三种群捕食者食饵系统的持久性和全局渐进稳定性

* * 令 m1 ( ) = m* 1 , m2 ( ,
,
) =
a 32 m 2 ( , ) 1 - bM 3 M M a 33 c 2 + m * ) 2 ( , , ) = m* 3 .
L
*
> 0
* ) = m* 2 , m3 ( ,
由系统( 1) 的第一个方程 , 得 x ( t ) ∃ x 1 ( t ) [ bL 1a 12 a 12 a21 M L M L M 2 - a 11 x 1 ( t ) ] ∃ x 1 ( t ) [ b 1 L - a11 x 1 ( t ) ] c1 cL 1 a 22 x 1( t ) ∃ m * 1 由系统 ( 1) 的第二个方程, 我们得到: 当 t ∃ T 1 时 , 有 x 2 ( t ) ∃ x 2 ( t ) [ - bM 2 + cM 1
这里 , 第三种群 x 3 ( t ) 是第二种群 x 2( t ) 的捕食者, 而第二种群 x 2( t ) 是第一种群 x 1 ( t ) 的捕食者 . 本文利 用微分不等式建立了上述系统持久性的新判据. 先作一些准备. 对一个连续有界的函数 f ( t ) , 我们设 f L = inf{ f ( t ) ! t ∀ R + } 在系统 ( 1) 里, 我们总是假设 ( H 1) b i ( t ) , aij ( t ) ( i , j = 1, 2, 3) , ci ( t ) ( i = 1, 2) 是[ 0, + # ) 上严格正的连续函数 , 它们满足 :
* * * 令 m = min{ m * 1 , m 2 , m 3 } , M = max { M 1 , M 2 , M 3 } . 其中 m i , M i ( i = 1, 2 , 3) 如引理 2 和引 *
bM 3
a 32 m 2 + M - aM 33 x 3 ( t ) ] c 2 + m* 2
* M aL aM 21 m 1 23 a32 M * L L - a 22 x 2( t ) ] + m1 c 2 a33 M M M
由比较定理[ 7] , 必存在 T 1 ∃ 0, 当 t ∃ T 1 时, 有 ( 11)
与不等式 ( 11) 的讨论过程类似 , 存在 T 2 ∃ T 1 , 当 t ∃ T 2 时, 有 x 2( t ) ∃ m * 2 由系统 ( 1) 的第三个方程, 我们得到: 当 t ∃ T 2 时 , 有 x 3( t ) ∃ x 3( t ) [ 同理 , 存在 T 3 ∃ T 2 , 当 t ∃ T 3 时, 有 x 3( t ) > m 3 定理 1 证 假设系统 ( 1) 满足 ( H 1) ~ ( H 4) , 则系统 ( 1) 是持久的 .
> 0, 使得 1 bL - a 12 a 21 1 L aM cL 11 1 a 22
L *
m* 1 ( ) = m* 2 ( ,
> 0
M M
21 m 1 ( ) a23 a 32 ) = 1 -M + m ( ) c2 a 33 22 1 1
> 0
m* 3 ( ,
M L
考虑 Bemoulli 方程 易证 , 对其满足初始条件 y ( 0) = x 1 ( 0) > 0 的解 y ( t ) , 一定存在 t * > 0, 当 t ∃ t * 时, 有 y ( t ) % M 1 , 由 比较定理
[ 7]
, 当t ∃t
*
时, 有 x 1( t ) % M 1 ( 5)
m 2 ( u, v) = m 3 ( u, v , w ) = 由( H 2 ) ~ ( H 4 ) 及( 8) ~ ( 10) 得到:
*
*
lim m* 1 ( u) = u 0 lim m * 2 ( u, v ) = v ) ( 0, 0) lim( 0,
* m3
M aM 12 a 21 1 L b 1 > 0 L L aM c 1 a 22 11
与不等式 ( 6) 的讨论过程类似 , 存在 T 2 > 0, 当 t > T 2 时, 有 x 3( t ) < M 3 令 T > max { t , t 1 , T 2} , 则当 t > T 时, 有 x i( t) < Mi 引理 3 ( H 2) ( H 3) ( H 4) 其中 m 1 = 假设系统 ( 1) 满足 ( H 1) , 以及 a 12 a 21 L ; cL 1 a 22 M aL aM 21 m 1 23 a 32 bM - L L ; 2 < M c 1 + m1 c2 a 33 bL 1 > bM 3 < 1 aM 11 a 32 m 2 . M c 2 + m2 M M aM aL aM 12 a 21 21 m 1 23 a 32 1 M bL 1 , m2 = M M L L - b 2 . 如果( x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , x 3( t ) ) 表示系统( 1) cL cL 1 a 22 a 22 c1 + m 1 2 a 33
