双向有理不等式的解法

不等式的解法不等式是数学中常见的一种关系式，用于表示两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是指找出满足不等式条件的未知数的取值范围。

在解不等式的过程中，可以运用一些特定的方法和技巧，以求得精确的解。

一、一元一次在解一元一次不等式时，可以运用以下几种常见的方法和技巧：1.1 加减法法则：对于不等式中的两边都加上或者减去同一个数，不等式的符号不改变。

1.2 乘除法法则：对于不等式中的两边都乘以或者除以同一个正数，不等式的符号不改变；若乘以或者除以同一个负数，不等式的符号则反向。

1.3 移项法：将不等式中的项移动到同一边，形成一个相等的等式，然后根据等式求解的方法得到解的范围。

1.4 区间判定法：通过观察不等式中的系数和常数项的正负关系，判断不等式的解的范围。

二、一元二次在解一元二次不等式时，除了可以运用一元一次不等式的解法外，还可以运用以下方法和技巧：2.1 因式分解法：将一元二次不等式进行因式分解，然后根据因式的正负情况判断不等式的解的范围。

2.2 二次函数图像法：将一元二次不等式所对应的二次函数的图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

2.3 完全平方差和平方根法：将一元二次不等式形式化为完全平方差或平方根的形式，然后根据完全平方差和平方根的性质来求解不等式。

三、绝对值绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式，其解的范围一般分成两个部分。

解绝对值不等式时，可以采用以下方法和技巧：3.1 分情况讨论法：根据绝对值的定义，将不等式分成正数和负数的情况讨论，并解出相应的不等式。

3.2 辅助变量法：引入一个辅助变量，使得绝对值不等式可以转化为一元一次或一元二次不等式，然后使用已知的解法来求解。

3.3 图像法：将绝对值不等式所对应的函数图像进行分析，根据图像的凹凸性和与 x 轴的交点来求解不等式。

四、多元多元不等式是指含有多个未知数的不等式，解多元不等式时可以运用以下方法和技巧：4.1 图像法：将多元不等式所对应的多元函数的图像进行分析，根据图像的几何特征来求解不等式。

1、一元二次不等式的解法
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
2、高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿（奇穿偶切），结合原式不等号的方向，写出不等式的解集.
3、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
4、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
5、指数不等式的解法：
规律：根据指数函数的性质转化.
6、对数不等式的解法
规律：根据对数函数的性质转化.
7、含绝对值不等式的解法：
⑶同解变形法，其同解定理有：
规律：关键是去掉绝对值的符号.
8、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中取交集，最后取各段的并集.
9、含参数的不等式的解法
10、恒成立问题
.。

不等式的性质与解法不等式是数学中常见的表达式，描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。

解不等式是数学中常见的问题之一，研究不等式的性质和解法有助于我们更好地理解数学问题。

本文将介绍不等式的基本性质和常用的解法。

一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且b<c，则有a<c。

这意味着当不等式链中存在多个不等关系时，可以通过传递性判断其中任意两个数之间的大小关系。

2. 不等式的加法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，则有a+c<b+c。

这意味着可以在不等关系的两侧同时加上相同的数，不等关系的方向不会改变。

3. 不等式的乘法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且c>0，则有ac<bc；如果a<b且c<0，则有ac>bc。

