湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高一上学期第一次月考数学试题

长阳一中2015—2016学年度第一学期第一次月考高一数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分（50分）1、若集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R }，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，则A ∩B 等于( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅2、下列各组中的两个函数是同一函数的为( )①y ＝(x ＋3)(x －5)x ＋3，y ＝x －5； ②y ＝x ＋1x －1，y ＝(x ＋1)(x －1)； ③y ＝x ，y ＝x 2； ④y ＝x ，y ＝3x 3； ⑤y ＝(2x －5)2，y ＝2x －5.A ．①②B ．②③C ．③⑤D ．④3、设f (x )＝⎩⎨⎧ x ＋3 (x >10)f (f (x ＋5)) (x ≤10)，则f (5)的值是( ) A ．24 B ．21 C ．18 D ．164、已知函数y ＝1－x 2x 2－3x －2的定义域为( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2]C ．(－∞，－12)∩(－12，1]D ．(－∞，－12)∪(－12，1]5.已知函数f (x )＝ax 2＋(a 3－a )x ＋1在(－∞，－1]上递增，则a 的取值范围是( )A ．a ≤ 3B ．－3≤a ≤ 3C ．0<a ≤ 3D ．－3≤a <06.函数f (x )＝cx 2x ＋3(x ≠－32)，满足f[f(x)]＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3 D ．5或－37．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝［m ＋1，2m －1］，且A ∪B=A,则实数m 的取值范围为 （ ）A. －3≤m ≤4B. －3<m <4C. 2<m <4D. 2<m ≤48.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x －1(－1≤x <0)，－x ＋1(0<x ≤1)，则f (x )－f (－x )>－1的解集为( )A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．[－1，－12)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．[－1，－12]∪(0,1)9.若函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2ax －2a ，x ≥1，ax ＋1，x <1是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,0)B ．[－2,0)C ．(－∞，1]D ．(－∞，0)10.若f(x)和g(x)都是奇函数，且F(x)＝f(x)＋g(x)＋2，在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F(x)有( )A ．最小值－8B ．最大值－8C ．最小值－6D ．最小值－4二、填空题（25分）11、若定义运算a ⊙b ＝⎩⎨⎧ b ，a ≥b a ，a <b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 12. 设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4x ＋a ＝0，a 为常数}，若B A ， 则实数a 的取值范围是：____________13．已知实数a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值 为________．14. 设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3x ＋4的所有x 之 和为：15.已知函数f （x ）=(a 2-1) x 2+(a －1) x+2a ＋1定义域为R ，则实数a 的取值范围 是：三、解答题（75分）16(12分) 已知集合A={x |x 2－ax+a 2－19=0}, B={x |x 2－5x+6=0},C={x |x 2+2x －8=0},是否存在实数a,使得A ∩C=∅和∅A ∩B 同时成立？若存在，求出a 的值，若不存在，说明理由。

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知两个集合A＝{x∈R|y＝}，B＝{x|}，则A∩B＝（）A．{x|﹣1≤x≤1}B．{x|﹣1≤x＜1}C．{﹣1，1}D．∅2．（5分）设复数，则＝（）A．1B．C．2D．43．（5分）已知﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则b2（a1+a2）等于（）A．30B．﹣30C．±30D．154．（5分）设函数f（x）＝sin（x+θ）﹣cos（x+θ）（|θ|＜）的图象关于y轴对称，则角θ＝（）A．B．C．D．5．（5分）已知x，y满足不等式组，则z＝2x+y的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．26．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2B．C．D．37．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的离心率e∈[，2]，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是（）A．B．C．D．8．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）执行如图所示的程序框图（其中[x]表示不超过x的最大整数），则输出的S值为（）A．7B．6C．5D．410．（5分）当a＞0时，函数f（x）＝（x2+2ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．11．（5分）已知等腰△OAB中|OA|＝|OB|＝2，且，那么的取值范围是：（）A．[﹣2，4）B．（﹣2，4）C．（﹣4，2）D．（﹣4，2] 12．（5分）已知定义在R上的函数g（x）的导函数为g′（x），满足g′（x）﹣g（x）＜0，若函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，且g（4）＝1，则不等式的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．（﹣∞，2）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若a＝2b cos C，则△ABC 的形状为．14．（5分）正四面体的棱长为4，顶点都在同一球面上，则该球的表面积为．15．（5分）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点O是坐标原点，过点O，F的圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则抛物线的方程为．16．（5分）直线y＝a分别与曲线y＝2（x+1），y＝x+lnx交于A、B，则|AB|的最小值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a4＝9，a3+a7＝22．（I）求数列{a n}的通项公式a n；（Ⅱ）求证：．18．（12分）某校学习小组开展“学生语文成绩与外语成绩的关系”的课题研究，对该校高二年级800名学生上学期期末语文和外语成绩，按优秀和不优秀分类得结果：语文和外语都优秀的有60人，语文成绩优秀但外语不优秀的有140人，外语成绩优秀但语文不优秀的有100人．（Ⅰ）能否在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生的语文成绩与外语成绩有关系？（Ⅱ）4名成员随机分成两组，每组2人，一组负责收集成绩，另一组负责数据处理．求学生甲分到负责收集成绩组，学生乙分到负责数据处理组的概率．附：．19．（12分）如图，已知AF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4．（I）求证：AC⊥平面BCE；（II）求三棱锥E﹣BCF的体积．20．（12分）设椭圆M：（a＞b＞0）的离心率与双曲线x2﹣y2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x2+y2＝4．（1）求椭圆M的方程；（2）若直线y＝x+m交椭圆于A、B两点，椭圆上一点，求△P AB面积的最大值．21．（12分）设函数f（x）＝lnx+，m∈R．（Ⅰ）当m＝e（e为自然对数的底数）时，求f（x）的极小值；（Ⅱ）讨论函数g（x）＝f′（x）﹣零点的个数；（Ⅲ）若对任意b＞a＞0，＜1恒成立，求m的取值范围．选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）【选修4-1：平面几何】22．（10分）如图，AB是圆O的直径，C，D是圆O上两点，AC与BD相交于点E，GC，GD是圆O的切线，点F在DG的延长线上，且DG＝GF．求证：（1）D、E、C、F四点共圆；（2）GE⊥AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2a cosθ（a≠0），以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）求圆C的标准方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）若直线l与圆C恒有公共点，求实数a的取值范围．【选修4-5：不等式选讲】24．设f（x）＝|x﹣3|+|x﹣4|．（1）解不等式f（x）≤2；（2）若存在实数x满足f（x）≤ax﹣1，试求实数a的取值范围．2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．【解答】解：由A中y＝，得到1﹣x2≥0，解得：﹣1≤x≤1，即A＝{x|﹣1≤x≤1}，由B中不等式变形得：（x﹣1）（x+1）≤0，且x≠1，解得：﹣1≤x＜1，即B＝{x|﹣1≤x＜1}，则A∩B＝{x|﹣1≤x＜1}，故选：B．2．【解答】解：复数＝＝﹣1﹣i，所以＝（﹣1﹣i）（﹣1+i）＝（﹣1）2﹣（i）2＝1+1＝2；故选：C．3．【解答】解：根据题意，由于﹣9，a1，a2，﹣1成等差数列，故等差中项的性质可知，有a1+a2＝﹣9﹣1＝﹣10﹣9，b1，b2，b3，﹣1成等比数列，则由等比中项性质得到，由于奇数项的符号爱等比数列中相同，故b2＝﹣3，因此b2（a1+a2）＝30，故选：A．4．【解答】解：函数f（x）＝sin（x+θ）﹣cos（x+θ）＝，∵函数f（x）的图象关于y轴对称，∴当x＝0时，＝±1，又|θ|＜，解得，故选：A．5．【解答】解：约束条件对应的平面区域如下图示：当直线z＝2x+y过A（2，2）时，Z取得最大值6．当直线z＝2x+y过B（1，1）时，Z取得最小值3，故z＝2x+y的最大值与最小值的比值为：2．故选：D．6．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V＝＝3⇒x＝3．故选：D．7．【解答】解：∵e，∴2≤≤4，又∵c2＝a2+b2，∴2≤≤4，即1≤≤3，得1≤≤．由题意知，为双曲线的一条渐近线的方程，设此渐近线与实轴所成的角为θ，则，即1≤tanθ≤．∵0＜θ＜，∴≤θ≤，即θ的取值范围是．故选：C．8．【解答】解：设AC＝x，则BC＝12﹣x（0＜x＜12）矩形的面积S＝x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P＝＝．故选：C．9．【解答】解：由程序框图得：第一次运行n＝0，S＝0；第二次运行n＝1，S＝1；第三次运行n＝2，S＝1+1＝2；第四次运行n＝3，S＝2+1＝3；第五次运行n＝4，S＝3+2＝5；第六次运行n＝5，S＝5+2＝7；满足n＞4结束运行，输出S＝7．故选：A．10．【解答】解：由f（x）＝0，解得x2+2ax＝0，即x＝0或x＝﹣2a，∵a＞0，∴x＝﹣2a＜0，故排除A，C，当x趋向于﹣∞时，e x趋向于0，故f（x）趋向于0，排除D．故选：B．11．【解答】解：由题意等腰△OAB中|OA|＝|OB|＝2，可得≥，化简可得≥﹣2．再根据＝||•||•cos∠AOB＝2•2•cos∠AOB＜4cos∠0＝4，即＜4．综上可得，﹣2≤＜4故选：A．12．【解答】解：∵函数g（x）的图象关于直线x＝2对称，∴g（2+x）＝g（2﹣x），∴g（4）＝g（0）＝1；设h（x）＝（x∈R），则h′（x）＝，又∵g′（x）﹣g（x）＜0，∴h′（x）＜0；∴y＝h（x）单调递减，而当x＝0时，h（0）＝＝1；不等式，即h（x）＞h（0），解得：x＜0，故不等式的解集为（﹣∞，0），故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．【解答】解：a＝2b cos C，由正弦定理可知，sin A＝2sin B cos C，因为A+B+C＝π，所以sin（B+C）＝2sin B cos C，所以sin B cos C+cos B sin C＝2sin B cos C，sin（B﹣C）＝0，B﹣C＝Kπ，k∈Z，因为A、B、C是三角形内角，所以B＝C．三角形是等腰三角形．故答案为：等腰三角形．14．【解答】解：过D作DE⊥BC，交BC于E，过点A作AF⊥平面BCD，交DE于F，连结AE，设O为正四面体A﹣BCD的外接球的球心，则O在AF上，连结OD，∵正四面体A﹣BCD的棱长为4，∴E是BC中点，F是△BCD重心，∴DF＝，EF＝，AE＝＝6，AF＝＝8，设球O的半径OA＝OC＝R，则R2＝（8﹣R）2+（4）2，解得R＝6，∴该球的表面积S＝4πR2＝4π×36＝144π．故答案为：144π．15．【解答】解：如图，由题意可知，圆的圆心M在抛物线上，又圆的面积为36π，∴半径|OM|＝6，则|MF|＝，即，又，∴，解得：p＝8．∴抛物线方程为：y2＝16x．故答案为：y2＝16x．16．【解答】解：设A（x1，a），B（x2，a），则2（x1+1）＝x2+lnx2，∴x1＝（x2+lnx2）﹣1，∴|AB|＝x2﹣x1＝（x2﹣lnx2）+1，令y＝（x﹣lnx）+1，则y′＝（1﹣），∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴x＝1时，函数的最小值为，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】（1）解：依题意，2a5＝a3+a7＝22，即a5＝11，又∵a4＝9，∴公差d＝a5﹣a4＝2，∴a n＝a4+（n﹣4）d＝2n+1；（2）证明：由（1）可知，∴＝＝（﹣），累加得：．18．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得列联表：因为K2＝＝16.667＞10.828．所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系．…（6分）（Ⅱ）设其他学生为丙和丁，4人分组的所有情况如下表分组的情况总共有6种，学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理占2种，所以学生甲负责收集成绩且学生乙负责数据处理的概率是P＝＝．…（12分）19．【解答】（I）证明：过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，∴四边形ADCM为矩形，∴AM＝MB＝2，∵AD＝2，AB＝4，∴AC＝2，CM＝2，BC＝2∴AB2＝AC2+BC2，即AC⊥BC，∵AF⊥平面ABCD，AF∥BE，∴EB⊥平面ABCD，∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB，∵EB∩BC＝B，∴AC⊥平面BCE；（II）解：∵AF⊥平面ABCD，∴AF⊥CM，∴CM⊥AB，AB∩AF＝A，∴CM⊥平面ABEF，∴V E﹣BCF＝V C﹣BEF＝＝＝．20．【解答】解：（1）双曲线的离心率为，则椭圆的离心率为（2分）圆x2+y2＝4的直径为4，则2a＝4，得：⇒所求椭圆M的方程为．（6分）（2）直线AB的直线方程：．由，得，由，得﹣2＜m＜2∵，．∴＝（9分）又P到AB的距离为．则当且仅当取等号∴．（12分）21．【解答】解：（Ⅰ）当m＝e时，f（x）＝lnx+，∴f′（x）＝；∴当x∈（0，e）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，e）上是减函数；当x∈（e，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上是增函数；∴x＝e时，f（x）取得极小值为f（e）＝lne+＝2；（Ⅱ）∵函数g（x）＝f′（x）﹣＝﹣﹣（x＞0），令g（x）＝0，得m＝﹣x3+x（x＞0）；设φ（x）＝﹣x3+x（x＞0），∴φ′（x）＝﹣x2+1＝﹣（x﹣1）（x+1）；当x∈（0，1）时，φ′（x）＞0，φ（x）在（0，1）上是增函数，当x∈（1，+∞）时，φ′（x）＜0，φ（x）在（1，+∞）上是减函数；∴x＝1是φ（x）的极值点，且是极大值点，∴x＝1是φ（x）的最大值点，∴φ（x）的最大值为φ（1）＝；又φ（0）＝0，结合y＝φ（x）的图象，如图；可知：①当m＞时，函数g（x）无零点；②当m＝时，函数g（x）有且只有一个零点；③当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；综上，当m＞时，函数g（x）无零点；当m＝或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；当0＜m＜时，函数g（x）有两个零点；（Ⅲ）对任意b＞a＞0，＜1恒成立，等价于f（b）﹣b＜f（a）﹣a恒成立；设h（x）＝f（x）﹣x＝lnx+﹣x（x＞0），则h（b）＜h（a）．∴h（x）在（0，+∞）上单调递减；∵h′（x）＝﹣﹣1≤0在（0，+∞）上恒成立，∴m≥﹣x2+x＝﹣+（x＞0），∴m≥；对于m＝，h′（x）＝0仅在x＝时成立；∴m的取值范围是[，+∞）．选做题（请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.）【选修4-1：平面几何】22．【解答】解：（Ⅰ）如图，连接OC，OD，则OC⊥CG，OD⊥DG，∴四点O，D，G，C共圆．设∠CAB＝∠1，∠DBA＝∠2，∠ACO＝∠3，∠COB＝2∠1，∠DOA＝2∠2．∴∠DGC＝180°﹣∠DOC＝2（∠1+∠2）．∵DG＝GF，DG＝CG．∴GF＝GC．∴∠GCF＝∠F．∵∠DGC＝2∠F，∴∠F＝∠1+∠2．又∵∠DEC＝∠AEB＝180°﹣（∠1+∠2），∴∠DEC+∠F＝180°，∴D，E，C，F四点共圆．（Ⅱ）延长GE交AB于H．∵GD＝GC＝GF，∴点G是经过D，E，C，F四点的圆的圆心．∴GE＝GC，∴∠GCE＝∠GEC．又∵∠GCE+∠3＝90°，∠1＝∠3，∴∠GEC+∠3＝90°，∴∠AEH+∠1＝90°，∴∠EHA＝90°，即GE⊥AB．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．【解答】解：（Ⅰ）由得，，则，∴直线l的普通方程为：4x﹣3y+5＝0，…（2分）由ρ＝2a cosθ得，ρ2＝2aρcosθ又∵ρ2＝x2+y2，ρcosθ＝x∴圆C的标准方程为（x﹣a）2+y2＝a2，…（5分）（Ⅱ）∵直线l与圆C恒有公共点，∴，…（7分）两边平方得9a2﹣40a﹣25≥0，∴（9a+5）（a﹣5）≥0∴a的取值范围是．…（10分）【选修4-5：不等式选讲】24．【解答】解（1），由图象可得f（x）≤2的解集为﹣（5分）（2）函数y＝ax﹣1，的图象是经过点（0，﹣1）的直线，由图象可得﹣﹣﹣﹣﹣（10分）。

