沪教版七年级数学下册9.2.2 第3课时 分式的混合运算((导学案)

9.2 分式的运算1．类比分数的运算法则，掌握分式乘除法、加减法的运算法则． 2．掌握分式的乘方法则，能进行分式的乘法、除法、乘方的运算及其混合运算． 3．能用分式的运算解决生活中的实际问题，提高“用数学”的意识．1．分式的乘除 (1)分式的乘法法则 两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母． 用字母表示为：ab·cd＝ab· ·cd＝abcd. (2)分式的除法法则 两个分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用字母表示为：ab÷cd＝ab·dc＝abdc.(3)理解两个法则的注意事项：①分式与分式相乘，如果分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约去公因式，然后再相乘．②整式与分式相乘，可以直接把整式(整式的分母视为 1)和分式的分子相乘作分子，分母不变．当整式是多项式时，同样要先分解因式．③分式的除法可以统一到分式的乘法，即颠倒除式的分子、分母，再与被除式相乘．④分式的乘除法的计算结果，要通过约去公因式，化为最简分式或整式．【例 1－1】计算下列各题：ab2 4cd (1)2c2·－3a2b2；2x－6 2x－4 (2)x2－4x＋4· x－3 .ab2 4cdab2·4cd 4ab2cd 2d解：(1)2c2·－3a2b2＝－2c2·3a2b2＝－6a2b2c2＝－3ac.2x－6 2x－4 (2)x2－4x＋4· x－32 x－3 2 x－2 ＝ x－2 2 · x－34 x－3 x－2 ＝ x－2 2 x－3＝x－4 2.分子和分母都是单项式的分式的乘法，直接按“分子乘分子，分母乘分母” 进行运算，其运算步骤为：①符号运算；②按分式的乘法法则运算；③约分．分式中的分子、1分母都是多项式时，先因式分解，再约分． 【例 1－2】计算：(1)－3xy÷23yx2； (2)(xy－x2)÷x－ xyy. 解：(1)－3xy÷23yx2＝－3xy·23yx2＝－92xy2. (2)(xy－x2)÷x－ xy y ＝(xy－x2)·xx－yy ＝－x(x－y)·xx－yy ＝－x2y.(1)分式的除法运算，抓住“一变一倒”，即变除法为乘法，把除式的分子、分母的位置颠倒．(2)分式的分子、分母都是多项式的分式除法先转化为乘法，然后把多项式进行因式分解，最后约分．3x2y 7a2b 14xb 【例 1－3】计算(1)4ab2· 6xy ÷ a ；4－a2 a－2 a＋2 (2)4＋4a＋a2÷2a＋4·a－1.3x2y 7a2b 14xb 解：(1)4ab2· 6xy ÷ a3x2y 7a2b aa2＝4ab2· 6xy ·14xb＝16b2.4－a2 a－2 a＋2 (2)4＋4a＋a2÷2a＋4·a－12＋a 2－a 2 a＋2 a＋2＝2＋a 2 · a－2 ·a－12a＋4 ＝－ a－1 .分式的乘除混合运算，一般先将除法运算转化为乘法运算，然后再按照乘法运算的法则进行．2．分式的乘方(1)分式的乘方法则：分式乘方就是把分子、分母分别乘方．用式子表示为：abn＝abnn(n 为正整数，b≠0)．(2)理解法则的注意事项：①分式乘方时，一定要把分式加上括号，如ab2≠ab2.②分式本身的符号也要同时乘方．③分式分子或分母是多项式时，要避免出现类似a＋b c2＝a2＋b2 c2这样的错误． ④分式的乘方abn 可以转化为积的乘方(ab－1)n，这可以利用负整数指数幂的意义验证， 根据负整数指数幂的意义，可知abn＝(ab－1)n＝anb－n＝abnn. ⑤公式中的 a，b 可以是单项式，也可以是多项式，乘方时要注意分子、分母中的每一2个因式都要乘方，千万不能出现漏项乘方．【例 2－1】计算：(1)－x22 y2；(2)aa22＋ －22aabb3.分析：(1)分式的分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；(2)分式的分子、分母是多项式，应该先各自因式分解，发现有公因式，先约分，然后再运用法则计算． －2y 2 4y2解：(1)原式＝ x2 2 ＝ x4 .(2)原式＝aaa＋2b a－2b3＝aa＋ －22bb3＝a＋2b a－2b33.在计算乘方运算时，如果分子、分母是单项式，可以直接运用法则计算；如果分子、分母是多项式，要先因式分解，通常约去公因式后再计算，也可以先进行乘方运算后再约去公因式．【例 2－2】计算：－2xmyn22÷8yx22·－y22 m3. 解：－2xmyn22÷8yx22·－y22 m3 ＝4mx22ny42·8yx22·－y86m34m ＝－n4y2.含有乘方的分式混合运算，应先进行分式的乘方运算，然后再进行乘除运 算．应注意运算中的符号．3．通分 (1)通分的概念：化异分母分式为同分母分式的过程，叫做分式的通分． (2)最简公分母：异分母分式通分时，关键是确定公分母，通常取各分母所有因式的最 高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母． (3)确定最简公分母： ①如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系 数． ②字母取所有字母，取所有不同底的幂的因式； ③相同底的幂的因式取最高次幂．系数：各分母的最小公倍数 即最简公分母 幂底数：所有的 指数：相同底数最高的当分母是多项式时，一般应先分解因式．分式的通分，实质上就是将各分式的分母在不改变分式值的情况下都写成各分母的最简公分母的形式．分式通分的依据是分式的基本性质．(4)分式通分的步骤：先确定各分式的最简公分母，再将各分式通过分式的基本性质变形，使其各分母都成为最简公分母．2a 3c 5b 【例 3】通分：(1)3b2c，4a2b，－2ac2.1x(2)x2－9，6－2x.分析：(1)各分母系数的最小公倍数是 12，字母因式 a，b，c 的最高次幂分别是 a2，b2，c2，因此最简公分母是 12a2b2c2.(2)分母分解因式 x2－9＝(x＋3)(x－3)；(6－2x)＝－2(x－3)，因此最简公分母为 2(x＋3)(x－3)．32a 2a·4a2c 8a3c 解：(1)3b2c＝3b2c·4a2c＝12a2b2c2；3c 3c·3bc2 9bc3 4a2b＝4a2b·3bc2＝12a2b2c2；5b5b·6ab230ab3－2ac2＝－2ac2·6ab2＝－12a2b2c2.12(2)x2－9＝2 x＋3 x－3 ；x 6－2x＝－2x x－3＝－2x x＋3 x＋3 x－3.4．分式的加减(1)同分母的分式加减法则同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减．a b a±b 用式子表示为：c±c＝ c .(2)异分母的分式加减法则异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式后再加减．用式子表示为：ab±cd＝badd±bbdc＝adb±dbc.(3)理解这两个法则的注意事项：①同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号．②异分母分式加减运算的关键是利用通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母的分式加减法进行运算．通分时，要注意最简公分母的确定．③分式加减运算的结果要化为最简分式或整式．【例 4－1】计算：(1)a2＋ab＋a2＋bb；x＋3y x＋2y 2x－3y (2)x2－y2－x2－y2＋ x2－y2 ；2x＋5x－12x－3(3)2 x＋1 2－2 x＋1 2＋2 x＋1 2.分析：按照同分母加减法法则运算，计算结果要注意化简．解：(1)原式＝2aa＋＋b2b＝2a＋b a＋b＝2.x＋3y － x＋2y ＋ 2x－3y(2)原式＝x2－y2x＋3y－x－2y＋2x－3y＝x2－y22 x－y2＝ x＋y x－y ＝x＋y.2x＋5－ x－1 ＋2x－3(3)原式＝2 x＋1 23x＋3 3 x＋13＝2 x＋1 2＝2 x＋1 2＝2 x＋1 .2m 1 【例 4－2】化简：(1)m2－9－m＋3；(2)a＋2－2－4 a.分析：(1)分母是多项式，先分解因式找出最简公分母，由于 m2－9＝(m＋3)(m－3)，所4以最简公分母为(m＋3)(m－3)；(2)把 a＋2 化成a＋1 2再进行计算．