这意味着可以在不等关系的两侧同时乘上相同的正数或负数，不等关系的方向可能会改变。

二、不等式的解法1. 加减法解法：使用加减法解不等式时，需要保持不等式链的方向不变。

例如，对于不等式2x-5>7，我们首先可以将5加到两侧得到2x>12，然后再将不等式链两侧同时除以2，得到x>6。

2. 乘除法解法：使用乘除法解不等式时，需要根据乘除数的正负来确定不等式链是否需要翻转。

例如，对于不等式-3x<9，我们首先可以将不等式两侧同时除以-3，但由于除以负数需要改变不等关系的方向，所以不等式应变为x>-3。

3. 绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，有时候可以根据绝对值的定义进行分类讨论。

例如，对于不等式|2x-1|<3，我们可以将其分解为两个不等式2x-1<3和2x-1>-3，然后分别求解得到x<2和x>-1，最终得到-1<x<2的解集。

4. 平方不等式的解法：对于一元二次不等式，可以根据不等式系数的正负和零点位置进行讨论。

不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。

2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。

（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。

（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。

（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。

二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。

（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。

（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。

（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。

（5）化简：将不等式化简到最简形式。

2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。

（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。

3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。

4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。

（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。

三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。

2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。

3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。

不等式的解法高中数学公式(一)不等式的解法公式一次不等式的解法•公式1：加减法原则当不等式的两边加减同一个数时，不等号的方向不变。

–例子：将不等式3x−4<5x+2中的x求解出来。

解答：根据加减法原则，将同项进行归并，得到−6<2x，再把式子中的系数2移到右边，得到2x>−6。

最后，将不等号的方向翻转，得到解为x>−3。

•公式2：乘除法原则当不等式的两边乘除同一个正数时，不等号的方向不变；当乘除同一个负数时，不等号的方向翻转。

–例子：将不等式13x+2≥25x−1中的x求解出来。

解答：根据乘除法原则，将不等式中所有项的系数化为整数，得到5x+30≥6x−15。

继续归并同项，得到45≥x。

由于不等式中系数为正，所以不等号的方向不变，解为x≤45。

二次不等式的解法•公式1：移项与配方将二次不等式化为0的形式，通过因式分解或配方法，找到不等式的根，从而得到不等式的解。

–例子：将二次不等式x2−4x−5≥0求解出来。

解答：对二次不等式进行因式分解，得到(x−5)(x+1)≥0。

然后，利用零点的性质，绘制出区间图，并确定不等式的解为x≤−1或x≥5。

•公式2：求导法当二次不等式的导函数性质已知时，可以通过求导函数的零点和判断函数的增减性来求解不等式。

–例子：将二次不等式x2−6x+5<0求解出来。

解答：首先，求导函数f′(x)=2x−6的零点，得到x=3。

然后，通过判断导函数的增减性，得知当x<3时，导函数小于0，所以f(x)是减函数；当x>3时，导函数大于0，所以f(x)是增函数。

综上所述，不等式x2−6x+5<0的解为3−∞<x<3。

高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。

它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。

下面将详细介绍不等式的性质及解法。

一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。

2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。

3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。

4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。

5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。

二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。

具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。

2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。

3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。

三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。

具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。

