人教版八年级数学上册-解题技巧专题：乘法公式的灵活运用

解题技巧专题：乘法公式的灵活运用——计算技巧多，先观察，再计算，事半功倍◆类型一 利用乘法公式进行简便运算1．计算102×98的结果是（ ） A ．9995 B ．9896 C ．9996 D ．99972．计算20152－2014×2016的结果是（ ）A ．－2B ．－1C ．0D ．1 3．计算：(1)512＝____________； (2)298×302＝____________. 4．运用公式简便计算：(1)4013×3923； (2)100022522－2482.5．阅读下列材料：某同学在计算3(4＋1)(42＋1)时，把3写成4－1后，发现可以连续运用平方差公式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学的经验，计算下面式子的值：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215.◆类型二 利用乘法公式的变式求值 6．若a －b ＝12，且a 2－b 2＝14，则a ＋b的值为（ ）A ．－12 B.12C ．1D ．27．若a －b ＝1，ab ＝2，则(a ＋b )2的值为（ ）A ．－9B ．9C ．±9D ．38．已知x ＋1x ＝5，那么x 2＋1x 2的值为（ ）A ．10B ．23C ．25D ．279．若m ＋n ＝1，则代数式m 2－n 2＋2n 的值为1.10．(2016·巴中中考)若a ＋b ＝3，ab ＝2，则(a －b )2＝__________.11．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知a －b ＝－3，ab ＝－2，求(a ＋b )(a 2－b 2)的值；(2)已知a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，求(a －b )2＋c 2的值．参考答案与解析1．C 2.D3．(1)2601 (2)899964．解：(1)原式＝⎝⎛⎭⎫40＋13⎝⎛⎭⎫40－13＝402－⎝⎛⎭⎫132＝159989； (2)原式＝10002（250＋2）2－（250－2）2＝100022502＋2×250×2＋22－（2502－2×250×2＋22）＝100022000＝500. 5．解：⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－12⎝⎛⎭⎫1＋12⎝⎛⎭⎫1＋122⎝⎛⎭⎫1＋124⎝⎛⎭⎫1＋128＋1215＝2×⎝⎛⎭⎫1－1216＋1215＝2－1215＋1215＝2. 6．B 7.B 8.B 9.1 10.111．解：(1)∵a －b ＝－3，ab ＝－2，∴(a ＋b )(a 2－b 2)＝(a ＋b )2(a －b )＝[(a －b )2＋4ab ](a －b )＝[(－3)2＋4×(－2)]×(－3)＝－3.(2)∵a －c －b ＝－10，(a －b )c ＝－12，∴(a －b )2＋c 2＝[(a －b )－c ]2＋2(a －b )c ＝(－10)2＋2×(－12)＝76.初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7 平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8 如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9 同位角相等，两直线平行 10 内错角相等，两直线平行 11 同旁内角互补，两直线平行 12 两直线平行，同位角相等 13 两直线平行，内错角相等 14 两直线平行，同旁内角互补15 定理三角形两边的和大于第三边16 推论三角形两边的差小于第三边17 三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18 推论1 直角三角形的两个锐角互余19 推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20 平行四边形判定定理 1 两组对角分别相等的四边形是平行四边形21 平行四边形判定定理 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形22 平行四边形判定定理 3 对角线互相平分的四边形是平行四边形23 平行四边形判定定理 4 一组对边平行相等的四边形是平行四边形24 矩形性质定理 1 矩形的四个角都是直角25 矩形性质定理 2 矩形的对角线相等26 矩形判定定理 1 有三个角是直角的四边形是矩形27 矩形判定定理 2 对角线相等的平行四边形是矩形28 菱形性质定理 1 菱形的四条边都相等29 菱形性质定理 2 菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30 菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231 菱形判定定理1 四边都相等的四边形是菱形32 菱形判定定理2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形33 正方形性质定理1 正方形的四个角都是直角，四条边都相等34 正方形性质定理 2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35 定理1 关于中心对称的两个图形是全等的36 定理2 关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37 逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38 等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。

