22.6-三角形梯形的中位线(2)

§22.6三角形的中位线教学目标1、了解三角形的中位线的概念；2、了解三角形的中位线的性质“三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半〃3、能应用三角形中位线概念及定理进行有关的论证和计算4、通过定理证明及一题多解，逐步培养学生的分析问题和解决问题的能力。

教学重点、难点：易掌握，是本节教学的难点。

教学设想：教学过程一、创设情境，引入新课如图，为了测量一个池塘的宽BC,在池塘一侧的平地____上选一点A,再分别找出线段AB、AC的中点D、E,假设测 B 出DE的长,就可以求出池塘的宽BC,你知道这是为什么吗？°A二、合作学习，开展能力：1、动手操作：我们知道将一个三角形怎样分割成一个三角形和一个梯形，只要剪的那条直线平行于三角形的一边就可以提出新的问题：剪一刀，将一张三角形纸片剪成一张三角形纸片和一张梯形纸片求剪得的两张纸片能拼成平行的四边形(1)怎样剪？剪痕的位置有什么要求？(2)要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形做怎样的图形变换？学生动手操作，按“中位线〃位置剪开三角形，并拼出平行四边形(注意提示：在拼之前标好各点名称，并且想好大概怎样拼）2、引导学生概括出中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

问题：（1）三角形有几条中位线？（2）三角形的中位线与中线有什么区别？——启发学生得出：三角形的中位线的两端点都是三角形边的中点，而三角形中线只有一个端点是边中点，另一端点上三角形的一个顶点。

并结合三角形中线的定义，让学生明确两者区别，可做一练习，在/ABC中，画出中线、中位线3、猜测：DE与BC的关系？（位置关系与数量关系）根据刚刚的操作猜测三、师生互动，探究新知人1、证明你的猜测（引导学生写出，求证，并启发分析）1 B c：/ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，求证：DE幺士BC。

2学生独立思考根据刚刚操作，学生容易想到：如图，以点E为旋转中心，把/ADE绕点E, 按顺时针方向旋转180°,得到Z1CFE,那么D,E,F同在一直线上，DE=EF,且ZlADE^ZlCFEo所以证明：延长点E至F,使EF=DE,连接CF易证/ADEg/CFEAZADE=ZF,AD=CF,，AB〃CF。