注意事项：1. 本试卷分为试题卷和答题卷两部分，考试时间120分钟，满分120分。

2. 所有答案均须做在答题卷相应区域，做在其它区域内无效。

一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填写符合要求求的求的选项代号。

本大题共15小题，每小题3分，计45分） 1. 13-的倒数是（ ） A. 3- B. 3 C. 13-D. 132．根据《国家中长期教育改革和发展规划纲要》，教育经费投入应占当年GDP 的4%．若设2014年GDP 的总值为n 亿元，则2014年教育经费投入可表示为（ ）亿元． A ．4%n B ．（1+4%）n C ．（1﹣4%）n D ．4%+n3．在以下永洁环保、绿色食品、节能、绿色环保四个标志中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．要调查城区九年级8000名学生了解禁毒知识的情况，下列调查方式最合适的是（ ）.A ．在某校九年级选取50名女生B ．在某校九年级选取50名男生C ．在某校九年级选取50名学生D ．在城区8000名九年级学生中随机选取50名学生 5．合作交流是学习教学的重要方式之一，某校九年级每个班合作学习小组的个数分别是：8，7．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）9．我市大约有34万中小学生参加了“廉政文化进校园”教育活动，将数据34万用科学记(A)(B)(C)(D)第8题数法表示，正确的是（ ）.A ．0.34×105B ．3.4×105C ．34×105D ．340×10510．若式子在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）11．如图，在10×6的网格中，每个小方格的边长都是1个单位，将△ABC 平移到△DEF 的位置，下面正确的平移步骤是（ ）A ．先把△ABC 向左平移5个单位，再向下平移2个单位B ．先把△ABC 向右平移5个单位，再向下平移2个单位 C ．先把△ABC 向左平移5个单位，再向上平移2个单位D ．先把△ABC 向右平移5个单位，再向上平移2个单位12．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝BC ，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点， 则下列结论一定正确的是（ ）.A ．∠HGF ＝∠GHEB ．∠GHE ＝∠HEFC ． ∠HEF ＝∠EFGD ．∠HGF ＝∠HEF14． 2012﹣2013NBA 整个常规赛季中，科比罚球投篮的命中率大约是83.3%，下列说法错15．已知抛物线y=ax 2﹣2x+1与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限二、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共9小题，计75分） 16．（6分）计算：（﹣20）×（﹣）+．第12题B G17．（6分）解方程组⎩⎨⎧=+=-221y x y x18．（6分）先将下列代数式化简，再求值：（a+b ）（a ﹣b ）+b （b ﹣2），其中，b=1． 19．（8分）某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消 耗约4万吨．调查结果分析显示，从2008年开始，五年内该 市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y(万吨)随着时间 x(年)逐年成直线上升，y 与x 之间的关系如图所示. （1）求y 与x 之间的关系式；（2）请你估计，该市2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？20．（8分）如图，点E ，F 分别是锐角∠A 两边上的点，AE=AF ，分别以点E ，F 为圆心，以AE 的长为半径画弧，两弧相交于点D ，连接DE ，DF ． （1）请你判断所画四边形的性状，并说明理由； （2）连接EF ，若AE=8厘米，∠A=60°，求线段EF 的长． 21．（8分）读书决定一个人的修养和品位，在“文明湖北，美丽宜昌”读书活动中，某学习小组开展综合实践活动，随机调查了该校部分学生的课外阅读情况，绘制了平均每人每天课外阅读时间统计图．（1）补全扇形统计图中缺失的数据；（2）被调查学生中，每天课外阅读时间为60分钟左右的有20人，求被调查的学生总人数； （3）请你通过计算估计该校学生平均每人每天课外阅读的时间．22. （11分）如图，△ABC 和△ABD 都是⊙O 的内接三角形，圆心O 在边上，边AD 分别与BC ，OC 交于E ，F 两点，点C 为弧AD 的中点．（1）求证：OF ∥BD ； （2）若FE 1ED 2=，且⊙O 的半径R=6cm ． ①求证：点F 为线段OC 的中点；y （万吨）②求图中阴影部分（弓形）的面积．23．（11分）半径为2cm 的⊙O 与边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线l 的同侧，⊙O 与l 相切于点F ，DC 在l 上．（1）过点B 作圆的一条切线BE ，E 为切点．①如图1，当点A 在⊙O 上时，求∠EBA 的度数； ②如图2，当E ，A ，D 三点在同一直线上时，求线段OA 的长；（2）以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置，向左移动正方形（图3），至边BC 与OF 重合时结束移动，M ，N 分别是边BC ，AD 与⊙O 的公共点，求扇形MON 的面积的范围．24．(11分) 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与直线y ＝mx ＋n 相交于两点，这两点的坐标分别是（0,21）和（m －b ，m 2－mb ＋n ），其中a ，b ，c ，m ，n 为实数,且a ，m 不为0． （1）求c 的值；（2）设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点是（x 1，0）和（x 2，0），求x 1x 2的值； （3）当－1≤x ≤1时，设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上与x 轴距离最大的点为P （x，y 求这时｜y o ｜的最小值。

长阳一中2015-2016学年度第一学期期中考试高一数学试卷考试时间：120分钟 试卷总分：150分一、选择题：本大题12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集{}1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,2A B == ,则C U (A ∪B ) = ( )A ．{}134，，B ．{}34，C ． {}3D ． {}42. 设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D/ 第四象限3、下列各组中两个函数是同一函数的是（ ） A ．4444)()()(x x g x x f ==B ．33)()(x x g xx f ==C.xe xf ln )(=与xex g ln )(=D ．2)(24)(2-=+-=x x g x x x f 4．三个数 a=0.67,b=70.6,c=log 0.76错误！未找到引用源。

