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可编辑修改精选全文完整版《指数函数与对数函数》本章教材分析一、本章知能对标二、本章教学规划本章在研究指数幂和对数的基础上,以研究函数概念与性质的一般方法为指导,借鉴研究幂函数的过程与方法,学习指数函数和对数函数,帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究它们的性质,理解这两类函数中蕴含的变化规律；运用函数思想和方法,探索用二分法求方程的近似解；通过建立指数函数、对数函数模型解决简单的实际问题,体会指数函数、对数函数在解决实际问题中的作用,从而进一步理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具,提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理等数学核心素养.三、本章教学目标1.指数函数:通过了解指数的拓展过程,让学生掌握指数幂的运算性质；了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.能借助描点法、信息技术画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2.对数函数:通过具体事例,让学生理解对数的概念和运算性质,掌握换底公式；了解对数函数的概念,能画对数函数的图象,了解对数函数的单调性与特殊点；知道对数函数y=log a x与指数函数y=a x互为反函数(a>0,且a≠1).3.二分法与求方程近似解:结合指数函数和对数函数的图象,让学生了解函数的零点与方程解的关系、函数零点存在定理,探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图,能借助计算工具用二分法求方程近似解,了解用二分法求方程近似解具有一般性.4.函数与数学模型:利用计算工具,比较对数函数、线性函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.四、本章教学重点难点重点:实数指数幂及其运算,对数及其运算,指数函数和对数函数的概念、图象、性质及其应用. 难点:抽象概括指数函数和对数函数的概念及性质.五、课时安排建议本章教学约需11课时,具体安排如下:六、本章教学建议1.注重引导学生按研究函数的基本思路展开研究本章教学要注重让学生再次经历研究函数的基本过程:背景—概念—图象和性质—应用.要注意引导学生通过计算分析具体实例的数据中蕴含的变化规律抽象形成相应的函数概念,利用教科书中的问题引导学生思考和总结.2.用函数的观点联系相关内容,培养学生的数学整体观本章的核心内容是指数函数和对数函数,全章都应该围绕核心内容展开教学,以更好地帮助学生形成函数观点和思想方法.指数幂的运算、对数的概念及其运算性质和公式、指数和对数的关系,是学习指数函数、对数函数必备的基础,运用这些运算性质,通过运算,解决具体的问题教学中要从整体上把握上述运算性质、函数概念、图象、性质以及应用的关系.3.加强“形”与“数”的融合,循序渐进地研究指数函数和对数函数为了能选择合适的函数类型构建数学模型,刻画现实问题的变化规律,教学时可以依据教科书,从两个方面帮助学生体会不同函数模型增长的差异:一是通过观察函数图象,利用图象直观比较指数函数与线性函数、对数函数与线性函数增长速度的差异；二是通过教科书中的实例,结合具体问题情境理解不同函数增长的差异,教学的关键是从局部到整体,从不同角度观察、比较不同函数图象增长变化的差异,从而直观体会直线的增长、指数爆炸、对数增长的含义4.加强背景和应用,发展学生数学建模素养数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.教学中,应注意参考教科书,结合这些素材,引导学生从数学的视角发现问题、提出问题,构建指数函数和对数函数模型,确定模型中的参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决问题,让学生体会数学的来源与应用,丰富学生对数学的认识,提升数学建模素养.5.注重借助信息技术工具研究指数函数和对数函数在不同函数增长差异的教学中,利用信息技术可以作出函数在两个不同范围的图象,帮助学生从不同角度观察到不同函数增长的差异.6.注意通过无理数指数幂的教学渗透极限思想教科书通过“用有理数指数幂逼近无理数指数幂”的思想方法引入无理数指数幂.教学中,可以类比初中用有理数逼近无理数,让学生充分经历从“过剩近似值”和“不足近似值”两个方向,用有理数指数幂逼近无理数指数幂的过程；通过在数轴上表示这些“过剩近似值”和“不足近似值”的对应点,发现这些点逼近一个确定的点,其对应的数就是这个无理数指数幂.这样从“数”与“形”的两个角度,加强了逼近和极限思想的渗透,有助于学生从中初步体会这一重要思想.。
人教版一年级上册数学全册单元教材分析数学游戏【教材解读】本单元是新教科书的起始单元，也是儿童进入小学后学习的第一个单元。
教科书一开始就设计了数学活动，意图先让学生在感受到数学的趣味后再进入数学学习，帮助学生实现幼小衔接，平稳过渡，提升学生对数学学习的积极性和兴趣。
结合学生的生活经验和学习需求，教科书在本单元安排了“在校园里找一找”“在操场上玩一玩”“在教室里认一认”和“在教室里玩一玩”四个游戏活动，以及“学习准备”,每个游戏活动都通过对话的形式提出了一定的数学知识目标。
如“在校园里找一找”要引导学生数校园内物体的数量，用基数和序数表达，一方面让学生熟悉自己的校园，为后面的校园生活做准备；另一方面在游戏活动中引导学生用数学的眼光观察生活，为即将到来的数学学习奠定基础。
在教师的引导下，学生在熟悉的游戏活动中有序观察、游戏运动，唤醒幼儿园的已学知识，初步感悟和体验数量及多少，学习前、后、左、右，巩固数数的方法，学会比高矮和比多少，培养学生的数感以及一一对应思想、分类思想等，让学生逐步适应小学学习，激发学习兴趣。
【学情分析】学生在幼儿园和实际生活中，已经接触过数数，会数简单的物体个数，会比较数量较少的物体的多少，会比较具体物体的高矮、大小，也知道简单的方位，如前、后、左、右，所以本单元的知识目标对于学生来说并不难，都是回顾学生在幼儿园中就已经感悟过的内容。
但是小学和幼儿园的生活要求和学习方式有很大区别，幼儿园以学生在游戏中的自主体验为主，学生参与活动比较“自由”,学生的发展不一，而小学的学习活动无论是在时间还是活动规范方面都比幼儿园要严格一些。
所以教学的难点是如何组织学生按照要求有序开展活动，并引导学生清晰地运用数量及其他简单的数学知识来表达。
【教学策略】1.一年级刚入学的孩子自我意识较强，活动组织较难，进行教室外的游戏活动时可以请其他老师协作。
2.活动时，进度放慢一点，提要求时确保每个学生都能听懂，一个教学环节到位后再进行下一个环节。
人教版小学数学精品资料一年级数学上册教材解读第一方面：教材的主要内容这一册教材共十个单元。
一、数一数（是将义务教材准备课中“数数、认数”的内容结合在一起构成的），二、比一比（是在义务教材准备课中“同样多、多些、少些”的基础上，增加了比长短、比高矮的内容构成的一个单元），（将义务教材中“10以内的数的认识和加减法”折分为两个单元）三、1～5的认识和加减法，四、认识物体和图形（是在义务教材“认识图形”一单元的基础上，增加了认识一些常见的平面图形的内容），五、分类（是在义务教材准备课中“分类”的基础上增加以不同的标准进行分类的内容构成的一个单元），六、6～10的认识和加减法。
七、11～20各数的认识，八、认识钟表，九、20以内的进位加法，十、总复习。
还安排了两个数学实践活动“数学乐园”和“我们的校园”。
这一册的重点教学内容是10以内的的加减法和20以内的进位加法。
这两部分内容和20以内的退位减法是学生学习认数和计算的开始，在日常生活中有广泛的应用。
同时，他们又是多位数计算的基础，因此，这部分内容是学生终身发展必备的基础知识和技能，必须掌握。
第二方面：各单元教学目标第一单元数一数通过数数活动，学生初步数数、读数，初步学习数数的方法。
让学生初步会按一定的顺序数数。
让学生初步知道用数表示自己身边的一些数学问题。
这一单元数数练习为今后学习100以内数的认识和多位数打下基础。
第二单元比一比通过操作，初步感知“同样多”和“多”“少”的含义。
运用学生已有的知识经验，通过操作、观察、初步感知"长短"、"高矮"的含义。
会比较两个事物的多少、长短、高矮。
