B A B P U ．解：因2.05.03.01)()(1)()()(=−−=−−=−=B A P A P B A P A P AB P ，且8.05.04.013.01()(1)(1)()()()(=−−+−=−−+−=−+=B A P B P A P B A P B P A P B A P U ，故25.08.02.0)()()())(()|(====B A P AB P B A P B A B P B A B P U U U U ． 10．设A , B 为两事件，P (A ) = P (B ) = 1/3，P (A | B ) = 1/6，求|(B A P ．解：因1816131)|()()(=×==B A P B P AB P ，有18111813131)()()()(=−+=−+=AB P B P A P B A P U ，则18718111)(1)()(=−=−==B A P B A P B A P U U ，且32311)(1)(=−=−=B P B P ，故12732187)()()|(===B P B A P B A P ． 11．口袋中有1个白球，1个黑球．从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率．（1）取到第n 次，试验没有结束；（2）取到第n 次，试验恰好结束．解：设A k =“第k 次取出的是黑球”，k = 1, 2, ……（1）所求概率为P (A 1A 2…A n − 1A n ) = P (A 1A 2…A n − 1)P (A n | A 1A 2…A n − 1)1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ；（2）所求概率为)|()()(121121121−−−=n n n n n A A A A P A A A P A A A A P L L L)1(1113221)|()|()(121121+=+×××==−n n n A A A A P A A P A P n n L L L ． 12．一盒晶体管有8只合格品，2只不合格品．从中不返回地一只一只取出，试求第二次取出的是合格品的概率．解：设A 1, A 2分别表示“第一次取出的是合格品、不合格品”，B 表示“第二次取出的是合格品”，故所求概率为8.090729810297108)|()()|()()(2211==×+×=+=A B P A P A B P A P B P ． 13．甲口袋有a 个白球、b 个黑球，乙口袋有n 个白球、m 个黑球．（1）从甲口袋任取1个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率；（2）从甲口袋任取2个球放入乙口袋，然后再从乙口袋任取1个球．试求最后从乙口袋取出的是白球的概率．解：（1）设A 0 , A 1分别表示“从甲口袋取出的是白球、黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) )1)(()1(111+++++=++×+++++×+=n m b a bn n a m n n b a b m n n b a a ；（2）设A 0 , A 1 , A 2分别表示“从甲口袋取出的是2个白球、1个白球1个黑球、2个黑球”，B 表示“从乙口袋取出的是白球”，故所求概率为P (B ) = P (A 0)P (B | A 0) + P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2)2)1)(()1(21)1)((222)1)(()1(++×−++−++++×−++++++×−++−=m n n b a b a b b m n n b a b a ab m n n b a b a a a )2)(1)(()1()1(2)2)(1(++−++−++++−=m n b a b a n b b n ab n a a ． 14．有n 个口袋，每个口袋中均有a 个白球、b 个黑球．从第一个口袋中任取一球放入第二个口袋，再从第二个口袋中任取一球放入第三个口袋，如此下去，从第n − 1个口袋中任取一球放入第n 个口袋，最后再从第n 个口袋中任取一球，求此时取到的是白球的概率．解：设A k 表示“从第k 个口袋取出的是白球”，当k = 1时，有ba a A P +=)(1，设对于k − 1，有b a a A P k +=−)(1，则111)|()()|()()(1111++⋅+++++⋅+=+=−−−−b a a b a b b a a b a a A A P A P A A P A P A P k k k k k k k ba ab a b a b a a b a b a ab a a +=+++++=+++++=)1)(()1()1)(()1(，故由数学归纳法可知，对任意自然数k ，b a a A P k +=)(，即ba a A P n +=)(． 15．钥匙掉了，掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上的概率分别是50%、30%和20%，而掉在上述三处地方被找到的概率分别是0.8、0.3和0.1．试求找到钥匙的概率．解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“钥匙掉在宿舍里、掉在教室里、掉在路上”，B 表示“找到钥匙”，故所求概率为P (B ) = P (A 1)P (B | A 1) + P (A 2)P (B | A 2) + P (A 3)P (B | A 3)= 0.5 × 0.8 + 0.3 × 0.3 + 0.2 × 0.1 = 0.51．16．两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．（1）求任取一个零件是合格品的概率；（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率．解：设A 1, A 2分别表示“取出的是第一台、第二台车床加工的零件”，B 表示“取出的是合格品”，（1）所求概率为96.094.03197.032)|()()|()()(2211=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ；（2）所求概率为5.004.006.031)()|()()()()|(2222=×===B P A B P A P B P B A P B A P ． 17．有两箱零件，第一箱装50件，其中20件是一等品；第二箱装30件，其中18件是一等品，现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后任取两个零件，试求（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）在第一次取出的是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率．