八上第11讲 期中专题一 将军饮马类题型全覆盖

八年级将军饮马问题例题讲解哎呀，今天咱们聊聊八年级的将军饮马问题，听名字就觉得特别有意思，对吧？咱们先来个开门见山，将军带着他的军队，经过一条河，得给马喝水。

这问题看似简单，但其实里面藏着不少小玄机，真的是个大考验，脑袋瓜得动一动。

想象一下，这将军带着一帮士兵，行军走到河边，嗨，口渴得不行，马儿们更是想喝水。

可是，问题来了，河边的水不深，能让马儿们喝到，但不让它们掉进水里。

将军一边心急如焚，一边得想办法。

怎么让这些马儿在喝水的时候不掉进河里呢？这时候就得用到一些小技巧了。

咱们可以想象一下，马儿们得排队，得一个一个地喝水。

将军心里想着，得控制好马儿的喝水速度，别让它们都挤在一起，这样容易出事。

也许能用一些方法，比如说把马儿们牵得远一些，慢慢地让它们喝，像是在参加比赛一样，嘿嘿，真是有意思的场景。

想想马儿们排成一队，乖乖的，一个个慢慢走过来喝水，真是可爱。

这时候就得算一算了，马儿们得喝多少水，每匹马喝水的速度又有多快。

嘿，可能是三两口就满足了，也可能是急着想喝个痛快，一口气喝个干净。

将军得根据情况来调整策略，真是够麻烦的。

不过，思来想去，最好的办法还是得让马儿们分批来，排着队，井然有序。

然后，咱们再来想象一下，如果马儿们不听话，乱跑，那可就麻烦了。

想象一下将军那个急得直挠头的样子，心里想着：这马儿也太不听话了！要不就得用点小办法，比如说放一块香饽饽在河边，吸引它们过来，嘿嘿，果然，马儿们就乖乖走过来喝水了。

