河南省济源四中2022-2023学年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析

2022-2023学年河南省天一大联考高一（上）期末数学试卷一、本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A ．∀x <0，-x 2+5x -6<0B ．∀x <0，-x 2+5x -6≤0C ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6≤0D ．∃x 0<0，−x 02+5x 0−6<01．（5分）命题“∀x <0，-x 2+5x -6>0”的否定为（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（5分）“xy >0”是“x >0，y >0”的（ ）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.33．（5分）从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，两数和为偶数的概率为（ ）A ．p ∧qB ．（￢p ）∧（￢q ）C ．（￢p ）∨qD ．p ∧（￢q ）4．（5分）设命题p ：函数f （x ）=2x 在R 上为单调递增函数；命题q ：函数f （x ）=cos 2x 为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．15．（5分）用秦九韶算法计算函数f （x ）=x 4-2x 2+x -1，当x =1时的值，则v 3=（ ）A ．10B ．11C ．12D ．136．（5分）某校640名毕业生学生，现采用系统抽样方法，抽取32人做问卷调查，将640人按1，2，…，640随机编号，则抽取的32人中，编号落入区间[161，380]的人数为（ ）A ．X A >XB ，S A >S BB ．X A <X B ，S A >S BC ．X A >X B ，S A <S BD ．X A <X B ，S A <S B7．（5分）如图所示，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为X A 、X B ，样本标准差分别为S A ，S B ，则（ ）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.58．（5分）为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到的实验数据如表，并由此计算得到回归直线方程̂y =0.85x −0.25，后来工作人员不慎将下表中的实验数据c 丢失．天数x /天34567繁殖个数y /千个c 34 4.56则上表中丢失的实验数据c 的值为（ ）A ．12月份人均用电量人数最多的一组有400人B ．12月份人均用电量不低于20度的有500人C ．12月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30，40）一组的概率为1109．（5分）供电部门对某社区1000位居民2017年12月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0，10），[10，20），[20，30），[30，40），[40，50]五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是（ ）A ．（x -1）2+（y -1） 2=4B ．（x -1） 2+（y -1） 2=5C ．（x -1） 2+（y -1） 2=6D ．（x -1） 2+（y -1） 2=810．（5分）在平面直角坐标系中，动圆C ：（x -1）2+（y -1）2=r 2与直线y +1=m （x -2）（m ∈R ）相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）A ．55B ．50C ．45D ．4011．（5分）中国古代几何中的勾股容圆，是阐述直角三角形中内切圆问题．此类问题最早见于《九章算术》“勾股”章，该章第16题为：“今有勾八步，股十五步．问勾中容圆，径几何？”意思是“直角三角形的两条直角边分别为8和15，则其内切圆直径是多少？”若向上述直角三角形内随机抛掷100颗米粒（大小忽略不计，取π=3），落在三角形内切圆内的米粒数大约为（ ）12．（5分）某公司共有职工8000名，从中随机抽取了100名，调查上、下班乘车所用时间，得下表：所用时间（分钟）[0，20）[20，40）[40，60）[60，80）[80，100）人数25501555二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．0.5B ．0.7C ．0.8D ．0.9公司规定，按照乘车所用时间每月发给职工路途补贴，补贴金额Y （元）与乘车时间t （分钟）的关系是y =200+40[t 20]，其中[t 20]表示不超过t20的最大整数．以样本频率为概率，则公司一名职工每月用于路途补贴不超过300元的概率为（ ）13．（5分）如图，程序的循环次数为 次．14．（5分）已知椭圆x 281+y 225=1的左、右焦点分别为F 1、F 2，椭圆上存在点P 使得|PF 1|=2|PF 2|，则|PF 1|= ．15．（5分）2021年夏天由于用电量增多，某市政府鼓励居民节约用电，为了解居民用电情况，在某小区随机抽查了20户家庭的日用电量，结果如表：日用电量（度）45689户数44732则关于这20户家庭的日用电量，下列说法：①中位数是6度；②平均数是6度；③众数是6度；④极差是4度；⑤方差是52．其中说法错误的序号是 ．16．（5分）已知直线y =ax 与圆C ：x 2+y 2-6y +6=0相交于A ，B 两点，C 为圆心．若△ABC 为等边三角形，则a 的值为 ．17．（10分）根据下列条件，求中心在原点，对称轴在坐标轴上的椭圆方程．（1）焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍，且过点（2，-6）；（2）焦点在x 轴上，一个焦点与短轴的两端点连线互相垂直，且半焦距为6．18．（12分）已知函数f （x ）=x 2+4x +p2+2，正数p 在集合M 上随机取值．（1）设M ={x ∈Z |0<x ≤5}，求方程f （x ）=0有实数根的概率；（2）设M ={x ∈R |0<x ≤5}，求f （x ）≥-1恒成立的概率．19．（12分）某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如所示．组号分组频数频率第1组[160，165）50.050第2组[165，170）①0.350第3组[170，175）30②第4组[175，180）200.200第5组[180，185）100.100合计100 1.00（1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图；（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试；（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行面试，求：第4组至少有一名学生被考官A面试的概率．20．（12分）2015年我国将加快阶梯水价的推行，原则是“保基本、建机制、促节约”，其中“保基本是指保证至少80%的居民用户用水价格不变，为响应国家政策，制定合理的阶梯用水价格，某城市采用简单随机抽样的方法分别从郊区和城区抽取5户和20户居民的年人均用水量进行调研，抽取的数据的茎叶图如图（单位：吨）．（1）从郊区的这5户居民中随机抽取2户，求其年人均用水量都不超过30吨的概率；（2）设该城市郊区与城区的居民户数比为1：5，现将年人均用水量不超过30吨的用户定为第一阶梯用户，并保证这一梯次的居民用户用水价格保持不变，试根据样本估计总体的思想，分析此方案是否符合国家“保基本”政策．21．（12分）已知集合A是函数y=lg（20-8x-x2）的定义域，集合B是不等式x2-2x+1-a2≥0（a>0）的解集，p：x∈A，q：x∈B．（1）若A∩B=∅，求实数a的取值范围；（2）若￢p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．22．（12分）设圆C1：(x−3)2+(y+2)2=4，圆C2：(x−5)2+(y+4)2=25，（1）判断圆C1与圆C2的位置关系；（2）点A、B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线y=x上的动点，求|PA|+|PB|的最小值．。

2022年秋期高中一年级期终质量评估数学试题（答案在最后）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效．2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．5．保持卷面清洁，不折叠、不破损．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数3()log (1)g x x =+的定义域为A ，不等式21x x +≤-的解集为B ，则A B = （）A.(1,1)-B.[2,1)--C.[1,1)-D.[2,1)-【答案】A 【解析】【分析】由对数函数的定义域为真数大于零，确定集合A ，再由分式不等式的解法，确定集合B ，然后根据集合交集的运算求解即可.【详解】函数3()log (1)g x x =+得定义域为：10x +>，则{}1A x x =>-，由不等式201x x +≤-得：(2)(1)0≤x x +-且10x -≠，则{}21B x x =-≤<，则{}11A B x x =-<< .故选：A.2.我市某所高中每天至少用一个小时学习数学的学生共有1200人，其中一、二、三年级的人数比为3:4:5，要用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为120的样本，则应抽取的一年级学生的人数为（）A.20B.30C.40D.50【答案】B 【解析】【分析】根据分层抽样的性质进行求解即可.【详解】抽取的一年级学生的人数为312030345⨯=++，故选：B3.三个实数1232log 4,log 5,3a b c -===的大小关系为（）A.a c b <<B.c a b <<C.c b a <<D.b c a<<【答案】B 【解析】【分析】根据对数函数的性质判断32log 4,log 5a b ==的范围，根据分数指数幂运算化简123c -=，判断c的范围，即可得答案.【详解】由于333221log 3log 4log 92,log 5log 42=<<=>=，12(0,1)33c -=∈=，故12323log 4log 5c a b -<=<==，故选：B4.总体由编号为01，02，…，20的20个个体组成．用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列的数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）7816657208026314021943089714019832089216493682003623486969387181A.08B.14C.16D.19【答案】C 【解析】【分析】根据随机数表，写出选出的前6个号码，即得答案.【详解】由题意可得选出的前6个号码依次为08,02,14,19,01,16，故选出来的第6个个体的编号为16，故选：C5.Logistic 模型是常用数学模型之一，可用于流行病学领域．有学者根据所公布的数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例()I t （t 的单位：天）的Logistic 模型：1484()1e tI t K --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其中K 为最大确诊病例数．当()00.05I t K =时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为(ln193)≈（）A.35B.36C.40D.60【答案】B 【解析】【分析】得到方程，整理后两边取对数，求出064ln194848123t =-≈-=.【详解】014840()1e 0.05t K I t K --⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故048419e t -=，两边取对数，94n184l t -=，解得064ln194848123t =-≈-=，故0t 约为36.故选：B6.已知(1)f x +是定义在R 上的偶函数，且对任意的121x x ≤<，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦恒成立，则关于x 的不等式(2)(1)f x f x >-的解集为（）A.(,1)-∞- B.(1,)-+∞C.(1,1)- D.,1(),)1(-∞-⋃+∞【答案】C 【解析】【分析】由(1)f x +是定义在R 上的偶函数判断函数()f x 的图象的对称性，再结合题意判断其单调性，进而根据(2)(1)f x f x >-可列相应不等式，即可求得答案.