江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一(创新班)下学期4月月考数学试题

阶段检测三 高一 创新班数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．． 1．已知复数z 满足(1＋i)z ＝1＋3i(i 是虚数单位)，则|z |= ▲ ． 2．已知向量a (12)=，，b (32)=-，，则()⋅-a a b = ▲ ． 3．集合A ＝{3，2a }，B ＝{a ，b }，且A ∩B ＝{2}，则A ∪B = ▲ ．4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝12x ＋2，则f (1)＋f ′(1)= ▲ ． 52π．该圆锥的表面积为 ▲ ．6． 将函数sin 2y x =的图象向左至少平移 ▲ 个单位可得到函数cos 2y x =的图象．7． 若函数2(e )()e 1x xx m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 8． 设n S 是等差数列{a n }的前n 项的和．若27a =，77S =-，则a 7的值为 ▲ ． 9．已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的两个焦点为F 1，F 2，点P (x 0，y 0)满足0＜x 202＋y 20＜1，则PF 1＋PF 2的取值范围为 ▲ ．10．在锐角△ABC 中，若tan A ，tan B ，tan C 依次成等差数列，则tan tan A C 的值为 ▲ ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：20x y +=与圆C ：22()()5x a y b -+-=相切，且圆心C在直线l 的上方，则ab 的最大值为 ▲ ．12．已知双曲线()2222100y x a b a b-=>>，的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p = ▲ ． 13．已知实数x ，y 满足2002x y x y +⎧⎪⎨⎪+⎩≥，≥，≤，设{}max 342z x y x y =--，，则z 的取值范围是 ▲ ． （max{}a b ，表示a ，b 两数中的较大数）14．若幂函数()a f x x =(a ∈R )及其导函数()f x '在区间(0，+∞)上的单调性一致(同为增函数或同为减函数)，则实数a 的取值范围是 ▲ ．（第17题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）如图，在长方形ABCD 中，AB =4，AD =2．M ，N 分别是线段BC ，CD 的中点，P 是长方形ABCD （含边界）内一点． （1）求sin ∠MAN 的值； （2）求MN MP ⋅的取值范围．16．（本题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB ∠为二面角P AD B --的平面角． （1）求证：平面PAB ⊥平面ABCD ；（2）若BC ⊥平面PAB ，求证：//AD 平面PBC ．17．（本题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：221x y += 与x 轴的两个交点（点B 在点A 右侧），点(20)Q -，， x 轴 上方的动点P 使直线PA ，PQ ，PB 的斜率存在且依次成等差 数列．（1）求证：动点P 的横坐标为定值；（2）设直线PA ，PB 与圆O 的另一个交点分别为S ，T ．ABPD（第16题）。

开始结束输出SYNn < a （第6题）2018届高三阶段检测（四）数学试卷一、填空题．（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填写在答题卡相应位置上）1. ?函数()π()sin 24f x x =-的最小正周期为 ▲ ．2. ?某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. ?已知复数1252i 69i z z =+=-，（i 是虚数单位），12i z z z =⋅+，则复数z 的摸为 ▲ ．4. ? 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则乘积为偶数的概率为 ▲ ．5. 已知曲线4(0)y x x=<的一条切线斜率为4-，则切点的横坐标为 ▲ ． 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取值范围是 ▲ ．7. 在平面直角坐标系xOy中，?设点的集合{}222()(1)(1)A xy x y a =-+-=，，3(,)4020x B x y x y x y a ⎧⎫⎧⎪⎪⎪=+-⎨⎨⎬⎪⎪⎪-+⎩⎩⎭≤，≤，≥，且A B ⊆，则实数a 的取值范围是 ▲ ．8. 若等比数列{}n a 的各项均为正数，且510119122e a a a a +=，则1220ln ln ln a a a +++的值为 ▲ ．9. ? 设π02βα<<<，且113cos cos()714ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ． 10. ?在平面直角坐标系xOy 中，若点(m ，n )在圆224x y +=外，则直线4mx ny +=与椭圆22154y x +=的公共点的个数为 ▲ ．6 7 8 5 5 6 3 4 0 1（第2题）A Q PCNBM D（第16题）11．在等腰梯形ABCD 中，已知AB //DC ，2AB =，1BC =，60ABC ∠=︒．点E 和F 分别在线段BC和DC 上，且23BE BC =，16DF DC =，则AE AF ⋅的值为 ▲ ．12．设0021m n m n >>+=，，，则224m n mn ++的最大值与最小值之和为 ▲ ．13. ?设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知 函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()()y f x g x =-在区间[]510-，内零点的个数为 ▲ ． 14. ?设函数2()()f x x bx c b c =++∈R ，对任意的x ∈R ，都有()f x '≤()f x 成立．若对满足题设条件的任意b ，c ，不等式22()()()f c f b M c b --≤恒成立，则实数M 的最小值为 ▲ ．二、解答题．（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos cos sin A B C a b c+=．（1）证明：sin sin sin A B C =；（2）若22265b c a bc +-=，求tan B 的值．16．如图，一个平面与四面体ABCD 的棱AB ，BC ，CD ，DA 分别相交于点M ，N ，P ，Q ，且截面四边形MNPQ 是正方形． （1）求证：AC // 平面MNPQ ；（2）求证：AC BD ⊥，并求异面直线MP 与BD 所成角的值．17．在某商业区周边有两条公路12 l l ，，在点O 处交汇，该商业区为圆心角3π，半径3km 的扇形.现规划在该商业区外修建一条公路AB ，与12 l l ，分别交于A ，B ，要求AB 与扇形弧相切，切点T 不在12 l l ，上．（1）设km km OA a OB b ==，，，试用a ，b 表示新建公路AB 的长度，求出a ，b 满足的关系式，并写出a ，b 的范围；（2）设AOT α∠=，试用α表示新建公路AB 的长度，并且确定A ，B 的位置，使得新建公路AB的长度最短．18.???在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆T 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长为2，椭圆T 上的点到右焦点的距离的最小值为23-． （1）求椭圆T 的方程；（2）设点A ，B 分别是椭圆T 的左右顶点，点Q 是x 轴上且在椭圆T 外的一点，过Q 作直线Oxy QBACDP（第18题）?交椭圆T 于C ，D 两点（异于A ，B ），设直线AC 与BD 相交于点P ，记直线PA ，PB ， ?PQ 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，求证：k 3是k 1，k 2的等差中项．19．已知二次函数g （x ）对任意实数x 都满足()()21121g x g x x x -+-=--，且()11g =-．令 ()19()ln (0)28f xg x m x m x =+++∈>R ，．（1）求 g (x )的表达式；（2）若0x ∃>使()0f x ≤成立，求实数m 的取值范围；（3）设1e m <≤，()()(1)H x f x m x =-+，证明:对12[1]x x m ∀∈，，，恒有12|()()| 1.H x H x -<20．下述数阵称为“森德拉姆筛”，记为S ．其特点是每行每列都是等差数列，第i 行第j 列的数记为A ij ．1 4 7 10 13 … 4 8 12 16 20 … 7 12 17 22 27 … 10 16 22 28 34 … 13 20 27 34 41 …… … … …（1）证明：存在常数*C ∈N ，对任意正整数i ，j ，ij A C +总是合数；（2）设?S 中主对角线上的数1，8，17，28，41，…组成数列{}n b ．试证不存在正整数k 和m (1)k m <<，使得1k m b b b ，，成等比数列； （3）对于（2）中的数列{}n b ，是否存在正整数p 和r?(1150)r p <<<，使得1r p b b b ，，成等差数列．若存在，写出p r ，的一组解（不必写出推理过程）；若不存在，请说明理由．数学附加题21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答．卷卡指定区．．．．．域内．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． B ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵11A ⎡=⎢-⎣ 24⎤⎥⎦.求A 的特征值和特征向量.C ．选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为π4θ=（ρ∈R ），曲线1C ，2C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长度.22. 在1 2 3 9，，，，这9个自然数中，任取3个不同的数． （1）求这3个数中至少有1个数是偶数的概率； （2）求这3个数的和为18的概率；（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1 2 3，，，则有两组相邻的数1 2，和2 3，，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望()E ξ．23．设数列{}n a 是等比数列，311232CAmm m a +-=⋅，公比q 是()4214x x+的展开式中的第二项（按x 的降幂排列）．（1）用n ，x 表示数列的通项n a 及前n 项和n S ；（2）若1212C C C nn n n n n A S S S =+++，用n ，x 表示n A ．。

