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一维线性谐振子

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一维线性谐振子

2 一维线性谐振子

势能为 2221)(xxU

能量本征值 )21(nEn ),2,1,0( n

能量本征函数 2212( ) ,xnnnNeHx

22()(1)ee ,nnnndHd

2301231, H=2, H=4-2 , H=8-12 ,H

,

2!nnmNn（）

递推公式 1111()2()2()0()2()2()0nnnnnnHHnHHxxHxnHx

求导公式11()()2()2()nnnndHdHxnHnHxddx

3

4 **1111022nnnnnnxxdxdx，

*22*222111(21)2221()112().222nnnnnVmxdxmndxnEnxm或者

2.2 利用Hermite多项式的求导公式，证明谐振子波函数满足下列关系：111()()()22nnndnnxxxdx

22222()(1)()(21)()(1)(2)()2nnnndxnnxnxnnxdx证明：Hermite多项式的求导公式

11()()2()2()nnnndHdHxnHnHxddx， 所以

222222212111111()[()()2()]()2()1()()2()221()()22xxnnnnnnnnnnndxNxeHxenHxdxxxnxnnxxnxnnxx

5 2112222221()221112222222(1)(21)(1)(2)2nnnnnnnnnndddnnxdxdxdxnnnnnnnnnnn **111()()022nnnnndnnpidxidxdx

222*22222*2211(21)(21)()224222nnnnnpdTdxmmdxEndxnnmm

2.3

计算一维谐振子

122221()()2xxxxxnm

122221()()2pppppnm

1()2xpn， 对于基态， 2xp。

2.4

一维谐振子处在基态2222()xitxe，求：

(1)势能的平均值2221xU；

(2)动能的平均值22pT；

(3)动量的几率分布函数。

（解法一）：

6 *22*200002201112221.422VmxdxmdxExm或者

222*002220221442pdTdxmmdxEm

（二 ）（1）dxexxUx2222222121

22222241212121221

41

0122)12(5312aandxexnnaxn

(2) dxxpxpT)(ˆ)(2122*2

dxedxdexx22222122221)(21

dxexx22)1(22222

][222222222dxexdxexx

]2[23222

442222222

41

7 或 414121UET

(3) dxxxpcp)()()(*

212221dxeePxix

dxeePxix2221 21

dxepipx2222222)(21 21

dxeeipxp222222)(212 21

2212222pe22221pe

动量几率分布函数为

2221)()(2pepcp

2.5 求一维谐振子处在激发态时几率最大的位置。

解：222122)(xxex

几率密度

222223222112 24)()(xxexexxx

22]22[2 )(3231xexxdxxd

令 0 )(1dxxd，得

8 xxx 1 0

由)(1x的表达式可知，xx 0，时，0)(1x。显然不是最大几率的位置。

2222)]251[(4)]22(2)62[(2 )(

44223322223212xxexxexxxxdxxd而

0142 )(321212edxxdx

可见 1x 是所求几率最大的位置。

2.6：试证明)x3x2(e3)x(33x2122是线性谐振子的波函数，并求此波函数对应的能量。

证：线性谐振子的S-方程为

)()(21)(22222xExxxdxd ①

把)(x代入上式，有

)3x9x2(e3e)]3x6()x3x2(x[3)]x3x2(e3[dxd)x(dxd2345x21x212333233x21222222

9 )3x9x2(e3dxddx)x(d2345x212222

)x18x8(e)3x9x2(xe3335x212345x2122222)x()7x()x3x2(e3)7x(22433x2122422

把)(22xdxd代入①式左边，得

)()(27 )(21)(21)(27 )(21)(2)(27 )(21)(2)(27 )(21)(22222222422222422222222xExxxxxxxxxxxxxxxxxxdxxd右边）（左边

只有当27E时，左边 = 右边，即 3n。

)32(3)(332122xxedxdxx，

是线性谐振子的波函数，其对应的能量为27。

2.7： 0t时，处于谐振子势212Vkx中的一粒子波函数波函数

10 22202sin(,0)cos()()22xxAeHxHx

其中、A为常数，1mk，且厄密多项式是归一的，即：

222()2!,xnneHxdxn 区别122!nnNn

（1）写出(,)xt表示式；

（2）在该态下粒子能量的测值及相对几率；

（3）0t时，，求x及随时间的变化。

解：（1）方法一 把(,0)x写成谐振子本征函数的叠加

22222220211222011222221202sin(,0)cos()()22()cos()()()sin()22cos()sin()xxxxAeHxHxAeHxAeHxAxx

