函数单调性和凹凸性

二次函数的增减性与凹凸性

在数学中，二次函数是一类形式为f(x)=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a不等于零。二次函数的图像通常呈现出一条平滑的弧线，这条曲线在数轴上有许多重要的性质，其中包括增减性和凹凸性。

一、二次函数的增减性

二次函数的增减性是指函数图像在数轴上的增减规律。为了分析二次函数的增减性，我们首先需要找到函数的导数。对于f(x)=ax^2+bx+c来说，它的导数为f'(x)=2ax+b。

当导数f'(x)大于零时，即2ax+b大于零时，二次函数的图像是上凸的，也就是说函数在该区间上是递增的。当导数f'(x)小于零时，即2ax+b小于零时，二次函数的图像是下凸的，函数在该区间上是递减的。

具体来说，当a大于零时，二次函数的图像开口朝上，函数在整个定义域上是递增的；当a小于零时，二次函数的图像开口朝下，函数在整个定义域上是递减的。而当a等于零时，二次函数退化成线性函数，其图像为一条直线，没有增减性。

二、二次函数的凹凸性

二次函数的凹凸性描述了函数曲线的弯曲程度。通过求解二次函数的二阶导数可以确定函数的凹凸性。对于f(x)=ax^2+bx+c，它的二阶导数为f''(x)=2a。 当二阶导数f''(x)大于零时，即2a大于零时，二次函数的图像在该区间上是向上凸起的，也就是说函数是凹的。当二阶导数f''(x)小于零时，即2a小于零时，二次函数的图像在该区间上是向下凸起的，函数是凸的。

同样地，当a大于零时，二次函数图像开口朝上，函数在整个定义域上是凹的；当a小于零时，二次函数图像开口朝下，函数在整个定义域上是凸的。

三、增减性与凹凸性的关系

二次函数的增减性与凹凸性有着密切的关系。当二次函数是递增的时，它的图像是上凸的；当二次函数是递减的时，它的图像是下凸的。

此外，当函数同时满足递增和凹时，函数在该区域内的值是不断增加的；当函数同时满足递减和凸时，函数在该区域内的值是不断减小的。

1 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性

一、函数单调性的判别法

定理1 设)(xf在区间I上可导，则)(xf在I上递增（减）的充要条件是

)()('00xf.

证 若f为增函数，则对每一Ix0，当0xx时，有

000xxxfxf。

令0xx，即得00)('xf。

反之，若)(xf在区间I上恒有0)('xf，则对任意Ixx21,（设21xx），应用拉格朗日定理，存在，使得

01212xxfxfxf')(。

由此证得f在I上为增函数。

定理2 若函数f在),(ba内可导,则f在),(ba内严格递增(递减)的充要条件是:

(1)),(bax有)()('00xf;

(2) 在),(ba内的任何子区间上0)('xf.

推论 设函数在区间I上可微,若))('()('00xfxf, 则f在I上(严格)递增(递减).

注1 若函数f在),(ba内(严格)递增(递减),且在点a右连续,则f在),[ba上亦为(严格)递增(递减), 对右端点b可类似讨论.

注2 如果函数)(xf在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且连续，那么只要用方程0)('xf的根及)('xf不存在的点来划分函数)(xf的定义区间就能保证)('xf在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(xf在每个部分区间上单调。

注意：如果函数)(xf在区间],[ba上连续，在),(ba内除个别点处一阶导数为零或不存在外，在其余点上都有0)('xf（或0)('xf），那么由于连续性，)(xf在区间],[ba上仍然是单调增加（或单调减少）的。 2 例如，3xy的一阶导数23xy'，除在0x点等于零外，在其余的点都大于零，函数在整个区间,内单调增加。又例如，31xy，它的一阶导数3231x除在0x点不存在外，在其余的点都大于零，从而函数在整个区间,内单调增加。

