偏微分习题讲解

偏微分方程求解例题以下是一个例题:解决以下偏微分方程:$$u_t + uu_x + v_x = 0$$首先，我们需要对方程进行积分变换，将其转换为标准 form: $$frac{partial u}{partial t} + frac{partial u}{partial x} + frac{partial v}{partial x} = 0$$然后，我们可以使用分离变量法来解决该方程。

具体来说，我们可以将 $u$、$v$ 分别写成如下形式:$$u = u_1(x)u_2(t)$$$$v = v_1(x)u_2(t)$$然后，我们将 $u_1$、$v_1$ 分别代入原方程，得到:$$u_t + u_1^2u_2 + v_1^2u_2 = 0$$$$v_t + uu_1 + v_1^2 = 0$$接下来，我们使用代换法，将 $u_t$、$v_t$ 分别代入上述两个方程，得到:$$u_t + u_1^2u_2 + v_1^2u_2 = 0$$$$u_t + uu_1 + v_1^2 = 0$$然后，我们可以使用积分变换法来求解 $u_1$、$v_1$:$$u_1 = -frac{1}{2u_2}v_1^2$$$$v_1 = -frac{1}{2u_2}u_1^2$$将这些代换带回原方程，得到:$$frac{partial u}{partial t} + frac{partial u}{partial x} +frac{partial v}{partial x} = -frac{1}{2u_2^2}u_t +frac{1}{2u_2^2}v_x = 0$$现在，我们已经得到了标准 form 的偏微分方程，可以使用各种求解方法来求解。

一般来说，可以使用数值方法 (如有限差分法、有限元法等) 来求解该方程。

偏微分⽅程数值习题解答李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=?，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=必要性:由0)0('=?,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈?,有-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1?? ??-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=?11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的⼀阶⼴义导数,试⽤类似的⽅法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:⼀阶⼴义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈?,有 ?-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(??则称)(x f 有k 阶⼴义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶⼴义导数,并记kk dxfd x g =)(注:⾼阶⼴义导数不是通过递推定义的,可能有⾼阶导数⽽没有低阶导数.2.利⽤)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|??f f x x f x f n ba n -≤-?00'''|||||||||)())()((|??f f dx x x g x f n ba n -≤-?对于任意的)()(0I C x ∞∈?,成⽴=∞a ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ??=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim '??由?-=ba n ba ndx x x f dx x x f )()()()(''??取极限得到dx x x f dx x x g ba ba ??-=)()()()('??即')(f x g =,即)(1I H f ∈,且0||||||||||||0''01→-+-=-f f f f f f n n n故)(1I H 中的基本列是收敛的,)(1I H 是完全的. 3.证明⾮齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(0a x x u -+=βα,则0u u w -=满⾜齐次边界条件.w 满⾜的⽅程为00Lu f Lu Lu Lw -=-=,即w 对应的边值问题为==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w Ew E ∈=∈其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.⽽Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*⽽200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从⽽**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（1.2.28）建⽴虚功原理解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满⾜)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈?0),(),(0=--v Lu f v Lw应⽤分部积分,+-=-=-b a b a b a dx dx dv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),((还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈?,成⽴0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与⽤v 去乘⽅程两端,应⽤分部积分得到的相同. 5试建⽴与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈⽤v 乘⽅程两端,应⽤分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu⽽??-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ??=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dx vd dx u d b a =+?定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=?,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈?),(),(v f v u a =1-41.⽤Galerkin Ritz -⽅法求边值问题==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==π?解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满⾜齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1,其中),...2,1(n i c i =满⾜的Galerkin Ritz -⽅程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑= ⼜xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ?-=+=+=ππππππππ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''-+πππjx ix sin sin 21由三⾓函数的正交性,得到≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22π??⽽]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-?jj j dx x j x x x x ππ? 于是得到+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0 )1()(8),(),(2232ππ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,⽤0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是⽤Galerkin Ritz -⽅法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差.证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题(1.2.28)和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=?,写出Galerkin Ritz -⽅程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分⽅程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分⽅程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分⽅程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ?--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=?,则Galerkin -Ritz ⽅程为∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβ?β??+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ, )(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=??ββββ得到⽅程组为 --=----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有= 31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型⽅程有限元法§1.1 ⽤线性元求下列边值问题的数值解: 10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数. Galerkin 形式的变分⽅程为),(),(v f v Lu =,其中+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,?=1)(2sin 2),(dx x xv v f π⼜dx v u dx v u v u vdx u =+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''?+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应⽤仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξ?-+++=++=1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπ?πd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211π??+=a122)1(41[),(210221πξξξπ??+-=-+-=?d h h a-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπ?d d h h f ??-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπ?d h f ?+=102)2121(2sin 2),(代数⽅程组为= ),(),(),(),(),(),(212122212111f f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,⽅程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i iji应⽤局部坐标ξ表⽰,-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπ??d hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=?dξξξπ??d hh a j j ])1(41[),(1021?-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=?d 964),(21π??+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=??ξξξξ?d h d h f j-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπd h x h d h x h f j j j -++++=1010)1)](4 41(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j++?=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就⾮齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元⽅程.解:设⽅程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈?)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表⽰为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =? 则有限元⽅程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=具体计算使⽤标准坐标ξ.。