11 0212021522202(,)(,0)cos()sin()cos()sin()niEtiiEtEtititxtxeAxexeAxexe

方法二。 把(,0)x按谐振子本征函数展开

(,0)()nnnxax

2222*2202200220202(,0)sin()[cos]22sin[cos22!]22cos1sin[]22nnxxnnnnnnaxdxNeHxAeHHdxANNANN

所以：0212021522202(,)cos()sin()cos()sin()iEtiEtititxtAxexeAxexe

（2）可测得的能量为 012E， 252E 。

测得二者的相对几率为22022coscotsinpp

（2） 因0、2都是偶宇称，所以(,0)x是偶宇称，0x。

且不随时间变化。

12 2.8 在0t时，一个线性谐振子处于下列归一化的波函数所描写的状态 02311(,0)()()()52xuxuxcux，

式中nu是线性谐振子的第n个本征函数。

（1）试求c的数值；

（2）写出在t时刻的波函数；

（3）在0t时谐振子能量的平均值是多少？1t秒时是多少？

解：（1）22211152tc，解得310c。

（2）57222023113(,)()()()5210tttiiixtuxeuxeuxe。

（3）222115173125222105E。

由于谐振子的哈密顿量不显含时间，所以能量是守恒量，其平均值不随时间变化，因而任何时刻谐振子的能量平均值都是125

2.9 设t=0时，粒子的状态为

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在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的计算

在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的计算

第２７卷第３期　２０１０年６月　吉　林　化　工　学　院　学　报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＪＩＬＩＮ　ＩＮＳＴＩＴＵＴＥ　ＯＦ　ＣＨＥＭＩＣＡＬ　ＴＥＣＨＮＯＬＯＧＹ　Ｖ０１．２７　Ｎｏ．３　Ｊｕｎ．　２０１０　

文章编号：１００７－２８５３（２０１０）０３－００８４－０３　在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的计算　

邢淑芝　，谷开慧　，解玉鹏　（１．长春理工大学光电信息学院。吉林长春１３００１２；２．吉林化工学院理学院，吉林吉林１３２０２２）　摘要：线性谐振子在量子力学中占有重要的地位，许多体系都可以近似地看做是线性谐振子．因此，对　线性谐振子的研究具有重要意义．本文分别用配方法、微扰法求解出一维线性谐振子在恒定弱电场中的　能量本征值，给出了求解在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的两种典型方法．　关键词：一维线性谐振子；能量本征值；微扰　中图分类号：０４１３．１　文献标识码：Ａ　在量子力学中线性谐振子是一个典型的物理模型，对于谐振子的求解十分重要的．一般教材　１－３１中　给出的只是理想的一维线性谐振子的能量本征值的求解，本文将介绍两种在恒定弱电场中的一维线性　谐振子的能量本征值的求解方法．　理想一维线性谐振子的哈密顿算符为：　＝一　要＋　２，　（１）　则体系的定态薛定谔方程（即能量本征方程）为：　（一嬖簧＋　１一一２　２）　（　）：　（　）（２）Ｌ一　十　ｒ…　，　，，　Ｉｚ，　（　）为体系的波函数，Ｅ为能量本征值．利用级数展开的方法求得本征解　为：　：　（ｎ＋　Ｉ），ｎ＝０，ｌ，２，…　（３）　本征函数：妒：（　）＝Ⅳ＾ｅ一丁ａ２ｓ２以（似）＝Ｉｎ），　：（　：　）　，　＝√　．　（４）　其本征波函数具有如下性质：　）＝吉［　１）＋　１）】，　（５）　

ｄｘ　ｆ　ｎ）＝　【√詈｝ｎ—１）一√　Ｉｎ＋１）】．　（６）　当一维线性谐振子在恒定弱电场　中时，假定电场沿正　方向，则体系的哈密顿算符为　＝　廿一器＋　一ｇ　，　（７）　其中，　＝一襄毒＋可１　２　２，　＝一ｇ黜，　下面分别利用配方法、微扰法来计簋一维线件谐振子存恒窄弱电场　中的能级．　

