10基本初等函数知识点总结

基本初等函数知识点

基本初等函数是指在数学中常见且重要的一类函数，包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。这些函数在数学中广泛应用于各种数学问题和实际应用中，对于学习和理解高等数学和物理等学科具有重要意义。本文将对这些基本初等函数进行详细介绍。

首先，常数函数是最简单的一个函数，它的函数值始终保持不变。常数函数的一般形式为f(x)=c，其中c是常数。常数函数在数学中常用于表示等级和水平等不变的情况。例如，常用的数学常数π就是一个常数函数，表示圆周长与直径之比。

其次，幂函数是一类形如f(x)=x^n的函数，其中x是变量，n是常数。幂函数的特点是通过改变幂指数n的大小可以得到不同形状的函数图像。比如当n为正偶数时，函数图像是一个开口朝上的平滑曲线；当n为正奇数时，函数图像是一个开口朝下的平滑曲线；当n为负数时，函数图像则是一个经过坐标轴原点的曲线。

指数函数是一类形如f(x)=a^x的函数，其中a是常数，且a大于0且不等于1、指数函数的特点是函数值随着自变量的增大而指数级增长或指数级衰减。当a大于1时，函数图像是一个增长的指数曲线；当0小于a小于1时，函数图像是一个衰减的指数曲线。

对数函数是指数函数的反函数，它表示一些数在一个给定的底数下的指数。对数函数的一般形式为f(x) = log_a(x)，其中a是常数，且a大于0且不等于1、对数函数和指数函数是一对互逆函数，它们的图像是关于y=x对称的。 三角函数是一类周期函数，包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。正弦函数的一般形式为f(x) = A*sin(Bx+C)，余弦函数的一般形式为f(x)

= A*cos(Bx+C)，正切函数的一般形式为f(x) = A*tan(Bx+C)。其中A、B、C是常数，分别表示振幅、频率和初相位。三角函数的图像具有周期性和对称性，常用于描述波动和周期性现象。

反三角函数是三角函数的反函数，它表示一些角度在三角函数中的对应值。常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。反三角函数可以用来解决三角方程和求解三角函数的反函数值。

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导数基木知识汇总试题

基本知识点：

知识点一、基本初等函数的导数公式表（须掌握的知识点）

1、 c'=0

2、 （n为正整数）

3、 Caxy=ax Int/ （exy=ex

（longaxy=-^—

4、 xlna

（In xY= —

5、 x

6、 （sinxX= cosx

7 （cosxX=-sinx

、di

8、 x T

知识点二：导数的四则运算法则

］、（〃土 v y=ur ± v'

2、 （Hv）r=u'v + zrvr

3、 （c“y=cu，

4、 v v

知识点三：利用函数导数判断函数单调性的法则

1、 如果在（“，”），（（同＞°,则/（X）在此区间是增区间，（"，b）为/对的单调增区间。

2、 如果在（“」'），广（x）v°，则在此区间是减区间，（"，b）为了（X）的单调减区间。

一、计算题

1、计算下列函数的导数:

（1）

（2） '=广（工=0）

5

（3） （»o）

2

（4） ），=/ （»o）

（5） y = x‘ （xsO） word

（6） y=r word

(7) )' = sinx

(8) y = cosx

(9) >=2、

(10) y = mx

(11) I

2、求下列函数在给定点的导数:

(1) )' = / , x = 16

x =—

(2) V = sinx , 2

7T • X =—

(4)y = xsinx , 4

(7)声，¥(3) y = cos x X =

2TT

3

⑸ >，=V

3、计算下列各类函数的导数:

（1）y = X7+X6-3/

⑵ y = x+”

（3）y = x'_cosx

（4）y = x'+2cosx

（5） y =（3x~+2） （x~5）

（6）V= 6x3-7） Gx + 8）

y =—,

（7） k+1

sinx y = -----

（8） xword

(SI)