2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。

3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。

四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。

这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。

综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。

掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。

不等式的性质与解法随着数学的发展，不等式已经成为了数学中重要的概念和工具。

不等式的性质与解法不仅在数学课堂上有广泛的应用，也在现实生活中有着重要的意义。

本文将围绕不等式的性质和解法展开讨论。

一、不等式的性质不等式是数学中描述数之间大小关系的一种表示方法。

它可以表达出一个数大于、小于、大于等于、小于等于另一个数。

不等式的性质主要包括以下几个方面：1. 基本性质：不等式的基本性质和等式类似，包括传递性、反射性、对称性等。

2. 合并与分拆：不等式可通过合并或分拆来简化或拓展。

例如，对于不等式a < x < b，可以合并为a < x且x < b；同样地，对于a < x且x < b，可以分拆为a < x < b。

3. 乘法性质：不等式的乘法性质可以应用于乘法运算。

当不等式两侧同时乘以一个正数时，不等式的方向不变；而当乘以一个负数时，不等式的方向会发生改变。

4. 加法性质：不等式的加法性质可以应用于加法运算。

当不等式两侧同时加上一个正数时，不等式的方向不变；而当加上一个负数时，不等式的方向会发生改变。

5. 绝对值性质：与等式相似，不等式中的绝对值也有其独特的性质。

当不等式中有绝对值时，需分情况讨论。

二、不等式的解法对于不等式的解法，可以分为以下几个常见的方法：1. 使用图像法：对于一元一次不等式，可以将其转化为图像，通过观察图像的位置关系来确定解集。

2. 使用逻辑推理法：对于一些简单的不等式，可以通过逻辑推理来确定解集。

3. 使用代入法：有时可以通过代入一些具体的数值来判断不等式的解集。

4. 使用化简法：对于一些复杂的不等式，可以通过合理的化简方法将其简化为更简单的形式，从而确定解集。

5. 使用数学归纳法：对于一些特殊的不等式，可以使用数学归纳法来证明不等式的解集。

三、不等式的应用不等式的应用广泛存在于各个领域，例如：1. 经济学：经济学中考虑资源分配和供需关系时，常常涉及到利润最大化、成本最小化等不等式问题。

不等式的解法不等式是数学中最基本的一个概念，它包括两个数的比较，表达方法是“大于”，“小于”，“等于”类型的箭头符号，如“3>2”，表明3大于2；“2≤7”，表明2小于等于7。

不等式是学习运算及分析问题时，很常见的知识点，学过基本运算、数学概念的学生，都需要掌握这方面的知识。

不等式的解法，是一种数学技能，通过这种技能，能够对不等式问题做出正确的判断和结论。

二、不等式的解法1、一元不等式的解法一元不等式的解法指的是，一个变量的不等式的解法，常见的一元不等式比如“x>2”，“2x-1<7”等。

解一元不等式的思路通常如下：（1）将不等式两边同乘以变量上的系数，使不等式两边都变成常数；（2）重新组合不等式两边，取一个公约数；（3）正负号的变换，有助于理解；（4）最后求得不等式的解。

2、二元不等式的解法二元不等式的解法指的是，两个变量的不等式的解决，如解决“x+y<3”等。

解二元不等式的步骤通常如下：（1）首先将不等式的一边化为一个数，再解两个变量的方程；（2）解出方程的解，再结合方程的不等式；（3）求出不等式的解。

三、不等式在实际应用中的作用1、不等式在经济学上的应用不等式也可以用于把经济问题表达为数学模型，比如把一种商品的价格变化率表示为不等式，“P-M<0”，其中P代表市场价格，M代表成本价格。

这样，就可以利用不等式，比较客观的研究经济问题，获取有效的经济数据。

2、不等式在工程学上的应用不等式也可以用于工程中，比如在水力学或梯形法中，用于研究水的流速、水的流量及水的流压。

在这些模型中，都会使用不等式来表达某个条件，从而获取工程中有用的结论。

3、不等式在物理学上的应用在物理学中，也可以使用不等式来表达某个物理现象，比如动量定理：“p=mv”，其中p代表动量，m代表质量，v代表速度。

另外，物理学中的许多原理，如能量守恒原理，都可以用不等式的形式来描述，可以更方便地描述物理现象，从而让科学家更好地掌握科学知识。

有理不等式解法记要高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下。

高中数学中，不等式占有重要的地位，这其中，有理不等式的解法又占有举足轻重的地位，为此，特将有理不等式的解法归纳整理如下：定理一、记f(x)=(x-x1) (x-x2) (x-x3)…(x-x n)，则f(x)=0的n个根为：x1，x2，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，这n个数把实数集分成n+1个区间：(-∞,x1)，(x1,x2)，…，(x n-1,x n)，(x n,+∞)。

若从右至左依次标记各个区间为：“+”、“-”、“+”、“-”…，直到标记完毕，则标记为“+”号的区间的并集是不等式(x)＞0的解集，标记为“-”号的区间的并集是不等式f(x)＜0的解集。

例1．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)，则f(x)=0的根为1，2，3，4，这四个数把实数集分为五个区间：(-∞,1)，(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,+∞)。

从右到左标记为“+”号的区间是：(4,+∞)，(2,3)，(-∞,1)，标记为“-”号的区间是(3,4)，(1,2)，∴f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)定理二、若f(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k)2n(x-x k+1)…(x-x n)，n∈N，则f(x)＞0 等价于：φ(x)＞0 x-x k≠0，f(x)＜0 等价于：φ(x)＜0x-x k≠0 ，（注其中φ(x)=(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k+1)…(x-x n)。

