2016-2017年辽宁省重点高中协作校高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案

2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第三次联考数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每题5分）1．若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或2．复数z=﹣2+2i，则的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣23．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x4．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．85．已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A．B．C．D．7．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．48．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．9．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+310．在直角坐标系xOy中，设A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时，则θ的大小为（）A．120°B．60°C．30°D．45°11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）二．填空题（共4小题，每题5分）13．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）15．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则k=．三．解答题（共7小题，17---21每题12分，22-23选择一个作答，10分）17．如图是函数的图象的一部分．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）若．18．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．19．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．21．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0 （实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省铁岭市协作体高三（上）第三次联考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每题5分）1．若集合，B={1，m}，若A⊆B，则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．2或【考点】集合关系中的参数取值问题．【分析】由已知中集合，解根式方程可得A={2}，结合B={1，m}，及A⊆B，结合集合包含关系的定义，可得m的值．【解答】解：∵集合={2}又∵B={1，m}若A⊆B则m=2故选A2．复数z=﹣2+2i，则的虚部为（）A．2i B．﹣2i C．2 D．﹣2【考点】复数的基本概念．【分析】首先求出，根据复数的概念求虚部．【解答】解：因为复数z=﹣2+2i，则=﹣2﹣2i，所以的虚部为﹣2；故选：D．3．下列函数中，在区间（﹣1，1）上为减函数的是（）A．y=B．y=cosx C．y=ln（x+1） D．y=2﹣x【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数单调性的定义，余弦函数单调性，以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在（﹣1，1）上的单调性，从而找出正确选项．【解答】解：A．x增大时，﹣x减小，1﹣x减小，∴增大；∴函数在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；B．y=cosx在（﹣1，1）上没有单调性，∴该选项错误；C．x增大时，x+1增大，ln（x+1）增大，∴y=ln（x+1）在（﹣1，1）上为增函数，即该选项错误；D.；∴根据指数函数单调性知，该函数在（﹣1，1）上为减函数，∴该选项正确．故选D．4．已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】求出向量+的坐标，根据向量垂直的充要条件，构造关于m的方程，解得答案．【解答】解：∵向量=（1，m），=（3，﹣2），∴+=（4，m﹣2），又∵（+）⊥，∴12﹣2（m﹣2）=0，解得：m=8，故选：D．5．已知a，b∈R，则“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据指数函数，对数函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若“（）a＜（）b”，则根据指数函数的单调性的性质可知a＞b，当a，b由负值或等于0时，log2a＞log2b不成立．若log2a＞log2b，则a＞b＞0．此时“（）a＜（）b”成立．∴“log2a＞log2b”是“（）a＜（）b”的充分不必要条件．故选：A6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为（）A．B．C．D．【考点】等比数列的前n项和．【分析】设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．利用等比数列的通项公式及其前n项公式即可得出．【解答】解：设这女子每天分别织布a n尺，则数列{a n}是等比数列，公比q=2．则=5，解得．∴a3==．故选：A．7．已知变量x，y满足约束条件则z=2x+y的最大值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大值即可．【解答】解：作图易知可行域为一个三角形，其三个顶点为（0，1），（1，0），（﹣1，﹣2），验证知在点（1，0）时取得最大值2当直线z=2x+y过点A（1，0）时，z最大是2，故选B．8．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为（）A． B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是三棱锥，根据三视图知最里面的面与底面垂直，高为2，结合直观图判定外接球的球心在SO上，利用球心到A、S的距离相等求得半径，代入球的表面积公式计算．【解答】解：由三视图知：几何体是三棱锥，且最里面的面与底面垂直，高为2，如图：其中OA=OB=OC=2，SO⊥平面ABC，且SO=2，其外接球的球心在SO上，设球心为M，OM=x，则=2﹣x⇒x=，∴外接球的半径R=，∴几何体的外接球的表面积S=4π×=π．故选：D．9．设x∈R，若函数f（x）为单调递增函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣e x]=e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）的值等于（）A．1 B．e+l C．3 D．e+3【考点】函数单调性的性质．【分析】利用换元法将函数转化为f（t）=e+1，根据函数的对应关系求出t的值，即可求出函数f（x）的表达式，即可得到结论．【解答】解：设t=f（x）﹣e x，则f（x）=e x+t，则条件等价为f（t）=e+1，令x=t，则f（t）=e t+t=e+1，∵函数f（x）为单调递增函数，∴函数为一对一函数，解得t=1，∴f（x）=e x+1，即f（ln2）=e ln2+1=2+1=3，故选：C．10．在直角坐标系xOy中，设A（﹣2，3），B（3，﹣2），沿x轴把直角坐标平面折成大小为θ的二面角后，这时，则θ的大小为（）A．120°B．60°C．30°D．45°【考点】二面角的平面角及求法．【分析】作AC⊥x轴，BD⊥x轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，根据二面角的平面角的定义可知∠BDM就是二面角的平面角，则利用，根据余弦定理可知∠BDM的大小．【解答】解：作AC垂直x轴，BD垂直x轴，AM平行等于CD，连接AB，MD，CD=5，BD=2，AC=3=MD，而BD⊥x轴，MD⊥x轴（MD∥AC），∠BDM就是二面角的平面角，∴，∴BM=，∵DM=3，BD=2∴COS∠BDM=﹣∴∠BDM=120°故选A．11．若函数f（x）=x3﹣3x在（a，6﹣a2）上有最大值，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，﹣1）B．（﹣，﹣1]C．（﹣，﹣2）D．（﹣，﹣2]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】因为给的是开区间，最大值一定是在该极大值点处取得，因此对原函数求导、求极大值点，求出函数极大值时的x值，然后让极大值点落在区间（a，6﹣a2）内，依此构造不等式．即可求解实数a的值．【解答】解：由题意f（x）=x3﹣3x，所以f′（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），当x＜﹣1或x＞1时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜1时，f′（x）＜0，故x=﹣1是函数f（x）的极大值点，f（﹣1）=﹣1+3=2．，x3﹣3x=2，解得x=2，所以由题意应有：，解得﹣＜a≤2．故选：D．12．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞）D．（1，+∞）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得△PAB的面积的取值范围．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|x P|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二．填空题（共4小题，每题5分）13．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用数量积的性质即可得出．【解答】解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．14．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是3寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由题意得到盆中水面的半径，利用圆台的体积公式求出水的体积，用水的体积除以盆的上地面面积即可得到答案．【解答】解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为寸．则盆中水的体积为（立方寸）．所以则平地降雨量等于（寸）．故答案为3．15．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+=．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：16．若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则k= 2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k==，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得kx1+b=lnx1+2，kx2+b=ln（x2+1）联立上述式子解得k=2，故答案为2．三．解答题（共7小题，17---21每题12分，22-23选择一个作答，10分）17．如图是函数的图象的一部分．（1）求函数y=f（x）的解析式．（2）若．【考点】正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由条件求得，再根据2α∈[π，2π]，求得2α=，可得tan2α 的值．【解答】解：（1）由图象可知振幅A=3，又，∴ω=，∴f（x）=3sin（2x+φ）．再根据五点法作图可得2•+φ=π，∴，∴．（2）∵，∴，∴．∵α∈[，π]，∴2α∈[π，2π]，∴2α=，∴tan2α=tan=tan（﹣）=﹣tan=﹣．18．S n为数列{a n}的前n项和，己知a n＞0，a n2+2a n=4S n+3（I）求{a n}的通项公式：（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）根据数列的递推关系，利用作差法即可求{a n}的通项公式：（Ⅱ）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和．【解答】解：（I）由a n2+2a n=4S n+3，可知a n+12+2a n+1=4S n+1+3两式相减得a n+12﹣an2+2（an+1﹣a n）=4a n+1，即2（a n+1+a n）=a n+12﹣an2=（an+1+a n）（a n+1﹣a n），∵a n＞0，∴a n+1﹣a n=2，∵a12+2a1=4a1+3，∴a1=﹣1（舍）或a1=3，则{a n}是首项为3，公差d=2的等差数列，∴{a n}的通项公式a n=3+2（n﹣1）=2n+1：（Ⅱ）∵a n=2n+1，∴b n===（﹣），∴数列{b n}的前n项和T n=（﹣+…+﹣）=（﹣）=．19．如图，在平面四边形ABCD中，AD=1，CD=2，AC=．（Ⅰ）求cos∠CAD的值；（Ⅱ）若cos∠BAD=﹣，sin∠CBA=，求BC的长．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（Ⅰ）利用余弦定理，利用已知条件求得cos∠CAD的值．（Ⅱ）根据cos∠CAD，cos∠BAD的值分别，求得sin∠BAD和sin∠CAD，进而利用两角和公式求得sin∠BAC的值，最后利用正弦定理求得BC．【解答】解：（Ⅰ）cos∠CAD===．（Ⅱ）∵cos∠BAD=﹣，∴sin∠BAD==，∵cos∠CAD=，∴sin∠CAD==∴sin∠BAC=sin（∠BAD﹣∠CAD）=sin∠BADcos∠CAD﹣cos∠BADsin∠CAD=×+×=，∴由正弦定理知=，∴BC=•sin∠BAC=×=320．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB=2AD=2CD=2．E是PB的中点．（Ⅰ）求证：平面EAC⊥平面PBC；（Ⅱ）若二面角P﹣AC﹣E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明平面EAC⊥平面PBC，只需证明AC⊥平面PBC，即证AC⊥PC，AC⊥BC；（Ⅱ）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量=（1，﹣1，0），面EAC的法向量=（a，﹣a，﹣2），利用二面角P﹣A C﹣E的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2），即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC，∵AB=2，AD=CD=1，∴AC=BC=，∴AC2+BC2=AB2，∴AC⊥BC，又BC∩PC=C，∴AC⊥平面PBC，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC．…（Ⅱ）如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0）．设P（0，0，a）（a＞0），则E（，﹣，），…=（1，1，0），=（0，0，a），=（，﹣，），取=（1，﹣1，0），则•=•=0，为面PAC的法向量．设=（x，y，z）为面EAC的法向量，则•=•=0，即取x=a，y=﹣a，z=﹣2，则=（a，﹣a，﹣2），依题意，|cos＜，＞|===，则a=2．…于是=（2，﹣2，﹣2），=（1，1，﹣2）．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜，＞|==，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．…21．已知函数f（x）=2lnx﹣x2+ax，a∈R．（1）若函数f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不等的实数根，求实数m的取值范围；（2）若函数f（x）的图象与x轴交于不同的点A（x1，0），B（x2，0），且0＜x1＜x2，求证：f′（px1+qx2）＜0 （实数p，q满足0＜p≤q，p+q=1）【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（1）方程f（x）=﹣ax+m即为2lnx﹣x2+2ax﹣m=0，令g（x）=2lnx﹣x2+2ax﹣m，利用导数研究该函数在[，e]上的最小值，要使方程f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不相等的实数根，得到关于m的不等式组，解之即可；（2）将a用x1与x2表示，然后求出导函数f′（x），从而得到f′（px1+qx2），然后利用导数研究函数的单调性证明f′（px1+qx2）＜0．【解答】解：（1）方程f（x）﹣ax+m=0即为2lnx﹣x2+m=0，令g（x）=2lnx﹣x2+m，则g′（x）=﹣2x=，因为x∈[，e]，故g'（x）=0时，x=1．当＜x＜1时，g'（x）＞0；当1＜x＜e时，g'（x）＜0．故函数g（x）在x=1处取得极大值g（1）=m﹣1，又g（）=m﹣2﹣，g（e）=m+2﹣e2，g（e）﹣g（）=4﹣e2+＜0，则g（e）＜g（），故函数g（x）在[，e]上的最小值是g（e）．方程f（x）﹣ax+m=0在[，e]上有两个不相等的实数根，则有，解得1＜m≤2+，故实数m的取值范围是（1，2+]．（2）∵函数f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），2lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，则2lnx1﹣+ax1=0①，2lnx2﹣+ax2=0②，两式相减得a=（x1+x2）﹣，f（x）=2lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，则f′（px1+qx2）=﹣2（px1+qx2）+a=﹣+（2p﹣1）（x2﹣x1）．（*）∵0＜p≤q，p+q=1，则2p≤1，又0＜x1＜x2，∴（2p﹣1）（x2﹣x1）≤0，下证﹣＜0，即证明+ln＜0．令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，∵u′（t）=﹣=，∵0＜p≤q，∴≥1，又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，从而知+ln＜0，故（*）＜0，即f'（px1+qx2）＜0成立．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），曲线C2：（φ为参数，实数b＞0）．在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ=α（ρ≥0，0≤α≤）与C1交于O、A两点，与C2交于O、B两点．当α=0时，|OA|=1；当α=时，|OB|=2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求2|OA|2+|OA|•|OB|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），利用cos2φ+sin2φ=1即可化为普通方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式即可得出极坐标方程，进而得出a的值．同理可得b的值．（II）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．可得2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=+1，利用三角函数的单调性与值域即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C1：（φ为参数，实数a＞0），化为普通方程为（x﹣a）2+y2=a2，展开为：x2+y2﹣2ax=0，其极坐标方程为ρ2=2aρcosθ，即ρ=2acosθ，由题意可得当θ=0时，|OA|=ρ=1，∴a=．曲线C2：（φ为参数，实数b＞0），化为普通方程为x2+（y﹣b）2=b2，展开可得极坐标方程为ρ=2bsinθ，由题意可得当时，|OB|=ρ=2，∴b=1．（Ⅱ）由（I）可得C1，C2的方程分别为ρ=cosθ，ρ=2sinθ．∴2|OA|2+|OA|•|OB|=2cos2θ+2sinθcosθ=sin2θ+cos2θ+1=+1，∵2θ+∈，∴+1的最大值为+1，当2θ+=时，θ=时取到最大值．23．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．2017年2月15日。