22.6 三角形、梯形的中位线一、单选题1．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（ ） A ．22B ．26C ．22或26D ．13 2．如图，在ABC 中，7AB =，6AC =，5BC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则DE 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．4D ．3．5 3．如图所示，在ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，6AB =，4AC =，则四边形AEDF 的周长是（ ）A ．10B ．20C ．30D ．40 4．如图，在Rt△ABC 中，△ACB =90°，点D 、E 分别是AB 、BC 的中点，点F 是BD 的中点，若AB =5，则EF =（ ）A ．54B ．52C ．32D ．2 5．如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高线，CE 是AB 边上的中线，DG △CE 于点G ，CD =AE ．若BD =6，CD =5，则△DCG 的面积是（ ）A ．10B ．5C ．103D ．53 6．如图，在ABC ∆中，D 是AB 上一点，,AD AC AE CD =⊥于点E ，点F 是BC 的中点，若10BD =，则EF 的长为（ ）A ．8B ．6C ．5D ．4 7．如图，在梯形ABCD 中，AD △BC ，EF 是梯形ABCD 的中位线，若△BEF 的面积为4cm 2，则梯形ABCD 的面积为（ ）A ．8cm 2B ．12cm 2C ．16cm 2D ．20cm 2 8．如图，在梯形ABCD 中，AD△BC ，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点且EF=6，则AD+BC 的值是( )A ．9B ．10.5C ．12D ．15 9．如图，周长为24的平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，ACCD ⊥且BE CE =，若6AC =，则AOE △的周长为（ ）．A ．6B ．9C ．12D ．15 10．如图，等腰梯形ABCD 中，AB//CD ，点E 、F 、G 、H 分别为各边中点，对角线AC 5=，则四边形EFGH 的周长为( )A ．2.5B ．5C ．10D ．20二、填空题11．在ABCD 中，E 是AD 边上的中点，连接BE ，并延长BE 交CD 的延长线于点F ．已知AB =120A ∠=︒，5BF =：则FD =__________，ABCD S =__________．12．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段．这两条线段的比是3:2，则梯形的上、下底长分别________．13．如图ABC 的中线AE 、BD 交于点G ，过点D 作//DM BC 交AE 于点M ，则AMD 、DMG △和BEG 的面积之比为______．14．如图所示，DE 为△ABC 的中位线，点F 在DE 上，且△AFB ＝90°，若AB ＝4，BC ＝10，则EF 的长为_____．15．如图，在直角梯形ABCD 中，//,90AD BC DAB ABC∠=∠=︒，点E 在DC 上，且ABE △是以AB 为底的等腰直角三角形，若2cm,4cm AD BC ==，则AB =_______cm ，DC =______cm ．三、解答题16．已知：如图，DE是ABC的中位线，AF是BC边上的中线，DE和AF交于点O．求证：DE与AF互相平分．17．如图，在梯形ABCD中，AD△BC，BC＝12，AB＝DC＝8．△B＝60°．（1）求梯形的中位线长．（2）求梯形的面积．18．已知：如图，AB△CD，E是AD中点，CF△AB于F求证:CE=EF．参考答案1．C2．B3．A4．A5．B6．C7．C8．C9．B10．C116212．12，1813．3△1△414．315．616．证明：如图所示，连接DF、EF，△DE是△ABC的中位线，△点D是AB中点、点E是AC中点，又△AF是BC边上的中线，△F是BC中点，△DF、EF是△ABC的中位线，△DF△AC，EF△AB，△四边形ADFE是平行四边形，△DE与AF互相平分．17．解：（1）过A 作AE △CD 交BC 于E ， △AD △BC ，△四边形AECD 是平行四边形， △AD ＝EC ，AE ＝DC ，△AB ＝DC ，△AB ＝AE ，△△B ＝60°，△△ABE 是等边三角形，△BE ＝AB ＝8，△AD ＝EC ＝BC ﹣BE ＝12﹣8＝4， △梯形ABCD 的中位线长＝12（AD +BC ）＝12（4+12）＝8； （2）作AF △BC 于F ，则△BAF ＝90°﹣△B ＝30°，△BF ＝12AB ＝4，AF ＝△梯形ABCD 的面积＝12（AD +BC ）×AF ＝12（4+12）18．取CF 的中点为G ，连接EG ， △AB△CD ，E 是AD 的中点△EG 是梯形AFCD 的中位线， △EG△AB ，△CF△AB ，△CF△EG ，又△G 是CF 的中点，△EG是CF的垂直平分线，△CE=EF．。

