新教材高中数学第三章函数3.1函数的概念与性质3.1.2函数的单调性第1课时单调性的定义与证明学案新人教B版必

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

第1课时单调性的定义与证明(教师独具内容)课程标准：借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．教学重点：函数单调性的定义及其应用，函数单调性的证明．教学难点：函数单调性的证明.【情境导学】(教师独具内容)下图是某市一天24小时内的气温变化图，从图中你能发现什么？提示：从图像上可以看出0～4时气温下降，4～14时气温逐渐上升，14～24时气温又逐渐下降．学习了本节内容——函数的单调性，可以使我们更好地认识图形，并用图形中所揭示的规律与趋势来指导我们的生活与工作．【知识导学】知识点一增函数与减函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，且I⊆D：(1)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□01f(x1)>f(x2)，则称y＝f(x)在I上是增函数(也称在I上□02单调递增)．(2)如果对任意x1，x2∈I，当x1>x2时，都有□03f(x1)<f(x2)，则称y＝f(x)在I上是减函数(也称在I上□04单调递减)．知识点二函数的单调性和单调区间如果一个函数在I上是□01增函数或是□02减函数，就说这个函数在I上具有单调性(当I 为区间时，称I为函数的□03单调区间，也可分别称为□04单调递增区间或□05单调递减区间)．知识点三函数的最大值和最小值一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0∈D：如果对任意x∈D，都有□01f(x)≤f(x0)，则称f (x )的最大值为f (x 0)，而□02x 0称为f (x )的最大值点；如果对任意x ∈D ，都有□03f (x )≥f (x 0)，则称f (x )的最小值为f (x 0)，而□04x 0称为f (x )的最小值点．最大值和最小值统称为□05最值，最大值点和最小值点统称为□06最值点． 【新知拓展】1．当函数f (x )在其定义域内的两个区间A ，B 上都是增(减)函数时，不能说f (x )在A ∪B 上是增(减)函数，如f (x )＝1x在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是减函数，不能说f (x )＝1x在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，事实上，取x 1＝－1<1＝x 2，有f (－1)＝－1<1＝f (1)，不符合减函数的定义．2．函数的单调性是函数在某个区间上的性质 (1)这个区间可以是整个定义域．例如，y ＝x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是增函数，y ＝－x 在整个定义域(－∞，＋∞)上是减函数．(2)这个区间也可以是定义域的真子集．例如，y ＝x 2在定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数．(3)有的函数不具有单调性．例如，函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，它的定义域为R ，但不具有单调性；y ＝x ＋1，x ∈Z ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性．3．区间端点的写法对于单独的一点，因为它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调性问题，因此在写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些无意义的点，单调区间就一定不包括这些点．例如，y ＝x 2的单调递增区间是[0，＋∞)，也可以记为(0，＋∞)，但函数y ＝1x在(0，＋∞)上是减函数，就不能写成y ＝1x在[0，＋∞)上为减函数．4．对最大(小)值定义的理解(1)最值首先是一个函数值，即存在一个自变量x 0，使f (x 0)等于最值，如f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0.(2)对于定义域内的任意元素x，都有f(x)≤f(x0)(或f(x)≥f(x0))，“任意”两字不可省．(3)使函数f(x)取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个．(4)函数f(x)在其定义域(某个区间)内的最大值的几何意义是其图像上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是其图像上最低点的纵坐标．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)定义在(a，b)上的函数f(x)，若存在x1，x2∈(a，b)，使得x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么函数f(x)在(a，b)上为增函数．( )(3)若函数f(x)在区间A上为减函数，在区间B上也为减函数，则函数f(x)在区间A∪B上也为减函数．( )(4)若函数f(x)在实数集R上是增函数，则有f(1)<f(4)．( )(5)任何函数都有最大值或最小值．( )答案(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知函数f(x)＝x的图像如图1所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(2)已知函数f(x)＝－2x＋1的图像如图2所示，①从左至右图像是上升的还是下降的：________.②在区间________上，随着x的增大，f(x)的值________，在此区间上函数是增函数还是减函数：________.(3)函数y＝－x2的单调递增区间为________，单调递减区间为________．(4)函数f(x)＝x2在[0,1]上的最大值是________．