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('=ϕ，则称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得),()),((21)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=),(2),()(200x Ax x b Ax x J λλ+-+=),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有0),(0=-x b Ax ,由线性代数结论知,b Ax b Ax ==-00,0充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax即0x 是)(x J 的驻点. §1-2补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意)()(0I C x ∞∈ϕ,有⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('1ϕϕ ⎰⎰-=ba ba dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到)(0)()(021I C x g g ba ∞∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式||||.||||||||.|||||)(||),(|'''''v u M v u M dx quv v pu v u a ba +≤+=⎰11*||||.||||2v u M ≤,其中},max{'*M M M =习题:1 设)('x f 为)(x f 的一阶广义导数,试用类似的方法定义)(x f 的k 阶导数,...2,1(=k ) 解:一阶广义导数的定义,主要是从经典导数经过分部积分得到的关系式来定义,因此可得到如下定义:对于)()(2I L x f ∈,若有)()(2I L x g ∈,使得对于任意的)(0I C ∞∈ϕ,有 ⎰⎰-=bak kba dx x x f dx x x g )()()1()()()(ϕϕ则称)(x f 有k 阶广义导数,)(x g 称为)(x f 的k 阶广义导数,并记kk dxfd x g =)(注:高阶广义导数不是通过递推定义的,可能有高阶导数而没有低阶导数.2.利用)(2I L 的完全性证明))()((1I H I H m 是Hilbert 空间.证明:只证)(1I H 的完全性.设}{n f 为)(1I H 的基本列,即0||||||||||||0''01→-+-=-m n m n m n f f f f f f因此知}{},{'n n f f 都是)(2I L 中的基本列(按)(2I L 的范数).由)(2I L 的完全性,存在)(,2I L g f ∈,使0||||,0||||0'0→-→-g f f f n n ,以下证明0||||1→-f f n (关键证明dxdfg =)由Schwarz 不等式,有00||||.|||||)())()((|ϕϕf f x x f x f n ba n -≤-⎰00'''|||||||||)())()((|ϕϕf f dx x x g x f n ba n -≤-⎰对于任意的)()(0I C x ∞∈ϕ,成立⎰⎰=∞→ba ba n n dx x x f dx x x f )()()()(lim ϕϕ⎰⎰=∞→ba b a nn dx x x g dx x x f )()()()(lim 'ϕϕ由⎰⎰-=b a nba ndxxxfdxxxf)()()()(''ϕϕ取极限得到dxxxfdxxxg baba⎰⎰-=)()()()('ϕϕ即')(fxg=,即)(1IHf∈,且||||||||||||''1→-+-=-ffffffnnn故)(1IH中的基本列是收敛的,)(1IH是完全的.3.证明非齐次两点边值问题证明:边界条件齐次化令)()(axxu-+=βα,则0uuw-=满足齐次边界条件.w满足的方程为LufLuLuLw-=-=,即w对应的边值问题为⎩⎨⎧==-=0)(,0)('b w a w Lu f Lw (P) 由定理知,问题P 与下列变分问题等价求)(min )(,**12*1w J w J H C w EHw E ∈=∈ 其中),(),(21)(0*w Lu f w w a w J --=.而Cu u a u Lu u J u u Lu f u u u u a w J +-+=-----=),(),()(~),(),(21)(000000*而200)()(),(),(C b u b p u u a u Lu +-=-β从而**)()()(~)(C b u b p u Jw J +-=β 则关于w 的变分问题P 等价于:求α=∈)(,12*a u H C u使得)(min )()(*1u J u J a u H u α=∈=其中)()(),(),(21)(b u b p u f u u a u J β--=4就边值问题（）建立虚功原理 解:令)(0a x u -+=βα,0u u w -=,则w 满足)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw等价于:1E H v ∈∀0),(),(0=--v Lu f v Lw应用分部积分,⎰⎰+-=-=-b a b a b a dx dxdv dx dw p v dx dw p vdx dx du p dx d v dx dw p dx d |)()),(( 还原u ,)()(),(),(),(),(),(),(),(),(000b v b p v f v u a v u a v Lu v f v u a v Lu f v w a β--=-+-=--于是,边值问题等价于:求α=∈)(,1a u H u ,使得1E H v ∈∀,成立0)()(),(),(=--b v b p v f v u a β注:形式上与用v 去乘方程两端,应用分部积分得到的相同. 