【详解】由于(1)f x +是定义在R 上的偶函数，故(1)(1)-+=+f x f x ，则()f x 的图象关于直线1x =对称；对任意的121x x ≤<，都有()()()12120x x f x f x ⎡⎤--<⎣⎦恒成立，即对任意的121x x ≤<，有120x x -<，则()()120f x f x ->，故()f x 在[1,)+∞上单调递减，根据对称性可知在(,1]-∞上单调递增，故由(2)(1)f x f x >-得|21||11|x x -<--，即2330x -<，解得11x -<<，即不等式(2)(1)f x f x >-的解集为(1,1)-，故选：C7.甲，乙，丙三人打靶，他们的命中率分别121,,3p p ，若三人同时射击一个目标，甲、丙击中目标而乙没有击中目标的概率为118，乙击中目标而丙没有击中目标的概率为49，已知“甲击中目标”，“乙击中目标”，“丙击中目标”是相互独立事件，则12,p p 的值分别为（）A.11,32 B.12,33C.12,23D.21,32【答案】C 【解析】【分析】由独立事件的概率公式列方程组求解．【详解】由题意12211(1)31814(1)39p p p ⎧-⨯=⎪⎪⎨⎪⨯-=⎪⎩，解得121223p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．故选：C ．8.若函数()log (2)1(0,1,R)a f x x t a a t =--+>≠∈有两个零点,()m n m n >，则下列说法中正确的是（）A.[1,)t ∈+∞B.3n >C.(2)(2)2m n --= D.2()3mn m n -+=-【答案】D 【解析】【分析】将函数零点转化为函数图象的交点问题，作出函数图象，数形结合，可判断A ；结合图象可判断零点的范围，判断B ；利用函数零点即相应方程的根可得()()|log 2||log 2|a a m n -=-，结合对数函数性质化简可得关于,()m n m n >的等式，化简，可判断C ，D.【详解】对于A ，令()log (2)10a f x x t =--+=，即log (2)1a x t -=-则由函数()log (2)1(0,1,R)a f x x t a a t =--+>≠∈有两个零点,()m n m n >，可知log (2)1a x t -=-有两个根，即函数log (2),1a y x y t =-=-的图象有2个交点，作出函数log (2)a y x =-的图象如图，可知要使函数log (2),1a y x y t =-=-的图象有2个交点，需满足10t ->，即(1,)t ∈+∞，A 错误；对于B ，由A 的分析可知函数log (2),1a y x y t =-=-的图象有2个交点，交点的横坐标即为,m n ，由于m n >，结合图象可知3,23m n ><<，B 错误；对于C ，D ，由题意可知log (2)1,log (2)1a a m t n t -=--=-，故()()|log 2||log 2|a a m n -=-，而3,23m n ><<，a 的取值不确定，但是()()log 2,log 2a a m n --的值必一正一负，故()()1log 2log 2log 2a a a m n n -=--=-，即(2)(2)1m n --=，故2()3mn m n -+=-，C 错误，D 正确；故选：D【点睛】方法点睛：涉及到此类海水零点问题，一般方法是将零点转化为函数图象交点问题，关键在于要判断出零点的范围，继而结合方程的根以及对数函数性质化简即可求解.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题正确的是（）A.若集合A 有()N n n *∈个元素，则A 的真子集的个数为21n -B.“R x ∃∈，使2x <”的否定是“R x ∀∈，恒有||2x >”C.函数y =的最小值为D.函数22y x x =-的零点为(0,0),(2,0)【答案】AC 【解析】【分析】根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可判定A 正确；根据全称命题与存在性命题的关系，可判定B 错误；利用基本不等式，可判定C 正确；根据函数零点的定义和求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，若集合A 有()N n n *∈个元素，根据集合子集与真子集的个数的判定方法，可得集合A的真子集的个数为21n -，所以A 正确；对于B 中，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题.“R x ∃∈，使2x <”的否定是“R x ∀∈，恒有2x ≥”，所以B 错误；对于C 中，由y =≥=当且仅当=1x =±时，等号成立，所以y 的最小值为C 正确；对于D 中，令220x x -=，解得0x =或2x =，所以函数22y x x =-的零点为0和2，所以D 错误.故选：AC.10.已知函数()2,()3x x m x h x ==，且()()m a h b =，则下列式子可能成立的是（）A.0,0a b <>B.0a b <<C.a b =D.0b a<<【答案】BCD 【解析】【分析】在同一直角坐标系中作出()2x m x =和()3x h x =的图象，然后根据图象即可完成判断.【详解】在同一直角坐标系中作出()2x m x =和()3x h x =的图象以及平行于x 轴的直线如下：则()()m a h b =时，,a b 的关系有三种可能，分别是：0a b <<，0a b ==，0b a <<.故选：BCD11.下列说法正确的是（）A.在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数一定是原始数据B.在统计学中，数字特征—平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致C.若,A B 为相互独立事件，则()()1P A P B +≤D.若,A B 为互斥事件，则()()1P A P B +≤【答案】BD 【解析】【分析】根据平均数、众数、中位数、极差和标准差的定义即可判断AB ；根据相互独立事件和互斥事件的定义即可判断CD .【详解】对于A ，一组数据1,2,3,4的中位数为232.52+=，故A 错误；对于B ，在统计学中，平均数、众数、中位数、极差和标准差的单位与原始数据单位一致，故B 正确；对于C ，,A B 为相互独立事件，无法判断()()P A P B +与1的大小，故C 错误；对于D ，由互斥事件的定义知()()1P A P B +≤，故D 正确.故选：BD.12.已知函数()f x 对任意,x y ∈R 恒有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x <，(2)4f =-，则下列结论中正确的是（）A.(1)2f =-B.()f x 是定义在R 上的奇函数C.()f x 在(,)-∞+∞上单调递增D.若2()21f x m am <-+对所有的[2,2],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，则实数(,3)(3,)m ∈-∞-+∞U 【答案】ABD 【解析】【分析】选项A ：根据赋值法求解即可；选项B ：赋值解得(0)0,f =然后结合定义判断函数的奇偶性；选项C ：根据定义作差判断函数的单调性；选项D ：根据不等式恒成立，然后结合[1,1]a ∈-以及一次函数的性质求解不等式即可；【详解】选项A ：令1,1,x y ==(2)(1)(1)2(1)f f f f =+=，又(2)4f =-，(1)2,f =-选项正确；选项B ：令0,0,x y ==(0)(0)(0)2(0),(0)0,f f f f f =+==令,y x =-则有()()(0)0,f x f x f +-==()f x 是定义在R 上的奇函数，选项正确；选项C ：设12,x x ＜则210,x x -＞又当0x >时，()0f x <，则有21()0,f x x -<即2121()()()()0f x f x f x f x +-=-＜，21()()f x f x ＜，即()()12f x f x >，()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，选项错误；选项D ：因为()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，且()f x 是定义在R 上的奇函数，所以[2,2],x ∈-()max ()24f x f =-=，又2()21f x m am <-+对所有的[2,2],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，所以2214m am -+＞即223m am --＞0在[1,1]a ∈-恒成立，将函数看成关于[1,1]a ∈-的一次函数()223g a am m =-+-，则需()()2212301230g m m g m m ⎧-=+-⎪⎨=-+-⎪⎩＞＞，解得：3m -＜或3m ＞，选项正确；故选：ABD.第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.我市某高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm ，方差为41；女生的平均身高为162cm ，方差为38．则该班所有学生身高的方差为______．【答案】58【解析】【分析】运用样本方差公式进行求解即可.【详解】设所有学生身高的平均数为x ，方差为2s ，因为高中高一（6）班有男生36人，女生18人，男生的平均身高为171cm ；女生的平均身高为162cm ，所以361817116216836183618x =⨯+⨯=++，因此()(){}222136411711681838162168583618s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦+，故答案为：5814.2112log 31643118lg 25lg 2log 9log 821002--⎛⎫+---⨯+-= ⎪⎝⎭______．【答案】8【解析】【分析】根据根式、指数对数的运算法则求解即可.【详解】原式()22111log 332232263121210012lg 5lg 2log 3log 2ln e 22=-----⨯+-12232311012lg 5lg 233log 2222=+---⨯+-()3111lg 5lg 2322=-+-+-111318=--+=.故答案为：815.新莽铜嘉量是由王莽国师刘歆等人设计制造的标准量器，它包括了龠、合、升、斗、斛这五个容量单位．每一个量又有详细的分铭，记录了各器的径、深、底面积和容积．现根据铭文计算，当时制造容器时所用的圆周率分别为3.1547，3.1992，3.1498，3.2031，比《周髀算经》的“径一而周三”前进了一大步，则上面4个数据与祖冲之给出的约率3.1429、密率3.1416这6个数据的极差为______，60%分位数为______．【答案】①.0.0615②.3.1547【解析】【分析】根据已知条件，结合极差和百分位数的定义和求法，即可求解.【详解】根据题意，所给的6个数据从小到大排列依次为：3.1416，3.1429，3.1498，3.1547，3.1992，3.2031，所以这6个数据的极差为3.2031 3.14160.0615-=，因为660% 3.6⨯=，所以第60%分位数为3.1547.故答案为：0.0615；3.1547.16.已知函数()()2lg 1,165,0x x f x x x x ⎧--<-⎪=⎨-+≥⎪⎩，若函数2()[()]()5g x f x bf x =-+有7个零点，则实数b 的取值范围是______．【答案】(6,)+∞【解析】【分析】根据函数零点定义，结合换元法、数形结合思想进行求解即可.【详解】函数()f x的图象如下图所示：令()f x t =，函数2()[()]()5g x f x bf x =-+可化为25y t bt =-+，函数2()[()]()5g x f x bf x =-+有7个零点，等价于方程2()[()]()50g x f x bf x =-+=有7个不相等的实根，当0=t 时，2[()]()50f x bf x -+=可有三个不相等的实根，当(0,5]∈t 时，2[()]()50f x bf x -+=可有四个不相等的实根，当(5,)t ∈+∞时，2[()]()50f x bf x -+=可有三个不相等的实根，设250t bt -+=的两根为12,t t ，且12t t <，若120,(0,5]t t =∈，方程250t bt -+=无零根，不符合题意，若12(0,5),(5,)t t ∈∈+∞，()25y g t t bt ==-+，由题意可知：()()()2Δ2000506525550b g b g b ⎧=-->⎪=>⇒>⎨⎪=-+<⎩，若125,(5,)t t =∈+∞，则有255506b b -+=⇒=，此时2650t t -+=，这时21t =，显然不满足2(5,)t ∈+∞，综上所述：实数b 的取值范围是(6,)+∞，故答案为：(6,)+∞【点睛】关键点睛：本题的关键是把函数零点问题转化为方程的实根问题，运用数形结合思想.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}22{|(2)(2)0},|0log log 4A x x a x a B t t =+--<=≤≤．