的大小关系为( )A ． b c a <<B ．b a c <<C ．c a b <<D ．c b a <<5．函数y =的定义域是（ ）A ．[)1,+∞B ．2(,)3+∞C ．2[,1]3D ．2(,1]36.如图给出四个幂函数的图像，则图像与函数的大致对应是( )A.①13y x = ②2y x = ③12y x = ④1y x -= B.①13y x = ②12y x = ③2y x = ④1y x -=C.①2y x = ②3y x = ③12y x = ④1y x -= D.①3y x = ②2y x = ③12y x = ④1y x -=7. 已知()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且2()()221f xg x x x +=-+，则(1)f -=（ ）A ．3B ．3-C ．2D ．2-8. 下列函数中值域是),0(+∞的是（ ）A ．232++=x x yB ．212++=x x y C ．||1x y =D ．12+=x y 9.函数()43x f x e x =+-的零点所在的大致区间是（ ）A （-14,0） B （0,14） C （14,12） D （12,34）10. 若偶函数f (x )在(－∞，0)内单调递减，则不等式f (－2)＜f (lg x )的解集是 ( )A ．(0,100)B ．1(,100)100C ．1(,+)100∞ D ．1(0)100，∪(100，＋∞)11. 若函数()x x f x ka a -=-（a ＞0且a≠1）在（﹣∞，+∞）上既是奇函数又是增函数，则函数g （x ）=log a （x+k ）的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．12. 已知函数21(0)()log (0)x x f x x x +⎧=⎨>⎩≤，,则函数[()]1y f f x =+的零点个数是（ ）A ．4B ．3C ． 2D ．1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的中心角的弧度数是14.已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≤x 时，x x x f 2)(2+=，则函数R x x f ∈),(的解析式为f(x)= ．15.若角⎪⎭⎫⎝⎛--∈2,ππα，则ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+ = 16. 已知()()212log 3f x x ax a =-+在区间[)2,+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）（1）. 计算：2213log lg14812lg1)27100-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭(2). 已知角α顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边在函数3(0)y x x =-≤的图像上．求ααααcos 5sin 3cos 2sin 4+-的值；18. （本题满分12分）已知函数x x y -∙+=52的定义域为集合Q,集合}321|{+≤≤+=a x a x P 。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集{}2|≥∈=x N x U ，集合{}5|2≥∈=x N x A ，则=A C U （ ） A ．∅ B ． }2{ C ． }5{ D ． }5,2{2．已知i 是虚数单位，R b a ∈,,则“1==b a ”是“i bi a 2)(2=+”的（ ） A ． 充分不必要条件 B ． 必要不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件 3．已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B ．3CD ．3m4． 如图所示，图中曲线方程为21y x =-，用定积分表达围成封闭图形 （阴影部分）的面积是 （ ）A ．220|(1)|x dx -⎰B ． 220(1)x dx -⎰C ．220|1|x dx -⎰D ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动， 则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A ．18B ．38C ．58D ．786．执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A ．203B ．165C ．72D ．1587．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（ ）A ．B ．C ． ( 1 , 16 )D ．8． 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：1322=-y x 与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A ．31B ．32C ．51D ．529．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中， 最长的棱的长度为A． B． C ．6 D ．410．已知()l n (1)l n (1)f x x x =+--，(1,1)x ∈-。