八年级第二学期第22章四边形22.6 三角形、梯形的中位线一．选择题（共6小题）1．如图，若DE是ABC∆的中位线，ABC∆的周长为1，则ADE∆的周长为()A．1B．2C．12D．142．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是()A．锐角三角形B．两直角边不等的直角三角形C．钝角三角形D．等腰直角三角形3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A．23B．56C．54D．354．已知ABC∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为()A．12011B．12012C．201112D．2012125．如图，在ABC∆中，点D是BC边上任一点，点F，G，E分别是AD，BF，CF的中点，连结GE，若FGE∆的面积为8，则ABC∆的面积为()A ．32B ．48C ．64D ．726．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 cm ．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米． 9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = ．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 cm ．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 ．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 厘米．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 ．14．如图，已知ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边∆中，ABCAB的中点，8AB=，那么DE的长是．15．如图所示，在Rt ABC∠=︒，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、∆中，90ACBEF=，则AB=．BC的中点，若116．如图，在四边形ABCD中，点E、F分别是边AB、AD的中点，15BC=，9CD=，∠=︒，则ADC∠的度数为．EF=，50AFE617．已知：如图，在ABC∠=︒，D、E、F分别是AC、AB、BC的中点，ACB∆中，90若8CE=，则DF的长是．18．如图，在ABCACB∠=︒，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，∆中，90使2AB=，则DN=．BC CD=，连接DM、DN、MN．若6三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD 中，//AD BC ，延长CB 到点E ，使BE AD =，连接DE 交AB 于点M ．若N 是CD 的中点，且5MN =，2BE =．求BC 的长．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB于点F．求证：点F是AB的中点．24．如图，在ABC∆中，AD是高，E、F分别是AB、AC的中点．（1）12AB=，9AC=，求四边形AEDF的周长；（2）EF与AD有怎样的位置关系？证明你的结论．25．如图，在等边ABC∆中，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使12CF BC=，连结CD和EF．（1）求证：CD EF=；（2）猜想：ABC∆的面积与四边形BDEF的面积的关系，并说明理由．26．如图，在ABC∆中，AE平分BAC∠，BE AE⊥于点E，点F是BC的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EF AC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．参考答案一．选择题（共6小题）1．如图，若DE 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1，则ADE ∆的周长为( )A ．1B ．2C ．12D ．14解：DE Q 是ABC ∆的中位线，ABC ∆的周长为1， 12DE BC ∴=，12AD AB =，12AE AC = ADE ∴∆的周长为12． 故选：C ．2．如果以三角形的一个顶点和其三边的中点为顶点的四边形是正方形，那么这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．两直角边不等的直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形解：如图，在ABC ∆中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的中点，且四边形ADFE 是正方形．Q 点D 、F 分别是边AB 、BC 上的中点， 12DF AC ∴=． 同理12EF AD =． 又Q 四边形ADFE 是正方形， DF EF ∴=，90A ∠=︒， AC AB ∴=，ABC ∴∆是等腰直角三角形．故选：D ．3．我们把梯形下底与上底的差叫做梯形的底差，梯形的高与中位线的比值叫做梯形的纵横比，如果某一等腰梯形腰长为5，底差等于6，面积为24，则该等腰梯形的纵横比等于( )A ．23B ．56C ．54 D ．35解：根据题意做出图形，过A 作BC 边的高AE ， 由题意得：6BC AD -=， 则3BE =， 5AB =Q ，224AE AB AE ∴=-=，又Q 面积为24， ∴1()242AD BC AE +=g ， 代入AE 可得：62AD BC+=， 故等腰梯形的中位线长度为6，则该等腰梯形的纵横比4263==．故选：A ．4．已知ABC ∆的周长为1，连接其三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形的中点构成第三个三角形，以此类推，则第2012个三角形的周长为( )A ．12011B ．12012C ．201112 D ．201212解：Q 连接ABC ∆三边中点构成第二个三角形， ∴新三角形的三边与原三角形的三边的比值为1:2， ∴它们相似，且相似比为1:2，同理：第三个三角形与第二个三角形的相似比为1:2， 即第三个三角形与第一个三角形的相似比为：21:2， 以此类推：第2012个三角形与原三角形的相似比为20111:2， ABC ∆Q 周长为1，∴第2012个三角形的周长为20111:2．