2m 1 解：(1)m2－9－m＋3＝2m m＋3 m－3－m＋1 3＝2m m＋3 m－3－m－3 m＋3 m－3＝2m－ m＋3m－3 m－3＝m＋3 m＋3 m－3＝m－1 3.(2)a＋2－2－4 a＝a＋1 2－2－4 a＝a＋2 a－2 a－2＋a－4 2a＋2 a－2 ＋4 a2－4＋4 a2＝a－2＝ a－2 ＝a－2.当分母是多项式时，首先要进行因式分解；当整式与分式相加减时，把整式 的分母看成 1；如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分化为最简分式． 5．分式的混合运算 分式的混合运算法则：先乘方，再乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算． 在进行分式的混合运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等．特别是分式的 加减运算与加法的交换律、结合律相结合，会使运算过程简捷．(1)分式的混合运算，关键是弄清运算顺序．(2)有理数的运算顺序及运算规律对分式运算同样适用．(3)分式运算与分数运算一样，结果必须达到最简，能约分的要约分，保证结果是最简分式或整式．【例 5】计算xx2－＋22x－x2－x－4x1＋4÷x42－－2xx.分析：本题是分式的混合运算题，各分母分解因式后可先算括号内的，也可观察式子中各个分式的特点，用乘法分配律进行计算．解：方法一：xx2－＋22x－x2－x－4x1＋4÷x42－－2xx＝xx＋2 x－2－x－1 x－22÷x4－x x－2＝x＋2 x－2 x x－2 2－xxx2－4－x2＋x 4－x ＝ x x－2 2 ÷x x－2x－1 x－22÷x4－x x－2x－4 x x－2 ＝x x－2 2· 4－x＝－x－1 2.方法二：xx2－＋22x－x2－x－4x1＋4÷x42－－2xx＝xx＋2 x－2－x－1 x－22·xx－2 4－x5x＋2 x x－2x－1 x x－2＝x x－2 · 4－x － x－2 2· 4－x＝x4＋－2x－x x－1 x－2 4－x＝x＋2 4－xx－2x2－xx－2 － x－2 4－xx2－4－x2＋x ＝ 4－x x－2＝－4＋x 4－x x－2＝－x－1 2.6．通分的技巧通分是进行异分母分式相加减时必不可少的运算步骤，通分时常常是先找出最简公分母，将其变为同分母分式，然后再加减．可在有些实际运算中，有时找最简公分母十分麻烦，或者在进行通分时，将面临着复杂、繁琐的计算，甚至走进一条“死胡同”，因此有必要掌握一些常用的通分技巧和方法，这样能使问题变得简单、化难为易．几种常用的通分技巧如下：(1)首先约分技巧分式中的分子与分母有公因式，故应先约分，再通分．(2)整体处理技巧分式和整式加减时，通常把整式看作一个整体，化成分母为“1”的式子，再通分．(3)分组通分技巧利用加法交换律和结合律，把易于通分的分式结合在一起，再分别通分．【例 6】化简：1 x－1x＋x1 x＋1＋1 x＋1 x＋2＋…＋1 x＋2 010 x＋2 011 .分析：当分式比较复杂，而且按常规方法通分十分艰难时，这时应看看题中是否隐含着某些规律，当具有以下特征(每一个分式的分母是两个因数之积，而分子又是一个定值)时，可将每一个分式先拆成两项之差，前后相约后再通分．解：原式＝x－1 1－1x＋1x－x＋1 1＋x＋1 1－x＋1 2＋…＋x＋211 010－x＋2011＝x－1 1－1x＋1x－x＋1 1＋x＋1 1－x＋1 2＋…＋x＋21 010－x＋21 01111＝x－1－x＋2 011＝2 012 x－1 x＋2 011.7．分式的化简求值计算一个分式的值时，要先运用分式的加减乘除运算分别化简分式，再把字母的取值代入化简后的最简分式或整式并通过计算求出原分式的值．(1)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是作为已知条件直接确定的，这种问题是分式最常见的题型之一，对于此种分式求值问题，一般是先化简，后求值，就是要先按顺序进行化简，将分式化成最简分式或整式后，再代入求值．(2)在某些分式的化简求值问题中，字母的值是不确定的，具有一定的开放性，解决此种分式求值问题的途径，一般仍是先化简，后代入求值，但是应注意代入的数值必须使原分式有意义．6(3)分式的化简求值问题中，有些条件是以关系式的形式给出的，对于此类问题的求解，方式是多样的，有些在化简后，根据条件求出字母的值，进而代入求值；有些在化简后，把条件整体代入求值；有些在化简后，把条件变形后整体代入求值．总之，解这类题要能够根据题目的特点，挖掘出已知条件和待求式之间的内在联系，巧妙地转化变形，选择最佳方法才能迅速获解． 【例 7－1】化简4－2x4－x＋6 x2÷(x＋3)·x2＋3－x－x 6，并求其当 x＝－2 时的值．解：4－2x4－x＋6 x2÷(x＋3)·x2＋3－x－x 62 x－31x＋3 x＋2＝ x－2 2 ·x＋3·3－x＝x－－22.当 x＝－2 时，原式＝－－2－2 2＝12.【例a－1 a2－417－2】先化简再求值：a＋2·a2－2a＋1÷a2－1，其中a满足a2－a＝0.分析：先按分式的乘除法法则把原式进行化简，得 a2－a－2，而条件中 a2－a＝0，从而代入求出原式的值．解：原式＝aa－ ＋12·a＋2 a－2 a－1 2·a＋1 a－1 1＝(a－2)(a＋1)＝a2－a－2.由 a2－a＝0，得原式＝0－2＝－2.【例 7－3】有一道题“先化简，再求值：xx－ ＋22＋x24－x 4÷x2－1 4，其中 x＝－ 3.”小玲做题时把“x＝－ 3”错抄成了“x＝ 3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？解：xx－ ＋22＋x24－x 4÷x2－1 4＝x2－4xx2＋ －44＋4x·(x2－4)＝x2＋4，因为当 x＝ 3或 x＝－ 3时，x2 的值均为 3，原式的计算结果都是 7，所以把“x＝－ 3”错抄成“x＝ 3”，计算结果也是正确的．8．运用分式运算解决实际问题分式的运算应用非常广泛，日常生活中的路程、工程、金融等问题以及自然科学中的许多问题均有涉及．解决实际问题的关键是读懂题意，正确地分析问题中涉及的量与量之间的关系，列出正确的代数式，并进行代数式的运算．例如，原计划 a 天完成 b 件产品，现需要提前 c 天完成，则实际每天比原计划多生产的件数为多少？由于每天比原计划多生产的件数＝现在每天生产的件数－原来每天生产的件数，所以我们可以先列出分式表示原计划每天生产的件数和实际每天生产的件数，进而表示每天比原计b b bc 划多生产的件数为a－c－a＝a2－ac.【例 8】甲、乙两人沿着同一个方向从 A 地走向 B 地，甲一半路程以 a km/h 的速度行走，一半路程以 b km/h 的速度行走；乙一半时间速度是 a km/h，另一半时间的速度是 b km/h，请你说说甲、乙谁先到达 B 地？分析：先求出甲用的时间是2sa＋2sb＝sa＋b 2ab小时，乙用的时间为a2＋sb小时，然后通过作差比较大小，即sa＋b 2ab－a2＋sb＝2saba－b a＋b2，最后通过讨论a与b的关系，确定甲、乙谁先到达 B 地．7s ss 解：甲用的时间是2a＋2b＝a＋b 2ab小时，乙用的时间为a2＋sb小时，因为sa＋b 2ab－2s s a－b 2 a＋b＝2ab a＋b ，所以(1)当a＝b时，2saba－b a＋b2＝0，即甲时＝乙时，此时两人同时到达 B 地；(2)当a≠b时，2saba－b a＋b2＞0，此时，甲时＞乙时，即乙先到达 B 地． 9．与分式有关的规律探索题因为分式可以方便地表示对应关系、数量关系等，因此经常利用分式来探索有关问题中的规律，主要方式是根据分式的分子、分母的发展变化情况或者分式值的变化情况，要求得出相应的结果或者规律．一般解法是先写出分式的基本结构，然后通过横比(比较同一等式中不同部分的数量关系)或纵比(比较不同等式间相同位置的数量关系)找出各部分的特征，得出相应的结论．【例x3 x5 x7 x9 9】给定下面一列分式：y ，－y2，y3，－y4，…(其中x≠0)，则第7个分式为__________．x2 解析：把任意一个分式除以前面一个分式，所得商都是－ y .仔细观察分子与分母，分子所含字母是 x，分母所含字母是 y，x 的指数是从 3 开始的连续奇数，y 的指数是从 1 开始 的连续整数，分式本身的符号是第奇数个为正号，偶数个为负号．因此第 n 个分式是(－1)n ＋1·x2ynn＋1.故第 7 个分式是(－1)8·xy175＝xy175.x15 答案： y78。

