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- 1 -一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切．这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例．考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视． 【知识网络】【知识解读】1．一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整 式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）． （1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．2．一元二次方程的解法注意事项：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．4．一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语．相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s=）．②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例 1 关于x的一元二次方程（01)122=-+++axxa的一个根为0，则a=_______.错解：∵0是一元二次方程的根，∴将0=x代入方程得,012=-a∴1±=a。
《一元二次方程》复习学习目标：1．加深对一元二次方程的相关概念的了解；2．能熟练运用各种方法解方程；3．能运用根的判别式和根与系数的关系解决相关问题；4．能运用一元二次方程解决实际问题．学习过程：一、以题理知1．已知关于x 的方程()()021112=-+--+x m x m m 是一元二次方程时，则=m ．2．关于x 的方程22(21)10k x k x +-+=有实根，则k 的取值范围是__________．3．已知a 、b 实数且满足（a 2+b 2）2-(a 2+b 2)-6=0,则a 2+b 2的值为 ．4．已知m ，n 是方程x 2＋2x –5 = 0的两个实数根，则m 2–mn ＋3m ＋n=_________．5．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据时间和场地等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．()11282x x +=B ．()11282x x -= C ．()128x x += D ．()128x x -= 6．解方程：（1）04542=-+y y （2）2230x x --=（配方法）（3）2420x x ++=（公式法）小组汇报，教师板书，形成知识结构二、用知得法1．已知一元二次方程的两根分别是2和-3，则这个一元二次方程是（ ）A 、x 2-6x+8=0B 、x 2+2x-3=0C 、x 2-x-6=0D 、x 2+x-6=02．已知x 1、x 2是关于x 的一元二次方程x 2﹣2（m+1）x+m 2+5=0的两个实数根．（1）若（x 1﹣1）（x 2﹣1）=28，求m 的值．（2）已知等腰△ABC 的一腰长为7，若x 1、x 2恰好是△ABC 另外两边的边长，求这个三角形的周长．3．某商店准备进一批季节性小家电，单价40元，经市场预测，销售定价为52元时，可售出180个．定价每增加1元，销售量净减少10个；定价每减少1元，销售量净增加10个．因受库存的影响，每批次进货个数不得超过180个．商店若将准备获利2000元，则应进货多少个？定价多少元？课堂练习1．若n （0n ≠）是关于x 的方程220x mx n ++=的根，则m+n 的值为2．已知关于x 的方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0（m ≠0）.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m 的值.3．如图，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，有一点到终点运动即停止．问：（1）几秒钟后△PBQ 的面积等于8cm 2？（2）是否存在这样的时刻，使S △PDQ =8cm 2，试说明理由．。
第二十一章一元二次方程21.1 一元二次方程知识点一一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
注意一下几点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程。
知识点二一元二次方程的一般形式一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0).其中，ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
知识点三一元二次方程的根使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。
方程的解的定义是解方程过程中验根的依据。
典型例题：1、已知关于x的方程（）x21m-+（m-3）-1=0是一元二次方程，求m的值。