2016年辽宁省重点中学协作体高三第一次教学质量检测数学（理科）试卷注意事项：1. 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上．3. 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1、已知A．－1 B．1 C．－2 D．22、为非零向量“函数为偶函数”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3、若复数为纯虚数为虚数单位，则实数的值是A．—3 B．—3或1 C．3或—1 D．14、函数的部分图象如图所示，设是图象的最高点，是图象与轴的交点，则A．B．C．D．5、右图是统计高三年级1000名同学某次数学考试成绩的程序框图，若输出的结果是720，则这次考试数学分数不低于90分的同学的频率是A．0.28 B．0.38 C．0.72 D．0.626、设＝，则二项式展开式中不含项的系数和是A．－192 B．193 C．－6 D．77、已知数列满足:，，用表示不超过的最大整数，则的值等于A．1B．2C．3D．48、.如图，过椭圆中心的直线与经椭圆长短轴端点的两条切线分别交于点A、B，O是与的交点，被椭圆分成四部分，若这四部分图形的面积满足，则直线有A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条9、已知三棱锥，两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在内运动含边界，则的中点的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体的体积为A．B．或C．D．或10、设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是A．B． C．D．11、已知点P是椭圆上一点，分别为椭圆的左、右焦点，为△的内心，若成立，则的值为A．B． C． D．12、设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）．记集合S=若，分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是A．=1且=0 B．C．=2且=2 D．=2且=3第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上13、以下说法中正确的是①甲乙两同学各自独立地考察了两个变量的线性相关关系时，发现两个人对的观测数据的平均值相等，都是。