答案(1)①上升的②(－∞，＋∞)增大增函数(2)①下降的 ②(－∞，＋∞) 减小 减函数 (3)(－∞，0] [0，＋∞) (4)1题型一 函数单调性的判断与证明 例1 用函数单调性的定义证明：(1)函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数；(2)函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [证明] (1)设x 1，x 2是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝(－2x 22＋3x 2＋3)－(－2x 21＋3x 1＋3)＝2x 21－2x 22＋3x 2－3x 1＝2(x 1＋x 2)(x 1－x 2)－3(x 1－x 2)＝[2(x 1＋x 2)－3]·(x 1－x 2)．因为x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，由x 1，x 2∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34，得x 1<34，x 2≤34，则x 1＋x 2<32，所以2(x 1＋x 2)<3，则2(x 1＋x 2)－3<0，所以f (x 2)>f (x 1)，所以函数f (x )＝－2x 2＋3x ＋3在⎝⎛⎦⎥⎤－∞，34上是增函数．(2)设x 1，x 2是(－3，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－3，＋∞)，得x 1>－3，x 2>－3， 即x 1＋3>0，x 2＋3>0，所以f (x 2)<f (x 1)， 所以f (x )＝x ＋4x ＋3在(－3，＋∞)上是减函数． [条件探究] 若把本例(2)中的(－3，＋∞)改为(－∞，－3)，试判断函数f (x )的单调性．解 设x 1，x 2是(－∞，－3)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋4x 2＋3－x 1＋4x 1＋3＝－x 2－x 1x 2＋3x 1＋3.因为x 2－x 1>0，所以－(x 2－x 1)<0，由x 1，x 2∈(－∞，－3)，得x 1<－3，x 2<－3， 即x 1＋3<0，x 2＋3<0，所以f (x 2)<f (x 1)， 所以函数f (x )＝x ＋4x ＋3在(－∞，－3)上是减函数． 金版点睛函数单调性的判断判断函数f (x )的单调性通常有定义法和图像法两种．而证明单调性一般要用定义法，其一般步骤为：(1)设元：设x 1，x 2为区间上的任意两个变量，且x 1<x 2； (2)作差：计算f (x 1)－f (x 2)；(3)变形：将差式变形整理(配方、通分、因式分解)； (4)判号：结合题设判定差的符号； (5)定论：结合单调性的定义下结论．[跟踪训练1] 利用定义判断函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上的单调性．解 任取x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，f (x 2)－f (x 1)＝x 2x 2＋2－x 1x 1＋2＝x 2x 1＋2－x 1x 2＋2x 2＋2x 1＋2＝2x 2－x 1x 1＋2x 2＋2.∵x 1<x 2且x 1，x 2∈(0，＋∞)，∴x 2－x 1>0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴函数f (x )＝xx ＋2在区间(0，＋∞)上是增函数.题型二 求函数的单调区间例2 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图像，并指出函数的单调区间． [解] 当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，当x <0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －12＋4，x ≥0，－x ＋12＋4，x <0，作出函数的图像如下图所示：所以函数在(－∞，－1)和[0,1)上是增函数， 在[－1,0)和[1，＋∞)上是减函数． 金版点睛求函数的单调区间(1)求函数单调区间的常用方法有：①转化为已学的函数(如一次函数，二次函数等)利用其单调性来判断；②图像法；③定义法．(2)求函数的单调区间时应首先明确函数的定义域，必须在函数的定义域内进行．[跟踪训练2] 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像，并指出函数的单调区间．解 函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，x －22＋3，x >1的图像如图所示．由图像可知，函数的单调递减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞).题型三 利用函数的单调性比较大小例3 已知函数f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，试比较f (a 2－a ＋1)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34的大小．[解] ∵a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34，∴34与a 2－a ＋1都是区间(0，＋∞)上的值． 又f (x )在区间(0，＋∞)上是减函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34≥f (a 2－a ＋1)． 金版点睛利用函数的单调性比较大小利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上．[跟踪训练3] 若函数f (x )在区间(－∞，＋∞)上是减函数，则下列关系式一定成立的是( )A ．f (a )>f (2a )B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋a )<f (a ) D ．f (a 2＋1)<f (a 2)答案 D解析 当a <0时，a >2a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a )<f (2a )，故A 不正确．