古典概型

古典概型的定义
古典概型，也叫统计学的古典概率，是一种基本的概率计算方法。

所谓“古典”，指的是它适用于那些有限个基本事件、每个事件的发
生概率相等的样本空间。

具体来说，对于一个由有限个基本事件组成的样本空间，假设每
个基本事件出现的可能性相等，那么该事件发生的概率就可以通过排
列组合求出。

以一枚硬币抛掷为例，它的古典概型是：正面朝上概率
为1/2，反面朝上概率为1/2。

古典概型的定义包含了以下三个要素：样本空间、基本事件和等
可能性原理。

1.样本空间：指所有可能发生的事件的集合，用S表示。

比如，
扔一枚骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。

2.基本事件：是样本空间S中每个元素本身，每个基本事件是互
斥的。

比如，扔一枚硬币时，正面朝上和反面朝上就是两个基本事件。

3.等可能性原理：是指每个基本事件发生的概率相等。

在扔一枚
硬币的例子中，正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。

按古典概型定义，基本事件的概率是指每个基本事件出现的可能
性大小，因此它是介于0和1之间的一个实数。

所有的基本事件发生
概率之和为1。

应用古典概型，可以计算出概率问题的答案。

比如，如果一副扑
克牌中，从中随机取出一张牌，求取到一张红桃牌的概率是多少？根
据扑克牌的样本空间和等可能性原理，可以得到红桃牌的数量是13张，总牌数为52张，因此概率为13/52 = 1/4。