2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．63．设向量满足，且，则=（）A．B．12 C． D．84．如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加5．的展开式中常数项为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．66．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．8 D．7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．58．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．329．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣1，+∞）10．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），则当x＜﹣1时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6 B．f（x）=﹣2﹣x﹣8x+6 C．f（x）=2﹣x+8x+6 D．f（x）=﹣2﹣x+8x﹣611．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（2，+∞）C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=|sinπx|的最小正周期为．14．球O被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α的距离为，则球O的表面积为．15．函数的最大值为．16．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．（2）若数列{b n}满足，b n+118．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为k OA，k OM，k OB，若k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，求直线l的方程．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+（2﹣a）lnx（a∈R且a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．2016-2017学年辽宁省重点高中协作校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设i为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A．4+i B．4﹣i C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数得答案．【解答】解：由=，得复数的共轭复数为：4﹣i．故选：B．2．设集合A={x|x2﹣9＜0}，B={x|2x∈N}，则A∩B的元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集体合A和B，由此能求出A∩B的元素的个数．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣9＜0}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|2x∈N}，∴A∩B={﹣2，0，2}，∴A∩B的元素的个数为3个．故选：A．3．设向量满足，且，则=（）A．B．12 C． D．8【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件，进行数量积的运算即可求出的值，进而便可得出的值．【解答】解：=8﹣4+8=12；∴．故选A．4．如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A．2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速有上升的趋势B．相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加C．相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率明显增加D．相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率明显增加【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP累计同比贡献率的条形图，逐一分析给定四个上结论的真假，可得答案．【解答】解：由已知中我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业GDP 累计同比贡献率的条形图可得：2015年前三个季度中国GDP累计比较2014年同期增速没有明显上升的趋势，故A错误；相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对GDP的贡献率明显增加，故B 正确；相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对GDP的贡献率没有明显增加，故C错误；相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对GDP的贡献率没有明显增加，故D错误；故选：B．5．的展开式中常数项为（）A．﹣6 B．﹣2 C．2 D．6【考点】二项式系数的性质．【分析】根据二项式展开式的通项公式，令x的指数为0求出r的值，即可求出展开式中常数项．【解答】解：的展开式的通项公式为=••T r+1=（﹣1）r•••x3﹣3r，令3﹣3r=0，解得r=1，∴展开式中常数项为T2=﹣1××=﹣6．故选：A．6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．4 C．8 D．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，代入棱柱体积公式，可得答案．【解答】解：由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积S=2×2=4，高h=2，故体积V=Sh=8，故选：C7．抛物线y2=4x上有两点A，B到焦点的距离之和为7，则A，B到y轴的距离之和为（）A．8 B．7 C．6 D．5【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A、B到y轴的距离之和．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点F（1，0），准线方程x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=7∴x1+x2=5，∴A、B到y轴的距离之和为5，故选：D．8．若正整数N除以正整数m后的余数为n，则记为N≡n（bmodm），例如10≡2（bmod4）．下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》．执行该程序框图，则输出的i等于（）A．4 B．8 C．16 D．32【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得n=11，i=1i=2，n=13不满足条件“n=2（mod 3）“，i=4，n=17，满足条件“n=2（mod 3）“，不满足条件“n=1（mod 5）“，i=8，n=25，不满足条件“n=2（mod 3）“，i=16，n=41，满足条件“n=2（mod 3）“，满足条件“n=1（mod 5）”，退出循环，输出i的值为16．故选：C．9．设x，y满足约束条件，若z=ax+y仅在点处取得最大值，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1）B．（2，+∞）C．（0，2） D．（﹣1，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】作出其平面区域，由图确定若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点处取得最大值时斜率﹣a的要求，从而求出a的取值范围．【解答】解：由题意，作出x，y满足约束条件平面区域如下图：目标函数z=ax+y（其中a＞0）可化为y=﹣ax+z，则由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在点处取得最大值，得：﹣a＜﹣2，即a＞2．故选：B．10．已知函数f（x）为定义在R上的奇函数，当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），则当x＜﹣1时，f（x）的表达式为（）A．f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6 B．f（x）=﹣2﹣x﹣8x+6 C．f（x）=2﹣x+8x+6 D．f（x）=﹣2﹣x+8x﹣6【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由条件求得f（2）=﹣6，可得当x＞1时，f（x）的解析式，再根据该函数为奇函数求得当x＜﹣1时，f（x）的表达式．【解答】解：∵当x＞1时，f（x）=2x﹣8x﹣f（2），令x=2，求得f（2）=﹣6，故当x＞1时，f（x）=2x﹣8x+6．设x＜﹣1，则﹣x＞1，f（﹣x）=2﹣x+8x+6，再根据f（﹣x）=﹣f（x），可得﹣f （x）=2﹣x+8x+6，∴f（x）=﹣2﹣x﹣8x﹣6，故选：A．11．飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔15000m，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为（）A．（15﹣18sin18°cos78°）km B．（15﹣18sin18°sin78°）kmC．（15﹣20sin18°cos78°）km D．（15﹣20sin18°sin78°）km【考点】解三角形的实际应用．【分析】先求AB的长，在△ABC中，可求BC的长，进而由于CD⊥AD，所以CD=BCsin ∠CBD，故可得山顶的海拔高度【解答】解：如图，∠A=18°，∠ACB=60°，AB=1000×108×=30（km ）∴在△ABC中，BC==20sin18°∵CD⊥AD，∴CD=BCsin∠CBD=BC×sin78°=20sin18°sin78°山顶的海拔高度=15﹣20sin18°sin78°km．故选D．12．已知函数f（x）=的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在这两点处的切线重合，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（2，+∞）C．D．【考点】分段函数的应用．【分析】先根据导数的几何意义写出函数f（x）在点A、B处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出a=（+1）2，令t=，则0＜t＜1，即可得出a的取值范围．【解答】解：当x＜0时，f（x）=x2+x+a的导数为f′（x）=2x+1；当x＞0时，f（x）=的导数为f′（x）=﹣，设A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））为该函数图象上的两点，且x1＜x2，当x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2时，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，当x1＜0时，函数f（x）在点A（x1，f（x1））处的切线方程为：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；当x2＞0时，函数f（x）在点B（x2，f（x2））处的切线方程为y+=﹣（x ﹣x2）．两直线重合的充要条件是﹣=2x1+1①，0=﹣x12+a②，由①及x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②得a=（+1）2，令t=，则0＜t＜1，且a=（t+1）2，在（0，1）为增函数，∴＜a＜1，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数f（x）=|sinπx|的最小正周期为1．【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】首先求出y=si nπx的周期，进一步利用y=|sinπx|的周期为y=sinπx的周期的一半，求出结论．【解答】解：y=sinπx的周期为：T==2，由于y=|sinπx|的周期为y=sinπx的周期的一半，所以：y=|sinπx|的周期为=1，故答案为：1．14．球O被平面α所截得的截面圆的面积为π，且球心到α的距离为，则球O的表面积为64π．【考点】球的体积和表面积．【分析】先确定截面圆的半径，再求球的半径，从而可得球的表面积【解答】解：∵截面的面积为π，∴截面圆的半径为1，∵球心O到平面α的距离为，∴球的半径为=4∴球的表面积为4π×42=64π．故答案为64π．15．函数的最大值为．【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】先求出真数的最大值为，进而可得函数的最大值为．【解答】解：==sinx+cosx=sin（x+），故真数的最大值为，故函数的最大值为=，故答案为：．16．直线y=2b与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分别交于B，C 两点，A为右顶点，O为坐标原点，若∠AOC=∠BOC，则该双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用条件得出∠AOC=60°，C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，b=a，即可得出结论．【解答】解：∵∠AOC=∠BOC，∴∠AOC=60°，∴C（b，2b），代入双曲线﹣=1，可得﹣4=1，∴b=a，∴c==a，∴e==，故答案为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{a n}为等比数列，a1=4，且2a2+a3=60．（1）求{a n}；=b n+a n，b1=a2＞0，求b n．（2）若数列{b n}满足，b n+1【考点】等比数列的通项公式．【分析】（1）利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由b1=a2＞0，取a n=4×3n﹣1，可得b1=12．变形为b n+1﹣b n=a n=4×3n﹣1，利用“累加求和”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，∵a1=4，且2a2+a3=60．∴4×（2q+q2）=60，化为：q2+2q﹣15=0，解得q=﹣5，或q=3．∴a n=4×（﹣5）n﹣1，或a n=4×3n﹣1．（2）∵b1=a2＞0，∴a n=4×3n﹣1，可得b1=12．﹣b n=a n=4×3n﹣1，∴b n+1∴b n=（b n﹣b n﹣1）+（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+（b2﹣b1）+b1=4×（3n﹣2+3n﹣3+…+3+1）+12 =+12=2×3n﹣1+10．18．已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第﹣道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售．（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有3部智能手机进人审核，记这3部手机可以出厂销售的部数为X，求X 的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则P（A）=．【分析】（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B．【解答】解：（1）设“审核过程中只通过两道程序”为事件A，则．（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为．由题意可得X可取0，1，2，3，则X～B.，．所以X的分布列为：故（或）．19．在如图所示的四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为正方形，PA⊥CD，BC⊥平面PAB，且E、M、N分别为PD、CD、AD的中点，．（1）证明：PB∥平面FMN；（2）若PA=AB=2，求二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，推导出EO∥PB，FG∥EO，PB∥FG，由此能证明PB∥平面FMN．（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣AC﹣B的余弦值．【解答】证明：（1）连结BD，分别交AC、MN于点O、G，连结EO、FG，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB．…又，∴F为ED中点，又CM=MD，AN=DN，∴G为OD中点，∴FG∥EO，∴PB∥FG．…∵FG⊂平面FMN，PB⊄平面FMN，∴PB∥平面FMN．…解：（2）∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥PA，又PA⊥CD，BC∩CD=C，∴PA⊥平面ABCD．…如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（2，2，0），B（2，0，0），E（0，1，1），则，，…∵PA⊥平面ABCD，∴平面ABC的一个法向量n0=（0，0，1）．…设平面AEC的法向量为n=（x，y，z），则，即，…令x=1，则y=﹣1，z=1，∴n=（1，﹣1，1），…∴．…由图可知，二面角E﹣AC﹣B为钝角，∴二面角E﹣AC﹣B的余弦值为．…20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C上的点到椭圆右焦点F的最小距离为﹣1．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F且不与坐标轴平行的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点，直线OA，OM，OB的斜率为k OA，k OM，k OB，若k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，求直线l的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意列关于a，b，c的方程组，求解方程组可得a，b的值，则椭圆C的方程可求；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合k OA，﹣k OM，k OB成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求．【解答】解：（1）由题意可知，，解得：a2=2，b2=1．∴椭圆C的方程为；（2）由（1）知，F（1，0），设AB：y=k（x﹣1）（k≠0）．联立，得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）．则．∵k OA，﹣k OM，k OB成等差数列，∴k OA+k OB+2k OM====4k==．即k=．∴直线l的方程为y=．21．已知函数f（x）=x2﹣4x+（2﹣a）lnx（a∈R且a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间和极值；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，求出f（x）的单调区间，从而求出f（x）的最小值．【解答】解：（1）当a=8时，f（x）=x2﹣4x﹣6lnx（x＞0），∴，由f'（x）＞0，解得x＞3，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．由f'（x）＜0，解得0＜x＜3，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．所以函数f（x）的极小值为f（3）=﹣3﹣6ln3，f（x）无极大值．（2）当x∈[e，e2]时，，设g（x）=2x2﹣4x+2﹣a，当a＜0时，△=16﹣4×2（2﹣a）=8a＜0，此时g（x）＞0恒成立，所以f'（x）＞0，f（x）在[e，e2]上单调递增，所以．当a＞0时，△=16﹣4×2（2﹣a）=8a＞0，令f'（x）＞0，即2x2﹣4x+2﹣a＞0，解得或；令f'（x）＜0，即2x2﹣4x+2﹣a＜0，解得．①当时，即当a≥2（e2﹣1）2时，g（x）≤0对x∈[e，e2]恒成立，则f（x）在[e，e2]区间单调递减，所以．②当时，即当2（e﹣1）2＜a＜2（e2﹣1）2时，f（x）在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以．③当，即0＜a≤2（e﹣1）2时，g（x）≥0对x∈[e，e2]恒成立，则f（x）在区间[e，e2]单调递增，所以．综上所述，当a≥2（e2﹣1）2时，，当2（e﹣1）2＜a＜2（e2﹣1）2时，；当a＜0或0＜a≤2（e﹣1）2时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．（1）求曲线C的参数方程；（2）在曲线C上任取一点P（x，y），求的3x+4y最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据y=ρsinθ，x=ρcosθ，求出C的普通方程，从而求出参数方程即可；（2）设出P的坐标，从而求出3x+4y的最大值即可．【解答】解：（1）由，得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），∴x2+y2=2x+2y+2，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=4，故曲线C的参数方程为为参数）．（2）由（1）可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），θ∈[0，2π），∴3x+4y=3+6cosθ+4+8sinθ=7+10sin（θ+φ），∴（3x+4y）max=7+10=17．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞）．（1）求实数m的值；（2）若不等式对x∈（0，+∞）恒成立，求实数a 的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（1）解绝对值不等式可得不等式|x﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），可得1是方程2mx=m2的解，由此求得m的值．（2）由题意可得不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立，结合f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|∈（﹣1，3]，可得a+2＞3，a﹣5≤﹣1，由此求得a 的范围．【解答】解：（1）由|x﹣m|＜|x|得|x﹣m|2＜|x|2，即2mx＞m2，而不等式|x ﹣m|＜|x|的解集为（1，+∞），∴1是方程2mx=m2的解，解得m=2（m=0舍去）．（2）∵m=2，∴不等式对x∈（0，+∞）恒成立，等价于不等式a﹣5＜|x+1|﹣|x﹣2|＜a+2对x∈（0，+∞）恒成立．设，则f（x）∈（﹣1，3]．∴a+2＞3，且a﹣5≤﹣1，∴1＜a≤4．2017年2月28日。