量子力学习题

量子力学习题

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 A

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效）

一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、简述波函数的统计解释；

2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？

3、力学量Gˆ在自身表象中的矩阵表示有何特点？

4、简述能量的测不准关系；

5、电子在位置和自旋zSˆ表象下，波函数),,(),,(21zyxzyx如何归一化？解释各项的几率意义。

二（20分）设一粒子在一维势场cbxaxxU2)(中运动（0a）。求其定态能级和波函数。

三（20分）设某时刻，粒子处在状态)cos(sin)(212kxkxBx，求此时粒子的平均动量和平均动能。

四（20分）某体系存在一个三度简并能级，即EEEE)0(3)0(2)0(1。在不含时微扰Hˆ作用下，总哈密顿算符Hˆ在)0(ˆH表象下为21100EEEH。求受微扰后的能量至一级。

五（20分）对电子，求在xSˆ表象下的xSˆ、ySˆ、zSˆ的矩阵表示。

A—1—1

河 北 大 学 课 程 考 核 试 卷

— 学年第 学期 级 专业（类）

考核科目 量子力学 课程类别 必修课 考核类型 考试 考核方式 闭卷 卷别 B

（注：考生务必将答案写在答题纸上，写在本试卷上的无效） 一、概念题：（共20分，每小题4分）

1、何为束缚态？

2、当体系处于归一化波函数(,)rt所描述的状态时，简述在(,)rt状态中测量力学量F的可能值及其几率的方法。

3、设粒子在位置表象中处于态),(tr,采用Dirac符号时，若将(,)rt改写为(,)rt有何不妥？采用Dirac符号时，位置表象中的波函数应如何表示？

量子力学

量子力学

第二章 波函数与薛定谔方程（2）

一、填空题

1、一维谐振子处于其能量本征态n,则其动能的平均值为__________；势能的平均值为___________________。

2、一维线性谐振子的量子数取n的波函数为ψn(x)，其定态薛定谔方程为 ，与ψn(x)相对应的能量为 。

3、一般来说，把无限远处为零的波函数所描写的状态称为 ，体系能量最低的态称为 。

4、线性谐振子的xxdxdH22222212ˆ，α为实数，则其能nE= 。

5、粒子处在ax0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为 ，第一激发态的波函数为 。

6、基态是指 的状态，一维线性谐振子的基态波函数为 。

7、一维线性谐振子的第一激发态的能量为 、第一激发态的波函数为 。

8、t=0时体系的状态为xxx300,，其中xn为一维线性谐振子的定态波函数，则tx, 。

9、 称为隧道效应。

答案：粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象

10、 的状态称为束缚态，其能量一般为 谱。

10、处于第3激发态的线性谐振子的经典禁区为 。

二、选择题

1、在一维无限深势阱Uxxaxa(),,022中运动的质量为的粒子的能级为

A.22224na B.22228na C.222216na D.222232na.

线性谐振子的不同解法比较

线性谐振子的不同解法比较

线性谐振子的不同解法比较

关键词：一维谐振子；能量本征值；波函数

摘 要：一维线性谐振子作为量子力学中的基础模型，它的解决方法具有多样性并随着科学工作者的努力和对数学理论的应用的不断深入（如群论和群表示理论），谐振子的解法将会最优化，并会对多维谐振子以及耦合谐振子等复合问题[1]的解决起着重要的帮助作用。在这里我们将分别从表象理论（包括坐标表象、动量表象、能量表象和占有数表象），以及矩阵力学、宇称等角度出发求解一维线性谐振子，并作出适当的比较。

中国分类号：（140物理学） 文献标识码：A 文章编号：

Comparison with Several Different Methods on the Solutions of One-dimensional Linear Harmonic

Oscillator

Key words: one-dimensional linear harmonic oscillator; eigenvalue of energy and wavefunction

Abstract: One-dimensional linear harmonic oscillator as a basic model in quantum mechanics, there are more and

more solutions to it with the increasing development of the theory of mathematics. It will serve the different

problems of multidimensional and coupled harmonic oscillator. We will respectively solve one-dimensional linear

harmonic oscillator from the theory of presentative, matrix mechanics and parity respectively.