锐角三角函数计算

解读锐角三角函数锐角三角函数是介于0到90度之间的角的三角函数。

它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan），在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

锐角三角函数的定义如下：- 正弦函数（sin）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以斜边得到的比值。

- 余弦函数（cos）：在直角三角形中，其中一锐角的邻边除以斜边得到的比值。

- 正切函数（tan）：在直角三角形中，其中一锐角的对边除以邻边得到的比值。

正弦函数的值在0到1之间变化，其中sin(0) = 0，sin(90) = 1、余弦函数的值也在0到1之间变化，其中cos(0) = 1，cos(90) = 0。

正切函数的值在负无穷到正无穷之间变化，其中tan(0) = 0，tan(90) = 无穷。

锐角三角函数在几何学中的应用非常广泛。

它们可以用来计算三角形的边长和角度，求解直角三角形以及一般三角形的问题。

例如，知道一个直角三角形的一条边和一个锐角，可以利用锐角三角函数来计算其他边的长度。

此外，锐角三角函数还可以用来计算三角形的面积和高度等问题。

锐角三角函数在物理学中也有重要的应用。

例如，在力学中，可以利用正弦函数和余弦函数来分解复杂的力或速度矢量，并求解它们的分量。

在电工学中，正弦函数和余弦函数可以用来表示交流电的电压和电流。

在波动学中，正弦函数可以描述声波和光波的传播过程。

此外，锐角三角函数还出现在信号处理、图像处理和计算机图形学中。

它们可以用来模拟和处理信号、图像和曲线，从而实现音频和视频的压缩、滤波和变换等技术。

总之，锐角三角函数在数学和物理学等领域中是非常重要的。

它们的应用范围广泛，不仅可以用来解决数学和几何学问题，还可以用来研究自然科学和工程领域的现象和问题。

熟练掌握和理解锐角三角函数的特性和应用，对于学习和研究这些领域都具有重要意义。

初中数学锐角三角函数初中知识点一、锐角三角函数的定义1.勾股定理：直角三角形两直角边a .b 的平方和等于斜边c 的平方。

222c b a =+ 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B )：定 义表达式 取值范围 关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin c aA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=coscbA =cos1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A Aba A =tan 0tan >A(∠A 为锐角)B A cot tan = B A tan cot =AA cot 1tan =(倒数) 1cot tan =⋅A Atan α＝sin cos αα，cot α＝cos sin αα余切的对边的邻边A A A ∠∠=cotab A =cot 0cot >A(∠A 为锐角)注意：（1）正弦.余弦.正切.余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（2）sinA 不是sin 与A 的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。

“sinA ”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（3）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。

例题:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，a =1，b =2，则cosA =________ ，tanA =_________．2. 在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AB =5，BC =3，则sinA =________ ，tanA =_________．3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角， ∠A =300，b =4，则a =__________，c =__________4.（2008·威海中考）在△ABC 中，∠C ＝90°，tanA ＝31，则sinB ＝（ ） A ．1010B ．23 C ．34D ．310105.在△ABC 中，∠C =90°，a, b, c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边，下列各式错误的是（ ）A .a =c ·sinAB ．b =c ·cosBC ．b =a ·tanBD ．a =b ·tanA6.在△ABC 中，∠C ＝90°，(1)已知：c ＝ 83，∠A ＝60°，求∠B .a .b ． (2) 已知：a ＝36， ∠A ＝30°，求∠B .b .c .7.（2009·漳州中考）三角形在方格纸中的位置如图所示，则tan 的值是（ ）A ．35B ．43 C ．34D ．45练习:1.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，若sinA =53，则cosB =_________． 2.已知cosA =23，且∠B =900-∠A ，则sinB =__________． 3.∠A 为锐角，已知sinA =135，那么cos (900-A)=___________ ． 4.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，AC =4，BC =3，则sinA =（ ） A ．43 B ．34 C ． 53 D ．54 5.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，sinA =22，则cosB 的值是( ) A ．21 B ．23 C ．1D ．22知识点二、特殊角所对的三角函数值1. 0°.30°.45°.60°.90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin0 2122 231 αcos1 23 22210 αtan 0 331 3- αcot-3133注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：0°.30°.45°.60°.90°的正弦值分别是02.12.22.32.42，而它们的余弦值分别是42.32.22.12.02；30°.45°.60°的正切值分别是13.22.31，而它们的余切值分别是31.22.13。

锐角三角函数公式正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边面积公式长方形，正方形以及圆的面积公式面积公式包括扇形面积共式，圆形面积公式，弓形面积公式，菱形面积公式，三角形面积公式，梯形面积公式等多种图形的面积公式。

扇形面积公式在半径为R的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S＝πR^2，所以圆心角为n°的扇形面积：S＝nπR^2÷360比如：半径为1cm的圆，那么所对圆心角为135°的扇形的周长：C＝2R＋nπR÷180＝2×1＋135×3.14×1÷180＝2＋2.355＝4.355(cm)＝43.55(mm)扇形的面积：S＝nπR^2÷360＝135×3.14×1×1÷360＝1.1775(cm^2)=117.75(mm^2)扇形还有另一个面积公式S=1/2lR其中l为弧长，R为半径三角形面积公式任意三角形的面积公式（海伦公式）：S=√p(p-a)(p-b)(p-c), p=（a+b+c）/2,a.b.c,为三角形三边。