江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一下学期期中考试数学试题（普通班）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 1． 函数()πsin 23y x =-最小正周期为 ▲ ．2. 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．3. 圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为 ▲ ． 4．函数y =的定义域为 ▲ ． 5. 关于x 的不等式211(1)0(1)x x a a a-++<>的解集为 ▲ ． 6. 已知，且，，则的值为 ▲ ． 7. 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ．8. 设{a n }*()n ∈N 是等比数列，有下列四个判断：①{a n 2}*()n ∈N 是等比数列；②{}1n n a a +*()n ∈N 是等比数列；③{}1n n a a ++*()n ∈N 是等比数列；④{}lg n a *()n ∈N 是等差数列.其中正确判断的序号是 ▲ .9. 已知向量,a b满足1,2,a b a b ==+=则向量,a b 的夹角为 ▲ ． 10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．11. 设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z z x+的值是 ▲ ．12. 在△ABC 中，已知BC =2，AB AC ⋅ =1，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．() 0 αβ∈π，，()1tan 2αβ-=1tan 5β=-tanα13. 在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sin C 的最大值为 ▲ ． 14. 设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则ba c+的最大值为 ▲ .二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）解关于x 的不等式2260x ax a --<（a ∈R ）.16. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()12n n n S a +=，*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）若数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，求数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的最大项．18. （本题满分16分）如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M 、N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：千米)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)．19. （本题满分16分）已知函数()21f x x mx m =-+-．（1）当[]2,4x ∈时，()1f x -≥恒成立，求实数m 的取值范围；（2）是否存在整数a 、b （其中a 、b 是常数，且a ＜b ），使得关于x 的不等式()a f x b ≤≤的解集为{}x a x b ≤≤？若存在，求出a 、b 的值，若不存在，请说明理由．20．（本题满分16分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，31=a ，且)(32*1N ∈-=+n a S n n ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数)(,,k j i k j i <<，已知k i j a a a μλ,6,成等差数列，求正整数μλ,的值； （3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式1121321333n n n n n a b a b a b a b n +--++++=--成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n .【参考答案】一、填空题 1.π2.[1， 2]14.()1 12，5.1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭6.3117.18.①②④9.2π310.15或7511.341514.12二、解答题15. 解： {}0,|23a x a x a >-<<，0,a =∅，{}0,|32a x a x a <<<-.16.解：（1）因为m //n ,所以3sin (sin )02A A A ⋅+-=.所以1cos232022A A --=12cos212A A -=，即 ()πsin 216A -=.因为(0,π)A ∈ , 所以()ππ11π2666A -∈-，. 故ππ2A -=，πA =. （2）由余弦定理，得 224b c bc =+-.又1sin ABC S bc A ∆==， 而222424b c bc bc bc bc +⇒+⇒≥≥≤，（当且仅当b c =时等号成立）所以1sin 42ABC S bc A ∆==.当△ABC 的面积取最大值时，b c =.又π3A =，故此时△ABC 为等边三角形.17. 解：（1）由12n n n S a +=得1122n n n S a +++=，两式做差得11n n an a n++=，所以324123234,,,123a a a a a a === (11)n n a n a n -=-，叠乘可得,n a n n *=∈N . （2）()1122121n n n a b a b a b n +++=-⋅+，当2n ≥时1122a b a b ++…111(2)21n n n a b n ---=-⋅+，两式做差11(1)2(2)22,2n n n n n a b n n n n --=-⋅--⋅=⋅≥，1n =时，111a b =，满足12n n n a b n -=⋅，所以12,n n n a b n n -*=⋅∈N ，又,n a n n *=∈N ，所以12,n n b n -*=∈N ，所以1(1)(1)222n n nn n n S n n b -++==， 而21111(1)(2)(1)20222n n n n n n n S S n n n n n n b b +++++++-++-=-=≥，得2n ≤， 所以3512412345S S S S S b b b b b <=>>， 所以，当2n =或3n =时数列n n S b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭有最大项为32.18. 解法一：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin60°＝AMsin(120°－θ)．因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．AP 2＝AM 2＋MP 2－2 AM ·MP ·cos ∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433 sin(120°－θ) cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633 sin(θ＋60°) cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos (2θ＋120°)]－833 sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos (2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，θ∈(0，120°)． 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值23． 答：设计∠AMN 为60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．解法二：设AM ＝x ，AN ＝y ，∠AMN ＝α．在△AMN 中，因为MN ＝2，∠MAN ＝60°， 所以MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN ·cos ∠MAN ，即x 2＋y 2－2xy cos60°＝x 2＋y 2－xy ＝4． 因为MN sin60°＝AN sin α，即2sin60°＝y sin α，所以sin α＝34y ，cosα＝x 2＋4－y 22×2×x ＝x 2＋(x 2－xy )4x ＝2x －y 4．cos ∠AMP ＝cos(α＋60°)＝12cos α－32sin α＝12·2x －y 4－32·34y ＝x －2y4，在△AMP 中，AP 2＝AM 2＋PM 2－2 AM ·PM ·cos ∠AMP ， 即AP 2＝x 2＋4－2×2×x ×x －2y 4＝x 2＋4－x (x －2y )＝4＋2xy ．因为x 2＋y 2－xy ＝4，4＋xy ＝x 2＋y 2≥2xy ，即xy ≤4．所以AP 2≤12，即AP ≤23．当且仅当x ＝y ＝2时，AP 取得最大值23．答：设计AM ＝AN ＝2 km 时，工厂产生的噪声对居民的影响最小． 19. 解：（1）函数()f x 的对称轴为2mx =． ①22m≤，即4m ≤，()f x 在[]2,4上为增函数，()f x 的最小值为3m -， 即31m -≥-，4m ≤；②242m<<，即48m <<，()f x 在[]2,4上的最小值为2(1)4m m --， 即2(1)14m m --≥-，04m ≤≤，∴m 无解． ③42m≥，即8m ≥，()f x 在[]2,4上为减函数，()f x 的最小值为315m -+， 即3151m -+≥-，163m ≤，∴m 无解．综上，4m ≤．（2）假设存在适合题意的整数，则必有min ()a f x ≤（否则，不等式的解集是两个关于对称轴对称的区间的并集），这时的解集为[](),,,f b b a b a b m =⎧⇔⎨+=⎩由()f b b =，得21b mb m b -+-=，即21(1)b b m b --=-，因1b =时此式不成立，故21111b b m b b b --==---，∵,a b Z ∈，∴m a b Z =+∈，故11Z b ∈-，只有11b -=±，当11b -=-时，0,1,1b m a ===，不符合a b <；当11b -=时，min 2,1,1()b m a f x ===-<，符合题意．综上知，存在1,2a b =-=适合题意．20.解：（1）由)(3-2*1N ∈=+n a S n n 得3-221++=n n a S ，两式作差得121-2+++=n n n a a a ， 即)(3*12N ∈=++n a a n n .31=a ，93212=+=S a ，所以)(3*1N ∈=+n a a n n ，0≠n a ，则)(3*1N ∈=+n a a nn ，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列，所以)(3*N ∈=n a n n ；,a b ()a f x b ≤≤（2）由题意i k j a a a 62⋅=+μλ，即ik j 36233⋅⋅=+μλ，所以1233=+--ik i j μλ，其中12j i k i --≥，≥，所以333399j i k i λλμμ--≥≥，≥≥， 123312j i k i λμ--=+≥，所以1,21===-=-μλi k i j ，；（3）由3331123121--=+++++--n b a b a b a b a n n n n n 得3)1(33211213211-+-=+++++++-+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)(3212112111-+-=++++++--+n b a b a b a b a b a n n n n n n ， 3)1(33)333(32111-+-=--++++n n b a n n n ，所以)333(33)1(333121----+-=+++n n b n n n ，即3631+=+n b n ，所以)(12*1N ∈+=+n n b n ， 又因为331331111=-⋅-=+b a ，得11=b ，所以)(12*N ∈-=n n b n ， 从而)(2121)12(531*2N ∈=-+=-++++=n n n n n T n ，)(3*2N ∈=n n a T n n n当1=n 时3111=a T ；当2=n 时9422=a T ；当3=n 时3133=a T ；下面证明：对任意正整数3>n 都有31<n n a T ，)122(31)3)1((313131)1(2122121211++-⎪⎭⎫⎝⎛=-+⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+++++n n n n n n a T a T n n nn n n n n ，当3n ≥时，0)2()1(12222<-+-=++-n n n n n ，即011<-++nnn n a T a T ，所以当3n ≥时，nn a T 递减，所以对任意正整数3>n 都有3133=<a T a T n n ；综上可得，满足等式13n nT a =的正整数n 的值为1和3.。