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（50分）1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1）y1=，y2=x﹣5；（2）y 1=，y2=；（3）y1=x，y2=；（4）y1=x，y2=；（5），y2=2x﹣5．A．（1），（2）B．（2），（3）C．（4） D．（3），（5）3．设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．164．已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]5．已知函数f（x）=ax2+（a3﹣a）x+1在（﹣∞，﹣1]上递增，则a的取值范围是（）A．a B．C．D．6．函数满足f[f（x）]=x，则常数c等于（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．5或﹣37．已知集合A={x|﹣2≤x≤7 }，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，则函数m的取值范围是（）A．﹣3≤m≤4 B．﹣3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．m≤48．已知函数f（x）=，则f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，﹣）∪[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．[﹣1，﹣]∪（0，1）9．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）10．若f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4二、填空题（25分）11．若定义运算a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是．12．设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x2﹣4x+a=0，a为常数}，若B⊆A，则实数a的取值范围是：．13．已知函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为．14．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为．15．若函数的定义域为R，则a的取值范围为．三、解答题（75分）16．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}，是否存在实数a，使得A∩C=∅，∅⊊A∩B同时成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．17．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}①若B⊆A，求实数m的取值范围．②若A∩B=∅，求实数m的取值范围．18．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知函数f（x）=（a≠1且a≠0）①当a＞1时，判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．②若函数函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，试求实数a的取值范围．19．（12分）（2012春•红塔区校级期末）某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系是P=该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N+）．（1）求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；（2）求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的第几天？20．（13分）（2015秋•宜昌校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知f（x）=，g（x）=﹣x﹣2a，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．21．（14分）（2011春•梅县校级期末）已知≤a≤1，若函数f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a）．（1）求g（a）的函数表达式；（2）判断函数g（a）在区间[，1]上的单调性，并求出g（a）的最小值．2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（50分）1．若集合A={x||x|≤1，x∈R}，B={y|y=x2，x∈R}，则A∩B=（）A．{x|﹣1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算．常见的解法为计算出集合A、B的最简单形式再运算．【解答】解：由题得：A={x|﹣1≤x≤1}，B={y|y≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤1}．故选C．【点评】在应试中可采用特值检验完成．2．判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（）（1）y1=，y2=x﹣5；（2）y 1=，y2=；（3）y1=x，y2=；（4）y1=x，y2=；（5），y2=2x﹣5．A．（1），（2）B．（2），（3）C．（4） D．（3），（5）【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】确定函数的三要素是：定义域、对应法则和值域．据此可判断出答案．【解答】解：（1）函数的定义域是{x|x≠﹣3}，而y2=x﹣5的定义域是R，故不是同一函数；同理（2）、（3）、（5）中的两个函数的定义域皆不相同，故都不是同一函数．（4）=x，而y1=x，故是同一函数．故选C．【点评】本题考查了函数的定义，若一个函数的定义域和对应法则给定，则值域随之而确定．3．设f（x）=，则f（5）的值是（）A．24 B．21 C．18 D．16【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用函数的性质得f（5）=f（f（10））=f（f（f（15））），由分段函数即可得到．【解答】解：f（x）=，f（5）=f（f（10））=f（f（f（（15）））=f（f（18））=f（21）=21+3=24．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，注意函数性质的合理运用．4．已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，2]C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x≤1且x．∴函数y=的定义域为（﹣∞，﹣）∩（﹣，1]．故选：C．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了不等式组的解法，是基础题．5．已知函数f（x）=ax2+（a3﹣a）x+1在（﹣∞，﹣1]上递增，则a的取值范围是（）A．a B．C．D．【考点】函数单调性的性质．【专题】计算题．【分析】函数f（x）=ax2+（a3﹣a）x+1在（﹣∞，﹣1]上递增，由二次函数的图象知此函数一定开口向下，且对称轴在区间的右侧，由此问题解决方法自明．【解答】解：由题意，本题可以转化为解得当a=0时，函数f（x）=1不符合题意综上知，a的取值范围是故选D【点评】本题考点是函数单调性的性质，考查二次函数的性质与图象，本题由二次函数的图象转化为关于参数的不等式即可，由于二次项的系数带着字母，所以一般要对二次系数为0进行讨论，以确定一次函数时是否满足题意，此项漏掉讨论是此类题失分的一个重点，做题时要注意问题解析的完整性，考虑到每一种情况．6．函数满足f[f（x）]=x，则常数c等于（）A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．5或﹣3【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用已知函数满足f[f（x）]=x，可得x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，即可得出．【解答】解：∵函数满足f[f（x）]=x，∴x===，化为（2c+6）x2+（9﹣c2）x=0对于恒成立，∴2c+6=9﹣c2=0，解得c=﹣3．故选B．【点评】正确理解函数的定义和恒等式的意义是解题的关键．7．已知集合A={x|﹣2≤x≤7 }，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，若A∪B=A，则函数m的取值范围是（）A．﹣3≤m≤4 B．﹣3＜m＜4 C．2＜m＜4 D．m≤4【考点】并集及其运算．【专题】计算题．【分析】分两种情况考虑：当集合B不为空集时，得到m+1小于2m﹣1列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，由A与B的并集为A，得到B为A的子集，列出关于m的不等式，求出不等式的解集，找出m范围的交集得到m的取值范围；当集合B为空集时，符合题意，得出m+1大于2m﹣1，列出不等式，求出不等式的解集得到m的范围，综上，得到所有满足题意的m范围．【解答】解：分两种情况考虑：（i）若B不为空集，可得m+1＜2m﹣1，解得：m＞2，∵A∪B=A，∴B⊆A，∵A={x|﹣2≤x≤7}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤7，解得：﹣3≤m≤4，此时m的范围为2＜m≤4；（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1≥2m﹣1，解得：m≤2，综上，实数m的范围为m≤4．故选D【点评】此题考查了并集及其运算，以及两集合的包含关系，根据题意得出集合B为集合A 的子集是解本题的关键．8．已知函数f（x）=，则f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集为（）A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．[﹣1，﹣）∪[0，1]C．（﹣∞，0）∪（1，+∞）D．[﹣1，﹣]∪（0，1）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】已知f（x）为分段函数，要求f（x）﹣f（﹣x）＞﹣1的解集，就必须对其进行讨论：①若﹣1≤x＜0时；②若x=0，③若0＜x≤1，进行求解；【解答】解：∵f（x）=，∴①若﹣1≤x＜0时，也即0＜﹣x≤1，∴f（x）﹣f（﹣x）=﹣x﹣1﹣（x+1）＞﹣1，解得x＜﹣，∴﹣1≤x＜﹣②若x=0，则f（0）=﹣1，∴f（x）﹣f（﹣x）=0＞﹣1，故x=0成立；③若0＜x≤1，则﹣1≤﹣x＜0，∴﹣x+1﹣（x﹣1）＞﹣1，x，∴0＜x≤1；综上①②得不等式解集为：[﹣1，﹣）∪[0，1]；故选B；【点评】此题考查分段函数的性质，以及分类讨论思想的应用，这都是中学阶段的重点内容，我们要熟练掌握，知道如何找分类讨论的界点；9．若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．（﹣2，0）B．[﹣2，0）C．（﹣∞，1]D．（﹣∞，0）【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则函数在每一段上均为减函数，且在x=1时，前一段的函数值不小于后一段的函数值，进而构造关于a的不等式，解得实数a的取值范围【解答】解：若函数f（x）=是（﹣∞，+∞）上的减函数，则，解得：a∈[﹣2，0），故选：B【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质，熟练掌握分段函数单调性的特征是解答的关键．10．若f（x）和g（x）都是奇函数，且F（x）=f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值8，则在（﹣∞，0）上F（x）有（）A．最小值﹣8 B．最大值﹣8 C．最小值﹣6 D．最小值﹣4【考点】函数奇偶性的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题．【分析】由已知中f（x）和g（x）都是奇函数，结合函数奇偶性的性质，可得F（x）﹣2=f （x）+g（x）也为奇函数，进而根据F（x）=f（x）+g（x）+2，在（0，+∞）上有最大值8，我们可得f（x）+g（x）在（0，+∞）上有最大值6，由奇函数的性质可得f（x）+g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，进而得到F（x）=f（x）+g（x）+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4．【解答】解：∵f（x）和g（x）都是奇函数，∴f（x）+g（x）也为奇函数又∵F（x）=f（x）+g（x）+2在（0，+∞）上有最大值8，∴f（x）+g（x）在（0，+∞）上有最大值6，∴f（x）+g（x）在（﹣∞，0）上有最小值﹣6，∴F（x）=f（x）+g（x）+2在（﹣∞，0）上有最小值﹣4，故选D【点评】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数的最值及其几何意义，其中根据函数奇偶性的性质，构造出F（x）﹣2=f（x）+g（x）也为奇函数，是解答本题的关键．二、填空题（25分）11．若定义运算a⊗b=，则函数f（x）=x⊗（2﹣x）的值域是（﹣∞，1]．【考点】函数的值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据题意求出f（x）的解析式，再判断出函数的单调性，即可得到答案．【解答】解：由a⊗b=得，f（x）=x⊗（2﹣x）=，∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数，∴f（x）≤1，则函数f（x）的值域是：（﹣∞，1]，故答案为：（﹣∞，1]．【点评】本题考查分段函数的值域，即每段值域的并集，也是一个新定义运算问题：取两者中较小的一个，求出函数的解析式并判断出其单调性是解题的关键．12．设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，集合B={x|x2﹣4x+a=0，a为常数}，若B⊆A，则实数a的取值范围是：a≥4．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】集合．【分析】先求出集合A中的元素，结合集合A和B的关系，通过讨论B中的元素得到关于a 的方程，解出即可．【解答】解：集合A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，集合B={x|x2﹣4x+a=0，a为常数}，若B⊆A，则B是∅时：△=16﹣4a＜0，解得：a＞4，B={1}时：则1﹣4+a=0，解得：a=3，a=3时：解得B={1，3}，不合题意，B={2}时：则4﹣8+a=0，解得：a=4，综上：实数a的取值范围是：a≥4故答案为：a≥4．【点评】本题考查了集合之间的关系，考查二次函数问题，分类讨论，是一道基础题．13．已知函数f（x）=，若f（1﹣a）=f（1+a），则a的值为﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】对a分类讨论判断出1﹣a，1+a在分段函数的哪一段，代入求出函数值；解方程求出a．【解答】解：当a＞0时，1﹣a＜1，1+a＞1，∴2（1﹣a）+a=﹣1﹣a﹣2a，解得a=﹣（舍去），当a＜0时，1﹣a＞1，1+a＜1，∴﹣1+a﹣2a=2+2a+a解得a=﹣，故答案为﹣：﹣【点评】本题考查分段函数的函数值的求法：关键是判断出自变量所在的范围．14．设f（x）是连续的偶函数，且当x＞0时，f（x）是单调的函数，则满足的所有的x的和为﹣8．【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题．【分析】f（x）为偶函数⇒f（﹣x）=f（x），x＞0时f（x）是单调函数⇒f（x）不是周期函数．所以若f（a）=f（b）⇒a=b或a=﹣b，再结合已知条件可得正确答案．【解答】解：∵f（x）为偶函数，且当x＞0时f（x）是单调函数∴若时，即或，得x2+3x﹣3=0或x2+5x+3=0，此时x1+x2=﹣3或x3+x4=﹣5．∴满足的所有x之和为﹣3+（﹣5）=﹣8，故答案为﹣8．【点评】本题属于函数性质的综合应用，属于中档题．解决此类题型要注意变换自变量与函数值的关系，还要注意分类讨论和数形结合的思想方法的应用．15．若函数的定义域为R，则a的取值范围为[1，9]．【考点】函数恒成立问题．【专题】计算题．【分析】根据函数的定义域为R，可转化成（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+≥0恒成立，然后讨论二次项系数是否为0，根据二次函数的性质建立关系式，解之即可．【解答】解：∵函数的定义域为R∴（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+≥0恒成立当a2﹣1=0时，a=±1，当a=1时不等式恒成立，当a=﹣1时，无意义当a2﹣1≠0时，解得a∈（1，9]综上所述：a∈[1，9]故答案为：[1，9]【点评】本题主要考查了函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和分类讨论的思想，属于中档题．三、解答题（75分）16．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知集合A={x|x2﹣ax+a2﹣19=0}，B={x|x2﹣5x+6=0}，C={x|x2+2x﹣8=0}，是否存在实数a，使得A∩C=∅，∅⊊A∩B同时成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【考点】子集与交集、并集运算的转换．【专题】集合．【分析】先求出B={2，3}，C={﹣4，2}，假设存在实数a，使A∩C=∅，∅⊊A∩B同时成立，则：﹣4∉A，2∉A，3∈A，3带入集合A的方程即可求出a=﹣2，或5，然后去验证是否满足假设即可．【解答】解：B={2，3}，C={﹣4，2}，由A∩C=∅与∅⊊A∩B知：﹣4∉A，2∉A，3∈A；故32﹣3a+a2﹣19=0，解得a=﹣2，或5；当a=5时，A={2，3}，不合题意；当a=﹣2时，A={﹣5，3}，符合题意；∴a=﹣2；即存在实数a=﹣2使得A∩C=∅，∅⊊A∩B同时成立．【点评】考查交集、空集及真子集的概念，以及元素与集合的关系，描述法表示集合．17．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知集合A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}①若B⊆A，求实数m的取值范围．②若A∩B=∅，求实数m的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【专题】计算题；集合．【分析】①分两种情况考虑：当集合B不为空集时和集合B为空集时，分别解出不等式的解集得到m的范围，综合讨论结果可得所有满足题意的m范围．②分两种情况考虑：当集合B不为空集时和集合B为空集时，分别解出不等式的解集得到m 的范围，综合讨论结果可得所有满足题意的m范围．【解答】解：①分两种情况考虑：（i）若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，∵B⊆A，∵A={x|﹣2≤x≤5}，B={x|m+1＜x＜2m﹣1}，∴m+1≥﹣2，且2m﹣1≤5，解得：﹣3≤m≤3，此时m的范围为2≤m≤3；（ii）若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，综上，实数m的范围为（﹣∞，3]．②若B为空集，符合题意，可得m+1＞2m﹣1，解得：m＜2，若B不为空集，可得m+1≤2m﹣1，解得：m≥2，∵A∩B=∅，∴2m﹣1＜﹣2或m+1＞5，∴m或m＞4，∴m＞4．综上，实数m的范围为m＜2或m＞4．【点评】此题考查了并集及其运算，以及两集合的包含关系，根据题意分类讨论是解本题的关键．18．（12分）（2015秋•宜昌校级月考）已知函数f（x）=（a≠1且a≠0）①当a＞1时，判断函数f（x）的单调性，并用定义法证明．②若函数函数f（x）在区间（0，1]上是减函数，试求实数a的取值范围．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）若a＞1，根据复合函数单调性之间的关系即可试确定函数的单调区间，并指出相应的单调性；（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数．根据（1）的结论即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由a＞1，3﹣ax≥0，即ax≤3，则x≤，此时y=3﹣ax为减函数∵a＞1，则a﹣1＞0，则＞0，则此时函数f（x）为减函数，单调递减区间为（﹣∞，]；（2）若f（x）在区间（0，1]上是减函数，由（1）知，a＞1，且≥1，即1＜a≤3，即实数a的取值范围是（1，3]．【点评】本题主要考查函数单调性和单调区间的求解，利用复合函数单调性的关系是解决本题的关键．19．（12分）（2012春•红塔区校级期末）某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系是P=该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=﹣t+40（0＜t≤30，t∈N+）．（1）求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；（2）求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的第几天？【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的最值及其几何意义．【专题】计算题；应用题．【分析】（1）在解答时，应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式；（2）根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．【解答】解：（1）由题意可知：y=．即y=（2）当0＜t＜25，t∈N+时，y=（t+20）（﹣t+40）=﹣t2+20t+800=﹣（t﹣10）2+900．∴t=10（天）时，y max=900（元），当25≤t≤30，t∈N+时，y=（﹣t+100）（﹣t+40）=t2﹣140t+4000=（t﹣70）2﹣900，而y=（t﹣70）2﹣900，在t∈[25，30]时，函数递减．∴t=25（天）时，y max=1125（元）．∵1125＞900，∴y max=1125（元）．故所求日销售金额的最大值为1125元，且在最近30天中的第25天日销售额最大．【点评】本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数球最值得方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．20．（13分）（2015秋•宜昌校级月考）已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知f（x）=，g（x）=﹣x﹣2a，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．（2）对于（1）中的函数f（x）和函数g（x），若对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）将2x+1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；（2）对于任意的x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）可转化成f（x）的值域为g（x）的值域的子集，建立关系式，解之即可．【解答】解：（1）f（x）==2x+1+﹣8，设u=2x+1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，则y=u+﹣8，u∈[1，3]，由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，f（x）单调递减，所以递减区间为[0，]当2≤u≤3，即≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为[，1]由f（0）=﹣3，f（）=﹣4，f（1）=﹣，得f（x）的值域为[﹣4，﹣3]（2）由于g（x）=﹣x﹣2a为减函数，故g（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]，由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，从而有所以a=【点评】本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力，属于中档题．21．（14分）（2011春•梅县校级期末）已知≤a≤1，若函数f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），令g（a）=M（a）﹣N（a）．（1）求g（a）的函数表达式；（2）判断函数g（a）在区间[，1]上的单调性，并求出g（a）的最小值．【考点】二次函数在闭区间上的最值；函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】（1）明确f（x）=ax2﹣2x+1的对称轴为x=，由≤a≤1，知1≤≤3，可知f（x）在[1，3]上单调递减，N（a）=f（）=1﹣．由a的符号进行分类讨论，能求出g（a）的解析式；（2）根据（1）的解答求g（a）的最值．【解答】解：f（x）=ax2﹣2x+1的对称轴为x=，∵≤a≤1，∴1≤≤3，∴f（x）在[1，3]上的最小值f（x）min=N（a）=f（）=1﹣．∵f（x）=ax2﹣2x+1在区间[1，3]上的最大值为M（a），最小值为N（a），∴①当1≤≤2，即≤a≤1时，M（a）=f（3）=9a﹣5，N（a）=f（）=1﹣．g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+﹣6．②当2＜≤3时．即≤a＜时，M（a）=f（1）=a﹣1，N（a）=f（）=1﹣．g（a）=M（a）﹣N（a）=a+﹣2．∴g（a）=．（2）由（1）可知当≤a≤1时，g（a）=M（a）﹣N（a）=9a+﹣6≥0，当且仅当a=时取等号，所以它在[，1]上单调递增；当≤a＜时，g（a）=M（a）﹣N（a）=a+﹣2≥0，当且仅当a=1时取等号，所以g（a）在[]单调递减．∴g（a）的最小值为g（）=9×．【点评】本题考查函数的解析式的求法以及分段函数的最值求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分类讨论思想的合理运用．。