就像小朋友看到喜欢的玩具一样，立马就冲过去了，真是太可爱了。

接着咱们来讨论一下，假设这条河不宽，马儿们很快就能喝到水，那将军得加快速度，不能让马儿们等太久。

想想那画面，马儿们都急得不行，口水都快流下来了，哈哈，真是个搞笑的场景。

将军这时候就得使出浑身解数，调整路线，确保马儿们能尽快喝水。

但是，事情总是没那么简单。

马儿喝水喝得急，可能还会打架，踩到脚，这可就不好了。

所以，将军得一边指挥，一边安抚，真是一场心力交瘁的战斗。

这是总纲：【序号一】文章引言- 对“初二数学将军饮马相关题目及解答”进行简单介绍和解释。

【序号二】初步理解将军饮马问题- 对问题进行初步描述，解释将军饮马问题的背景和相关概念。

- 分析将军饮马问题中的关键因素和要点，引导读者初步理解问题。

【序号三】盘点各类将军饮马问题- 总结各类将军饮马问题，包括常见的类型、变种及相关的难点。

- 分析各类问题的特点和难点，并介绍解题的一般思路和方法。

【序号四】深度解析具体的将军饮马问题- 选取一到两个典型的将军饮马问题进行详细分析，展示深度解题的过程和技巧。

- 重点突出解题思路和方法，引导读者掌握解决具体问题的技巧和策略。

【序号五】对将军饮马问题的个人理解和观点- 共享个人对将军饮马问题的理解和感悟，探讨解题过程中的心得和体会。

- 提出对将军饮马问题的个人见解和观点，展示对问题的深刻理解和思考。

【序号六】总结和回顾- 对全文进行总结和回顾，强调将军饮马问题的重要性和解题的技巧。

- 突出对变种问题的解题策略和技巧，鼓励读者深入探索相关问题，提升解题能力。

【序号七】结语- 对全文进行简短的结语，表达对将军饮马问题的重视和对读者的鼓励。

假设最终文章大致如下：序号一：文章引言在初二数学学习中，将军饮马问题一直是一个经典而又充满挑战的题目。

它不仅考验着学生的数学思维和逻辑能力，同时也对解题技巧和方法提出了很高的要求。

在接下来的文章中，我们将对将军饮马问题进行全面的探讨和分析，并共享解题的一般思路和方法。

序号二：初步理解将军饮马问题将军饮马问题是一个著名的逻辑问题，通常以丰富的形式出现在中学数学教科书中。

它涉及到将军与士兵、马与草地之间的复杂关系，要求学生通过数学方法解决实际问题，锻炼逻辑推理和数学建模的能力。

让我们来看一下一个常见的例子。

假设有一名将军带着三十个士兵和三十匹马要过草原。

草原上有三十个不同的点，它们是将军要经过的地方。

将军每次只能带十匹马经过，但他有几个条件：1. 每匹马每次必须有骑手骑着； 2. 每个地点只能经过一次； 3. 带着马过草地时必须带上骑手；问题是，如何保证士兵、马、将军都能安全地过草地？透过这个简单的例子，我们初步了解了将军饮马问题的背景和相关概念。

初二将军饮马练习题及答案题目一：将军饮马练习阅读下面的短文，然后根据短文内容回答问题。

春秋时期，楚国的将军薛将军因在战场上立下赫赫战功，受到国王的嘉奖，被封为将军。

薛将军深感自己取得的成就来之不易，为了更好地提升自己的军事才能，他经常利用业余时间练习骑射。

一天，他饮酒之后，心血来潮，决定骑马练习。

他醉醺醺地骑在马背上，手握弓箭，身姿挺拔。

突然，他抬头目视远方的鹰，大声喊道：“马儿，你好生奔放，将你的速度发挥到极致。

”马儿似乎听懂了薛将军的话，使出浑身解数奔驰起来。

薛将军稳稳地坐在马背上，准备放箭。

问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案：1. 薛将军经常练习骑射是为了提升自己的军事才能。