解：设A 1 , A 2分别表示“挑出第一箱、第二箱”，B 1 , B 2分别表示“第一次、第二次取出的是一等品”，（1）所求概率为5.0301821502021)|()()|()()(2121111=×+×=+=A B P A P A B P A P B P ；（2）因14210360129173018214919502021)|()()|()()(2212121121=××+××=+=A B B P A P A B B P A P B B P ，故所求概率为5068.0710536015.0142103601)()()|(12112====B P B B P B B P ．18．学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测．现从卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学生确实知道正确答案的概率．（1）学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是1/2；（2）学生知道正确答案的概率是0.2．解：设A 1 , A 2分别表示“学生知道正确答案、胡乱猜测”，B 表示“题答对了”，（1）因P (A 1) = 0.5，P (A 2) = 0.5，故所求概率为8.0625.05.025.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ，（2）因P (A 1) = 0.2，P (A 2) = 0.8，故所求概率为5.04.02.025.08.012.012.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 19．已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者，今从男女比例为22:21的人群中随机地挑选一人，发现恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解：设A 1 , A 2分别表示“此人是男性、女性”，B 表示“此人是色盲患者”，故所求概率为9544.00025.0432105.0432205.04322)|()()|()()|()()|(2211111=×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 20．口袋中有一个球，不知它的颜色是黑的还是白的．现再往口袋中放入一个白球，然后再从口袋中任意取出一个，发现取出的是白球，试问口袋中原来那个球是白球的可能性为多少？解：设A 1 , A 2分别表示“原来那个球是白球、黑球”，B 表示“取出的是白球”，故所求概率为3275.05.05.05.015.015.0)|()()|()()|()()|(2211111==×+××=+=A B P A P A B P A P A B P A P B A P ． 21．将n 根绳子的2n 个头任意两两相接，求恰好结成n 个圈的概率．解：样本点总数为N = (2n − 1) (2n − 3)…3 ⋅ 1 = (2n − 1)!!，事件A =“恰好结成n 个圈”所含样本点个数K = 1，故所求概率为!)!12(1)(−=n A P ． 22．m 个人相互传球，球从甲手中开始传出，每次传球时，传球者等可能地把球传给其余m − 1个人中的任何一个．求第n 次传球时仍由甲传出的概率．解：设A k 表示“第k 次传球时由甲传出”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)(111111)](1[0)|()()|()()(111111−−−−−−−−−=−⋅−+=+=k k k k k k k k k A P m m m A P A A P A P A A P A P A P ，故⎥⎦⎤⎢⎣⎡−−−−−−=−−−=−−)(11111111)(1111)(11n n n A P m m m m A P m m A P )(111111122−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=n A P m m m )(11)1(11)1(11)1(111111112232A P m m m m m n n n n n n −−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=L⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−++⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−=−−−−2223211111111111111)1(1111n n n n m m m m m m m m L ． 23．甲、乙两人轮流掷一颗骰子，甲先掷．每当某人掷出1点时，则交给对方掷，否则此人继续掷，试求第n 次由甲掷的概率．解：设A k 表示“第k 次由甲掷骰子”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)(326161)](1[65)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ，故)(32613261)(32613261)(3261)(2221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P 1111123221213232132161)(326132613261−−−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⋅+=n n n n n A P L ． 24．甲口袋有1个黑球、2个白球，乙口袋有3个白球．每次从两口袋中各任取一球，交换后放入另一口袋．求交换n 次后，黑球仍在甲口袋中的概率．解：设A k 表示“交换k 次后黑球在甲口袋中”，k = 1, 2, ……，有P (A 0) = 1，则)(313131)](1[32)()|()()|()()(1111111−−−−−−−+=⋅−+⋅=+=k k k k k k k k k k A P A P A P A A P A P A A P A P A P ，故)(313131)(31313131)(3131)(22221−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=+=n n n n A P A P A P A P n n n n n A P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⋅+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=⋅⎟⎠⎞⎜⎝⎛+⎟⎠⎞⎜⎝⎛++⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=3121213131131131)(3131313102L ． 