一、选择题（本大题共小题，每分，共分A，B均为集合U={1，3，5，7，9}的子集,且A∩B={3},∩A={9},则A=（ ） A．{1，3} B．{3，7，9} C．{3，5，9} D．{3，9} 2. 已知集合，则集合=（ ）A． B. C. D. 3. 下列各组函数中，表示同一函数的是 （ ） A． B． C． D． 4. 已知，则f(3)为（ ）A 2B 3C 4D 5 5. 下图中，可表示函数的图像的只可能是（ ） 6. 设全集，集合则的值是 ( )A. 2B. 8C. -2或８D.２或８ 7. 如果集合A={x|ax2＋2x＋1=0}中只有一个元素，则a的值是（ ） A．0 B．0 或1 C．1 D．不能确定图中阴影部 ） 9、集合M={x|x=+,k∈Z},N={x|x=k+,k∈Z}，则 （ ）CA、M=NB、M(NC、N(MD、M∩N=( 10、已知函数的定义域为,则函数的定义域为 BA.(-,-1)B.(-1,-)C.(-5,-3)D.(-2,-) 二填空题：本大题共小题，每分，共分。

定义一种集合运算AB＝{x|x(A∪B)，且x(A∩B)}，设M＝，N＝，则MN所表示的集合是________． 则a的值为 。

13. ,，则A∩B= 。

14. 从甲地到乙地途经丙地，其中甲、乙两地相距200千米，甲、丙两地相距离80千米，某人开汽车以40千米/小时的速度从甲地到达乙地，在丙地停留1小时，把汽车离开甲地的路程表示为时间（小时）的函数表达式是 15. 已知，那么 。

三、解答题：本大题共6小题，共75分。

16．．（本小题满分12分） （1）求的值；（2）当时，求的值域。

（本小题满分1分）已知二次函数f（x）满足f（x+1）f（x）=2 x且f（0）=1． （Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）在区间[1，1]上求yf（x）的值域．在区间[，1]上求yf（x）的值域．（本小题满分1分）[ 21．（本小题满分1分）． (1)利用绝对值及分段函数知识，将函数解析式写成分段函数，然后在给定的坐标系中画出函数图像（不需列表）； （2）若函数f（x）1（3）。

湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣12．已知复数，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．554．下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p为：对∀x∈R均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．“x＞2“是“x2﹣3x+2＞0“的充分不必要条件D．若p∧q是假命题，则¬p，¬q均为假命题5．已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象6．已知二项式（x2+）n（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（）A．B．C．D．7．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣28．椭圆的焦点为F1和F2，过点F1的直线l交椭圆于P，Q两点，且，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件10．P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（）A．四边形ABCD对角线交点B．AC中点C．BD中点D．CD边上一点11．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（）A． B．C．D．112．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．14．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．15．已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B两点，则AB的最小值为．16．给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①f（﹣）=；②f（3.4）=﹣0.4；③f（﹣）＜f（）；④y=f（x）的定义域是R，值域是[﹣]；则其中真命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f （A）=，试判断△ABC的形状．18．（12分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=3b n﹣λ•，（λ∈R），若数列{c n}是递增数列，求λ的取值范围．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．20．（12分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．21．（12分）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长；（3）若圆C与直线2x﹣y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m 的值｡22．（10分）设a∈R，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0．湖北省宜昌市长阳一中2015-2016学年高三（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本小题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={﹣1，0，1}，N={a，a2}则使M∩N=N成立的a的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．1或﹣1考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：由M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，知，由此能求出a的值．解答：解：∵M={﹣1，0，1}，N={a，a2}，M∩N=N，∴，解得a=﹣1．故选C．点评：本题考查交集及其运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．2．已知复数，则•i在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：求出复数的共轭复数，代入•i化简为a+bi（a，b∈R）的形式，可以确定所在象限．解答：解：．实部，虚部，对应点为（，）．在第二象限，故选B．点评：本题考查复数的基本概念，复数代数形式的乘除运算，考查学生计算能力，是基础题．3．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：计算题．分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s的值．解答：解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．4．下列命题错误的是（）A．对于命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p为：对∀x∈R均有x2+x+1≥0B．命题“若x2﹣3x+2=0则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”C．“x＞2“是“x2﹣3x+2＞0“的充分不必要条件D．若p∧q是假命题，则¬p，¬q均为假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：根据特称命题的否定方法，可判断A；写出原命题的逆否命题，可判断B；根据充要条件的定义，可判断C；根据复合命题真假判断的真值表，可判断D．解答：解：若命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则¬p为：对∀x∈R均有x2+x+1≥0，故A正确；命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，故B正确；“x2﹣3x+2＞0”⇔“x＜1，或x＞2”，故“x＞2“是“x2﹣3x+2＞0“的充分不必要条件，故C正确；若p∧q是假命题，p，q中存在假命题，则¬p，¬q中存在真命题，故D错误；故选：D点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了特称命题的否定，四种命题；充要条件，复合命题真假判断的真值表，难度中档．5．已知，则下列结论中正确的是（）A．函数y=f（x）•g（x）的周期为2B．函数y=f（x）•g（x）的最大值为1C．将f（x）的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象D．将f（x）的图象向右平移个单位后得到g（x）的图象考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：常规题型．分析：先将函数f（x），g（x）根据诱导公式进行化简，再求出f（x）g（x）的解析式，进而得到f（x）g（x）的最小正周期和最大值可排除A，B；再依据三角函数平移变换法则对C，D进行验证即可．解答：解：∵，∴f（x）=cosx，g （x）=sinx∴f（x）g（x）=sinxcosx=sin2x，T=，排除A，，排除B；将f（x）的图象向左平移个单位后得到y=cos（x+）=﹣sinx≠g（x），排除C；将f（x）的图象向右平移个单位后得到y=cos（x﹣）=sinx=g（x），故选D．点评：本题主要考查三角函数的诱导公式和平移变换．三角函数的平移变换第一步先将函数化为同名函数，然后根据左加右减上加下减的原则平移．6．已知二项式（x2+）n（n∈N*）展开式中，前三项的二项式系数和是56，则展开式中的常数项为（）A．B．C．D．考点：二项式定理的应用．专题：计算题．分析：由++=56可求得n，再利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的常数项．解答：解：∵++=56，∴1+n+=56，∴n2+n﹣110=0，∴n=10或n=﹣11（舍去）．设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=•x2（10﹣r）••=••，令20﹣r=0得：r=8．∴展开式中的常数项为：T9=•=．故选A．点评：本题考查二项式定理的应用，求得n是关键，考查分析运算能力，属于中档题．7．已知两点A（1，0），B（1，），O为坐标原点，点C在第二象限，且∠AOC=120°，设=﹣2，，（λ∈R），则λ等于（）A．﹣1 B．2 C．1 D．﹣2考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：根据已知条件可以求出C点坐标C（），再根据∠AOC=120°，便有tan120°= =，所以解得λ=1．解答：解：；即，又∠AOC=120°所以：，解得λ=1．故选C．点评：考查向量加法、数乘的坐标运算，以及正切函数的定义．8．椭圆的焦点为F1和F2，过点F1的直线l交椭圆于P，Q两点，且，，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：利用椭圆的定义可求得直角三角形PQF2的周长，进一步可求得|PF2|与|PF1|，在直角三角形PF1F2中可求得|F1F2|，从而可求得答案．解答：解：由椭圆的定义得：|PF1|+|PF2|=2a，|QF1|+|QF2|=2a，∴△PQF2的周长为l=4a；∵，，∴△PQF2为等腰直角三角形，设|PF2|=x，则x+x+x=4a，∴x==a，∵|PF1|+|PF2|=2a，∴|PF1|=2a﹣|PF2|=2a﹣a=a，∵△PF1F2为直角三角形，∴=+∴=2c=a，∴该椭圆的离心率e===（﹣1）=﹣．故选B．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|F1F2|的长度是关键，也是难点，考查综合分析与运算的能力，属于难题．9．“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据两条直线平行的条件，建立关于m的关系式，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：当m=2，两直线方程分别为：3x+4y+5=0与直线2x+2y﹣6=0此时两直线平行，充分性成立．则当m=0时，两直线方程分别为3x+y+7=0或y=0，此时两直线不平行，当m≠0，若两直线平行，则，即m2+m=6且，解得m=2或m=﹣3，且m≠﹣2，即m=2或m=﹣3，即必要性不成立，“m=2”是“直线3x+（m+1）y﹣（m﹣7）=0与直线mx+2y+3m=0平行”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题在两条直线平行的情况下求参数m的值．着重考查了直线的方程与直线的位置关系等知识，属于基础题．在判断两条直线平行时，应该注意两条直线不能重合，否则会出现多解而致错．10．P为四边形ABCD所在平面上一点，，则P为（）A．四边形ABCD对角线交点B．AC中点C．BD中点D．CD边上一点考点：向量的加法及其几何意义．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的三角形法则可得：，．由于，可得，即．即可得出．解答：解：∵，．又，∴，∴．∴点P为线段AC的中点．故选：B．点评：本题考查了向量的三角形法则和中点公式，属于基础题．11．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，则点B到平面EFG的距离为（）A． B．C．D．1考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：利用题设条件推导出BD∥平面EFG，从而得到BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离，作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．解答：解：如图，连接EG、FG、EF、BD、AC、EF、BD分别交AC于H、O．因为ABCD是正方形，E、F分别为AB和AD的中点，故EF∥BD，H为AO的中点．由直线和平面平行的判定定理知BD∥平面EFG，所以BD和平面EFG的距离就是点B到平面EFG的距离．∵BD⊥AC，∴EF⊥HC．∵GC⊥平面ABCD，∴EF⊥GC，∵HC∩GC=C，∴EF⊥平面HCG．∵EF⊂平面EFG，∴平面EFG⊥平面HCG，HG是这两个垂直平面的交线．作OK⊥HG交HG于点K，由两平面垂直的性质定理知OK⊥平面EFG，所以线段OK的长就是点B到平面EFG的距离．∵正方形ABCD的边长为4，GC=2，∴AC=4，HO= ，HC=3 ．∴在Rt△HCG中，HG= = ．由于Rt△HKO和Rt△HCG有一个锐角是公共的，故Rt△HKO∽△HCG．∴OK===．即点B到平面EFG的距离为．故选B．点评：本小题主要考查直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、点到平面的距离等有关知识，考查学生的空间想象能力和思维能力，属于中档题．解决此类问题应该注意从三维空间向二维平面的转化，从而找到解题的捷径．12．已知圆O：x2+y2﹣4=0，圆C：x2+y2+2x﹣15=0，若圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积的取值范围是（）A．B．C．D．考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：△OAB面积的大小与线段AB的大小有关，要求△OAB面积的取值范围，只需求出AB的范围，即可求解．解答：解：圆O的切线l交圆C于A，B两点，则△OAB面积，S=，圆O：x2+y2﹣4=0，的半径为r=2，AB是圆C：x2+y2+2x﹣15=0的弦长，圆C：x2+y2+2x﹣15=0的圆心（﹣1，0），半径为：4，圆心到AB的距离最小时，AB最大，圆心到AB的距离最大时，AB最小，如图：AB的最小值为：2=2；AB的最大值为：2=2；∴△OAB面积的最小值为：．∴△OAB面积的最大值为：．△OAB面积的取值范围是：．故选：A．点评：本题考查两个圆的位置关系，直线与圆的位置关系，考查计算能力．二、填空题：本小题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分在求面积中的应用．专题：计算题．分析：由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积．解答：解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．故答案为：．点评：本题考查导数的几何意义，考查定积分在求面积中的应用，求得题意中过点（1，2）处的切线方程是关键，考查作图与运算能力，属于中档题．14．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积为．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出体积后，相减可得答案．解答：解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，棱柱和棱锥的底面均为侧视图，故底面面积S=×4×4=8，棱柱的高为8，故体积为64，棱锥的高为4，故体积为：，故组合体的体积V=64﹣=，故答案为：点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．15．已知点P（x，y）满足，过点P的直线l与圆C：x2+y2=14相交于A、B两点，则AB的最小值为 4 ．考点：简单线性规划．专题：计算题．分析：通过约束条件画出可行域，确定P的位置使得到圆心的距离最大，然后求出弦长的最小值．解答：解：点P（x，y）满足，P表示的可行域如图阴影部分：原点到直线x+y=4的距离为OD，所以当P在可行域的Q点时，Q到圆心O的距离最大，当AB⊥OQ时，AB最小．Q的坐标由确定，Q（1，3），OQ= =，所以AB=2 =4．故答案为：4．点评：本题考查简单的线性规划，正确画出可行域判断P的位置，是解题的关键．16．给出定义：若m﹣（其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}=m在此基础上给出下列关于函数f（x）=x﹣{x}的四个命题：①f（﹣）=；②f（3.4）=﹣0.4；③f（﹣）＜f（）；④y=f（x）的定义域是R，值域是[﹣]；则其中真命题的序号是①③．考点：命题的真假判断与应用．专题：压轴题；新定义．分析：在理解新定义的基础上，求出{﹣}、{3.4}、{﹣ }、{ }对应的整数，进而利用函数f（x）=x﹣{x}可判断①②③的正误；而对于④易知f（x）=x﹣{x}的值域为（，]，则④错误．此时即可作出选择．解答：解：①∵﹣1﹣＜﹣≤﹣1+∴{﹣}=﹣1∴f（﹣）=﹣﹣{﹣}=﹣+1=，∴①正确；②∵3﹣＜3.4≤3+∴{3.4}=3∴f（3.4）=3.4﹣{3.4}=3.4﹣3=0.4∴②错误；③∵0﹣＜﹣≤0+∴{﹣}=0∴f（﹣）=﹣﹣0=﹣，∵0﹣＜≤0+∴{}=0∴f（）=﹣0=，∴③正确；④中，令x=m+a，a∈（﹣，]∴f（x）=x﹣{x}=a∈（﹣，]∴④错误．故答案为：①③．点评：本题考查的知识点函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求函数值、值域的方法，对4个结论进行验证．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知向量=（sin，1），=（cos，cos2）．记f（x）=•．（Ⅰ）若f（x）=，求cos（﹣x）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f （A）=，试判断△ABC的形状．考点：解三角形；平面向量的综合题．专题：综合题．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积公式、二倍角公式及辅助角公式，化简函数，再利用，即可求的值；（Ⅱ）利用正弦定理，将边转化为角，求得B=，再利用，求得A=，即可判断三角形的形状．解答：解：（Ⅰ）∵向量．∴f（x）===∵，∴，∴∴∴（Ⅱ）∵（2a﹣c）cosB=bcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（B+C）=sinA∵sinA＞0，∴cosB=∵B∈（0，π），∴B=∵B∈（0，π），∴B=∵，∴∴或∴A=或A=π（舍去）∴C=∴△ABC为正三角形．点评：本题考查向量与三角函数知识的综合，考查三角函数的化简，考查正弦定理的运用，正确运用公式是关键．18．（12分）已知等差数列{a n}，其前n项和为S n，等比数列{b n}的各项均为正数，公比是q，且满足：a1=3，b1=1，b2+S2=12，S2=b2q．（Ⅰ）求a n与b n；（Ⅱ）设c n=3b n﹣λ•，（λ∈R），若数列{c n}是递增数列，求λ的取值范围．考点：等差数列的性质；数列的函数特性．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由题目给出的已知条件b2+S2=12，S2=b2q，列关于等差数列的第二项及等比数列的公比的二元方程组，求出等差数列的第二项及等比数列的公比，则an与bn可求；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的an与bn代入cn=3bn﹣λ•（λ∈R），整理后把cn+1＞cn转化为含有λ和n的表达式，分离参数后利用函数的单调性求函数的最小值，从而求出λ的取值范围．解答：解：（Ⅰ）由S2=a1+a2=3+a2，b2=b1q=q，且b2+S2=12，S2=b2q．∴q+3+a2=12，3+a2=q2，消去a2得：q2+q﹣12=0，解得q=3或q=﹣4（舍），∴a2=q2﹣3=6，则d=a2﹣a1=6﹣3=3，从而an=a1+（n﹣1）d=3+3（n﹣1）=3n，bn=3n﹣1；（Ⅱ）∵an=3n，bn=3n﹣1，∴cn=3bn﹣λ• =3n﹣λ•2n．∵cn+1＞cn对任意的n∈N*恒成立，即：3n+1﹣λ•2n+1＞3n﹣λ•2n恒成立，整理得：λ•2n＜2•3n对任意的n∈N*恒成立，即：λ＜2•对任意的n∈N*恒成立．∵y=2•在区间[1，+∞）上单调递增，∴ymin=3，∴λ＜3．∴λ的取值范围为（﹣∞，3）．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了利用分离变量法求参数的范围问题，借助于函数单调性求函数的最小值是解答此题的关键，此题是中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点，PA=PD=AD=2（1）点M在线段PC上，PM=tPC，试确定t的值，使PA∥平面MQB；（2）在（1）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定．专题：计算题；证明题．分析：（1）当t= 时，PA∥平面MQB，若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N，根据线面平行得到PA∥MN，从而，即PM= PC，从而求出t的值；（2）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，先求出平面MQB的法向量，取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，根据公式即可求出二面角M﹣BQ﹣C的大小．解答：解：（1）当t=时，PA∥平面MQB下面证明：若PA∥平面MQB，连AC交BQ于N由AQ∥BC可得，△ANQ∽△BNC，∴…（2分）PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面MQB=MN，∴PA∥MN…（4分）即：PM=PC∴t=…（6分）（2）由PA=PD=AD=2，Q为AD的中点，则PQ⊥AD．．（7分）又平面PAD⊥平面ABCD，所以PQ⊥平面ABCD，连BD，四边形ABCD为菱形，∵AD=AB，∠BAD=60°△ABD为正三角形，Q为AD中点，∴AD⊥BQ…（8分）以Q为坐标原点，分别以QA、QB、QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点坐标为A（1，0，0），B（0，，0），Q（0，0，0），P（0，0，）设平面MQB的法向量为，可得而PA∥MN∴，取z=1，解得…（10分）取平面ABCD的法向量设所求二面角为θ，则则故二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°…（12分）点评：本题主要考查了线面平行的判断，以及利用空间向量的方法度量二面角的平面角，同时考查了空间想象能力，论证推理能力，属于中档题．20．（12分）某高校在2011年的自主招生考试成绩中随机抽取100名学生的笔试成绩，按成绩分组：第1组[75，80），第2组[80，85），第3组[85，90），第4组[90，95），第5组[95，100]得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）分别求第3，4，5组的频率；（Ⅱ）若该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，（A）已知学生甲和学生乙的成绩均在第三组，求学生甲和学生乙同时进入第二轮面试的概率；（B）学校决定在这6名学生中随机抽取2名学生接受考官D的面试，第4组中有ξ名学生被考官D面试，求ξ的分布列和数学期望．考点：随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（I）根据频率分步直方图的性质，根据所给的频率分步直方图中小矩形的长和宽，求出矩形的面积，即这组数据的频率．（II）（A）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C303，满足条件的事件数是C281，根据等可能事件的概率公式，得到结果．（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2，该变量符合超几何分布，根据超几何分布的概率公式写出变量的概率，写出这组数据的分布列和期望值．解答：解：（Ⅰ）根据所给的频率分步直方图中小正方形的长和宽，得到第三组的频率为0.06×5=0.3；第四组的频率为0.04×5=0.2；第五组的频率为0.02×5=0.1．（Ⅱ）（A）由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件数是C303，设M：学生甲和学生乙同时进入第二轮面试满足条件的事件数是C281，∴P（M）==（B）由题意知变量ξ的可能取值是0，1，2该变量符合超几何分布，∴∴分布列是ξ0 1 2P∴点评：本题考查频率分步直方图的性质，考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查超几何分布，本题是一个概率与统计的综合题目．21．（12分）已知方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0的曲线是圆C（1）求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长；（3）若圆C与直线2x﹣y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，求m 的值｡考点：直线与圆的位置关系；一元二次方程的根的分布与系数的关系；点到直线的距离公式；二元二次方程表示圆的条件．专题：计算题．分析：（1）圆的方程化为标准形式，利用右侧大于0，即可求m的取值范围；（2）当m=﹣2时，通过弦心距，半径，半弦长满足勾股定理，求圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长；（ 3）若圆C与直线2x﹣y+1=0相交于M，N两点，且以MN为直径的圆过坐标原点O，得到，设M（x1，y1），N（x2，y2），推出x1x2+y1y2=0，联立，推出x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，求m的值｡解答：解（1）方程x2+y2﹣2mx﹣4y+5m=0化为：（x﹣m）2+（y﹣2）2=m2﹣5m+4方程表示圆的方程，所以m2﹣5m+4＞0解得：m＜1或m＞4；（2）设m=﹣2，圆心为C（﹣2，2），半径R=3，圆心到直线的距离为，圆C截直线l：2x﹣y+1=0所得弦长为：（3）以MN为直径的圆过坐标原点O，即OM⊥ON设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2+y1y2=0由整理得 5x2﹣（2m+4）x+5m﹣3=0，，x1x2+y1y2=5x1x2+2（x1+x2）+1=0，，经检验，此时△=（2m+4）2﹣20（5m﹣3）＞0∴点评：本题考查直线与圆的位置故选，圆的方程的判断，考查函数与方程的思想，转化思想．设而不求的解题方法，考查计算能力．22．（10分）设a∈R，解关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0．考点：一元二次不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：利用ax2+（1﹣2a）x﹣2=（x﹣2）（ax+1），于是有（x﹣2）（ax+1）＞0，对a分类讨论，同时要注意比较根的大小，依次求解即可得到答案．解答：解：∵关于x的不等式ax2+（1﹣2a）x﹣2＞0，∴因式分解可形为（x﹣2）（ax+1）＞0，①当a=0时，不等式即为x﹣2＞0，故不等式的解为{x|x＞2}；②当a＞0时，不等式即为（x﹣2）（x+）＞0，∵﹣＜2，故不等式的解为{x|x＜﹣或x＞2}；③当﹣＜a＜0时，不等式即为（x﹣2）（x+）＜0，∵2＜﹣，故不等式的解为{x|2＜x＜﹣}；④当a=﹣时，不等式即为（x﹣2）2＜0，故不等式的解为∅；⑤当a＜﹣时，不等式即为（x﹣2）（x+）＜0，∵﹣＜2，故不等式的解为{x|﹣＜x＜2}．综上所述，当a=0时，不等式的解为{x|x＞2}，当a＞0时，不等式的解为{x|x＜﹣或x＞2}，当﹣＜a＜0时，不等式的解为{x|2＜x＜﹣}，当a=﹣时，不等式的解为∅，当a＜﹣时，不等式的解为{x|﹣＜x＜2}．点评：本题考查了一元二次不等式的解法．求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．属于基础题．如果方程的根的大小关系部确定，则需要进行分类讨论求解．属于中档题．。