2. 薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。

3. 薛将军的骑射练习中的亮点包括：饮酒后决定进行练习，以更高难度的状态来挑战自己；喊马儿将速度发挥到极致，考验自己的射击准确性和反应能力。

题目二：将军饮马练习答案解析问题：1. 薛将军为什么经常练习骑射？答案解析：薛将军经常练习骑射是为了更好地提升自己的军事才能。

他深感自己在战场上立下的赫赫战功来之不易，因此希望通过练习骑射来增强自己的战斗力。

2. 为什么薛将军喊马儿将速度发挥到极致？答案解析：薛将军喊马儿将速度发挥到极致是为了更好地测试自己的骑射技巧。

他希望在马儿飞驰的情况下，能够准确地射箭，展现出自己的高超技艺。

3. 薛将军的骑射练习中有哪些亮点？答案解析：薛将军的骑射练习中的亮点包括：a) 饮酒后决定进行练习：饮酒之后，薛将军心血来潮，决定骑马练习。

这展现了他的勇气和自信，也体现了他对自己技艺的自豪感。

b) 喊马儿将速度发挥到极致：薛将军对马儿的速度要求极高，希望它能够发挥出最快的速度。

这要求他自己的反应能力和射击准确性都必须达到非常高的水平。

总结：薛将军通过练习骑射来提升自己的军事才能，展示了他在战场上立下的赫赫战功所带来的成就感。

将军饮马问题例题
例题：一个将军饮马，有三个酒坛，其中一个酒坛里装着毒酒，另外两个酒坛里装着普通的酒。

这三个酒坛外观相同，将军无法通过外观来判断哪个酒坛是有毒的。

在喝下一杯毒酒后，将军将会立即死亡。

现在将军有一匹马，这匹马可以闻出毒酒，如果马喝下一杯毒酒，它将会在30分钟后死亡。

将军只有30
分钟的时间来确定哪个酒坛里装着毒酒，并且不允许酒坛之间进行任何类型的测量。

解法：将军可以按照以下步骤确定毒酒所在的酒坛：
1. 为了节省时间，将将军的马分成三组，每组10匹马。

标记
这三组马为A、B、C。

2. 让A组的马尝试第一个酒坛，让B组尝试第二个酒坛，C
组尝试第三个酒坛。

3. 让所有的马者都喝下一杯酒。

4. 等待15分钟。

5. 如果A组的马中有马死亡，那么第一个酒坛是有毒的；如
果B组的马中有马死亡，那么第二个酒坛是有毒的；如果C
组的马中有马死亡，那么第三个酒坛是有毒的。

6. 如果在15分钟内没有任何马死亡，那么第一个酒坛是安全的，因此第二个酒坛是有毒的；如果A和B组的马都没有死
亡，那么第三个酒坛是有毒的。

这样，将军可以在30分钟内确定哪个酒坛里装着毒酒。

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m， P是EF 上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E 为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’ 与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’． CF＋EF＋DE＝C’F＋ EF＋D’E，当C’，F， E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD 边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB 的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB 的最小值为________．。

最全“将军饮马”类问题(类型大全+分类汇编)1.1.如图，直线如图，直线如图，直线 l l 和 l 的异侧两点的异侧两点的异侧两点 A A 、B ，在直线，在直线 l l 上求作一点上求作一点上求作一点 P P ，使，使，使 PA+PB PA+PB 最小。

最小。

最小。

2.2.如图，直线如图，直线如图，直线 l l 和 l 的同侧两点的同侧两点的同侧两点 A A 、B ，在直线，在直线 l l 上求作一点上求作一点上求作一点 P P ，使，使，使 PA+PB PA+PB 最小。

最小。

最小。

3.3.如图，点如图，点如图，点 P P 是∠是∠是∠MON MON 内的一点，分别在内的一点，分别在 OM OM ，ON 上作点上作点 A A ，B 。

使△。

使△PAB PAB 的周长最小的周长最小4.4.如图，点如图，点如图，点 P P ，Q 为∠为∠MON MON 内的两点，分别在内的两点，分别在 OM OM ，ON 上作点上作点 A A ，B 。