海安中学2018-2019年高一数学第二学期月考试卷本试卷分填空题和解答题两部分．考生作答时，将答案答在答题卷上，在本试卷上答题无效．本卷满分160分,考试时间为120分钟． 注意事项：1． 答题前，考生先将自已的姓名、学校、考试号填写在答题卷规定区域内；2． 填空题和解答题均使用0.5毫米的黑色中性签字笔或炭素笔书写，字体工整，笔迹清楚，作图可用2B铅笔；3． 请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效． 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1. 在ABC ∆中，设角,A B 所对边分别为,a b ，若sin cos A Ba b=，则角B = ． 2. 在等差数列{}n a 中，若1120,a =则21S = ． 3. 已知关于x 的不等式11ax x ->0+的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞，则a ＝________. 4.已知等比数列{}n a 公比0q >，若23a =，23421a a a ++=，则345____.a a a ++= 5. 在ABC ∆中，若a =b =30A =︒，则边c ＝________.6.“远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？” 答曰： 盏．7. 右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 .7第题图8. 设动点(),P x y 满足24025000x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,则52z x y =+的最大值是 ．9. 0a <,0b <,则22b a p a b=+与q a b =+的大小关系为 ． 10. 已知正项等比数列{}n a 满足: 7652a a a =+,若存在两项,m n a a使得14a =,则14m n+的最小值为 ．11．ABC ∆中，已知cos cos a b c B c A -=-，则三角形的 形状为_____________．12．已知圆内接四边形ABCD 中，2,6,4,AB BC AD CD ====则四边形ABCD 的面积为________． 13．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若nnS S 2)(*∈N n 是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列{}n C 是首项为1C ，公差为d （0≠d ）的等差数列，且数列{}n C 是“和等比数列”，则d 与1C 的关系式为_________________．14.已知圆心角为120°的扇形AOB 的半径为1，C 为弧AB 的中点，点D ，E 分别在半径OA ，OB 上．若222269CD CE DE ++=，则OD OE +的最大值是________．二、解答题（本大题共6小题，满分90分） 15. （本题满分14分)解关于x 的不等式()()221200ax a x a -++<>.16.（本题满分14分)在ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，cos b B 是cos a C ，cos c A 的等差中项． (1)求B 的大小；(2)若a c +=，2b =，求ABC ∆的面积．17.（本题满分15分)对任意函数(),f x x D ∈，可按流程图构造一个数列发生器，其工作原理如下：①输入数据0x D ∈，经数列发生器输出10()x f x =；②若1x D ∉，则数列发生器结束工作；若1x D ∈，则将1x 反馈回输入端再输出21()x f x =,并且依此规律继续下去.现定义42()1x f x x -=+. (1)若输入04965x =，则由数列发生器产生数列{}n x ， 请写出数列{}n x 的所有项；(2)若要数列发生器产生一个无穷的常数数列，试求输入的初始数据0x 的值；（3）若输入0x 时，产生的无穷数列{}n x 满足：对任意正整数n ，均有1n n x x +<，求0x 的 取值范围.18.（本题满分15分）设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()*nn n a b m N a m=∈+． (1)若1b ，2b ，8b 成等比数列，试求m 的值；(2)是否存在m ，使得数列{}n b 中存在某项1b 满足1b ，4b ，*5()t b t t ∈≥N ，成等差数列？若存在，请指出符合题意的m 的个数；若不存在，请说明理由．19．（本题满分16分）某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元。

2017-2018学年江苏省南通中学高一（下）开学数学试卷一、填空题1．已知集合A={1，m+2，m2+4}，且5∈A，则m=．2．如果=，那么tanα=．3．己知α（0≤α≤2π）的终边过点（sin，cos），则α=．4．设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为．5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．若A∪B=R，求实数a 的取值范围．6．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．7．求函数y=的值域．8．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=．9．若a2x=﹣1，则等于．10．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=x+a有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为．12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的心．13．下列命题中，正确的序号是．①y=﹣2cos（π﹣2x）是奇函数；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴；④函数y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）14．已知实数a＞0，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围．二、解答题15．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．16．已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．17．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．18．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；（2）求y的最大值，并指出相应的x值．19．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．2015-2016学年江苏省南通中学高一（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．已知集合A={1，m+2，m2+4}，且5∈A，则m=3或1．【考点】元素与集合关系的判断．【分析】利用元素与集合的关系确定m即可．【解答】解：因为5∈A，所以m+2=5或m2+4=5，解得m=3，或m=±1．验证知，当m=﹣1时，A={1，1，5}，此时集合A不成立．所以m=3或1．故答案为：3或1．2．如果=，那么tanα=2．【考点】三角函数的化简求值．【分析】化简已知条件代入事情表达式化简求解即可．【解答】解：=，可得sinα=2cosα，那么tanα=2．故答案为：2．3．己知α（0≤α≤2π）的终边过点（sin，cos），则α=．【考点】任意角的三角函数的定义；运用诱导公式化简求值．【分析】利用任意角的三角函数，直接求出α的正切值，再求α．【解答】解：锐角α终边上的一点P坐标是（2sin2，﹣2cos2），tanα==tan=﹣，点（sin，cos）在第四象限．所以α=．故答案为：．4．设向量，满足||=2，=（2，1），且与的方向相反，则的坐标为（﹣4，﹣2）．【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．【分析】要求向量的坐标，我们可以高设出向量的坐标，然后根据与的方向相反，及||=2，我们构造方程，解方程得到向量的坐标．【解答】解：设=（x，y），∵与的方向相反，故=λ=（2λ，λ）（λ＜0）又∵||=2，∴5λ2=20解得λ=﹣2则=（﹣4，﹣2）．故答案为（﹣4，﹣2）．5．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}．若A∪B=R，求实数a 的取值范围．【考点】并集及其运算．【分析】根据不等式的性质求解集合，利用集合的并集关系即可得到结论．【解答】解：若a=1，则集合A=R，满足条件A∪B=R，若a＞1，则A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}={x|x≥a或x≤1}，要使A∪B=R，则a﹣1≤1，即a≤2，此时1＜a≤2，若a＜1，则A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}={x|x≥1或x≤a}，要使A∪B=R，则a﹣1≤a，即﹣1≤0，恒成立，此时a＜1，综上a≤2，即实数a的取值范围是（﹣∞，2]．6．已知函数f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ），，且函数f（x）是偶函数，则θ的值为．