（1）在①1a =，②2a =这两个条件中选择一个作为已知条件，求A B ⋂；（2）若“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）(2,3)【解析】【分析】（1）不论选①1a =，还是选②2a =，都要确定出集合A ，根据对数函数单调性求得集合B ，根据集合的交集运算即可求得答案；（2）由题意可推出BA ，分类讨论集合A ，列出相应不等式组，即可求得答案.【小问1详解】选择①1a =作为已知条件，则{|(1)(2)0}{|12}A x x x x x =+-<=-<<，又∵{}22|0log log 4{|14}B t t t t =≤≤=≤≤，∴{|12}A B x x =≤< ．选择②2a =作为已知条件，则{|(4)0}{|04}A x x x x x =-<=<<，又∵{|14}B t t =≤≤，∴{|14}x x A B ≤<= ．【小问2详解】因为“x A ∈”是“x B ∈”的必要不充分条件，所以B A ，由于{|14}B t t =≤≤，方程(2)(2)0x a x a +--=的根122,2x a x a =-=，分三种情况讨论：①当22a a -=，即2a =-时：A =∅，不满足题设，舍去；②当22a a -<，即2a >-时：{|22}A x a x a =-<<，此时须满足2142a a -<⎧⎨<⎩，解得：23a <<；③当22a a ->，即2a <-时：{|22}A x a x a =<<-，须满足2142a a <⎧⎨<-⎩，无解；综上：(2,3)a ∈．18.已知函数1()423()x x f x a a +=-⋅+∈R ．（1）若()0f x ≥对x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（2）若函数()f x 的单调递增区间是[0,)+∞，求a 的值．【答案】（1）(a ∈-∞（2）1a =【解析】【分析】（1）将不等式变形为3222x x a ≤+恒成立，借助于基本不等式求最值，即可求出a 的范围；（2）令()2x t x =，结合复合函数的单调性可知223y t at =-+单调增区间是[1,)+∞，由二次函数的增减性即可求出a 的取值.【小问1详解】即14230x x a +-⋅+≥对任意x ∈R 恒成立，∴4332222x x x x a +≤=+恒成立，又∵322x x +≥=322x x =，即2log x =“=”成立，故所求(a ∈-∞．【小问2详解】令()2x t x =，则()t x 在[0,)+∞单调递增且1t ≥，又∵223y t at =-+图象开口向上，对称轴为t a =，∵函数()f x 单调增区间是[0,)+∞，∴223y t at =-+单调增区间是[1,),1t a +∞∴==，故1a =．19.若a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数．（1）求事件“22a b <”的概率；（2）求事件“方程2220x ax b ++=有实数根”的概率．【答案】（1）14（2）34【解析】【分析】（1）利用列举法求解，先列出取,a b 两数的所有情况，再找出满足22a b <的情况，然后根据古典概型的概率公式求解即可，（2）由题意可得22a b ≥，再根据对立事件的概率公式求解【小问1详解】设事件A 表示“22a b <”．因为a 是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数．所以样本点一共有12个：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值．符合古典概型模型，事件A 包含其中3个样本点，故事件A 发生的概率为()31124P A ==【小问2详解】若方程2220x ax b ++=有实数根，则需22440a b ∆=-≥，即22a b ≥记事件“方程2220x ax b ++=有实数根”为事件B ，由（1）知，B A=故()()()314P B P A P A ==-=．20.对于函数()f x ，若在定义域内存在实数0x 满足()()00f x f x -=-，则称函数为“倒戈函数”．（1）请判断函数2()2(0)f x ax bx a a =+-≠是否为“倒戈函数”，并说明理由；（2）若2()log (2)21f x x t =+-+是定义在[上的“倒戈函数”，求实数t 的取值范围．【答案】（1）是“倒戈函数”，理由见解析（2）3,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t【解析】【分析】（1）由“倒戈函数”的定义可得方程()()f x f x -=-有解，列方程可以直接求解判断；（2）通过参变量分离转化为函数求最值问题.【小问1详解】函数2()2(0)f x ax bx a a =+-≠是“倒戈函数”，理由如下：由()()00f x f x -=-得：()()()22000022a x b x a ax bx a -+--=-+-，化简得：()20220a x -=，解得：0x =，所以存在实数0x =()()00f x f x -=-，故函数2()2(0)f x ax bx a a =+-≠是“倒戈函数”．【小问2详解】因为2()log (2)21f x x t =+-+是定义在[上的“倒戈函数”，所以关于x 的方程()()f x f x -=-有解，即22log (2)21log (2)21x t x t -+-+=-++-有解，等价于()2222(21)log [(2)(2)]log 4,[t x x xx -=-++=-∈有解，又因为2244x ≤-≤，所以()221log 42x ≤-≤所以12(21)2t ≤-≤，解得：314t ≤≤．所以3,14⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t .21.2022年入冬以来，为进一步做好疫情防控工作，避免疫情的再度爆发，A 地区规定居民出行或者出席公共场合均需佩戴口罩，现将A 地区20000个居民一周的口罩使用个数统计如下表所示，其中每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人．口罩使用数量[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12频率0.2m 0.3n 0.1（1）求,m n 的值，根据表中数据，完善上面的频率分布直方图；（只画图，不要过程）（2）根据频率分布直方图估计A 地区居民一周口罩使用个数的75%分位数和中位数；（四舍五入，精确到0.1）（3）根据频率分布直方图估计A 地区居民一周口罩使用个数的平均数以及方差．（每组数据用每组中点值代替）【答案】（1）0.1m =，0.3n =；频率分布直方图见解析（2）75%分位数为9个，中位数为7.3个（3）平均数为7个，方差为6.4．【解析】【分析】（1）根据频数与频率关系可构造方程求得,m n ，由此可补全频率分布直方图；（2）由频率分布直方图估计百分位数和中位数的方法直接求解即可；（3）由频率分布直方图估计平均数和方差的方法直接求解即可.【小问1详解】由每周的口罩使用个数在6以上（含6）的有14000人得：140000.30.10.720000n ++==，解得：0.3n =，20000140000.20.120000m -∴=-=，则频率分布直方图如下：【小问2详解】0.20.10.30.60.75++=< ，0.60.30.90.75+=>，∴75%分位数位于[)8,10，设其为x ，则()0.680.150.75x +-⨯=，解得：9x =，即估计75%分位数为9个；0.20.10.30.5+=< ，0.20.10.30.60.5++=>，∴中位数位于[)6,8，设其为y ，则()0.360.150.5y +-⨯=，解得：7.3y ≈，即估计中位数为7.3个.【小问3详解】由频率分布直方图得一周内使用口罩的平均数为：30.250.170.390.3110.17⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（个），方差为()()()()()2222220.2370.1570.3770.3970.1117 6.4s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=，则所求平均数估计为7个，方差估计为6.4．22.已知函数()2()log 21(R)x f x kx k =-+∈的图像关于y 轴对称．（1）求k 的值；（2）若函数[]1()122()221,0,log 9,R x f x kx g x m x m -+=-⋅-∈∈，求()g x 的最大值()g m ．【答案】（1）12k =（2）()96,212,2m m g m m m -≤⎧=⎨->⎩【解析】【分析】（1）根据偶函数定义结合对数运算求参；（2）指数函数与二次函数的复合型，分类讨论求最值即可.【小问1详解】易知x ∈R ，且()()f x f x -=恒成立，即()221log 1log 212x x kx kx ⎛⎫--+=-+ ⎪⎝⎭恒成立，化简得：(21)0k x -=对任意x ∈R 恒成立，所以210k -=，解得12k =．【小问2详解】由（1）知：()21()log 212x f x x =-+，∴()[]2log 212()22122,0,log 9x x x x g x m m x +=--=-∈，令,[1,3]x t t =∈，转化为求2()2,[1,3]h t t mt t =-∈的最大值；又因为函数()h t 的图象开口向上，对称轴t m =，所以分两种讨论，①当2m ≤时，()(3)96g m h m ==-，②当2m >时，()(1)12g m h m ==-，综上所求()96,212,2m m g m m m -≤⎧=⎨->⎩．。

河南省济源市第一中学2022年高一数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为（）A．B． C. D．参考答案：C2. （5分）已知m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥βB．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β?C．若m∥α且n⊥m，则n⊥αD．若m⊥n，m⊥α且n⊥β，则α⊥β参考答案：D考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：根据线面平行和垂直，面面平行和垂直的判定定理和性质定理分别进行判断即可．解答：A．若m∥n，m∥α且n∥β，则α∥β或α与β相交．故A错误，B．若m⊥n，m∥α且n∥β，则α⊥β或α与β相交．故B错误，C．若m∥α且n⊥m，则n⊥α或n∥α或n?α，故C错误，D．若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，若n⊥β，则α⊥β，故D正确，故选：D点评：本题主要考查空间直线和平面之间平行或垂直的判定，根据相应的判定定理是解决本题的关键．3. 已知函数f（x）=，满足对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，则实数a的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，）C．[，）D．[，1）参考答案：C【考点】分段函数的应用．【分析】利用已知条件判断函数的单调性，然后转化分段函数推出不等式组，即可求出a的范围．【解答】解：对任意的实数x1≠x2，都有＜0成立，可得函数图象上任意两点连线的斜率小于0，说明函数的减函数，可得：，解得a∈[，）．故选：C．4. 已知函数f（x）=a x+b+3（a＞0且a≠1）恒过定点（﹣1，4），则b的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2参考答案：A【考点】指数函数的图象与性质．【分析】根据指数函数过定点的性质即可确定定点的坐标．【解答】解：令x+b=0，x=﹣1时，解得：b=1，此时f（x）=1+3=4，故b的值是1，故选：A．5. A. B.C. D．参考答案：D6. 若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB＝2BC＝4，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是()A. B. C. D.参考答案：B【分析】计算出半圆的面积和矩形的面积，再利用几何概型的概率公式可得出所求事件的概率。