2017届辽宁省重点高中校高三上学期期末考试数学（理）试题一、选择题1．设为虚数单位，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由于，所以的共轭复数为，故选B.2．1. 设集合，则的元素的个数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵集合，，∴，∴的元素的个数为个，故选D.3．1. 设向量满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】,∴，故选A.4．1. 如图描述的是我国2014年四个季度与2015年前三个季度三大产业累计同比贡献率，以下结论正确的是（）A. 2015年前三个季度中国累计比较2014年同期增速有上升的趋势B. 相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加C. 相对于2014年，2015年前三个季度第二产业对的贡献率明显增加D. 相对于2014年，2015年前三个季度第一产业对的贡献率明显增加【答案】B【解析】通过图形可以看出，最后三个条形中，白色条形所占的比重明显比前四个条形所占比重要大，即相对于2014年，2015年前三个季度第三产业对的贡献率明显增加，故选B.5．1. 的展开式中常数项为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】展开式的通项为，令，则，∴的展开式中常数项为，故选A.6．1. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由已知可得该几何体是一个以主视图为底面的四棱柱，底面面积，高，故体积，故选C.7．1. 抛物线上有两点到焦点的距离之和为，则到轴的距离之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】抛物线的焦点，准线方程，设，∴∴，∴到轴的距离之和为，故选D.点睛：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，解题的关键是利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离，注重对基础的考查，属于中档题；根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出到轴的距离之和.8．1. 若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.下面程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》.执行该程序框图，则输出的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】模拟程序的运行，可得；，不满足条件“” ，，满足条件“”，不满足条件“”，，不满足条件“”，，满足条件“”，满足条件“”，退出循环，输出的值为，故选C.点睛：本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题；由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.9．1. 设满足约束条件，若仅在点处取得最大值，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，作出满足约束条件，平面区域如下图：目标函数（其中）可化为，则由目标函数（其中）仅在点处取得最大值，得：，即．故选B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.10．1. 已知函数为定义在上的奇函数，当时，,则当时,的表达式为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意得：，即，则，，函数为定义在上的奇函数，可得，∴设时，可得，∴∴，故选A.11．1. 飞机的航线和山頂在同一个铅垂平面内，已知飞机的高度为海拔，速度为,飞行员先看到山顶的俯角为，经过后又看到山顶的俯角为，则山顶的海拔高度为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】如图,，，，∴在中，∵，∴，山顶的海拔高度为．故选D.12．1. 已知函数的图象上存在不同的两点,使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】当时，的导数为；当时，的导数为，设，为该函数图象上的两点，且，当，或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为；当时，函数在点处的切线方程为．两直线重合的充要条件是①，②，由①及得，由①②得，令，则，且，则，结合三次函数的性质可知，在时恒成立，故单调递增，即，即，可得函数的图象在点、处的切线重合，的取值范围是，故选A.点睛：本题主要考查了导数的几何意义等基础知识，考查了推理论证能力、运算能力、创新意识，考查了函数与方程、分类与整合、转化与化归等思想方法；先根据导数的几何意义写出函数在点、处的切线方程，再利用两直线重合的充要条件：斜率相等且纵截距相等，列出关系式，从而得出，即可得出的取值范围.二、填空题13．1. 函数的最小正周期为__________．【答案】1【解析】对于，，函数是函数,轴上方的图象不动将轴下方的图象向上对折得到的，故，故答案为.14．1. 球被平面所截得的截面圆的面积为，且球心到的距离为，则球的表面积为__________．【答案】【解析】平面所截得的截面圆的面积为，即小圆的面积为，小圆的半径是，则大圆的半径，球的表面积为，故答案为.点睛：本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由与球心距离为的平面截球所得的截面圆的面积是，我们易求出截面圆的半径为，根据球心距、截面圆半径、球半径构成直角三角形，满足勾股定理，我们易求出该球的半径即，进而求出球的表面积.15．1. 函数的最大值为__________．【答案】【解析】由于，的最大值为，故的最大值为，故答案为.16．1. 直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，为右顶点，为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】∵，∴，∴，代入双曲线，可得，∴，∴，∴，故答案为.三、解答题17．1. 已知数列为等比数列，，且.（1）求；（2）若数列满足，，求.【答案】 (1).(2).【解析】试题分析：（1）根据等比数列的定义将和表示成首项和公比的形式，进而解出，得到；（2）将转化为，利用累加法即可求出.试题解析：（1）设的公比为，则，或，当时，；当时，.（2）.，.18．1. 已知某智能手机制作完成之后还需要依次通过三道严格的审核程序，第—道审核、第二道审核、第三道审核通过的概率分别为，每道程序是相互独立的，且一旦审核不通过就停止审核，每部手机只有三道程序都通过才能出厂销售.（1）求审核过程中只通过两道程序的概率；（2）现有部智能手机进人审核，记这部手机可以出厂销售的部数为，求的分布列及数学期望.【答案】 (1) (2)详见解析【解析】试题分析：（1）根据题意只通过两道程序是指前两道通过，第三道未通过，利用相互独立事件的概率乘法公式即可做出结果；（2）计算出每部智能手机可以出厂销售的概率为，的次数的取值是，根据互斥事件和相互独立事件同时发生的概率列出分布列，最后做出分布列和期望即可.试题解析：（1）设“审核过程中只通过两道程序” 为事件，则.（2）每部该智能手机可以出厂销售的概率为.由题意可得可取，则有,.所以的分布列为:故(或).19．1. 在如图所示的四棱锥中，四边形为正方形，平面，且分别为的中点，.（1）证眀: 平面；（2）若,，求二面角的余弦值.【答案】(1)详见解析(2)【解析】试题分析：（1）连结，分别交于点，连结，推导出，，，由此能证明平面；（2）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值.试题解析：（1）证明: 连结,分别的交于点，连结为中点，为中点，.又为中点，又为的中点，平面平面平面.（2）平面,又平面.如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴轴建立空间直角坐标系，则,则平面,平面的一个法向量,设平面的法向量为,则,即,令,则,由图可知，二面角为饨角，二面角的余弦值.点睛：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用；证明线面平行常用的方式有：（1）、利用三角形中位线；（2）、构造平行四边形；（3）、利用面面平行；在该题中利用的是（1）.利用向量法求二面角先求出每个面的法向量，将二面角的平面角转化为法向量夹角或其补角（根据图形观察确定）.20．1. 已知椭圆的离心率为，且椭圆上的点到椭圆右焦点的最小距离为.（1）求椭圆的方程；（2）过点且不与坐标轴平行的直线与椭圆交于两点，线段的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为，若成等差数列，求直线的方程.【答案】(1)椭圆的方程为. (2).【解析】试题分析：（1）由题意列关于的方程组，求解方程组可得的值，则椭圆的方程可求；（2）由（1）知，，设：．联立直线方程与椭圆方程，由一元二次方程的根与系数的关系结合成等差数列求得直线的斜率，则直线方程可求.试题解析：（1）点的坐标为,由题意可得:得∴椭圆的方程为.（2）设点,又,故直线的方程可设为,由,得,.又成等差数列，,即，故直线的方程为，即.21．1. 已知函数且.（1）当时，求函数的单调区间和极值；（2）求函数在区间上的最小值.【答案】(1)函数的单调递减区间是，函数的极小值为无极大值.(2)详见解析【解析】试题分析：（1）把代入，先求定义域，在求导数，令，，求解函数的单调区间及极值；（2）先求导数，研究函数的极值点、端点的函数值，比较极小值与端点函数值的大小，进而求出最小值.试题解析：（1）当时，,由，解得,所以函数的单调递增区间是.由,解得,所以函数的单调递减区间是.所以函数的极小值为无极大值.（2）当时,,设,当时，,此时恒成立，所以在上单调递增，所以.当时，,令,即,解得或；令,即,解得.①当时，即当时, 对恒成立，则在区间单调递减, 所以.②当时，即当时,在区间上单调递减,在区间上单调递增, 所以.③当，即时,对恒成立，则在区间单调递增，所以.综上所述，当时，,当时，；当或时,.22．1. 选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的参数方程；（2）在曲线上任取一点，求的最大值.【答案】解：(1)曲线的参数方程为为参数).(2)【解析】试题分析：（1）等式两边同时乘以，利用，先将其转化为直角坐标方程，再利用将其化为参数方程；（2）根据（1）将点的参数形式代入，利用辅助角公式将其化简，得其最值. 试题解析：（1）由得,即,故曲线的参数方程为为参数).（2）由（1）可设点的坐标为，.点睛：本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程，以及三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题；极坐标方程与直角坐标方程互化主要是通过，圆的直角坐标方程与参数方程互化主要是根据，同时辅助角公式在三角函数式化简中的应用频率也是相当高的.23．1. 选修4-5：不等式选讲已知不等式的解集为.（1）求实数的值；（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】解：（1）（2）.【解析】试题分析：（1）将绝对值不等式两边同时平方，将其转化为一元一次不等式，再根据不等式解集的端点值即为相对应方程的解可得；（2）将代入将原题转化为对恒成立，令求出其值域即可得的取值范围.试题解析：（1）由得,即,而不等式的解集为,则是方程的解，解得舍去).（2）不等式对恒成立等价于，不等式对恒成立，设，则。