【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数奇偶性的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】首先对函数关系式进行恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的奇偶性求出结果．【解答】解：f（x）=sin（x+θ）+cos（x+θ）=2（）=当（k∈Z）即：由于：所以：当k=0时，θ=故答案为：7．求函数y=的值域．【考点】函数的值域．【分析】利用分式函数的性质以及转化法进行求解即可．【解答】解：方法一：y===3﹣，∵x2+2≥2，∴0＜≤，0＜≤，﹣≤﹣＜0，3﹣≤3﹣＜3，即≤y＜3，即函数的值域为[，3）．方法二：由y=得yx2+2y=3x2﹣1，即（3﹣y）x2=2y+1，当y=3时，方程等价为0=7，不成立，则y≠3，∴x2=≥0，得≤y＜3，即函数的值域为[，3）．8．函数f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，若f（﹣2）=3，则f（2）=5．【考点】正切函数的奇偶性与对称性；函数的值．【分析】由函数性质、三角函数性质得到asin2+2bcos2=2ctan2=1，由此能求出f（2）．【解答】解：∵f（x）=asinx+bxcosx﹣2ctanx+x2，f（﹣2）=3，∴f（﹣2）=asin（﹣2）﹣2bcos（﹣2）﹣2ctan（﹣2）+（﹣2）2=﹣asin2﹣2bcos2+2ctan2+4=3，∴asin2+2bcos2=2ctan2=1，∴f（2）=asin2+2bcos2+4=5．故答案为：5．9．若a2x=﹣1，则等于2﹣1．【考点】有理数指数幂的运算性质．【分析】先化简，然后代入a2x=﹣1，即可求出结果．【解答】解：=因为a2x=﹣1，所以故答案为：10．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=﹣，且当﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f=f（x），求出函数的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后运用周期性求f（1）+f（2）+…+f的值即可．【解答】解：由题意知，f（x+3）=﹣，则f（x+6）=﹣=f（x），∴f（x+6）=f（x），且函数f（x）的周期6，∵﹣3≤x＜﹣1时，f（x）=﹣（x+2）2，当﹣1≤x＜3时，f（x）=x，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=f（﹣3）=﹣（﹣3+2）2=﹣1，f（4）=f（﹣2）=﹣（﹣2+2）2=0，f（5）=f（﹣1）=﹣1，f（6）=f（0）=0，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，而2016÷6=336故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 016）=336×（f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6））=336，故答案为：336．11．设函数，方程f（x）=x+a有且只有两不相等实数根，则实数a的取值范围为[3，4）．【考点】函数的图象；函数与方程的综合运用．【分析】首先判断出在（0，+∞）函数f（x）为周期函数，画出函数图形．依据直线y=x+a 与函数f（x）的交点分析得出答案．【解答】解：∵x＞0时，f（x）=f（x﹣1）∴当x＞0时，f（x）是周期函数，周期为1设x＜1，则x﹣1＜0，f（x）=f（x﹣1）=21﹣（x﹣1）=22﹣x即x＜1，f（x）=22﹣x做出函数图象如下图方程f（x）=x+a有且只有两不相等实数根，只要直线y=x+a介于图中两直线之间即可．依f（x）=22﹣x可求出A点坐标为（0，4），B点坐标为（1，4）∵A，B两点均为虚点∴3≤a＜4故答案为[3，4）．12．O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P的轨迹一定通过△ABC的内心．【考点】三角形五心；向量的线性运算性质及几何意义．【分析】理解的含义，是∠BAC的平分线上的向量，即可解答本题．【解答】解：由于O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，即P在∠BAC的平分线上，所以P的轨迹一定通过△ABC的内心．故答案为：内13．下列命题中，正确的序号是①③④．①y=﹣2cos（π﹣2x）是奇函数；②若α，β是第一象限角，且α＞β，则sinα＞sinβ；③x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴；④函数y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．【分析】①由y=﹣2cos（π﹣2x）=2sin2x，得出y是定义域R上的奇函数；②举例说明命题错误即可；③x=﹣时函数y取得最值，即得x=﹣是函数y的一条对称轴；④化简函数y，求出函数y的单调减区间即可．【解答】解：对于①，y=﹣2cos（π﹣2x）=2sin2x，是定义域R上的奇函数，命题正确；对于②，α，β是第一象限角，且α=390°＞β=30°，则sinα=sinβ，原命题错误；对于③，x=﹣时，函数y=3sin（2x﹣）=3sin（2×（﹣）﹣）=3取得最大值，∴x=﹣是函数y=3sin（2x﹣）的一条对称轴，命题正确；对于④，函数y=sin（﹣2x）=﹣sin（2x﹣），令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∴y=sin（﹣2x）的单调减区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z），命题正确；综上，正确的命题序号是①③④．故答案为：①③④．14．已知实数a＞0，方程有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a的取值范围．【考点】函数的零点与方程根的关系；函数的零点．【分析】根据条件确定方程在x≤1时有且仅有1个实根，然后根据二次函数的图象和性质，确定a的取值范围即可．【解答】解：设比较大的根为x1，则x1＞3，此时由=log3x＞log33=1，即a，即a．∵方程有且仅有两个不等实根，∴当x≤1时，方程有且仅有1实根，即﹣x，在x≤1时，只有一个根．∴x，设g（x）=x，（x≤1），函数的对称轴为x=a，若a≥1，∵g（0）=，∴此时满足g（1）≤0，（图1）即g（1）=1﹣2a+≤0，∴7a2﹣32a+16≤0，解得，∴此时1≤a≤4，．若0＜a＜1，∵g（0）=，∴此时满足g（1）＜0，即g（1）=1﹣2a+＜0，∴77a2﹣32a+16＜0，解得，∴此时，∴，又a，∴，即实数a的取值范围是，故答案为：．二、解答题15．如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单位圆上两点，O是坐标原点，且，∠AOQ=α，α∈[0，π）．（Ⅰ）若点Q的坐标是，求的值；（Ⅱ）设函数，求f（α）的值域．【考点】正弦函数的定义域和值域；平面向量数量积的运算；单位圆与周期性；两角和与差的余弦函数．【分析】（Ⅰ）根据三角函数的定义和题意求出cosα，sinα的值，再由两角差的余弦公式展开后代入求值；（Ⅱ）根据向量的数量积坐标运算和条件代入，利用两角和正弦公式进行化简，根据α的范围和正弦函数的性质求出值域．【解答】解：（Ⅰ）∵点Q的坐标是，∴．∴=．（Ⅱ）===．∵α∈[0，π），则，∴．故f（α）的值域是．16．已知向量=（cosλθ，cos（10﹣λ）θ），=（sin（10﹣λ）θ，sinλθ），λ、θ∈R．（1）求+的值；（2）若⊥，求θ；（3）若θ=，求证：∥．【考点】平面向量数量积的运算；向量的模；平行向量与共线向量．【分析】（1）由向量的数量积的坐标表示可求||，||，代入即可求解（2）由⊥，利用向量数量积的性质的坐标表示可得cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0，整理可求θ（3）要证明∥，根据向量平行的坐标表示，只要证明cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=0即可【解答】解：（1）∵||=，||=（算1个得1分）||2+||2=2，…（2）∵⊥，∴cosλθ•sin（10﹣λ）θ+cos（10﹣λ）θ•sinλθ=0∴sin（（10﹣λ）θ+λθ）=0，∴sin10θ=0…∴10θ=kπ，k∈Z，∴θ=，k∈Z…（3）∵θ=，cosλθ•sinλθ﹣cos（10﹣λ）θ•sin[（10﹣λ）θ]=cos•sin﹣cos（﹣）•sin（﹣）=cos•sin﹣sin•cos=0，∴∥…..…..17．已知△OAB的顶点坐标为O（0，0），A（2，9），B（6，﹣3），点P的横坐标为14，且，点Q是边AB上一点，且．（1）求实数λ的值与点P的坐标；（2）求点Q的坐标；（3）若R为线段OQ上的一个动点，试求的取值范围．【考点】平面向量的综合题．【分析】（1）先设P（14，y），分别表示，然后由，建立关于y的方程可求y．（2）先设点Q（a，b），则可表示向量，由，可得3a=4b，再由点Q在边AB上可得①②，从而可解a，b，进而可得Q的坐标．（3）由R为线段OQ上的一个动点可设R（4t，3t），且0≤t≤1，则有分别表示，，由向量的数量积整理可得，利用二次函数的知识可求取值范围．【解答】解：（1）设P（14，y），则，由，得（14，y）=λ（﹣8，﹣3﹣y），解得，所以点P（14，﹣7）．（2）设点Q（a，b），则，又，则由，得3a=4b①又点Q在边AB上，所以，即3a+b﹣15=0②联立①②，解得a=4，b=3，所以点Q（4，3）．（3）因为R为线段OQ上的一个动点，故设R（4t，3t），且0≤t≤1，则，，，，则=，故的取值范围为．18．如图，有一块半径为2的半圆形纸片，计划剪裁成等腰梯形ABCD的形状，它的下底AB 是⊙O的直径，上底CD的端点在圆周上，设CD=2x，梯形ABCD的周长为y．（1）求出y关于x的函数f（x）的解析式；（2）求y的最大值，并指出相应的x值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数解析式的求解及常用方法．【分析】（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD，求出OH，又在直角△AND 中，进一步求出AD，从而求出梯形ABCD的周长y与x间的函数解析式，根据AD＞0，AN ＞0，CD＞0可求出定义域；（2）利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．【解答】解：（1）作OH，DN分别垂直DC，AB交于H，N，连结OD．由圆的性质，H是中点，设OH=h，h=．又在直角△AND中，AD===2，∴y=f（x）=AB+2AD+DC=4+2x+4，其定义域是（0，2）；（2）令t=，则t∈（0，），且x=2﹣t2，∴y=4+2•（2﹣t2）+4t=﹣2（t﹣1）2+10，当t=1，即x=1时，y的最大值是10．19．已知函数f（x）=为奇函数．（1）求实数m的值；（2）用定义证明函数f（x）在区间（0，+∞）上为单调减函数；（3）若关于x的不等式f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出m的值即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可；（3）问题转化为a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，求出f（x）的最大值，从而求出a的范围即可．