2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题（答案在最后）本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3]D.[)3,+∞2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A .第一象限角B.第二象限角C .第三象限角D.第四象限角3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,14.函数()e ex xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C.D.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b>> B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.2C.2D.227.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年B.2023年C.2026年D.2025年8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A .[0,)+∞ B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()e xf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()ff x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.16.已知()1e xf x x=-的零点为0x ，若000e ln 2xx x m +>，则整数m 的最大值是______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.18.已知幂函数()()26mf x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.22.已知定义域为R 的函数()122xx b f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．2023-2024学年普通高中高一（上）期末教学质量检测数学试题本试卷共4页，22题，满分150分，考试时间120分钟．★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答；每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若集合{}29A x x =≤，{}2log B x y x ==，则A B ⋂等于（）A.[]3,3- B.[0,3]C.(0,3] D.[)3,+∞【答案】C 【解析】【分析】解不等式化简集合A ，求出函数的定义域化简集合B ，再利用交集的定义求解即得.【详解】由29x ≤，得33x -≤≤，则[3,3]A =-，函数2log y x =有意义，得0x >，则(0,)B =+∞，所以(0,3]A B = .故选：C2.若sin tan 0αα>，且cos tan 0αα<，则角α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用同角公式变形得sin 0,cos 0αα<>，再求出角α所在象限.【详解】由sin tan 0αα>，cos tan 0αα<，得2sin 0cos αα>，sin 0α<，因此sin 0,cos 0αα<>，所以角α是第四象限角.故选：D3.函数()lg 2f x x x =+-的零点所在区间为（）A.()3,4 B.()2,3 C.()1,2 D.()0,1【答案】C【解析】【分析】根据零点存在性定理和单调性即可求解.【详解】函数()()1lg11210,2lg222lg20f f =+-=-=+-=.又()f x 为单调增函数，所以()f x 有唯一零点，且在区间()1,2内.故选：C.4.函数()e e x xxf x -=+的部分图象大致为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】由函数的奇偶性及特殊点即可判定.【详解】由于()e e x x x f x -=+，x R ∈，()()e ex xxf x f x ---==-+，故()f x 为奇函数，图象应关于原点中心对称，故排除B 和C ；又因为11(1)1e e f -=<+，故排除D 项，故选：A.5.已知0.30.4a =，0.30.3b =，0.40.3c =，则（）A.a c b >>B.a b c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】B 【解析】【分析】根据指数函数0.3x y =的单调性，可以判断,b c 的大小；根据作商法可得1>ab,可得答案.【详解】0.3x y = 是减函数，0.30.40.30.3∴>，即0b c >>，而0.30.30.44(()10.33a b ==>，即a b >，a b c ∴>>，故选：B6.已知0,0x y <<，且22x y +=-，则42x y +的最小值为（）A.1B.C.2D.【答案】A 【解析】【分析】利用基本不等式，结合已知条件，即可得出答案.【详解】因为0,0x y <<，所以242221x y x y +=+≥==，当且仅当222x y =，即21x y ==-时，等号成立，故选：A ．7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化，加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长9%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是（）参考数据：lg1.090.037,lg20.3010,lg30.4771≈≈≈A.2024年 B.2023年 C.2026年 D.2025年【答案】C 【解析】【分析】根据指数函数模型列不等式求解．【详解】依题意，第n ()N n *∈时投入资金为()12019%n⨯+亿元，设2020年后第n ()Nn *∈年该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元，则()12019%200n⨯+>,得51.093n>，两边同取常用对数，得lg5lg31lg2lg310.30100.47715.9973lg1.09lg1.090.037n ----->==≈，所以6n ≥，所以从2026年开始，该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.故选：C ．8.已知2)()log (2xg x a -=+，若对于任意1212x x <<<，都有1212()()2g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A.[0,)+∞B.1[,)8-+∞ C.1[,)4-+∞ D.1[,)2-+∞【答案】B 【解析】【分析】对给定不等式作等价变形，构造函数并确定其单调性，再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.【详解】不等式1212122211)())02]()2[(2]([g x x g x g x g x x x x x x ++-->-⇔>--，令22222()()2)2(22)log (2log log xxxxf xg x a x a -=⋅++=+=+，则1212()()0f x f x x x ->-，依题意，1212,(1,2),x x x x ∀∈<，1212()()0f x f x x x ->-，因此函数22()(22)log x x f x a =⋅+在(1,2)上单调递增，令222x x u a =⋅+，而2log y u =在(0,)+∞上单调递增，则函数222x x u a =⋅+在(1,2)上单调递增，且恒有2220x x a ⋅+>令2(2,4)x t =∈，显然函数2x t =在(2,4)上单调递增，因此2v at t =+在(2,4)上单调递增，且(2,4)t ∀∈，20at t +>，当0a >时，2v at t =+在(2,4)上单调递增，当0a =时，v t =在(2,4)上单调递增，且20at t +>恒成立，因此0a ≥；当a<0时，由2v at t =+在(2,4)上单调递增，得142a -≥，解得108a -≤<，由(2,4)t ∀∈，20at t +>，得420a +≥，解得12a ≥-，因此108a -≤<，所以实数a 的取值范围是1[,)8-+∞.故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.函数()exf x -=-与()e xg x =的图象关于原点对称B.函数()1(0x f x aa -=>，且1)a ≠恒过定点()0,1C.已知命题2:0,10p x x x ∃>-+<，则p 的否定为：20,10x x x ∀>-+≥D.0x >是3x >的充分不必要条件【答案】AC 【解析】【分析】A ：根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断；B ：令10x -=，由此确定出所过定点坐标；C ：通过修改量词否定结论可得结果；D ：根据0x >与3x >的互相推出情况进行判断.【详解】对于A ：设()exf x -=-上任意一点()00,P x y ，其关于原点的对称点为(),Q x y ，所以00x x y y=-⎧⎨=-⎩，所以()e x y ---=-，所以e x y =，即Q 为e x y =图象上任意一点，故A 正确；对于B ：令10x -=，所以1x =，此时()011f a ==，所以()f x 过定点()1,1，故B 错误；对于C ：修改量词否定结论可得2:0,10p x x x ⌝∀>-+≥，故C 正确；对于D ：0x >不能推出3x >，但3x >一定能推出0x >，所以0x >是3x >的必要不充分条件，故D 错误；故选：AC .10.下列化简正确的是（）A.sin(2024π)sin αα-=- B.tan(2025π)tan αα-=C.11πsin()cos 2αα+=- D.7πcos()sin 2αα-=【答案】ABC 【解析】【分析】利用诱导公式化简各选项并判断即得.【详解】对于A ，sin(2024π)sin()sin ααα-=-=-，A 正确；对于B ，tan(2025π)tan(π)tan ααα-=+=，B 正确；对于C ，11πππsin()sin[6π()]sin()cos 222αααα+=--=--=-，C 正确；对于D ，7πππcos()cos[4π()]cos()sin 222αααα-=-+=+=-，D 错误.故选：ABC11.已知函数(2)1,0,(),0,aa x x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩则以下说法正确的是（）A.若1a =-，则()f x 是(0,)+∞上的减函数B.若0a =，则()f x 有最小值C.若12a =，则()f x 的值域为(0,)+∞D.若3a =，则存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-【答案】ABC 【解析】【分析】把选项中的a 值分别代入函数()f x ，利用此分段函数的单调性判断各选项.【详解】对于A ，若1a =-，131,0(),0x x f x x x --+≤⎧=⎨>⎩，()f x 在(0,)+∞上单调递减，故A 正确；对于B ，若0a =，21,0,()1,0,x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，当0x ≤时，()21f x x =-+，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=，则()f x 有最小值1,故B 正确；对于C ，若12a =，1231,0,2(),0,x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨⎪>⎩，当0x ≤时，3()12=-+f x x ，()f x 在区间(],0-∞上单调递减，()(0)1f x f ≥=；当0x >时，12()f x x =，()f x 在区间()0,∞+上单调递增，()(0)0f x f >=，则()f x 的值域为(0,)+∞，故C 正确；对于D ，若3a =，31,0,(),0,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩当0(1,)x ∈+∞时，()3001=>f x x ；当()020,1-∈x 时，()()()300220,1-=-∈f x x ；当(]002,-∈-∞x 时，()(]003,21-=-∞∈-f x x ，即当(]02,0x ∞-∈-时，()(]012,-∈-∞f x ，所以不存在0(1,)x ∈+∞，使得()()002f x f x =-，故D 错误.故选：ABC12.已知()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，且()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，则（）A.()()f f x 是偶函数B.()()f g x 是奇函数C.()()g g x 在[)0,∞+上单调递增D.()()g f x 在[)0,∞+上单调递增【答案】AC【解析】【分析】根据奇偶性定义可判断AB ；根据复合函数单调性可判断CD.【详解】因为()f x 是定义在R 上的偶函数，()g x 是定义在R 上的奇函数，所以()()()()ff x f f x -=，()()()()()()fg x f g x f g x -=-=，所以()()f f x 和()()f g x 均为偶函数，A 正确，B 错误；又因为()f x ，()g x 在(],0-∞上单调递减，所以()f x 在[)0,∞+上单调递增，()g x 在R 上单调递减，所以，由复合函数的单调性可知，在[)0,∞+上()()g g x 单调递增，()()g f x 单调递减，故C 正确，D 错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题卡对应题号的位置上．