2016年葫芦岛市普通高中高三调研考试数学试题(理科)参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案B B DC C B A B A CD B 二.填空题:每小题5分,总计20分.13. x 2=-12y 14.8128,(1+2+22+23+24)·(1+31) 15. [12,54] 16. 1805三.解答题:17.(本小题满分12分)解：（1）由a 32=9a 2a 6得：a 32=9a42q 2=19∵q>0 ∴q=13又2a 1+3a 2=1∴a 1=13…………3分∴a n =(13)n …………………………………………………………………………6分(2) 由b n +1=2log 31a n 得：b n =2n-1 令c n = a n b n =(2n-1)·(13)n ……………………………8分∴S n =1×13+3×(13)2+5×(13)3+…+(2n-3)×(13)n-1+(2n-1)×(13)n …………………①13S n =1×(13)2+3×(13)3+5×(13)4+…+(2n-3)×(13)n +(2n-1)×(13)n+1………………②①-②得：23S n =1×13+2[(13)2+ (13)3+…+ (13)n-1+13)n ]－(2n-1)×(13)n+1＝13+2×(13)2[1-(13)n-1]1-13－(2n-1)×(13)n+1 ∴S n =1-n+13n …………………………………………12分18．（本小题满分12分）（1）证明：因为∠ABC=90°，所以AB ⊥BC ．因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，AB ?平面ABCD ，所以AB ⊥平面PBC ；……………………………3分（2）解：取BC 的中点O ，连接PO ．因为PB=PC ，所以PO ⊥BC ．因为平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD=BC ，PO ?平面PBC ，所以PO ⊥平面ABCD ．…（4分）如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，在平面ABCD 内过O 垂直于BC 的直线为y 轴，OP 所在的直线为z 轴建立空间直角坐标系O-xyz ． A D P B C x y z O不妨设BC=2．由直角梯形ABCD 中AB=PB=PC=BC=2CD 可得P （0，0，），D （-1，1，0），A （1，2，0）．所以DP →=(1,-1,3), DA→=(2,1,0),设平面PAD 的法向量．因为m →⊥DP →，m →⊥DA →，所以x-y+3z=02x+y=0令x=1，则y=-2，z=-3．所以m →=(1,-2,- 3)．…（7分）取平面BCP 的一个法向量n →=(0,1,0)，所以cos<m →,n →>=m →·n→|m →|·|n →|=-22所以平面ADP 和平面BCP 所成的二面角（小于90°）的大小为4．…（8分）（3）解：在棱PB 上存在点M 使得CM ∥平面PAD ，此时PM PB =12．理由如下：…（10分）取AB 的中点N ，连接CM ，CN ，MN ，则MN ∥PA ，AN=12AB ．因为AB=2CD ，所以AN=CD ．因为AB ∥CD ，所以四边形ANCD 是平行四边形．所以CN ∥AD ．因为MN ∩CN=N ，PA ∩AD=A ，所以平面MNC ∥平面PAD （13分）因为CM ?平面MNC ，所以CM ∥平面PAD ．…（12分）19．（本小题满分12分）(1)x A -<x B -………………………………………………………………3分（2）由茎叶图可知，“种子选手”共有13名，其中A 班3人，B 班10人，非种子选手27人，其中A 班17人，B 班10人，从而22列联表如下：将22列联表中的数据代入公式计算，得……………………6分K 2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=40×(3×10-17×10) 220×20×27×13=13×14213×27=1960351≈5.584因为 5.584>5.024，所以能够“在犯错误的概率不超过0.025的前提下”认为成为‘种子选手’与班级有关？………………8分(3)由（2）知：种子选手共13人，其中获市一等奖的人数为6人，由题意，X 满足参数为13，6，3的超几何分布所以X 的所有可能取值为0，1，2，3， A D P B C M N A 班B 班总计种子选手3 10 13 非种子选手17 10 27 总计20 20 40P （X=i)=C i 6C 3-i 7C 413(i=0,1,2,3) ∴P （X=0)=C 06C 37C 313 =35286,P （X=1)=C 16C 27C 313 =126286=63143, P （X=2)=C 26C 17C 313 =105286, P （X=3)=C 36C 07C 313 =20286=10143…………………………………10分∴X 的分布列为：X0 1 2 3 P 错误!错误!错误!错误!∴EX=0×35286+1×63143+2×105286+3×10143=1813……………………12分(或由超几何分布的期望计算公式EX=n ×M N =3×613=1813)20.(本小题满分12分)解：（1）∵e=12∴a 2=4c 2=4a 2-4b2 ∴3a 2=4b 2又由题意知：b=3 ∴a 2=4∴椭圆C 1的方程为：x 24+y 23=1……………3分(2)(i)设P(m,n),则由OQ →=λOP →得：Q （λm,λn ）∵Q 在椭圆C 2上,∴λ2m 24+λ2n 23=4 λ2(m 24+n 23)=4 ∵P 在椭圆C 1上∴m 24+n 23=1 ∴λ2=4 又∵λ<0 ∴λ=-2……………5分设切线l 的方程为：y=kx+t联立方程组：x 24+y 23=1y=kx+t 联立并消元整理得：(4k 2+3)x 2+8ktx+4t 2-12=0=48(4k 2+3-t 2)=0 ∴4k 2+3=t 2………②联立方程组：x 216+y 212=1y=kx+t消元整理得：(16k 2+12)x 2+32ktx+16t 2-16×12=0…………①设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),则x 1,x 2是方程①的两个解，由韦达定理得：x 1+x 2=-32kt 16k 2+12, x 1x 2=16t 2-16×1216k 2+12|MN|=1+k 2·(x 1+x 2)2-4x 1x 2=1+k 2·163·16k 2+12-t 216k 2+12=1+k 2·163·12k 2+916k 2+12=1+k 2·124k 2+3=12·1+k 24k 2+3=6·4+4k 24k 2+3=6·1+14k 2+3∈(6,43] ……………9分设O 到直线MN 的距离为d 1, Q 到直线MN 的距离为d 2,则由（i ）知：d 2=3d 1d 2=3d 1=3t1+k 2∴S QMN =12·|MN|·d 2=12·1+k 2·124k 2+3·3t1+k 2=18即△QMN 的面积为定值，这个定值为18……………12分21. (本小题满分12分)解：(1)f (x)=a ·e ax (ax-2)+a ·e ax = a ·e ax (ax-1)，令f (x)=0，解得x=1a ; 当x 变化时，f (x),f(x)的变化情况如下表：x (-∞,2) 2(2,+∞)f (x)-0+f(x)↘极大值1e 2↗∴f(x)在(-∞, 1a )内是减函数，在(1a,+∞)内是增函数. ∴当x=1a 时，f(x)取得极小值f(1a)= -e .……………………………3分⑵证明：令F(x)=f(x)-g(x)= eax (ax-2)+ e 2-ax ·ax ∴F (x)= f(x)-g (x)= f (x)+ f (2a -x)= a ·e ax (ax-1)+ a ·e 2-ax (1-ax) = a ·(ax-1)(eax -e 2-ax ) = a ·e ax ·(ax-1)(1 -e 2-2ax ) ∵x>1a∴ax>1 ∴ax-1>0 2-2ax=-2(ax-1)<0 ∴e 2-2ax <1 1 -e 2-2ax >0 ∴F (x)>0 ∴F(x)在(1a,+∞) 内是增函数∴F(x)> F(1a )=f(1a )-g(1a )=f(1a )-f(2a -1a)=0 ∴F(x)>0 即f(x)>g(x)……………………………7分⑶证明：(i)由(1)知，f(x)在(-∞, 1a )内是减函数，在(1a,+∞)内是增函数. ∴当x=1a 时，f(x)取得极小值f(1a )= -e 考虑到当x →-∞时，e ax →0， ax-2→0,且e ax >0, ax-2 <0，∴f(x)→0且f(x)<0当x →+∞时，显然f(x)→∞∴f(x)草图如右，由草图可知：t (-e,0)……………9分(ii)设A （x 1,f(x 1)），B （x 2,f(x 2)）,如图，不妨设:x 1<1a < x2∵x 2>1a ∴由（2）知：f(x 2)>g(x 2)=f(2a -x 2) 即：f(x 2)> f(2a -x 2)∵f(x 1)＝f(x 2) ∴f(x 1)> f(2a -x 2) 1a -e x y o L:x=t∵x 1<1a < x2 ∴x 1(-∞, 1a ), 2a -x 2(-∞, 1a ), 由(1)知：f(x)在(-∞, 1a )内是减函数∴x 1 <2a -x 2 ∴x 1+x 2<2a即x 0<1a f (x)<0在x (-∞, 1a )时恒成立，∴f (x 0)<0…………………………12分22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲由切割线定理知DF 2=DB ·DA,因此只需证明DF=DE ．因为∠OFC+∠CFD=90°，∠OCE+∠CEO=90°,∠OCF=∠OFC ．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ．试题解析：证明：连结OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°．所以∠OFC+∠CFD=90°．因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ．因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ．因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB ·DA ．所以DE 2=DB ·DA ．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解法一（1）曲线C 的极坐标方程是ρ=4cos θ，∴ρ2=4ρcos θ，∴x 2+y 2=4x ，∴曲线C 的极坐标方程化为普通方程是x 2+y 2-4x=0.直线l 的参数方程相减得x-y=m ，即x-y-m=0，∴直线l 的参数方程化为普通方程是x-y-m=0.……5分（2）由（1）知：圆心的坐标为（2，0），圆的半径R=2，圆心到直线l 的距离d=22-(142)2 =22∴|2-0-m|2 =22∴ |m-2|=1，解得m=1或m=3. ……10分解法二（1）同解法一……5分（2）由（1）知：曲线C 的普通方程是x 2+y 2-4x=0,设A(22t 1+m, 22t 1),B(22t 2+m, 22t 2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程x 2+y 2-4x=0,得(22t+m)2+(22t)2-4(22t+m)=0，整理得t 2+2(m-2)t+m 2-4m=0，则t 1,t 2是关于t 的一元二次方程t 2+2(m-2)t+m 2-4m=0的两个不相等的根，m 的取值需满足△=[2(m-2)]2-4(m 2-4m)=-2m 2+8m+8>0，∴t 1+t 2=-2(m-2), t 1t 2= m 2-4m ，∴|AB|=[(22t 1+m)-( 22t 2+m)]2+(22t 1-22t 2)2=(t 1-t 2)2=2(m-2)2-4(m 2-4m) =-2m 2+8m+8∴-2m 2+8m+8 =14∴解得m=1或m=3.……10分（24）解:：(Ⅰ)|x-1|+|x-4|≥5等价于1255x x 或1435x 或4255x x ，解得：x ≤0或x ≥5．故不等式f(x)≥5的解集为{x| x ≤0或x ≥5}．……5分(Ⅱ)因为: f(x)=|x-1|+|x-a|≥|(x-1)-(x-a)|=|a-1|（当x=1时等号成立）所以：f(x)min =|a-1|…8分. 由题意得：|a-1|≥4，解得a ≤-3或a ≥5．…10分。

2016—2017学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学（理） 第Ⅰ卷（共60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1。

设i 为虚数单位，则复数321i i +-的虚部是（ )A ．52i - B ．52- C ．12i - D ．12-2。

已知集合{23}A x x x =-≤≤,2{50}B x Zx x =∈-<,则A B =（ ）A ．{1,2}B ．{2,3}C ．{1,2,3}D ．{0,1,2,3} 3。

已知向量(1,2)a =，(4,)b m =-，若2a b +与a 垂直,则m =（ ) A ．—3 B ．3 C ．-8 D ．84。

若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 5。

若数列{}na 满足1120n n a a +-=,则称{}n a 为“梦想数列",已知正项数列1{}nb 为“梦想数列",且1232b bb ++=,则678b b b ++=( )A ．4B ．16C ．32D ．646.已知一几何体的三视图如图所示，俯视图由一个直角三角形与一个半圆组成，则该几何体的体积为（ )A ．612π+B ．624π+C ．1212π+D ．2412π+ 7.设函数()sin()3cos()f x x x ωϕωϕ=+-+（0,2πωϕ><)的最小正周期为π,且()f x 为奇函数，则（ ）A ．()f x 在(0,)2π单调递减 B ．()f x 在3(,)44ππ单调递减C ．()f x 在(0,)2π单调递增 D ．()f x 在3(,)44ππ单调递增8.已知直线l :340x y -+=与圆2216x y +=交于,A B 两点，则AB 在x 轴正方向上投影的绝对值为（ ）A ．43B ．4C ．23D ．29。