当0<a <1时，a 2<a ，因为函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2)>f (a )，故B 不正确．当a ＝0时，a 2＋a ＝a ＝0，所以f (a 2＋a )＝f (a )，故C 不正确．因为a 2＋1>a 2，函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，所以f (a 2＋1)<f (a 2)，故D 正确.题型四 利用函数的单调性解不等式例4 已知函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．[解] ∵函数f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，解得1≤x ≤2，① 又∵f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，即x <32.②由①②可得1≤x <32，即自变量x 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1≤x <32. 金版点睛利用函数的单调性解不等式的注意点利用函数的单调性解不等式的实质是单调性的逆用，如果f (x 1)<f (x 2)，若f (x )在(a ，b )上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x 1<x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b ；若f (x )在(a ，b )上是减函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 1>x 2，a <x 1<b ，a <x 2<b .必须注意两点：①两边化为同名函数的不同函数值；②自变量必须化到同一单调区间上，若转化不了，就进行讨论．[跟踪训练4] 已知函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )，求t 的取值范围． 解 ∵函数g (x )在R 上为增函数，且g (t )>g (1－2t )， ∴t >1－2t .∴t >13，即t 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.题型五 利用函数的单调性求参数的取值范围例5 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是递减的，求实数a 的取值范围．[解] f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2＝[x ＋(a －1)]2－(a －1)2＋2， ∴此二次函数图像的对称轴为x ＝1－a . ∴f (x )的单调减区间为(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 金版点睛利用函数的单调性求参数的取值范围已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图像或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[跟踪训练5] 若函数f (x )＝4x 2＋mx ＋5－m 在[－2，＋∞)上是增函数，则实数m 的取值范围为________．答案 [16，＋∞)解析 由题意可知，二次函数图像的对称轴是直线x ＝－m8，若函数f (x )在[－2，＋∞)上是增函数，则需满足－m8≤－2，即m ≥16.题型六 利用函数的单调性求最大(小)值 例6 求函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上的最大值和最小值． [解] 任取x 1，x 2∈[2,6]，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝2－x 1－1－2－x 2－1＝2[－x 2＋1＋x 1＋1]x 2＋1x 1＋1＝2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1，因为2≤x 1<x 2≤6，所以x 1－x 2<0，(x 2＋1)(x 1＋1)>0.于是2x 1－x 2x 2＋1x 1＋1<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，所以f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]上是递增的， 所以函数f (x )＝－2x ＋1在区间[2,6]的左、右端点处分别取得最小值和最大值， 即f (x )max ＝f (6)＝－27，f (x )min ＝f (2)＝－23.金版点睛利用函数的单调性求最值(1)利用函数的单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数的图像不易作出时，单调性几乎成为首选方法．(2)注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析；注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍．[跟踪训练6] 求函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上的最大值和最小值．解 任取x 1，x 2，使1≤x 1<x 2≤2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 21x 1－3－x 22x 2－3＝x 21x 2－3x 21－x 1x 22＋3x 22x 1－3x 2－3＝x 2－x 1[3x 1＋x 2－x 1x 2]x 1－3x 2－3，因为1≤x 1＜x 2≤2， 所以2<x 1＋x 2<4，即6<3(x 1＋x 2)＜12，又1<x 1x 2<4，x 2－x 1>0， 故f (x 1)－f (x 2)>0. 所以函数f (x )＝x 2x －3在区间[1,2]上为减函数，所以f (x )max ＝f (1)＝－12，f (x )min ＝f (2)＝－4.1．