故选：C ．5．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 边上任一点，点F ，G ，E 分别是AD ，BF ，CF 的中点，连结GE ，若FGE ∆的面积为8，则ABC ∆的面积为( )A ．32B ．48C ．64D ．72解：G Q ，E 分别是BF ，CF 的中点， GE ∴是BFC ∆的中位线，12GE BC ∴=， FGE ∆Q 的面积为8， BFC ∴∆的面积为32，Q 点F 是AD 的中点，ABF BDF S S ∆∆∴=，FDC AFC S S ∆∆=， ABC ∴∆的面积2BFC =∆的面积64=，故选：C ．6．如图，在四边形ABCD 中，点P 是边CD 上的动点，点Q 是边BC 上的定点，连接AP ，PQ ，E ，F 分别是AP ，PQ 的中点，连接EF ．点P 在由C 到D 运动过程中，线段EF 的长度( )A ．保持不变B ．逐渐变小C ．先变大，再变小D ．逐渐变大解：连接AQ ，Q 点Q 是边BC 上的定点， AQ ∴的大小不变，E Q ，F 分别是AP ，PQ 的中点， 12EF AQ ∴=， ∴线段EF 的长度保持不变，故选：A ．二．填空题（共12小题）7．等腰梯形的周长为30cm ，中位线长为8cm ，则腰长为 7 cm ． 解：Q 上底+下底+两腰=周长，中位线长12=（上底+下底）， 282∴⨯+腰长30=， ∴腰长7cm =，故答案为：7．8．已知梯形的上底长为5厘米，下底长为9厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米．解：梯形的中位线长1(59)72=⨯+=（厘米） 故答案为：7．9．在梯形ABCD 中，//AD BC ，如果4AD =，10BC =，E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，那么EF = 7 ．解：E Q ，F 分别是边AB ，CD 的中点， EF ∴为梯形ABCD 的中位线， 11()(410)722EF AD BC ∴=+=+=． 故答案为7．10．已知一个三角形各边的比为2:3:4，联结各边中点所得的三角形的周长为18cm ，那么原三角形最短的边的长为 8 cm ．解：由题意，设三边分别为2xcm ，3xcm ，4xcm ，则各边中点所得的三角形的边长分别为xcm ，1.5xcm ，2xcm 则 1.5218x x x ++=， 解得4x =， 28x cm ∴=原三角形最短的边的长为8cm ； 故答案为：8．11．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点，点F 在边BC 上，AF 与DE 相交于点G ，如果110AFB ∠=︒，那么CGF ∠的度数是 40︒ ． 解：110AFB ∠=︒Q ，180********AFC AFB ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，Q 点D 、E 分别是边AC 、AB 的中点， DE ∴是ABC ∆的中位线，∴点G 是AF 的中点，CG GF ∴=，180218027040CGF AFC ∴∠=︒-∠=︒-⨯︒=︒．故答案为：40︒．12．已知在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，13AB =厘米，4AD =厘米，高12AH =厘米，那么这个梯形的中位线长等于 9 厘米．【解答】解：过D 作DM BC ⊥于M ，AH BC ⊥Q ， //AH DM ∴，90AHM ∠=︒，//AD BC Q ，∴四边形AHDM 是矩形，12AH DM ∴==厘米，4AD HM ==厘米， 由勾股定理得：222213125BH AB AH =-=-=（厘米）， 同理5CM =（厘米），14BC BH HM CM ∴=++=厘米，∴梯形ABCD 的中位线长是41492+=（厘米）， 故答案为：9．13．如图，在梯形ABCD 中，//AB CD ，AD BC =，对角线AC BD ⊥，且52AC =梯形ABCD 的中位线的长为 5 ．解：过C作//CE BD交AB的延长线于E，//AB CDQ，//CE BD，∴四边形DBEC是平行四边形，CE BD∴=，BE CD=Q等腰梯形ABCD中，AC BD CE AC=∴= AC BD⊥Q，//CE BD，CE AC∴⊥ACE∴∆是等腰直角三角形，52AC=Q，210 AE AB BE AB CD AC∴=+=+==，∴梯形的中位线152AE==，故答案为：5．14．如图，已知ABC∆中，ABC∠的角平分线BE交AC于点E，//DE BC，如果点D是边AB的中点，8AB=，那么DE的长是4．解：BEQ平分ABC∠，ABE CBE∴∠=∠，//DE BCQ，DEB ABE∴∠=∠，ABE DEB∴∠=∠，BD DE ∴=，D Q 是AB 的中点，AD BD ∴=， 142DE AB ∴==， 故答案为：415．如图所示，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CM 是斜边AB 上的中线，E 、F 分别为MB 、BC 的中点，若1EF =，则AB = 4 ．解：E Q 、F 分别为MB 、BC 的中点，22CM EF ∴==，90ACB ∠=︒Q ，CM 是斜边AB 上的中线，24AB CM ∴==，故答案为：4．16．如图，在四边形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、AD 的中点，15BC =，9CD =，6EF =，50AFE ∠=︒，则ADC ∠的度数为 140︒ ．解：连接BD ，E Q 、F 分别是边AB 、AD 的中点，//EF BD ∴，212BD EF ==，50ADB AFE ∴∠=∠=︒，22225BD CD +=，2225BC =，222BD CD BC ∴+=，90BDC ∴∠=︒，140ADC ADB BDC ∴∠=∠+∠=︒，故答案为：140︒．17．已知：如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，D 、E 、F 分别是AC 、AB 、BC 的中点，若8CE =，则DF 的长是 8 ．解：90ACB ∠=︒Q ，E 是AB 的中点，216AB CE ∴==，D Q 、F 分别是AC 、BC 的中点，182DF AB ∴==， 故答案为：8．