会用自已的语言描述两个事物之间的多少，长短，高矮。
会用一一对应的方法比较两个事物之间的多少。
明确"多少"、"长短"、"高矮"是相对的，而不是绝对的，发展学生辨证思维的能力。
一年级数学上册教材解说一、教材内容。
本册教材共有9个单元：第一单元准备课、第二单元位置、第三单元1-5的认识和加减法、第四单元认识图形（一）、第五单元6-10的认识和加减法、第六单元11-20各数的认识、第七单元认识钟表、第八单元20以内的进位加法、第9单元总复习。
分别安排在三个板块中。
数与代数中有准备课，1-5的认识和加减法，6-10的认识和加减法，11-20各数的认识，认识钟表，20以内的进位加法。
一共六个单元。
要求：教学生写数字、初步建立“20以内数”的数感，培养符号意识，体会加减法的意义；能熟练地口算20以内的加减法；能运用数及数的运算解决生活中的简单问题。
能认识整时钟。
这一册的重点是10以内的加减法和20以内的进位加法，这两部分内容和下册20以内的退位减法是学生学习认数和计算的开始，也是多位数计算的基础。
图形与几何中有位置和认识图形2个单元。
要求：能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体，能对简单几何体进行分类；会用上、下、左、右、前、后描述物体的相对位置。
第四单元认识图形是学生学习“图形与几何”的开始，本单元内容主要是立体图形的认识，为一年级下册认识平面图形及高年级“图形与几何”方面的内容奠定了基础。
综合与实践中包括数学乐园和总复习2个单元。
要求：通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程，获得初步的数学活动经验。
在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办法。
经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容。
二、教材编排特点。
（一）素材丰富，更具感性。
（1）海量情景图。
如：我们的校园，小猪小兔盖房子、农家乐、野生动物园、拔河比赛……这些富有儿童情趣的美丽画面，深深吸引着学生的眼球。
里面包含的奇妙知识，更激发了学生主动探究的欲望。
（2）紧贴于生活。
一年级学生所感知的生活较窄，只有他们身边熟悉的、有趣的实物中选取学习素材，才易于他们理解相关的数学知识。
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------人教版高中必修1教材分析集合与函数概念一、教材分析集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学的一些内容．本章中只将集合作为一种语言来学习，学生将学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，发展运用数学语言进行交流的能力．函数的学习促使学生的数学思维方式发生了重大的转变：思维从静止走向了运动、从运算转向了关系．函数是高中数学的核心内容，是高中数学课程的一个基本主线，有了这条主线就可以把数学知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些．函数与不等式、数列、导数、立体、解析、算法、概率、选修中的很多专题内容有着密切的联系．用函数的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点．反过来，通过这些内容的学习，加深了对函数思想的认识．函数的思想方法贯穿于高中数学课程的始终．高中数学课程中，函数有许多下位知识，如必修 1 第二章的幂、指、对函数数，在必修四将学习三角函数．函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．二、重难点分析重点：掌握知识之间的联系，洞悉问题的考察点，能选择合适的知识与方法解决问题．难点：含参问题的讨论，函数性质之间的关系．三、典型问题分析例 1：设集合（1）若，求实数的值；（2）若，求的值；（3）1 / 21若，求的值．教师点评，同时板书． (1)答案：或; (2)答案：或; (3)答案：．由学生分析问题的考察点，包括知识与数学思想．（预设有以下几个方面）从知识点来分析，这是集合问题．考察点主要为集合的表示方法、集合中元素的特性、集合间的基本关系、集合的运算等．学生在解第 1 个问时，可能漏掉特殊情况．第2、 3 问可能会遇到一定的障碍，可以给学生时间进行充分的思考．设计意图：让学生体会到分析考察点的好处，养成解题之前分析考察点的习惯．能顺利的找到问题的突破口，为后续的解答扫清障碍．通过一题多问、一题多解、多题归一，让学生主动的形成发散思维，主动应用转化与化归的思想．例 2：已知函数是定义在 R 上的奇函数，当时，，求函数的解析式．变式：函数是偶函数法一：本题即求，函数的解析式，可先利用函数的奇偶性绘制函数的图象，把本题转化为二次函数的图象与解析式的问题．法二：本法更具有一般性，已知时，函数的解析式，要分析时的函数对应关系，即当一个数小于零时，函数值应当怎样计算．由于函数具有奇偶性，即一个数与它的相反数的函数值之间有关系，，所以可以研究的函数值．设计意图：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 学生在思考的过程中，体会数形结合思想．函数的奇偶性与函数的图象的关系，可以根据奇偶性绘制函数图象，也可以通过函数的图象分析函数的奇偶性，两者是相辅相承的．体会转化与化归的思想，把要研究的转化为已知的．考察函数的单调性的证明，函数的奇偶性与单调性之间的关系，体会知识的纵向联系．体会转化与化归的思想、特殊与一般的数学思想，让学生体会到问题后面隐含的本质．例 3：已知是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数，并证明你的判断．变式 1：函数为奇函数变式 2：你能分析奇函数(偶函数) 在对称区间上的单调性的关系吗?试从数形两个方面来分析．法一：通过函数的图象分析．法二：把要研究的范围转化为已知的范围．设计意图：明确函数的性质是一个有机的整体，不是一个个知识点的简单罗列．同时体会知识的纵向联系与横向联系，在第二个方法中进一步感受转化与的思想．通过两个变式的研究过程，学生体会研究探索性问题的一般思路，即通过特殊情况分析结果，再对结果的正确性进行证明．例 4：求在区间上的最大值和最小值．变式：在区间上的最大值是 1，求的值．分析：3 / 21时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是;时，最大值是，最小值是．变式答案：或．设计意图：通过几何画板的动态性，给学生直观的感知，从而建立最近发展区，进而突破难点．通过对二次函数的研究，学生巩固了上位知识函数的图象与性质，充分体会数形结合的优势．学生在解答变式的过程中，体会逆向思维与正向思维的关系，体会函数与方程思想，感受到动静结合．第 2 章函数概念与基本初等函数Ⅰ 教材分析一、目标定位：1．函数是通过建立数学模型来刻画与研究世界的典范，也是学习数学和研究数学的范例．学习函数概念与基本初等函数 I（下面简称函数）这一章，从观念上认识函数，它是语言、工具、应用．它挑起了万水千山（整个高中数学），贯通了数学世界，迎接着广泛地实际问题．认识函数，就是认识它是解决许多实际问题的基本模型；认识函数，在于研究它的性质；认识函数，应明了它的根本价值在于应用，并揭示了它的生长性即如许许多多对数据都统一于一个函数式． 2．本章具体的教学目标是：（1）进一步体会感受数学学习的过程，在获得知识内容的同时，初步学会怎样研究数学和学习数学，对数学是怎样产生的？，怎样学习和研究数学？以及数学有什么作用？等问题有切深的感悟和体会．（2）了解函数概念产生的背景，学习和掌握函数的概念和性质，能借助函数的知识表述、刻画事物的变化规---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 律．（3）理解有理指数幂的意义，掌握有理指数幂的运算性质；掌握指数函数的概念、图象和性质；理解对数的概念和意义，掌握对数的运算性质；掌握对数函数的概念、图象和性质；了解幂函数的概念和性质．知道指数函数、对数函数、幂函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．