2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题：1．（2014•南昌模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}2．（2014春•奉新县校级期末）不等式的解集是（）A．B．∪（0，+∞）C．∪（0，+∞）D．3．（2014秋•桥西区校级期中）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要4．（2013•河北）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q5．（2011•东莞二模）若双曲线过点（m，n）（m＞n＞0），且渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上6．（2014•荆州二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC．D．2π7．（2010春•祁阳县校级期末）方程所表示的曲线是（）A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分8．（2013秋•尖山区校级期中）设圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．4＜r＜6 C．r＞4 D．r＞59．（2014•荆州二模）设一组数x1，x2，…，x3的平均数是，标准差是s，则另二组数2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数和标准差分别是（）A．2，2s B．2+1，s C．2+1，2s D．2，s10．（2015春•三峡区校级期中）设θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线11．（2003•天津）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=112．（2014•河北）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）二、填空题：13．（2015秋•宜昌校级月考）下列四个命题：①∀x∈R，x2+x+1≥0；②∀x∈Q，是有理数．③∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；④∃x，y∈Z，使3x﹣2y=10所有真命题的序号是．14．（2014•荆州二模）已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在上的投影为．15．（2014•红河县校级学业考试）设变量x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为．16．（2014•荆州二模）如图所示的三角形数阵叫”莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有死个数且两端的数均为告（砖≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，=+，=+，…，则第10行第3个数（从左往右数）为；第n（n≥3）行第3个数（从左往右数）为．三、解答题：17．（2015秋•宜昌校级月考）在平面直角坐标系xoy中，以C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y+3+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线L，使得圆C上存在两点M，N关于L对称，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．（3）求圆C的过原点弦长最短的弦所在直线的方程．18．（2014•河北）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？19．（2014•荆州二模）如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，E，F分别为DD1，DB的中点．（1）试判断EF与平面ABC1D1的关系，并加以证明；（2）求EF与B1C所成的角；（3）求三棱锥B﹣EFC的体积．20．（2014•荆州二模）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．21．（2014•荆州二模）已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使•=λ2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．22．（2014•河北）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2015-2016学年湖北省宜昌市长阳一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1．（2014•南昌模拟）集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=cosx，x∈A}，则A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{﹣1，0，1}考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求出B={cos1，1}，利用两个集合的交集的定义求得A∩B．解答：解：∵A={﹣1，0，1}，∴B={y|y=cosx，x∈A}={cos1，1}，则A∩B={1 }，故选B．点评：本题考查集合的表示方法、两个集合的交集的定义和求法，求出B={cos1，1} 是解题的关键．2．（2014春•奉新县校级期末）不等式的解集是（）A．B．∪（0，+∞）C．∪（0，+∞）D．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：分两种情况考虑：当x大于0时，在不等式左右两边同时乘以x，不等号方向不变，去分母后求出不等式的解集；当x小于0时，在不等式左右两边同时乘以x，不等号方向改变，去分母后求出不等式的解集，综上，求出两解集的并集，即可得到原不等式的解集．解答：解：不等式＞﹣3，当x＞0时，去分母得：2＞﹣3x，解得：x＞﹣，此时不等式解集为x＞0；当x＜0时，去分母得：2＜﹣3x，解得：x＜﹣，此时不等式的解集为x＜﹣，综上，原不等式的解集为（﹣∞，﹣）∪（0，+∞）．故选B点评：此题考查了其他不等式的解法，利用了分类讨论的思想，熟练掌握不等式的基本性质是解本题的关键．3．（2014秋•桥西区校级期中）“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，集合充分条件和必要条件的定义即可的结论．解答：解：若（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直，则（m+2）（m+2）+3m（m﹣2）=0，即2m2﹣m+2=0，此时方程无解．所以“m=”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y﹣3=0相互垂直”的既不充分不必要条件，故选：D点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用直线垂直的等价条件是解决本题的关键．4．（2013•河北）已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2，则下列命题中为真命题的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q考点：复合命题的真假．专题：阅读型；简易逻辑．分析：举反例说明命题p为假命题，则￢p为真命题．引入辅助函数f（x）=x3+x2﹣1，由函数零点的存在性定理得到该函数有零点，从而得到命题q为真命题，由复合命题的真假得到答案．解答：解：因为x=﹣1时，2﹣1＞3﹣1，所以命题p：∀x∈R，2x＜3x为假命题，则￢p为真命题．令f（x）=x3+x2﹣1，因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=1＞0．所以函数f（x）=x3+x2﹣1在（0，1）上存在零点，即命题q：∃x∈R，x3=1﹣x2为真命题．则￢p∧q为真命题．故选B．点评：本题考查了复合命题的真假，考查了指数函数的性质及函数零点的判断方法，解答的关键是熟记复合命题的真值表，是基础题．5．（2011•东莞二模）若双曲线过点（m，n）（m＞n＞0），且渐近线方程为y=±x，则双曲线的焦点（）A．在x轴上 B．在y轴上C．在x轴或y轴上D．无法判断是否在坐标轴上考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先假设焦点在x轴，根据渐近线方程设出双曲线方程，把点（m，n）代入方程，结果符合题意；再假设焦点在y轴时，把点（m，n）代入方程，根据m和n的大小可知，不符合题意．最后综合可得结论．解答：解：假设焦点在x轴上，根据渐近线方程为y=±x可知双曲线的实轴和虚轴长度相同，设双曲线方程为x2﹣y2=t2（t≠0）∵m＞n，∴m2﹣n2=t2符合；假设焦点在y轴，依题意可设双曲线方程为y2﹣x2=t2把点（m，n）代入双曲线方程得n2﹣m2=t2∵m＞n∴n2﹣m2＜0，与n2﹣m2=t2＞0矛盾．故假设不成立．双曲线的焦点只能在x轴上．故选A．点评：本通主要考查了双曲线的简单性质．考查了对双曲线基础知识的理解，分类讨论思想的运用．6．（2014•荆州二模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．πC．D．2π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，再根据球与圆柱的体积公式计算即可．解答：解：由三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，∴几何体的体积V=π×12×2﹣π×13=．故选A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．7．（2010春•祁阳县校级期末）方程所表示的曲线是（）A．双曲线的一部分B．椭圆的一部分C．圆的一部分D．直线的一部分考点：曲线与方程．专题：计算题．分析：方程两边平方后可整理出椭圆的方程，由于x的值只能取非负数，推断出方程表示的曲线为一个椭圆的一部分．解答：解：两边平方，可变为x2+4y2=1（x≥0），表示的曲线为椭圆的一部分；故选B点评：本题主要考查了曲线与方程．解题的过程中注意x的范围，注意数形结合的思想．8．（2013秋•尖山区校级期中）设圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1，则圆半径r的取值范围是（）A．3＜r＜5 B．4＜r＜6 C．r＞4 D．r＞5考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：先求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径结合在一起考虑，求出圆上有三个点到直线的距离等于1，以及圆上只有一个点到直线的距离等于1的条件，可得要求的r的范围．解答：解：∵圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）的圆心到直线4x﹣3y﹣2=0的距离为：，当r=4时，圆上只有一个点到直线的距离等于1，当r=6时，圆上有三个点到直线的距离等于1，∴圆（x﹣3）2+（y+5）2=r2（r＞0）上有且仅有两个点到直线4x﹣3y﹣2=0的距离等于1时，圆的半径r的取值范围是：4＜r＜6，故选：B．点评：本题考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．9．（2014•荆州二模）设一组数x1，x2，…，x3的平均数是，标准差是s，则另二组数2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的平均数和标准差分别是（）A．2，2s B．2+1，s C．2+1，2s D．2，s考点：极差、方差与标准差．专题：概率与统计．分析：根据x1，x2，x3，…，x n的平均数为5得到n个数据的关系，把这组数据做相同的变化，数据的倍数影响平均数和方差，后面的加数影响平均数，不影响方差．解答：解：∵x1，x2，x3，…，x n的平均数是，∴（x1+x2+x3+…+x n）=，∴[（2x1+1）+（2x2+1）+…+（2x n+1）]=（2x1+2x2+…+2x n）+1=2×（x1+x2+x3+…+x n）+1=2+1，∵x1，x2，x3，…，x n的标准差是s，方差为s2，∴2x1+1，2x2+1，2x3+1，…，2x n+1的方差是22×s2则2x1+1，2x2+1，…，2x n+1的标准差是2s．故选：C．点评：本题考查平均数和方差的变换特点，若在原来数据前乘以同一个数，平均数也乘以同一个数，而方差要乘以这个数的平方，在数据上同加或减同一个数，方差不变．10．（2015春•三峡区校级期中）设θ是△ABC的一个内角，且sinθ+cosθ=，x2sinθ﹣y2cosθ=1表示（）A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线考点：圆锥曲线的共同特征．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把sinθ+cosθ=，两边平方可得，sinθ•cosθ=﹣＜0，可判断θ为钝角，cosθ＜0，从而判断方程所表示的曲线．解答：解：因为θ∈（0，π），且sinθ+cosθ=，两边平方可得，sinθ•cosθ=﹣＜0，可判断θ为钝角，cosθ＜0所以，θ∈（，π），且|sinθ|＞|cosθ|，所以x2sinθ﹣y2cosθ=1表示焦点在y轴上的椭圆．故选：B．点评：本题考查椭圆的标准方程形式，由三角函数式判断角的取值范围是关键．11．（2003•天津）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1考点：双曲线的标准方程．分析：先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．解答：解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．点评：本题主要考查代数方法解决几何问题，同时考查双曲线的标准方程与性质等．12．（2014•河北）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理．专题：综合题；导数的概念及应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值f（）＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=±，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0 （0，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax（x﹣）=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：x （﹣∞，）（，0）0 （0，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＞0，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．二、填空题：13．（2015秋•宜昌校级月考）下列四个命题：①∀x∈R，x2+x+1≥0；②∀x∈Q，是有理数．③∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；④∃x，y∈Z，使3x﹣2y=10所有真命题的序号是①，②，③，④．考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：由x2+x+1=≥，知∀x∈R，x2+x+1≥0；∀x∈Q，是有理数；由sin（0+0）=sin0+sin0=0，知∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ；由x=4，y=1时，3x﹣2y=10，知∃x，y∈Z，使3x﹣2y=10成立．解答：解：∵x2+x+1=≥，∴①∀x∈R，x2+x+1≥0成立；②∀x∈Q，是有理数，成立；∵sin（0+0）=sin0+sin0=0，∴③∃α，β∈R，使sin（α+β）=sinα+sinβ成立；∵x=4，y=1时，3x﹣2y=10，∴④∃x，y∈Z，使3x﹣2y=10成立．故答案为：①，②，③，④．点评：本题考查命题的真假判断及其应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．14．（2014•荆州二模）已知向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，则向量在上的投影为．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的定义和投影的定义即可得出．解答：解：∵向量，满足=（1，），•（﹣）=﹣3，∴=2，﹣22=﹣3，化为=．∴向量在上的投影为．故答案为：．点评：本题考查了数量积的定义和投影的定义，属于基础题．15．（2014•红河县校级学业考试）设变量x，y满足约束条件，则3x﹣y的最大值为6．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=3x﹣y，利用z的几何意义，即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=3x﹣y，即y=3x﹣z，平移直线y=3x﹣z，由图象可知当直线y=3x﹣z经过点C（2，0）时，直线y=3x﹣z的截距最小，此时z最大，即z=6，故答案为：6．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．16．（2014•荆州二模）如图所示的三角形数阵叫”莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有死个数且两端的数均为告（砖≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如=+，=+，=+，…，则第10行第3个数（从左往右数）为；第n（n≥3）行第3个数（从左往右数）为．考点：归纳推理．专题：规律型．分析：根据“莱布尼兹调和三角形”的特征，每个数是它下一个行左右相邻两数的和，得出将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，就得到一个莱布尼兹三角形，从而可求出第n（n≥3）行第3个数字，进而可得第10行第3个数．解答：解：将杨晖三角形中的每一个数C n r都换成分数，就得到莱布尼兹三角形．∵杨晖三角形中第n（n≥3）行第3个数字是C n﹣12，则“莱布尼兹调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是=，∴第10行第3个数=，故答案为：，点评：本题考查归纳推理，解题的关键是通过观察分析归纳各数的关系，考查学生的观察分析和归纳能力，属中档题．三、解答题：17．（2015秋•宜昌校级月考）在平面直角坐标系xoy中，以C（1，﹣2）为圆心的圆与直线x+y+3+1=0相切．（1）求圆C的方程；（2）是否存在斜率为1的直线L，使得圆C上存在两点M，N关于L对称，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由．（3）求圆C的过原点弦长最短的弦所在直线的方程．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）设出圆的标准方程，求出圆的半径r，写出该圆的方程；（2）假设存在满足题意的直线，方程为y=x+m，则直线必过圆心，把圆心坐标代入直线方程求得m，则直线方程可求；（3）求出经过原点和圆心的直线的斜率，得到过原点且与该直线垂直的直线的斜率，则圆C的过原点弦长最短的弦所在直线的方程可求．解答：解：（1）设圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2，依题意得，a=1，b=﹣2；∴该圆的半径为r=，∴该圆的方程是（x﹣1）2+（y+2）2=9；（2）设存在满足题意的直线，且此直线方程为y=x+m，则直线必过圆心，∴﹣2=1+m，即m=﹣3．∴直线方程为y=x﹣3；（3）经过原点和圆心的直线的斜率为k=，∴过原点且与该直线垂直的直线的斜率为，直线方程为y=．点评：本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查直线与圆相切、圆的基本性质等问题，是中档题．18．（2014•河北）从某企业生产的产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：质量指标值分组[75，85）[85，95）[95，105）[105，115）[115，125）频数 6 26 38 22 8（1）在表格中作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定？考点：极差、方差与标准差；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频率分布直方图做法画出即可；（2）用样本平均数和方差来估计总体的平均数和方差，代入公式计算即可．（3）求出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值，再和0.8比较即可．解答：解：（1）频率分布直方图如图所示：（2）质量指标的样本平均数为=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100，质量指标的样本的方差为S2=（﹣20）2×0.06+（﹣10）2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104，这种产品质量指标的平均数的估计值为100，方差的估计值为104．（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．点评：本题主要考查了频率分布直方图，样本平均数和方差，考查了学习的细心的绘图能力和精确的计算能力．19．（2014•荆州二模）如图所示，在棱长为1的正方体AC1中，E，F分别为DD1，DB的中点．（1）试判断EF与平面ABC1D1的关系，并加以证明；（2）求EF与B1C所成的角；（3）求三棱锥B﹣EFC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）欲证EF∥平面ABC1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证EF与平面ABC1D1内一直线平行，连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，根据中位线定理可知EF∥D1B，满足定理所需条件；（2）先根据线面垂直的判定定理证出B1C⊥平面ABC1D1，而BD1⊂平面ABC1D1，根据线面垂直的性质可知B1C⊥BD1，而EF∥BD1，根据平行的性质可得结论；（3）利用V B﹣EFC=V E﹣BCF，可得结论．解答：解：（1）连接BD1，在△DD1B中，E、F分别为D1D，DB的中点，则EF∥D1B ∵D1B⊂平面ABC1D1，EF⊂平面ABC1D1，∴EF∥平面ABC1D1；（2）根据题意可知：B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵BD1⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥BD1，∵EF∥BD1，∴EF⊥B1C；（3）V B﹣EFC=V E﹣BCF==点评：本题主要考查了线面平行的判定，以及线面垂直的性质和三棱锥体积的计算，同时考查了空间想象能力、运算求解能力、转化与划归的思想，属于中档题．20．（2014•荆州二模）已知函数．（Ⅰ）当时，求函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）若a＞0，讨论f（x）的单调性．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣时，可求得f′（x），令f′（x）=0，可求得极值点，将x的取值情况，f′（x）正负情况及f（x）的增减情况列表，可求得函数f（x）在[1，e]上的最大值和最小值；（Ⅱ）由于2﹣=，对0＜a＜，a=及a＞时分类讨论，根据f′（x）的正负情况即可得到函数的单调区间．解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为{x|x＞0}，…．（1分）当a=﹣时，f′（x）=﹣，…．（2分）令f′（x）=0，在[1，e]上得极值点x=2，x [1，2） 2 （2，e]f′（x）+ 0 ﹣f（x）增2ln2﹣1 减…．（4分）∵f（1）=﹣，f（e）=2﹣，…．（5分）f（1）＜f（e），∴f（x）max=f（2）=2ln2﹣1，f（x）min=f（1）=﹣．…．（7分）（Ⅱ）f′（x）=，…．（8分）①0＜a＜时，由f′（x）＞0得0＜x＜2或x＞，所以f（x）的单调增区间是（0，2），（，+∞），由f′（x）＜0得2＜x＜，所以f（x）的单调减区间是（2，）；…．（10分）②a=时，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，且当且仅当f′（2）=0，∴f（x）在（0，+∞）单调递增；…．（11分）③当a＞时，由f′（x）＞0得0＜x＜或x＞2，所以f（x）的单调增区间是（0，），（2，+∞），由f′（x）＜0得＜x＜2，所以f（x）的单调减区间是（，2）．…．（13分）点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，突出考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想与分析推理能力，属于难题．21．（2014•荆州二模）已知动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）2+y2=64相切，点P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上（不在x轴上）的动点，过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，使•=λ2总成立，若存在，求λ；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求△MNQ的面积S的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）由已知条件推导出点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设直线OQ：x=my，直线MN：x=my﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），联立方程组，得：（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，由此能求出存在符合条件的常数λ．（Ⅲ）由MN∥OQ，知S=S△MNQ=S△MNO=|OA|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|，由此利用均值不等式能求出最大值．解答：解：（Ⅰ）∵动圆P过定点A（﹣3，0），且与圆B：（x﹣3）2+y2=64相切，∴点P到两定点A（﹣3，0）和B（3，0）距离之和等于定圆B的半径，∴|PA|+|PB|=8，∴点P的轨迹是以A、B为焦点，半长轴为4的椭圆，∴曲线C的方程为：．（Ⅱ）∵Q不在x轴上，∴设直线OQ：x=my，∵过点A作OQ的平行线交曲线C于M，N两点，∴直线MN：x=my﹣3，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），则，，联立方程组，消去x，得：（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，∴y1+y2=，，x1x2=（my1﹣3）（my2﹣3）=m2y1y2﹣3m（y1+y2）+9，x1+x2=m（y1+y2）﹣6，∴=（x1+3）•（x2+3）+y1y=x1x2+3（x1+x2）+9+y1y2=（m2+1）y1y2=﹣，联立方程组，消去x，得，y3为其一根，∴=（m2+1）=，∵•=λ，∴﹣49=112λ，解得，∴存在符合条件的常数λ，．（Ⅲ）由（Ⅱ）知（7m2+16）y2﹣42my﹣49=0，y1+y2=，，∵MN∥OQ，∴S=S△MNQ=S△MNO=|OA|•|y1﹣y2|=|y1﹣y2|=•=•==≤2．当且仅当时取等号，∴所求最大值为2．点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线是副产品存在，考查最大值的求法，是中档题．22．（2014•河北）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：平均值不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥2，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）∵2a+3b≥2=2，当且仅当2a=3b时，取等号．而由（1）可知，2≥2=4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。