5试建立与边值问题等价的变分问题.解:取解函数空间为)(20I H ,对于任意)(20I H v ∈ 用v 乘方程两端,应用分部积分,得到0),(),(44=-+=-v f u dx ud v f Lu而⎰⎰-==b a b a b a dx dxdvdx u d v dx u d vdx dx u d v dx u d .|),(33334444 dx dxv d dx u d dx dx vd dx u d dx dv dx u d b a b a b a ⎰⎰=+-=2222222222| 上式为),(][2222v f dx uv dxvd dx u d b a =+⎰定义dx uv dxvd dx u d v u a ba ][),(2222+=⎰,为双线性形式.变分问题为:求)(20I H u ∈,)(20I H v ∈∀),(),(v f v u a =1-41.用Galerkin Ritz -方法求边值问题⎩⎨⎧==<<=+-1)1(,0)0(102"u u x x u u 的第n 次近似)(x u n ,基函数n i x i x i ,...,2,1),sin()(==πϕ解:(1)边界条件齐次化:令x u =0,0u u w -=,则w 满足齐次边界条件,且)1(,0)0(20==-=-=w w x x Lu Lu Lw第n 次近似n w 取为∑==n i i i n c w 1ϕ,其中),...2,1(n i c i =满足的Galerkin Ritz -方程为n j x x c a j ni i j i ,...,2,1),(),(21=-=∑=ϕϕϕ 又xd jx ix ij dx x j x i dxx j x i ij dx a j i jij i ⎰⎰⎰⎰-=+=+=ππππππππϕϕϕϕϕϕ)cos()cos(2)sin()sin()cos()cos()(),(1010210''⎰-+πππjx ix sin sin 21由三角函数的正交性,得到⎪⎩⎪⎨⎧≠=+=j i j i i a j i ,0,212),(22πϕϕ而]1)1[()(2)sin()1(),(3102--=-=-⎰jj j dx x j x x x x ππϕ 于是得到⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=为偶数为奇数j j j j a x x c j j j j 0)1()(8),(),(2232ππϕϕϕ最后得到∑+=-+---+=]21[1233])12(1[)12(])12sin[(8)(n k n k k x k x x u ππ 2.在题1中,用0)1(=u 代替右边值条件,)(x u n 是用Galerkin Ritz -方法求解相应问题的第n 次近似,证明)(x u n 按)1,0(2L 收敛到)(x u ,并估计误差. 证明:n u 对应的级数绝对收敛,由}{sin x i π的完全性知极限就是解)(x u ,其误差估计为338nR n π≤3.就边值问题和基函数),...,2,1()()(n i a x x i i =-=ϕ,写出Galerkin Ritz -方程解:边界条件齐次化,取)(0a x u -+=βα,0u u w -=, w 对应的微分方程为)(,0)('00==-=-=b w a w Lu f Lu Lu Lw对应的变分方程为0),(),(0=--v Lu f v w a)]([)(000a x q dx dpqu dx du p dx d Lu -++-=+-=βαβ⎰⎰+-=-ba b a dx x pv b v b p v dxdp )()()(' 变分方程为dx v qu x pv b v b p v f v w a ba ⎰--+=])([)()(),(),(0'ββ取n i a x x i i ,...,2,1,)()(=-=ϕ,则Galerkin -Ritz 方程为⎰⎰∑-++--+=-=ba i ba i i nj j jidxa x x q dx a x i x pb b p fc a )]()[()()()()(),(),(11βαβϕβϕϕϕ⎰+=ba j i j i j i dx q p a ][),(''ϕϕϕϕϕϕ取1,0,1===f q p ,具体计算1=n , )(1),(11a b dx a ba -==⎰ϕϕ221)(21)()()(21a b a b a b a b d -=---+-=ββ,)(211a b c -=,即解)(2101a x u u -+= 2=n :22111)()(2),(),(),(a b dx a x a a b a ba -=-=-=⎰ϕϕϕϕ3222)(34)(4),(a b dx a x a ba -=-=⎰ϕϕ3223222)(31)()()(31)(2)()(a b a b a b a b dxa x ab dx a x d ba b a -=---+-=---+-=⎰⎰ββββ 得到方程组为⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛----3221322)(31)(21c )(34)()(a b a b c a b a b a b a b特别取1,0==b a ,有⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31213411121c c求解得到1,21,6131122=-=-=c c c其解为202)(21)(a x a x u u ---+=C h2 椭圆与抛物型方程有限元法§ 用线性元求下列边值问题的数值解:10,2sin242"<<=+-x x y y ππ0)1(,0)0('==y y此题改为4/1,0)1()0(,1"====+-h y y y y解: 取2/1=h ,)2,1,0(==j jh x j ,21,y y 为未知数.Galerkin 形式的变分方程为),(),(v f v Lu =,其中⎰⎰+-=10210"4),(uvdx vdx u v Lu π,⎰=1)(2sin 2),(dx x xv v f π又dx v u dx v u v u vdx u ⎰⎰⎰=+-=-10''10''10'10"|因此dx uv v u v u a )4(),(12''⎰+=π在单元],[1i i i x x I -=中,应用仿射变换(局部坐标)hx x i 1--=ξ节点基函数为)3,2,1(,0,,,1)(111=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-=≤≤-=-=--+i other x x x h x x x x x h x x x i i i i i i i ξξξξϕ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++=++=⎰⎰⎰⎰1022210222222'111)1(41]41[]4[),(1021ξξπξξπϕπϕϕϕd h d hh dxa x x x x取2/1=h ,则计算得124),(211πϕϕ+=a122)1(41[),(210221πξξξπϕϕ+-=-+-=⎰d h h a⎰⎰-+++=10101)1)(2121(2sin )0(2sin [2),(ξξξπξξξπϕd d h h f ⎰⎰-++=1010)1(4)1(sin 2sin ξξξπξξξπd d hξξξπϕd h f ⎰+=102)2121(2sin 2),(代数方程组为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛),(),(),(),(),(),(212122212111ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕf f y y a a a a 代如求值.取4/1=h ,未知节点值为4321,,,u u u u ,方程为4,3,2,1),(),(41==∑=j f ua j i ijiϕϕϕ应用局部坐标ξ表示,⎰⎰-+++=10221022])1(41[)41(),(ξξπξξπϕϕd hh d h h a j j248]88[21022πξξπ+=+=⎰dξξξπϕϕd hh a j j ])1(41[),(1021⎰-+-=++964)1(164212πξξξπ+-=-+-=⎰d 964),(21πϕϕ+-=-j j a系数矩阵为}964,248,964{222πππ+-++-=diag A取1=f ,41)1(),(1010=-+=⎰⎰ξξξξϕd h d h f j⎰⎰-+++=+10110)1)]((2sin[2)](2sin[2),(ξξξπξξξπϕd h x h d h x h f j j j ⎰⎰-++++=1010)1)](441(2sin[21)]44(2sin[42ξξξπξξξπd j d j⎰⎰++⨯=+++++-+=100110|)]8)1([cos(821]8)1(sin[21]8)1(sin[]8)(sin[21ξππξξπξξξπξπj d j d j j+2.就非齐次第三边值条件22'11')()(,)()(βαβα=+=+b u b u a u a u导出有限元方程.解:设方程为f qu pu Lu =+-='')( 则由),()]()[()()]()[()(),(|),)((''1122'''''v pu a u a v a p b u b v b p v pu v pu v pu b a----=-=αβαβ变分形式为:),(1b a H v ∈∀)()()()(),()()()()()()(),(),(1212''a v a p b v b p v f a v a u a p b v b u b p v qu v pu ββαα-+=-++)(),(0b u u a u u N ==记)()()()(),()()()()()()()(),(),(),(1212''a v a p b v b p v f v F a v a u a p b v b u b p v qu v pu v u A ββαα-+=-++=则上述变分形式可表示为)(),(v F v u A =设节点基函数为),...,2,1,0)((N j x j =ϕ 则有限元方程为),...,1,0()(),(0N j F u A j Ni i j i ==∑=ϕϕϕ具体计算使用标准坐标ξ.。