（4）了解函数与方程之间的关系，会利用二分法求一些简单方程的近似解；了解函数模型及其意义，能准确、清晰、有条理地表述问题，会利用函数知识分析问题、解决问题，使学生明白函数与方程是研究事物变化的重要工具．（5）通过函数一章的学习，理解函数模型在刻画研究自然界变量间关系的作用．进而学会用变量的眼光、函数的观点去观察世界、分析问题和解决问题．培养学生的理性思维能力、辩证思维能力、分析问题和解决问题的能力、创新意识与探究能力、数学建模能力以及数学交流能力．（6）通过媒体技术的运用，体会媒体技术是认识世界和学习研究的有效手段和工具．提高学生的动手能力和合作意识．（7）感受数学的文化价值，体会数学美．培养学生利用运动变化的观点观察事物，进一步树立科学的人生观、价值观和辩证唯物主义世界观．二、重难点分析 1．熟练地进行指数式与根式的互化，对含有指数式(或根式)的乘除运算要善于利用幂的运算法则，注意表达式中出现的数量之间的关系，利用分数指数幂进行根式运算的顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据幂的运算性质进行运算． 2．应用指数函数 y＝ax的图象和性质时，若底数5 / 21含有字母，要特别注意 a1 还是 0a1. 3．比较大小问题：先判断幂与 1 的大小，然后分类比较．同底数的幂用指数函数单调性比较；同指数的幂用幂函数的单调性比较，也可以利用图象比较大小． 4．准确地掌握对数的运算法则是正确进行对数运算的前提，利用对数运算可以把乘、除、乘方、开方运算转化为对数的加、减、乘、除运算，从而显示了对数计算的优越性． 5．一般当给出的等式是指数形式时，通常对等式两边取对数，这是一种常用的解题技巧． 6．应用换底公式时，应注意选择恰当的底，既要善于正用，还要注意它的逆用． 7．比较对数大小时，应先区分各对数值是正还是负，再区分是大于 1 的数还是小于 1的正数，然后分类比较．同底数的对数大小比较，利用对数函数单调性；不同底数同真数的对数大小比较可取倒数，化为同底数比较，亦可使用图象；真数、底数都不同的对数比较大小要借助中介值或图象比较大小. 三、典型例题分析一、比较大小的方法比较几个数的大小是幂、指数、对数函数的又一重要应用，常用的方法有：单调性法、搭桥法、图象法、特殊值法、作差法、作商法等．例 1 比较三个数 0.32， log20.3,20.3的大小. 分析根据三个数式的特点，选择 y＝ x2， y＝ log2x， y＝ 2x三个函数的图象和性质加以比较．解方法一∵ 0.3212=1，log20.3log21=0,20.320=1， log20.30.3220.3. 方法二作出函数图象如图所示，由图象即可看出 log20.30.3220.3. 点评比较幂函---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数、指数函数、对数函数型的数值间的大小关系时要注意：(1)若指数相同，底数不同，则利用幂函数的单调性； (2)若底数相同，指数不同，则利用指数函数的单调性； (3)若底数不同，指数也不同，以及一些对数函数型数值等，应寻找媒介数(常用0,1)进行比较；(4)作差比较和作商比较是常用技巧．二、换元法的应用研究函数除了几种基本初等函数外，还要研究由它们进行复合而形成的复合函数的性质，这些函数性质在研究时，常用换元的思路，使问题转化为已知的问题．例 2 f(x)＝9x＋12－3x＋a， x [1,2]的最大值为 5，求其最小值．解 f(x)＝ 32x＋ 1－ 3x＋ a. 设 3x＝ t，则 t[3,9]． f(x)＝ g(t)＝ 3t2－ t＋ a ＝＝g(9)＝ 392－ 9＋ a＝ 5， a＝－ 229， f(x)min＝ g(3)＝ 24＋ a＝－ 205. 点评利用换元法求值域必须先求出新元的取值范围作为新函数的定义域．t－12＋a－112，t[3,9]．三、数形结合思想的应用数学的本质是数与形的统一，数形结合的思想始终是数学研究中最重要的思想方法之一．研究和应用指数函数、对数函数的性质，图象是个有力的工具；并且，由于这两类函数的图象都比较单一，也容易画出，因此，利用它们的图象来进行比较大小，讨论方程根的情况等题目比较普遍．例 3 方程 aA． 0 B． 1 C． 2 D． 3 答案 B 解析本例可用数形结合法画出 y＝ a分 a1 与 0a17 / 21两种情况讨论．－x＝logax (a0 且 a1)的实数解的个数为( ) －x与 y＝ logax 的图象，观察交点个数，要注意对 a 当 a1 时，在同一坐标系中画出 y1＝ logax 的图象和 y2＝ a两函数图象只有一个交点；同理，当 0a1 时，由图象(2)知，两图象也只有一个交点．因此，不论何种情况，方程只有一个实数解．－ x的图象如图(1)，由图象知四、分类讨论思想的应用指数函数与对数函数的性质渗透了分类讨论的数学思想方法．由于指数函数 y＝ ax，对数函数 y＝ logax(a0， a1)的性质都与 a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的性质也随之改变；因此，在 a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．例4 若－1loga 231，求 a 的取值范围. 解－ 1loga 231，即 loga131＝ loga a. (1)当 a1 时，有 loga 23为增函数，3a. a32. (2)当 0a1 时，有 loga 23为减函数，3a. a23. a 的取值范围是点评解含参数的不等式或方程时常常要对参数进行讨论，讨论是自然产生的，不要为了讨论而讨论．还需明确的就是分类的目的是什么，分类之后就等于将整个一个大问题划分为若干个小问题，每个小问题可以解决了，整个大问题也就解决了 . a＝－ 1loga21a22，结合a1，故a31a23，结合0a1，故一、选择题 1．已知集合 A＝{y|y＝logax， x0， a0 且 a1}， B＝( ) A． {x|x－1} B． {x|x－1} C． {x|x0} D． {x|x0} 答案 B 解析∵A＝ R，B＝ (－，－ 1]，， A B＝ B＝ (－，－ 1]． 2．设---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ab1,0x1，则有( ) A．xaxb B．bxax C ．logaxlogbx D． logxalogxb 答案＝12x， y2 ，则 A B 等于解析画图象可知． 3．若 logm2logn20，则实数 m、 n 的大小关系是( ) A． 1nm B． 0nm1 C． 1mn D． 0mn1 答案 B 解析画图象可知． 4．函数 y＝(|x|)12的图象可能是下列四个图中的( ) 答案 D 解析由 y＝ (|x|)12知函数为偶函数，且 0x1 时， yx. 5．函数 y＝2＋log2x (x1)的值域为( ) A． (2，＋) B． (－， 2) C． [2，＋) D． [3，＋) 答案 C 解析 x1 时， log2 x0，y2. 二、填空题答案3, 6．设f(x)＝，则满足 f(x)＝41的 x 值为________．解析∵f(x)＝41，当 3－ x＝41时， x＝ log3 4(－， 1]， ,log81 x＝41，即 x＝4181 ＝ ( )4143＝ 3(1，＋ )， ,综上可知，满足 f(x)＝41的 x 的值是 3. 7.1 . 0lg10lg5lg2lg125lg8lg+＝________., 答案－4, 解析原式＝() 1215lg2lg5lg32lg3+＝()215lg2lg2+＝212＝－ 4. 8.已知 a1,0x1 且 alogb(1－x)1，那么 b 的取值范围是______________．答案(0,1), 解析∵alogb(1－x)a0，且a1.,logb(1－x)0.,又∵0x1，01－x1.0b1., 三、解答题, 9.证明 f(x)＝证明∵函数 f(x)的定义域为(－，＋ )，设 x1， x2为区间(－，＋ )上任意两个值，且x1x2， xx+12在其定义域内是减函数则 f(x2)－ f(x1)＝112122++xx－ (x2－ x1),＝1122212122+++xxxx－ (x2－ x1) ＝9 / 21(x2－x1) 1111222122212122+++++xxxxxx ∵x2x1， x2－ x10，且112221+++xx0., 又∵对任意 xR，都有xxxx22+=+||122， x－12+x0，x1－121 +x0，x2－1x0，,f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)． ,所以，函数 f(x)＝10.