辽宁省高级中学2016-2017学年高三上学期期末考试数学理试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i3．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣34．点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或5．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．66．如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞67．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．08．已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±29．椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]10．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）11．二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．5 D．1512．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= ．14．若x，y满足约束条件，则的取值范围是．15．设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．16．某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，恰有1门课程没有同学选修，共有 种不同选课方案（用数字作答）．三、解答题17．（12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，且a 2﹣（b ﹣c ）2=bc ，cosAcosB=． （1）求角A 和角B 的大小；（2）若f （x ）=sin （2x+C ），将函数y=f （x ）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g （x ）的图象，求函数g （x ）的解析式及单调递减区间．18．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE=2AF ，BE 与平面ABCD 所成角为45°．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角F ﹣BE ﹣D 的大小．19．（12分）从2名女生和5名男生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的数学期望．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率，AF 2与x 轴垂直，且|AF 2|=． （1）求椭圆的方程；（2）若点A 在第一象限，过点A 作直线l ，与椭圆交于另一点B ，求△AOB 面积的最大值．21．（12分）已知函数f （x ）=（2﹣a ）（x ﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．辽宁省高级中学2016-2017学年高三上学期期末考试数学理试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}，则A∩B=（）A．{x|0＜x＜2} B．{x|0≤x＜2} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|﹣1＜x≤0}【考点】交集及其运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．【分析】先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜2}，B={x|x2+2x≤0}={x|﹣2≤x≤0}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤0}．故选：D．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设z=1+i（i是虚数单位），则=（）A．2﹣2i B．2+2i C．﹣3﹣i D．3+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】转化思想；数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的意义即可得出．【解答】解： ==+1﹣i=1﹣i+1﹣i=2﹣2i．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知，，向量与垂直，则实数λ的值为（）A．B．C．3 D．﹣3【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】计算题；方程思想；定义法；平面向量及应用．【分析】先求出=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），再由向量与垂直，能求出实数λ的值．【解答】解：∵，，∴=（λ+1，﹣2λ），=（﹣3，﹣2），∵向量与垂直，∴（）（）=﹣3（λ+1）+4λ=0，解得λ=3．故选：C．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直的性质的合理运用．4．点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）A．B．C．或D．或【考点】抛物线的简单性质；直线与抛物线的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线的准线方程，利用已知条件列出方程求解即可．【解答】解：抛物线y=ax2的标准方程为：x2=y，a＞0时，准线方程为：y=﹣，a＜0时准线方程为：y=点M（2，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得1+=2，解得a=，﹣﹣1=2，解得a=﹣．故选：C．【点评】本题考查抛物线方程的简单性质的应用，注意抛物线方程的标准方程的应用，是易错题．5．已知三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（）A．B．4 C．D．6【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【专题】计算题；数形结合；空间位置关系与距离；立体几何．【分析】由已知中的三视图，求出棱锥的底面积和高，进而可得棱锥的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可得：棱锥的底面积S=×2×4=4；高h=×2=，故棱锥的体积V==4，故选：B．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．6．（2016•中山市模拟）如图所给的程序运行结果为S=35，那么判断框中应填入的关于k的条件是（）A．k=7 B．k≤6 C．k＜6 D．k＞6【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】根据程序，依次进行运行得到当S=35时，满足的条件，即可得到结论．【解答】解：当k=10时，S=1+10=11，k=9，当k=9时，S=11+9=20，k=8，当k=8时，S=20+8=28，k=7，当k=7时，S=28+7=35，k=6，此时不满足条件输出，∴判断框中应填入的关于k的条件是k＞6，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，依次将按照程序依次进行运行即可．7．设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数的值；周期函数．【专题】计算题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】利用函数的周期性结合函数在在区间（﹣2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．【解答】解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（﹣2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．8．已知直线x+y=a与圆x2+y2=1交于A，B两点，O是坐标原点，向量满足，则实数a的值为（）A．1 B．2 C．±1 D．±2【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；方程思想；演绎法；直线与圆．【分析】先由向量关系推出OA⊥OB，结合直线方程推出A、B两点在坐标轴上，然后求得a的值．【解答】解：由满足，得，因为直线x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B两点在坐标轴上并且在圆上；所以（0，1）和（0，﹣1）点都适合直线的方程，a=±1；故选C．【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，向量的模的有关知识，是基础题．9．椭圆两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．[﹣1，0] C．[0，1] D．[﹣1，2]【考点】椭圆的简单性质．【专题】转化思想；向量法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设P（x，y），，，则=x2+y2﹣i=即可．【解答】解：由椭圆方程得F1（﹣1，0）F2（1，0），设P（x，y），∴，，则=x2+y2﹣1=∈[0，1]故选：C【点评】本题考查了椭圆与向量，转化思想是关键，属于中档题．10．若函数f（x）=2x3﹣3mx2+6x在区间（1，+∞）上为增函数，则实数m的取值范围是（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1） C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．【分析】求f′（x）=6x2﹣6mx+6，根据题意可知f′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，可设g（x）=6x2﹣6mx+6，法一：讨论△的取值，从而判断g（x）≥0是否在（1，+∞）上恒成立：△≤0时，容易求出﹣2≤m≤2，显然满足g（x）≥0；△＜0时，得到关于m的不等式组，这样求出m的范围，和前面求出的m范围求并集即可，法二：分离参数，此时求出m的范围即可．【解答】解：f′（x）=6x2﹣6mx+6；由已知条件知x∈（1，+∞）时，f′（x）≥0恒成立；设g（x）=6x2﹣6mx+6，则g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；法一：（1）若△=36（m2﹣4）≤0，即﹣2≤m≤2，满足g（x）≥0在（1，+∞）上恒成立；（2）若△=36（m2﹣4）＞0，即m＜﹣2，或m＞2，则需：解得m≤2；∴m＜﹣2，∴综上得m≤2，∴实数m的取值范围是（﹣∞，2]；法二：问题转化为m≤x+在（1，+∞）恒成立，而函数y=x+≥2，故m≤2；故选：C．【点评】考查函数单调性和函数导数符号的关系，熟练掌握二次函数的图象，以及判别式△的取值情况和二次函数取值的关系．11．二项式的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．B．C．5 D．15【考点】二项式定理的应用．【专题】综合题；转化思想；演绎法；二项式定理．【分析】先利用展开式中只有第四项的二项式系数最大求出n=6，再求出其通项公式，令x的指数为0，求出r，再代入通项公式即可求出常数项的值．【解答】解：的展开式中只有第四项的二项式系数最大，所以n=6．其通项公式Tr+1=C6r•（）r•，令3﹣=0，求得r=2，可得展开式中的常数项为C62•（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查二项式定理中的常用结论：如果n为奇数，那么是正中间两项的二项式系数最大；如果n为偶数，那么是正中间一项的二项式系数最大．12．已知函数y=f（x）是R上的可导函数，当x≠0时，有，则函数的零点个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合；转化思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用．【分析】构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，通过函数的图象求解函数的零点个数．【解答】解：由，可得F（x）=xf（x）﹣=0，得xf（x）=，设g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x），∵x≠0时，有，即当x＞0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增，此时g（x）＞g（0）=0，当x＜0时，g'（x）=f（x）+xf'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减，此时g（x）＞g（0）=0，作出函数g（x）和函数y=的图象，（直线只代表单调性和取值范围），由图象可知函数F（x）=xf（x）﹣的零点个数为1个．故选：B．【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的图象的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用．二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．若等差数列{an }中，满足a4+a10+a16=18，则S19= 114 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的性质可得：a4+a10+a16=18=3a10，解得a10，再利用求和公式及其性质即可得出．【解答】解：由等差数列{an }的性质可得，a4+a10+a16=18=3a10，解得a10=6，则S19==19a10=114，故答案为：114．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．若x，y满足约束条件，则的取值范围是[﹣，+∞）．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；转化法；不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据斜率的几何意义利用数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，0）的斜率，由图象知CD的斜率最小，由得，即C（2，﹣1），则CD的斜率z==﹣，即的取值范围是[﹣，+∞），故答案为：[﹣，+∞）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用直线斜率的几何意义以及数形结合是解决本题的关键．15．设曲线y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，则P的坐标为．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；方程思想；演绎法；导数的综合应用．【分析】利用y=x2在某点处的切线斜率与另一曲线的切线斜率垂直求得另一曲线的斜率，进而求得切点坐标．【解答】解：∵y=x2，∴y'=2x．x=2，y'=4∵y=x2在点（2，4）处的切线与曲线（x＞0）上点P处的切线垂直，∴曲线（x＞0）上点P处的切线斜率为﹣．又y'=﹣，设点P（x0，y）∴﹣=﹣，∴x0=±2，∵x＞0，∴x=2，∴y=，∴点P．故答案为．【点评】本题考查导数的几何意义：在切点处的斜率就是该点处的导数值，以及直线垂直的条件，属于中档题．16．某校高一开设3门选修课，有3名同学，每人只选一门，恰有1门课程没有同学选修，共有18 种不同选课方案（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【专题】应用题；方程思想；演绎法；排列组合．【分析】第一步：从3个社团中选2个，第二步：把3名同学分为（2，1）组，把这两组同学分配到两个社团中，根据分步计数原理可得．【解答】解：第一步：从3个社团中选2个，共有C32=3种，第二步：把3名同学分为（2，1），把这两组同学分配到两个社团中有A32=6，根据分步计数原理可得，共有3×6=18种，故答案为：18．【点评】本题考查了分步计数原理，关键是分步，以及分组分配，属于中档题．三、解答题17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，且a2﹣（b﹣c）2=bc，cosAcosB=．（1）求角A和角B的大小；（2）若f（x）=sin（2x+C），将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后又向上平移了2个单位，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）的解析式及单调递减区间．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（1）利用余弦定理求得cosA的值，可得A的值，利用两角和差的余弦公式化简cosAcosB=，可得B的值．（2）利用函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【解答】解：（1）△ABC中，∵a2﹣（b﹣c）2=bc，∴a2﹣b2﹣c2=﹣bc，∴cosA==，∴A=．∵cosAcosB=，∴2cosAcosB=sinA+cosC，∴cosB=+cos（﹣B），即 cosB=+cos•cosB+sin sinB，即cosB=1+sinB，∴B=．综上可得，．（2）∵C=﹣B=，∴f（x）=sin（2x+）=cos2x，∴，令2kπ≤2x﹣≤2kπ+π，求得kπ+≤x≤kπ+，故函数g（x）的单调减区间为[kπ+，kπ+]，k∈Z．【点评】本题主要考查余弦定理，两角和差的余弦公式，函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．18．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=2AF，BE 与平面ABCD所成角为45°．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDE；（Ⅱ）求二面角F﹣BE﹣D的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【专题】证明题；数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角．【分析】（1）推导出AC⊥BD，AC⊥DE，由此能证明AC⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角F﹣BE﹣D的大小．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AC⊥BD，∵DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥DE，∵BD∩DE=D，∴AC⊥平面BDE．（2）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，∵BE与平面ABCD所成角为45°，∴DE=BD=，则D（0，0，0），B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，），=（﹣2，﹣2，2），=（0，﹣2，），=（2，2，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=1，得=（1，﹣1，0），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=，得=（1，1，），∴=1﹣1+0=0，∴二面角F﹣BE﹣D的大小为．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19．（12分）从2名女生和5名男生中任选3人参加演讲比赛．设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．（1）求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率；（2）求ξ的分布列；（3）求ξ的数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【专题】转化思想；概率与统计．【分析】（1）P（ξ≤1）=．（2）ξ的分布列为：P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，即可得出分布列．（3）利用数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）P （ξ≤1）==．（2）ξ的分布列为： P （ξ=0）==，P （ξ=1）==，P （ξ=2）==，（3）E （ξ）=0×++=．【点评】本题考查了古典概率计算公式、随机变量的分布列及其数学期望计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1，F 2，A 点在椭圆上，离心率，AF 2与x 轴垂直，且|AF 2|=．（1）求椭圆的方程；（2）若点A 在第一象限，过点A 作直线l ，与椭圆交于另一点B ，求△AOB 面积的最大值． 【考点】直线与椭圆的位置关系．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（1）由题意求出椭圆方程，（2）然后求出和OA 平行且和椭圆相切的直线方程，把切点到直线OA 的距离转化为原点O 到切线的距离，则三角形AOB 面积的最大值可求． 【解答】解（1）：由题意，，a 2=b 2+c 2解得a=2，b=c=2，则椭圆的方程为：（2）要使△AOB 面积最大，则B 到OA 所在直线距离最远． 设与OA 平行的直线方程为y=．由消去y并化简得．x2+x+b2﹣4=0．由△=0得b=±2，不妨取b＞0，∴与直线OA平行，且与椭圆相切且两直线方程为：y=，则B到直线OA的距离等于O到直线：y=，的距离d，d=，又|OA|=，△AOB面积的最大值s=．【点评】本题考查了椭圆方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，体现了数学转化思想方法，是中档题．21．（12分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（0，）上无零点，求a最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用．【分析】（1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；（2）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x﹣1﹣2lnx，则f′（x）=1﹣，由f′（x）＞0，得x＞2，由f′（x）＜0，得0＜x＜2，故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，）上无零点，只要对任意的x∈（0，），f（x）＞0恒成立，即对x∈（0，），a＞2﹣恒成立．令l（x）=2﹣，x∈（0，），则l′（x）=，再令m（x）=2lnx+﹣2，x∈（0，），则m′（x）=﹣+=＜0，故m（x）在（0，）上为减函数，于是m（x）＞m（）=2﹣2ln2＞0，从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，）上为增函数，所以l（x）＜l（）=2﹣4ln2，故要使a＞2﹣恒成立，只要a∈[2﹣4ln2，+∞），综上，若函数f（x）在（0，）上无零点，则a的最小值为2﹣4ln2．【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xoy中，直线l经过点P（﹣3，0），其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】方程思想；转化法；坐标系和参数方程．【分析】（1）利用互化公式即可把曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），代入曲线C的直角坐标方程可得t2﹣8tcosα+12=0，根据直线l与曲线C有公共点，可得△≥0，利用三角函数的单调性即可得出．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，参数方程为，（θ为参数），设M（x，y）为曲线上任意一点，可得x+y=1+2cosθ+2sinθ，利用和差公式化简即可得出取值范围．【解答】解：（1）将曲线C的极坐标方程ρ2﹣2ρcosθ﹣3=0化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣3=0，直线l的参数方程为（t为参数），将参数方程代入x2+y2﹣2x﹣3=0，整理得t2﹣8tcosα+12=0，∵直线l与曲线C有公共点，∴△=64cos2α﹣48≥0，∴cosα≥，或cosα≤﹣，∵α∈[0，π），∴α的取值范围是[0，]∪[，π）．（2）曲线C的方程x2+y2﹣2x﹣3=0可化为（x﹣1）2+y2=4，其参数方程为，（θ为参数），∵M（x，y）为曲线上任意一点，∴x+y=1+2cosθ+2sinθ=1+2sin（θ+），∴x+y的取值范围是[1﹣2，1+2]．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程的应用、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．（Ⅰ）求函数f（x）的值域；（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，求m的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数的值域．【专题】分类讨论；转化法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过对x的取值范围的分类讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，即可求得函数f（x）的值域；=﹣3，解之即可求（Ⅱ）不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立⇔1﹣2m≤f（x）min得m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|=，∴函数f（x）的值域为[﹣3，3]；（Ⅱ）∵不等式f（x）+2m﹣1≥0对于任意的x∈R都成立，=﹣3，∴1﹣2m≤f（x）min∴m≥2．即m的取值范围为[2，+∞）．【点评】本题考查函数恒成立问题，着重考查绝对值不等式的应用，考查分类讨论思想与等价转化思想的综合运用，属于中档题．。