§3 4 函数单调性与曲线的凹凸性

一． 教学目的

（一）知识目的

（1）了解函数单调性与曲线的凹凸性的有关概念；

（2）会利用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；

（二）能力目标

（1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力；

（2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力；

（3）训练学生思维的灵活性。

（三）德育目标

（1）激发学生的内在动机；

（2）养成良好的学习习惯。

二． 教学的重、难点及教学设计

（一） 教学重点：应用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性

（二） 教学难点：用导数判断函数单调性与曲线的凹凸性方法的推导

（三） 教学设计要点：1．用导数判断函数的单调性；

2．用导数判断函数图形的凹凸性和拐点；

3．单调性及凹凸性的应用；

三． 教学过程

1、函数单调性的判定法

如果函数yf(x)在[a  b]上单调增加（单调减少） 那么它的图形是一条沿x 轴正向上升（下降）的曲线 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的） 即yf

(x)0(yf (x)0) 由此可见 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系

反过来 能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？

定理1(函数单调性的判定法) 设函数yf(x)在[a b]上连续 在(a b)内可导

(1)如果在(a b)内f (x)0 那么函数yf(x)在[a b]上单调增加

(2)如果在(a b)内f (x)0 那么函数yf(x)在[a b]上单调减少

证明 只证(1) 在[a b]上任取两点x1  x2 (x1 x2 ) 应用拉格朗日中值定理 得到

f(x2 )f(x1 )f ()(x2x1) (x1 x2 )

由于在上式中 x2x10 因此 如果在(a b)内导数f (x)保持正号 即f (x)0 那么也有f ()0 于是 f(x2 )f(x1 )f ()(x2 x1 )0 即 f(x1 )f(x2 )

函数的单调性与凹凸性

在数学中，函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。本文将介绍函数的单调性和凹凸性的定义以及它们在解决实际问题中的应用。

一、函数的单调性

函数的单调性是指函数在定义域上的取值随自变量的增大或减小而增大或减小的规律。具体地，一个函数在区间上是单调递增的，即当x1 < x2时，f(x1) ≤ f(x2)，则称函数在该区间上是递增的。类似地，如果一个函数在区间上是单调递减的，即当x1 < x2时，f(x1) ≥ f(x2)，则称函数在该区间上是递减的。

函数单调性的研究可以帮助我们确定函数的增减区间以及解决一些优化问题。例如，在生产成本最小化的问题中，我们可以通过研究成本函数的单调性来确定最佳生产量。

二、函数的凹凸性

函数的凹凸性是指函数图像在定义域上的弯曲程度。具体地，如果一个函数在区间上任意两点间的连线位于函数图像的下方，则称函数在该区间上是凹的；如果函数图像上任意两点间的连线位于函数图像的上方，则称函数在该区间上是凸的。

凹凸性常常与函数的极值点相关。对于一个凸函数，在定义域上任意两点连线的斜率都大于函数图像上相应的切线斜率，而对于一个凹函数，则相反。因此，研究函数的凹凸性能够帮助我们找到函数的极值点。

三、在实际问题中，函数的单调性与凹凸性常常同时存在，并能够相互影响。例如，对于一个单调递增的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凸函数的子区间。同样地，对于一个单调递减的函数，在单调区间上的任意两点都能够形成一个凹函数的子区间。

函数的单调性和凹凸性的研究除了能够帮助我们解决实际问题外，还能够提供对函数图像性质的深入理解。通过观察函数图像的单调性和凹凸性，我们能够得到更直观的信息，比如函数的整体趋势、局部极值点等。

总结：

函数的单调性和凹凸性是研究函数图像性质的重要方面。函数的单调性描述了函数值随自变量增减变化的规律，而函数的凹凸性则描述了函数图像的弯曲程度。函数的单调性和凹凸性不仅能够解决实际问题，还能够提供对函数图像性质的深入理解。因此，在数学和实际应用中，对函数的单调性和凹凸性的研究具有重要的意义。