若 f(x)＝1＋logx 3， g(x)＝2logx 2，试比较 f(x)与 g(x)的大小． xx+12在其定义域 R 内单调递减． , 解 f(x)－ g(x)＝ logx 3x－ logx 4＝ logx 44时，f(x)＝ g(x)； ,当 1x34时， logx 43． ,当 0x1 时， logx 44时，logx 43x0， f(x)g(x)；当 x＝33x0， f(x)g(x)．当 x33x0，f(x)g(x)．综上所述，当 x(0,1)（34，＋ ))时， f(x)g(x)； ,当 x＝34时， f(x)＝ g(x)； ,当 x（ 1，34)时， f(x)g(x)．第三章函数的应用一、基本内容串讲本章主干知识是：零点与方程根，用二分法求方程的近似解，函数的模型及其应用 1．函数与方程（1）方程的根与函数的零点：如果函数)(xfy =在区间 [a , b] 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有0)()(bfaf，那么，函数)(xfy =在区间 (a , b) 内有零点，即存在),(bac，使得0)(=cf，这个 c 也就是方程0)(=xf的根。
高一数学人教版讲解一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计针对的是高一数学人教版的教学内容，涵盖高中一年级数学的基础知识与核心概念，旨在通过系统性的讲解，使学生深入理解数学的基本原理，掌握数学问题的解题方法，提高逻辑思维能力和数学应用能力。
教学内容包括但不限于：集合与函数、不等式、数列、三角函数、平面向量、解析几何等。
2、教学对象本教学设计的对象为高中一年级学生，他们已经完成了初中的数学学习，具备一定的数学基础和逻辑思维能力。
然而，面对高中数学的深度和广度，部分学生可能会感到困惑和挫败。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习差异，充分调动他们的学习积极性，引导他们逐步适应高中数学的学习节奏，提升他们的数学素养。
此外，还需关注学生的兴趣培养，激发他们对数学学科的热情，使他们能够在主动探索中不断进步。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握高一数学人教版教材中的基本概念、性质、定理和公式，如集合的运算、函数的定义域与值域、不等式的性质、数列的求和公式、三角函数的图像与性质、平面向量的基本运算、解析几何中直线与圆的位置关系等。
（2）培养运用数学知识解决实际问题的能力，包括对现实生活中的数学模型进行识别、分析和解决，以及将数学知识应用于其他学科的学习中。
（3）掌握数学解题技巧，如构造法、代入法、排除法、图像法等，并能灵活运用到具体的数学问题中，提高解题效率。
（4）通过数学知识的学习，培养学生的逻辑思维、抽象思维和创新能力，使他们在面对复杂问题时，能够运用所学的数学知识进行分析和解决。
2、过程与方法（1）通过启发式教学，引导学生主动探究、发现数学规律，提高学生的自主学习能力。
（2）采用问题驱动的教学方法，鼓励学生提问、质疑，培养学生的批判性思维和问题解决能力。
（3）设计多样化的教学活动，如小组讨论、数学竞赛、数学建模等，让学生在实践中学习，提高数学应用能力。
（4）注重数学思想方法的渗透，如分类讨论、转化化归、数形结合等，帮助学生形成系统的数学思维体系。
《准备课》教材解析一、教材介绍本单元蕴涵的思想品德的因素很多，教师可以适时地加以渗透。
如在观察、讲解“美丽的校园"时，可以将图中小朋友的状态与小学生守则中的相关内容结合起来；在“小猪帮小兔盖新房"的童话故事中，可以渗透团结互助、乐于助人的教育。
1. 观察“美丽的校园"图，经历从整体到局部再到整体观察的完整过程，培养学生有序观察的良好习惯。
2. 在观察中思考人和物的数量，使学生感受生活中关于数量的表达方式，初步感受数学语言和数学的表达方式，培养学生的“数感"和“符号意识"。
在小学低段，儿童对数的感悟是从数数辨认各组实物对象的多少开始建立的，这是一个逐渐展开的过程。
儿童对多少的感悟离不开具体的情境，这样就需要经历一个察觉实物集合中所包含的物体数量多少的过程，即用自然数表示多少。
3. 培养学生认真倾听的能力，初步培养小学生的行为规范。
二、课标解读《准备课》是小学生步入学校大门的第一节数学课，对他们来说神秘的、充满挑战的。
在数学课上要学些什么呢？是学生最好奇的一个问题。
《课程标准》在第一学段知识技能中提出"经历从日常生活中抽象出数的过程"。
“对身边与数学有关的事物有好奇心，能参与数学活动"“在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难”''了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系” "能倾听别人的意见，尝试对别人的想法提出建议，知道应该尊重客观事实”。
《课程标准》对第一学段有关“数”的学习要求可以概括为：对“数数”有初步的感觉。
入学前，学生能从1数到10,大部分学生能——对应进行点数，但是物体的数量和数的结果没有真正对接起来，因此会出现数不对的现象。
由于学生年龄的缘故，有效注意的时间比较短，教学中要有效地利用学生的注意时间，培养学生听、说、思和做的习惯十分重要。
一年级的小学生有很大的好奇心，与生俱来的天性是他们学习的动力，在教学中，教师要利用学生的好奇心，将学生生活中熟悉的、关注的事件引进教学，成为教学资源，使学生学习起来有兴趣，感受数学学习有意思的事。
第一章高一数学（上）第一章集合与简易逻辑 本章内容概述【考纲要求】（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意义；了解属于、包含、相等关系的意义；掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义；理解四种命题及其相关关系；掌握充要条件的意义. （3）掌握二次不等式、简单的绝对值不等式的解法. 【考点剖析】“集合与简易逻辑”是高中数学的起始单元，也是整个中学数学的基础.它的基础性体现在两个方面：首先，集合的思想、集合的语言和集合的符号在高中数学的很多章节如函数、数列、轨迹、方程和不等式、立体几何、解析几何中都被广泛地使用；其次，数学离不开变换（等价的或不等价的）和推理，而变换与推理又离不开四种命题、充要条件、逻辑联结词等逻辑概念，因为它们是全面理解概念、正确推理运算、准确表述判断的重要工具.集合与逻辑不仅是中学数学的基础，也是支撑现代数学大厦的柱石之一.高等数学的许多分支如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑学等都建立在集合与逻辑的理论基础之上.本单元的知识点在集合与逻辑的理论中都是最基本的，但其中蕴含的数学思想都很丰富，如集合的思想、函数的思想、转化的思想、分类讨论的思想、数形结合的思想等.总之，集合与简易逻辑是高考中考查基础、考查能力与考查进一步学习的潜力的很好的命题材料. 【知识结构图】§1.1集合 预备知识 初中数学基础知识实数分类课本知识导学运用课本知识诠解 重要提示１.集合的相关概念某些指定的对象集在一起就成为一个集合，集合中的每个对象叫做这个集合的元素.２.元素与集合的关系集合的元素常用小写的拉丁字母表示，而集合常用大写的拉丁字母表示.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合Ａ，记作a ∈Ａ；如果a 不是集合Ａ的元素，就说a 不属于集合Ａ，记作aＡ（或aＡ）.可见，集合中的元素与集合间是从属关系.给出一个集合A 和一个元素a ，a 要么是Ａ的元素，要么不是A 的元素，二者必居其一.３.集合的分类按集合元素的个数，集合可分为有限集、无限集和空集.有理数 无理数分数 无理数含有有限个元素的集合叫有限集；含有无限个元素的集合叫无限集；不含任何元素的集合叫空集，空集用符号表示.４.集合的表示方法集合的表示方法，常用的有列举法和描述法.重要提示1.集合是现代数学中不加定义的基本概念，它的基本思想已渗透到现代数学的所有领域．集合中的元素可以是人、物、数点、式子、图形等．2.