25．假设只考虑天气的两种情况：有雨或无雨．若已知今天的天气情况，明天天气保持不变的概率为p ，变的概率为1 − p ．设第一天无雨，试求第n 天也无雨的概率．解：设A k 表示“第k 天也无雨”，k = 1, 2, ……，有P (A 1) = 1，则)1()](1[)()|()()|()()(111111p A P p A P A A P A P A A P A P A P k k k k k k k k k −⋅−+⋅=+=−−−−−−= 1 − p + (2p − 1) P (A k − 1)，故P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1) P (A n − 1) = 1 − p + (2p − 1)[1 − p + (2p − 1) P (A n − 2)]= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + (2p − 1)2 P (A n − 2)= 1 − p + (2p − 1)(1 − p ) + … + (2p − 1)n − 2 (1 − p ) + (2p − 1)n − 1P (A 1)111)12(2121)12()12(1])12(1)[1(−−−−+=−+−−−−−=n n n p p p p p ． 26．设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入c （c > 0）个同色的球．试证：第k 次取到黑球的概率为b /(b + r )，k = 1, 2, …．证：设B k (b , r ) 表示“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第k 次取到黑球”，k = 1, 2, …，用数学归纳法证明r b b r b B P k +=)),((，当k = 1时，rb b r b B P +=)),((1，结论成立，设对于k − 1，结论成立，即rb b r b B P k +=−)),((1，对于k ，设A 1 , A 2分别表示“第一次取到黑球、红球”，有P (B k (b , r ) | A 1) = P (B k − 1 (b + c , r ))，P (B k (b , r ) | A 2) = P (B k − 1 (b , r + c ))，则P (B k (b , r )) = P (A 1) P (B k (b , r ) | A 1) + P (A 2) P (B k (b , r ) | A 2)= P (A 1) P (B k − 1 (b + c , r )) + P (A 2) P (B k − 1 (b , r + c ))rb bc r b r b br c b b c r b b r b r c r b c b r b b +=+++++=++⋅+++++⋅+=))(()(，故对于k ，结论成立，rb b r b B P k +=)),((． 27．口袋中a 个白球，b 个黑球和n 个红球，现从中一个一个不返回地取球．试证白球比黑球出现得早的概率为a /(a + b )，与n 无关．证：设B n 表示“口袋中有n 个红球时白球比黑球出现得早”，n = 0, 1, 2, …，用数学归纳法证明ba a B P n +=)(，与n 无关，当n = 0时，显然有ba a B P +=)(0，结论成立，设对于n − 1，结论成立，即ba a B P n +=−)(1，对于B n ，设A 1 , A 2 , A 3分别表示“第一次取球时取到白球、黑球、红球”，有P (B n | A 3) = P (B n −1)，则P (B n ) = P (A 1) P (B n | A 1) + P (A 2) P (B n | A 2) + P (A 3) P (B n | A 3) = P (A 1) ⋅ 1 + P (A 2) ⋅ 0 + P (A 3) P (B n −1) ba ab a n b a an b a a b a a n b a n n b a a +=+++++=+⋅+++++=))(()(，故对于n ，结论成立，b a a B P n +=)(，与n 无关． 28．设P (A ) > 0，试证)()(1)|(A P B P A B P −≥．证：)()(1)()(1)()()()()()|(A P B P A P B A P A P B A P A P A P AB P A B P −≥−=−==． 29．若事件A 与B 互不相容，且0)(≠B P ，证明：)(1)()|(B P A P B A P −=．证：因事件A 与B 互不相容，有B A ⊂，故)(1)()()()()()|(B P A P B P A P B P B A P B A P −===． 30．设A , B 为任意两个事件，且A ⊂ B ，P (B ) > 0，则成立P (A ) ≤ P (A | B )．证：)()()()()()|(A P B P A P B P AB P B A P ≥==．31．若)|()|(B A P B A P >，试证)|()|(A B P A B P >．证：因)(1)()()()()|()()()|(B P AB P A P B P B A P B A P B P AB P B A P −−==>=，有P (AB )[1 − P (B )] > P (B )[P (A ) − P (AB )]，则P (AB ) > P (A ) P (B )，得P (AB )[1 − P (A )] > P (A )[P (B ) − P (AB )]，故)|()()()(1)()()()()|(A B P A P B A P A P AB P B P A P AB P A B P ==−−>=． 32．设P (A ) = p ，P (B ) = 1 − ε ，证明：εεε−≤≤−−1)|(1p B A P p ．证：因P (AB ) ≤ P (A ) = p ，且P (AB ) = P (A ) + P (B ) − P (A ∪B ) ≥ P (A ) + P (B ) − 1 = p + 1 − ε − 1 = p − ε ，故p − ε ≤ P (AB ) ≤ p ，即εεεε−≤−==≤−−11)()()()|(1p AB P B P AB P B A P p ． 33．若P (A | B ) = 1，证明：1|(=A B P ．证：因1)()()|(==B P AB P B A P ，有P (AB ) = P (B )，则P (A ∪B ) = P (A ) + P (B ) − P (AB ) = P (A )，即()()(1)(1)(B A P B A P B A P A P A P ==−=−=U U ，故1)()()|(==A P B A P A B P ．。

