当前位置：文档之家 › 曲线拟合线性最小二乘法及其MATLAB程序

曲线拟合线性最小二乘法及其MATLAB程序

  • 格式：doc
  • 大小：301.50 KB
  • 文档页数：11

1 曲线拟合的线性最小二乘法及其MATLAB程序

例7.2.1 给出一组数据点列入表),(iiyx7–2中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.

表7–2 例7.2.1的一组数据),(iiyx

xi -2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6

yi -192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04

解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>> x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50

68.04];

plot(x,y,'r*'),

legend('实验数据(xi,yi)')

xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图')

运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算在)(xf),(iiyx处的函数值，即输入程序

>> syms a1 a2 a3 a4

x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4

运行后屏幕显示关于a1,a2, a3和a4的线性方程组

fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,

-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,

-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,

-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,

a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,

27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,

5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]

编写构造误差平方和的MATLAB程序

>> y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50

68.04];

fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,

-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,

-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,

-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4, a4,

1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,

27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,

19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,

5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];

fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)

运行后屏幕显示误差平方和如下

J=

(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2

为求使达到4321,,,aaaaJ最小，只需利用极值的必要条件0kaJ )4,3,2,1(k，

得到关于的4321,,,aaaa线性方程组，这可以由下面的MATLAB程序完成，即输入程序

>> syms a1 a2 a3 a4

J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4...+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;

Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3);

Ja4=diff(J,a4);

Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3),

Ja41=simple(Ja4),

运行后屏幕显示J分别对a1, a2 ,a3 ,a4的偏导数如下

Ja11=

56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442429/625

Ja21 =

32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625

Ja31 =

1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125

Ja41 =

23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25

解线性方程组Ja11 =0，Ja21 =0，Ja31 =0，Ja41 =0，输入下列程序

>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500,

23667/250; 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250, 67;

1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5, 18];

B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];

C=B/A, f=poly2sym(C)

运行后屏幕显示拟合函数f及其系数C如下

C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574

f=716503695845759/140737488355328*x^3

-7988544102557579/562949953421312*x^2

+1804307491277693/281474976710656*x

-4648521160813215/562949953421312

故所求的拟合曲线为

8.25746.410214.19055.0911)(23xxxxf.

（4）编写下面的MATLAB程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序

>> xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];

y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];

n=length(xi);

f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;

x=-2.5:0.01: 3.6;

F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;

fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),

E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)

plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off

legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),

xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')

运行后屏幕显示数据与),(iiyx拟合函数f的最大误差Ew，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点和),(iiyx拟合曲线y=f(x)的图形（略）.

Ew = E1 = E2 =

3.105 4 0.903 4 1.240 9

7.3 函数的选取)(xrk及其MATLAB程序

例7.3.1 给出一组实验数据点的),(iiyx横坐标向量为x=(-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6)，纵横坐标向量为y=(459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47,

12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22)，试用线性最小二乘法求拟合曲线，并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.

解 （1）在MATLAB工作窗口输入程序

>>x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,

-2.1,-1.5, -2.7,-3.6];

y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,

22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22];

plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')

xlabel('x'), ylabel('y'),

title('例7.3.1的数据点(xi,yi)的散点图')

运行后屏幕显示数据的散点图（略）.

（3）编写下列MATLAB程序计算在)(xf),(iiyx处的函数值，即输入程序

>> syms a b

合集下载

[matlab曲线拟合]MATLAB的曲线拟合

[matlab曲线拟合]MATLAB的曲线拟合

[matlab 曲线拟合]MATLAB的曲线拟合

篇一 : MATLAB的曲线拟合

MATLAB软件提供了基本的曲线拟合函数的命令。

曲线拟合就是计算出两组数据之间的一种函数关系，由此可描

绘其变化曲线及估计非采集数据对应的变量信息。

1.线性拟合函数：regress 调用格式： b =regress

[b,bint,r,rint,stats]= regress

[b,bint,r,rint,stats] =regress x=[ones „];

y=x*[10;1]+normrnd; [b,bint]=regress

结果得回归方程为：y=9.9213+1.0143x

x=1:20; y=x+3*sin;

p=polyfit xi=linspace;

z=polyval;% 多项式求值函数

plot legend

function yy=model

a=beta0; b=beta0;

yy=a+*exp); 拟合程序：

x=[8.00 8.00 10.00 10.00 10.00 10.00 12.00 12.00 12.00 14.00

14.0014.00... 16.00 16.00 16.00 18.00 18.00 20.00 20.00 20.00 20.00 22.00

22.0024.00... 24.00 24.00 26.00 26.00 26.00 28.00 28.00 30.00 30.00 30.00

32.0032.00...

34.00 36.00 36.00 38.00 38.00 40.00 42.00]‟; y=[0.49 0.49 0.48 0.47 0.48 0.47 0.46 0.46 0.45 0.43 0.45 0.43

0.430.44 0.43... 0.43 0.46 0.42 0.42 0.43 0.41 0.41 0.40 0.42 0.40 0.40 0.41

MATLAB中的最小二乘问题求解技巧

MATLAB中的最小二乘问题求解技巧

MATLAB中的最小二乘问题求解技巧

最小二乘问题是求解一个最优拟合曲线或平面的方法，它在各种科学和工程领域中都有广泛的应用。在MATLAB中，有很多强大的工具和函数可以用来解决最小二乘问题。本文将介绍一些MATLAB中常用的最小二乘问题求解技巧，帮助读者更好地利用MATLAB来解决实际问题。

