中考数学专题复习锐角三角函数的综合题
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中考数学专题复习锐角三角函数的综合题
/ABC=/ ACB,以AC为直径的。0分别交 AB> BC于点M、N,点
P在AB的延长线上,且 / CAB=2/ BCP
（1）求证：直线CP是。。的切线.
（3）在第（2）的条件下，求 4ACP的周长.
【答案】（1）证明见解析（2） 4 （3） 20
试题分析：（1）利用直径所对的圆周角为直角， 2/CAN=/ CAB, /CAB=2/ BCP判断出
/ ACP=90 即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可.
试题解析：（1） ZABC=Z ACB, .•.AB=AC,
.「AC为。0的直径，
/ ANC=90 ；
• •• / CAN+/ ACN=90 ； 2/ BAN=2/ CAN=Z CAB,
• •• / CAB=2/ BCP,
• •• / BCP玄 CAN,
/ ACP=ZACN+Z BCP之 ACN+Z CAN=90 ；
•・•点D在。O上，
，直线CP是。。的切线；
(2)如图，作BF,AC (2) 若 BC=2-., 史
sin/BCP=5 ,求点B到AC的距离. 一、锐角三角函数
1 .如图，在4ABC中, 4
,. AB=AC, /ANC=90； 111
・•.CN/CBW^,
••• / BCP=Z CAN, sin/ BCP=5 , 唧 sin / CAN=」，
CN
.X 丁
.•.AC=5,
.•.AB=AC=5,
设 AF=x,贝U CF=5- x,
在 Rt^ABF 中，BF?=AB2-AF2=25-x2,
在 Rt^CBF中，BF2=BC2—C声=2O— (5—x) 2,
25 - x2=2O - ( 5 - x) 2 , ..x=3, . •BF2=25 - 32=16,
BF=4,
即点B到AC的距离为4. 考点：切线的判定
2.如图，平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45。，底部点C的俯 角为30。，求楼房CD的高度(J3=1. 7).
【答案】32. 4米. 【解析】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形，应利用 其公共边构造关系式求解.
试题解析：如图，过点 B作BE，CD于点E,
根据题意，/DBE=45, /CBE=30.
• . ABXAC, CD± AC,
••・四边形ABEC为矩形，
• .CE=AB=12m,
在 Rt^CBE 中，cot Z CBE=BE ,
CE
BE=CE?cot30 ° 百2=俘 £ ,
在 Rt^BDE 中，由 /DBE=45,
得 DE=BE=12/3.
• .CD=CE+DE=12(/+1) =32.4
答：1娄房CD的高度约为32.4m .
3.如图，AB是。。的直径，弦 CD±AB于H,过CD延长线上一点 E作。。的切线交 AB 的延长线于切点为 G,连接AG交CD于K.
(1)求证：KE=GE
(2)若K^=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;
3
【答案】（1）证明见解析；（2） AC// EF,证明见解析；（3） FG= H . 仰角俯角问题.
(3)在(2)的条件下，若 sinE= A*a, 求FG的长. 考点：解直角三角形的应用 【解析】
试题分析：（1）如图1,连接OG.根据切线性质及 CD，AB,可以推出
/KGE=Z AKH=Z GKE,根据等角对等边得至U KE=GE
（2） AC与EF平行，理由为：如图 2所示，连接GD,由Z KGE=Z GKE及K^=KD?GE利 用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出 △ GKD与△ EKG相似，又利用同弧所
对的圆周角相等得到 /C=/ AGD,可推知/E=/ C,从而得到 AC// EF;
（3）如图3所示，连接OG, OC,先求出KE=GE再求出圆的半径，根据勾股定理与垂径
定理可以求解；然后在 Rt^OGF中，解直角三角形即可求得 FG的长度.
• •• / KGE吆 OGA=90 ;
• .CDXAB,
• •• / AKH+Z OAG=90 ; 又.. OA=OG,
/ OGA=Z OAG,
/ KGE=/ AKH=/ GKE,
KE=GE
（2） AC// EF,理由为连接 GD,如图2所示. 又•: / KGE=/ GKE
.•.△GKD^AEGK；
/ E=/ AGD,
又 「 ZC=Z AGD,
/ E=Z C,
••.AC// EF;
（3）连接OG, OC,如图3所示,
F G E
图3
.「EG为切线,
• •• / KGE-+Z OGA=90 ；
• .CDXAB,
• •• / AKH+Z OAG=90 ；
又 「 OA=OG,
/ OGA=Z OAG,
/ KGE=/ AKH=Z GKE, KE=GE
13
sinE=sinZ ACH=
,设 AH=3t,则 AC=5t, CH=4t,
• •• KE=GE AC// EF,
• .CK=AC=5t
HK=CK-CH=t
在Rt^AHK中，根据勾股定理得 AH2+HK2=AK2, 即（3t） 2+t2= （2%再）2,解得 t=J .