沪科版初中数学七年级下册全册分层讲学稿（A层）目录课题：实数 (1)平方根（1） (1)平方根（2） (5)立方根（1） (9)立方根（2） (13)课题：平方根、立方根复习课 (18)七年级A层大假作业 (21)课题：实数 (29)实数（1） (29)实数（2） (35)实数（3） (40)七年级数学A层试卷 (45)课题：一元一次不等式与不等式组 (49)不等式及其基本性质（1） (49)不等式的基本性质 (54)课题：一元一次不等式与不等式组 (60)一元一次不等式（1） (60)一元一次不等式（2） (65)一元一次不等式（3） (69)课题：一元一次不等式与不等式组 (73)一元一次不等式组（1） (73)一元一次不等式组（2） (78)一元一次不等式组（3） (82)一元一次不等式组（4） (87)课题：整式乘除与因式分解 (92)8.1同底数幂的乘法 (92)8.1幂的乘方 (97)8.1积的乘方 (101)8.1同底数幂的除法 (106)8.1零指数幂与负整数指数幂 (111)课题：整式乘除与因式分解 (116)幂的运算复习课 (116)8.2单项式与单项式相乘 (120)8.2单项式与多项式相乘 (124)8.2多项式与多项式相乘 (129)8.3完全平方公式 (134)8.4单项式除以单项式 (139)8.4多项式除以单项 (144)8.3平方差公式 (148)8.5提公因式法分解因式 (153)8.5运用完全平方公式分解因式 (158)8.5运用平方差公式法分解因式 (162)8.5分组分解法分解因式 (167)8.5十字相乘法分解因式 (172)课题：分式 (177)9.1分式的相关概念 (177)9.1分式的基本性质 (182)9.2分式的乘除 (186)9.2分式的通分 (191)9.2分式的加减 (195)9.2分式的混合运算 (200)9.2分式方程 (205)9.2分式方程的应用 (210)9.2分式方程 (214)课题：相交线、平行线与平移 (219)10.1 相交线 (219)10.1 垂线（1） (224)10.1 垂线（2） (229)10.1 垂线（1） (234)10.1 垂线（2） (238)10.2 平行线的判定（1） (243)10.2 平行线的判定（2） (248)10.2 平行线的判定（3） (253)10.2 平行线的性质（1） (258)课题：相交线、平行线与平移 (263)10.4 平移（1） (263)10.4 平移（2） (268)课题：频数分布 (272)11.1频数与频率 (272)11.2 频数分布（1） (277)课题：实数平方根（1）学习目标：1.了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根以及算术平方根.2.会求一个正数的平方根、算术平方根.3.会用计算器计算一个正数的算术平方根.学习重点：平方根和算术平方根的概念和求法.学习难点：平方根与算术平方根的区别与联系.一、学前准备1.已知正方形的面积为25 cm 2，则它的边长为_______cm ．2．（1）若x 2=9，则x =_____； （2）若y 2=9，则y=_____；（3）若x 2=0，则x =_____； （4）若y 2=2549，则y=_____； （5）若x 2=971，则x =_____； （6）若y 2=2.25，则y=_____； （7）若x 2=-9，则x =_____。

沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计2一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第9.2节的内容，主要包括分式的加减乘除运算以及分式的乘方。

本节内容是学生学习更高级数学知识的基础，也是初中数学的重要内容之一。

通过本节的学习，学生能够掌握分式的基本运算方法，并能够灵活运用分式解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数的基本运算，对代数概念有一定的理解。

但由于分式与实数的运算有很大的不同，学生可能需要一定的时间来适应和理解分式的运算规则。

同时，学生可能对分式的实际应用场景还不够了解，需要通过实例来加深理解。

三. 教学目标1.理解分式的加减乘除运算规则，并能熟练进行分式的运算。

2.理解分式的乘方运算规则，并能熟练进行分式的乘方运算。

3.能够运用分式的运算解决实际问题。

四. 教学重难点1.分式的加减乘除运算规则的理解和运用。

2.分式的乘方运算规则的理解和运用。

3.分式在实际问题中的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过引导学生解决实际问题，让学生理解和掌握分式的运算规则。

2.使用多媒体教学辅助工具，通过动画和图形，直观地展示分式的运算过程，帮助学生理解和记忆。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中，共同解决问题，提高学生的合作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.多媒体教学辅助工具。

2.分式的运算实例。

3.分式的运算练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引出分式的运算，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）利用多媒体教学辅助工具，展示分式的运算过程，引导学生理解和记忆分式的运算规则。

3.操练（10分钟）让学生进行分式的运算练习，巩固所学的知识。

4.巩固（10分钟）对学生的练习进行点评，纠正错误，巩固正确的运算方法。

5.拓展（10分钟）引导学生进行分式的乘方运算，让学生理解分式的乘方规则。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行小结，让学生掌握分式的运算规则。

沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计1一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第9.2节的内容，主要包括分式的加减乘除运算。

本节内容是学生学习了分式的概念和基本性质之后，进一步深化对分式运算的理解和掌握。

通过本节内容的学习，学生能够熟练运用分式的运算规则，解决实际问题。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的代数基础，对分式的概念和性质有一定的了解。

但学生在运算方面可能还存在一定的困难，特别是对于分式的混合运算，容易出错。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握分式的运算规则，提高运算能力。

三. 教学目标1.知识与技能：学生能够掌握分式的加减乘除运算规则，并能熟练运用解决实际问题。

2.过程与方法：通过小组合作、讨论交流的方式，培养学生解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识。

四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。

2.难点：分式运算中如何正确进行括号展开和约分。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探索分式的运算规则。

2.利用多媒体辅助教学，直观展示分式的运算过程。

3.小组讨论，鼓励学生交流分享，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.分式的运算PPT。

3.练习题库。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示实际问题，引导学生运用分式进行解决。

例如，讲解一道应用题，需要用到分式的运算。

通过解决问题，激发学生的学习兴趣，引出本节课的内容。

2.呈现（10分钟）讲解分式的加减乘除运算规则，结合PPT展示运算过程，让学生直观地理解运算规则。

同时，引导学生总结运算规则，加深对知识点的记忆。

3.操练（10分钟）根据分式的运算规则，设计一些练习题，让学生独立完成。

期间，教师可以巡回指导，帮助学生解决问题。

完成后，选取部分学生进行答案展示和讲解，加深对运算规则的理解。

4.巩固（10分钟）设计一些具有挑战性的题目，让学生小组合作，共同解决问题。

您好！我是[镇/村]的[姓名]，身份证号码：[身份证号码]，家庭住址：[详细地址]。

在此，我谨向贵单位提交一份农村用电户名变更申请书，恳请贵单位审批。

一、申请背景自从我国农村电力改革以来，农村用电条件得到了极大的改善，为广大农民群众的生活提供了便利。

然而，随着时间的推移，家庭结构、人员流动等因素的变化，部分农村用电户的户名已无法准确反映实际居住情况。

为了更好地维护用电秩序，保障电力供应，现申请对以下用电户名进行变更：原户名：[原户主姓名]现户主姓名：[现户主姓名]用电地址：[详细地址]二、变更原因1. 家庭结构变化：随着社会经济的发展，部分家庭因子女结婚、父母去世等原因，家庭结构发生了变化，原户主已不再居住在此地址。

2. 人员流动：部分农户因工作、学习等原因搬迁至他乡，但原有用电户名未及时变更，导致用电管理存在困难。

3. 用电安全：原户主已离开居住地，若继续使用原户名，可能存在用电安全隐患。

三、变更程序1. 提交申请：本人向贵单位提交书面申请，详细说明变更原因和家庭结构变化等情况。

2. 提供相关证明材料：包括户口本、身份证、结婚证、离婚证、死亡证明等，以证明家庭结构变化或人员流动等情况。

3. 贵单位审核：对提交的申请和相关证明材料进行审核，确保变更事项真实、有效。

4. 办理变更手续：经审核通过后，本人按照贵单位要求办理变更手续，包括签订用电合同、缴纳相关费用等。

四、承诺事项1. 我保证所提交的申请和相关证明材料真实、有效，如有虚假，愿承担相应法律责任。

2. 我将积极配合贵单位办理变更手续，确保变更过程顺利进行。

3. 我将严格遵守国家有关电力法律法规，合理使用电力，确保用电安全。

综上所述，为确保农村电力供应秩序，维护自身合法权益，特向贵单位申请变更用电户名。

恳请贵单位审批，并给予支持与帮助。

谢谢！此致敬礼！申请人：[姓名]联系电话：[联系电话]申请日期：[申请日期]。

分式的乘除教案
一、教学目标
【知识与技能】
1
.
掌握分式乘除的法那么和分式乘方的法那么.
2
.能熟练地进行分式的乘除法运算和乘方运算.
【过程与方法】
引导学生通过观察分析，归纳探索分式乘除的法那么，培养学生用类比的方法探索新知识的能力.【情感态度】
有意识地引导学生积极参与到数学活动过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力，并通过合作交流体验成功的喜悦.
二、教学重难点
【教学重点】分式的乘除法那么和乘方法那么.
【教学难点】运用分式的乘除法那么和乘方法那么熟练地进行运算
三、教学过程
〔一〕、情境导入问题：
你还记得分数的乘除运算吗？
.
〔二〕、思考探究，获取新知
1.分式乘除的法那么思考：任给下面式子中
式子的值，再任选一组a,b,c,d的值进行计算a,b,c，d一组数据，如,从中你能得出什么结论？
，求下面a=2,b=3,c=-2,d=-3
【归纳结论】两个分式相乘，用分子的积作积的分子，用分母的积作积的分母；两个分式相除，
将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘,即
【教学说明】教师提出问题，学生独立完成，然后相互交流，最后共同归纳分式的乘方法那么
【归纳结论】分式乘方就是把分子、分母分别乘方，即：
.
〔三〕、典例精析，掌握新知
【教学说明】教师给出例题，学生独立自主完成，教师可选几个学生上台，在黑板上演算，然后给予点评.
〔四〕、运用新知，深化理解
4.体育课上，李明和王亮进行单人定位投篮练习，李明投a次中b次，王亮投m次中n次，问
李明投篮的命中率是王亮的几倍？
〔五〕、师生互动，课堂小结
通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识？还有哪些疑问？请与同伴交流.。

沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计3一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第九章第二节的内容。

本节内容主要介绍了分式的加减乘除运算规则，以及分式的化简和求值。

通过本节内容的学习，学生能够掌握分式的基本运算规则，提高解决实际问题的能力。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了实数和分数的运算规则，对数学运算有一定的基础。

但部分学生对分式的概念理解不深，容易与分数混淆。

因此，在教学过程中，需要引导学生区分分式和分数，并逐步建立起分式的运算规则。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的加减乘除运算规则，能够熟练地进行分式的运算。

2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流，培养学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。

2.难点：分式运算中的化简和求值。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入分式的运算，使学生能够联系实际，更好地理解分式的运算规则。

2.启发式教学法：引导学生主动思考，自主探究，发现分式的运算规律。

3.合作学习法：鼓励学生之间相互讨论、交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作含有丰富例题和练习的教学PPT，方便学生直观地了解分式的运算过程。

2.学习资料：准备与本节课相关的学习资料，以便学生在课后进行复习。

3.教学用品：黑板、粉笔、投影仪等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如盐水的浓度问题，引出分式的运算。

让学生思考如何计算两种不同浓度盐水的混合后的浓度，从而引入本节课的内容。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示分式的加减乘除运算规则，以及分式的化简和求值。

同时，给出相应的例题，让学生跟随讲解，理解并掌握分式的运算方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，巩固所学的分式运算规则。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

沪科版数学七年级下册9.2《分式的运算》教学设计1一. 教材分析《分式的运算》是沪科版数学七年级下册第9.2节的内容，主要介绍了分式的加减乘除运算规则。

本节课的内容是学生学习初中数学的重要基础，也是后续学习更高级数学知识的前提。

教材通过具体的例题和练习，使学生掌握分式的运算方法，提高运算能力。

二. 学情分析七年级的学生已经掌握了实数和分数的运算知识，对数学概念和运算规则有一定的理解。

但学生在学习分式运算时，可能会对分式的概念和运算规则产生混淆。

因此，在教学过程中，教师需要帮助学生巩固分式的基本概念，引导学生理解分式运算的规则，并通过大量的练习，提高学生的运算能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握分式的加减乘除运算规则，能够正确进行分式的运算。

2.过程与方法：通过实例讲解和练习，培养学生的运算能力，提高学生解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和克服困难的决心。

四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。

2.难点：理解分式运算的原理，能够灵活运用分式运算规则解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例讲解法、小组合作法、练习法等教学方法。

通过问题引导，激发学生的思考；通过实例讲解，使学生理解分式运算的规则；通过小组合作，培养学生的团队合作意识；通过大量练习，提高学生的运算能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作包含分式运算规则的PPT，以便进行课堂教学。

2.练习题：准备分式运算的相关练习题，用于课堂练习和课后作业。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题，引导学生回顾实数和分数的运算知识，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（10分钟）讲解分式的加减乘除运算规则，通过具体的例题，使学生理解并掌握运算方法。

3.操练（10分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，及时发现并纠正学生的错误。

第3课时 分式的混合运算1．掌握分式加减乘除法的法则，并会运用法则进行分式加减乘除法的计算；(重点)2．能够运用分式加减乘除法则来解决混合运算的实际问题．(难点)一、情境导入提出问题：1.说出有理数混合运算的顺序．2.类比有理数混合运算的顺序，同学们能说出分式的混合运算顺序吗？今天我们共同探究分式的混合运算．二、合作探究探究点：分式的混合运算【类型一】 分式的混合运算计算：(1)(3a a －3－a a ＋3)·a 2－9a ； (2)(x ＋x x 2－1)÷(2＋1x －1－1x ＋1)． 解析：(1)原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果；(2)原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．解：(1)原式＝3a 2＋9a －a 2＋3a （a ＋3）（a －3）·（a ＋3）（a －3）a ＝2a ＋12； (2)原式＝x 3（x ＋1）（x －1）÷2x 2－2＋x ＋1－x ＋1（x ＋1）（x －1）＝x 3（x ＋1）（x －1）·（x ＋1）（x －1）2x 2＝x 2. 方法总结：分式的混合运算，要注意运算顺序，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．【类型二】 分式的化简求值先化简代数式x 2－2x ＋1x 2－1÷(1－3x ＋1)，再从－4＜x ＜4的范围内选取一个合适的整数x 代入求值．解析：先计算括号里的减法运算，再把除法运算转化成乘法运算，进行约分化简，最后从x 的取值范围内选取一数值代入即可．解：原式＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）÷(x ＋1x ＋1－3x ＋1)＝（x －1）2（x ＋1）（x －1）×x ＋1x －2＝x －1x －2，令x ＝0(x ≠±1且x ≠2)，得原式＝12. 方法总结：把分式化成最简分式是解题的关键，通分、因式分解和约分是基本环节，注意选数时，要求分母不能为0.【类型三】 利用公式变形对分式进行化简已知a ＋1a ＝5，求a 2a 4＋a 2＋1的值． 解析：本题若先求出a 的值，再代入求值，显然现在解不出a 的值，如果将a 2a 4＋a 2＋1的分子、分母颠倒过来，即求a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2的值，再利用公式变形求值就简单多了． 解：因为a ＋1a ＝5，所以(a ＋1a )2＝25，即a 2＋1a 2＝23，所以a 4＋a 2＋1a 2＝a 2＋1＋1a 2＝23＋1＝24.所以a 2a 4＋a 2＋1＝124. 方法总结：利用x 和1x互为倒数的关系，沟通已知条件与所求未知代数式的关系，可以使一些分式求值问题的思路豁然开朗，使解题过程简洁．变式【类型四】 分式混合运算的应用甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果．两次水果的价格分别为a 元/千克和b 元/千克(a 、b 为正整数且a ≠b )．(1)甲、乙两人所购水果的平均价格各是多少？(2)谁的购买方式更合算？请说明理由．解析：(1)用总钱数除以总质量即可表示出各自的平均价格；(2)利用作差法求出甲平均价格减去乙平均价格得到差大于0，可得出乙更合算．解：(1)甲的平均价格为20a ＋20b 20＋20＝a ＋b 2；乙的平均价格为20＋2020a ＋20b＝2ab a ＋b ； (2)甲的平均价格与乙的平均价格的差为a ＋b 2－2ab a ＋b ＝（a ＋b ）22（a ＋b ）－4ab 2（a ＋b ）＝（a －b ）22（a ＋b ），∵a ≠b ，∴（a －b ）22（a ＋b ）＞0，∴甲的平均价格＞乙的平均价格，则乙的购买方式更合算．方法总结：灵活运用作差法判断两个式子的大小，要掌握分式的加减混合运算．三、板书设计1．分式的混合运算先乘方，再乘除，后加减．如果有括号，先进行括号里面的运算．2．分式混合运算的应用在学习这部分内容时，可以根据学生的具体情况，适当增加例题和习题，让学生熟练掌握分式的运算法则并提高运算能力．但与整式、分数的运算相比，分式的运算步骤多，符号变化复杂，所以在增加例题和习题时，要注意控制难度，特别是不要在分子、分母的因式分解上增加难度．关键是让学生通过基本的练习，弄清运算依据，做到步步有据，降低计算的错误率。