【解答】（1）解：∵f（﹣x）=﹣f（x），∴=﹣，解得：m=1；（2）证明：f（x）=1+，设0＜x1＜x2，∵f（x1）﹣f（x2）=﹣=，又1＜2x1＜2x2，2x1﹣1＞0，2x2﹣1＞0，x2﹣x1＞0，∴＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）递减；（3）解：∵f（x）+a＜0对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∴a＜﹣f（x）对区间[1，3]上的任意实数x都成立，∵f（x）在（0，+∞）递减，∴f（x）在[1，3]递减，∴f（x）的最大值是f（1）=3，∴﹣f（x）的最小值是﹣3，∴a＜﹣3．20．已知函数f（x）=|x﹣a|，g（x）=ax，（a∈R）．（1）若函数y=f（x）是偶函数，求出符合条件的实数a的值；（2）若方程f（x）=g（x）有两解，求出实数a的取值范围；（3）若a＞0，记F（x）=g（x）•f（x），试求函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】奇偶性与单调性的综合；二次函数的性质．【分析】（1）根据函数为偶函数，f（﹣x）=f（x）对任意实数x恒成立，即|﹣x﹣a|=|x﹣a|任意实数x成立，去绝对值然后比较系数，可得a=0；（2）分三种情况加以讨论：当a＞0时，将方程f（x）=g（x）两边平方，得方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，构造新函数h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，通过讨论h（x）图象的对称轴方程和顶点坐标，可得0＜a＜﹣1；当a＜0时，用同样的方法得到﹣1＜a＜0；而当a=0时代入函数表达式，显然不合题意，舍去．最后综合实数a的取值范围；（3）F（x）=f（x）•g（x）=ax|x﹣a|，根据实数a与区间[1，2]的位置关系，分4种情况加以讨论：①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），根据函数的单调增的性质，可得y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；②当1＜a≤2时，化成两个二次表达式的分段函数表达式，其对称轴为，得到所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，最大值决定于F（1）与F（2）大小关系．因此再讨论：当时，y=F（x）的最大值为F（2）=4a﹣2a2；当时，y=F（x）的最大值为F（1）=a2﹣a；③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，恰好在对称轴处取得最大值：；④当a＞4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax），图象开口向下，对称轴，在区间[1，2]上函数是增函数，故最大值为F（2）=2a2﹣4a．最后综止所述，可得函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值的结论．【解答】解：（1）∵函数f（x）=|x﹣a|为偶函数，∴对任意的实数x，f（﹣x）=f（x）成立即|﹣x﹣a|=|x﹣a|，∴x+a=x﹣a恒成立，或x+a=a﹣x恒成立∵x+a=a﹣x不能恒成立∴x+a=x﹣a恒成立，得a=0．…（2）当a＞0时，|x﹣a|﹣ax=0有两解，等价于方程（x﹣a）2﹣a2x2=0在（0，+∞）上有两解，即（a2﹣1）x2+2ax﹣a2=0在（0，+∞）上有两解，…令h（x）=（a2﹣1）x2+2ax﹣a2，因为h（0）=﹣a2＜0，所以，故0＜a＜1；…同理，当a＜0时，得到﹣1＜a＜0；当a=0时，f（x）=|x|=0=g（x），显然不合题意，舍去．综上可知实数a的取值范围是（﹣1，0）∪（0，1）．…（3）令F（x）=f（x）•g（x）①当0＜a≤1时，则F（x）=a（x2﹣ax），对称轴，函数在[1，2]上是增函数，所以此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2．②当1＜a≤2时，，对称轴，所以函数y=F（x）在（1，a]上是减函数，在[a，2]上是增函数，F（1）=a2﹣a，F（2）=4a ﹣2a2，1）若F（1）＜F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为4a﹣2a2；2）若F（1）≥F（2），即，此时函数y=F（x）的最大值为a2﹣a．③当2＜a≤4时，F（x）=﹣a（x2﹣ax）对称轴，此时，④当a＞4时，对称轴，此时．综上可知，函数y=F（x）在区间[1，2]上的最大值…2016年12月1日。

江苏省海安高级中学2017-2018学年高一上学期中期考试数学试题（创新班）一、填空题1．已知集合{}1221A m =--，，，集合{}22B m =，，若B A ⊆，则实数m ． 2．函数()πcos 3y x =+的最小正周期为 ．3．已知幂函数()f x 的图象经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，则()=f x ．4．函数()f x =的定义域为 . 5．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为 2cm .6．已知向量(()11AP PB ==，uu u r uu r ，则AP uu u r 和AB uu u r的夹角等于 ． 7．已知函数f (x )是R 上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2)()f x f x +=，且当[02]x ∈，时， 2()log (1)f x x =+，则(2010)(2011)f f -+的值为 ．8．函数5()2sin(π)(0)6f x x ωω=>+的图象如图所示，若5AB =，则()f x 在[20162019]，上的单调增区间为 ．9．在等比数列{}n a 中，公比51421156q a a a a >-=-=，，，则3=a ．10．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AB ＝2，AC ＝1， D 是边BC 上一点， 2DC BD =uuu r uu u r ， 则AD BC ⋅u u u r u u u r＝ ．11．已知x y ∈R ，，且222x y x y +=≠，，则()()2211x y x y ++-的最小值是 ．12．在数列{}n a 中，21010a =，1n n a a n +-≤，221n n a a n +-+≥，则20182018a 的值为 ．13．已知函数()[]sin ππlg πx x f x x x ⎧∈-⎪=⎨>⎪⎩，，，，，，x 1，x 2，x 3，x 4，x 5是方程f (x )＝m 的五个不等的实数根，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5的取值范围是 ．14．若△ABC 的内角A B C ，，满足sin 2sin A B C =，则cos C 的最小值是 ． 二、解答题15．已知集合{}3A x x =<，{}(1)(21)0B x x m x m m =-+--<∈R ，. （1）若m =3，求()A B R ðI ；（2）若A B A = ，求实数m 的取值范围.16．在△ABC 中，C －A ＝π2，sin B ＝13. （1）求sin A 的值；（2）设AC △ABC 的面积．17．已知数列{}n a 满足13a =，*112(2)n n a n n -=-∈N ，≥,数列{}n b 满足*1()n n b n =∈N ．（1）求证数列{}n b 是等差数列； （2）求数列{}n a 中的最大项和最小项．18．设向量a ()33cos sin 22θθ=，，b()cos sin 22θθ=-，，其中π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，.（1）求a b a b⋅+的最大值和最小值； （2）若ka b kb +=-，求实数k 的取值范围.19．如图，公园内有一块边长为2a 的正三角形ABC 空地，拟改建成花园，并在其中建一直道DE 方便花园管理. 设D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE 均分三角形ABC 的面积.（1）设AD =x （x a ≥），DE =y ，试将y 表示为x 的函数关系式；（2）若DE 是灌溉水管，为节约成本，希望其最短，DE 的位置应在哪里？ 若DE 是参观路线，希望其最长，DE 的位置应在哪里？20．已知数列{}n a 与{}n b 的前n 项和分别为n A 与n B ，对任意n *∈N ，112()n n n n a a b b ++-=-． （1）若212n A n b ==，，求n B ； （2）若对任意n *∈N ，都有n n a B =． ①当12b =时，求数列{}n nb 的前n 项和n C ； ②是否存在两个整数,s t (1)s t <<，使11s ts tA A AB B B ，，成等差数列？若存在，求出s t ，的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】1．1 2． 3． 4．π2x-5.2π6.π47．1 8． 9. 4 10. 11. 1 12. 100913.(π,10)15. 解：（1）当m =3时，， 而，于是，所以 （2）若，则，解得 若，由得 解得.综上得实数m 的取值范围是. 16．解：（1）由C －A ＝π2和A ＋B ＋C ＝π， 得B ＝π2－2A , 0<A <π4.故sinB ＝cos2A ，即1－2＝，.（2）由(1)得 又由正弦定理，得所以 17．解：（1）由得又，所以是以为首项，1为公差的等差数列；[2018,2019]83-{}(2)(7)0(27)B x x x =--<=，()33A =-，(][)33A =-∞-+∞R ，，ð()[)37.A B =R ，ðB =∅121m m -=+ 2.m =-B ≠∅B A ⊆23133213m m m ≠-⎧⎪--⎨⎪-+⎩，≤≤，≤≤，21m -<≤[]21-，2sin A 13sin A =sin sin()cos 2C A A π=+==sin sin BC ACA B=BC =1sin 2ABC S AC BC C ∆=⋅⋅=*112(2)n n a n n a -=-≥∈N ，*112()n n a n a +=-∈N 1111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=-=-----152b =-{}n b 52-（2）因为， 所以．时数列单调递减且，时数列单调递减且，所以数列的最大项为，最小项为.18．解：（1）a ·b.||2cos a b θ+=== .于是2cos 22cos 11cos 2cos 2cos 2cos a b a b θθθθθθ⋅-===-+ .因为，所以. 故当即时，a b a b ⋅+取得最小值； 当即时，a b a b⋅+取得最大值. （2）由ka b kb +=-得2|||ka b a kb +=-因为，所以.不等式 解得或， 故实数k 的取值范围是.19．解：（1）因为DE 均分三角形ABC 的面积，所以，即.在△ADE 中，由余弦定理得.