高二圆与方程练习题
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高二圆与方程练习题
题目一：
已知圆心为O，半径为r的圆C，过点A（2，3）的切线与圆C相交于点B，且∠AOB = 60°。求圆C的方程。
解答：
设圆C的方程为(x - p)² + (y - q)² = r²。
由题意可知，点A（2，3）在圆C上，即（2 - p）² + (3 - q)² = r² ①。
又已知∠AOB = 60°，则角AOB是一个正三角形，OB的长度等于r，而点B在切线上，所以OB ⊥ AB。
根据切线与半径的垂直性质可知，∠OAB = 90°，则AO的长度等于r。
因此，我们可以得到点O的坐标为(p，q+r)。
由正三角形的性质可知，三角形AOB中，∠ABO = 30°，所以△ABO为等腰三角形。
根据等腰三角形的性质可知，OA = OB，即√[(2 - p)² + (3 - q)²] =
√[(p - 2)² + (q + r - 3)²] ②。
将①式代入②式中，并整理得：
(2 - p)² + (3 - q)² = (p - 2)² + (q + r - 3)²。
化简上式得 jq + pr - pq = r² 即 jq + pr = pq + r²
由此推出 q(p - j) = r² - pr = r² - qr + 2r(q - 3) + qr²
化简得 pr = 2r(q - 3)
再由Pr = 2r(x - p)
解得 x = (pq - 6r) / (p - 2r) + 2r
验证题意满足
所以得方程为 (x - pq/(p-2r) )² + (y + 6/(p-2r) ) ² = r²
题目二：
已知圆C的方程为(x - 4)² + (y + 3)² = 25，请求圆C的圆心和半径。
解答：
设圆C的圆心为（a，b），半径为r。
根据圆C的方程可得 (x - 4)² + (y + 3)² = 25。
由此可得 a = 4，b = -3 ，r = 5。
所以圆C的圆心为（4，-3），半径为5。
题目三：
已知圆A的方程为(x - h)² + (y - k)² = r²，圆B的方程为(x - p)² + (y -
q)² = s²，且圆A与圆B相交于点M和N。求M和N的坐标。
解答： 假设圆A与圆B相交于点M（x₁，y₁）和N（x₂，y₂）。
由圆A的方程可得 (x₁ - h)² + (y₁ - k)² = r²，即 x₁² - 2hx₁ + h² +
y₁² - 2ky₁ + k² = r²。 ①
由圆B的方程可得 (x₁ - p)² + (y₁ - q)² = s²，即 x₁² - 2px₁ + p² +
y₁² - 2qy₁ + q² = s²。 ②
同理可得 (x₂ - h)² + (y₂ - k)² = r²，即 x₂² - 2hx₂ + h² + y₂² - 2ky₂
+ k² = r²。 ③
(x₂ - p)² + (y₂ - q)² = s²，即 x₂² - 2px₂ + p² + y₂² - 2qy₂ + q² = s²。
④
将①、②两式相减可以消去 x₁² 和 y₁²，同时去除掉常数项可以推导出以下关系：
-2h(x₁ - p) - 2k(y₁ - q) = -2px₁ + p² - (- 2hx₁ + h²) - 2qy₁ + q² - (-2ky₁ + k²)
化简得 2(p - h)x₁ + 2(q - k)y₁ + p² - h² + q² - k² = 0。 ⑤
同理可得 2(p - h)x₂ + 2(q - k)y₂ + p² - h² + q² - k² = 0。 ⑥
将方程⑤与方程⑥联立解得：
2(p - h)x₁ + 2(q - k)y₁ + p² - h² + q² - k² = 2(p - h)x₂ + 2(q - k)y₂ + p²
- h² + q² - k²
化简得 (p - h)(x₁ - x₂) + (q - k)(y₁ - y₂) = 0
即 (p - h)(x₁ - x₂) = (k - q)(y₁ - y₂) 由此可以得出两种情况：
1. 若 x₁ = x₂，则有 p = h。
代入方程④得 (y₂ - q)² = s²，即 y₂ = q±√(s² - (x₂ - p)²)。
2. 若 y₁ = y₂，则有 q = k。
代入方程④得 (x₂ - p)² = s²，即 x₂ = p±√(s² - (y₂ - q)²)。
综上所述，根据圆A和圆B的方程，可以通过解方程组得到点M和点N的坐标。
