高等数学大学课件8习题课.pptx

汉
科 技 学 院
lim 2x(x)26x8
x 0
x
数
理
系
高 等
( 2 ) x z ( 1 ,2 ) f x ( x ,2 ) x 1 ( x 2 6 x 4 ) x 1 ( 2 x 6 ) x 1 8 .
数
学
同理可得到
电 子
f y (1,2 ) (1 3 y y 2 ) | y 2 3 2 y | y 2 7 .
理
系
高
等 数
求f(x,y)在某一点(x0,y0)处的偏导数有两种方法.
学 电 (1)求极限. fx(x,y0)|xx0
子
教 (2)借助一元函数求导运算
案
例1 求z=x2 3xyy2 在(1,2),(1,0)处对x及y的偏导数.
武 (1)fx(1,2) lx i0m f(1 x, 2x )f(1,2) lx i0m (1 x)23(1 xx )222164
系
高
等
数 (2)利用一般的求导公式计算.
学
电
子 教 案
fx(0,0)
lim x0
y0
x
x y2rcr so itsntlimrcotslimcots
x2 y4
r0 r
r0
故极限不.存
0 x 2 2 y 3 y 4 2 y y 2 3 2 y fy ( 0 ,0 ) l x y 0 0 ix m 2 2 y 3 y 4 l x y 0 0 i2 y m 0
电 2.偏导数的计算 子
教 案
由定义知,z=f(x,y)对某一自变量的偏导数,是把另一自变
量看作常量时的导数.因此,求偏导数在方法上和一元函数求
导完全相同.求f x

收敛, 则级数 发散, 则级数
也收敛; 也发散.
定理3 (比较审敛法的极限形式) 正项级数, 满足
则有
(1) 当 0 < l <+∞ 时, 两个级数同时收敛或发散; (2) 当 l = 0
(3) 当 l =+∞
定理4 比值审敛法 ( D’alembert 判别法)
设
为正项级数, 且
则
(1) 当 (2) 当 说明:当
法向量
——平面的一般方程
三、两平面的夹角 定义 两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.
（取锐角）
两平面夹角余弦公式：
二 空间直线及其方程 一、空间直线的各种方程 二、线面间的位置关系
一、空间直线的方程形式 1. 空间直线的一般形式
定义 空间直线可看成两平面的交线.
L
(1)
空间直线的一般式方程. (形式不唯一)
2.对称式——点向式方程
定义 如果一非零向量平行于一条 已知直线, 称此向量为该直线的 方向向量.
设一直线过 其方向向量为的
， 此直线方程为
二、线面间的位置关系 1. 两直线的夹角 两直线的夹角指其方向向量间的夹角(取锐角) 设直线 L1, L2 的方向向量分别为
则两直线夹角 满足
特别有:
曲面及其方程
若未知函数和未知函数的导数都是一次有理式， 则称其为一阶线性微分方程.
2.一阶线性微分方程的分类
当
时，方程（1）称为一阶线性齐次微分方程.
当
时，方程（1）称为一阶线性非齐次微分方程.
一阶齐次线性微分方程的解法
分离变量 两边积分，得 由于y=0也是方程的解. 所以通解为
线性非齐次方程 一阶线性非齐次微分方程的通解为:

球面坐标系
球面坐标系将点的位置与球坐 标和两个角度联系起来。
球面坐标系下的三重积 分计算
可以通过变量替换将三重积分 转化为球面坐标下的计算。
相关应用
用于计算球面坐标图形的体积、 质心坐标等。
总结
本章重点内容概述
回顾并总结本章重点知识和概念。
解答问题技巧与方法
分享解答高数问题的技巧和方法。
重要的公式和定理
介绍与二重积分和三重积分相关的重要公式 和定理。
课程思考题解析
解析本章课程思考题，并提供答案和解析。
《高数下第八章》PPT课 件
本PPT课件将详细介绍《高数下》第八章的内容，涵盖二重积分、三重积分， 以及不同坐标系下的应用。欢迎同学们认真学习和实践。
第一节：二重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。ห้องสมุดไป่ตู้
3
定义
二重积分是对二元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。
应用举例
用于计算平面图形的面积、质心坐标 等。
相关应用
用于计算极坐标图形的面积、 质心坐标等。
第四节：三重积分在柱面坐标下的应 用
1 柱面坐标系
柱面坐标系将点的位置与柱坐标和极角两个数值联系起来。
2 柱面坐标系下的三重积分计算
可以通过变量替换将三重积分转化为柱面坐标下的计算。
3 相关应用
用于计算柱面坐标图形的体积、质心坐标等。
第五节：三重积分在球面坐标下的应用
第二节：三重积分
1
计算方法
2
可以通过分区求和或直接利用公式进
行计算。
3
定义
三重积分是对三元函数在某个闭区域 上进行积分的过程。

