结构动力学大作业2
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结构动力学大作业
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结构动力学大作业
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目录
1. Wilson-θ法原理简介 ....................................................................................................... 2
2. Wilson-θ程序验算 ........................................................................................................... 3
2.1 △t的影响 ....................................................................................................... 4
2.2 θ的影响 ......................................................................................................... 5
3. 非线性问题求解 ............................................................................................................... 5
4. 附录 ................................................................................................................................... 8
Wilson-θ法源程序 ................................................................................................... 8
结构动力学大作业
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1. Wilson-θ法原理简介
图1-1Wilson-θ法示意图
Wilson-θ法是基于对加速度a的插值近似得到的，图1-1为Wilson-θ法的原理示意图。
推导由t时刻的状态求t+△t时刻的状态的递推公式：
()tttttyyyyt (1-1)
对τ积分可得速度与位移的表达式如下：
2()2ttttttyyyyyt (1-2)
23()26tttttttyyyyyyt (1-3)
其中τ=θt，由式(1-2)、(1-3)可以解出：
266()2()tttttttyyyyytt (1-4)
3()22ttttttttyyyyyt (1-5)
将式(1-4)、(1-5)带入运动方程：
myCykyP (1-6)
ttttttttmyCykyP (1-7)
注意到此时的式子为{tty}和上一个时刻ty、ty、ty以及t+θ△t时刻的荷载ttP相关，可以运用迭代的思想来求解，下图给出线弹性条件下Wilson-θ法的流程图： 结构动力学大作业
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开始施加荷载P(t),时间微段Δt,确定结构的[k]、[m]、[c]，初始时刻的位移{y}0和速度{v}0，加速度{a}0确定θ值计算积分常数i
图1-2Wilson-θ法流程图
2. Wilson-θ程序验算
对线弹性条件下的Wilson-θ法进行MATLAB编程，源代码见附录。选取如下算例进行验证。 结构动力学大作业
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对于一个单自由度的无阻尼结构，当其受到一个周期荷载时，其结构响应分为稳态解和瞬态解，由于没有阻尼的影响，其瞬态解并不会衰减，其理论表达式为：
021()()(sinsin)1pxtttk (2-1)
式中，()xt为位移响应，0p为激励，k为刚度，为荷载频率与固有振动频率之比，为荷载频率，为结构固有频率。
现令0p为1，k为1，则为1，取为2/3。程序求得的解与解析解对比如图2-1所示（由于理论解与程序基本重合，所以将理论解乘以-1，方便比较）：
01020304050-4-2024位移y时间tWilson-法 理论解a)位移 01020304050-4-2024速度v时间t Wilson-法 理论解b)速度
01020304050-4-2024加速度a时间tWilson-法 理论解
c)加速度
图2-1Wilson-θ法结果验证
2.1 △t的影响
上述算例验证时选择的△t非常小，因此看不出理论解与Wilson-θ法的求解区别，以下改变△t的取值，探讨△t对迭代的影响。 结构动力学大作业
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01020304050-4-2024位移y时间t 理论解 t=0.01 t=0.1t=0.001
图2-2 △t对位移曲线的影响
可以看出并不是△t太大时计算结果很不准确，偏小，反映不出周期特征；当△t合适时正好基本和理论解重合，也不是△t越小越好越小时越能反映出一些细部特征，但这也不是很准确。
2.2θ的影响
当θ>1.37时，该算法是无条件稳定的算法，以下探讨θ对算法的影响。
05101520-4-2024位移y时间t 理论解 =1 =10=100 =1000
图2-3θ对位移曲线的影响
由上图可知随着θ值越大，位移的周期变大。
3. 非线性问题求解
由于实际结构并不一定为线性，其刚度会随着位移的的变化而改变，下图为求解非线性问题时的Wilson-θ法流程。此处要说明的是，刚度矩阵[K]y(t)是与位移相关的量，判断那时候速度的大小是为了确定其是否处于卸载段。具体可能得根据实际情况求解。 结构动力学大作业
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开始施加荷载P(t),时间微段Δt,确定结构的[k]、[m]、[c]，初始时刻的位移{y}0和速度{v}0，加速度{a}0确定θ值计算积分常数i
图3-1Wilson-θ法解非线性问题
修改MATLAB程序，并用该程序来计算如下例题： 结构动力学大作业
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对该问题采用Wilson-θ法非线性方式计算，采用△t=0.1s和△t=0.05s两种方式，计算位移、速度和加速度曲线如下图所示：
0.00.51.0-0.050.000.050.10位移y时间t △t=0.1 △t=0.05
a)位移 0.00.51.0-0.6-0.4-0.20.00.20.4速度u时间t △t=0.1 △t=0.05
b)速度
0.00.51.0-202加速度a时间t △t=0.1 △t=0.05
c)加速度
图3-2 非线性分析结果
由上图可知，结构在0.6s时达到位移极值，在△t=0.1s和△t=0.05s算得的值分别为0.096m和0.108m，速度极值在0.9s取到分别为-0.468和-0.580，加速度极值在△t=0.1s时为0.7s时取到，为-2.127，在△t=0.05s极值在0.75s时取到，为-2.9。 结构动力学大作业
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4. 附录
Wilson-θ法源程序
function [y_1,y_2,y_3]=wilson_theta(p,m,c,k,dt,v0,y0,a_0,theta)
%p代表输入的荷载，c为阻尼矩阵，dt为时间间隔,m为质量矩阵,k为刚度矩阵
%v0为初始的速度，y0为初始的位移.a_0为初始加速度
%输出的矩阵y_1代表位移,y_2代表速度，y_3代表加速度
ifnargin<9
theta=1.4;
end
[L,r]=size(p);
y_1=NaN(L,r);y_2=NaN(L,r);y_3=NaN(L,r);
y_1(:,1)=y0;y_2(:,1)=v0;y_3(:,1)=a_0;
%计算积分常数
a0=6/((theta*dt)^2);a1=3/theta/dt;a2=2*a1;
a3=theta*dt/2;a4=a0/theta;a5=-a2/theta;
a6=1-3/theta;a7=dt/2;a8=dt^2/6;
%计算拟刚度矩阵
k0=k+a0*m+a1*c;
%计算拟荷载
fori=1:r-1
R=p(:,i)+theta*(p(:,i+1)-p(:,i))+m*(a0*y_1(:,i)+a2*y_2(:,i)+2*y_3(:,i))+c*(a1*y_1(:,i)+2*y_2(:,i)+a3*y_3(:,i));
y_theta=k0\R;
y_3(:,i+1)=a4*(y_theta-y_1(:,i))+a5*y_2(:,i)+a6*y_3(:,i);
y_2(:,i+1)=y_2(:,i)+a7*(y_3(:,i)+y_3(:,i+1));
y_1(:,i+1)=y_1(:,i)+y_2(:,i)*dt+a8*(y_3(:,i+1)+2*y_3(:,i));
end
上述代码只适合分析线弹性结构，对于非线性结构，编写起来比较繁琐，针对不同的情况可能需要具体处理，所以本文只给出了针对本文例题的代码。与上述代码不同的是以下代码增加了一个判断的语句。