意：φ(x)不含因式(x-x k) ！）例2．设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)6(x-4)，则f(x)＞0 等价于：(x-1)(x-2) (x-4)＞0x-3≠0 ，由此有f(x)＞0的解集：(1,2)∪(4,+∞);f(x)＜0等价于：(x-1)(x-2) (x-4)＜0x-3≠0 ，进而有f(x)＜0的解集: (-∞,1)∪(2,3)∪(3,4)定理三、若f(x)= (x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k)2n-1(x-x k+1)…(x-x n)，n∈N，则f(x)＞0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k) (x-x k+1)…(x-x n)＞0，f(x)＜0 等价于：(x-x1) (x-x2) …(x-x k-1) (x-x k) (x-x k+1)…(x-x n)＜0 例3.设f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)5(x-4)，则f(x)＞0等价于：(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)＞0，从而f(x)＞0的解集为：(-∞,1)∪(2,3)∪(4,+∞)，f(x)＜0的解集为：(1,2)∪(2,3)定理四、f(x)φ(x) ＞0等价于：f(x)φ(x)＞0；f(x) φ(x) ＜0等价于：f(x)φ(x)＜0；例4. 解不等式：x2-3x+2 x2-2x-3 ＜0解：原不等式等价于(x2-3x+2)(x2-2x-3)＜0，即：(x-1)(x-2) (x-3)(x+1)＜0，由此有原不等式的解集：(-1,1)∪(2,3)定理五、f(x) φ(x) ≥0等价于：f(x)φ(x)≥0φ(x)≠0 ；f(x)φ(x) ≤0等价于：f(x)φ(x)≤0φ(x)≠0 ；例5.解不等式：x-1 x-2 ≥0解：原不等式等价于：(x-1)(x-2)≥0x-2≠0 ，由此有原不等式的解集：(-∞,1)∪(2,+∞)定理六、0＜a＜f(x)＜b等价于(f(x)-a)(f(x)-b)＜0例6.解不等式：0＜x2-x-2＜4解：原不等式等价于：(x2-x-2-0)(x2-x-2-4)＜0即：(x2-x-2)(x2-x-6)＜0也即：(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)＜0由此有原不等式的解集：(-2,-1)∪(2,3)定理7.设a＞0，则|f(x)|＞a等价于f(x)＞a或f(x)＜-a，也等价于f2(x)＞a2，进而等价于(f(x)+a)( f(x)-a)＞0；|f(x)|＜a等价于-a＜f(x)＜a，也等价于f2(x)＜a2，进而等价于(f(x)+a)(f(x)-a)＜0；例7.解不等式：|x-1|＞3解：原不等式等价于：(x-1-3)(x-1+3)＞0即：(x-4)(x+2)＞0由此有原不等式的解集：(-∞,-2)∪(4,+∞)定理8.0＜a＜|f(x)|＜b等价于a2＜f2(x)＜b2，也等价于：(f2(x)-a2)(f2(x)-b2)＜0，进而等价于：(f(x)-a)(f(x)+a)(f(x)-b)(f(x)+b)＜0例8.解不等式：1＜|f(x)|＜2解：原不等式等价于：(x-1-1)(x-1+1)(x-1-2)(x-1+2)＜0即：x(x+1)(x-2)(x-3)＜0由此有原不等式的解集：(-1,0)∪(2,3)以上八个定理，将高中可能遇到的各种类型的有理不等式的解法最终归结为三个定理：定理一、二、三，而定理二、三又是定理一的特殊情况。