函数f (x )的定义域为(a ，b )，且对其内任意实数x 1，x 2均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0，则函数f (x )在(a ，b )上是( )A ．增函数B ．减函数C ．不增不减函数D ．既增又减函数答案 B解析 ∵(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2<0，f x 1－f x 2>0或⎩⎪⎨⎪⎧x 1－x 2>0，f x 1－f x 2<0.即当x 1<x 2时，f (x 1)>f (x 2)或当x 1>x 2时，f (x 1)<f (x 2)．不论哪种情况，都说明函数f (x )在(a ，b )上为减函数．2．下图中是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图像，则下列关于函数f (x )的说法错误的是( )A ．f (x )在区间[－5，－3]上单调递增B ．f (x )在区间[1,4]上单调递增C ．f (x )在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．f (x )在区间[－5,5]上没有单调性答案 C解析 若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接．故选C.3．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( ) A ．2 B.12C.13D ．－12 答案 B解析 因为函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，所以函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为y min ＝13－1＝12.故选B. 4．若二次函数f (x )＝x 2－2ax ＋m 在(－∞，2]上是减函数，则a 的取值范围是________．答案 [2，＋∞)解析 题中二次函数图像的对称轴为x ＝a ，由二次函数的图像，知函数在(－∞，a ]上单调递减，∴a ≥2.5．用单调性的定义证明：函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数． 证明 设x 1，x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2 ＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2，∵1≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1x 2>1,1－1x 1x 2>0.∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以，函数f (x )＝x ＋1x在[1，＋∞)上是增函数．。

函数的单调性与最值新课程标准解读核心素养1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的单调性数学抽象2.理解单调性的作用和实际意义逻辑推理、数学运算3.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最数学抽象、数学运算小值,理解它们的作用和意义第一课时函数的单调性德国著名的心理学家艾宾浩斯对人类的记忆牢固程度进行了有关研究．他经过测试,得到了有趣的数据．数据表明,记忆量y是时间间隔t的函数．艾宾浩斯根据这些数据描绘出了著名的“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”,如图：[问题] (1)当时间间隔t逐渐增大时,你能看出对应的函数值y有什么变化趋势吗？(2)“艾宾浩斯记忆遗忘曲线”从左至右是逐渐下降的,对此,我们如何用数学的观点进行解释？知识点函数的单调性1．增函数、减函数前提设函数f(x)的定义域为D,I是D的一个非空的子集条件如果对于I上任意两个值x1,x2,当x1<x2时条件都有f(x1)<f(x2)都有f(x1)>f(x2) 图示结论f (x )是区间I 上的增函数,也称f (x )在区间I 上单调递增f (x )是区间I 上的减函数,也称f (x )在区间I 上单调递减2．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数或减函数,那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性,区间I 叫作y ＝f (x )的单调区间．1．对区间I 的要求函数的单调性是函数在某个区间上的性质,这个区间可以是整个定义域,也可以是定义域的一部分．2．x 1,x 2的三个特征 (1)同区间性,即x 1,x 2∈I ；(2)任意性,即不可用区间I 上的两个特殊值代替x 1,x 2； (3)有序性,即需要区分大小,通常规定x 1<x 2.1．判断正误．(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)所有函数在定义域上都具有单调性．( )(2)因为f (－1)<f (2),所以函数f (x )在[－1,2]上单调递增．( )(3)定义在(a ,b )上的函数f (x ),如果∃x 1,x 2∈(a ,b ),当x 1<x 2时,有f (x 1)<f (x 2),那么f (x )在(a ,b )上单调递增．( )(4)如果函数f (x )在区间I 1上单调递减,在区间I 2上也单调递减,那么f (x )在区间I 1和I 2上就一定是减函数．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)×2．下列函数f (x )中,满足对任意x 1,x 2∈(0,＋∞),当x 1<x 2时,都有f (x 1)＞f (x 2)的是________(填序号)．①f (x )＝x 2；②f (x )＝1x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝2x ＋1. 答案：②3．函数y ＝f (x )的图象如图所示,其增区间是________．答案：[－3,1]4．函数f (x )＝－x 2－2x 的单调递增区间是________． 