沪科版数学七年级下册《分式的混合运算》教学设计2一. 教材分析《分式的混合运算》是沪科版数学七年级下册的教学内容。

本节课主要让学生掌握分式的加减乘除运算规则，能正确进行分式的混合运算。

教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握分式混合运算的方法和技巧。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了分式的基本概念和性质，能够进行简单的分式运算。

但是，对于分式的混合运算，学生可能还存在一定的困惑和困难。

因此，在教学过程中，需要帮助学生理解和掌握分式混合运算的规则和方法。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握分式的加减乘除运算规则，能够正确进行分式的混合运算。

2.过程与方法目标：通过具体的例题和练习题，培养学生的运算能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的耐心和细心。

四. 教学重难点1.重点：分式的加减乘除运算规则。

2.难点：分式混合运算的技巧和方法。

五. 教学方法1.情境教学法：通过具体的例题和练习题，让学生在实际操作中理解和掌握分式的混合运算。

2.引导发现法：教师引导学生发现和总结分式混合运算的规则和方法。

3.互助合作法：鼓励学生之间相互讨论和交流，共同解决问题。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示例题和练习题。

2.练习题：准备一些分式混合运算的练习题，用于课堂练习和课后作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个简单的分式混合运算问题，引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示一些分式混合运算的例题，引导学生观察和分析，让学生尝试解答。

3.操练（10分钟）学生独立完成一些分式混合运算的练习题，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）教师挑选一些学生的作业进行讲解和分析，让学生加深对分式混合运算的理解和掌握。

5.拓展（10分钟）教师提出一些分式混合运算的拓展问题，引导学生进行思考和讨论，提高学生的解决问题的能力。

沪科版数学七年级下册《分式的混合运算》教学设计2一. 教材分析沪科版数学七年级下册《分式的混合运算》是学生在掌握了分式的基本概念、性质和分式运算的基础上进行学习的内容。

本节课的主要内容是分式的加减乘除运算以及混合运算。

教材通过例题和练习题的形式，使学生掌握分式混合运算的法则和技巧，提高学生的运算能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了分式的基本概念、性质和分式运算，但对于分式混合运算的法则和技巧还不够熟练。

因此，在教学过程中，需要引导学生将已知的分式运算知识运用到混合运算中，并通过大量的练习来提高学生的运算能力。

三. 教学目标1.理解分式混合运算的法则；2.能够正确进行分式混合运算；3.提高学生的运算能力。

四. 教学重难点1.分式混合运算的法则；2.如何引导学生将已知的分式运算知识运用到混合运算中。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和练习法。

通过设置问题，引导学生思考和探索分式混合运算的法则；通过案例教学，使学生了解分式混合运算的实际应用；通过大量的练习，提高学生的运算能力。

六. 教学准备1.PPT课件；2.练习题；七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考如何进行分式混合运算。

例如：某商品的原价是100元，现在进行打折活动，打折力度分别是8折、9折和9.5折，问最终的价格是多少？2.呈现（10分钟）通过PPT课件，呈现分式混合运算的法则，并进行解释和举例。

3.操练（15分钟）让学生进行分式混合运算的练习，教师巡回指导。

4.巩固（10分钟）通过PPT课件，展示一些分式混合运算的例题，让学生独立完成，然后进行讲解和分析。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将分式混合运算应用到实际问题中，并进行案例教学。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调分式混合运算的法则和技巧。

7.家庭作业（5分钟）布置一些分式混合运算的练习题，让学生进行巩固。

8.板书（5分钟）将本节课的重点内容进行板书，方便学生复习。

2. 分式的加减第3课时 分式的混合运算学习目标：1.会进行分式的乘（方）除法、加减法的混合运算。

2.能解决一些与分式运算有关的实际问题，进一步体会分式的模型思想。

学习重点：分式的四则混合运算。

学习难点：熟练运用分式的四则混合运算解题。

一、学前准备1.回顾分式的运算法则： （1）分式的乘、除法运算法则（2）分式的乘方运算法则（3）分式的加减法运算法则2.分式的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序：先算乘方、再乘除，最后加减。