yyy[y例11110.1[1(101)]0.9,10.1[0.9(10.10.9)]0.9019,1(0.90.9019)0.900952p c y y y ì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î20.900950.1[0.90095(10.10.90095)]0.80274,0.900950.1[0.80274(10.20.80274)]0.80779,1(0.802740.80779)0.805262p c y y yì=-´´+´=ïï=-´´+´=íïï=+=î 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. 表9.1 Euler 方法方法改进的Euler 方法方法准确值准确值n xn yny)(n x y0.1 0.9000000 0.9009500 0.9006235 0.2 0.8019000 0.8052632 0.8046311 0.3 0.7088491 0.7153279 0.7144298 0.4 0.6228902 0.6325651 0.6314529 0.5 0.5450815 0.5576153 0.5563460 0.6 0.4757177 0.4905510 0.4891800 0.7 0.4145675 0.4310681 0.4296445 0.8 0.3610801 0.3786397 0.3772045 0.9 0.3145418 0.3326278 0.3312129 1.0 0.2741833 0.2923593 0.2909884 从表9.1可以看出,Euler 方法的计算结果只有2位有效数字,而改进的Euler 方法确有3位有效数字,这表明改进的Euler 方法的精度比Euler 方法高. 例2 试用Euler 方法、改进的Euler 方法及四阶经典R-K 方法在不同步长下计算初值问题ïîïíì=££+-=1)0(,10),1(d d y x xy y xy 在0.2、0.4、0.8、1.0处的近似值，并比较它们的数值结果. 解 对上述三种方法,每执行一步所需计算)1(),(xy y y x f +-=的次数分别为1、2、4。