答案：(－∞,－1]函数单调性的判定与证明[例1] (链接教科书第80页例1)已知函数f (x )＝1x 2－1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上单调性,并用定义加以证明． [解] (1)由x 2－1≠0,得x ≠±1, 所以函数f (x )＝1x 2－1的定义域为{x |x ∈R ,且x ≠±1}． (2)函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减． 证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2, 则f (x 2)－f (x 1)＝1x 22－1－1x 21－1＝（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）. 由x 1,x 2∈(1,＋∞),得x 1>1,x 2>1, 所以x 21－1>0,x 22－1>0,x 1＋x 2>0. 又x 1<x 2,所以x 1－x 2<0,于是（x 1－x 2）（x 1＋x 2）（x 21－1）（x 22－1）<0,即f (x 1)>f (x 2), 所以,函数f (x )＝1x 2－1在(1,＋∞)上单调递减．利用定义证明函数单调性的4步骤[跟踪训练]1．(多选)下列函数在(－∞,0)上为增函数的是( ) A ．y ＝|x |＋1B ．y ＝|x |xC ．y ＝－x 2|x |D ．y ＝x ＋x|x |解析：选CD y ＝|x |＋1＝－x ＋1(x <0)在(－∞,0)上为减函数；y ＝|x |x＝－1(x <0)在(－∞,0)上既不是增函数也不是减函数；y ＝－x 2|x |＝x (x <0)在(－∞,0)上是增函数；y ＝x＋x|x |＝x －1(x <0)在(－∞,0)上也是增函数,故选C 、D. 2．证明函数f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减．证明：设x 1,x 2是区间(0,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝⎛⎭⎪⎫1x 1－1x2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2. ∵0<x 1<x 2<1,∴x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1,则－1＋x 1x 2<0, ∴（x 1－x 2）（－1＋x 1x 2）x 1x 2>0,即f (x 1)>f (x 2),∴f (x )＝x ＋1x在(0,1)上单调递减.求函数的单调区间[例2] 画出函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的图象,并指出函数的单调区间．[解] y ＝－x 2＋2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧－（x －1）2＋4，x ≥0，－（x ＋1）2＋4，x <0.函数图象如图所示．函数在(－∞,－1],[0,1]上单调递增,函数在[－1,0],[1,＋∞)上单调递减．所以函数的单调增区间是(－∞,－1]和[0,1],单调减区间是(－1,0)和(1,＋∞)．[母题探究](变条件)将本例中“y ＝－x 2＋2|x |＋3”变为“y ＝|－x 2＋2x ＋3|”,如何求解？ 解：函数y ＝|－x 2＋2x ＋3|的图象如图所示．由图象可知其单调递增区间为[－1,1],[3,＋∞)；单调递减区间为(－∞,－1),(1,3)．求函数单调区间的2种方法法一：定义法：即先求出定义域,再利用定义法进行判断求解； 法二：图象法：即先画出图象,根据图象求单调区间．[注意] (1)如果函数f (x )在其定义域内的两个区间A ,B 上单调性相同,则两个区间用“,”或“和”连接,不能用“∪”连接；(2)书写单调区间时,若函数在区间的端点处有定义,则写成闭区间、开区间均可,但若函数在区间的端点处无定义,则必须写成开区间．[跟踪训练]1．(多选)如图所示的是定义在区间[－5,5]上的函数y ＝f (x )的图象,则下列关于函数f (x )的说法正确的是( )A ．函数在区间[－5,－3]上单调递增B ．函数在区间[1,4]上单调递增C ．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减D ．函数在区间[－5,5]上没有单调性解析：选ABD 若一个函数出现两个或两个以上的单调性相同的区间,不能用“∪”连接．故选A 、B 、D.2．求函数f (x )＝1x －1的单调减区间． 解：函数f (x )＝1x －1的定义域为(－∞,1)∪(1,＋∞), 设x 1和x 2是区间(－∞,1)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1（x 1－1）（x 2－1）.因为x 1<x 2<1,所以x 2－x 1>0,x 1－1<0,x 2－1<0, 所以f (x 1)－f (x 2)>0,即f (x 1)>f (x 2)．所以函数f (x )在(－∞,1)上单调递减,同理函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减． 综上,函数f (x )的单调递减区间是(－∞,1),(1,＋∞).函数单调性的应用[例3] ((－∞,3]上单调递增,则实数a 的取值范围是________；(2)已知函数y ＝f (x )是(－∞,＋∞)上的增函数,且f (2x －3)>f (5x －6),则实数x 的取值范围为________．[解析] (1)∵f (x )＝－x 2－2(a ＋1)x ＋3的开口向下,要使f (x )在(－∞,3]上单调递增,只需－(a ＋1)≥3,即a ≤－4.∴实数a 的取值范围为(－∞,－4]．(2)∵f (x )在(－∞,＋∞)上是增函数,且f (2x －3)>f (5x －6), ∴2x －3>5x －6,即x <1.∴实数x 的取值范围为(－∞,1)． [答案] (1)(－∞,－4] (2)(－∞,1)[母题探究]1．(变条件)若本例(1)的函数f (x )在(1,2)上是单调函数,求a 的取值范围． 解：由题意可知－(a ＋1)≤1或－(a ＋1)≥2,即a ≤－3或a ≥－2. 所以a 的取值范围为(－∞,－3]∪[－2,＋∞)．2．