弧度制及弧度制和角度制的换算

弧度制的概念和换算总结

要点

1. 角度制与弧度制:这是两种不同的度量角的制度.角度制是以“度”为单位;弧度制是以“弧度”为单位.

2. 度与弧度的相互换算:

10≈0.01745弧度, 1弧度≈57018/.

3. 在同一个式子中,两种制度不能混用.如:与600终边相同的角的集合不能表示为{x|x=2kπ+600,k∈Z},正确的表示方法是x|x=2kπ+3,k∈Z }或{ x|x=k·3600 +600,k∈Z }

同步练习

1. 若α=－3.2,则角α的终边在 ( )

(A)第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

2.①4, ② －45,③419,④－43,其中终边相同的角是 ( )

(A) ①和② (B) ②和③ (C) ③和④ (D) ①和④

3. 若4π

4.正三角形,正四边形,正五边形, 正六边形, 正八边形, 正十边形, 正n边形的一个内角的大小分别_____,____ ,_____,_____,_____,_____, ______.(用弧度表示)

5.把下列各角用另一种度量制表示.

⑴1350 ⑵ －67030/ ⑶2 ⑷－67

1. 将下列各数按从小到大的顺序排列.

Sin40, sin21, sin300, sin1

2. 把下列各角化成2kπ+α（0≤α＜2π,）的形式, 并求出在(－2π,4π)内和它终边相同的角.

(1)－316π; (2)－6750.

3. 若角θ的终边与1680角的终边相同,求在[0,2π]内终边与3角的终边相同的角.

练习四 弧度制(二)

要点 1. 弧长公式和扇形面积公式:

弧长公式 L=|α|r 扇形面积公式 S=21Lr=21|α|r2

其中α是圆心角的弧度数,L为圆心角α所对的弧长,r为圆半径.

2. 无论是角度制还是用弧度制,都能在角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系,但用弧度制表示角时,容易找出与角对应的实数.

同步练习

1.半径为5 cm的圆中,弧长为415cm的圆弧所对的圆心角等于 ( )

(A)1450 (B) 1350 (C) 0135 (D) 0145

2.将分针拨快10分钟,则分针转过的弧度数是 ( )

(A)3 (B)－3 (C) 6 (D)－6

3. 半径为4 的扇形,基它的周长等于弧所在的半圆周的长,则这个扇形的面积是_________.

4. 已知一弧所对的圆周角为600,圆的半径为10cm,则此弧所在的弓形的面积等于___________.

5. 已知扇形的周长为6cm,面积为2cm2,求扇形圆心角的弧度数.

6. 2弧度的圆心角所对的弦长为2,求这个圆心角所夹扇形的面积.

7. 一条弦的长度等于其所在圆的半径r.

(1) 求这条弦所在的劣弧长;

(2) 求这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.

【数学2】

二、弧度制

第一课时

教学要求：

1．理解弧度制的意义，熟练掌握弧度制与角度制的互换．

教学过程：

1．为什么要引入新的角的单位弧度制.

（1）为了计算的方便，角度制单位、度、分、秒是60进制，计算不方便；

（2）为了让角的度量结果与实数一一对应.

2．弧度制的定义

先复习角度制，即1度的角的大小是怎样定义的.

1弧度角的规定.

把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.

弧度的单位符号是rad，读作弧度.

如上图，AB的长等于半径r，∠AOB的大小就是1弧度的角.弧AC的长度等于2r,则∠AOC=2rad.

问半圆所对的圆心角是多少弧度，圆周所对的圆心角是多少弧度？

答：半圆弧长是,,rrr半圆所对的圆心角是弧度.

同样道理，圆周所对的圆心角（称谓周角）的大小是2弧度.

角的概念推广后，弧的概念也随之推广.所以任意一正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零.

3．弧度制与角度制的互化

因为周角的弧度数是2，角度是360°，所以有

radradradrad01745.018011802360

把上面的关系反过来写

1803602radrad

815730.57)180(1radrad

例1：把.0367化成弧度

解：.835.671805.670367radrad 例2：把rad53化成角度. 1081805353rad

今后用弧度制表示角时，把“弧度”二字或“rad”通常省略不写，比如66就表示 rad，角.2,2rad等于就是角 rad33sin表示角的正弦.

360~0之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.

度 0° 30°

45° 60° 90° 120° 135°

150° 180° 270° 360°

弧度 0 6 4 3 2 32 43 65  23 2

例3：用弧度制表示

（1）与32终边相同的角；

（2）第四象限的角的集合.

解：（1）与.,32232Zkk终边也相同的角是

（2）第四象限的角的集合是

},22223|{Zkkk

也可能写成},222|{Zkkk

注意两种角度制不准混合用，如写成

.,2120是不对的Zkk

布置作业，课本P12，1~5题.

第二课时

教学要求：

1．熟练弧度制与角度制的互化，理解角的集合与实数集R的一一对应.

2．会用弧长公式，扇形面积公式，解决一些实际问题.

教学过程：

复习角的弧度制与角度制的转化公式

.017453.01801,81.573.573.57)180(1radradrad

1．学生先练习，老师再总结.

（1）10 rad角是第几象限的角？ （2）求sin1.5的值.

解：（1）有两种方法. 第一种方法21336057310rad，是第三象限的角 第二种方法23210),210(210而

∴10 rad的角是第三象限的角.

（2）9975.07585sin5.1sin75855.1

也可以直接在计算器上求得，先把角的单位转至RAD，再求sin1.5即可得.

2．总结角的集合与实数集R之间的一一对应关系.

正角的弧度数是一个正数，负的弧度数是一个负数，

零角的弧度是零.反过来，每个实数都对应唯一的角（角

的弧度数等于这个实数）

这样就在角的集合（元素是角）与实数集R（元素是数）

之间建立了一一对应的关系.

3．弧长公式，扇形面积公式的应用

由弧度制的定义||rlrld得弧长

例1：利用弧度制证明扇形面积公式llRS其中,21是扇形弧长，R是圆的半径.

证明：因为圆心角为1 rad的扇形的面积是22R，

而弧长为l的扇形的圆心角为radRl，所以它的面积

lRRRlS2122.

若已知扇形的半径和圆心角，则它的面积又可以写成

||21||21212RRRlRS

例2：半径R的扇形的周长是4R，求面积和圆心角.

解：扇形弧长为4R-2R=2R，圆心角)(22radRR

面积2221RRS.

例3：在扇形AOB中，∠AOB=90°，弧长为l，

求它的内切圆的面积.

解：先求得扇形的半径llr22

设圆的半径为x，圆心为C，xOC2||

由lxx22 解得llx)12(2)12(2 l

S⊙C22)223(4lx

4．学生课堂阅读课本P10~11 例5、例6

并作P11练习7、8两题.

布置作业，课本P12—13，习题4.2 6、8、9、10、11

§4.2弧度制

[教学目标]

（1）通过本小节的学习，要使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；

（2）了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；

（3）掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度解决某些简单的实际问题。

[教学重点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；其中，讲清1弧度的角的意义，是建立弧度概念的关键。

[教学难点]

使学生理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。弧度的概念及其与角度的关系，是本小节的乃至本章的难点；

[教学过程]

一．引入

我们在初中几何里学习过角的度量，规定周角的3601为1度的角，这种用度作为单位来度量角的单位制度叫做角度制。下面再介绍在数学和其他科学中常用到的另一种度量角的单位制——弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度。

二．新课

定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1rad。

rad1rad2OOABACrrrl2

[说明]学生阅读课本，教师作要点说明，并进行归纳。

一般地，可以得到：

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0；角的弧度数的绝对值

rl||

其中l是以角作为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径。