设。O 半径为 r,在 Rt^OCH 中，OC=r, OH=r-3t, CH=4t,
由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,
1251 25 I
即（r-3t） 2+ （4t） 2=r2,解得 r=力 t=八.
• •・EF为切线,
• •.△OGF为直角三角形， KD = KG .・ KG2=KD?GE 即
KG KD
GE" KG 25 CI1 4
在 Rt^OGF中，OG=r=S , tan Z OFG=tanZ CAH="
，FG=
【点睛】此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，垂径定理，勾股定理，锐角 三角函数定义，圆周角定理，平行线的判定，以及等腰三角形的判定，熟练掌握定理及性 质是解本题的关键.
4.如图，PB为。。的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA,垂足为C,交。。于点A, 连接PA AO.并延长AO交。。于点E,与PB的延长线交于点 D.
⑴求证：PA是。。的切线；
0C 12
⑵若“，=，,且OC=4,求PA的长和tan D的值.
I 5
【答案】（1）证明见解析；（2） PA =3113, tan D= 2. 【解析】
试题分析：（1）连接OB,先由等腰三角形的三线合一的性质可得： OP是线段AB的垂直平
分线，进而可得：PA=PB然后证明^PA必△PBO,进而可得/PBO=/ PAO,然后根据切 线的性质可得 /
PBO=90 ,进而可得：/PAO=90,进而可证：PA是。。的切线；
0C 2 _ = _
（2）连接BE,由#6 %且OC=4,可求AC, OA的值，然后根据射影定理可求 PC的
值，从而可求 OP的值，然后根据勾股定理可求 AP的值.
・•. OP是AB的垂直平分线，PA=PB
PA = PR
PO - PO
\0A = OHOG 25
-v'2
在 APAO 和 ^PBO 中，•••
/ PBO=Z PAO, PB=PA ••.△PAO^APBO (SSS ••.PB为。。的切线，B 为切点，・•. / PBO=90 / PAO=90 即 PAI OA,
••.PA是。O的切线；
. AC '，且 OC=4, ，AC=6, AB=12,
在Rt^ACO中，由勾股定理得：AO*/痔*= 2a
在 Rt^APO 中，「AC，OP, ，AC2=OCPC,解彳导:PC=9, •. OP=PC+OC=13 在RtMPO中，由勾股定理得：AP="W"不=3713].
36g
D = 2OA + DE = 「
kJ1
考点：1.切线的判定与性质；2.相似三角形的判定与性质； 3.解直角三角形.
5 .如图，湿地景区岸边有三个观景台 以、月、C.已知々 = 14W米，TC = 1000米，百点
位于幺点的南偏西60方向，C点位于且点的南偏东66.1”方向.
⑴求AH5c的面积；
(2)景区规划在线段 驼 的中点4处修建一个湖心亭，并修建观景栈道 血.试求为、D间的
距离.(结果精确到口」米)
Ein53.2Q^0.S0 me 53一”-56。sin 60.7 ^0.87 a>s60.7^0.49
一，..-- )
【答案】(1) 560000 (2) 565.6
【解析】
试题分析：(1)过点c作CE —民心交互m的延长线于点E,,然后根据直角三角形的内角
和求出/ CAE,再根据正弦的性质求出 CE的长，从而得到 4ABC的面积；
(2)连接且口，过点口作DF —且3 ,垂足为尸点，则口.然后根据中点的性质和余
弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可 . ，AE=2OA=4 OB=OA=a/TJ,
易证I A DEB D0P\,所以 rf DE DE
嗑DC［共；注［解得
PA 5 如也二初二运
smfi6jr^051 , cc-s6(5.L^0.41 , 试题解析：（1）过点C作随_ 交及4的延长线于点E ,
在RtA陛C 中，'=6。-7-661° = 53T , 所以 CE = AC - sin53.2 » 1000* 米.
所以 S. ▼ = L 1400x猊0 = 560000 （平方米）.
一”工 2 2 （2）连接皿,过点订作DT — 4,垂足为F点，则W . 因为口是死中点， 所以DF =（fE = 4M米，且F为期中点,
房，八加532*6。0米，
所以班二班+心二L4Q0-和口=2。刎米.
所以HF =、BE-月£ = 400米，由勾股定理得，
.必二JjT十口户=/西十网0:=』兜6=585工米.
答：幺、0间的距离为5前_6米.
（现方跟用，
考点：解直角三角形
6 .如图，已知点 H从‘工”）出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以亿人 为顶点作菱形°,叫使点％仃在第一象限内，且"OC = 60［；以|P9 3）为圆心，PC为 半径作圆.设点
八运动了 1秒，求：
（1）点U的坐标（用含F的代数式表示）；
⑵当点百在运动过程中，所有使◎2与菱形口A四的边所在直线相切的t的
O !』
值.
【答案】解：（i）过q作"11轴于q