五、向量的模、方向角、投影
1. 向量的模与两点间的距离公式
则有
由勾股定理得
因
得两点间的距离公式:
对两点
与
例4. 求证以
证:
即
为等腰三角形 .
的三角形是等腰三角形 .
为顶点
例5. 在 z 轴上求与两点
等距
解: 设该点为
解得
故所求点为
及
思考:
(1) 如何求在 xOy 面上与A , B 等距离之点的轨迹方程?
四点共面, 求点 M 的坐标 x、y、z 所满足的方程.
解: A、B、 C、M 四点共面
展开行列式即得点 M 的坐标所满足的方程
即
内容小结
设
1. 向量运算
加减:
数乘:
点积:
叉积:
混合积:
2. 向量关系:
思考与练习
1. 设
计算
并求
夹角 的正弦与余弦 .
答案:
2. 用向量方法证明正弦定理:
总之:
运算律 :
结合律
分配律
因此
定理1.
设 a 为非零向量 , 则
( 为唯一实数)
, 取 ＝±
且
再证数 的唯一性 .
则
反向时取负号,
则
例1. 设 M 为
解:
三、空间直角坐标系
由三条互相垂直的数轴按右手规则
组成一个空间直角坐标系.
坐标原点
坐标轴
x轴(横轴)
y轴(纵轴)
z 轴(竖轴)
过空间一定点 O ,
备用题
解: 因
1. 设
求向量
在 x 轴上的投影及在 y 轴上的分
向量. P13(19)

z
在三个坐标面上的投影.
解:
z x2 y2
得
x2 y2 4
x0
y
z 4
故旋转曲面在xoy面上的投影为:
x2
y2
4
z x2 y2
z 0
x 0
得 z y2
故旋转曲面在yoz面上的投影为:由 z y2和z 4围成
z x2 y2
y 0
得 z x2
故旋转曲面在xoz面上的投影为:由 z x2和z 4围成
cos z r
z x2 y2 z2
方向余弦的性质:
四、 两向量的数量积 （内积）
设
a
( ax ,ay ,az ),
b (bx ,by ,bz ),
a b axbx a yby azbz
五、两向量的向量积 (叉积、外积)
1.向量 c 方向: c a , c b 且符合右手规则
的方向向量
ijk
S 0 1 1 (0,1,1)
过点
10 (1,1,1)
0 作以
S
(0,1,1)为法向量的平面
yz0
求解直线与平面的垂足
y
x
z 0
1
0
y z 0
得垂足为:
0,
1 2
,
1 2
所求平面垂直于平面 z 0,
从而设方程为: Ax By D 0
平面过点
(1,1,1)
M 0 , M1 , M 2 三点共线 M 0M1 // M 0M 2
t1 0, t2 2
M1 (0,0, 1), M 2 (2, 2,3) L: x 1 y 1 z 1
112
L1
L2
M0 M2
M1 L

n0
q 叫做几何级数(又称为等比级数)，其中 a 0， 叫做级数的公比．
试讨论级数(3)的收敛性．
解 如果 q 1，则根据等比数列前 n 求和公式，得
sn

a

aq

aqn1

a(1 1
qn) q

a 1 q

aqn 1 q
.
2019-8-29
谢谢欣赏
9
当| q | 1时，由于 lim qn 0，从而
谢谢欣赏
n1
8
s s 显然，当级数（1）收敛时，其部分和 n 是级数和 的近似值，
它们之间的差值
rn s sn un1 un2
s 叫做级数的余项．用近似值 s n代替和 所产生的误差是这个余项
的绝对值，即误差是 | rn |．
例1 无穷级数
aqn a aq aq2 aqn (3)
概念．
s 定义2
如果级数

