离散型随机变量的分布列、均值与方差

离散型随机变量的分布列、均值与方差

1．离散型随机变量的均值与方差

一般地，若离散型随机变量X的分布列为

X x1 x2 … xi … xn

P p1 p2 … pi … pn

(1)分布列的性质

①pi≥0，i＝1,2,3，…，n.

②11niip

(2)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(3)方差

称D(X)=i12))((PXExnii为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根DX为随机变量X的标准差．

2．均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”错误的打“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．(√)

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．(√)

(3)离散型随机变量的概率分布列中，各个概率之和可以小于1.(×)

(4)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(√)

(5)期望值就是算术平均数，与概率无关．(×)

(6)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量．(×)

(7)在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是0.7.(√) (8)在一组数中，如果每个数都增加a，则平均数也增加a.(√)

(9)在一组数中，如果每个数都增加a，则方差增加a2.(×)

(10)如果每个数都变为原来的a倍，则其平均数是原来的a倍，方差是原来的a2倍．(√)

考点一 离散型随机变量的分布列及性质

命题点 1.写随机变量的分布列

2.求随机变量分布列的参数

[例1] (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为

X －1 0 1

P 12 1－2q q2

则q等于(

)

A．1 B．1±22 C．1－22

D．1＋22

解析：由分布列的性质知 1－2q≥0，q2≥0，12＋1－2q＋q2＝1，∴q＝1－22.

答案：C

(2)设离散型随机变量X的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 0.2 0.1 0.1 0.3 m

求：①2X＋1的分布列；

②|X－1|的分布列．

解：由分布列的性质知：

0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.

首先列表为

X 0 1 2 3 4

2X＋1 1 3 5 7 9

|X－1| 1 0 1 2 3

从而由上表得两个分布列为 ①2X＋1的分布列为

2X＋1 1 3 5 7 9

P 0.2 0.1 0.1 0.3

0.3

②|X－1|的分布列为

|X－1| 0 1 2 3

P 0.1 0.3 0.3

0.3

[方法引航] 1利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数.

2求随机变量在某个范围内的取值概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式.

1．随机变量的分布列为：

ξ －1 0 1

P a b c

其中a，b，c成等差数列，若E(ξ)＝13，则D(ξ)＝________.

解析：由a，b，c成等差数列及分布列性质得，



a＋b＋c＝1，2b＝a＋c，－a＋c＝13，解得b＝13，a＝16，c＝12.

∴D(ξ)＝16×2)311(＋13×2)310(＋12×2)311(＝59.

答案：59

2．在本例(2)条件下，求X2的分布列．

解：X2的分布列为

X 0 1 2 3 4

X2 0 1 4 9 16

P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3

考点二 离散型随机变量的均值与方差 命题点 1.求离散型随机变量的均值与方差

2.利用均值方差安排工作

[例2] (1)(2017·湖南益阳调研)某工厂有两条相互不影响的生产线分别生产甲、乙两种产品，产品出厂前需要对产品进行性能检测．检测得分低于80的为不合格品，只能报废回收；得分不低于80的为合格品，可以出厂，现随机抽取这两种产品各60件进行检测，检测结果统计如下：

得分 [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]

甲种产品的件数 5 10 34

11

乙种产品的件数 8 12 31

9

①试分别估计甲，乙两种产品下生产线时为合格品的概率；

②生产一件甲种产品，若是合格品可盈利100元，若是不合格品则亏损20元；生产一件乙种产品，若是合格品可盈利90元，若是不合格品则亏损15元，在①的前提下：

a．记X为生产1件甲种产品和1件乙种产品所获得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；

b．求生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元的概率．

解：①甲种产品为合格品的概率约为4560＝34，乙种产品为合格品的概率约为4060＝23.

②a.随机变量X的所有取值为190,85,70，－35，

且P(X＝190)＝34×23＝12，P(X＝85)＝34×13＝14，P(X＝70)＝14×23＝16，P(X＝－35)＝14×13＝112.

所以随机变量X的分布列为

X

190 85 70 －35

P 12 14 16 112

所以E(X)＝1902＋854＋706－3512＝125.

b．设生产的5件乙种产品中合格品有n件，则不合格品有(5－n)件，

依题意得，90n－15(5－n)≥300，解得n≥257，取n＝4或n＝5，

设“生产5件乙种产品所获得的利润不少于300元”为事件A， 则P(A)＝C454)32(13＋5)32(＝112243.

(2)(2016·高考全国乙卷)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

①求X的分布列；

②若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

③以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

解：①由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2，0.4,0.2,0.2.从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04； P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08； P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

X 16 17 18 19 20 21 22

P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04

②由①知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.

③记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时， E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.

当n＝20时，E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

[方法引航] 1已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义公式求解；

2已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数η＝aξ＋b的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；

3由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.

某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

日销售量(件) 0 1 2 3

频数 1 5 9

5

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．

解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.

(2)由题意知，X的可能取值为2,3.

P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；

P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.

所以X的分布列为

X 2 3

P 14 34

考点三 与二项分布有关的均值与方差