列举法的优点是可以明确集合中具体的元素及元素的个数.列举法常用来表示有限集或有特殊规律的无限集.其中表示有特殊规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才能用删节号.3.｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝有时也可写成｛x∈Ａ：Ｐ（x）｝或｛x∈Ａ；Ｐ（x）｝.4.图示法的使用对象具(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内，这样的表示方法叫列举法.其特点是：①元素一般是有限个；②元素不重复，不遗漏，不计顺序地列举出来；③元素间用“，”隔开.(2)描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.一般格式为｛x∈Ａ|Ｐ（x）｝，其中，x是集合的代表元素，Ａ是x的取值范围，Ｐ（x）是确定x应满足的条件.｛x∈A|Ｐ（x）｝即表示使命题Ｐ（x）为真的A中诸元素之集.例如，｛x∈R|x≤5｝，若从前后关系来看，集合Ａ已很明确，则可使用｛x|Ｐ（x）｝来表示，例如｛x|x≤5｝.为了形象地表示集合，常常画一条封闭的曲线,用它的内部表示一个集合，这种方法叫图示法(也称韦恩图法).5.常用的数集及其记法全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集)，记作N，非负整数集内排除0的集，也称正整数集，表示成N*或N+.全体整数的集合通常简称整数集，记作Z；全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q；全体实数的集合通常简称实数集,记作R.基础例题点拨【例题1】下列各题中,分别指出了一个集合的所有元素，用适当的方法把这个集合表示出来，然后指出它是有限集还是无限集：(1)组成中国国旗图案的颜色；(2)世界上最高的山峰；(3)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)组成的一切自然数；(4)平面内到一个定点O的距离等于定长l(l＞0)的所有的点P.【解析】(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；有一定的局限性,但在处理有关抽象集合问题时,却有着独特作用.（1）自然数集与非负整数集是相同的,即自然数集包括数0；（2）Q、Z、R中排除0的集分别可表示为Q*、Z*、R*.随笔：一拖二拖1用适当方法表示下列集合,并指出它们是有限集还是无限集.(1)不超过10的非负偶数的集合.答案:｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)大于10的所有自然数组成的集合.答案:｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)方程x２-4=0的解集.答案:｛-2,2｝,有限集;(4)方程(x-1)２(x-2)=0的解集.答案:｛1,2｝,有限集.(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213,231，312，321｝，有限集；(4)｛p|PO=l｝（Ｏ是定点,l是定长），无限集.(2)｛x∈N|x＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集.【思路点拨】对于有限集并且集合中的元素比较少时，一般采用列举法表示，并且不必考虑元素之间的顺序；对于有限集中元素比较多，以及无限集，通常采用描述法表示.【例题2】把下列集合用另一种方法表示出来： (1)｛1，5｝；(2)｛x|x 2+x-1=0｝；(3)｛2，4，6，8｝；(4)｛x ∈N|3＜x ＜7｝. 【解析】(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---251,251；(3)｛x|x 是大于1，且小于9的偶数｝； (4)｛4，5，6｝【思路点拨】描述法表示集合的格式是｛x ∈A|Ｐ（x ）｝.因而(2)、(4)是描述法，(1)、(3)是列举法.列举法和描述法是表示集合的两种不同方式，它们可以互相“转化”.重难点突破重点·难点·易混点·易错点·方法技巧 重难点1.重点：集合的基本概念与表示方法，以及集合元素的三个性质的重要应用.正确表示集合是为了更好地学习后面的知识，解题过程中一定要注意满足集合的互异性.2.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法和描述法，正确表示一些简单的集合.集合的元素类型多是以数、点、图形或集合等形式出现.对于已知的集合，必须知道集合元素的形式.如集合｛y|y=x2+1｝表示函数的所有函数值即｛y|y ≥1｝；集合｛x|y=x2+1｝表示函数 拖2把下列集合用另一种方法表示出来. (1)｛-1,0,1,2｝；答案:｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2) ｛x ∈Z|16-x ∈N ｝； 答案: 由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3)｛x|(x+1)x-32(x2-2)(x2+1)=0,x ∈Q ｝答案: {-1, 32}.拖3指出下列集合的异同点． Ａ=｛x|y=x2-1｝ B=｛y|y=x2-1｝ C=｛(x,y)|y=x2-1｝答案: A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合.的所有自变量的取值即｛x|x ∈R ｝，它们都是数集；集合｛(x ，y)|y=x 2+1｝表示抛物线y=x 2+1上的所有点，是点集.易混易错点 1. 易混点(1)数集与点集的区别用描述法表示数的集合时，其一般格式为｛x|Ｐ（x ）｝，即竖线“|”的前面是一个字母；而用描述法表示点集的一般格式为｛(x ，y)|Ｐ(x ，y)｝，即“竖线|”的前面是一对有序实数.(2)元素与集合的区别对于任一个字母a ，没有将其写在大括号内或写在封闭的曲线内，则a 表示元素,而｛a ｝表示含有一个元素a 的集合.(3)｛a ，b ｝与｛(a ，b)｝的区别｛a ，b ｝表示双元素集，即含有两个元素a 和b ，而｛（a ，b ）｝表示单元素集，即点集. (4)0与｛0｝、0与、与｛｝的区别0表示一个元素0，｛｝表示含有一个元素0的单元素集,表示空集(不含任何元素的集合)，{}表示含有一个元素的单元素集.2.易错点(1)忽视集合元素的确定性集合元素有三大特征：（1）确定性：对于一个给定的集合，元素或者属于这个集合，或者不属于这个集合，二者只能选其一.同时，一个给定的集合，它的元素所表示的意义是明确的，不能模棱两可.如“漂亮的花”就不能构成一个集合，因为“漂亮的花”没有明确的客观标准，也就难以判断某些对象是否属于这个范畴；（2）互异性：一个集合里的任何两个元素是不相同的，相同的元素在集合中只能算一个元素，如｛x|x 2-2x+1=0｝用列举法只能表示为｛1｝，而不能写成｛1，1｝；（3）无序性：用列举法表示集合时，其元素的排列是不讲次序的，如集合｛1，2，3｝与｛2，1，3｝及｛3，1，2｝均表示同一个集合.随笔： 拖4下列集合表示空集的有( )个 (1)｛y|y 2+1=0｝ (2)｛(x,y)|x 2+y 2=1｝ (3)｛x|ax 2+x+1=0｝ (4)｛x ∈Q|(x 2-3)(x4-16)=0｝ A.1B.2C.3D.4答案: A,只有(1)是空集.【例题3】下列所给对象不能构成集合的是( ) A .平面内的所有点B .平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的所有点C .平方小于1的实数D .高一年级个子高的同学【错解】本题容易错选A.因为不知道是指哪个平面.【易错分析】判断所给对象是否构成集合，其理论依据是集合元素所具有的三大特性：确定性、互异性、无序性.本题选项D.中的对象含糊不清，所谓“个子高”没有明确的客观标准. 【正解】根据集合元素的确定性知选D.(2)忽视集合元素的互异性【例题4】若-3∈｛x-3，2x-1，x2-4｝，求实数x 的值.【错解】依题意有-3=x-3，-3=2x-1或-3=x 2-4,解得x=0，x=-1或x=±1，∴x 的取值为0，-1，1. 