18．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使2BC CD =，连接DM 、DN 、MN ．若6AB =，则DN = 3 ．解：连接CM ，90ACB ∠=︒Q ，M 是AB 的中点，132CM AB ∴==，MQ、N分别是AB、AC的中点，12MN BC∴=，//MN BC，2BC CD=Q，MN CD∴=，又//MN BC，∴四边形DCMN是平行四边形，3DN CM∴==，故答案为：3．三．解答题（共8小题）19．在梯形ABCD中，//AD BC，延长CB到点E，使BE AD=，连接DE交AB于点M．若N是CD的中点，且5MN=，2BE=．求BC的长．解：//AD BCQ，A MBE∴∠=∠，ADM E∠=∠，在AMD∆和BME∆中，A MBEAD BEAMD E∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()AMD BME ASA∴∆≅∆；MD ME∴=，ND NC=，12MN EC∴=，22510EC MN∴==⨯=，1028BC EC EB∴=-=-=．BC ∴的长是8．20．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，EF 是中位线，AF 平分BAD ∠．求证：2AB EF =．【解答】证明：AF Q 平分BAD ∠，BAF DAF ∴∠=∠，EF Q 是中位线，//EF AD ∴，EFA FAD ∴∠=∠，EFA EAF ∴∠=∠，EF AE ∴=，2AB AE =Q ，2AB EF ∴=．21．如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，30C ∠=︒，点E 、F 分别是边AB 、CD 的中点，作//DP AB 交EF 于点G ，90PDC ∠=︒，求线段GF 的长度．解：//AD BC Q ，//DP AB ，∴四边形ADPB 是平行四边形．Q 点E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，////EF BC AD ∴，∴四边形ADGE 和四边形EGPB 都是平行四边形，1122DG GP DP AB ∴===． 4AB =Q ，30C ∠=︒，90PDC ∠=︒，282PC AB GF ∴===，∴线段GF 的长度是4．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且1()2EF AD BC =+．求证：//AD BC ．【解答】证明：取BD 的中点H ，连接EH 、FH ，E Q ，F 分别是AB ，CD 的中点， EH ∴是ABD ∆的中位线，FH 是BCD ∆的中位线，12EH AD ∴=，//EH AD ，12FH BC =，//FH BC ， 1()2EH FH AD BC ∴+=+， 1()2EF AD BC =+Q ， EH FH EF ∴+=，E ∴、F 、H 三点共线，////AD EF BC ∴，故//AD BC ．23．如图，AE 平分BAC ∠，交BC 于点D ，AE BE ⊥，垂足为E ，过点E 作//EF AC ，交AB 于点F ．求证：点F 是AB 的中点．【解答】证明：AE Q 平分BAC ∠，BAD CAD ∴∠=∠，//EF AC Q ，FEA CAD ∴∠=∠，BAD FEA ∴∠=∠，FA FE ∴=，AE BE ⊥Q ，90BEF AEF ∴∠+∠=︒，90ABE BAE ∠+∠=︒Q ，ABE BEF ∴∠=∠，FB FE ∴=，FB FA ∴=，即点F 是AB 的中点．24．如图，在ABC ∆中，AD 是高，E 、F 分别是AB 、AC 的中点．（1）12AB =，9AC =，求四边形AEDF 的周长；（2）EF 与AD 有怎样的位置关系？证明你的结论．解：（1）AD Q 是高，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，E Q 、F 分别是AB 、AC 的中点，12ED EB AB ∴==，12DF FC AC ==， 12AB =Q ，9AC =，12AE ED ∴+=，9AF DF +=，∴四边形AEDF 的周长为12921+=；（2）EF AD ⊥，理由：DE AE =Q ，DF AF =，∴点E 、F 在线段AD 的垂直平分线上， EF AD ∴⊥．25．如图，在等边ABC ∆中，D ，E 分别为AB ，AC 的中点，延长BC 至点F ，使12CF BC =，连结CD 和EF ．（1）求证：CD EF =；（2）猜想：ABC ∆的面积与四边形BDEF 的面积的关系，并说明理由．解：（1）D Q 、E 分别为AB 、AC 的中点， DE ∴为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC =， 12CF BC =Q ， DE FC ∴=，//DE FC Q ，∴四边形DCFE 是平行四边形， CD EF ∴=；（2）猜想：ABC ∆的面积=四边形BDEF 的面积，理由如下： DE Q 为ABC ∆的中位线，//DE BC ∴，12DE BC = ADE ∴∆的面积DEC =∆的面积， ∴四边形DCFE 是平行四边形， DEC ∴∆的面积ECF =∆的面积， ADE ∴∆的面积ECF =∆的面积， ABC ∴∆的面积=四边形BDEF 的面积．26．如图，在ABC ∆中，AE 平分BAC ∠，BE AE ⊥于点E ，点F 是BC 的中点．（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：1()2EFAC AB=-；（2）如图2，ABC∆中，9AB=，5AC=，求线段EF的长．【解答】（1）证明：在AEB∆和AED∆中，90BAE DAEAE AEAEB AED∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE ED∴=，AD AB=，BE ED=Q，BF FC=，111()()222EF CD AC AD AC AB∴==-=-；（2）解：分别延长BE、AC交于点H，在AEB∆和AEH∆中，90BAE HAEAE AEAEB AEH∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，()AEB AED ASA∴∆≅∆BE EH∴=，9AH AB==，BE EH=Q，BF FC=，11()222EF CH AH AC∴==-=．。