一、线性最小二乘问题求解

线性最小二乘问题是最简单的一类最小二乘问题，它对应于求解一个线性方程组。在MATLAB中，我们可以使用“\”运算符来直接求解线性最小二乘问题。例如，如果我们有一个包含m个方程和n个未知数的线性方程组Ax=b，其中A是一个m×n的矩阵，b是一个m×1的向量，我们可以使用以下代码来求解该方程组：

```matlab

x = A\b;

```

在这个例子中，MATLAB将会利用最小二乘法来计算出一个使得Ax与b之间误差的平方和最小的向量x。

二、非线性最小二乘问题求解

非线性最小二乘问题的求解相对复杂一些，因为它不再对应于一个简单的方程组。在MATLAB中，我们可以使用“lsqcurvefit”函数来求解非线性最小二乘问题。该函数的基本用法如下：

```matlab

x = lsqcurvefit(fun,x0,xdata,ydata);

``` 其中，fun是一个函数句柄，表示我们要拟合的目标函数；x0是一个初始值向量；xdata和ydata是实验数据的输入和输出。lsqcurvefit函数将会尝试找到一个使得目标函数与实验数据之间残差的平方和最小的参数向量。

三、加权最小二乘问题求解

加权最小二乘问题是在非线性最小二乘问题的基础上引入权重因子的一种求解方法。它可以用来处理实验数据中存在的误差或不确定性。在MATLAB中，我们可以使用“lsqnonlin”函数来求解加权最小二乘问题。

```matlab

x = lsqnonlin(fun,x0,[],[],options);

```

matlab多元一次方程最小二乘拟合求取系数

matlab多元一次方程最小二乘拟合求取系数

matlab多元一次方程最小二乘拟合求取系数

最小二乘法是一种数学方法，可用于数据拟合以及误差分析。在科学与工程中，我们经常需要解决数据拟合的问题，而最小二乘法便是其中最常用的方法之一。本文将介绍如何使用MATLAB进行多元一次方程最小二乘拟合并求取系数。

第一步：准备数据

首先，我们需要准备一组数据以进行最小二乘拟合。这组数据需要是多个变量之间的关系，并且这些变量需要满足线性关系。对于这个问题，我们可以先简化成一个二元一次方程y=ax+b。这个方程可以表示成矩阵形式：

```

Y = [y1;y2;...;ym]

X = [1,x1;1,x2;...;1,xm]

B = [b;a]

```

其中，Y是一个m行一列的向量，表示对应的y值；X是一个m行两列的矩阵，第一列为1表示截距项，第二列为x值；B是一个两行一列的向量，表示最终的系数。

第二步：计算最小二乘法

接下来，我们需要使用MATLAB求解这个最小二乘问题。我们可以使用MATLAB内置的regress函数，它可以帮助我们求解系数B。具体使用方法如下：

```

B = regress(Y,X)

```

这个函数会返回一个2行1列的向量，也就是系数B的值。

第三步：验证结果

最后，我们需要验证我们拟合出的结果是否可靠。我们可以使用拟合残差来评估我们的拟合效果，同时也可以用图形的方式来直观地观察。对于残差，可以使用如下代码来计算：

```

e = Y - X * B

```

这个代码会计算出每一行数据的残差。我们可以使用hist函数来显示残差分布的直方图：

```

hist(e)

```

对于图形，我们可以使用plot函数来绘制拟合曲线。具体代码如下：

```

plot(X(:,2),Y,'o')

hold on

plot(X(:,2),X * B,'-')

hold off

```

这个代码会在同一个坐标系内绘制出数据点以及拟合曲线，以直观地观察拟合效果。

matlab多元函数拟合曲线

matlab多元函数拟合曲线

matlab多元函数拟合曲线

Matlab是一种强大的数值计算软件，它可以用来进行多元函数拟合曲线。多元函数拟合曲线是指根据给定的一组数据点，通过拟合函数的参数找到一个函数模型，使得该模型能够很好地表示数据的分布规律。

在Matlab中进行多元函数拟合曲线有多种方法，下面将介绍其中两种常用的方法：最小二乘法和非线性最小二乘法。

最小二乘法是一种数值计算方法，它通过最小化实际数据点与拟合函数之间的误差平方和来确定拟合函数的参数。在Matlab中，可以使用内置的函数`polyfit`进行多项式拟合。`polyfit`函数的用法如下：

```

p = polyfit(x, y, n)

```

其中，`x`和`y`是数据点的横纵坐标，`n`是多项式的次数。`polyfit`函数将返回一个包含拟合函数的参数的向量`p`。可以使用`polyval`函数将参数`p`应用于新的输入数据来得到拟合曲线的纵坐标。例如：

```

y_fit = polyval(p, x)

``` 非线性最小二乘法用于拟合非线性的曲线。在Matlab中，可以使用`lsqcurvefit`函数进行非线性最小二乘拟合。`lsqcurvefit`函数的用法如下：

```

p = lsqcurvefit(fun, p0, x, y)

```

其中，`fun`是拟合函数模型，`p0`是拟合函数的初始参数值，`x`和`y`是数据点的横纵坐标。`lsqcurvefit`函数将返回一个包含最佳拟合参数的向量`p`。

需要注意的是，拟合函数模型`fun`需要根据数据的特点来选择。通常情况下，可以先根据数据分布的形状和特征，选择一个合适的拟合函数模型，然后再进行拟合。

对于多元函数拟合曲线，可以通过将多元函数模型转换成一元函数模型进行拟合。例如，对于二元函数拟合曲线，可以将二元函数表示为一元函数的形式，然后使用上述方法进行拟合。例如，对于二元函数`z=f(x,y)`，可以将其转换为`z=f(u)`的形式，其中`u=[x,y]`是一个二维向量。