【易错分析】利用确定性解出所有的可能值，再要进行检验看是否满足互异性.【正解】依题意有-3=x-3或-3=2x-1或-3=x ２-4,解得x=0，-1，1，经检验当x=-1时，2x-1=-3=x 2-4,不符合集合元素的互异性，故舍去，∴x=0或1.(3)不能正确表示集合,两种表示方法混淆使用【例题5】可以表示方程组 的解集的是( )A.｛x=1，y=2｝B.｛1，2｝C.｛(1，2)｝D.｛(x ，y)|x=1，y=2｝E.｛(x ，y)|x=1且y=2｝ 拖5给出下列５种说法： (1)著名科学家组成一个集合; (2)1,32, 46,|21 |,0.5这些数组成的集合有5个元素; 答案: 中集合只有3个元素,((3)｛0｝是空集;答案: 是含有一个元素0的集合.(4)数轴上离原点很近的点可组成一个集合;(5)集合｛x|x=2k-1,k ∈Z ｝与集合｛y|y=2s+1,s ∈Z ｝表示的是同一集合,其中正确的说法的序号是. 拖6求实数集｛１，a,a 2-a ｝中a 的数值．x+y=3x-y=-1答案: 依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a?a 1a -a?1a 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.拖7如图1-1-1(1)和(2)分别给出了集合A 、B,试用除图示法以外的方法给出集合A 、B.答案:图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝.图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. F.(x ，y)|⎭⎬⎫⎩⎨⎧==21y x G.｛(x ，y)|(x-1)2+(y-2)2=0｝ 【错解】答案出现A 、B 或D. 【易错分析】方程组的解⎩⎨⎧==21y x 是一个点，因而解集是一个点集，应注意选项的等价性.【正解】应选C 、E 、F 、G.【思路点拨】C 表示的是列举法，F 表示的是描述法，而E 、G 与F 等价.对于D 中的元素有无数个点，表示常函数x=1及常函数y=2两条直线上的所有点.方法技巧1.正确选用集合的表示法集合有三种不同的表示方法，在使用中各有利弊.列举法使人对集合中的元素及其属性一目了然，但有时较繁，对无限集无法使用，有局限性；描述法虽然简捷明了应用范围广，但对其中元素属性的认识还得借助自己的理解，往往容易出错；图示法形象直观，也具有一定的局限性.【例题6】试用适当方法表示下列集合： (1)数轴上与原点的距离小于1的所有点；(2)平面直角坐标系中第二象限角平分线上的所有点； (3)所有非零偶数；(4)所有被3除余数是２的数.【解析】(1)｛x||x|＜1＝；(2)｛(x ，y)|y=-x ，x ＜0＝； (3)｛x|x=2k ，k ∈Z ，k ≠0｝或{x|2x∈Z ，且x ≠0}； (4)｛x|x=3k+2,k ∈Z ｝或｛x|x=3k-1,k ∈Z ｝.【思路点拨】数轴上的点表示的也是数，因而是数集．描述法表示集合有三种语言形式：文字语言、符号语言和图形语言．因而（３）也可表示为｛所有非零偶数｝，这是描述法的文字语言．当用符号不易表示集合元素的公共属性时，可用文字语言描述集合．图1-1-1随笔：拖8已知集合Ａ＝｛小于６的正整数｝，Ｂ＝｛小于１０的质数｝，Ｃ＝｛２４和３６的正公约数｝，用列举法表示集合： （１）Ｍ＝｛x|x ∈A 且x ∈C ｝答案: A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.（２）N=｛x|x ∈B 且x C ｝随笔：２．根据“元素在集合中”解题【例题7】已知集合Ａ＝｛－１，２，３，a 2+2a-3,|a+1|｝,其中a ∈Ｒ，（１）若５是Ａ中的一个元素，求a 的值；（２）是否存在实数a ，使得Ａ中的最大元素是１２？若存在，求出对应的a 值；若不存在，试说明理由．【解析】（１）若a 2+2a-3＝５，则a 2+2a-８＝０，∴a=2或a=-4；但此时都有|a+1|=3,与集合中元素的互异性相矛盾，∴a ≠2且a ≠-４； 若|a+1|=5,则a=-6或a=4，此时a 2+2a-3=21,符合题意，故所求a 的值为－６或４．（２）若存在这样的实数a,则a 2+2a-3=１２，且|a+1|＜１２或|a+1|＝１２，且a 2+2a-3＜１２，由于|a+1|＝１２时，a 2+2a-3＝（a+1）2-4=140，∴后一种情况不存在，由第一种情况解得a=3或a=-5，即这样的a 值存在，且a=3或a=-5．【思路点拨】利用“元素在集合中”这一概念来确定某些待定系数时，一要进行相应的分类讨论，二要对所求结果进行必要的检验．这是由集合中元素的“三性”所决定的，若一旦忽视，将出现错误．名题活题创新探究 例题分析解答【例题8】已知集合Ａ＝｛x|ax 2+2x+1=0,x ∈R ｝，其中a ∈R. （１）若１是Ａ中的一个元素，用列举法表示Ａ； （２）若Ａ中有且仅有一个元素，求a 的值组成的集合Ｂ； （３）若Ａ中至多有一个元素，试求a 的取值范围．【分析】集合Ａ表示的是方程ax 2+2x+1=0在实数范围内的解集，问题由此转化为方程的有解，求解讨论问题． 拖9已知集合Ａ＝{x|x2+px+q=x},集合Ｂ＝{x|（x －１）2+p （x-1）+q=x+3}，当Ａ＝｛２｝时，求集合Ｂ．答案: ∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4.∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝.随笔：拖10已知集合Ａ＝｛x|ax+b=1｝,B=｛x|ax-b ＞４｝，其中a ≠0,若Ａ中的元素必为Ｂ中的元素，求实数b 的取值范围．答案: ∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 随笔：【解析】（１）∵１是Ａ的元素，∴1是方程ax 2+2x+1=0的一个根，∴a ·12+2·1+1=0，即a=-3，故方程为－３x 2+2x+1=0，∴x １=1，x ２=-31，此时集合Ａ＝｛-31，１｝； （２）若a=0，方程化为2x+1=0，此时有且仅有一个根x=-21; 若a ≠0，则当且仅当方程的判别式Δ＝４－４a=0，即a=1时，方程有两个相等的实根x １=x ２=-1，此时集合Ａ有且仅有一个元素，由可知Ｂ＝｛０，１｝.（３）集合Ａ中至多有一个元素包括两种情况： Ａ中有且只有一个元素，由(2)知a=0或a=1； Ａ中一个元素也没有，即Ａ＝，此时a ≠0且Δ＝４－４a ＜0,∴a ＞1,由此可知a 的取值范围是：｛a|a ≥1或a=0｝.知识链接集合论起源于康托尔，是从最简单的概念出发，利用纯粹的推理而建立起来的重要数学分支.具有某种属性的事物的全体称为“集合”，组成集合的每个事物称为该集合的元素，研究集合的运算及其性质的数学分支称为“集合论”.康托尔：(1845～1918)德国数学家，集合论创始人，函数三角级数表示惟一性的研究引发他对无穷点集的探索，于1872年提出以柯西序列定义无理数的实数理论，1874年提出集合概念，证明有理数集可列而实数集不可列；1878年建立势(基数)概念，提出连续统假设，指明无穷集自身与真子集间有一一对应.能力达标检测1.下列条件所指的对象能构成集合的是( )Ａ.与2接近的数Ｂ.著名的足球运动员C.大于２而小于３的有理数Ｄ.旦夕祸福与不测风云答案: C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.２.对于关系①３2｛x|x ≤17｝,②3∈Ｑ，③0∈Ｎ，④0∈，⑤｛π｝与｛3.1415926｝表示同一集合,其中正确的个数是( )个.随笔： A.4B.3C.2D.1答案: C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.集合A=｛x ∈R|x 2+x+1=0｝,B=｛x ∈N|x(x 2+6x+10)=0｝,C=｛绝对值小于2的质数｝,D=｛(x,y)|y 2=-x ２,x ∈R,y ∈R ｝其中是空集的有( )个.A.1B.2C.3D.4答案: B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.