13.若扇形的半径为2，面积为4π3，则扇形的周长为________．【答案】4π43+【解析】【分析】由扇形的面积公式求出弧长，代入扇形周长公式即可求解.【详解】由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为,,l r S ，由题意411π2322S lr l ===⨯⨯，解得4π3l =，所以扇形的周长为442π22π433C l r =+=+⨯=+.故答案为：4π43+.14.函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减，则a 的范围为________.【答案】1a ≤【解析】【分析】函数|1|()2x f x -=是由指数2x y =变换得到的，根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得|1|()2x f x -=的单调性，从而解出答案.【详解】因为1112,1()21,12x x x x f x x ---⎧>⎪==⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得()f x 在()1,+∞单调递增，在(],1-∞单调递减.因为函数|1|()2x f x -=在(,]a -∞上单调递减所以1a ≤.故答案为：1a ≤.15.已知()y f x =是偶函数，当0x <时，()2f x x ax =+，且()33f =，则=a __________.【答案】2【解析】【分析】根据偶函数的性质可知，(3)(3)f f -=【详解】因为()y f x =是偶函数，所以()()23(3)39333f a a f -=--=-==，解得2a =.故答案为：216.已知()1e x f x x=-的零点为0x ，若000e ln 2x x x m +>，则整数m 的最大值是______.【答案】0【解析】【分析】根据题意分析()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，得到()02000000011e ln x x x x x x x x +=+⋅-=-，通过判断()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的范围即可得到答案.【详解】函数()1e x f x x=-的定义域为()(),00,∞-+∞U ，当0x <时，()0f x >恒成立，不存在零点；当0x >时，()f x单调递增，且1202f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 10f =->，所以()1e x f x x =-的零点01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0001e 0x f x x =-=，即001e x x =，两边同时取对数，即00ln x x =-，即00ln x x =-，所以()020********e ln xx x x x x x x +=+⋅-=-，所以200112m x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，记()2111,122h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，显然，()h x 单调递减，所以()()112h h x h ⎛⎫<<⎪⎝⎭，所以()708h x <<，所以整数m 的最大值是0.故答案为：0【点睛】关键点点睛：本题关键点在于判断()1e xf x x =-的零点0x 的范围，并通过001e x x =和00ln x x =-代入原式进行化简，再构造函数结合单调性判断范围进而求解答案.本题考查了转化与化归能力，属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算､求值：（1）32log 2335lg 2lg23lg0.01lne 272++-++；（2）112519sin cos tan 634πππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【答案】（1）17（2）2【解析】【分析】（1）利用指对幂的运算法则求解即可.（2）运用诱导公式直接化简求值即可.【小问1详解】原式5lg lg 42239lg102212172=+++++=+++=；【小问2详解】原式ππ3113sincos tan πtan π2634224⎛⎫=++-=+-= ⎪⎝⎭.18.已知幂函数()()26m f x m m x =-在()0,∞+上是增函数（1）求()f x 的解析式；（2）若()()822f a f a -<+，求a 的取值范围．【答案】（1）()12f x x=（2）{|24}a a <≤【解析】【分析】（1）利用幂函数的定义与性质即可得解；（2）利用()f x 的单调性与定义域即可得解.【小问1详解】因为()()26m f x m m x =-是幂函数，所以261m m -=，解得12m =或13m =-，又()f x 在()0,∞+上是增函数，故0m >，12m ∴=，则()12f x x =.【小问2详解】由（1）知()12f x x =在()0,∞+上是增函数，又()()822f a f a -<+，()12f x x =的定义域为[)0,∞+，82282020a a a a -<+⎧⎪∴-≥⎨⎪+≥⎩，解得24a <≤，a ∴的取值范围是{|24}a a <≤．19.已知函数()22log log 42x x f x =.（1）当[]2,8x ∈时，求该函数()f x 的值域；（2）若不等式()2log f x m x ≥在[]4,16x ∈上有解，求m 的取值范围.【答案】（1）1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）换元令2log x t =，结合二次函数的性质求值域；（2）换元令2log x t =，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，根据存在性问题分析求解.【小问1详解】因为()()()2222log log log 2log 142==--x x f x x x ，由对数函数单调性可知，当[]2,8x ∈时，[]2log 1,3x ∈，令2log x t =，[]1,3t ∈，即可得()()()22132=--=-+g t t t t t ，[]1,3t ∈，可知()232g t t t =-+的开口向上，对称轴为32t =，由二次函数性质可知当32t =时，()min 14=-g t ，当3t =时，()max 2=g t ，所以可得当[]2,8x ∈时，函数()f x 的值域为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】当[]4,16x ∈时，可得[]2log 2,4x ∈，令2log x t =，[]2,4t ∈，可得()()22132--=-+≥t t t t mt ，即232t t mt -+≥在[]2,4t ∈上有解，整理可得23+-≥t m t 在[]2,4t ∈上有解，因为函数()23=+-h t t t 在[]2,4t ∈上单调递增，当4t =时，()max 32=h t 所以m 的取值范围是3,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.20.已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C （单位：万元）与生产量x （单位：千件）间的函数关系是3C x =+；销售收入S （单位：万元）与生产量x 间的函数关系是1835,06814,6x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩.（1）把商品的利润表示为生产量x 的函数；（2）当该商品生产量x （千件）定为多少时获得的利润最大，最大利润为多少万元？【答案】（1）1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩（2）生产量为5千件时，最大利润为6万元【分析】（1）设利润是y （万元），由y S C =-即可得利润关于生产量x 的函数；（2）分别由基本不等式和一次函数的单调性求得分段函数两段的最值即可求解.【小问1详解】设利润是y （万元），因为产品利润等于销售收入减去生产成本，则1835(3),06814(3),6x x x y S C x x x ⎧++-+<<⎪=-=-⎨⎪-+≥⎩，所以1822,06811,6x x y x x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪-≥⎩.【小问2详解】当06x <<时，189222(8)1888y x x x x ⎡⎤=++=--++⎢⎥--⎣⎦186≤-=，当988x x-=-，即5x =时，max 6y =，当6x ≥时，11y x =-是减函数，6x =时，max 5y =，所以当5x =时，max 6y =，所以生产量为5千件时，最大利润为6万元.21.设sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根（1）求a 的值；（2）求33cos sin 22θθππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值；（3）求()1tan tan θθπ--的值.【答案】（1）1a =（22（31【分析】（1）根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a .（2）利用诱导公式以及（1）的结论来求得正确答案.（3）利用同角三角函数的基本关系式以及（1）的结论来求得正确答案.【小问1详解】sin θ，cos θ是关于x 的方程20x ax a -+=（其中a ∈R ）的两个实数根，所以sin cos sin cos a aθθθθ+=⎧⎨=⎩，()2440,0a a a a a ∆=-=-≥≤或4a ≥，由sin cos a θθ+=两边平方得212sin cos 12a a θθ+=+=，2210a a --=，解得a =（舍）或1a =所以1a =【小问2详解】3333cos sin sin cos 22θθθθππ⎛⎫⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()22sin cos sin sin cos cos θθθθθθ=+-+()(112a a =-=-⨯=.【小问3详解】()11tan tan tan tan θθθθπ--=--22sin cos sin cos cos sin sin cos θθθθθθθθ+⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭11a =-=-=.22.已知定义域为R 的函数()122x xb f x a+-=+是奇函数．（1）求实数a ，b 的值；（2）若(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>对任意1x ≥恒成立，求k 的取值范围．【答案】（1）2a =，1b =（2）4(,)3-∞【解析】【分析】（1）根据题意可得()00f =，()()11f f -=-求解即可；（2）由函数单调性可得()f x 在(,)-∞+∞上单调递减，再将问题转化为2(3)(1)320x x k -+->对任意1x ≥恒成立，再设3x t =，根据二次不等式恒成立问题列式即可.【小问1详解】()f x 在R 上为奇函数，故()00f =，即102b a -=+，解得1b =，故()1122x x f x a+-=+.又()()11f f -=-，∴1112214a a--=-++；解得2a =.故2a =，1b =.【小问2详解】112(21)211()222(21)221x x x x x f x +--++===-++++；x 增大时，21x +增大，121x +减小，()f x 减小；()f x ∴在(,)-∞+∞上单调递减；()f x 为奇函数，∴由(3)(392)0x x x f k f ⋅+-+>得，(3)(932)x x x f k f ⋅>--；又()f x 在(,)-∞+∞上单调递减；3932x x x k ∴⋅<--，该不等式对于任意1x ≥恒成立；2(3)(1)320x x k ∴-+->对任意1x ≥恒成立；设3x t =，则2(1)20t k t -+->对于任意3t ≥恒成立；设2()(1)2g t t k t =-+-，△2(1)80k =++>；k ∴应满足：132(3)430k g k +⎧<⎪⎨⎪=->⎩；解得43k <；k ∴的取值范围为4(,3-∞．。