6概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第六章

第六章参数估计
习题 6.1
1．设 X1, X2, X3 是取自某总体容量为 3 的样本，试证下列统计量都是该总体均值µ 的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1） µˆ1
=
1 2
X1
+
1 3
X
2
+
1 6
X3 ；
（2） µˆ2
=
1 3
X1
+
1 3
X
2
+
1 3
X
3
；
（3） µˆ3
=
n
n
n
∑ ∑ ∑ 则 E(T ) = ai E( X i ) = µ ai = µ ，即 ai = 1 ，
i=1
i=1
i=1
因 X1, …, Xn 相互独立，当 i ≠ j 时，有 Cov (Xi, Xj) = 0，
∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 则
Cov( X
,
T
)
=
Cov⎜⎜⎝⎛
1 n
n i=1
Xi,
n i=1
Ι 0< x<θ
，
θ
∫ 则 E( X (1) ) =
θ 0
x
⋅
3(θ − x)2 θ3

dx
=
3 θ3
⎜⎜⎝⎛θ
2
⋅
x2 2
− 2θ ⋅ x3 3
+
x4 4
⎟⎟⎠⎞
0
=θ ， 4
∫ E( X (3) ) =
θ 0
x⋅
3x2 θ3
dy
=
3 θ3
⋅
x4 4
θ
= 3θ 4

数理经济学第5章课后题答案---精品模板

第五章习题答案1．求下面等式约束最优化问题可能的极值点,要求写出一阶必要条件并求解由一阶必要条件构成的方程组。

（1）164..),(max 212121=+=x x t s x x x x f ，（2）32..),(min max 222122121=+=x x t s x x x x f or（3）11..),(min max 22=+=+=y x y x t s xy y x f or 和解:(1)首先写出拉格朗日函数：121212(,,)(164)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ,2x 和 λ分别求偏导数可得：1221120401640x x L x L x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得128, 2x x **==,2λ*=，此时16f =。