湖北省长阳县第一高级中学2015届高三起点考试数学（理）试题一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．设全集，集合，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是虚数单位，,则“”是“”的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充分必要条件D ． 既不充分也不必要条件3．已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为 ． ．3 ． ．4． 如图所示，图中曲线方程为，用定积分表达围成封闭图形（阴影部分）的面积是 （ ）A ．B ．C ．220|1|x dx -⎰ D ．122201(1)(1)x dx x dx -+-⎰⎰ 5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率． ． ． ．6．执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=． ． ． ．7．设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=x 2+y 2的取值范围是（ ） A ． B ． C ． ( 1 , 16 ) D ．8． 如图，F 1，F 2是双曲线C 1：与椭圆C 2的公共焦点，点A 是C 1，C 2在第一象限的公共点．若|F 1F 2|＝|F 1A |，则C 2的离心率是A ．B ．C ．D ．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为． ． ．6 ．410．已知()l n (1)l n (1)f x x x =+--，。

现有下列命题： ①；②；③。

其中的所有正确命题的序号是( )A ．①②③B ．②③C ．①③D ．①②二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，满分25分．）11．展开式中的系数为 (用数字作答)．12．若实数满足则的取值范围是13．过点P (－10，0)引直线l 与曲线y ＝－50－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于 ．14．已知双曲线中，是左、右顶点，是右焦点，是虚轴的上端点．若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得△构成以为斜边的直角三角形，则双曲线离心率的取值范围是15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆的直径，为圆周上一点，，过作圆的切线，过作的垂线，垂足为，则 ．16． (选修4-4：坐标系与参数方程) 已知直线l的参数方程为22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(其中t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为，则过直线上的点向圆所引切线长的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分12分) 已知)1,sin 32cos 2(x x +=，，且（1）将表示为的函数，并求的单调增区间；（2）已知分别为的三个内角对应的边长，若，且，，求的面积．18．（本小题满分12分）已知各项均为正数的数列满足：为数列的前项和，且 2，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；(2) 若， 求数列的前项和．19． （本小题满分12分）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A 处每投进一球得3分，在B 处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A 处的命中率，在B 处的命中率为,该同学选择先在A 处投一球，以后都在B 处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分．（Ⅰ）求该同学投篮3次的概率；（Ⅱ）求随机变量的数学期望．第15题图20．（本小题满分12分）如图所示，已知四棱锥P -ABCD 是底面边长为2的菱形，且∠ABC =60°，P A =PB =2，PC =2．（1）求证：平面P AB ⊥平面ABCD ；（2）求二面角A -PC -B 的正弦值。