使四边形 PAQB 的 周长最小。

周长最小。

5.5.如图，点如图，点如图，点 A A 是∠是∠是∠MON MON 外的一点，在射线外的一点，在射线 OM OM 上作点上作点上作点 P P ，使，使，使 PA PA 与点与点与点 P P 到射线到射线到射线 ON ON 的距离的距离之和最小之和最小6. .如图，点如图，点如图，点 A A 是∠是∠是∠MON MON 内的一点，在射线内的一点，在射线 OM OM 上作点上作点上作点 P P ，使，使，使 PA PA 与点与点与点 P P 到射线到射线到射线 ON ON 的距的距离之和最小离之和最小EMME HM30°二、常见题型三角形问题1．如图，在等边△如图，在等边△ABC ABC ABC 中，中，中，AB = 6AB = 6AB = 6，，AD AD⊥⊥BC BC，，E E 是是 AC AC 上的一点，上的一点，上的一点，M M M 是是 AD AD 上的一点，若上的一点，若上的一点，若 AE = 2 AE = 2 AE = 2，求，求，求 EM+EC EM+EC EM+EC 的最小值的最小值 A解：∵点解：∵点 C C C 关于直线关于直线关于直线 AD AD AD 的对称点是点的对称点是点的对称点是点 B B B，，A∴连接∴连接 BE BE BE，交，交，交 AD AD AD 于点于点于点 M M M，则，则，则 ME+MD ME+MD 最小，过点过点 B B B 作作 BH BH⊥⊥AC AC 于点于点于点 H H H，， 则 EH = AH EH = AH –– AE = 3 AE = 3 –– 2 = 1，BH = BC2 - CH2 = 62 - 32 = 3 3在直角△在直角△BHE BHE BHE 中，中，中，BE = BE = BH2 + HE2B=(3 3)2 + 12 = 2 7DCBDC2．如图，在锐角△如图，在锐角△ABC ABC ABC 中，中，中，AB = 4 2AB = 4 2AB = 4 2，∠，∠，∠BAC BAC BAC＝45°，∠＝45°，∠＝45°，∠BAC BAC BAC 的平分线交的平分线交的平分线交 BC BC BC 于点于点于点 D D D，，M 、N N 分别是分别是分别是 AD AD AD 和和 AB AB 上的动点，上的动点，则 BM+MN BM+MN 的最小值是的最小值是 ．解：作点解：作点 B B B 关于关于关于 AD AD AD 的对称点的对称点 B'B'，，过点过点 B' B' B'作作 B'E B'E⊥⊥AB AB 于点于点 E ，交，交 AD AD AD 于点于点于点 F F F，， 则线段则线段 B'E B'E B'E 的长就是的长就是的长就是 BM BM BM＋ＭＮ的最小值＋ＭＮ的最小值 在等腰等腰 Rt Rt Rt△△AEB'AEB'中，中， 根据勾股定理得到，根据勾股定理得到，B'E B'E = 4CB'M FDAN EB3．如图，△如图，△ABC ABC ABC 中，中，中，AB=2AB=2AB=2，∠BAC=30°，若在，∠BAC=30°，若在，∠BAC=30°，若在 AC AC AC、、AB AB 上各取一点上各取一点上各取一点 M M M、、N ，使，使 BM+MN BM+MN BM+MN 的值最小，则这个最小值的值最小，则这个最小值C解：作解：作 AB AB AB 关于关于关于 AC AC AC 的对称线段的对称线段 AB'AB'，，过点过点 B' B' B'作作 B'N B'N⊥⊥AB AB，垂足为，垂足为，垂足为 N N N，交，交，交 AC AC AC 于点于点 M ， 则 B'N = MB'+MN = MB+MN B'N B'N 的长就是的长就是的长就是 MB+MN MB+MN MB+MN 的最小值的最小值则∠则∠B'AN = 2B'AN = 2B'AN = 2∠∠BAC= 60BAC= 60°，°，°，AB' = AB = 2AB' = AB = 2AB' = AB = 2，， ∠ANB'= 90ANB'= 90°，∠°，∠°，∠B' = 30B' = 30B' = 30°。

将军饮马问题例题及应用一，简介唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后,再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦．一天,一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题:“将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会,应该怎样走才能使路程最短？"从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．二,例题1，基本类型问题问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？解答：作B点与河面的对称点B′，连接AB′，可得到马喝水的地方C,如图所示,由对称的性质可知AB′=AC+BC，根据两点之间线段最短的性质可知，C点即为所求．2，与其他类型问题相结合问题:某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l 上存在点P,使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l 的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B．请利用上述模型解决问题如图1，等腰直角三角形A B C的直角边长为2,E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为( ）；解答：作点B关于AC的对称点B′,连接B′E交AC于P，此时PB+PE的值最小．连接AB′．AB′=AB=√AC2+B C2=√22+22=2√2AB=√2∵∠B′AC=∠B AC=45°∴∠B′AB=90°∴PB+PE的最小值=B′E=√B′A2+AE2=√(2√2）2+（√2)2=√10。

..; 将军饮马问题例题及应用一， 简介唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一 个有趣的数学问题．诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A 点出发，走到河边饮马后，再到B 点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？ 这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：“将军每天从军营A 出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B 地开会，应该怎样走才能使路程最短？”从此，这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传．二，例题1， 基本类型问题问题：有一位将军骑着马要从A 地走到B 地，但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？解答：作B 点与河面的对称点B ′，连接AB ′，可得到马喝水的地方C ，如图所示，由对称的性质可知AB ′=AC+BC ，根据两点之间线段最短的性质可知，C 点即为所求．2， 与其他类型问题相结合问题：某课题组在探究“将军饮马问题”时抽象出数学模型：直线l 同旁有两个定点A 、B ，在直线l 上存在点P ，使得PA+PB 的值最小．解法：作点A 关于直线l 的对称点A ′，连接A ′B ，则A ′B 与直线l 的交点即为P ，且PA+PB 的最小值为A ′B ．请利用上述模型解决问题如图1，等腰直角三角形A B C 的直角边长为2，E 是斜边AB 的中点，P 是AC 边上的一动点，则PB +PE 的最小值为（ ）；解答：作点B 关于AC 的对称点B ′，连接B ′E 交AC 于P ，此时PB +PE 的值最小．连接AB ′．AB ′=AB =√AC 2+B C 2=√22+22=2√2AB =√2∵∠B ′AC =∠B AC =45°∴∠B ′AB =90°∴PB +PE 的最小值=B ′E=√B ′A 2+AE 2=√(2√2)2+(√2)2=√10。