第四章 抛物型微分方程有限差分法1设已知初边值问题22, 01, 0<(,0)sin , 01(0,)(1,)0, 0 u ux t t x u x x x u t u t t T π⎧∂∂=<<⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎪⎪⎩T ≤, 试用最简显格式求上述问题的数值解。

取h=0.1,r=0.1.0 1/10 2/10 … 1 T 2τ τt解: 1.矩形网格剖分区域. 取空间步长1, 时间2510h =0.00τ=以及0.01τ=的矩形网格剖分区域, 用节点)表示坐标点(,j k (,)(,)j k x t jh k τ=, 0,1,...1/; 0,1,...,/j h k T τ==, 如图所示.显然, 我们需要求解这(1/1)(/1)h T τ+×+个点对应的函数值. 事实上由已知初边界条件蓝标附近的点可直接得到, 所以只要确定微分方程的解在其它点上的取值即可. 沿用记号[]k(,)j j k u x t =。

u 2. 建立差分格式, 对于11,...1; 0,1,...,1Tj k hτ=−=−, 用向前差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式:1122k k k k k1jj j j u u u u u h ++−+=. 变形j τ−−有:1112(12) (k k k kj j j j u ru r u ru r h τ+−+=+−+=(4.1)用向后差商代替关于时间的一阶偏导数, 用二阶中心差商代替关于空间的二阶偏导数, 则可定义最简显格式最简隐格式:111122k k k k k j jj j j u u u u u h τ++++−−+=11+−1kj +,变形有:1111(12) k k k j j j ru r u ru u ++−−−++−= (4.2)(4.1)*0.5+(4.2)*0.5得CN 格式为:111112222k k k k k k k k j jj j j j j j u u u u u u u u h τ+++−+−−++−+=111++−1kj +x x变形有:111111(22)(22) k k k k k j j j j j ru r u ru ru r u ru ++−−+−−++−=+−+ (4.3)3 初边界点差分格式处理.对于初始条件u x (,0)sin , 01=π≤≤h 离散为(4.4)0sin 0,1,...1/j u jh j π==对于边界条件离散为(0,)(1,)0, 0 u t u t t T ==≤≤00 0,1,.../k k N u u k T τ===(4.5)总结: 联立方程(4.1)(4.4)(4.5)得到已知问题的最简显格式差分方程组:11100(12)1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N u ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ+−+⎧=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.2)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的最简隐格式差分方程组:1111100(12) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k j j j j jk k N ru r u ru u T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+⎧−++−=⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩ 联立方程(4.3)( 4.4)( 4.5)得到已知问题的CN 格式差分方程组:11111100(22)(22) 1 1,...1; 0,1,...,1sin 0,1,...1/0 0,1,.../k k k k k j j j j j jk k N ru r u ru ru r u ru T j k h u jh j h u u k T τπτ++−−+−⎧−++−=+−+⎪⎪=−=−⎪⎨⎪==⎪⎪===⎩1k j + 4 求解并显示结果利用软件计算(Matlab)如上最简显格式差分方程组.h=1/10;tau=0.0025;T=0.5; r=tau/h^2;M=1/h+1;N=T/tau+1; u=zeros(M,N);for m=1:Mu(m,1)=sin((m-1)*h*pi); endu(1,1:N)=0;u(M,1:N)=0;for n=1:N-1for m=2:M-1u(m,n+1)=r*(u(m+1,n)+u(m-1,n))+(1-2*r)*u(m,n); end end u=u’ 这样我们就计算出不同时刻不同位置k t j x 对应的函数值(,)j k u x t 取tau=0.0025, 即r=0.25绘图, 取tau=0.01, r=1再绘图,如图()图4.2 习题1数值解图示(左r=0.25, 右r=1)2.试构造初边值问题 ()()()()(), 0.51, 0,,0, 0.51,0.5,0, 1,0.51,, 0u u x x x T t x x u x x x u ⎪∂u t t u t t T x ϕ⎧∂∂∂⎛⎞=<<<≤⎜⎟⎪∂∂∂⎝⎠⎪⎪=≤≤⎨⎪==−≤≤⎪∂⎩的显格式，并给出其按最大范数稳定的充分条件。

一、偏微分方程建立1：在弦横振动的问题中，若弦受到一与速度成正比的阻力，试导出弦的阻尼振动方程。

解：（1）如图1.1所示，Δ考虑弦中任意小段x的受力情况。

x1.1图依题意，设单位长弦线所受的阻力为t（表示的是阻力常数），则在振动过程中，bu b x Δ221cos cos T T 段所受到的纵向的力为1αα−1()t bu x x ，所受到的横向的力为x 221sin sin T T α−αη−+ΔΔ其中10η<2T ≤，和分别表示的是1T x Δ段两端受到的拉力。

（2）由题意，弦仅做横向运动，而无纵向振动，于是由Newton 运动定律得到：2212211cos cos sin sin ()t t T T T T bu x x ααααη−=⎧⎨10()t x u x x x ρη−−+ΔΔ⎩=+ΔΔ ρ表示的弦线的密度，表示的弦线的加速度。

tt u 其中（3）在小振动的情况下，有：1122n (u x sin tan (,),sin ta ,)x x u x t x t αα≈=≈21cos cos 1α=+Δ，ααα≈=()tt x x u x x xη于是，方程就化为：1221(,)(,)()x x t T T T T u x x t T u x t bu x ηρ⎧⎪==⎨+Δ−−+ΔΔ⎪⎩令=+ΔΔ 即可以化成：(,)(,)x x t t u x x t u x t T bu x x ρρ()()t x u x x ηη+Δ−−+Δ=+Δ0x Δ→Δ最后令：，得到：2tt t xx u cu a u +=其中2a ,T bc ρρ==。

2．细杆或弹簧受到某种外界原因而产生纵向振动，以)表示静止时在(,u x t x 点处在时刻 离开原位置的偏移，假设振动过程中所发生的张力服从虎克定律，试证明)满足方程t (,u x t 2222()u u x E t xρ∂∂=∂∂(其中)x ρ为杆的密度，为杆的杨氏模量。