(变条件)若本例(2)的函数f (x )是定义在(0,＋∞)上的减函数,求x 的范围． 解：由题意可知,⎩⎪⎨⎪⎧2x －3>0，5x －6>0，2x －3<5x －6，解得x >32.∴x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞.1．利用单调性比较大小或解不等式的方法(1)利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小．在解决比较函数值的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；(2)在求解与抽象函数有关的不等式时,往往是利用函数的单调性将“f ”脱掉,使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．2．已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法(1)将参数看成已知数,求函数的单调区间,再与已知的单调区间比较,求出参数的取值范围；(2)运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求出参数的取值范围．[跟踪训练]1．若函数f (x )在(－∞,－1]上是增函数,则下列关系式中成立的是( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)<f (－2)B ．f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－2)C ．f (－2)<f (－1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32D ．f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1) 解析：选D ∵f (x )在(－∞,－1]上是增函数,且－2<－32<－1,∴f (－2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32<f (－1)．故选D. 2．若f (x )是定义在[0,＋∞)上的减函数,则不等式f (x )<f (－2x ＋8)的解集是________．解析：依题意,得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，－2x ＋8≥0，x >－2x ＋8，解得83<x ≤4.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤83，4复合函数y ＝f (g (x ))的单调性[典例] 已知函数f (x )＝2x －1,x ∈[2,6]． (1)判断此函数在x ∈[2,6]上的单调性； (2)根据(1)的判断过程,归纳出解题步骤． 提示：(1)函数f (x )＝2x －1可分解为函数y ＝2u和函数u ＝x －1. 因为x ∈[2,6],所以u ∈[1,5],显然函数u ＝x －1在x ∈[2,6]上单调递增,函数y ＝2u在u ∈[1,5]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝2x －1在x ∈[2,6]上单调递减． (2)解题步骤为：先求函数的定义域,接着分解复合函数,再判断每一层函数的单调性,最后根据复合函数的单调性确定函数的单调性．[结论] 复合函数的单调性：一般地,对于复合函数y ＝f (g (x )),单调性如表所示,简记为“同增异减”.g (x )f (x )f (g (x ))增 增 增 增 减 减 减 增 减 减减增判断函数f (x )＝x ＋2x －1,x ∈[3,8]上的单调性．解：∵函数f (x )＝（x －1）＋3x －1＝1＋3x －1,可分解为函数f (x )＝1＋3u 和函数u ＝x －1.因为x ∈[3,8],所以u ∈[2,7],显然函数u ＝x －1在x ∈[3,8]上单调递增,函数f (u )＝1＋3u 在u ∈[2,7]上单调递减,由复合函数的单调性,知f (x )＝x ＋2x －1在x ∈[3,8]上单调递减．1.如图是函数y ＝f (x )的图象,则此函数的单调递减区间的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 由题图,可知函数y ＝f (x )的单调递减区间有2个．故选B. 2．函数f (x )在R 上是减函数,则有( ) A ．f (3)<f (5) B ．f (3)≤f (5) C ．f (3)>f (5)D ．f (3)≥f (5)解析：选C 因为函数f (x )在R 上是减函数,3<5,所以f (3)>f (5)． 3．(多选)下列四个函数中在(－∞,0]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝x 2－2x B ．f (x )＝－x 2C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝1x －1解析：选AD 通过观察各函数的图象(图略),易知f (x )＝－x 2,f (x )＝x ＋1在(－∞,0]上单调递增,f (x )＝x 2－2x ,f (x )＝1x －1在(－∞,0]上单调递减． 4．已知函数f (x )＝xx －1.(1)求f (f (3))的值；(2)判断函数f (x )在(1,＋∞)上的单调性,并用定义法证明． 解：(1)因为f (3)＝33－1＝32, 所以f (f (3))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝3232－1＝3. (2)函数f (x )在(1,＋∞)上单调递减．证明：设x 1和x 2是区间(1,＋∞)上任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－1－x 2x 2－1＝x1（x2－1）－x2（x1－1）（x1－1）（x2－1）＝x2－x1（x1－1）（x2－1）,由x1,x2∈(1,＋∞),得(x1－1)(x2－1)>0, 由x1<x2,得x2－x1>0,所以f(x1)－f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)．由单调性的定义可知,f(x)＝xx－1在(1,＋∞)上单调递减．。