将军饮马问题模型的概述：唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营。

问如何行走才能使总的路程最短。

模型一(两点在河的异侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边让战马饮水后再到B 点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，连接AB，与线段L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。

模型二(两点在河的同侧)：将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，需先走到河边让战马饮水后再到B点宿营，将在何处渡河使行走距离最短并求最短距离。

方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B'，连接AB',与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB'的长。

模型三：如图，将军同部队行驶至P处，准备在此驻扎，但有哨兵发现前方为两河AB、BC的交汇处，为防止敌军在对岸埋伏需派侦察兵到河边观察，再返回P处向将军汇报情况，问侦察兵在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得∆PMN周长最小。

方法：如右图，分别作点P关于直线AB、BC的对称点P'、P''，连接P'P''，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段P'P''的长。

模型四如图，深夜为防止敌军在对岸埋伏，将军又派一队侦察兵到河边观察，并叮嘱观察之后先去存粮位置点Q处查看再返回P处向将军汇报情况，问侦察在AB、BC何处侦查才能最快完成任务并求最短距离。

数学描述：如图在直线AB、BC上分别找点M、N，使得四边形PQNM周长最小。

方法：如右图，分别作点P、点Q关于直线AB、BC的对称点P'、Q'，连接P'Q'，与两直线的交点即为所求点M、N，最短距离为线段(PQ+P'Q')的长。

“将军饮马”类题型大全一．求线段和最值1（一）两定一动型例1：如图，AM⊥EF，BN⊥EF，垂足为M、N，MN＝12m，AM＝5m，BN＝4m，P是EF上任意一点，则PA＋PB的最小值是______m．分析：这是最基本的将军饮马问题，A，B是定点，P是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A关于EF的对称点A’，根据两点之间，线段最短，连接A’B，此时A’P＋PB即为A’B，最短．而要求A’B，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决．解答：作点A关于EF的对称点A’，过点A’作A’C⊥BN的延长线于C．易知A’M ＝AM＝NC＝5m，BC＝9m，A’C＝MN＝12m，在Rt△A’BC中，A’B＝15m，即PA＋PB的最小值是15m．变式：如图，在边长为2的正三角形ABC中，E，F，G为各边中点，P为线段EF上一动点，则△BPG周长的最小值为_________．分析：考虑到BG为定值是1，则△BPG的周长最小转化为求BP＋PG的最小值，又是两定一动的将军饮马型，考虑作点G关于EF的对称点，这里有些同学可能看不出来到底是哪个点，我们不妨连接AG，则AG⊥BC，再连接EG，根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，可得AE＝EG，则点A就是点G关于EF的对称点．最后计算周长时，别忘了加上BG的长度．解答：连接AG，易知PG＝PA，BP＋PG＝BP＋PA，当B，P，A三点共线时，BP＋PG ＝BA，此时最短，BA＝2，BG＝1，即△BPG周长最短为3.2（二）一定两动型例2：如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，D为BC中点，AD＝5，P为AD上任意一点，E为AC上任意一点，求PC＋PE的最小值．分析：这里的点C是定点，P，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，由于△ABC 是等腰三角形，AD是BC中线，则AD垂直平分BC，点C关于AD的对称点是点B，PC＋PE＝PB＋PE，显然当B，P，E三点共线时，BE更短．但此时还不是最短，根据“垂线段最短”只有当BE⊥AC时，BE最短．求BE时，用面积法即可．解答：作BE⊥AC交于点E，交AD于点P，易知AD⊥BC，BD＝3，BC＝6，则AD·BC＝BE·AC，4×6＝BE·5，BE＝4.8变式：如图，BD平分∠ABC，E，F分别为线段BC，BD上的动点，AB＝8，△ABC的周长为20，求EF＋CF的最小值________．分析：这里的点C是定点，F，E是动点，属于一定两动的将军饮马模型，我们习惯于“定点定线作对称”，但这题这样做，会出现问题．