因为，所以 解得 17(1)2n b b n n =+-=-1211n n a =+=+13n ≤≤{}n a 1n a <4n ≥{}n a 1n a >{}n a 43a =31a =-()()3333cos sin cos sin cos cos sin sin cos222222222θθθθθθθθθ=⋅-=-=，，π0θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 1θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 2θ=π3θ=12-cos 1θ=0θ=12π03θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，1cos 212θ-≤≤211124k k +-⇔≤≤22(1)044104k k k k k ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩≥，≤，22k +≤1k =-{}221⎡-+-⎣ 21(2)2xAE a =22a AE x=y =0202AD a AE a ≤≤，≤≤202202x a a a x ⎧⎪⎨⎪⎩≤≤，≤≤，2a x a ≤≤故y 关于x 的函数关系式为. （2）令，则，且设. 若，则所以在上是减函数. 同理可得在上是增函数.于是当即时，，此时DE //BC ，且 当或即x =a 或2a 时，，此时DE 为AB 或AC 上的中线.故当取且DE //BC 时，DE 最短；当D 与B 重合且E 为AC 中点，或E 与C 重合且D 为AB 中点时，DE 最长.20．解：（1）因为，所以 即故，所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列，所以（2）①依题意，即，， 又因为，所以，所以， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以， ，，错位相减得 所以②由题意，所以，由①得，，)2y a x a =≤≤2t x =224a t a ≤≤y =()4224()4a f t t t a a t⎡⎤=+∈⎣⎦，22122a t t a <≤≤()()4121212124()()0t t t t a f t f t t t ---=>()f t 222a a ⎡⎤⎣⎦，()f t 2224a a ⎡⎤⎣⎦，22t a =x min y =.AD 2t a =24t a =max y =AD =2n A n =221,1(1),n 2n n a n n =⎧=⎨--≥⎩21n a n =-111()12n n n n b b a a ++-=-={}n b 21132(1)1222n B n n n n n =⋅+⋅⋅-⋅=+112()n n n n B B b b ++-=-112()n n n b b b ++=-12n n b b +=12b =0n b ≠12n nb b +={}n b 2n n b =12312+22+32++2n n C n =⨯⨯⨯⋅⋅⋅⋅2341212+22+32++(1)22n n n C n n +=⨯⨯⨯⋅⋅⋅-⋅+⋅1231112+2+2++22222n n n n n C n n +++-=⋅⋅⋅-⋅=--⋅1(1)22n n C n +=-⋅+10B ≠10b ≠112n n b b -=1(21)n n n a B b ==-11(22)n n A b n +=--所以， 假设存在两个整数，使成等差数列， 即成等差数列， 即即，因为， 所以，即 令，则，所以递增， 若，则，不满足，所以， 代入得， 当时，显然不符合要求；当时，令，则同理可证递增，所以， 所以不符合要求.所以，不存在正整数，使成等差数列. 111(22)2(21)21n n n n n A b n n B b +--==---,s t (1)s t <<11,,s ts tA A AB B B 11,,212121s t s t ---121212121s t s t=+---212121s t s t =+--1121t t+>-2121ss>-221s s <+(s)221(2,)s h s s s *=--≥∈N (1)(s)220s h s h +-=->(s)h 3s ≥(s)h(3)10h ≥=>221s s <+2s =121212121st s t=+---2310t t --=(3)t ≥3t =4t ≥()231(3,)t t t t t ϕ*=--≥∈N ()t ϕ()(4)30t ϕϕ≥=>,s t 11,,s ts tA A AB B B。

2017～2018学年度第二学期期中考试高一数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．． 1． 函数()πsin 23y x =-最小正周期为 ▲ ． 2. 已知集合{}2320A x x x =-+>，则A =R ð ▲ ．3. 圆锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为1：2，则原圆锥的高被截面分成的两段之比为 ▲ ．4． 函数y =的定义域为 ▲ ． 5. 关于x 的不等式211(1)0(1)x x a a a-++<>的解集为 ▲ ． 6. 已知() 0 αβ∈π，，，且()1tan αβ-=，1tan 5β=-，则tan α的值为 ▲ ． 7. 若函数2(e )()e 1x x x m f x +=-（e 为自然对数的底数）是奇函数，则实数m 的值为 ▲ ． 8. 设{a n }*()n ∈N 是等比数列，有下列四个判断：①{a n 2}*()n ∈N 是等比数列；②{}1n n a a +*()n ∈N 是等比数列；③{}1n n a a ++*()n ∈N 是等比数列；④{}lg n a *()n ∈N 是等差数列.其中正确判断的序号是 ▲ .9. 已知向量,a b 满足1,2,2),a b a b ==+=则向量,a b 的夹角为▲ ． 10. 如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝CD 且AB 与CD 所成的角为30°，E ，F 分别是BC ，AD 的中点，则EF 与AB 所成角的大小为 ．11. 设x ，y ，z 均是不为0的实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z +的值是 ▲ ． 12. 在△ABC 中，已知BC =2，AB AC ⋅ =1，则△ABC 面积的最大值是 ▲ ．13. 在斜三角形ABC 中，若114tan tan tan A B C+=,则sin C 的最大值为 ▲ ． 14. 设,,a b c 是三个正实数，且()b a b c ac ++=，则b a c +的最大值为 ▲ . 二．解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本题满分14分）解关于x 的不等式2260x ax a --<（R a ∈）16. （本题满分14分）已知向量()1sin 2A =，m 与()3sin A A =+，n 共线，其中A 是△ABC 的内角． （1）求角A 的大小；（2）若BC =2，求△ABC 面积S 的最大值，并判断S 取得最大值时△ABC 的形状.17．（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，()1n n n S a +=，*n ∈N ．。

江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B=．2．函数的定义域为．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为．（用“＜”连接）．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．11．已知函数，若且，则cos2x0=．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．江苏省南通中学2017-2018学年高一下学期开学数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题卡相应位置上．1．已知全集S={1，2，3，4，5}，且A∩B={2}，（∁S A）∩B={1，4}，则B={1，2，4}．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：根据全集S，以及A与B的交集，A补集与B的交集确定出B即可．解答：解：∵全集S={1，2，3，4，5}，A∩B={2}，∁S A∩B={1，4}，∴B={1，2，4}，故答案为：{1，2，4}．点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2．函数的定义域为（0，1]．考点：函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：直接由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立取交集即可得到答案．解答：解：要使函数有意义，则，解得：0＜x≤1．∴原函数的定义域为（0，1]．故答案为：（0，1]．点评：本题考查了函数的定义域及其求法，函数的定义域就是使函数解析式有意义的自变量x的取值范围，是基础题．3．已知向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），若=m+n，m，n∈R，则m+n=1．考点：平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件，平面向量坐标的运算可得，解方程组即可得到m，n 的值，从而求出m+n=1．解答：解：向量=（3，﹣2），=（﹣2，1），=（﹣12，7），∴m+n=（3m﹣2n，﹣2m+n），∵=m+n，∴（﹣12，7）=（3m﹣2n，﹣2m+n），∴，解得，∴m+n=1，故答案为：1．点评：本题考查平面向量的坐标运算，解方程组等知识，属于基础题．4．若函数f（x）=|2x+a|的单调递增区间是[3，+∞），则a=﹣6．考点：带绝对值的函数；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：根据函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），可建立方程，即可求得a的值．解答：解：∵函数f（x）=|2x+a|关于直线对称，单调递增区间是[3，+∞），∴∴a=﹣6故答案为：﹣6点评：本题考查绝对值函数，考查函数的单调性，解题的关键是确定函数的对称轴，属于基础题．5．将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位，可得到函数的图象，则φ的最小值为．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：首先对函数关系式进行平移变换，然后利用对应相等求出结果．解答：解：将将函数y=sin2x的图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到：y=sin[2（x+φ）]=sin （2x+2φ）得到函数的图象．即：2φ+2kπ=解得：φ=2kπ+（k∈Z）当k=0时，故答案为：点评：本题考查的知识点：函数图象的平移变换符合左加右减的性质及相关的运算问题．6．设α是第二象限角，其终边上一点为，且，则sinα的值为．考点：任意角的三角函数的定义．专题：三角函数的求值．分析：首先判断m＜0，根据三角函数的坐标法定义，得到关于m的等式，求出符合条件的m，再求sinα．解答：解：由已知得到P到原点的距离为，由三角函数的定义得到cosα=，α是第二象限角，解得m=，所以sinα=；故答案为：．点评：本题考查了三角函数的坐标法定义，属于基础题．7．函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，那么ω等于．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数f（x）=2sinωx在上单调递增，可得0＜ω≤2，结合在上的最大值是，可得sin（ω）=，进而求出ω值．