21.2 降次——解一元二次方程21.2.1 配方法知识点一直接开平方法解一元二次方程（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边是非负数，可以直接开平方。
一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解得x1=a,x2=a-.（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法。
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根。
知识点二配方法解一元二次方程通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开。
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4）若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解。
本章总结知识建构体验中考1.(2007四川成都)下列关于x 的一元二次方程中,有两个不相等的实数根的方程是( )A.x 2+4=0B.4x 2-4x +1=0C.x 2+x +3=0D.x 2+2x -1=0答案:D2.(2007辽宁大连)已知m m 312=-,求关于x 的方程x 2-3m =0的解. 解:方程mm 312=-两边同时乘以m (m -1),得2m =3(m -1).解得m =3. 经检验,m =3是原分式方程的解.将m =3代入到方程x 2-3m =0中,得x 2-9=0.解得x =±3，即关于x 的方程的解为x 1=3,x 2=-3.3.(2007湖北天门)已知关于x 的一元二次方程x 2+4x +m -1=0.(1)请你为m 选取一个合适的整数,使得到的方程有两个不相等的实数根;(2)设α、β是(1)中你所得到的方程的两个实数根,求α2+β2+αβ 的值. 解:(1)由Δ=42-4(m -1)=16-4m +4=20-4m >0,解得m <5.所以可取m =4.(2)由α+β=-4,αβ=3,得α2+β2+αβ=(α+β)2-αβ=(-4)2-3=13.4.(2007福建龙岩)“便民”水泥代销点销售某种水泥,每吨进价250元,如果每吨销售定价为290元,平均每天可售出16吨.(1)若代销点采取降价促销的方式,试建立每吨的销售利润y (元)与每吨降低x (元)之间的函数关系;(2)若每吨售价降低5元,则平均每天能多售出4吨.问:每吨水泥的实际售价定为多少元时,每天的销售利润平均可达720元.解:(1)依题意,得y =290-x -250=40-x .(2))依题意,得(40-x )(16+54x )=720.解得x1=x2=10.290-10=280(元).答:每吨水泥的实际售价定为280元时,每吨的销售利润平均可达720元.。
人教2011课标版九年级数学上册教学设计一、教材分析一元二次方程的解法，是本章书的重点内容之一。
在本章之前，已学习过整式方程（一元一次方程、二元一次方程），并且学习了可以化为一元一次方程的分式方程。
对于解方程的基本思路（使方程逐步化为x=a的形式）已经比较熟悉，按照这种思路可以继续考虑一元二次方程的解法。
一元二次方程与前面的方程相比，特点在于二次。
新的问题是如何将一元二次方程转化为已经会解的方程。
从这个新问题入手，可以自然地引出解一元二次方程的基本策略和关键步骤。
教材注意了在这里体现出“降次”是很自然、很合理地产生的。
这是在原来已经认识了的解方程的基本思路基础上，结合一元二次方程的特点而得到的解决问题的策略。
这样处理既突出了一元二次方程解法上的特点及其算理，又反映了一元二次方程与一元一次方程在解法上的内在联系。
各种解法中能够创造条件实现降次的步骤就是这种解法的关键步骤，它们是落实降次的具体措施。
如果能抓住一元二次方程的特殊性，那么就能感悟到解一元二次方程的基本策略的合理性。
二、学情分析本班学生基础参差不齐，两极分化十分严重，有个别学生没有养成良好的学习习惯、行为习惯。
班上大部分学生对问题的分析能力、计算能力、概括能力较差，尤其是所涉及的知识拓展和知识的综合能力方面不够好，部分学生有畏难情绪，缺乏学习的斗志。
学生已经学完一元二次方程的四种解法，但在教学和作业中发现,学生不懂得根据不同的方程选择适当的方法，做题较为死板。
针对学生的情况，本节课一方面构建知识体系，另一方面对学生情感态度与价值观进行渗透。
三、教学目标1、知识与技能（1）会用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解简单的一元二次方程。
（2）归纳一元二次方程的各种解法，明确它们各自适用的题型和用法；提高学生选择适当的方法来解一元二次方程的能力。
（3）会找出一元二次方程问题常见错误，并能加以分析纠正其错误。
2、过程与方法（1）通过比较、辨析、实践，让学生学会根据不同的一元二次方程，选择最佳的解法，在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想。