§4 有理不等式的解法【知识要点】1. 一元一次不等式的解法步骤：（1）化标准形ax>b ；（2）求解集2. 一元二次不等式的解法步骤：（1）化标准形02<++c bx ax或;02>++c bx ax （2）判断∆，进一步求出标准形对应的方程根；（3）根据∆及a 的正、负，作出标准形对应函数的草图，写出解集.3. 一元高次不等式的解法这里只研究能分解成若干个一次因式积的形式的一元高次不等式.其步骤如下：（1）化标准形：设))(()(21x x x x x f --=… 0)(0)(),(<>-x f x f x x n 或则化为;(2)在数轴上将f(x)=0的根标出(n 个)，将数轴分成n+1个区间；（3）判断f(x)在这n+1个区间上的正、负，写出不等式的解.这种解法叫做序轴标根法，简称根轴法.4. 分式不等式的解法步骤：（1）化标准形0)()(0)()(><x g x f x g x f 或 （2）将标准形同解变形为0)()(<⋅x g x f或;0)()(>⋅x g x f （3）通过一元高次不等式的求解步骤完成.对于分式不等式也可以对其分母分符号进行讨论，转化为两个不等式组求解，这种解法称为去分母法，也是常用解法.【考试要求】1. 了解并掌握一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之间的关系；2. 掌握一元二次不等式的解法步骤，能够熟练求解一元二次不等式；3. 会解简单的分式不等式和简单的高次不等式；4. 能用一元二次不等式解决某些应用问题.【课前训练题】一、选择题1. 不等式032≥-+xx 的解集是（ ） A.{}32<<-x x B.{}2,3-≤>x x x 或 C.{}32≤≤-x xD.{}32<≤-x x2. 不等式22263m mx x <-的解集为（ ） A.)7,9(m m -B.)9,7(m m - C.),7()9,(+∞--∞m m Y D.以上都不对 3. 有以下命题：（1）如果21,x x 是方程02=++c bx ax 的两个实根，且,21x x <那么不等式bx ax +2 {}210x x x x c <<<+的解集为； （2）当042<-=∆ac b 时，二次不等式 Φ>++的解集为02c bx ax ；（3）0))((0≤--≤--b x a x bx a x 与的解集相同； （4）)1(3231222-<-<--x x x x x x 与的解集相同. 其中正确的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 34.若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是 （ ）A.]2,(-∞B.]2,2[-C.]2,2(-D.)2,(--∞二、填空题5.已知不等式012>++p qx x p的解集是 {}42<<x x ，则实数p= ,q=6.12)(++=a ax x f 在[-1，1]上可取正值，也可取负值，则a 的取值范围为7.已知0,0>>b a ，则不等式b xa ->>1的解集为 【例题分析】例1 解不等式.0)4()2)(1()1()2(;23253)1(22<+-+-≤-+-x x x x x x x例2 若不等式)1(122->-x m x 对满足： 22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的取值范围.例3 若不等式02>++c bx ax 的解集为 {}n x m x <<，00≠>ac m 且，求不等式02<++a bx cx 的解集.例4 假设国家收购某种农产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元（叫做税率为 8个百分点，即8%），计划可收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加x 2个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围.【小结归纳】1.有理不等式主要指一元一次不等式、一元二次不等式、高次不等式和分式不等式.熟记二次不等式的解法并能将形如bx a x -- )(0b a <≤的不等式转化为.b x a <≤2.简单的高次不等式和分式不等式都可化为一边为零，另一边分解为一次因式（一次项系数化为正）与二次因式的积与商的形式（注意二次因式恒正或恒负的情况），然后用数轴标根法写出解集.要注意根的取舍.如⎪⎩⎪⎨⎧≠-+-⇔≥-+->+-⇔>+-.2)1)(1(0)2()1)(1(0)1)(1(0)1)(1(222x x x x x x x x x x x x4. 对于二次问题，要善于应用三二次问题互相转化，要注意数学思想方法在解题中的作用.【巩固训练题】一、选择题1.下列各组不等式中，同解的是（ ）A.22)5(6)5(6->->x x x x 与B.2012)2(≥≥+-x x x 与C.与3231332-->-++-x x x x x0232>+-x x D.x x x x x 320)1)(1(222>+>+--与2.不等式03)4)(23(22≤+-+-x x x x 的解为（ ）A.2,13≥≤<-x x 或B.21,3≤≤-<x x 或C.2,13,4≥≤<-=或或x xD.21,3,4≤≤-<=x x x 或或3.使不等式0342<+-x x 和x x 62-08<+同时成立的x 的值也满足关于x 的不等式0922<+-a x x ，则（） A.9>a B.9=aC.9≤aD.90≤<a4.当不等式61022≤++≤px x 中恰好有一个解时，实数p 的值是（ ）A.2B.-2C.2或-2D.4或-45. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+-<+-<xx x x x 22330的解集是（ ） A.{}02<<-x x B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-025x x C.{}06<<-x x D.{}03<<-x x二、填空题6. 不等式⨯-+++)4)(1)(1(2x x x x 0)6(≥-x 的解集为7. 不等式03252≤---x x x 的解集为 8. 不等式11<-x ax 的解集为{或,1<x x }2>x ，则a 的值为三、解答题9. 解下列不等式：（1）;0)2)(1()1)(2(2≤--++x x x x （2）;232222x xx x x <-+-+ （3）)(03222R m mx x m ∈<-+.10. 关于 x 的不等式组⎩⎨⎧<+++>--05)52(20222k x k x x x 的整数解的集合为{-2}，求实数k 的取值范围.。