总之，古典概型是概率论中最基本的概率计算方法，适用于等可
能性的事件。

通过这种方法，可以方便地计算概率问题，为概率统计
学提供了重要的基础。

古典概型知识讲解一、基本事件的两个特点1.任何两个基本事件是互斥的；2.任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．二、古典概型的概念概念：如果一次实验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且每个事件出现的可能性相等，则这样的概率模型称为古典概型．三、古典概型的特征1.有限性：即在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；2.等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的；称这样的试验为古典概型．注：判断一个试验是否是古典概型，在于该试验是否具有上述两个特征：有限性和等可能性．四、古典概型计算公式及步骤1. 如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；2. 如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P（A）=mn．3. 古典概型的计算步骤：(1) 阅读题目，收集信息，理解题意：(2) 判断是否为古典概型，并用字母表示所求事件：(3) 计算基本事件的个数n和所求事件中包含的基本事件个数：(4) 计算所求事件的概率mPn．典型例题一．选择题（共5小题）1．（2015?广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为（）A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；∴基本事件总数为10；设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；∴P（A）==0.6．故选：B．2．（2017?新课标Ⅱ）从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，基本事件总数n=5×5=25，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．故选：D．3．（2015?广东）袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（）A．B．C．D．1【解答】解：这是一个古典概型，从15个球中任取2个球的取法有；∴基本事件总数为105；设“所取的2个球中恰有1个白球，1个红球”为事件A；则A包含的基本事件个数为=50；∴P（A）=．故选：B．4．（2018?宣城二模）从2名男生和2名女生中，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从4个人安排两人，总共有C42A22=12种．其中期六安排一名男生、星期日安排一名女生，总共有C21C21=4种，∴其中至少有1名女生的概率P=．故选：A．5．（2015?新课标Ⅰ）如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数．从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5）（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10种，其中只有（3，4，5）为勾股数，故这3个数构成一组勾股数的概率为．故选：C．二．填空题（共3小题）6．（2014?江苏）从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数，则所取2个数的乘积为6的概率是．【解答】解：从1，2，3，6这4个数中一次随机抽取2个数的所有基本事件有（1，2），（1，3），（1，6），（2，3），（2，6），（3，6）共6个，所取2个数的乘积为6的基本事件有（1，6），（2，3）共2个，故所求概率P=．故答案为：．7．（2016?江苏模拟）分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶数的概率是．【解答】解：从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，基本事件共有4×4=16个，∵两数之积为偶数，∴两数中至少有一个是偶数，A中取偶数，B中有4种取法；A中取奇数，B中必须取偶数，故基本事件共有2×4+2×2=12个，∴两数之积为偶数的概率是=．故答案为：．8．（2015?江苏）袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球、1只红球、2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为．【解答】解：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为C1、C2，则一次取出2只球，基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种，其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种；所以所求的概率是P=，故答案为：．三．解答题（共3小题）9．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机连续摸取3次，每次取1个球，求：（1）不放回抽样时，摸出2个白球，1个黑球的概率．（2）有放回时，摸出2个白球，一个黑球的概率．【解答】解：（1）不放回抽样时，从10个球中摸出3个，基本事件数是==120；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是?=?2=56；∴它的概率为P==；（2）有放回时，从10个球中摸出3个，基本事件数是10×10×10=1000；其中2个白球，1个黑球的基本事件数是8×8×2=128；∴它的概率为P==．10．将某校高三年级300名学生的毕业会考数学成绩进行整理后，分成五组，第﹣组[75，80），第二组[80，85），第三组[86，90），第四组[90，95），第五组[95，100]，如图为频率分布直方图的一部分．（1）请在图中补全频率分布直方图并估算这300名学生数学成绩的中位数；（2）若M大学决定在成绩高的第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试，在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官B的面试，求第4组中至少有1名学生被考官B面试的概率．【解答】解：（1）根据频率和为1，计算第五组[95，100]的频率为1﹣0.03×5﹣0.05×5﹣0.06×5﹣0.04×5=0.1，又频率组距==0.02，补全频率分布直方图如图所示∵0.03×5+0.05×5=0.40＜0.5，0.40+0.06×5=0.70＞0.5，∴中位数在第三组[85，90）中，设为x，则（x﹣85）×5+0.40=0.50，解得x=87；估算这300名学生数学成绩的中位数87；（2）第3组有学生300×0.06×5=90人，第4组有学生300×0.04×5=60人，第5组有学生300×0.02×5=30人；用分层抽样的方法从中抽取6人，则第3组抽取3人，记为a、b、c，第4组抽取2人，记为D、E，第5组抽取1人，记为f；从这6名学生中随机抽取2人，基本事件为ab、ac、aD、aE、af、bc、bD、bE、bf、cD、cE、cf、DE、Df、Ef共15种，第4组中至少有1人被抽取的基本事件为aD、aE、bD、bE、cD、cE、DE、Df、Ef共9种，故所求的概率为P==．11．某学校阅览室订有甲，乙两类杂志，据调查，该校学生中有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志．求学生中至少读其中一类杂志的概率？【解答】解：有70%阅读甲杂志，有45%阅读乙杂志，有22%兼读甲，乙两类杂志，则学生中至少读其中一类杂志的读甲，乙两类杂志的有70%+45%﹣22%=93%，故学生中至少读其中一类杂志的概率0.93。

古典概型知识点总结在概率论中，古典概型是一个基础且重要的概念。

它为我们理解和解决许多概率问题提供了简单而直观的方法。

接下来，让我们一起深入探讨古典概型的相关知识点。

一、古典概型的定义古典概型是指试验中所有可能出现的基本事件是有限的，并且每个基本事件出现的可能性相等的概率模型。

例如，掷一枚均匀的硬币，出现正面和反面就是两个基本事件，且它们出现的可能性相等，这就是一个古典概型的例子。

二、古典概型的概率计算公式如果一个古典概型中，一共有 n 个基本事件，事件 A 包含的基本事件数为 m，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