证明：证一勾股定理分析：先从三角形最基本的计算公式S△ABC = aha入手，运用勾股定理推导出海伦公式。

证明：如图ha⊥BC，根据勾股定理，得: x = y = ha = = = ∴S△ABC = aha= a× = 此时S△ABC为变形④，故得证。

证二：斯氏定理分析：在证一的基础上运用斯氏定理直接求出ha。

斯氏定理:△ABC边BC上任取一点D，若BD=u，DC=v,AD=t.则t 2 = 证明：由证一可知，u = v = ∴ha 2 = t 2 = －∴S△ABC = aha = a × = 此时为S△ABC的变形⑤，故得证。

锐角三角函数公式　sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/AAsinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin&sup2;a)+(1-2sin&sup2;a)sina =3sina-4sin&sup3;a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos&sup2;a-1)cosa-2(1-sin&sup2;a)cosa =4cos&sup3;a-3cosa sin3a=3sina-4sin&sup3;a =4sina(3/4-sin&sup2;a) =4sina[(√3/2)&sup2;-sin&sup2;a] =4sina(sin&sup2;60°-sin&sup2;a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos&sup3;a-3cosa =4cosa(cos&sup2;a-3/4) =4cosa[cos&sup2;a-(√3/2)&sup2;] =4cosa(cos&sup2;a-cos&sup2;30°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a) 上述两式相比可得 tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2 cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2　tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 三角和sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) 两角和差 cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) 和差化积　sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]　sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]　cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 积化和差 sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2 cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2 sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2 cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2 诱导公式 sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα tan (—a)=-tanα sin(π/2-α) = cosα cos(π/2-α) = sinα sin(π/2+α) = cosα cos(π/2+α) = -sinα sin(π-α) = sinα cos(π-α) = -cosα sin(π+α) = -sinα cos(π+α) = -cosα tanA= sinA/cosA tan（π/2＋α）＝－cotα tan（π/2－α）＝cotα tan（π－α）＝－tanα tan（π＋α）＝tanα 诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限 万能公式 sinα=2tan(α/2）/［1+tan＾(α/2)］ cosα=［1-tan＾(α/2)］/1+tan＾(α/2)］ tanα=2tan(α/2)/［1-tan＾(α/2)］。

锐角三角函数1．对于锐角α，总有 sin 2α+ cos 2α＝ 。

2、 Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=cosB3、tan α＝cosAsinA 4、给出仰角、俯角的定义如右图，从下往上看，视线与水平线的夹角叫仰角，从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。

右图中的∠1就是仰角， ∠2就是俯角。

1. 互为余角的三角函数关系。

sinA=cos(90º-A) cosA=sin(90º-A)tanA=cot(90º-A) cotA=tan(90º-A)2. 锐角三角形函数随角度的变化规律：当角度在0º—90º间变化时，正弦、正切值随角度的增大（或减小）而增大（或减小），余弦、余切值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）.3. 同角三角函数的关系： sin ²α+cos ²α=1 tan α·cot α=1 tan α= cot α=4. 锐角α的三角函数的取值范围。

0<sin α<1 0<cos α<1 tan α>0 cot α>02、已知a 为锐角，sina=cos500则a 等于（ ） A 20° B 30° C 40° D 50°3、已知tan α＝125，α是锐角，则sin α＝ . 5．已知α为锐角，且sin α=0.7233，则cos （90°－α）=________．6, 若∠A=60°，则化简()21-sinA = 7，Rt △ABC 中，∠C=90°且3cos sin =+B A ，则∠A= 。

8，若Sin22°31′=CosA ，则∠A= 。

9 若Sin 2A+Cos 221°= 1，则∠A= 。

12．2222sin 1sin 2sin 88sin 89+++=… _______． 10．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，若sin A =552，则cos B 的值等于（ ） A ．51 B ．55 C ．53 D ．1 11．当∠A 是锐角且tan A 的值大于33时，∠A 一定（ ） sin α cos α cos α sin αA ．小于30°B ．大于30°C ．小于60°D ．大于60°12．下列各题中错误的是（ ）A ．sin37°=cos53°B ．sin60°=cos60°C ．cos28°37′=sin61°23′D ．cos α=sin （90－α）13比较大小：①tan21° tan31°， ②Sin21° Cos21°。

锐角三角函数拓展公式锐角三角函数拓展公式主要包括和差公式、倍角公式、半角公式等。

这些公式在三角函数的计算、化简和证明中都有广泛的应用。

1.和差公式：正弦和差公式：sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A−B)=sinAcosB−cosAsinB余弦和差公式：cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(A−B)=cosAcosB+sinAsinB正切和差公式：tan(A+B)=1−tanAtanBtanA+tanBtan(A−B)=1+tanAtanBtanA−tanB举例：求sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘的值。

根据正弦和差公式，我们有：sin45∘cos30∘+cos45∘sin30∘=sin(45∘+30∘)=sin75∘查表或使用计算器得到sin75∘的值，从而完成计算。

1.倍角公式：正弦倍角公式：sin2A=2sinAcosA余弦倍角公式：cos2A=cos2A−sin2A=2cos2A−1=1−2sin2A正切倍角公式：tan2A=1−tan2A2tanA举例：求cos10∘cos50∘的值。

根据余弦倍角公式，我们有：cos10∘cos50∘=21[cos(10∘+50∘)+cos(10∘−50∘)]=21(cos60∘+cos(−40∘))由于cos 函数是偶函数，cos(−40∘)=cos40∘，所以：21(cos60∘+cos40∘)=21(21+cos40∘)查表或使用计算器得到cos40∘的值，从而完成计算。

1.半角公式：正弦半角公式：sin2A=±21−cosA余弦半角公式：cos2A=±21+cos A正切半角公式：tan2A=±1+cos A1−cosA举例：求sin15∘的值。

根据正弦半角公式，我们有：sin15∘=sin230∘=21−cos30∘查表或使用计算器得到cos30∘的值，然后代入公式计算得到sin15∘的值。