2021-2022学年河南省济源市第一中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设实数，则下列不等式成立的是（）A. B. C. D.参考答案：B2. 如果，，，那么（）A、 B、 C、 D、参考答案：A3. 点在直线的右下方,则a的取值范围是().参考答案：A4. 用辗转相除法求和的最大公约数为（）A．2 B．9 C．18 D．27参考答案：B略5. 在中，若，则是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C.钝角三角形D. 等腰三角形参考答案：D6. 已知偶函数f(x)满足，当时，，则函数f(x)在区间[0，π]内的零点个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2参考答案：B7. 已知a，b表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中正确的是() A．若α∥β，a?α，b?β，则a∥bB．若a⊥α，a与α所成角等于b与β所成角，则a∥bC．若a⊥α，a⊥b，α∥β，则b∥βD．若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b参考答案：D8. 全集U＝｛0，1，2,3，5，6，8 ｝，集合A＝{ 1，5， 8 }， B ={ 2 }，则集合为( )A．{ 1，2，5，8 } B．{ 0，3，6 } C．{ 0，2，3，6 } D．参考答案：C9. 已知，则是在（）A． B． C．D．参考答案：B10. 函数y=f （x ）在区间上的简图如图所示，则函数y=f （x ）的解析式可以是（ ）A ．f （x ）=sin （2x+）B ．f （x ）=sin （2x ﹣） C ．f （x ）=sin （x+）D ．f （x ）=sin （x ﹣）参考答案：B【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 【专题】计算题．【分析】根据图象的最高点和最低点，得到A 的值，根据半个周期的长度得到ω的值，写出解析式，根据函数的图象过（）点，代入点的坐标，求出φ的值，写出解析式．【解答】解：由图象知A=1，∵=，∴T=π， ∴ω=2，∴函数的解析式是y=sin （2x+φ） ∵函数的图象过（） ∴0=sin（2×+φ） ∴φ=kπ﹣，∴φ=∴函数的解析式是y=sin （2x ﹣）故选B ．【点评】本题考查由函数的图象求函数的解析式，本题解题的难点是求出解析式的初相，这里可以利用代入特殊点或五点对应法，本题是一个基础题．二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知下列四个命题：①函数是奇函数； ②函数满足:对于任意，都有; ③若函数满足，，则；④设，是关于的方程的两根，则；其中正确的命题的序号是参考答案：①②③④12. 化简：.参考答案：。

2023年春期高中一年级期终质量评估数学试题（答案在最后）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效､2.答题前､考生务必先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚4.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.5.保持卷面清洁､不折叠､不破损.第Ⅰ卷选择题（共60分）一､选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数34i12i z +=-，则z =（）A.B.1C.D.5【答案】C 【解析】【分析】根据条件，利用复数的运算法则和模长的定义即可求出结果.【详解】因为34i (34i)(1+2i)510i12i 12i (12i)(1+2i)5z ++-+====-+--，所以z ==.故选：C.2.已知ABC 的边AC 上有一点D ，且满足3CD DA =，则BD =（）A.23BC BA -+B.2133BC BA +C.3144BC BA +D.1344BC BA +【答案】D 【解析】【分析】利用向量的线性运算可得BD的表示形式.【详解】因为3CD DA =，故()3BD BC BA BD -=- ，整理得到：1344BD BC BA =+，故选：D.3.如图，四边形ABCD 的斜二测画法的直观图为等腰梯形A B C D ''''，已知4,2A B C D ''''==，则下列说法正确的是（）A.2AB = B.A D ''=C.四边形ABCD 的周长为4+D.四边形ABCD 的面积为【答案】D 【解析】【分析】根据直观图与平面图的联系还原计算各选项即可.【详解】如图过D ¢作DE O B ''⊥，由等腰梯形A B C D ''''可得：A D E ''△是等腰直角三角形，即()1422A D E '''==⨯-⨯,即B 错误；还原平面图为下图，即42,AB CD AD ===A 错误；过C 作CF ⊥AB ，由勾股定理得CB =，故四边形ABCD 的周长为：426++=+C 错误；四边形ABCD 的面积为：()1422⨯+⨯=，即D 正确.故选：D 4.已知3sin 2a =，3cos 2b =，3tan 2c =，则实数,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.b a c <<D.b c a<<【答案】C 【解析】【分析】由π3π322<<，根据正弦函数、余弦函数及正切函数的性质判断即可.【详解】因为π3π322<<，所以3π3πsin sin sin 12322=<<=，即312a <<，1π3πcos cos cos 02322=>>=，即102b <<，3πtan tan 23c =>=，所以c a b >>.故选：C5.矩形ABGH 由如图所示三个全等的正方形拼接而成，令,HBG FBG αβ∠=∠=，则βα+=（）A.π6B.π4C.π3D.π2【答案】B 【解析】【分析】设出正方形的边长，在Rt BGH △和Rt BEF △中，分别求出sin ,cos αα和sin ,cos ββ，从而可求出cos()αβ+的值，再利用(0,π)αβ+∈即可求出结果.【详解】不妨设正方形的边长为1，则在Rt BGH △中，3,1,BG GH BH ===，所以cosαα==，则在Rt BEF △中，2,1,BE EF BF ===，所以cosββ==，所以cos()cos cos sin sin2αβαβαβ+=-=，又易知，π,(0,)2αβ∈，所以(0,π)αβ+∈，故π4αβ+=.故选：B.6.如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为（）A.12B.22C.3D.3【答案】D 【解析】【分析】由展开图得到正方体的直观图，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，再由锐角三角函数计算可得.【详解】由展开图可得如下直观图，由正方体的性质可知HD ⊥平面ABCD ，则HBD ∠即为BH 与底面ABCD 的夹角，设正方体的棱长为1，则BD ==，BH ==所以6cos3BDHBD BH∠===，即BH 与底面ABCD 的夹角的余弦值为3.故选：D7.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,,60a b c B =︒且ABC 3，若6c a +=，则b =（）A.26B.5C.27D.30【答案】A 【解析】【分析】利用余弦定理结合面积公式可求b .【详解】因为ABC 的面积为3113sin 3222ac B ac =⨯=，故4ac =，又()2222222cos 3361224b a c ac B a c ac a c ac =+-=+-=+-=-=，故26b =，故选：A.8.已知点G 为三角形ABC 的重心，且GA GB GA GB +=-，当C ∠取最大值时，cos C =（）A.45B.35C.25D.15【答案】A 【解析】【分析】由题设可得0AG BG ⋅=，结合1()3AG AC AB =+ ，1()3BG BA BC =+ 及余弦定理可得2cos ()5a bC b a=+，根据基本不等式即可求解.【详解】由题意GA GB GA GB +=- ，所以22()()GA GB GA GB +=-，即222222GA GB GA GB GA GB GA GB ++⋅=+-⋅，所以0GA GB ⋅=uu r uu u r ，所以AG BG ⊥，又211()()323AG AC AB AC AB =⨯+=+ ，211()()323BG BA BC BA BC =⨯+=+ ，则11()()()099AG BG AC AB BA BC AC BA AC BC AB BA AB BC ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+⋅=，所以2CA CB AC AB BA BC AB ⋅=⋅+⋅+ ，即2cos cos cos ab C bc A ac B c =++，由222cos 2b c a A bc+-=，222cos 2a c b B ac +-=，222cos 2a b c C ab +-=，所以2225a b c +=，所以222244cos ()2555a b c a b a b C ab b a b a +-==+⋅=，当且仅当a b =时等号成立，又cos y x =在()0,π上单调递减，()0,πC ∈，所以当C ∠取最大值时，cos C =45.故选：A【点睛】关键点点睛：此题考查向量的数量积运算及余弦定理的应用，解题的关键是结合三角形重心的性质和余弦定理可得2225a b c +=，然后利用基本不等式求解，考查转化思想，属于较难题.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知不重合的两条直线,m n 和不重合的两个平面,αβ，则下列命题正确的是（）A.若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβB.若,m m αβ⊥⊥，则//αβC.若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，则//αβD.若,//m n αβ⊥，且//m n ，则αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据面面平行的判定定理可得A 的正误，根据线面垂直的性质定理可得B 的正误，根据面面垂直的判定定理可得D 的正误，根据线面的动态关系可判断C 的正误.【详解】对于A ，当,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，且,m n 相交时才有//αβ，故A 错误.对于B ，根据线面垂直的性质定理可得B 正确.对于C ，若,//m n αβ⊥，且m n ⊥，β可绕n 旋转，此时//αβ或,αβ相交，故C 错误.对于D ，因为//n β，故在β中存在一条直线s ，使得//n s ，所以//m s ，所以s α⊥，而s β⊂，故αβ⊥，故D 正确.故选：BD.10.已知复数1z 满足11iiz +=，2=+z x yi ，x ，y ∈R ，1z ，2z 所对应的向量分别为1OZ ，2OZ ，其中O 为坐标原点，则（）A.1z 的共辄复数为1i- B.当0x =时，2z 为纯虚数C.若12OZ OZ ∥，则0x y += D.若12OZ OZ ⊥，则1212z z z z +=-【答案】CD 【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数11i z =-，进而根据共轭复数以及虚部的定义可判断A ，B,根据复数的几何意义以及向量的垂直平行坐标满足的关系，即可判断C ，结合复数模长公式即可判断D.【详解】A 选项：由于11i1i iz +==-，所以1z 的共轭复数为1i +，故选项A 错误，,B 选项：当当0x =时，2i z y =，若0y =，则2z 为为实数，故选项B 错误；C 选项：易知()11,1OZ =- ，()2,OZ x y = ，又12//OZ OZ ，则11x y=-，即0x y +=，故选项C 正确;D 选项：由于12OZ OZ ⊥，则0x y -=，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x +=-++=++-=++-=+，()()()()()2222222121i i 111121z z x y x y x x x -=---=-++=-++=+，故1212z z z z +=-，选项D 正确．故选：CD.11.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图在堑堵111ABC A B C -中，AC ⊥BC ，且12AA AB ==．下列说法正确的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体1A ACB 的顶点都在同一个球面上，且球的表面积为8πC.四棱锥11B A ACC -体积最大值为23D.四面体11AC CB 为“鳖臑”【答案】ABD 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖臑”的定义，可判断A ，D 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意找到四面体1A ACB 的外接球的球心位置，求出外接球半径，利用球的表面积公式即可得到判断B.