22.6 三角形、梯形的中位线（2）[梯形的中位线]第一组22-331、若一个梯形的中位线长是6，高是5，则这个等腰梯形的面积是（）A、11B、15C、30D、602、若等腰梯形的腰长等于中位线，周长为48cm，则中位线长为（）cmA、6B、12C、24D、483、将一张等腰梯形纸片沿中位线剪开，拼成一个新的图形，这个新的图形可以是下列图形中的（）A、三角形B、平行四边形C、矩形D、正方形4、一个梯形中位线的长是高的2倍，面积是18cm²，则这梯形的高是（）cm。

A、2B、3C、6D、95、一个梯形的两底长分别为6和8，这个梯形的中位线长为。

6、梯形两底的差是4（上底<下底），中位线长是8，则上底长是，下底长是。

7、直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，这腰和底所成的角是30º，则它的面积是。

8、等腰梯形的腰长是12厘米，一对角线分中位线成4厘米和10厘米，则此对角线长为厘米。

9、等腰梯形ABCD中，AB//CD，AB：CD=1：2，中位线长6厘米，高等于8厘米，则AB= ，CD= ，AD= 。

10、梯形的中位线把梯形分成的两部分的面积比为1：2，则这个梯形上底长与下底长（上底<下底）的比是。

11、等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD=7，BC=15，∠B=60º，EF为中位线，求EF、AB的长。

12、在梯形ABCD中，AD//BC，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P。

若EF=3，求梯形ABCD的周长。

13、如图22-33-1，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18cm，MN=8cm，求AB的长。

14、如图22-33-2，在梯形ABCD中，AD//BC，E、F是AB的三等分点，G、H是CD的三等分点，且EG//FH//AD，若AD=4，BC=10，求EG和FH的长。