各类不等式的解法一、不等式的基本性质 不等式的基本性质有：(1)对称性或反身性：a>b ⇔b<a ； (2)传递性：若a>b ，b>c ，则a>c ；(3)可加性：a>b ⇒a+c>b+c ，此法则又称为移项法则； (4)可乘性：a>b ，当c>0时，ac>bc ；当c<0时，ac<bc 。

不等式运算性质：(1)同向相加：若a>b ，c>d ，则a+c>b+d ；(2)正数同向相乘：若a>b>0，c>d>0，则ac>bd 。

特例：(3)乘方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n n b a >； (4)开方法则：若a>b>0，n ∈N +，则n1n1b a >；(5)倒数法则：若ab>0，a>b ，则b1a 1<。

例1： 1)、5768--与的大小关系为 .2）、设1->n ,且,1≠n 则13+n 与n n +2的大小关系是 .3）已知,αβ满足11123αβαβ-+⎧⎨+⎩≤≤≤≤, 试求3αβ+的取值范围.例2.比较()21+a 与12+-a a 的大小。

例3.解关于x 的不等式m x x m +>+)2(。

二、一元二次不等式的解法一元二次不等式)0(02>>++a c bx ax 或 )0.(02><++a c bx ax 的求解原理：利用二次函数的图象通过二次函数与二次不等式的联系从而推证出任何一元二次不等式的解集。