则点(8,2)为目标函数的驻点,且在该点处约束条件满足约束规格。

（2）首先写出拉格朗日函数:222121212(,,)(32)L x x x x x x λλ=+--将L 对1x ，2x 和 λ分别求偏导数可得:12121212221224020320x x L x x x L x x L x x λλλ=-=⎧⎪=-=⎨⎪=--=⎩ 解得121, 1x x **==，12λ*=,此时1f =;或者121, 1x x **==-，12λ*=-，此时1f =-;或者121, 1x x **=-=,12λ*=，此时1f =;或者121, 1x x **=-=-，12λ*=-，此时1f =-。

则点(1,1)、(1,1)-、(1,1)-和(1,1)--为目标函数的驻点，且在这些点处约束条件满足约束规格。

（3）首先写出拉格朗日函数：221212(,,,)(1)(1)L x y xy x y x y λλλλ=+--+--将L 对x ，y ，1λ和2λ分别求偏导数可得:1212122220201010x yL y x L x y L x y L x y λλλλλλ=--=⎧⎪=--=⎪⎨=--=⎪⎪=--=⎩ 解得111,0,2x y λ***===-2,1λ*=，此时0f =；或者110,1,2x y λ***===- ，21λ*=,此时0f =。

数理经济学参考答案

(5)证明
（x y) (x (1)y ) = x (1)y = x y
(6) 证明
0 (x (x)) = x ( x ) = x x
=0
2.2 证明下列集合是线性空间：(Expl.1.67~1.69) (1)
n 维实向量空间 n ；
xy yz x (x y ) x (x z ) ( x x) y ( x x) z 0y 0z yz
(2)证明
1
x = y
( x) 1

( y )
1 1 ( )x ( )y

(2) 所有实数序列的集合 x1 , x2 ,... ，对任意 i ， xi ； (3) 所有多项式 x a0 a1t a2t 2 an t n 的集合。
2.3 设 X 1 和 X 2 是线性空间，它们的乘积 X X 1 X 2 的加法和乘法定义如下：
( x1 , x2 ) ( y1 , y2 ) ( x1 y1 , x2 y2 )
N / RN 5. 不是。因为 x ∈ RN ++ 故 R+ 在标量乘法的意义上不是闭的。 ++ , α < 0 ⇒ αx ∈
6. 证明：∀x, y ∈ S1 ∩ S2 ，S1 是 X 的子空间 ⇒ αx + β y ∈ S1 , 同理, αx + β y ∈ S2 7. 证明： (a) ∀x ∈ intS ⇒ ∃Br (x) ⊆ intS ; S ⊆ T ⇒ Br (x) ∈ T ⇒ intS ⊆ intT ¯ ⇒ x ∈ intS ∪ ∂ (S ), 若 x ∈ intS , S ⊆ T ⇒ x ∈ T ⊆ T ¯; 若 x ∈ ∂ (S ) ⇒ ∀Br (x) 包 (b) ∀x ∈ S ¯⊆T ¯ 含 S 中的某些点，由于 S ⊆ T, 因此或者 x ∈ intT, 或者 x ∈ ∂ (T )。综上，S 8. ∂ (S ) = S ∪ {0} 9. 若 ∂ (S ) ̸= ∅ ⇒ ∃x ∈ ∂ (S ), 由于 S ＝ intS ∪∂ (S ), 因此 x ∈ S , 这与 S 是开集矛盾，故 ∂ (S ) = ∅ 10. 证明： (a) 令 G = ∪α Gα , ∀Gα 为开集。∀x ∈ G ⇒ ∃α, x ∈ Gα ; Gα 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Gα ⊆ G ⇒ G 为开集 (b) 令 H = ∩N i=1 Hi , Hi 为开集。∀x ∈ H ⇒ x ∈ Hi , i = 1, . . . , N ; Hi 开 ⇒ ∃Br (x) ∈ Hi ⇒ Br (x) ∈ H ⇒ x 为内点 ⇒ H 为开集 ( )C C C (c) (2) 利用 ∩N = ∪N i=1 Gi i=1 Gi ，(∪α Hα ) = ∩α Hα 2