下列表示同一个集合的是( ).A.M=｛(1，2)｝，N=｛(2，1)｝B.M=｛1，2｝，N=｛2，1｝C.M=｛y|y=x-1,x ∈R ｝,N=｛y|y=x-1,x ∈N ｝D.M=(x ，y)21--x y =1，N=｛(x ，y)|y-1=x-2｝ 答案: B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.设三角形三边长分别为a ，b ，c ，若它们能构成集合A=｛a ，b ，c ｝，则此三角形一定不是( ). A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案: D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.由实数x ，-x ，|x|，2x ，33x -所组成的集合中，最多含有( )个元素.A.2B.3C.4D.5答案: A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x 当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.集合A=｛一条边为1,一个角为40°的等腰三角形｝中的元素个数为( ). A.2B.3C.4D.无数个答案: C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C.8.已知集合Ｍ＝｛(x,y)|x+y=2｝,N=｛(x,y)|x-y=4｝,那么，集合｛x|x ∈M 且x ∈N ｝为( ). A.x=3,y=-1B.(3,-1)C.｛3,-1｝D.｛(3,-1)｝答案: D 提示：方程组的解集是点集.９.设a,b,c 为非零实数,则A=||||||||abc abc c c b b a a +++的所有值组成的集合为( ). A.｛4｝B.｛-4｝C.｛0｝D.｛0,-4,4｝答案: D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论.10.集合｛3,49,37,25 ,…｝可表示为( ). A.｛x|x=nn 212+,n ∈N*｝B.｛x|x=n n 32+,n ∈N*｝C.｛x|x=n n 12-,n ∈N*｝D.｛x|x=nn 12+,n ∈N*｝答案: D 提示：取n=1,2,3进行排除.11.集合A=｛(x,y)|y=-1+x-2x2,x ∈R,x ≠0｝，若点P 的坐标(x,y)∈A,则( ). A.P 在第一象限或第二象限B.P 在第三象限或第四象限 C.P 在第一象限或第四象限D.P 在第二象限或第三象限答案: B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.集合Ａ＝｛x|x=2k,k ∈Z ｝，Ｂ＝｛x|x=2k+1,k ∈Z ｝,C=｛x|x=4k+1,k ∈Z ｝,又a ∈A,b ∈B,则有( ). Ａ.a+b ∈AB.a+b ∈B C.a+b ∈CD.a+bA 、B 、C 中任何一个答案: B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数.13.集合｛2x,-x+x 2｝中x 的取值范围为.答案: x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x2.14.设M=｛x ∈Z|x-512∈N ｝,用列举法表示集合M=. 答案: ｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12.15.定义A-B=｛x|x ∈A 且xB ｝,若M=｛1,2,3,4,5｝,N=｛2,3,6｝,则N-M=.答案: ｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.n 是正整数，若不超过n 的正整数中质数的个数与合数的个数相等,这样的n 称为“怪异数”,则“怪异数”的集合是.答案: ｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13. １７.已知｛x|x2+ax+b=0｝=｛3｝,求a ２+b ２+ab 的值.答案: ∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63.１８.设A=｛(x,y)|21x y - =1｝,B=｛(x,y)|y=1-x ２｝,若集合C=｛(x,y)|(x,y)∈B 且（x,y ）A ｝，用列举法表示C.答案: 依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝.19.已知集合A=｛x|mx ２-3x+2=0,m ∈R ｝,(1)若A=,求m 的取值范围;(2)若A 中至多有一个元素,求m 的范围.答案: (1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.已知A=｛a-3,2a-1,a ２+1｝,其中a ∈R,(1)若-3∈A,求实数a 的值;(2)当a 为何值时,集合A 的表示不正确?答案: (1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.设集合A=｛x|x=m 2+n 2,m,n ∈Z ｝,若a,b ∈A,证明:①ab ∈A ②ba＝p 2+q 2,其中b ≠0,p 、q ∈Q. 答案: ①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=b n ,∴p,q ∈Q,∴ba=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q.22.集合A=｛x|x=3n+1,n ∈Z ｝,B=｛x|x=3n+2,n ∈Z ｝,C=｛x|x=6n+3,n ∈Z ｝,(1)若c ∈C,求证：必有a ∈A,b ∈B 使c=a+b;(2)对任意的a ∈A,b ∈B,是否一定有a+b ∈C ？证明你的结论.答案: (1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.参考答案【一拖二】1.(1)｛0,2,4,6,8,10｝，有限集;(2)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(3)｛-2,2｝,有限集;(4)｛1,2｝,有限集. 2.(1)｛x ∈Z|-2＜x ＜3＝;(2)由于16-x ∈N*,故x-1必为6的正约数,∴x-1=1或2或3或6,从而x=2或3或4或7,∴｛2,3,4,7｝;(3){-1, 32}. 3.A 与B 均表示数集,其中A=R,B=｛y|y ≥-1｝即B 表示不小于-1的所有实数,而C 表示抛物线y=x 2-1上的点的集合. 4.A,只有(1)是空集.5.(5).其中(1)中“著名”和(4)中“很近”均是模糊概念,没有明确标准,(2)中集合只有3个元素,(3)是含有一个元素0的集合.6.依集合元素的互异性,有⎪⎩⎪⎨⎧≠≠≠a -a a 1a -a 1a 2解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠≠±≠≠20251a aa a a 且,故a 的数集是除0、1、2,251±外的一切实数.7.图1-1-1(1)给出的集合A 中的元素的共同属性是:它们都是质数,且在小于18的范围内,所以A=｛小于18的质数｝. 图1-1-1(2)给出的集合B 是一个无限集,它表示的是大于或等于-1,且小于或等于3的实数,∴B=｛x|-1≤x ≤3｝. 8.A=｛1,2,3,4,5｝,B=｛2,3,5,7｝,C=｛1,2,3,4,6,12｝ ∵x ∈A 且x ∈C ∴x=1,2,3,4,即M=｛1，2，3，4｝ ∵x ∈B 且xC ∴x=5,7,即N=｛5,7｝.9.∵A=｛x|x2+px+q=x ｝=｛2｝,∴方程x2+px+q=x 有两相等实根x=2,由根与系数的关系知-(p-1)=2+2q=2×2解得p=-3q=4. ∴B=｛x|(x-1)2+p(x-1)+q=x+3｝=｛x|x2-6x+5=0｝=｛1,5｝. 10.∵A 中的元素是x=1-ab-1,依题意知ab -1∈B ，∴a ·ab -1-b ＞4,即1-2b ＞4，∴b ＜-23. 