解答：解：∵函数f（x）=2sinωx（ω＞0）在上单调递增，且在这个区间上的最大值是，∴0＜ω≤2且sin（ω×）=解得ω=故答案为：点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，三角函数的值，其中根据已知分析出ω的范围是解答的关键．8．设实数，a=lnx，b=e lnx，，则a，b，c的大小关系为a＜b＜c．（用“＜”连接）．考点：指数函数的图像与性质；有理数指数幂的化简求值．专题：函数的性质及应用．分析：依题意，由对数函数与指数函数的性质可求得﹣1＜a＜0，＜b＜1，1＜c＜e，从而可得答案．解答：解：∵x∈（，1），a=lnx即﹣1＜a＜0；又b=e lnx为增函数，∴＜b＜1；=lnx为减函数，∴1＜c＜e，∴a＜b＜c．故答案为：a＜b＜c．点评：本题考查有理数指数幂的化简求值，考查对数值大小的比较，掌握对数函数与指数函数的性质是关键，属于中档题．9．在△ABC中，，，其中x为实数．若△ABC为直角三角形，则x=或4．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：平面向量及应用．分析：由向量垂直和数量积的关系分类讨论可得x的方程，解方程可得．解答：解：∵在△ABC中，，，∴=﹣=（x﹣2，4），∴当A为直角时，=2x﹣3=0，解得x=；当B为直角时，•=2x﹣4﹣4=0，解得x=4；当C为直角时，=x（x﹣2）+12=0，方程无解．综上可得x=或4．故答案为：或4点评：本题考查数量积与向量的垂直关系，涉及分类讨论的思想，属基础题．10．已知||=4，||=6，|+|=8，则+与﹣的夹角的余弦值为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由已知首先求出，的数量积以及差的模，然后利用数量积公式求+与﹣的夹角的余弦值．解答：解：由已知||=4，||=6，|+|=8，得到=6，=2，所以则+与﹣的夹角的余弦值为：===；故答案为：．点评：本题考查了平面向量的模的运算、数量积公式的运用；关键是求出两个向量的数量积以及差的模．11．已知函数，若且，则cos2x0=．考点：三角函数中的恒等变换应用．专题：计算题；三角函数的求值．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=cosx+sinx，由，可得sinx0+cosx0=，两边平方解得：sin2x0=，由，可得2x0∈（0，），从而可求cos2x0=的值．解答：解：∵=cosx+sinx，又∵，即：sinx0+cosx0=，∴两边平方可得：1+sin2x0=，解得：sin2x0=，∵，∴2x0∈（0，），∴cos2x0===．故答案为：．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，同角三角函数关系式的应用，二倍角公式的应用，属于基本知识的考查．12．已知D、E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且，．设CD与BE相交于点F，，则实数λ=6．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据条件存在实数k：=，同理存在实数μ：，从而由平面向量基本定理得，这样便可解出，从而便得出λ=6．解答：解：如图，根据条件：；D，F，C三点共线，∴==；∴；同理，B，F，E三点共线，∴=；∴；解得；∴；∴；∴λ=6．故答案为：6．点评：考查向量加法、减法的几何意义，共线向量基本定理，以及平面向量基本定理．13．若函数f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4的零点总在（0，2）内，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪{0}．考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：通过讨论a=0和a≠0两种情况，从而综合得到结论．解答：解：①a=0时，f（x）=3x﹣4，令f（x）=0，显然x=在（0，2）内，成立；②a≠0时，f（x）=3ax2+（3﹣4a）x﹣4=（3x﹣4）（ax+1），令f（x）=0，得：x=，或x=﹣，∴只需0＜﹣＜2即可，解得：a＜﹣，综上：a的范围是：，故答案为：（﹣∞，﹣）∪{0}．点评：本题考查了函数的零点问题，考查二次函数的性质，是一道基础题．14．已知函数恰有两个不同零点，则实数a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．考点：函数零点的判定定理．专题：数形结合；函数的性质及应用．分析：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．作出函数函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，即可得到a的不等式，解得a的范围．解答：解：令f（x）=0可得x=0为一个根，由题意可得+a|x|=0只有一个根，即有﹣=|x|（x﹣2）只有一个根．设g（x）=|x|（x﹣2）=，作出函数y=g（x）的图象，将直线y=﹣平移，可得当﹣＞0或﹣＜﹣1，直线和函数y=g（x）的图象只有一个交点．解得a＜0或0＜a＜1．则a的取值范围是（﹣∞，0）∪（0，1）．故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1）．点评：本题考查函数的零点的判断，考查函数和方程的转化思想的运用，考查数形结合的思想方法，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．设A={x|ax﹣2＞0}，B={x|x2﹣4x+3＞0}．（1）若A∩B=A，求实数a的取值范围；（2）若A∩∁R B≠∅，求实数a的取值范围．考点：交、并、补集的混合运算；交集及其运算．专题：集合．分析：（1）求出不等式x2﹣4x+3＞0的解集B，由A∩B=A得A⊆B，对a进行分类讨论，分别根据集合间的包含关系求出a的取值范围，最后再并在一起；（2）由补集的运算求出∁R B，对a进行分类讨论，分别根据A∩∁R B≠∅求出a的取值范围，最后再并在一起．解答：解：（1）由x2﹣4x+3＞0，得x＜1或x＞3，所以B={x|x＜0或x＞3}．因为A∩B=A，所以A⊆B，当a=0时，A=∅，满足题意；当a＞0时，，所以，解得，所以；当a＜0时，，显然满足A⊆B综上：a的取值范围是；（2）由（1）得，C R B={x|1≤x≤3}，且A∩∁R B≠∅，当a=0时，A=∅，不满足题意；当a＞0时，，所以，解得；当a＜0时，，显然不满足A∩∁R B≠∅，综上可得，a的取值范围是．点评：本题考查集合的混合运算，集合间的包含关系的应用，考查分类讨论思想，属于中档题．16．已知||=1，||=．（1）若与的夹角为60°，求|3﹣|；（2）若⊥（﹣），求与的夹角的大小．考点：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）直接由向量模的平方等于向量的平方，展开后代入数量积公式得答案；（2）设出与的夹角，由⊥（﹣）得其数量积为0，然后求得与的夹角的余弦值，则与的夹角可求．解答：解：（1）∵||=1，||=，且与的夹角为60°，∴|3﹣|====；（2）设a、b的夹角为θ，∵⊥（﹣），∴•（﹣）=，∴，∵0≤θ≤π，∴．点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量模的求法，关键是对公式的运用，是中档题．17．（1）若，，，，；（2）若，，α，β都是锐角，求2α+β的值．考点：两角和与差的余弦函数；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：（1）由条件利用同角三角函数的基本关系，求得sin（+α）、sin（﹣）的值，再利用两角差的余弦公式求得cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]的值．（2）先利用二倍角的正切公式求得tan2α的值，再利用两角和的正切公式求得tan（2α+β）的值，可得2α+β的值．解答：解：（1）∵，，∴，，又，，∴，，∴cos（α+）=cos[（+α）﹣（﹣）]=cos（+α）cos（﹣）+sin（+α）sin（﹣）=+=．（2）∵tanα，tanβ∈（0，1），又α，β是锐角，∴，∴，，∴，又∵，∴．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的三角公式，二倍角的正切公式的应用，属于中档题．18．（16分）已知．（1）求f（x）的最大值及取得最大值时相应的x的值；（2）若函数y=f（2x）﹣a在区间上恰有两上零点x1，x2，求tan（x1+x2）的值．考点：正弦函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．专题：计算题．分析：利用三角公式化简函数f（x）=2sin（）（1）结合正弦函数的性质，把2x看成y=sinx中的“x“分别求解（2）代入可得y=2sin（），换元t=，从而可得y=2sint，，结合正弦函数的图象可求解答：解（1）=═sin（2x﹣120°）cos（2x﹣120°）=2sin（2x﹣60°）∴f（x）的最大值为2，此时，即（2）令，∵，∴设t1，t2是函数y=2sint﹣a的两个相应零点（即）由y=2sint图象性质知t1+t2=π，即∴点评：本题综合考查了两角和与差的三角公式、二倍角公式、三角函数的最值（最值的求解一般是整体思想），利用正弦函数的图象求解值的问题，体现了函数中的数形结合的数学思想在解题中的运用．19．（16分）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）=2x．（1）求函数f（x）的解析式及其值域；（2）设x0是方程f（x）=4﹣x的解，且x0∈（n，n+1），n∈Z，求n的值；（3）若存在x≥1，使得（a+x）f（x）＜1成立，求实数a的取值范围．考点：函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据函数奇偶性的对称性即可求函数f（x）的解析式及其值域；（2）根据函数和方程之间的关系进行求解即可；（3）构造函数，判断函数的单调性，利用函数的单调性进行求解即可．解答：解：（1）若x＜0，则﹣x＞0，则当﹣x＞0时，f（﹣x）=2﹣x．∵函数f（x）是奇函数，∴f（﹣x）=2﹣x=﹣f（x），则f（x）=﹣2﹣x，x＜0，当x=0时，f（0）=0，则…3分值域为（﹣∞，﹣1）∪{0}∪（1，+∞）．…5分（2）令显然x=0不是方程f（x）=4﹣x的解．当x＜0时，g（x）=﹣2﹣x+x﹣4＜0，∴方程f（x）=4﹣x无负数解．…7分当x＞0时，g（x）=2x+x﹣4单调递增，所以函数g（x）至多有一个零点；…8分又g（1）=﹣1＜0，g（2）=2＞0，由零点存在性原理知g（x）在区间（1，2）上至少有一个零点．…9分故g（x）的惟一零点，即方程f（x）=4﹣x的惟一解x0∈（1，2）．所以，由题意，n=1．…10分（3）设h（x）=2﹣x﹣x，则h（x）在[1，+∞）上递减．∴．…13分当x≥1时，f（x）=2x，不等式（a+x）f（x）＜1，即a＜2﹣x﹣x．∴当时，存在x≥1，使得a＜2﹣x﹣x成立，即关于x的不等式（a+x）f（x）＜1有不小于1的解．…16分．点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，函数与方程以及利用函数的单调性求函数的值域问题，综合考查函数的性质．20．（16分）已知f（x）=ax2﹣2x﹣1（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，求g（a）的解析式以及g（a）的最大值．考点：二次函数的性质．专题：函数的性质及应用．分析：（1）根据二次函数的图象和性质，结合已知中函数的解析式，易求出f（x）的最小值；（2）如果对于任意给定的正数a都有一个最大的正数g（a），使得任意x∈[0，g（a）]，不等式|f（x）|≤2恒成立，即﹣2≤f（x）≤2，分段求出g（a）的解析式，进而可得g（a）的最大值．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣2x﹣1，a＞0，∴；（2）∵|f（x）|≤2，∴﹣2≤f（x）≤2，1°若，g（a）为f（x）=﹣2的小根，则：ax2﹣2x+1=0，∴=，此时函数为增函数，故g（a）＜g（1）=12°若，g（a）为f（x）=2的大根，则：ax2﹣2x﹣1=2，∴ax2﹣2x﹣3=0，∴=，此时函数为减函数，故g（a）≤g（1）=3，故（a）的最大值为3．点评：本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，函数解析式的求法，函数的最值及其几何意义，难度中档．。