初次接触偏微分的应用练习题偏微分方程是数学中的重要概念，它在科学、工程和经济等领域中有广泛的应用。

为了帮助大家更好地理解和掌握偏微分方程的应用，本文将介绍一些偏微分方程的练习题，并给出详细的解答过程。

练习题一：热传导方程考虑一个一维的热传导问题，假设一个长为L的金属棒，两端被恒定温度T1和T2的热源加热。

设该金属棒的热传导满足热传导方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中u(x,t)表示金属棒上的温度分布，α为热传导系数。

问题1：金属棒的初始温度分布为u(x,0) = f(x)，求解金属棒上的温度分布u(x,t)。

解答1：根据问题的条件，我们可以得到以下方程：∂u/∂t = α∂²u/∂x²u(x,0) = f(x)根据偏微分方程的特点，我们可以尝试使用分离变量法进行解答。

假设u(x,t)的解可以表示为u(x,t) = X(x)T(t)，则可得到以下两个常微分方程：X''(x)/X(x) = T'(t)/αT(t)将常微分方程进行分离变量，可得到两个独立的方程：X''(x)/X(x) = -λ²T'(t)/αT(t) = λ²其中λ为分离变量的常数，根据金属棒的边界条件，可以得到以下边界条件：X(0) = 0X(L) = 0对第一个常微分方程进行求解，可得到以下的特解：X(x) = Csin(λx)根据边界条件，我们可以确定λ的值为nπ/L，其中n为正整数。

因此，金属棒上的温度分布可以表示为：u(x,t) = ΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)问题2：求解金属棒上任意位置x处的温度。

解答2：根据问题的条件，我们可以使用傅里叶级数展开来求解。

傅里叶级数可以表示任意函数f(x)在[-L,L]上的展开式：f(x) = Σ(Ansin(nπx/L) + Bncos(nπx/L))根据问题1的解答，将金属棒上的温度分布代入傅里叶级数展开中，可得到以下的展开式：u(x,t) = ΣΣCnsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)根据傅里叶级数展开的特点，我们可以得到以下结论：Cn = 2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dx因此，金属棒上任意位置x处的温度可以表示为：u(x,t) = Σ2/L∫[0,L]f(x)sin(nπx/L)dxsin(nπx/L)e^(-α(nπ/L)²t)练习题二：扩散方程考虑一个二维的扩散问题，假设一个正方形区域上的物质满足扩散方程：∂u/∂t = D(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)问题：正方形区域的初始浓度分布为u(x,y,0) = f(x,y)，求解正方形区域上的浓度分布u(x,y,t)。

当涉及到偏微分时，以下是一个例子：问题：考虑函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，计算f 对x 和y 的偏导数。

解答：要计算函数f 对x 的偏导数，我们将y 视为常数，只关注x。

同样，要计算f 对y 的偏导数，我们将x 视为常数，只关注y。

对x 求偏导数：∂f/∂x = ∂/∂x (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂x (x^2) + ∂/∂x (2xy) + ∂/∂x (y^2)= 2x + 2y(∂x/∂x) + 0 (注意∂x/∂x = 1，因为x 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y对y 求偏导数：∂f/∂y = ∂/∂y (x^2 + 2xy + y^2)= ∂/∂y (x^2) + ∂/∂y (2xy) + ∂/∂y (y^2)= 0 + 2x(∂y/∂y) + 2y (注意∂y/∂y = 1，因为y 对自身的偏导数为1)= 2x + 2y因此，函数f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2 对x 和y 的偏导数分别为：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x + 2y这就是函数f 对x 和y 的偏导数的计算结果。

当谈及偏微分方程的例题时，以下是一个简单的例子：考虑一个二维热传导问题，假设有一块均匀导热的平板，其温度分布由偏微分方程描述：∂u/∂t = k (∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²)其中，u(x, y, t) 是时间t、位置(x, y) 处的温度，k 是热传导系数。

现在，假设该平板在x 轴方向上的长度为L，y 轴方向上的长度为H。

给定边界条件如下：u(0, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （左边界）u(L, y, t) = 0, 0 ≤ y ≤ H （右边界）u(x, 0, t) = 0, 0 ≤ x ≤ L （下边界）u(x, H, t) = f(x, t), 0 ≤ x ≤ L （上边界）其中f(x, t) 是给定的边界条件函数。