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，对A 选项，∴1AA BC ⊥，又ACBC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，对；对C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当2AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，故C 错误；对D 选项，由ACBC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，1,BC C C ⊂平面11BB C C ，∴11A C ⊥平面11BB C C ，1BC ⊂ 平面11BB C C ,∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AA C C ，1AC ⊂平面11AA C C ，BC ∴⊥1AC ，则1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形．∴四面体11AC CB 为“鳖臑”，故D 正确；对B 选项，由C 知1A BC 为直角三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，则易知1A AB △,1A AC △为直角三角形，而ABC 为直角三角形，则外接球球心O 位于1A B 的中点，则外接球半径11122R A B ==，则球的表面积为22448R πππ=⨯=，故B 正确.故选：ABD ．12.已知函数()()*sin cos ,Nnnn f x x x n =+∈，则下列说法正确的是（）A.()1f x 在区间ππ,34⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增B.若()12f x =，则()38f x =C.()4f x 的最小正周期为π2D.()4f x 的图象可以由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位，再向上平移34个单位得到【答案】ACD 【解析】【分析】A.由()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，利用这些函数的性质判断；B.由()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+-⎪⎝⎭求解判断；C.由()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x x x =+=+-⋅31cos 444x =+判断；D.由函数()1sin44g x x =利用平移变换和伸缩变换判断.【详解】A.()1πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ,34x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以πππ,4122x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，又sin y x =在ππ,22⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，故正确；B.由()1sin cos 2f x x x =+=，则()()()223sin cos sin sin cos cos f x x x x x x x =+-+，()()2sin cos 1sin cos 12x x x x ⎛⎫+- ⎪=+- ⎪⎝⎭，22121228⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，故错误；C.()()24422224sin cos sin cos 2sin cos f x x x x xx x =+=+-⋅，()()222222131sin cos 2sin cos 1sin2cos 4244x x x x x x =+-⋅=-=+，则2ππ42T ==，故正确；D.由函数()1sin44g x x =的图象先向左平移π8个单位得到1π1π1sin 4sin 4cos 448424y x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再向上平移34个单位得到31cos 444y x =+，故正确，故选：ACD第II 卷非选择题（共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知角θ的顶点在坐标原点，始边在x 轴非负半轴，终边经过点()1,3P ，则2sin sin cos θθθ=+__________.【答案】32##1.5【解析】【分析】根据三角函数的定义，利用条件求出tan 3θ=，再利用齐次式即可求出结果.【详解】因为角θ的终边经过点()1,3P ，所以tan 3θ=，所以2sin 2tan 233sin cos tan 1312θθθθθ⨯===+++，故答案为：32.14.已知向量()()3,3,1,1a b ==-，若()()a b a b λλ+⊥- ，则实数λ=__________.【答案】3±【解析】【分析】利用向量垂直与数量积间的关系，得到2220a b λ-= ，再根据条件即可求出结果.【详解】因为()()a b a b λλ+⊥- ，所以()()2220a b a b a b λλλ+⋅-=-= ，又()()3,3,1,1a b ==-，所以21820λ-=，解得3λ=±.故答案为：3±.15.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是_______（只需写出一个可能的值）【答案】6或12或12(写出其中一个即可)【解析】【分析】考虑一条边为1，两条边为1，三条边为1三种情况，如图所示，分别利用体积公式，和利用长方体体积减去四个三棱锥的体积，计算得到答案.【详解】一条边为1，其余边为2时，如图1，不妨设1AD =，BC 中点为E ，连接,AE DE ，作DHAE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DH AE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知DE AE ==5cos 6DEA ∠=，故sin 6DH DEA =∠==，111233266ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯=△.当有两条边为1时，只能时对边为1，如图2，不妨设1AD BC ==设对应长方体的长宽高分别为：,,a b c ，则222222441a b b c c a ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得2222a b c ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩，故22141122141442223222212V =⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=.当有三条边为1时，只能是底边三条边为1，如图3所示，E 是BC 中点，连接AE ，故DH AE ⊥于H ，易知BC DE ⊥，BC AE ⊥，AE DE E = ，故BC ⊥平面DEA ，DH ⊂平面DEA ，故DH BC ⊥，又DHAE ⊥，BC AE E = ，故DH ⊥平面ABC ，易知2DE =，2AE =，153444cos 1522DEA +-∠=，故151533sin 223DH DEA =∠=，11113322312ABC V S DH =⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△.其他情况不满足.故答案为：6或12或12(写出其中一个即可)16.如图所示，有一块三角形的空地，已知7,12ABC BC π∠==千米，AB ＝4千米，则∠ACB ＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B ，D ，E ，其中D ，E 为AC 边上的点，若使6DBE π∠=，则BD ＋BE 最小值为________平方千米．【答案】①.π6##30︒②.1)-【解析】【分析】在ABC中，利用余弦定理求得AC =+，再由正弦定理求解；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎣⎦，，，分别在BCD △，BCE 中，利用正弦定理分别求得BD ，BE，再由BD BE +=；令sin cos [1t t θθ=+∈，，转化为()BD BE f t +===求解.【详解】在ABC中，由余弦定理得)2222··cos 162AC AB BC AB BC ABC =+-∠=，28(48(1=+=+，则AC =+，根据正弦定理有7πsin sin 12AC ABACB =∠所以1πsin 022ACB ACB ⎛⎫∠=∠∈ ⎪⎝⎭，，，π6ACB ∠=∴；设5π012CBD θθ⎡⎤∠=∈⎢⎥⎣⎦，，，则5π2π63BDC BEC θθ∠=-∠=-，，在BCD △中，由正弦定理得πsin sin 6BC BD BDC ==∠5πsin 6θ⎛⎫- ⎪⎝⎭在BCE中，由正弦定理得π·sin 2πsin 6sin 3BC BE BEC θ==∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，则sin 2222BD BE ⎛⎫⎪+==⎝⎭令sin cos [1t t θθ=+∈，，则21sin cos 2t θθ-=则()BD BE f t +===易知分母()20g t t =-，且是一个单调递增的函数，则()f t 是一个单调递减的函数，当t =时，()f t有最小值，min ()1)f t ==-．故答案为：π6；1)-.四､解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.（1）在①8z z +=-，②z 为纯虚数，③z 为非零实数这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并对其求解.已知复数()()222334i(i z m m m m =--+--为虚数单位)，若__________，求实数m 的值.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分.（2）已知1i x =-是关于x 的实系数一元二次方程20x ax b ++=的一个根，求,a b 的值.【答案】（1）答案见解析；（2）2,2a b =-=【解析】【分析】（1）由复数的类型以及运算，列出关系式，从而得出实数m 的值；（2）将1i x =-代入方程求得,a b .【详解】选条件①：因为()()222334i z m m m m =-----，又8z z +=-，所以，()22238m m --=-，解得1m =.选条件②：z 为纯虚数22230340m m m m ⎧--=∴⎨--≠⎩，解得 3.m =选条件③：z 为非零实数，22230340m m m m ⎧--≠∴⎨--=⎩，解得4m =.（2）因为1i x =-为实系数一元二次方程：20x ax b ++=的一个根，()2(1i)1i 0a b ∴-+-+=，即(2)i 0a b a +-+=，所以020a b a +=⎧⎨+=⎩，解得，2,2a b =-=.18.已知,a b是同一平面内的两个向量，其中()()1,2,,1a b λ== .（1）当1λ=时，求a 与b的夹角的余弦值；（2）若2a b + 与22a b - 共线，求实数λ的值.【答案】（1）10（2）12【解析】【分析】（1）由两向量余弦的夹角公式，根据条件，利用数量积的坐标运算和模长公式即可求出结果；（2）根据条件，先求2a b + 与22a b - 的坐标，再利用共线的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】当1λ=时，()1,1b = ，又()1,2a =，所以cos ,10a b a b a b⋅==⋅.【小问2详解】因为()()1,2,,1a b λ== ，所以2(12,4)a b λ+=+，22(22,2)a b λ-=- ，又2a b + 与22a b - 共线，所以(12)24(22)0λλ+⨯-⨯-=，解得12λ=.19.如图，在圆锥PO中，已知PO O =的直径2AB =，点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点.（1）证明：平面POD ⊥平面PAC ；（2）求二面角B AC P --的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）由圆锥的性质可得PO AC ⊥，由圆的性质可得AC OD ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POD ，再由面面垂直的判定定理可证得结论；（2）利用（1）条件得到PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，再利用条件求出Rt POD 的三边长即可求出结果.【小问1详解】连接OC ，因为OA OC =,D 为的AC 中点，所以AC OD ⊥.又PO ⊥底面O ，AC ⊂底面O ，所以PO AC ⊥，又OD PO O = ，,PO OD ⊂面POD ，所以AC ⊥平面POD ，又AC ⊂平面PAC ，所以平面POD ⊥平面PAC．