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第四章习题答案1.求下列函数的极值。

（1）by ax y xy x y 3322--++= （2）x xy212-=（3）()1613+-=x y （4）()1ln >=x xx y 解：（1）根据二元函数极值的必要条件，可得032=-+=a y x f x ，032=-+=b y x f y解得，)2,2(),(a b b a y x --=为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为03>=H ，因此)2,2(a b b a --为),(y x f 的严格极小值点，极值为22353b ab a ---。

（2）根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。

（3）根据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为1=x 。

由充分条件知66''-=x y 。

当1=x 时0''=y ，所以该函数极值不存在。

（4）根据一元函数极值的必要条件，可得求的极值点为e x =。

由充分条件知4''3ln 2xxx x y -=。

当e x =时，013''<-=ey ，因此该函数存在极大值为e 1。

2. 讨论函数()()122-+=y x xy y x f ，的极值。

解：根据二元函数极值的必要条件，可得 )21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),21,21(),(),0,0(),(--=-=-===y x y x y x y x y x 为可能的极值点。

根据充分条件，函数),(y x f 的二阶导师组成的Hessian 矩阵为)0,0(),(=y x 时，01<-=H ，因此函数在该点无极值；)21,21(),(=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-； )21,21(),(--=y x 时，0223212123>==H ，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为81-；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为81；)21,21(),(-=y x 时，0223212123>=--=H ，0)1(,0)1(221>->-A A ，则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为813. 试说明对于任意的0>βα，，生产函数βαL AK x f =)(是凹函数。

证明：βαL K A f K 1-∂=,11--∂=ββαL KA f KLβααL K A f KK 2)1(-∂-=,2)1(--=βαββL K A f LL所以函数的Hessian 矩阵为因为10,10<<<<βα，所以0),(>L K H ;且0)1(,0)1(221>->-A A ,Hessian 是负定的，因此生产函数是严格凹函数。

4. 考虑生产函数βαK L y =。

如果11010<+<<<<βαβα，，，试说明该生产函数对于L和K 的任意取值都是严格凹函数。

如果1=+βα，该函数是什么形状？证明：（1）同上，可求得函数的Hessian 矩阵为Hessian 是负定的，该函数对于K 、L 任意取值都是严格凹函数。

5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为0W 。

若该厂商每期的固定成本为F ，产品的价格为0P ，要求：（1）写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；（2）何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；（3）什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解:（1）生产函数为：)(L f Q = 收益函数为：)(L f P Q P R ⋅=⋅= 成本函数为：F W L C +⋅=0利润函数为：)()(0F LW L Pf C R +-=-=π（2）利润最大化的一阶条件为：0)(0=-=∂∂W LL df P L π，即P W L L df 0)(=。

该条件的经济含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。

（3）要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为0>P，所以0)(22<Ld L df ，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最大化.6. 某厂商有如下的总成本函数C 与总需求函数Q ：，Q Q -Q C 5011173123++= P Q -=100.请回答下列问题：（1）确定总收益函数R 与总利润函数π。

（2）确定利润最大化的产出水平及最大利润。

解：（1）)100(Q Q PQ R -== (2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，11,1==**Q Q 。

利润最大化的二阶充分条件为：1222+-=∂∂Q Qπ，当1=Q 时，02>∂∂Qπ，函数取得极小值为；当11=Q 时，02<∂∂Qπ，函数取得极大值为；所以，在产出水平为11时，利润最大为。

7. 设有二次利润函数()，k jQ hQ ++=2Q π试确定系数所满足的约束，使下列命题成立：（1）证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；（2）证明利润函数为严格凹函数；（3）求在正的产出水平Q 下的最大化利润。

解：（1）由题可知，当0=Q 时，k =π。

由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为0<k。

（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为02=+=∂∂j hQ Qπ，求得hjQ 2-=；二阶充分条件为h Q 22=∂∂π。