专题训练 乘法公式的灵活应用► 类型一 变形乘法公式巧求式子的值1．阅读：已知a ＋b ＝－4，ab ＝3，求a 2＋b 2的值．解：∵a ＋b ＝－4，ab ＝3，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝(－4)2－2×3＝10.已知a ＋b ＝6，ab ＝2，请你根据上述解题思路求下列各式的值．(1)a 2＋b 2；(2)(a －b )2；(3)a 2－ab ＋b 2.2．我们知道完全平方公式(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2.两式相加得(a ＋b )2＋(a －b )2＝2a 2＋2b 2，即a 2＋b 2＝12[(a ＋b )2＋(a －b )2]；两式相减得(a ＋b )2－(a －b )2＝4ab ，即ab ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]． 请利用以上性质完成下列问题：已知(x ＋y )2＝6，(x －y )2＝2，试求：(1)x 2＋y 2的值；(2)xy 的值．3．阅读下列解题过程：已知x ≠0，且满足x 2－3x ＝1，求x 2＋1x 2的值． 解：∵x 2－3x ＝1，∴x 2－3x －1＝0.又∵x ≠0，∴x －3－1x ＝0，即x －1x＝3. ∴x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＝32＋2＝11. 请根据上述解题思路解答下列问题：若a 2－5a －1＝0，且a ≠0，求a 2＋1a 2的值．► 类型二 巧用乘法公式简便计算4．利用乘法公式简便计算：(1)－992；(2)20192－2018×2020；(3)20817×19917.► 类型三 巧用乘法公式化简求值5．数学课上老师出了一道题：计算2962的值．喜欢数学的小亮举手回答这道题，他的解题过程如下：2962＝(300－4)2(第一步)＝3002－2×300×(－4)＋42(第二步)＝90000＋2400＋16(第三步)＝92416.(第四步)老师表扬小亮积极发言的同时，也指出了他解题过程中的错误．(1)你认为小亮的解题过程中，从第几步开始出错？(2)请你写出正确的解题过程．6．2018·江西 计算：(a ＋1)(a －1)－(a －2)2.7．先化简，再求值：(2a ＋b )(2a －b )－(3a －b )2＋6a (a －b )，其中a ＝37，b ＝1.►类型四逆用乘法公式8．观察下列等式：1×32×5＋4＝72＝(12＋4×1＋2)22×42×6＋4＝142＝(22＋4×2＋2)23×52×7＋4＝232＝(32＋4×3＋2)24×62×8＋4＝342＝(42＋4×4＋2)2…(1)根据你发现的规律，求12×142×16＋4是哪一个正整数的平方；(2)请把n(n＋2)2(n＋4)＋4(n是正整数)写成一个正整数的平方的形式．9．2018·武汉市江汉区校级月考阅读材料：若m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，求m，n的值．解：∵m2－2mn＋2n2－8n＋16＝0，∴(m2－2mn＋n2)＋(n2－8n＋16)＝0.∴(m－n)2＋(n－4)2＝0.∵(m－n)2≥0，(n－4)2≥0，∴(m－n)2＝0，(n－4)2＝0.∴n＝4，m＝4.根据你的观察，探究下面的问题：(1)已知x2＋2xy＋2y2＋2y＋1＝0，求2x＋y的值；(2)已知△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，求△ABC的最大边长c的值．►类型五乘法公式与图形面积10．解放街幼儿园有一个游戏场和一个葡萄园，其所占地的形状都是正方形，面积也相同．后来重新改建，扩大了游戏场，缩小了葡萄园，扩大后的游戏场地仍为正方形，边长比原来增加了3米，缩小后的葡萄园也为正方形，边长比原来减少了2米，设它们原来的边长为x米，请求出扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多多少平方米，并计算当x＝12时式子的值．11．如图1①所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形(a＞b)，如图②所示是由图①中的阴影部分拼成的一个长方形．(1)设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2，请直接用含a，b的式子表示S1，S2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式；(3)试利用这个公式计算：(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1.图1详解详析1．解：(1)∵a ＋b ＝6，ab ＝2，∴a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝62－2×2＝32.