【能力达标检测】1.C 提示:“接近”、“著名”、“旦夕”、“不测”均是模糊概念.2.C 提示:①中32=18＞17,②中3是无理数,④中没有元素,0,⑤中π是无限不循环小数,故只有①与③正确.3.B 提示：Ａ＝，Ｂ＝｛0｝,C=,D=｛(0,0)｝.4.B 提示：A 中M 、N 都是点集,但是不同的点;C 中M=R,N=｛-1,0,1,2,…｝;D 中M=｛(x,y)|y-1=x-2且x ≠2｝即(2,1)M,但(2,1)∈N.5.D 提示：由集合元素的互异性知a 、b 、c 两两不等．6.A 提示：2x =|x|=()()00<-≥x x x x ,33x-=-x ,当x=0时只有一个元素０，当x ≠0时，只有x 与-x ，故最多含２个元素．7.C 提示：分四种情况：(1)底边为1,顶角为40°;(2)底边为1,底角为40°;(3)腰为1,顶角为40°;(4)腰为1,底角为40°,故选C. 8.D 提示：方程组的解集是点集. 9.D 提示：按a 、b 、c 的正负分类讨论. 10.D 提示：取n=1,2,3进行排除. 11.B 提示：y=-1+x-2x 2=-2(x 2-x 21+161)-87=-2(x-41)2-87≤-87,其图像落在第三、四象限.12.B 提示：A 表示偶数集,B 表示奇数集,C 表示被4整除余数为1的集合,奇数与偶数之和必为奇数. 13.x ≠0且x ≠3提示：由集合元素的互异性知2x ≠-x+x 2. 14.｛-7,-1,1,2,3,4｝提示：由x-512∈N 知5-x=1,2,3,4,6,12. 15.｛6｝提示:在N 中排除又属于M 中的元素2、3,故只剩下6.16.｛1,9,11,13｝提示:当n=1时,质数与合数的个数都为0;当n ≥3时,每增加一个质数至少增加一个合数;当n=9时,质数与合数的个数都为4;当n=11时,质数与合数的个数都为5;当n=13时,质数与合数的个数都为6;当n=17时,合数增加了14、15、16三个数,即合数有9个,而质数只增加1个;当n ＞17时，每增加１个质数必至少增加１个合数，所以质数与合数个数不会相等．故“怪异数”为1,9,11,13.17.∵｛x|x 2+ax+b=0｝=｛3｝,∴3是方程x 2+ax+b=0的相等实根,由根与系数的关系知-a=3+3,b=3×3,解得a=-6,b=9,∴a 2+b 2+ab=36+81-54=63. 18.依题意知B 是抛物线y=-x 2+1上所有点的集合,而A 是抛物线y=-x 2+1上除去点(-1,0),(1,0)外的所有点的集合,故C=｛(-1,0),(1,0)｝. 19.(1)若A=,即方程mx2-3x+2=0无解,∴Δ=9-8m ＜0,即m ＞89. (2)A 至多有一个元素,包括A 为空集和A 中只有一个元素两种情况,若A=,3x+2=0,即x=32,当m ≠0时,方程mx 2-3x+2=0有两相等实根,∴Δ＝0m=89综合可知m ≥89或m ＝0. 20.(1)由-3∈A 知a-3=-3或2a-1=-3或a 2+1=-3∴a=0或a=-1,经检验可知a=0或a=-1均可.(2)要使A 的表示不正确,则a-3=2a-1或a-3=a 2+1或2a-1=a 2+1或2a-1=a 2+1=a-3,分别解得a=-2或a 2-a+4=0或a 2-2a+2=0,而a 2-a+4=0和a 2-2a+2=0均无解,故a=-2.21.①∵a,b ∈A,∴可设a=m 21+n 21,b=m 22+n 22,其中m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴ab=(m 21+n 21)(m 22+n 22)=(m 1m 2)2+(n 1n 2)2+(m 1n 2)2+(m 2n 1)2=(m 1m 2+n 1n 2)2+(m 1n 2-m 2n 1)2∵m 1,m 2,n 1,n 2∈Z,∴m 1m 2+n 1n 2,m 1n 2-m 2n 1∈Z,∴ab ∈A. ②由①知a,b ∈A,∴ab=m 2+n 2,m 、n ∈Z∴222222⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=+==b n b m b n m b ab b a ,∵b ∈A,∴b ∈Z,∴b n b m ⋅∈Q 令p=bm ,q=bn,∴p,q ∈Q,∴a 〖〗b=p 2+q 2,b ≠0,p,q ∈Q. 22.(1)设a=3m+1,b=3n+2,m,n ∈Z,则a+b=3(m+n)+3,显然当m+n=2k,k ∈Z 时,a+b=6k+3∈C,令a+b=c ∈C,则a=3m+1,b=3n+2时c ∈C. (2)由(1)可知,当m+n 为偶数时,a+b ∈C,当m+n 为奇数时,a+b=3(2k －1)+3=6k C,可见对任意的a ∈A,b ∈B,不一定有a+b ∈C.【课本习题】 练习P5 (略)1∈N ，0∈N ，-3N ，0.5N ，2N ； 1∈Z ，0∈Z ；-3∈Z ；0.5Q ，2Z ； 1∈Q ，0∈Q ，-3∈Q ，0.5∈Q ，2Q ；1∈R ，0∈R ，-3∈R ；0.5∈R ，2∈R.练习P6页(1)｛x ∈N|x ＞10｝，无限集；(2)｛1，2，3，6｝，有限集； (3)｛-2，2｝，有限集；(4)｛2，3，5，7｝，有限集.(1)｛x|x 是4与6的公倍数｝，无限集；(2)｛x|x=2n ，n ∈N*｝，无限集； (3)｛x|x2-2=0｝，有限集；(4)x|x ＜11〖〗4，无限集. 习题1.1 1.(1)；(2)；(3)∈；(4).2.(1)｛红，黄｝，有限集；(2)｛珠穆朗玛峰｝，有限集；(3)｛1，2，3，12，13，21，23，31，32，123，132，213，231，312，321｝，有限集； (4)｛P|PO=l ｝(O 是定点，l 是定长)，无限集. 3.(1)｛x|(x-1)(x-5)=0｝；(2)-1-5〖〗2，-1+5〖〗2； (3)｛x|x 是大于1且小于9的偶数｝；(4)｛4，5，6｝.§1.2子集、全集、补集预备知识1.集合的概念：某些指定的对象集在一起组成一个集合.2.集合的表示法：列举法和描述法.课本知识导学运用 课本知识诠解 重要提示１.子集的概念一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合A ，记作A B（或B A）.当集合Ａ不包含于集合Ｂ，或集合Ｂ不包含集合Ａ时，记作A B(或B A).２.集合相等一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.３.真子集对于两个集合Ａ与Ｂ，如果A B，并且A≠B，我们说集合A是集合B的真子集，记作A B（或B A）.用图形语言可表示为:图1-2-11.子集的概念用数学符号表示为“ＡB若a∈A,则a∈B”.也可用,也可以用；也可用,也可用.2.用数学符号表示集合相等的概念为“A=B若a∈A，则a∈B；且若a∈B，则a∈A”A B且B A.Ａ是Ｂ的真子集用符号语言表示为“ＡＢk若a∈A，则a∈B，且至少存在一个元素b∈B，但b A”．4.当Ａ＝时，Ａ的表示是错误的．5.A在Ｓ中的补集ＣＳＡ可用图表示为：４.子集与真子集的相关结论(1)任何集合是它本身的子集.故有，A，A A成立;(2)空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.(3)集合与集合间的包含关系与相等关系满足传递性,即:若A B,B C,则A C;若A B,B C,则A C;若A＝B,B＝C,则A＝C.5.全集与补集的概念(1)全集:如果一个集合中含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作一个全集.全集通常用U来表示.(2)补集:一般地,设S是一个集合,A是S的一个子集(即A S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集),记作CSA,即CSA=｛x|x∈S,且x A｝.(3)补集的特殊性质：CSS=，CS=S，CS（CSA）=A.基础例题点拨【例题1】写出集合｛a,b｝的所有子集，并指出其中哪些是它的真子集.【解析】集合｛a,b｝的所有子集是，｛a｝,｛b｝,｛a,b｝,其中，｛a｝,｛b｝是｛a,b｝的真子集.【思路点拨】若集合A有n个元素,则它的子集有2n个,真子集个数有2n-1个(即去掉与集合A本身相等的那一个).写出子集时,可通过含有0个元素(即空集),1个元素,2个元素,…n个元素的子集依次写出.【例题2】填空:(1)如果全集U=Z,那么N的补集C U N=;图1-2-2随笔：随笔：拖1写出符合条件{1}A{1，2，3，4}的所有集合A。