n1
u
n的部分和数列
lim
n
sn

s,
{s
n
}
有极限，即
则称无穷级数收敛，这时极限 叫做该级数的和，并写成

s un u1 u2 un ;
n1

{s } 如果部分和数列 2019-8-29
n
没有极限，则称无穷级数 un 发散．
的内接正 3 2n边形的面积就逐步逼近圆面积 A, 进而有
A a1 a2 a3 an .
n 如果内接正多边形的边数无限增多，即 无限增大，则和
a1 a2 an
的极限就是所要求的圆面积，即

x x0 y y0 z z0 . x(t0 ) y(t0 ) z(t0 ) 切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.
T x(t0), y(t0), z(t0)
法平面：过M点且与切线垂直的平面.
x(t0 )(x x0 ) y(t0 )( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
限，记为
lim f( x, y) A,
( x, y x0 , y0 )
或 f(x,y) A,( x, y)( x0, y0 )
例 考察函数
g( x,
y)
xy
x2 y2
,
x2 y2 0 ,
0 , x2 y2 0
当 ( x, y ) ( 0 , 0 ) 时的极限
解 当 ( x, y ) 沿 y 轴趋向于原点，即当 y 0 而
若函数 u u(x, y), v v(x, y) 在点(x, y) 处有偏导 数，则 z f (u) 在对应点(u, v) 处有连续偏导数， 则复合函数 z f [u(x, y), v(x, y)] 在点(x, y) 处也存 在偏导数，并且
两种特殊情况：
（二） 隐函数的求导法则
设方程 F (x , y) = 0 确定了函数 y = y(x)，两端 对 x 求导，得
f（x0，y0）=C
第二节 偏导数
一、偏导数的概念及几何意义 二、高阶偏导数 三、复合函数与隐函数的求导法则
一、偏导数的概念及几何意义
（一） 偏导数的概念
定义 设函数
在点
的某邻域内极限
存在,则称此极限为函数 的偏导数，记为
注意:
同样可定义对 y 的偏导数为
若函数 z f ( x, y)在域 D 内每一点 ( x, y)处对 x

=9+4+2 | a || b | (a, b) 19
2.
a b ab 0
A B (2a b ) (a b ) 2 | a |2 | b |2
=2( +2)=0
2
3. cos(a,b) a b 1 | a || b | 2
sin(a,b) 1 1 3 42
| a b || a || b | sin(a,b) 10 3
三、设点 M (x, y, z)
M1M 3MM 2 (x 2, y 5, z 3) 3(3 x, 2 y,5 z)
x 2 3(3 x)

y

5

3(2

y)
z 3 3(5 z)
i jk
所求为
n s n1 1 1 2 2(3, 5, 4)
7 1 4
cos 3 , cos 5 , cos 4
x 11, y 1 , z 3
4
4
OM 1 (11, 1,12) 4
四、1.原式 (6 7 8)c 21c (21, 42, 21) 2.原式 (9 1 4)(21 7 2 41) 280
i jk 3.原式 3 1 2 (3, 1,5)
d M0M1 s s
s (m,n, p)
M1(x1, y1, z1)
i
j
k

1 m2 n2 p2
x1 x0 m
y1 y0 z1 z0
n
p
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二、实例分析
例1. 求与两平面 x – 4 z =3 和 2 x – y –5 z = 1 的交线 平行, 且 过点 (–3 , 2 , 5) 的直线方程.

直线: xxyyzz,s(m ,n,p ) mn p
垂直： sn0
m n p ABC
平行： sn0
m A n B p C 0
夹角公式： sin sn
sn
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3. 相关的几个问题 (1) 过直线
L: A A 2 1x x B B 2 1y y C C 1 2zz D D 1 2 0 0
A x 0 B y 0 C z 0 D A2B2C2
M0
d
n
M1
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(3) 点 M 0(x0,y0,z0)到直线
L: xx1yy1zz1 mn p
的距离为
L
M 0(x0,y0,z0) d
d M0M1s s
s(m ,n,p)
M 1(x1,y1,z1)
1
m2 n2 p2
i jk sn1n2 1 0 4 ( 4,3,1 )
2 1 5
利用点向式可得方程
x 3 y2 z5
4
3
1
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例2. 求直线 x2y3z4与平面 112
2 x y z 6 0
t
的交点 .
提示: 化直线方程为参数方程
x2t
y
3 t
z 4 2 t
代入平面方程得 t 1
从而确定交点为（1，2，2）.
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例3. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 x1y1 z 3 2 1
垂直相交的直线方程（类似8-6，题1）. 提示: 先求二直线交点 P. 过已知点且垂直于已知直线
i
j
k
x 1 x 0y 1 y 0z 1 z 0