【小问2详解】由（1）知AC ⊥平面POD ，,OD PD ⊂面POD ，所以,AC OD AC PD ⊥⊥，故PDO ∠是二面角B AC P --的平面角，在Rt POD中，PO =，又点C 是 AB 的中点，点D 为AC 的中点，所以1222OD BC ==，故2PD ==，所以22cos 5OD PDO PD ∠===，即二面角B AC P --的余弦值为5.20.已知锐角ABC 的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()sin ,cos m A A =，()2sin cos ,sin n B C C =-- ，且m n ⊥ .（1）求角A 的值；（2）若2b =，求ABC 周长的取值范围.【答案】（1）π6A =（2）3,2++【解析】【分析】（1）利用向量垂直的坐标形式结合三角变换可得1sin 2A =，故可求π6A =.（2）利用正弦定理结合三角变换公式可得1tan2a c B +=+，据此可求周长的取值范围.【小问1详解】因为m n ⊥，故()()sin 2sin cos cos sin 0A B C A C -+-=，整理得到：2sin sin sin cos cos sin 0A B A C A C --=，故2sin sin sin A B B =，而π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故sin 0B >，所以1sin 2A =，而π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故π6A =.【小问2详解】22(sin sin )(sin sin )sin a c R A C A C B+=+=+215π211sin()cos sin sin 26sin 222B B B B B ⎛⎫⎡⎤=+-=++ ⎪⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭1cos 1sin tan 2B B B +=+=+,因为ABC 为锐角三角形，故π025ππ062B B ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，故ππ32B <<，所以ππ624B <<，故3tan 132B<<1a c +<+<，故周长的取值范围为3,2++.21.如图是一个以111A B C △为底面的正三棱柱被一平面所截得的几何体，截面为ABC .已知1114,2,3AA BB CC ===.（1）在边AB 上是否存在一点O ，使得//OC 平面111A B C ？若存在，求出AOOB的值；若不存在，请说明理由；（2）若112A B =，求几何体111A B C ABC -的体积.【答案】（1）存在，此时1AOOB=，理由见解析（2）33【解析】【分析】（1）取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，从而得到四边形1ODC C 为平行四边形，即可得到1//OC C D ，从而得证；（2）将几何体转化为一个四棱锥和正三棱柱的体积进行计算.【小问1详解】存在，此时1AOOB=，如图，取AB 的中点O ，连接OC ，作1//OD AA 交11A B 于点D ，连接1C D ，则11////OD BB CC ，因为O 是AB 的中点，所以OD 为梯形11AA B B 的中位线，所以()111132OD BB AA CC =+==，所以四边形1ODC C 为平行四边形，所以1//OC C D ，又1C D ⊂平面111A B C ，OC ⊄平面111A B C ，所以//OC 平面111A B C ，即在边AB 上是存在一点O ，使得//OC 平面111A B C 且1AOOB=.【小问2详解】如图在1AA 上取点D 使得112A D BB ==，在1CC 上取点E 使得112C E BB ==，连接BD 、DE 、BE ，则三棱柱111DBE A B C -为正三棱柱，取DE 的中点F ，连接BF ，取11A C 的中点G ，连接1B G ，则BF DE ⊥，111B G A C ⊥，又平面BDE ⊥平面11ACC A ，平面BDE ⋂平面11ACC A DE =，BF ⊂平面BDE ，所以BF ⊥平面11ACC A ，又22213BF =-=，11112332A B C S =⨯=!，()12232ADEC S +⨯==，所以13333B ADEC V -=⨯=，11111113DBE C A C B B A V S A D -⋅== 所以1111113A B C ABC B ADEC BE A D B C V V V ---+==22.已知函数()π4sin cos 33f x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π18个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间；（2）若对于()()20303π,,x gx mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎥⎣⎦恒成立，求实数m 的范围.【答案】（1）ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）利用辅助角公式可将()f x 化为π2sin 23x ⎛⎫+⎪⎝⎭，因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，后由sin y x =在π2π,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调递减区间可得答案；（2）由题可得()236πsin g xx ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，后利用sin y x =在π7π,66⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调性可得()[]1,2g x ∈-.方法1：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤，后分)(10002,,,,t t t ⎡⎤∈-=∈⎣⎦三种情况，利用分离参数结合函数3=-y t t单调性可得答案；方法2：令()12,g xt ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()230h t t mt =--≤，则()()2010h h ⎧≤⎪⎨-≤⎪⎩，即可得答案.【小问1详解】()1344322πsin cos sin cos f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=++=-+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21222223πsin cos sin sin x x x x x ⎛⎫=--+=+=+ ⎪⎝⎭.因x ∈[π4-，π6]，则22,πππ363x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，又sin y x =分别在πππ2π,,,6223⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦上单调递增和递减，则22323126πππππ,,x ⎡⎤⎡⎤+∈⇒⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦，即函数()f x 在区间[π4-，π6]上的单调递减区间为ππ,126⎡⎤⎢⎥⎣⎦；【小问2详解】函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，所得解析式为32223233ππsin sin x x ⎛⎫⎛⎫⋅+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又将所得函数图象向右平移π18个单位长度，解析式为23231836πππsin sin x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦，则()236πsin g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则73666πππ,x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦.又sin y x =在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在π7π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则13162πsin ,x ⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故()23126πsin ,g x x ⎛⎫⎡⎤=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭.方法1：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，230t mt --≤.当0=t 时，23030t mt --≤⇔-≤，则此时m 可取任意值；当(]0,2t ∈时，23330max t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≥-⇒≥- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在(]0,2上单调递增，则函数1y t t=-在(]0,2上单调递增，则33112222maxt m t ⎛⎫-=-=⇒≥ ⎪⎝⎭；当[)1,0t ∈-时，23330min t mt m t m t t t ⎛⎫--≤⇔≤-⇒≤- ⎪⎝⎭，注意到函数1,y x y x ==-均在[)1,0-上单调递增，则函数1y t t=-在[)1,0-上单调递增，则331221min t m t ⎛⎫-=--=⇒≤ ⎪-⎝⎭；综上可得：122m ≤≤.方法2：令()12,g x t ⎡⎤=∈-⎣⎦，则()()20303π,,x g x mg x ⎡⎤∀∈--≤⎢⎣⎦等价于12,t ⎡⎤∀∈-⎣⎦，()()()21013030204230h m h t t mt h m ⎧-≤+-≤⎧⎪=--≤⇒⇒⎨⎨≤--≤⎪⎩⎩.则122m ≤≤.【点睛】关键点点睛：本题涉及求正弦型函数的单调区间及恒成立问题，难度较大.。

2022-2023学年河南省许昌市高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

1．已知复数z 满足（1﹣i ）2z ＝2﹣4i ，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（ ） A ．2B ．1C ．﹣2D ．i2．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则两人都中靶的概率为（ ） A ．0.26B ．0.98C ．0.72D ．0.93．已知向量a →=（1，1），b →=（1，﹣1）．若（a →+λb →）⊥（a →+μb →），则（ ） A ．λ+μ＝1B ．λ+μ＝﹣1C ．λμ＝1D ．λμ＝﹣14．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ） A ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α∥βB ．若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m ∥nC ．若m ∥n ，n ⊂α，α∥β，则m ∥βD ．若m ⊥α，n ⊥β，α∥β，则m ∥n5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN ，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB ，高约为37m ，在地面上点C 处（B ，C ，N 三点共线）测得建筑物顶部A ，鹳雀楼顶部M 的仰角分别为30°和45°，在A 处测得楼顶部M 的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（ ）A ．91mB ．74mC ．64mD ．52m6．平行四边形ABCD 中，点M 在边AB 上，AM ＝3MB ，记CA →=a →，CM →=b →，则AD →=（ ）A ．43a →−73b → B ．23b →−43a → C ．73b →−43a → D ．13a →−43b →7．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的是（ ）A ．平均数为3，中位数为2B ．中位数为3，众数为2C ．平均数为2，方差为2.5D ．中位数为3，方差为2.88．正四棱锥S ﹣ABCD 中，底面边长AB ＝2，侧棱SA =√5，在该四棱锥的内部有一个小球，则小球表面积的最大值为（ ） A ．4πB ．16πC ．8π3D ．4π3二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。