如有括号，先完成括号内的运算。

练一练： 1. 计算：（1）a b b b a a b a -+-⋅+2222)( （2）11)11111(2-÷-+--m m m（3） x x x x 26191312+----- （4）xx x -+++-2121442预习疑难摘要： 二、探究活动（一）师生探究·解决问题 例1. 计算：（1）b a b b a -++22 （2） 225122--+-m m m m例2. 计算： （1）x x x x x 11)11(---- （2） )252(423--+÷--a a a a例3. 计算：22)1(1)11(-÷--+--x x x x x x x x例4. 若的值。

求21)21444(,2122++÷--+--=a a a a a a a（二）独立思考·巩固升华 1. 计算：（1）)31(96922a a a a -÷++- （2）x x x x x x x 11121222--+-÷+-三、自我测试 1. 计算:（1） 1－a －1a ÷a a a 2122+- （2）(2＋1x －1 －1x ＋1 )÷(x －21x x-)2.先化简，再求值：21),1121(1222=+---÷--x x x x x x x 其中四、应用与拓展 1.先化简：,22)1111(2-÷+--x x x x 然后从2,1，-1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值。

2019-2020学年七年级数学下册 9.2 分式的运算《分式的混合运算》导学案1（新版）沪科版学习目标：经历探索分式的加、减、乘、除混合运算的过程，掌握混合运算的方法。

学习重点：分式的四则混合运算。

学习难点：灵活运用运算法则进行分式混合运算。

学习过程：一、学习准备1、写出分式乘除、加减的法则；2、计算：c d a b ⨯= cd a b ÷= ac a b ±= cd a b ±= 3、分式的加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序：二、合作探究1、尝试解决课本103页例6。

2、计算： ①96121311222+++-⋅-+-+a a a a a a a ②11)1311(2-÷-+-+x x x x思考：第二题你有几种解法？都写出来吧！3、化简并求值；)12(122+-÷++x x x x x ，其中x = -2三、学习体会对照学习目标，通过预习，你觉得自己有哪些方面的收获？又存在哪些方面的疑惑？四、自我测试1、计算； ①b a a a b a -⋅-)(2 ②aa a a a 24)222(-⋅+-- ③a b a a b b a -÷-)(④2、先化简再求值： ①4421642++-÷-x x x x ,其中x=3②21244422--++÷+-x x x x x x x ,其中x=22-③已知x=2008,y=2009，求代数式)2(2xy xy x x y x --÷-的值。

3、填空： ①已知,,yx x y n y x x y m +=-=，那么=-22n m 2 ) 2 2 4 4 4 ( 2 2 - ÷ + - + + - - x x x x x x x②已知,4,12-=+-=y x xy ，则=+++++1111x y y x ③已知,432z y x ==，则=++-yx z y x ④把akg 盐溶解在bkg 水中，那么mkg 这种盐水含盐 kg⑤轮船在静水的速度为akm/h ，某河流的水流速度为2km/h ，一轮船往返于两码头，那么往返一次平均速度为 .五、思维拓展 观察下列各式：4131431121,312132161,211121121-=⨯=-=⨯=-=⨯= （1） 根据以上信息，你认为=421 ， =561 , =721 （2） 由以上信息，你能猜想出什么结论，用含n 的等式把上面各式的规律表示出来:（3） 应用计算：)2007)(2006(1)2)(1(1)1(1++++++++x x x x x x。

2. 分式的加减第3课时 分式的混合运算学习目标：1.会进行分式的乘（方）除法、加减法的混合运算.2.能解决一些与分式运算有关的实际问题，进一步体会分式的模型思想. 学习重点：分式的四则混合运算. 学习难点：熟练运用分式的四则混合运算解题. 一、学前准备1.回顾分式的运算法则： （1）分式的乘、除法运算法则（2）分式的乘方运算法则（3）分式的加减法运算法则2.分式的加、减、乘、除、乘方混合运算顺序：先算乘方、再乘除，最后加减.如有括号，先完成括号内的运算. 练一练： 1. 计算：（1）ab b b a a b a -+-⋅+2222)( （2）11)11111(2-÷-+--m m m（3） x x x x 26191312+----- （4）xx x -+++-2121442预习疑难摘要： 二、探究活动（一）师生探究·解决问题 例1. 计算：（1）ba b b a -++22 （2） 225122--+-m m m m例2. 计算： （1）x x x x x 11)11(---- （2） )252(423--+÷--a a a a例3. 计算：22)1(1)11(-÷--+--x x x x x x x x例4. 若的值。

求21)21444(,2122++÷--+--=a a a a a a a（二）独立思考·巩固升华 1. 计算：（1）)31(96922a a a a -÷++- （2）x x x x x x x 11121222--+-÷+-三、自我测试 1. 计算:（1） 1－a －1a ÷a a a 2122+- （2）(2＋1x －1 －1x ＋1 )÷(x －21x x -)2.先化简，再求值：21),1121(1222=+---÷--x x x x x x x 其中四、应用与拓展 1.先化简：,22)1111(2-÷+--x x x x 然后从2,1，-1中选取一个你认为合适的数作为x 的值代入求值.2.化简：)2010)(2009(1)3)(2(1)2)(1(1)1(1+++⋅⋅⋅++++++++a a a a a a a a。