平面向量与解三角形的归纳与复习

2022年高考数学之平面向量专题突破专题十平面向量与三角形的

四心

三角形四心的向量式

三角形“四心”向量形式的充要条件

设O为△ABC所在平面上一点，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则

(1)O为△ABC的重心⇔OA→＋OB→＋OC→＝0．

(2)O为△ABC的外心⇔|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝a

2sinA⇔sin2A·OA→＋sin2B·OB→＋sin2C·OC→＝0．

(3)O为△ABC的内心⇔aOA→＋bOB→＋cOC→＝0⇔sinA·OA→＋sinB·OB→＋sinC·OC→＝0．

(4)O为△ABC的垂心⇔OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→⇔tanA·OA→＋tanB·OB→＋tanC·OC→＝0．

关于四心的概念及性质：

(1)重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点．

性质：①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1．

②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等．

③在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数．即G为△ABC的重心，A(x1，y1)，B(x2，

y2)，C(x3，y3)，则

Gx1＋x2＋x3

3，y1＋y2＋y3

3．

④重心到三角形3个顶点距离的平方和最小．

(2)垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点．

性质：锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心在直角顶点上，钝角三角形的垂心在三角形

外．

(3)内心：三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或内切圆的圆心)．

性质：①三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r．

②2=Srabc，特别地，在Rt△ABC中，∠C=90°，=2abcr．

(4)外心：三角形三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)．

性质：外心到三角形各顶点的距离相等．

考点一三角形四心的判断

【例题选讲】

[例1](1)已知A，B，C是平面上不共线的三点，O为坐标原点，动点P满足OP→＝1

3[(1－λ)OA→＋(1－

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[析考情·明重点]

小题考情分析 大题考情分析

常考点

1.平面向量的数量积及应用(5年5考)

2.三角函数的图象与性质及应用(5年5考)

3.利用正、余弦定理解三角形(5年3考) 浙江高考对此部分内容在解答题中的考查主要集中在三角恒等变换、解三角形、三角函数的性质．三角恒等变换一般不单独考查，常结合正、余弦定理考查解三角形，结合三角函数的性质考查三角函数，近两年三角函数的概念、性质和三角恒等变换是考查的热点，试题难度中档偏下. 偶考点 1.平面向量的线性运算

2.三角恒等变换与求值

第一讲 小题考法——平面向量

考点(一)

平面向量的线性运算

主要考查平面向量的加、减、数乘等线性运算以及向量共线定理的应用.

[典例感悟]

[典例] (1)已知向量a＝(1,3)，b＝(－2，k)，且(a＋2b)∥(3a－b)，则实数k＝( )

A．4 B．－5

C．6 D．－6

(2)(2018·浙江三模)已知向量e1＝(1,2)，e2＝(3,4)，且x，y∈R，xe1＋ye2＝(5,6)，则x－y＝( )

A．3 B．－3

C．1 D．－1

(3)(2019届高三 ·浙江名校联考)若点P是△ABC的外心，且PA―→＋PB―→＋λPC―→＝0，∠ACB＝120°，则实数λ的值为( )

A.12 B．－12 第 3 页 共 105 页

C．－1 D．1

[解析] (1)a＋2b＝(－3,3＋2k)，3a－b＝(5,9－k)，由题意可得－3(9－k)＝5(3＋2k)，解得k＝－6.故选D.

(2)∵向量e1＝(1,2)，e2＝(3,4)，且x，y∈R，xe1＋ye2＝(5,6)，则(x＋3y,2x＋4y)＝(5,6)，

∴ x＋3y＝5，2x＋4y＝6，解得 x＝－1，y＝2，∴x－y＝－3.故选B.