函数为严格凹函数满足的充要条件：0)(''<x f ，即02<∂∂Qπ, 因此，0<h 。

(3)在正的产出水平下，02>-=hjQ，因此0>j 。

8. 假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，产品的需求函数Q 及成本函数C 为：211240-P P -Q =，21235-P -P Q =，102221++=Q Q C ，求利润最大化的价格水平。

解：利润函数2835185270837212122212211-++---=-+=P P P P P P C Q P Q P π 利润最大化的一阶必要条件为：027*******=+--=∂∂P P P π,018568212=+--=∂∂P P P π解得，,5.21,721==**P P又020,06,01421222112211>=-<-=<-=πππππ 所以，在利润最大化是价格水平为,5.21,721==P P9. 假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为1P 和2P ，单位时间内i 产品的产出水平为i Q ，厂商成本函数为22212122Q Q Q Q C ++=，求：（1）利润最大化的产出水平；（2）若总成本函数为222122Q Q C +=，两产品的生产是否存在技术相关性，1Q 与2Q 的新最优水平是多少？（3）对参变量1P 和2P 进行比较静态分析。

解:（1）)22(2221212211Q Q Q QQ P Q P ++-+=π4211=--=∂∂Q Q P Q π,041222=--=∂∂Q Q P Q π可得,34211P P Q -=,3413212P P Q --= （2）)22(22212211Q Q Q P Q P +-+=π04111=-=∂∂Q P Q π，04211=-=∂∂Q P Q π，可得，1141P Q =,2241P Q = 而0212=∂∂Q Q π,即在最优产量下，21,Q Q 不存在技术相关性。

（3）由（1）问中的最优产量,34211P P Q -=,3413212P P Q --= 3411=∂∂P Q ,3121-=∂∂P Q ,31312-=∂∂P Q ,3422-=∂∂P Q 即，产品1价格上升1单位，产量上升34，价格下降313；产品1价格上升1单位，产量下降31，价格下降34；10.一个公司有严格凹的生产函数()L K Q ,。

给定=P 产品价格，=r 资本的利用率，=ω工资。

要求：（1）对利润达到最大化的投入要素K 与L 进行比较静态分析，并作简要的分析说明；（2）假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas 函数，做同样的比较静态分析。

解：（1）wL rK L K PQ --=),(π利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *= ******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。

r 变化对最大利润的影响为：**********-∂∂-∂∂∂∂+∂∂-∂∂∂∂=∂∂K r L w r L L Q P r K r r K K Q P r π 利润最大化时有0=-∂∂**r K Q P ,0=-∂∂**w LQ P则r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，wL w ∂∂=-=∂∂**ππ 即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。

（2）wL rK L PK --=βαπ利润最大化时，最优解为),,(w r P K K *=，),,(w r P L L *=******--=wL rK L K PQ ),(π为最优值函数。

r K r ∂∂=-=∂∂**ππ，w L w ∂∂=-=∂∂**ππ,βαπ)()(***=∂∂L K P11. 考虑参数为a 的极大化问题函数()()043;22>++-=a aax x a x f ：（1）利用包络定理求函数()a x f ;的最大值关于参数a 的导数；（2）分析参数a 对目标函数的最大值的影响。

解：（1）假设最优解为)(a x x *=，（2）一阶条件为0)),((=∂∂*xa a x f ，即03)(2=+-*a a x 所以，参数a 与木匾函数的最大值同向变动。

12. 考虑参数最优化问题()1323,m ax 2343+-+-=x e x x a a x f a（a 为参数）：（1）求目标函数的极大值关于参数a 的导数；（2）分析参数a 对目标函数的极大值的影响（假设这个问题的最优解()0≠*a x ）。

解：（1）假设最优解)(a x x *=利用包络定理（2）0)(≠*a x ，由（1）中结果，0),(<*daa x df，所以参数a 对目标函数极值的影响是同增同减的。

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