2016—2017学年度下学期高三第一次模拟考试数学(理科）时间：120分钟试卷满分:150分第I卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题}两部分，其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确）1. 设 P={x|x＜4},Q={x|x2＜4}，则（）A. P QB. Q⊆PC. P⊆C R QD. Q C R P【答案】B【解析】P={x|x<4},Q={x∣x2<4}={x|−2<x<2}，如图所示，可知Q⊆P，本题选择B选项.2. 复数=A+Bi(m、A、B∈R)，且A+B=0，则m的值是（）A. B. C. D. 2【答案】A【解析】由题意可得：，即：，即，∵A+B=0∴，解得：.本题选择A选项.3. 设样本数据x1,x2,…,x10的均值和方差分别为1和4,若y i=x i+a (O为非零常数，i=1,2,…,10)，则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（）A. 1+a,4B. l+a，4+aC. 1,4D. l,4+a【答案】A【解析】试题分析：由题为均值与方差的运算，可利用它们的定义和性质来解决。

即：原数据都加同一个常数，变化后数据的均值也加这个常数，而方差不变。

则可得；本题的均值和方差为：1+a，4考点：均值和方差的定义及性质.4. 公差不为零的等差数列{a n}的前n项为Sn,若a4是a3与a7的等比中项,S8=32,则S10等于( )A. 18B. 24C. 60D. 90【答案】C【解析】本题考查等差中项的概念、等差数列的通项公式。

求和公式及基本运算.设公差为则，即解得则故选C5. 设F1和F2为双曲线(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A. y=±xB. y=±xC. y=±xD. y=±x【答案】B【解析】若F1,F2,P(0,2b)是正三角形的三个顶点，设F1(−c,0),F2(c,0),则，∵F1、F2、P(0,2b)是正三角形的三个顶点，∴，∴c2+4(c2−a2)=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，，∴双曲线的渐近线方程为，即为.本题选择B选项.6. 设a=log23,b=,c=log34，则a,b，c的大小关系为（）A. b<a<cB. c<a<bC. a<b<cD. c<b<a【答案】D【解析】∵，，∴a，b，c的大小关系为c<b<a.本题选择D选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确．7. 圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（）A. 18B. 6C. 5D. 4【答案】C【解析】圆的方程即：，圆心到直线的距离为：，故直线与圆相交，最小距离为0，最大距离为，综上可得：圆x2+y2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是.本题选择C选项.点睛：判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．8. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】B考点：空间几何体的三视图.9. (x +y +z)4的展开式共（）项A. 10B. 15C. 20D. 21【答案】B【解析】因为所以再运用二项式定理展开共有项，应选答案B。

2016年秋高三(上)期末测试卷(理科数学)试题和参考答案2016年秋高三(上)期末测试卷理科数学一、选择题1.已知$a+2i$，其中$i$是虚数单位，则$ab=b+i$，其中$a$，$b$是实数。

(C)2.已知某品种的幼苗每株成活率为$p$，则栽种3株这种幼苗恰好成活2株的概率为$p^2(1-p)$。

(D)3.已知集合$A=\{1,2,3,4\}$，$B=\{xy=2x,y\in A\}$，则$A\cap B=\{2\}$。

(A)4.命题$p$：甲的数学成绩不低于100分，命题$q$：乙的数学成绩低于100分，则$p\lor(\neg q)$表示甲、乙两人至少有一人数学成绩不低于100分。

(D)5.在平面直角坐标系$xOy$中，不等式组$\begin{cases}-1\leq x\leq 3\\ x+y-1\geq x-y-1\end{cases}$表示的平面区域的面积为$12$。

(C)6.我国古代数学算经十书之一的《九章算术》有一衰分问题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣$120$人。

(D)7.执行如图所示的程序框图，若分别输入1，2，3，则输出的值得集合为$\{1,3\}$。

(D)8.设曲线$x=2y-y^2$上的点到直线$x-y-2=0$的距离的最大值为$a$，最小值为$b$，则$a-b$的值为$2$。

(B)9.函数$y=\sin x-\frac{1}{2}$的图像大致是$\begin{cases}y=\sin x-\frac{1}{2},-\pi\leq x\leq \pi\\ y=-\frac{1}{2}\end{cases}$。