15、如图22-33-3，在梯形ABCD中，E、G为AB、CD的中点，FG//AB交BC于点F。

重点讲解(三角形梯形中位线)知识归纳知识结构重难点分析解题思想释疑解难学法建议知识归纳1．三角形的中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半．作用：从位置关系看，可以证两直线平行；从数量关系看，可以证线段的相等或倍分．2．梯形的中位线定义：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．作用：可以证明两直线平行；可以证明一条线段是另两条线段的和．3．梯形的面积等于中位线与高的积．．返回知识结构本节首先给出了中位线的概念，在中位线概念的基础上又给出三角形的中位线和梯形中位线两个概念，并对中位线的性质进行证明（运用同一法证明三角形中位线性质和添加辅助线转化成三角形中位线问题证明梯形中位线性质）以及应用．返回重难点分析本节的重点是中位线定理.三角形中位线定理和梯形中位线定理不但给出了三角形或梯形中线段的位置关系，而且给出了线段的数量关系，为平面几何中证明线段平行和线段相等提供了新的思路.本节的难点是中位线定理的证明.中位线定理的证明教材中采用了同一法，同一法学生初次接触，思维上不容易理解，而其他证明方法都需要添加2条或2条以上的辅助线，添加的目的性和必要性，同以前遇到的情况对比有一定的难度.返回解题思想1．注意区别三角形中位线与中线，避免概念混淆.2．学会构造全等三角形证明三角形和梯形的中位线定理.3．灵活运用三角形中位线定理和梯形中位线定理证明求解几何问题.返回释疑解难1．三角形中位线定理的证明方法的关键三角形中位线定理的证明方法关键在于添加辅助线．其证明方法很多，除教科书上的方法以外，还可用下面的方法来证明：①如图所示，延长中位线DE至F，使，连结CF，则，有ADFC，所以FC BD，则四边形BCFD是平行四边形，DF BC，因为，所以DE．②如图所示，延长DE至F，使，连结CF、DC、AF，则四边形ADCF为平行四边形，有AD CF，所以FC BD，那么四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE．③如图所示，过C作交DE的延长线于F，则，有FC AD，那么FC BD，则四边形BCFD为平行四边形，DF BC，因为，所以DE ．2．怎样认识梯形中位线梯形中位线是连结两腰中点的线段，而不是连结两底的线段．梯形中位线定理的证明，关键是如何添加辅助线，把梯形中位线转化为三角形的中位线．3．怎样理解中位线定理三角形中位线定理和梯形中位线定理都有一个特点：在同一个题设下，有两个结论，一个结论表明位置关系的，另一个结论是表明数量关系的，在应用这两个定理时，不一定同时需要两个结论．4．怎样认识平行线等分线段定理与中位线定理的关系在学习了梯形、三角形中位线概念之后，可以把平行线等分线段定理的两个结论分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理．5．怎样计算不规则的多边形面积对于不规则的多边形面积计算问题，我们可以采取作适当的辅助线把它们分割成三角形、平行四边形或梯形，然后利用这些较熟悉的面积公式来计算任意多边形的面积．返回学法建议1．学习中要注意概念间的区别．（1）三角形的中位线与三角形的中线是两条不同的线段，一条是两边中点的连线段，一条是一个顶点与对边中点间的线段．（2）梯形的中位线与梯形两底中点的连线段不是同一概念．2．在学习中要注意定理间的联系．（1）平行线等分线段定理的两个推论，可分别看成是梯形、三角形中位线的判定定理；（2）当梯形上底长为零时，梯形的中位线定理就与三角形中位线定理一致，因此三角形中位线定理可以看成是梯形中位线定理的特例.3．在学习中要注意三角形中位线定理的其余几种证法和梯形中位线定理的证法，从中学习三角形、梯形的转化思想，积累作辅助线的经验．。

三角形梯形中位线知识点：1．三角形中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形的中位线有三条，它们把三角形分成四个全等三角形。

（2）三角形的中位线与三角形的中线不同 （3）三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

定理符号语言表达：在△ABC 中，点D,E 分别是AB,AC 的中点， ；。

2．梯形中位线：1）定义：连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线2）性质定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

定理符号语言表达：在梯形ABCD 中，AD ∥BC ∵ ；∴ 。

注：在同一条件下，有两个结论，一个是位置关系，另一个数量关系；3）归纳总结出梯形的又一个面积公式：我们知道：S 梯=21(a+b)h 设中位线长为l ,则l = , 故 S= 梯形面积等于中位线与高的积3、中点四边形：1）顺次连接任意四边形、平行四边形各边中点所得的四边形是 ——— 平行四边形； 2）顺次连接矩形、等腰梯形及对角线相等的四边形各边中点所得的四边形是 —— 菱形； 3）顺次连接菱形、对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是 ——— 矩形； 4）顺次连接正方形各边中点所得的四边形是 ————正方形；总结：中点四边形取决与原四边形的对角线；1）当原四边形的对角线相等时，中点四边形是菱形。