这个公式是古典概型计算概率的核心，通过确定基本事件总数和事件 A 包含的基本事件数，就可以计算出事件 A 的概率。

三、古典概型的特点1、有限性：试验中所有可能出现的基本事件是有限的。

2、等可能性：每个基本事件出现的可能性相等。

这两个特点是判断一个概率模型是否为古典概型的关键。

四、计算古典概型概率的步骤1、确定试验的基本事件总数 n 。

2、确定所求事件 A 包含的基本事件数 m 。

3、代入公式 P(A) ＝ m ／ n 计算概率。

例如，一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，求取出红球的概率。

基本事件总数 n ＝ 8 （5 个红球＋ 3 个白球），事件“取出红球”包含的基本事件数 m ＝ 5 ，所以取出红球的概率 P ＝5 ／ 8 。

五、古典概型的常见题型1、摸球问题比如，一个袋子里有若干个不同颜色的球，从中摸出特定颜色球的概率。

2、掷骰子问题计算掷出特定点数或特定点数组合的概率。

3、抽奖问题在抽奖活动中，计算中奖的概率。

4、排列组合问题与古典概型的结合通过排列组合的方法确定基本事件总数和事件包含的基本事件数。

六、古典概型的应用1、决策分析在面临不确定性的决策时，可以通过计算不同结果的概率来辅助决策。

2、风险评估评估某些事件发生的可能性和风险程度。

一、古典概型一个随机试验,数学上是用样本空间、事件域和概率来描述的.对一个随机事件,如何寻求它的概率是概率论的一个基本问题.我们先讨论一类是简单的随机试验,它具有下述特征:对于一个试验,如果具有:(1)样本空间的元素(即基本事件)只有有限个.不妨设为个,并记它们为,(2)每个基本事件出现的可能性是相等的,即有通常就称这种数学模型为古典概型.它在概率论中有很重要的地位,一方面,因为它比较简单,许多概念既直观而又容易理解,另一方面,它又包括了许多实际问题,有很广泛的应用.对上述的古典概型,它的样本空间,事件域为的所有子集的全体,这时,连同在内,共含有个事件,并且从概率的有限可加性知于是对任意一个随机事件,如果是个基本事件的总和,即则=中所含的基本事件数/ 基本事件总数=中有利事件数/ 基本事件总数（中所含的基本事件数,习惯上常常称为的有利事件数）.不难验证,上述的概率的确具有非负性、规范性和有限可加性.二、几个古典概型的例子[例1]在盒子中有十个相同的球,分别标为号码,从中任取一球,求此球的号码为偶数的概率.解法1令={取得球的标号为}则故基本事件总数为.又令={所取球的号码为偶数}显然所以中含有5个基本事件,从而解法2令，其中这时,由的对称性即得这两种解法都是正确的,但二者的样本空间(从而事件域)是不同的,严格地说,两者所描述的随机试验是不同的.例如,对于第二种解法来说,={所取球的号码为4}并不属于事件域,也就是说,不是一个事件,从而也就没有概率可言. 但对于第一种解法来说,是事件,而且.因此提请读者注意,为求一个事件的概率,样本空间可以有不同的取法,但一定要认清,基本事件总数和有利事件数的计算都要在同一个样本空间中进行,否则要引起混淆并导致谬误![例2] 一套五卷的选集，随机地放到书架上,求各册自左至右或自右至左恰成1、2、3、4、5的顺序的概率.解：以a、b、c、d、e表示自左至右的书的卷号,这时一个放置的方式与一个向量（a,b,c,d,e）对应，而a、b、c、d、e只能在1、2、3、4、5中取值（而且不许重复取某一个值），故这种向量数共有5！=120.因为各卷书的安放是随机的,所以这120种放法是等可能的,这时就得到一个古典概型,而有利事件发生只有两种可能性:或者卷号的排列为1、2、3、4、5,或者为5、4、3、2、1,所以[例3] 设有任意个人,每个人都等可能地被分配到个房间中的任一间去住,求下列事件的概率:(1)指定的个房间各有一个人住；(2)恰好有个房间，其中各住一个人.解：(1)因为每一个人有个房间可供选择,所以个人住的方式共有种,它们是等可能的.在第一个问题中,指定的个房间各有一个人住,其可能总数为个人的全排列,于是(2)个房间可以在个房间中任意选取，其总数有个，对选定的个房间，按前述的讨论可知有种分配方式，所以恰好有个房间，其中各住一个人的概率为这个例子常称为“分房问题”.