本章整合知识建构⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⇔<-⇔=-⇔>-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-±-=≠=++题列一元二次方程解应用方程列实数根根方程有两个相等的实数数根方程有两个不相等的实根的判别式因式分解法公式法配方法一元一次方程的解法一般形成次的整式方框次为含有一个未知数的最高定义一元二次方程04040424:)0(0:2:22222ac b ac b ac b a ac b b x a c bx ax 数学趣闻一元高次方程的求根公式与数学家我们知道：一元二次方程ax 2+bx+c=0可用一元二次方程公式来求得解，这个公式早在公元9世纪已由中亚细亚的阿尔·花拉子模给出.一元三次方程ax 3+bx 2+cx+d=0有求根公式吗？有.一元三次方程是1504年意大利数学家巴巧利引起的，他说：“x 3+mx=n ，x 3+n=mx 之不可解，正像化圆为方问题一样.”谁知此问题提出不久，数学家费罗就解出来了，他将方法透露给自己的学生菲俄.1539年，塔尔塔利亚被卡尔丹的至诚之心所动，就把方法传授给他.卡尔丹没有遵守自己的诺言，而是写成一本书，1545年在纽伦堡出版发行.在书中，卡尔丹公布了一元三次方程的解法，并声称是自己的发明.于是人们就将一元三次方程的求根公式称为“卡尔丹公式”. 一元四次方程ax 4+bx 3+cx 2+dx+e=0的求根公式由卡当的学生弗拉利找到了.一元三次、四次方程求根公式找到后，人们又在努力寻找一元五次方程求根公式.一元五次及五次以上方程可能没有公式解（求根公式）？这一点被年轻的挪威数学家阿贝尔于1824年所证实.换句话说，他证明了：n≥5时，一元n 次方 程没有公式解（即无求根公式）.而代数方程可解性问题的完满解决应归功于法国数学奇才伽罗华，他的成果被后人称之为伽罗华理论.当伽罗华17岁时，就着手研究数学中最困难的n 次方程求解问题.伽罗华在前人研究成果的基础上，利用群论的方法，从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题.伽罗华的重大创作在生前始终没有机会发表.直到1846年，也就是他死后14年，法国数学家刘维尔才着手整理后，首次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上，自此，伽罗华的重大贡献才逐渐为人们所了解.。
−n± p m人教版九年级数学上册知识点整理（完整版）第二十一章 一元二次方程一、一元二次方程的有关概念（一）一元二次方程：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2（二次）的方程，叫做一元二次方程。
（二）一元二次方程的一般形式：ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)其中：二次项为ax 2；二次项系数为 a ；一次项为 bx ，一次项系数为 b ；常数项为 c 。
特殊形式：（三）一元二次方程中“未知数的最高次数是 2，二次项系数 a≠0”是针对整理合并的方程而言的。
（四）一元二次方程的解（根）1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解 也叫做一元二次方程的根。
2、判断一个数是否是一元二次方程的根将这个数代入一元二次方程的左右两边，看是否相等，若相等，则该数是这个方程的根；若不 相等，则该数不是这个方程的根。
3、关于一元二次方程根的三个重要结论（1）a+b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =1。
（2）a-b+c =0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =﹣1。
（3）c=0⇔一元二次方程ax 2 + bx + c = O(a ≠ O)有一个根为 x =0。
二、解一元二次方程（一）直接开平方法解一元二次方程1、直接开平方法∶利用平方根的意义直接开平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接开平 方法。
2、方程x 2 = p 的根（1） 当 p>0 时，根据平方根的意义，方程x 2 = p 有两个不相等的实数根x 1 = p ，x 2 =− p 。
（2） 当 p=0 时，方程x 2 = p 有两个相等的实数根x 1 = x 2 =0。
（3） 当 p<0 时，因为对任意实数 x ，都有x 2≥0，所以方程x 2 = p 无实数根。
复习一元二次方程
教学目标：
1．了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程，并在解一元二次方程的过程中体会转化等数学思想．
2．体会概念的作用，灵活利用一元二次方程的概念解决先关问题.
教学重点：
会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程。
教学难点：
根据方程及相关问题的特点，灵活选择解决问题的方法法。
并在解题过程中体会转化等数学思想．
教学过程
一：基础回顾
考点一一元二次方程的定义
在整式方程中, 只含有个未知数, 并且含未知数项的最高次数是 , 这样的整式方程叫一元二次方程，一元二次方程的一般形式是 .
（1）判断下面哪些方程是一元二次方程
222221x y
24(1)x -3x+4=x -7 ( )
= -4 ( )
(3)3X+5X-1=0 ( )
(4) 3x -20 ( )
3 ( )(6)0 ( )y +==-=
（2）把方程（1-x)(2-x)=3-x2 化为一般形式是：___________,
其二次项系数是____,一次项系数是____,常数项是____.