在种群的交互作用过程中 , 与现实更接近的系统应考虑密度制约因素以及捕食者对食饵的功能性反 应
[ 1]
. 近来, 生态系统 的持久 性和 全局渐 进稳定 性问题 已受到 学术界 的广 泛重视 [ 2- 6 ] . 本 文研究 具有 类功能反应 , 非自治的三种群捕食者 食饵食物链系统: x 1 ( t ) = x 1 ( t ) [ b 1( t ) - a11( t ) x 1 ( t ) x 2 ( t ) = x 2 ( t ) [ - b2 ( t ) + x 3 ( t ) = x 3 ( t ) [ - b3 ( t ) + a12( t ) x 2 ( t ) ] c 1( t ) + x 1( t ) ( 1)
从系统 ( 1) 的第一方程得 L x 1( t ) % x 1( t ) [ b 1 ( t ) - a 11 ( t ) x 1 ( t ) ] % x 1 ( t ) ( bM 1 - a11 x 1 ( t ) ) y ( t ) = y ( t ) ( b 1 - a 11 y ( t ) )
L L M M M 0 < bL i , aij , ci , bi , aij , ci < + #
f M = sup {f ( t ) ! t ∀ R + }
t ∀ [ 0, # )
3
设 x ( t ) = ( x 1( t ) , x 2( t ) , x 3( t ) ) ∀ R ,
3
3 R+
三种群捕食者 食饵系统的持久性 和全局渐进稳定性
苟清明
涪陵师范学院数学系 , 重庆 涪陵 408003
摘要 : 用比较定理和极限理论研究了具有 Holling 关 键
类功能反应 的三种群捕食者 食饵系统 , 证明了在某些条件下 系
统是持久的 , 而且在适当条件下系统的任意正解是全局渐进稳定的 . 词 : 三种群 ; 捕食者 食饵系统 ; 持久性 ; 全局渐近稳定 文献标识码 : A 中图分类号 : O175 13
* m1
M M 1 b L - a 12 a 21 ( u) = M 1 - u L cL a 11 1 a 22 * M aL aM 21 m 1 ( u) 23 a 32 1 - L L - bM 2 - v M M * c2 a 33 a 22 c1 + m 1 ( u ) * aL 32 m 2 ( u, v ) 1 - bM 3 - w M M * a 33 c2 + m 2 ( u , v)
= { x ∀ R ! x i ( t ) ∃ 0, i = 1, 2, 3} , 如果 x ∀ Int R + , ( 2)
3
则用 x > 0 表示 . 从生态学考虑, 以下我们总假设 x ( 0) = ( x 1( 0) , x 2( 0) , x 3( 0) ) > 0
收稿日期 : 2001 05 31 作者简介 : 苟清明 ( 1963- ) , 男 , 四川南充人 , 讲师 . 主要从事常微分方程及生态数学的研究 .
从系统 ( 1) 的第二方程得
L x 2( t ) % x 2( t ) [ aM 21 - a 22 x 4 ( t ) ]
如果对
t ∃ 0, 有 x 2( t ) > M 2 , 则由系统( 1) 的第二个方程得到 0 < M 2 < x 2( t ) % x 2 ( 0) exp( [&
t 0 M L bL 2 + a 21 - a 22 x 4( s ) ] d s )
( u,
a 21 m 1 a 23 a 32 1 - L L - bM 2 > 0 M aM c 2 a 33 22 c 1 + m 1
L
L
M
M
( u , v , w)
0, 0)
a 21 m 2 1 - bM ( u , v, w ) = M M 3 > 0 a 33 c2 + m 2
M M
由极限理论, 存在充分小的
% x 2 ( 0) exp(- bL 2 t) x 2( t ) % M 2 从系统 ( 1) 的第三个方程得
0
t
+ # ( 6)
矛盾 . 因此, 存在 t 1 ∃ 0, 使得 x 2 ( t1 ) % M 2. 用反证法易证, 当 t ∃ t 1 , 有
L x 3( t ) % x 3( t ) [ aM 32 - a 33 x 3 ( t ) ]
第 27 卷 Vol. 2 7
第4期 No. 4
西 南 师 范 大 学 学 报 ( 自然科学版)