数学物理方程第二版习题解答第四章复旦第二版第四章二阶线性偏微分方程的分类与总结§1二阶方程的分类1．证明两个自变量的二阶线性方程经过可逆变换后它的类型不会改变，也就是说，经可逆变换后（4）gnyu某某+2u某y+gn某uyy1某>0=0(gn某=0某=0)1某<0(5)u某某4u某y+2u某z+4uyy+uzz=0解：(1)某2u某某y2uyy=0 =a212a11a22的符号不变。

证：因两个自变量的二阶线性方程一般形式为a11u某某+2a12u某y+a22uyy+b1u某+b2uy+cu=f经可逆变换某=某(某,y)D(某,η)η=η(某,y)D(某,y)≠0化为11u某某+212u某η+22uηη+2uη+=f=a某2+2a某某+其中1111某12某ya22某y212=a11某某η某+a12(某某ηy+某yη某)+a22某yηy22=a11η某2+2a12η某ηy+a22ηy2所以=2121122=a212(某某2ηy2+某y2η某2)2a11某某某yη某ηy+2a11a22某某某yη某ηy2)=(a212D(2a11a22(η某2某y2+某某2ηyaη某,η)11a22)(某某y某yη某)2=D(某,y)因D(某,η)2D(某,y)>0，故与同号，即类型不变。

2．判定下述方程的类型（1）某2u某某y2uyy=0（2）u某某+(某+y)2uyy=0（3）u某某+某yuyy=0因=某2y2>0当某≠0,y≠0时>0,某=0或y=0时=0。

即在坐标轴上方程为抛物型，其余处为双曲型。

（2）u2某某+(某+y)uyy=0因=(某+y)2≤0，在直线某+y=0上，=0为抛物型，其余处<0，为椭圆型。

（3）u某某+某yuyy=0因=某y在坐标轴上，=0为抛物型；在一，三象限中，<0，为椭圆型；在二，四象限中，>0，为双曲型。

（4）gnyu某某+2u某y+gn某uyy=0因=1gn某gny,在坐标轴上>0，为双曲型；在一，三象限内=0，为抛物型；在二，四象限内>0，为双曲型。

第一章． 波动方程§1 方程的导出。

定解条件2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。

解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 .0),(,0),0(==t l u t u(2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x ux E t l T ∂∂=)(),(|lx =等于零，因此相应的边界条件为x u∂∂|lx ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为xu∂∂∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。

由虎克定律有x uE∂∂∣)](),([t v t l u k lx --== 其中k 为支承的刚度系数。

由此得边界条件)(u xuσ+∂∂∣)(t f l x == 其中E k =σ特别地，若支承固定于一定点上，则,0)(=t v 得边界条件)(u xuσ+∂∂∣0==l x 。

同理，若0=x 端固定在弹性支承上，则得边界条件x uE∂∂∣)](),0([0t v t u k x -== 即 )(u xuσ-∂∂∣).(0t f x -= 3. 试证：圆锥形枢轴的纵振动方程为 2222)1(])1[(t u h x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ 其中h 为圆锥的高(如图1)证：如图，不妨设枢轴底面的半径为1，则x 点处截面的半径l 为：hx l -=1 所以截面积2)1()(hx x s -=π。

利用第1题，得])1([)1()(2222xuh x E x t u h x x ∂∂-∂∂=∂∂-ππρ 若E x E =)(为常量，则得2222)1(])1[(tuh x x u h x x E ∂∂-=∂∂-∂∂ρ §2 达朗贝尔公式、 波的传抪1. 证明方程()常数011122222 h t uh x a x u h x x ∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂ 的通解可以写成()()xh at x G at x F u -++-=其中F,G 为任意的单变量可微函数,并由此求解它的初值问题:()().,:0x tux u t ψ=∂∂==ϕ 解：令()v u x h =-则()()()⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+-=∂∂-∂∂+=∂∂-x v u x h xu x h xv u xu x h 2,))(()()()()[(2222xv u x h x u x h x u x h x v u x u x h x ∂∂+-=∂∂-+∂∂-+∂∂+-=∂∂-∂∂又 ()2222tv t u x h ∂∂=∂∂-代入原方程，得()()222221tv x h a x v x h ∂∂-=∂∂-即 222221t v a x v ∂∂=∂∂ 由波动方程通解表达式得()()()at x G at x F t x v ++-=,所以 ()()()x h at x G at x F u -++-=为原方程的通解。