因为点C的对称点C’必然在AB上，但由于BC长度未知，BC’长度也未知，则C’相对的也是不确定点，因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点．解答：如图，作点E关于BD的对称点E’，连接E’F，则EF＋CF＝E’F＋CF，当E’，F，C三点共线时，E’F＋CF＝E’C，此时较短．过点C作CE’’⊥AB于E’’，当点E’与点E’’重合时，E’’C最短，E’’C为AB边上的高，E’’C＝5.（三）两定两动型例3：如图，∠AOB＝30°，OC＝5，OD＝12，点E，F分别是射线OA，OB上的动点，求CF＋EF＋DE的最小值.分析：这里的点C，点D是定点，F，E是动点，属于两定两动的将军饮马模型，依旧可以用“定点定线作对称”来考虑．作点C关于OB的对称点，点D关于OA 的对称点．解答：作点C关于OB的对称点C’，点D关于OA的对称点D’，连接C’D’．CF ＋EF＋DE＝C’F＋EF＋D’E，当C’，F，E，D’四点共线时，CF＋EF＋DE＝C’D’最短．易知∠D’OC’＝90°，OD’＝12，OC’＝5，C’D’＝13，CF＋EF＋DE最小值为13．变式：（原创题）如图，斯诺克比赛桌面AB宽1.78m，白球E距AD边0.22m，距CD边1.4m，有一颗红球F紧贴BC边，且距离CD边0.1m，若要使白球E经过边AD，DC，两次反弹击中红球F，求白球E运动路线的总长度．分析：本题中，点E和点F是定点，两次反弹的点虽然未知，但我们可以根据前几题的经验作出，即分别作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，即可画出白球E的运动路线，化归为两定两动将军饮马型．解答：作点E关于AD边的对称点E’，作点F关于CD边的对称点F’，连接E’F’，交AD于点G，交CD于点H，则运动路线长为EG＋GH＋HF长度之和，即E’F’长，延长E’E交BC于N，交AD于M，易知E’M＝EM＝0.22m，E’N＝1.78＋0.22＝2m，NF’＝NC＋CF’＝1.4＋0.1＝1.5m，则Rt△E’NF’中，E’F’＝2.5m，即白球运动路线的总长度为2.5m．小结：以上求线段和最值问题，几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题，基本方法还是“定点定线作对称”，利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质，将线段和转化为直角三角形的斜边，或者一边上的高，借助勾股定理，或者面积法来求解．当然，有时候，我们也需学会灵活变通，定点对称行不通时，尝试作动点对称．（二）求角度例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN＝80°．（1）∠AOB＝_____°（2）求证：OP平分∠MPN分析：这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC 与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．解答：（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．再分析：考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．解答：（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°（2）由OP’＝OP’’，∠P’OP’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP平分∠MPN．变式：如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝136°，∠B＝∠E＝90°，在BC、DE上分别找一点M、N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数为________．分析：这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″，连接A′A″，与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置．解答：如图，∵∠BAE＝136°，∴∠MA′A＋∠NA″A＝44°由对称性知，∠MAA′＝∠MA′A，∠NAA″＝∠NA″A，∠AMN＋∠ANM＝2∠MA′A＋2∠NA″A＝88°思考题：1.（2017·安顺）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为_______．2.（2017·安徽改编）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3．P为矩形ABCD 内一点，若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍，则点P到A，B两点距离之和PA+PB的最小值为________．。