2）当原四边形的对角线互相垂直时，中点四边形是矩形。

3）当原四边形的对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形。

ED BCAEBD A CF图2试一试：1．三角形的中位线______于第三边，并且等于_______．2．一个三角形的中位线有_________条．3.如图△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是△ABC的＿＿＿，线段DE是△ABC＿＿＿＿＿＿＿4、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点（1）如果EF＝4cm，那么BC＝＿＿cm（2）如果AB＝10cm，那么DF＝＿＿＿cm，中线AD与中位线EF的关系是＿＿＿5．等腰梯形的腰长为8，中位线长为9，则梯形的周长为；6．已知梯形的中位线长为6，上底长为3，则下底长为；7．已知梯形的高为5，中位线长为6，则梯形面积为；8．已知梯形中位线长是5cm，高是4cm，则梯形的面积是。

八年级数学 三角形 梯形中位线【知识要点】1．三角形中位线：连结三角形两边中点的线段。

注意：三角形的中位线有3条。

2．三角形中位线定理：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半。

推论：过三角形一边的中点作另一边的平行线，必平分第三边。

3．梯形的中位线是连结梯形两腰中点的线段注意：（1）不是连结两底中点，是连接两腰的中点；（2）梯形的中线是唯一的 4．梯形的中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半 推论：过梯形一腰的中点，作底边的平行线，必平分另一腰。

【经典例题】例1．试证明梯形的中位线定理。

已知：梯形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，EF//BC//AD 。

求证：)(21BC AD EF +=。

例2．如图，已知AB//EF//GH//DC ，且AE=EG=GD ，AB=3，DC=6。

求：EF 、GH 的长。

思考：求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。

ABCFEDA BD C例3．求证：顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。

例4．如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，E 、F 为AB 的三等分点。

求证：GE BG 3=。

例5．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD ，EF 为中位线，EG=10，GF=4，AB=10。

求梯形的周长和面积。

【经典练习】BD CBC1．梯形的中位线长为8cm,高为4cm ，则梯形的面积为 。

2．ABC ∆的周长为24cm ，则三条中位线组成的三角形周长为 。

3．梯形的中位线长为6，上下底之差等于3，则此梯形上下底长分别为 。

4．顺次连结四边形各边中点所得的四边形常称为中四边形，则任何一个四边形的中四边形是 。

（1）当原四边形对角线 对，它的中四边形是矩形。

（2）当原四边形对角线 对，它的中四边形是菱形。

（3）当原四边形对角线 对，它的中四边形是正方形。

5．已知等腰梯形的对角线互相垂直，高为10cm ，则中位线等于 。

八年级数学下册22.6三角形梯形的中位线2教学设计沪教版五四制一. 教材分析《沪教版八年级数学下册》第22.6节主要讲述了三角形梯形的中位线性质。

本节内容是在学生已经掌握了三角形和梯形的性质的基础上进行学习的，通过学习本节内容，使学生能够掌握三角形梯形的中位线性质，并能运用到实际问题中。

二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的几何知识，对三角形和梯形的性质有一定的了解。

但学生在学习过程中，对于理论知识的理解和运用能力还有待提高。

因此，在教学过程中，需要注重理论联系实际，通过大量的实例来帮助学生理解和掌握中位线的性质。

三. 教学目标1.让学生理解三角形梯形的中位线性质。

2.培养学生运用中位线性质解决实际问题的能力。

3.提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

四. 教学重难点1.教学重点：三角形梯形的中位线性质及其应用。

2.教学难点：中位线性质的证明和运用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。

通过设置问题，引导学生思考和探索；通过案例分析，使学生理解和掌握中位线性质；通过小组合作，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何模型和图片，用于直观展示三角形和梯形的中位线性质。

2.准备一些实际问题，让学生运用中位线性质进行解决。

3.准备黑板和粉笔，用于板书。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式复习三角形和梯形的性质，为新课的学习做好铺垫。

2.呈现（15分钟）展示三角形和梯形的中位线模型和图片，引导学生观察和思考中位线的性质。

3.操练（15分钟）让学生通过自主探究和小组合作，证明三角形和梯形的中位线性质。

在探究过程中，教师给予必要的指导和帮助。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用中位线性质进行解决。

教师在过程中进行点评和指导。

5.拓展（10分钟）引导学生思考中位线性质在实际问题中的应用，如在工程测量、建筑设计等方面。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调三角形梯形的中位线性质及其应用。