(2)找 两 种 不 同 趋 近 方 式 ， 使 lim f(x,y)存 在 ， 但
x x0 y y0
两 者 不 相 等 ， 此 时 也 可 断 言 f(x,y)在 点 P0(x0,y0) 处 极 限 不 存 在 ．
二元函数的连续性
定义
设n元函数f(P)的定义域为点集D, P0是其聚 点且P0D，如果limf(P)f(P0)则称n元
u x
zv wy
特殊地 zf(u ,x,y) 其中 u(x,y)
x z u f u x fx, yzu f u yfy.
隐函数的求导法则
1 . F (x ,y)0
dy dx
Fx Fy
.
2 . F (x ,y ,z) 0
z yFy Fz源自,z yFy Fz
.
3.
F(x, y,u,v)0 G(x, y,u,v)0
连续偏导数，则对于每一点P(x, y)D，都
可定出一个向量f x
i
f y
j
，这向量称为函
数z f(x, y)在点P(x, y)的梯度，记为
grfa(xd ,y) fxi fyj. 三元函数的梯度
grf(a x ,y ,d z) f xi f yj f zk.
多元函数的极值
极 大 值 、 极 小 值 统 称 为 极 值 . 使 函 数 取 得 极 值 的 点 称 为 极 值 点 .
设 P 0 是 函 数 f(P )的 定 义 域 的 聚 点 ， 如 果 f(P )在 点 P 0 处 不 连 续 ， 则 称 P 0 是 函 数 f(P )的 间 断 点 . 注意：二元函数可能在某些孤立点处间断，也可能
在曲线上的所有点处均间断。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”： lim f(P)f(P 0) (P 0 定义)区域

从上式可看出ΔS由两部分组成． 第一部分yΔx+xΔy是 Δx、 Δy的线性函数，即图8-3中带有单条斜线的两个矩形面 积的和；第二部分ΔxΔy，当Δx→0，Δy→0时，是比 (x)2 (y)2 较高阶的无穷小量. 当|Δx|，|Δy|很小时，有 ΔS≈yΔx+xΔy． 我们把yΔx+xΔy叫做面积S的微分．
dz=AΔx+BΔy 也称函数z=f(x，y)在点(x，y)处可微．
对二元函数，可以证明如果函数z=f(x，y)在点(x，y)的 某一邻域内有连续的偏导数fx′ (x，y)，fy′ (x，y)，则函 数z=f(x，y)在点(x，y)处可微，并且
dz=fx′ (x，y)Δx+fy′ (x，y)Δy
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 8.2 高阶偏导数与全微分 8.3 多元函数的极值
第八章 多元函数微分学及其应用
8.1 多元函数与偏导数 一、 多元函数的概念 在很多自然现象和实际问题中，经常会遇到多个变量之间 的依赖关系． 引例1 [直角三角形面积] 直角三角形面积S与底边长x， 高y之间具有关系
类似地，有
第八章 多元函数微分学及其应用
r
2y
y
y 2 x2 y 2 z 2 r
r
2z
z
z 2 x2 y 2 z 2 r
例6 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)，求证：
证明 因为
p V T 1 V T p
p RT , V
V RT , p
T pV , R
p V
RT V2
p RT (V>0，T>0，R为常量)