(2)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴(a －b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝32－4＝28.(3)∵a 2＋b 2＝32，ab ＝2，∴a 2－ab ＋b 2＝a 2＋b 2－ab ＝32－2＝30.2．解：(1)x 2＋y 2＝12[(x ＋y )2＋(x －y )2]＝12×(6＋2)＝4. (2)xy ＝14[(x ＋y )2－(x －y )2]＝14×(6－2)＝1. 3．解：∵a 2－5a －1＝0且a ≠0，∴a －5－1a ＝0，即a －1a＝5. ∴a 2＋1a 2＝(a －1a)2＋2＝52＋2＝27. 4．解：(1)原式＝－(100－1)2＝－(10000－200＋1)＝－10000＋199＝－9801.(2)原式＝20192－(2019－1)(2019＋1)＝20192－(20192－12)＝20192－20192＋1＝1.(3)20817×19917＝(20＋817)×(20－817)＝202－(817)2＝400－64289＝399225289. 5．解：(1)从第二步开始出错．(2)正确的解题过程如下：2962＝(300－4)2＝3002－2×300×4＋42＝90000－2400＋16＝87616.6．解：原式＝a 2－12－(a －2)2＝a 2－1－(a 2－4a ＋4)＝a 2－1－a 2＋4a －4＝4a －5.7．解：原式＝4a 2－b 2－9a 2＋6ab －b 2＋6a 2－6ab ＝a 2－2b 2.当a ＝37，b ＝1时，原式＝949－2＝－14049. 8．解：(1)由题意，可得12×142×16＋4＝(122＋4×12＋2)2＝1942，所以12×142×16＋4是194的平方．(2)n (n ＋2)2(n ＋4)＋4＝(n 2＋4n ＋2)2(n 是正整数)．9．解：(1)∵x 2＋2xy ＋2y 2＋2y ＋1＝0，∴(x 2＋2xy ＋y 2)＋(y 2＋2y ＋1)＝0.∴(x ＋y )2＋(y ＋1)2＝0.∵(x ＋y )2≥0，(y ＋1)2≥0，∴(x ＋y )2＝0，(y ＋1)2＝0.∴y ＝－1，x ＝1.∴2x ＋y ＝2－1＝1.(2)∵a 2＋b 2－12a －16b ＋100＝0，∴(a 2－12a ＋36)＋(b 2－16b ＋64)＝0.∴(a －6)2＋(b －8)2＝0.∵(a －6)2≥0，(b －8)2≥0，∴(a －6)2＝0，(b －8)2＝0.∴a ＝6，b ＝8.∴8－6＜c ＜8＋6，即2＜c ＜14.又∵c ≥8，c 为正整数，∴8≤c ＜14，且c 为整数．∴△ABC 的最大边长 c 的值可能是8，9，10，11，12，13.10．解：(x ＋3)2－(x －2)2＝(x 2＋6x ＋9)－(x 2－4x ＋4)＝x 2＋6x ＋9－x 2＋4x －4＝(10x ＋5)米2.即扩大后的游戏场地比缩小后的葡萄园的面积多(10x ＋5)平方米．当x ＝12时，原式＝10×12＋5＝125.11．解：(1)S1＝a2－b2，S2＝(a＋b)(a－b)．(2)(a＋b)(a－b)＝a2－b2.(3)原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1 ＝(22－1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(24－1)(24＋1)(28＋1)＋1＝(28－1)(28＋1)＋1＝(216－1)＋1＝216.。

(2)298×302＝____________.
4．运用公式简便计算：
(1)4013×3923；
10002 (2)2522－2482.
5．阅读下列材料： 某同学在计算 3(4＋1)(42＋1)时，把 3 写成 4－1 后，发现可以连续运用平方差公 式计算：3(4＋1)(42＋1)＝(4－1)(4＋1)(42＋ 1)＝(42－1)(42＋1)＝162－1.请借鉴该同学 的经验，计算下面式子的值：
4．解：(1)原式＝40＋1340－13＝402－132＝159989；
(2)原式＝（250＋2）120－00（2 250－2）2 ＝2502＋2×250×2＋22－10（0022502－2×250×2＋22）＝120000002＝500.
5．解：1＋121＋2121＋2141＋218＋2115＝2×1－121＋121＋2121＋2141＋218＋2115 ＝2×1－2116＋2115＝2－2115＋2115＝2.
＝10. 请你根据上述解题思路解答下面问题： (1)已知 a－b＝－3，ab＝－2，求(a＋
b)(a2－b2)的值；
(2)已知 a－c－b＝－10，(a－b)c＝－ 12，求(a－b)2＋c2 的值．
◆类型二 利用乘法公式的变式求值
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参考答案与解析 1．C 2.D 页
1＋121＋2121＋2141＋218＋2115.
6．若 a－b＝12，且 a2－b2＝14，则 a＋b 的值为（ ）
A．－12
1 B.2
C．1
D．2
7．若 a－b＝1，ab＝2，则(a＋b)2 的值
为（ ）
A．－9 B．9 C．±9 D．3
8．已知 x＋1x＝5，那么 x2＋x12的值为