如把例子中的“人”理解为“粒子”, “房间”理解为粒子所处的能级,那么“分房问题”所描述的模型就是统计物理学中的马克斯威尔-波尔兹曼统计.如果个人不可分辨的,那么上述模型即对应于玻色-爱因斯坦统计; 如果粒子不可分辨的,并且每一个“房间”里最多只能放一个“粒子”,这时就得到费米-狄拉克统计.这三种统计在物理学中有各自的适用范围.由以上的例题我们看到,求解古典概型问题的关键是在寻求基本事件总数和有利事件数,但正面求这两个数并不那么容易的,有时要研究一些技巧.要掌握这些技巧,当然需要一些艰苦的训练.[例4] 某班级有个人,问至少有两个人的生日在同一天的概率有多大?解假定一年按365天计算,把365天当作365个“房间”, 那么问题就可以归结为例3,这时“个人的生日全不相同”就相当于例3中的(2): “恰好有个房间，其中各住一个人”.令={个人中至少有两个人的生日在同一天}则={个人的生日全不相同}由例3的(2)知而于是这个例子是历史上有名的“生日问题”,对不同的一些值,计算得相应的值如下表:上表所列的答案是足以引起多数读者惊奇的，因为“一个班级中至少有两个人的生日相同”这种情形发生的概率,并不如大多数人直觉想象的那么小,而是相当大.由表中可以看出,当班级中的人数为23时,就有半数以上的班级会发生上述事情,而当班级中的人数达到50时,竟有97%的会发生上述事件.当然,这里讲的“半数以上”、“有97%”都是就概率而言,正如前面中所讨论的那样,只是在大数次重复下(这就要求班级的数目相当多),才可以理解为频率.这个例子告诉了我们,“直觉”并不很可靠,这就有力地说明了研究随机现象统计规律的重要性.[例5] 袋子中有只黑球,只白球,它们除颜色不同外,其他方面没有差别,现在把球随机地一只只地摸出来,求第次摸出来的一只球是黑球的概率.解法1:把只黑球与只白球都看作是不同的(对它们进行编号)，若把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,则可能的排列相当于把个元素进行全排列,总数为,把它们作为样本点全体.有利场合数为,这是因为第次摸得黑球有种取法,而另外次摸球相当于只球进行全排列,有种构成法,故所求概率为这个结果与无关.回想一下,就会发现这与我们平常生活经验是一致的.例如在体育比赛中进行抽签，对各队机会均等,与抽签先后次序无关.解法2:把只黑球看作是没有区别的,把只白球也看作是没有区别的.仍把摸出的球依次放在排列成一条直线的个位置上,因若把只黑球的位置固定下来,则其他位置必然是白球,而黑球的位置可以有。

古典概型
1.基本事件：
试验结果中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件.
基本事件的特点：
(1)每个基本事件的发生都是等可能的.
(2)因为试验结果是有限个，所以基本事件也只有有限个.
(3)任意两个基本事件都是互斥的，一次试验只能出现一个结果，即产生一个基本事件.
(4)基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式来表示.
2.古典概型的定义：
(1)有限性：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；
(2)等可能性：每个基本事件出现的可能性相等；
我们把具有上述两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.
3.计算古典概型的概率的基本步骤为：
(1)计算所求事件A所包含的基本事件个数m；
(2)计算基本事件的总数n；
(3)应用公式计算概率.
4.古典概型的概率公式：
.应用公式的关键在于准确计算事件所包含的基本事件的个数和基本事件的总数.
要点诠释：
古典概型的判断：如果一个概率模型是古典概型，则其必须满足以上两个条件，有一条不满足则必不是古典概型.如“掷均匀的骰子和硬币”问题满足以上两个条件，所以是古典概型问题；若骰子或硬币不均匀，则每个基本事件出现的可能性不同，从而不是古典概型问题；“在线段AB上任取一点C，求AC>BC的概率”问题，因为基本事件为无限个，所以也不是古典概型问题.。