围成的矩形域，即
D : 0 ≤ x ≤1, 0 ≤ y ≤ 2 .
V
:
0≤
x
≤1, 0 ≤
y
≤
2,
y 4
≤
z
≤6-
x2
y2
.
从而
1
2
6x2 y2
V ห้องสมุดไป่ตู้ dV 0 dx0 dyy
dz
V
4
1
2
6x2 y2
V dV 0 dx0 dyy
dz
V
4
1
2
dx
0
0
z dy 6x2 y2 y
4
y
r
sin
sin
,
z r cos .
8.3.2 三重积分的计算
z
如图，
dr
d
球面坐标系中的体积元素
r sin
r sind
r
rd
dv r2 sindrdd ,
d
o
y
f ( x, y, z)dxdydz
x
d
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos ) r2 sindrdd .
F(x, y)d
D
D
o
z2 ( x, y )
f
a
( x, y, z)dz
d .
D
z1 ( x , y ) b
(x, y)
x
y y1( x)
y
y y2( x)
D : y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), a ≤ x ≤ b, 得
f (x, y, z)dv
b
dx
y2 ( x)dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.

=n (2 x, 2 y, − 1) (1,−2,5) = (2, − 4, − 1)，
∴ 平面 π 方程为 2( x − 1) − 4( y + 2) − (z − 5) =0，
即 2x − 4 y − z − 5 =0，
x + y + b =0
由直线
l
方程
x
+
ay
−
z
−
3
得 =0
y =− x − b z = (1 − a)x − (3 +
22
⋅
−
y x2
= 4 x3 f1′ + 2 xf2′ + x4 yf1′1′ − yf2′2′ .
例3 设=u f ( x, y, z)，ϕ ( x2 ,e y= , z) 0= ，y sin x，其中
f ,ϕ 具有一阶连续偏导数，且 ∂ϕ ≠ 0，求 du .
∂z
dx
解 du = ∂f + ∂f ⋅ dy + ∂f dz ， dx ∂x ∂y dx ∂z dx
ab)
代入平面 π
方程得
(5 + a)x + (4b + ab − 2) = 0， 所以 a = −5，b = −2.
例12 设 xyz a (其中 a 为常数，且 x > 0，y > 0， z > 0)，求函数 u = x + y + z 的最小值.
证一 u = x + y + z ≥ 3 3 xyz = 3 3 a，
解 ∂=z ∂x
f1′⋅
y
+
f
′
2
⋅
1 y
+

第八章 重积分 习题课
一.主要内容
1、二重积分的定义
定义 设 f ( x, y)是有界闭区域 D 上的有界函数，将
闭区域 D 任意分成n 个小闭区域 1 ， 2 , ，
n，其中 i 表示第i 个小闭区域，也表示它的面积，
在每个 i 上任取一点(i ,i ) ，
作乘积 f (i ,i ) i ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y) 在
D 上连续，平面薄片对于x 轴和y 轴的转动惯量为
薄片对于x轴的转动惯量
Ix y2 ( x, y)d , D
薄片对于y轴的转动惯量
I y x2 ( x, y)d . D
设物体占有空间闭区域 ，在点( x, y, z) 处的
故
a
a a2 y2
I
dy
0
y2
f ( x, y)dx
2a
2a
2a
a
2a
0
dy
y2 f ( x, y)dx
dy
f ( x, y)dx.
0
a a2 y2
2a
例3 计算 x2 y2d . 其中 D 是由心脏线 D
r a(1 cos )和圆 r a 所围的面积（取圆外部）．
解 x2 y2d
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
(３) 球面坐标
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .

a
2 8

b
2


30 a

b

0

记

b

a
则有 7 152 16 cos 0
1
7 82 30 cos 0 2
2 1 得到
2cos
代入1得到
cos2 1
4
cos 1
2
由2式 7 82 30 cos 0 2

a3b2 )i
(a3b1

a1b3 ) j
(a1b2

a2b1 )k
(a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b2 a2b1 ) i jk
ax ay az bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
3、混合积
x
a

ax
i

a
y
j

az
k
(ax ,
ay,
az )
向量模长的坐标表示式
| a|
ax2

a
2 y

az2
向量方向余弦的坐标表示式
cos
ax
ax2 ay2 az2
cos
ay
ax2 ay2 az2
cos
az
ax2 ay2 az2
( cos2 cos2 cos2 1 )
( xl ym zn)2 cos2 ( x 2 y 2 z 2 ) (l 2 m 2 n2 )
2半经为R的圆柱面方程.