0=∆0<∆c bx ax y ++=2c bx ax y ++=2c bx ax y ++=21.解下列不等式：（1）02322≥--x x (2)01692>++x x (3)542<-x x (4)0122≤++x x2.解不等式组（1）22371002520x x x x ⎧--≤⎨-+>⎩ （2）2223054x x x x ⎧-->⎨->⎩3.若不等式02>++c bx ax 的解集为(-2,3),求不等式02<-+b ax cx 的解集.4.当k 为何值时，不等式08322<-+kx kx 对于一切实数x 都成立？ 三、分式不等式与高次不等式的解法1.分式不等式解法⎩⎨⎧≠≤⋅⇔≤⎩⎨⎧≠≥⋅⇔≥<⇔<>⇔>0)(0)()(0)()(0)(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(0)()(x g x g x f x g x f x g x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f2.高次不等式解法：数轴标根法（奇穿偶切）典型例题例1解下列不等式（1）x －3x ＋7 ＜0 （2）3＋2x ＜0 （3）4x －3 ＞2－x 3－x －3 （4） 3x ＞1例2 解下列不等式：（1）(x+1)(x-1)(x-2)>0 （2）（-x-1)(x-1)(x-2)<0(3) x(x-1)2(x+1)3(x+2)≤0 （4）（x-3)(x+2)(x-1)2(x-4)>0（5） （6）．（7） （8）四、无理不等式的解法解无理不等式的基本方法就是将其转化为有理不等式组，在转化过程中一定要注意等价变换015223>--x x x 0)2()5)(4(32<-++x x x 22123+-≤-x x 12731422<+-+-x x x x题型Ⅰ：⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)()0)(()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型 例1 解不等式⑴0231≤---x x ⑵125->-x x 题型Ⅱ：⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 例2 解不等式x x x 211322+>+- 题型Ⅲ：⎪⎩⎪⎨⎧>>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型例3解不等式x x x 211322+<+-例4解不等式1112-+>+x x例5解不等式36922>-+-x x x五、绝对值不等式的解法含有绝对值的不等式的解法关键就在于去掉绝对值,而去掉绝对值,则需要对绝对值中的零点进行讨论,一般来说一个零点分两个范围,两个零点分三个零点,依次类推. （1）含有一个绝对值：不等式)0(><a a x 的解集是{}a x a x <<-; 不等式)0(>>a a x 的解集是{}a x a x x -<>或,不等式)0(><+c c b ax 的解集为 {})0(|><+<-c c b ax c x ;不等式)0(>>+c c b ax 的解集为 {})0(,|>>+-<+c c b ax c b ax x 或 （2）含有多个绝对值：零点分段法例1 解不等式（1）5500≤-x . （2）752>+x （3）32≥-x（4）1≤ | 2x-1 | < 5. （5） |4x-3|>2x+1例2解不等式：（1）|x -3|-|x +1|<1. （2）|x |－|2x ＋1||＞1．例3 已知函数f (x )=|x -2|-|x -5|． （I ）证明：-3≤f (x )≤3；（II ）求不等式f (x )≥x 2-8x +15的解集．六、指数不等式与对数不等式利用指数函数及对数函数的单调性转化为代数不等式()()()()()1.(1)()();(01)()()2.(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>()0log ()log ()(1)()0;()()()0log ()log ()(01)()0()()a a a a f x f x g x a g x f x g x f x f x g x a g x f x g x >⎧⎪>>⇔>⎨⎪>⎩>⎧⎪><<⇔>⎨⎪<⎩例1.解不等式66522252.0-+---≥x x x x例2.解不等式154log <x .例3.解不等式：)10(log 31log ≠<-<-a x x a a例4．1>a 时解关于x 的不等式0]1)2(2[log 12>++-+x x x x aa a七、基本不等式（也叫均值不等式） 1．基本不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R) (2)ab ≤(a ＋b2)2(a ，b ∈R) (3)a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2(a ，b ∈R) (4)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且不为零)上述四个不等式等号成立的条件都是a ＝b. 3．算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值设x ，y 都是正数．(1)如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时和x ＋y 有最小值2P.(2)如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时积xy 有最大值14S 2.练习1．已知两个正数a ，b 的等差中项为4，则a ，b 的等比中项的最大值为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．162．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b≥2ab C.1a ＋1b ≥2ab D.b a ＋ab ≥23．若x ＋2y ＝4，则2x ＋4y 的最小值是( ) A ．4 B ．8 C ．22 D ．4 24.当x>1时，求函数f(x)＝x ＋1x －1的最小值________．5．已知x ，y>0，且满足x 3＋y4＝1，则xy 的最大值为________．6．某公司一年购买某种货物 400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________.7. 已知a 、b 、c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：(1a －1)(1b －1)(1c －1)≥8.八、不等式的证明 （一）比较法：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论 例1 求证：x 2 + 3 > 3x例2 a ,b ∈ R +，且a b ≥，求证：a b b a b a b a ab b a ≥≥+2)(（二）综合法1．综合法：利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数定理）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法.2．用综合法证明不等式的逻辑关系是：12n A B B B B ⇒⇒⇒⇒⇒3．综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学 定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

不等式运算法则
不等式运算法则为不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。

不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。

不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

不等式运算法则
不等式两边相加或相减同一个数或式子，不等号的方向不变。

（移项要变号）
不等式两边相乘或相除同一个正数，不等号的方向不变。

（相当系数化1，这是得正数才能使用）
不等式两边乘或除以同一个负数，不等号的方向改变。

（÷或×1个负数的时候要变号）
确定解集
1.比两个值都大，就比大的还大(同大取大）；
2.比两个值都小，就比小的还小(同小取小）；
3.比大的大，比小的小，无解（大大小小取不了）；
4.比小的大，比大的小，有解在中间（小大大小取中间）。

三个或三个以上不等式组成的不等式组，可以类推。

不等式的特殊性质
不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；
不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；
不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变。

总结：当两个正数的积为定值时，它们的和有最小值；当两个正数的和为定值时，它们的积有最大值。