江苏省南通市海安中学2017-2018学年高一4月底月考数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1．不等式1xx +＜0的解集为 ▲ ．2．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，| a |=2，| b ，则a ·b = ▲ ． 3．在△ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则B ＝ ▲ ．4. 设U =R ，{}|1A x x =<，{}|B x x m =>，若U A B ⊆ð，则实数m 的范围是 ▲ ． 5．在等比数列{a n }中已知661=+n a a ，12811=⋅-n a a ，2q =，则n S = ▲ ．6．已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间+∞[0,）上是单调增函数，若(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围为 ▲ ．7．在各项均不为零的等差数列{a n }中，若a n ＋1－a 2n ＋a n －1＝0(n ≥2)，则S 2n －1－4n 等于 ▲ ． 8．已知x ＞0，y ＞0，且xy ＝x ＋2y ，则x ＋y 的最小值为 ▲ ．9．已知正数数列{a n }对任意p ，q ∈N *，都有p q p q a a a +=，若2a ＝4，则9a ＝ ▲ ． 10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积，若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝ ▲ ．11．若关于x 的不等式220ax x a -+<的解集为空集，则实数a 的取值范围是 ▲ ．12． 2cos10tan 20cos 20oo o-= ▲ ． 13．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2AD ＝1，AC ＝3，且∠CAB ＝π6，∠BAD ＝2π3，设AC AB AD λμ=+，则λ＋μ＝ ▲ ．14．已知a n ＝3n ，b n ＝3n ，n ∈N *，对于每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入b k 个3得到一个数列{c n }．设T n 是数列{c n }的前n 项和，则所有满足T m ＝3c m ＋1的正整数m 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(本题满分14分)如图，在平面四边形ABCD中，AD CD ABD＝60°，∠ADB＝75°，∠ADC ＝120°．(1)求BD的长；(2)求△ABC的面积．16．（本题满分14分）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6＋15＝0.(1)若S5＝5，求S6及a1；(2)求d的取值范围．17．（本题满分14分）已知函数1()41xf x a=++是奇函数.(1)求实数a的值；(2)设函数1()11()2g x f x =-+，对于任意的12,x x ∈R ，试比较12()()2g x g x +与12()2x x g +的大小.18．（本题满分16分）在数列{}n a 中，11a =，()21a m m =≠-，前n 项和n S 满足1111(2)n n n n S a a +=-≥. (1)求3a (用m 表示）；(2)求证：数列{}n S 是等比数列；19．(本题满分16分)如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植甲水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生长的需要，该光源照射范围是π6ECF ∠=，点E ，F 在直径上，且π6ABC ∠=．(1)若的长；(2)设, 求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．20．（本题满分16分）已知数列的前项和满足：，数列满足：对任意有a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n . (1)求数列与数列的通项公式； (2)记，数列的前项和为，证明：当时，．AB CE =AE ACE α∠={}n a n n S 21)n n S a =-（{}n b *n N ∈1(1)22n n +=-⋅+{}n a {}n b nn nb C a ={}n C n n T 6n ≥21n n T -<【参考答案】一、填空题 1. (－1，0)2. 33. π64. 1m <5. 1266. 1(0)(10)10⋃+∞，，7. －2 8. 3＋2 29. 51210. π411. +⎫∞⎪⎪⎣⎭12. 313. 414.3二、解答题15. 解：（1）在△ABD 中，AD ∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，∠BAD ＝180°－60°－75°＝45°，由正弦定理得sin 45sin 60BD =，所以BD ＝2． （2）解法一：在△BCD 中，BD ＝2，因为∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝120°－75°＝45°， CD由余弦定理得BC 2＝22＋2－＝2，所以BC 所以△BCD 为等腰直角三角形，所以∠DBC ＝45°，∠ABC ＝60°＋45°＝105°．在△ABD 中，AD ，∠ABD ＝60°，∠ADB ＝75°，由正弦定理得sin 75AB = ，所以AB 1．△ABC 的面积S ＝12AB ·BC ·sin ∠ABC ＝12×sin105°＝22+．解法二：在△ABD 中，AD ，BD ＝2，∠ADB ＝75°，所以△ABD 的面积S 1＝12AD ·BD ·sin ∠ADB ＝32+． 又△ACD 的面积S 2＝12AD ·DC ·sin ∠ADC ＝32，△BCD 的面积S 3＝1．所以△ABC 的面积S ＝S 1＋S 3－S 2＝22． 16. 解：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，a 6＝S 6－S 5＝－8，所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5，a 1＋5d ＝－8.解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7.(2)因为S 5S 6＋15＝0，所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0，故(4a 1＋9d )2＝d 2－8，所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 17. 解：(1)1()41x f x a =++是奇函数且定义域为R ， 则12a =-，经检验，函数()f x 为奇函数.(2) ()4xg x =，有1212()()4422x x g x g x ++=，12122()42x x x x g ++= 则121212121222212122()()4422222(22)()4022222x x x x x x x x x x g x g x x x g +++++-⨯⨯--=-==≥ 故有12()()2g x g x +≥12()2x x g +.18. 解：（1）令2n =，则223111S a a =-，将11a =， 2a m =代入，有31111m m a =-+，解得23a m m =+.（2）由1111(2)n n n n S a a +=-≥，得11111n n n n nS S S S S -+=---，化简得211n n n S S S -+=， 又0n S ≠，∴数列{}n S 是等比数列.19. 解：（1）连结，已知点在以为直径的半圆周上，所以为直角三角形， 因为，，所以，，在中由余弦定理，且，解得或， （2）因为，，所以，所以， 在中由正弦定理得：，所以，在中，由正弦定理得：，所以 ，AC C AB ABC ∆8AB =6ABC π∠=3BAC π∠=4AC =ACE ∆2222cos CE AC AE ACAE A =+-CE 213164AE AE =+-1AE =3AE =2ACB π∠=6ECF π∠=ACE α∠=[0,]3π∈362AFC A ACF πππππαα⎛⎫∠=-∠-∠=--+=- ⎪⎝⎭ACF ∆sin sin cos sin()2CF AC AC AC A CFA παα===∠-CF =ACE ∆sin sin sin()3CE AC ACA AEC πα==∠+sin()3CE α=+若产生最大经济效益，则的面积最大，， 因为，所以 所以当时，取最大值为，此时该地块产生的经济价值最大．20.解：（1）当时，，所以， 当时，，所以数列是以，公比的等比数列，通项公式为.由题意有，得.当时，，于是得故数列的通项公式为．（2）证明：==，所以=，错位相减得=，所以，即， 下证：当时，， 令=，==当时，，即当时，单调减，又， 所以当时，，即，即当时，. CEF ECF SD 1312sin 2sin()cos 2sin(2)33ECF S CE CF ECF ππααα∆=⋅∠==++[0,]3πα∈0sin(2)13πα+≤≤=3παECF SD1n =1112(1)S a a ==-12a =1n >112()n n n n n a S S a a --=-=-{}n a 12a =2q =2()nn a n N *=∈11a b =2(11)222-⋅+=11b =2n ≥n n a b =1122()n n a b a b a b +++ 112211()n n a b a b a b ---+++ 1(1)22n n -⎡⎤=-⋅+-⎣⎦(2)22n n ⎡⎤-⋅+=⎣⎦2nn ⋅n b n ={}n b n b n =()n N *∈n T 1212n n b b b a a a +++ 212222n n +++ 12n T 23112222n n ++++ 12n T 231111122222n n n +++++- 2n T =-22n n +2n T -=22n n +6n ≥(2)12nn n +<()f n (2)2n n n +(1)()f n f n +-1(1)(3)(2)22n n n n n n ++++-2132n n +-2n ≥(1)()0f n f n +-<2n ≥()f n (6)1f <6n ≥()1f n <(2)12nn n +<6n ≥21n n T -<。