（3）方程（m-2)x|m| +3mx-4=0是关于x 的一元二次方程，则
（ ）
A. m=±2
B. m=2
C. m=-2
D. m ≠ ±2
考点二 一元二次方程的常用解法
1．直接开平方法：如果x 2＝a(a ≥0)，则x ＝±a ，
则x 1＝a ，x 2＝－ a.
2．配方法：如果x 2＋px ＋q ＝0且p 2－4q ≥0，
则⎝⎛⎭⎫x ＋p 22＝－q ＋⎝⎛⎭
⎫p 22. x 1＝－p 2＋－q ＋⎝⎛⎭⎫p 22，x 2＝－p 2－－q ＋⎝⎛⎭
⎫p 22. 3．公式法：方程ax 2＋bx ＋c ＝0且b 2－4ac ≥0，
则x ＝－b±b 2－4ac 2a
. 4．因式分解法：若x 2＋bx ＋c ＝(x ＋m)(x ＋n)，
则x 2＋bx ＋c ＝0的根为x 1＝－m ，x 2＝－n .
点拨：
⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一
种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋
bx+c=0(k ≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两
边同除以二次项系数；②移项，即使方程的左边为二次项和一次
项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上 的绝
对值一半的平方；④化原方程为2(x+m)=n 的形式；⑤如果n 0≥就
可以用两边开平方来求出方程的解；如果n=＜0，则原方程无解．
⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法。
它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是 2(40)b ac -≥
注意：用求根公式解一元二次方程时，一定要将方程化
为 。
⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法
叫做 ．它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因
式分解法的步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个
一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解
这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．
注意事项：
⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a ≠0．因当a=0
时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如关于x 的方程（k 2－1）
x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二
次方程的一般形式；②确定a 、b 、c 的值；③求出b 2－4ac 的值；④
若b 2－4ac ≥0，则代人求根公式，求出x 1 ,x 2．若b 2－4a ＜0，则方
程无解．
⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋
4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）
⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：直接开平方法→因式分解法→公式法．
考点三:
关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根 的判别式为b 2－4ac.
1．b 2－4ac ＞0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)有两个不相等的实数根，
则x 1,2＝－b±b 2－4ac 2a
； 2．b 2－4ac ＝0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)有两个相等的实数根，即x 1＝x 2＝－b 2a
； 3．b 2－4ac ＜0⇔一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0
(a ≠0)没有实数根； 二：【经典考题剖析】
１、用直接开平方法：(x+2)2=９
2、用配方法解方程：4x 2-8x-5=0
3、用公式法解方程：3x 2=4x+7
4、用分解因式法解方程：（y+2)2=3(y+2）
小练习：用适当的方法解下列一元二次方程
（1）27(23)28x -=； （2）223990y y --=
（3）221x +=； （4）2(21)3(21)20x x ++++= 分析：根据方程的不同特点，应采用不同的解法。
（1）宜用直接开方法；（2）宜用配方法；（3）宜用公式法；（4）宜用因式分解法或换元法。
课堂小结：
1、配方法：
① 同除二次项系数化为1；
②移常数项到右边；
③两边加上一次项系数一半的平方；
④化直接开平方形式;
⑤解方程。
⑥检验。
2、公式法
① 先化为一般形式；
②再确定a 、b 、c,求b 2-4ac ；
③ 当 b 2-4ac ≥ 0时,代入公式:
2b x a -=
若b 2-4ac ＜0,方程没有实数根.
3、分解因式法
①右边化为0,左边化成两个因式的积；
②分别令两个因式为0，求解.
三、达标练习：
（1）已知x=-2是方程x2+mx-6 =0 的一个根,则方程的另一个根是.
（2）写一个你喜欢的实数m的值 ,使关于x 的一元二次方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根．
（3）方程(x+2)(x-1)=0的解为．
（4）若关于x的一元二次方程kx2+4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是_______
（5）方程x2-2x-1=0的解是 ______________________.
（6）已知关于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0．
①求证:方程有两个不相等的实数根;
②若△ABC的两边AB, AC的长是这个方程的两个实数根.第三边BC 的长为5, 当△ABC是等腰三角形时, 求k的值．
四、课后练习：全品中考总复习“针对训练”。