实　践　讲　堂　

近些年来．平面向量与解三角形相结合的题目经常出现在　各类考试题中．并且通常是以选择或填空的形式出现．下面是　与之相关的两个简单结论。　结论１：如图（１）．在三角形ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ边上的任意　一点。若满足　：加　（ｍ，ｎ是实数），则我们有结论　ｍ＋ｎ．４－１。　

证明：过Ｄ点作ＤＥ／／ＡＧ交　于　，作ＤＦ／／ＡＢ交　Ｃ于　Ｆ，如图（２），则ＡＥＤＦ为平行四边形，所以　：　＋　，若记　：ｍ　（ｍ为正实数，且小于１），贝ｆ　Ｊｌ　『：ｍＩ　ｌ，并且有　：，　十　①　接下来我们期望得出　与　之间的关系：　由于　与　是共线向量，所以只需找到Ｊ　Ｊ与ｊ　ｆ　之间的关系。而三角形相似可以提供线段之间的比例关系。　ＡＢＤＥ￣ＡＢＣＡ＠　ＢＥ＝器　△ｃ肋　△　口　＝　ＡＦ　堕＝　ＡＦＢＡ　②　一ＡＣ　再根据　：ｍ　，可算得亩：（１－ｍ）Ａｆｔ，代人②式即有　ｌ　１＝（１一ｍ）１　ｌ’．．Ａ￣－（１一ｍ）　，　．·　＝　＋ＡＴ：　＋（１一ｍ）　，　显然，ｎ＝ｌ—ｍ，即ｍ＋ｎ＝Ｉ。　注：若Ｄ点是ＢＣ边上的中点，则　：｝　＋　，此　时一ｎ＝　。　结论２：如图（３），在三角形ＡＢＣ中，Ｄ是ＡＡＢＣ内的任意　一点（不包括边界），若　：ｍ　＋ｎ　（ｍ，ｎ是实数），则ｍ　取值范围为Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。　

证明：（方法司类比第１题）过Ｄ点作ＤＥ／／ＡＣ交ＡＢ　于Ｅ、交ＢＣ于Ｌ，作ＤＦ／／ＡＢ交ＡＣ于Ｆ、交曰Ｃ于Ｋ，如图　（４）。　则有　：　＋　，记　：ｍ　（ｍ为正实数，且小于１），　则ｆ府ｆ＝ｍｆ　ｆ，并且有　＝　＋　。　求　与　之间的关系的方法也和上题类似：　△　，ＪＥ　△曰　＝　③　△ｃ　△　曰　＝＿＿ＡＦ　④　因为Ｄ点在三角形ＡＢＣ的内部。所以在线段ＢＣ上．Ｋ点　必定在厶点的左边，即ＢＫ＜ＢＬ，再由①和②可得：　ＡＦ　＜　Ｂ　Ｅ＝　１一ｍ　．１　ｌ＜（１一ｍ）ｌ　ｌ⑤　由于向量　与　共线，若记　：ｎ　，ｍ，ｎ＞ｏ，由⑤得：　＜１－ｍ，．‘．Ｏ＜ｍ＋ｎ＜ｌ。　【其他形式】若百　＝ｍ百　＋ｎ　，则ｍ＋ｎ的范围是ｏ＜ｍ＋ｎ　１；若　＝ｍ　＋ｎｃ－－ｆ，则ｍ＋ｎ的范围是０＜ｍ＋ｎ＜１；若Ｄ点是三　￣ｆ￣ＡＢＣ的中心，此时ｍ＝ｎ＝丁１。　练习１：已知Ｐ是△，４ＢＣ的中线ＡＤ上的任意一点，且满　足　＝Ａ　，求Ａ　的取值范围。　练习２：设Ｐ是三角形　日Ｃ内一点（不包括边界），且向量　：ｍ　＋ｎ　（ｍ，　Ｅ　Ｒ），则ｍ２＋ｎ２—２ｍ一２ｎ＋３的取值范围是　名／　’　ＸＵＥＺＨ０ＵＫＡＮ　１　４１

平面向量及其应用单元复习

一 知识结构图

内

容 考点 关注点

平面向量 向量的线性运算 运算法则

向量的数量积、模、夹角 夹角范围

向量的坐标运算 公式运用

向量的平行与垂直问题 平行、方向与数量积正负的关系

利用正弦定理、余弦定理解三角形 选择合适的定理及三角形

二.学法指导

1.向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)基本原则：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．

(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．

2. 向量数量积的求解策略

(1)利用数量积的定义、运算律求解．

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．

(2)借助零向量．

即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．

(3)借助平行向量与垂直向量．

即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．

(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．

3.解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．