（产+捋一。（X£+0=g （E）

高数重点知识总结

1、基本初等函数：反函数(y=arctanx)，对数函数(y=lnx)，幂函数(y=x)，指数函数(xay)，三角函数(y=sinx)，常数函数(y=c)

2、分段函数不是初等函数。

3、无穷小：高阶+低阶=低阶 例如：1limlim020xxxxxxx

4、两个重要极限：exexxxxxxxx11lim1lim)2(1sinlim)1(100

经验公式：当)(,0)(,0xgxfxx，)()(lim)(00)(1limxgxfxgxxxxexf

例如：33lim10031limeexxxxxx

5、可导必定连续，连续未必可导。例如：||xy连续但不可导。

6、导数的定义：0000')()(lim)(')()(lim0xfxxxfxfxfxxfxxfxxx

7、复合函数求导：)(')(')(xgxgfdxxgdf•

例如：xxxxxxxyxxy24122211',

8、隐函数求导：(1)直接求导法；(2)方程两边同时微分，再求出dy/dx

例如：yxdxdyydyxdxyxyyyxyx22,),2('0'22,),1(122左右两边同时微分法左右两边同时求导解：法

9、由参数方程所确定的函数求导：若)()(thxtgy，则)(')('//thtgdtdxdtdydxdy，其二阶导数：)(')('/)('/)/(/22thdtthtgddtdxdtdxdyddxdxdyddxyd

10、微分的近似计算：)(')()(000xfxxfxxf• 例如：计算 31sin 11、函数间断点的类型：(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：xxysin（x=0是函数可去间断点），)sgn(xy（x=0是函数的跳跃间断点）(2)第二类：振荡间断点和无穷间断点；例如：xxf1sin)(（x=0是函数的振荡间断点），xy1（x=0是函数的无穷间断点）

⾼数总结：基本初等函数图像及其性质

基本初等函数图像及其性质⼀、常值函数（也称常数函数）y =C（其中C 为常数）；α

1）当α为正整数时，函数的定义域为区间为),(+∞-∞∈x ，他们的图形都经过原点，并当α>1时在原点处与x 轴相切。且α为奇数时，图形关于原点对称；α为偶数时图形关于y 轴对称；2）当α为负整数时。函数的定义域为除去x=0的所有实数； 3）当α为正有理数

n

m

时，n 为偶数时函数的定义域为（0, +∞），n 为奇数时函数的定义域为（-∞,+∞），函数的图形均经过原点和（1 ,1）；4）如果m>n 图形于x 轴相切，如果m

5）当α为负有理数时，n 为偶数时，函数的定义域为⼤于零的⼀切实数；n 为奇数时，定义域为去除x=0以外的⼀切实数。

三、指数函数xa y =(x 是⾃变量,a 是常数且0>a ，1≠a )，定义域是R ；

[⽆界函数]

1.指数函数的图象：2.

1）当1>a 时函数为单调增,当10<

(

3.（选，补充）指数函数值的⼤⼩⽐较*

N ∈a ；

a.底数互为倒数的两个指数函数

x a x f =)(，

x

a x f ?

=1)(

的函数图像关于y 轴对称。

b.1.当1>a 时，a 值越⼤，x

a y =

的图像越靠近y 轴；

b.2.当10<

的图像越远离y 轴。4.指数的运算法则（公式）；

a.整数指数幂的运算性质),,0(Q n m a ∈≥；

(1) n m n m a a a +=?

(2)

nm n m a

a a -=÷

(3)

()

()

m

n nm n m a

a a ==

(4) ()n

n

n

b

a a

b =

b.根式的性质； (1)

()a a n

n

= ； (2)当n 为奇数时，

a a n

n =

当n 为偶数时，

<-≥==)0(0)

(a a a a a a n

n

c.分数指数幂；

(1))1,,,0(*>∈>=n Z n m a a a n m n

m

(2))

1,,,0(1

1*>∈>=

=-

n Z n m a a a