(A)10.已知$\triangle ABC$的外接圆半径为$2$，$D$为该圆上一点，且$AB+AC=AD$，则$\triangle ABC$的面积的最大值为$4\sqrt{3}$。

(D)A）设定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，x1+x22>2，x1<x2，则（）B）f(x1)=f(x2)C）f(x1)>f(x2)D）f(x1)与f(x2)的大小不能确定答案：（C）改写后：设在定义在实数集上的函数f(x)的导数为f'(x)，且满足f(2-x)=f(x)，当x1+x22>2，x1f(x2)。

2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（3，+∞）2．（5分）若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i3．（5分）关于平面向量、、，下列判断中正确的是（）A．若•=•，则=B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=C．|+|=|﹣|，则•=0D．若与是单位向量，则•=14．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且“P（ξ＞a）=P（ξ＜a）”，则关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的常数项为（）A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣125．（5分）已知sin（﹣α）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣6．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣10n+22，其前n项和是S n，对任意的m，n∈N*（m＜n），S n﹣S m的最小值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣12 D．﹣27．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．a＞3？B．a≥3？C．a≤3？D．a＜3？8．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣）=，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．89．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（）A．8 B．10 C．6 D．810．（5分）已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A．13πB．12πC．11πD．10π11．（5分）已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P 是该双曲线上的任意一点，若△PF1F2的内切圆半径为r，则r的取值范围是（）A．（0，a） B．（0，b） C．（0，）D．（0，）12．（5分）函数f（x）满足：对∀x∈R+都有f′（x）=f（x），且f（22016）≠0，则的值为（）A．0.125 B．0.8 C．1 D．8二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为．14．（5分）现有四个函数：①y=x•sinx，②y=x•cosx，③y=x•|cosx|，④y=x•2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是15．（5分）圆x2+y2=1的切线与椭圆+=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的+=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为．16．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），若（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为．三、解答题17．（12分）已知各项为正数的数列{a n}的前n项和S n满足：S n＞1，6S n=（a n+1）（a n+2）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜．18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现处足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2016年8月某日某省x个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取10个监测点，从中任意选取4个监测点，求这4个监测点中空气质量为良的个数ξ的期望．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．（I）证明：AE⊥PD；（II）若AB=2，AP=2，在线段PC上是否存在点F使二面角E﹣AF﹣C的余弦值为？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点P（，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．（1）若=2，求直线l的斜率．（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围．（2）求证：x1+x2＞2．（3）求证：x1•x2＞1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．2016-2017学年辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）若集合A={y|y=2x}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}，那么A∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，3]C．（3，+∞）D．（﹣1，0）∪（3，+∞）【解答】解：∵集合A={y|y=2x}={y|y＞0}，B={x|x2﹣2x﹣3＞0，x∈R}={x|x＜﹣1或x＞3}，∴A∩B={x|x＞3}=（3，+∞）．故选：C．2．（5分）若是z的共轭复数，且满足•（1﹣i）2=4+2i，则z=（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1+2i D．1﹣2i【解答】解：•（1﹣i）2=4+2i，可得•（﹣2i）=4+2i，可得=（2+i）i=﹣1+2i．z=﹣1﹣2i．故选：B．3．（5分）关于平面向量、、，下列判断中正确的是（）A．若•=•，则=B．若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=C．|+|=|﹣|，则•=0D．若与是单位向量，则•=1【解答】解：对于A，当•=•时，=不一定成立，A错误；对于B，=（1，k），=（﹣2，6），当∥时，则1×6﹣（﹣2）•k=0，解得k=﹣，B错误；对于C，|+|=|﹣|，得=，即+2•+=﹣2•+，∴•=0，C正确；对于D，与是单位向量，则•=1×1×cos＜，＞=cos＜，＞≤1，D错误．故选：C．4．（5分）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且“P（ξ＞a）=P（ξ＜a）”，则关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的常数项为（）A．2 B．﹣2 C．12 D．﹣12【解答】解：由题意，a=2，关于x的二项式（x2﹣）3的展开式的通项为．令6﹣3r=0，则r=2，∴展开式的常数项为=12，故选C．5．（5分）已知sin（﹣α）+sinα=，则sin（α+）的值是（）A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣【解答】解：∵sin（﹣α）+sinα=，∴cosα+sinα+sinα=，整理可得：sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣sin（α+）=﹣．故选：A．6．（5分）已知数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣10n+22，其前n项和是S n，对任意的m，n∈N*（m＜n），S n﹣S m的最小值是（）A．﹣7 B．7 C．﹣12 D．﹣2【解答】解：根据题意，数列{a n}的通项公式是a n=n2﹣10n+22，其前n项和是S n，有S n﹣S m=a m+1+a m+2+…a n，即当a m+1+a m+2+…a n最小时，S n﹣S m取得最小值；若a n=n2﹣10n+22≤0，且n∈N+，解可得：4≤n≤6，即当4≤n≤6时，a n的值为负．即当n=6，m=3时，S6﹣S3=a4+a5+a6=（﹣2）+（﹣3）+（﹣2）=﹣7，此时S n﹣S m取得最小值﹣7；故选：A．7．（5分）已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b值为16，则循环体的判断框内①处应填（）A．a＞3？B．a≥3？C．a≤3？D．a＜3？【解答】解：a=1时进入循环，此时b=21=2，a=2时，再进入循环此时b=22=4，a=3，再进入循环此时b=24=16，∴a=4时应跳出循环，∴循环满足的条件为a≤3？∴故选：C．8．（5分）已知△ABC的三内角A，B，C，所对三边分别为a，b，c，sin（A﹣）=，若△ABC的面积S=24，b=10，则a的值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：由sin（A﹣）=得，（sinA﹣cosA）=，则sinA﹣cosA=，联立sin2A+cos2A=1，解得或（舍去），又0＜A＜π，即sinA=，因为△ABC的面积S=24，b=10，所以，解得c=6，由余弦定理得，a2=b2+c2﹣2bccosA=100+36﹣=64，则a=8，故选D．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，该几何体四个面中，面积最大的面积是（）A．8 B．10 C．6 D．8【解答】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6，10显然面积的最大值为10．故选：B10．（5分）已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A．13πB．12πC．11πD．10π【解答】解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==•3x•3x•（9﹣6x）≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为4=13π．故选A．11．（5分）已知F1、F2是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P 是该双曲线上的任意一点，若△PF1F2的内切圆半径为r，则r的取值范围是（）A．（0，a） B．（0，b） C．（0，）D．（0，）【解答】解：如图所示：F1（﹣c，0）、F2（c，0），设内切圆与x轴的切点是点H，P在双曲线的右支上PF1、PF2与内切圆的切点分别为M、N，∵由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF1|﹣|NF2 |=2a，即|HF1|﹣|HF2|=2a，设内切圆的圆心I横坐标为x，内切圆半径r，则点H的横坐标为x，故（x+c）﹣（c﹣x）=2a，∴x=a，设双曲线﹣=1的渐近线的方程为y=±x，一条渐近线的倾斜角为2α，则tan2α=，由PF1的斜率小于渐近线的斜率，∴＜，故2rca+2ra2＜b（c+a）2﹣br2，∴r（c+a）2﹣rb2＜b（c+a）2﹣br2，∴（r﹣b）[br+（a+c）2]＜0，∴0＜r＜b．故选B．12．（5分）函数f（x）满足：对∀x∈R+都有f′（x）=f（x），且f（22016）≠0，则的值为（）A．0.125 B．0.8 C．1 D．8【解答】解：∵f′（x）=f（x），∴xf′（x）﹣3f（x）=0，设g（x）=，∴g′（x）===0，∴g（x）=c，（c常数），∴f（x）=cx3，∴==23=8，故选：D二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，则z=x+y的取值范围为．【解答】解：∵x，y∈R，满足x2+2xy+4y2=6，即（x+y）2+=6，α∈[0，2π）．令x+y=cosα，y=sinα，则z=x+y=cosα∈．∴z=x+y的取值范围为．故答案为：．14．（5分）现有四个函数：①y=x•sinx，②y=x•cosx，③y=x•|cosx|，④y=x•2x 的部分图象如图，但顺序被打乱，则按照从左到右将图象对应的函数序号正确的排列是①④②③【解答】解：研究发现①是一个偶函数，其图象关于y轴对称，故它对应第一个图象②③都是奇函数，但②在y轴的右侧图象在x轴上方与下方都存在，而③在y轴右侧图象只存在于x轴上方，故②对应第三个图象，③对应第四个图象，④与第二个图象对应，易判断．故按照从左到右与图象对应的函数序号①④②③故答案为：①④②③15．（5分）圆x2+y2=1的切线与椭圆+=1交于两点A，B，分别以A，B为切点的+=1的切线交于点P，则点P的轨迹方程为．【解答】解：设圆的切线方程为：y=kx+b，A（x1，x2），B（x2，y2），则1+k2=b2，椭圆的切线PA、PB的方程分别为：3x1x+4y1y=12、3x2x+4y2y=12，则PA，PB的交点的纵坐标y p=…代入3x1x+4y1y=12得PA，PB的交点的横坐标x p=；即点P的参数方程为﹣，利用1+k2=b2消去k、b得，故答案为：．16．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），若（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，x=为f（x）的极值点，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为5．【解答】解：由（﹣，0）为f（x）的图象的对称中心，则ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，x=为f（x）的极值点即为函数y=f（x）图象的对称轴，∴ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数，f（x）在（，）单调，ω×+φ≥2kπ+，且ω•+φ≤2π+，∴ωπ≤π，ω≤8，当ω=7时，7（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，∴φ=﹣，∴f（x）=sin（7x﹣）在（，）不单调，不满足题意，当ω=5时，5（﹣）+φ=nπ，|φ|≤，φ=，f（x）=sin（5x+）在（，）单调，满足题意，∴ω的最大值为5．故答案为：5．三、解答题17．（12分）已知各项为正数的数列{a n}的前n项和S n满足：S n＞1，6S n=（a n+1）（a n+2）（n∈N*）（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求证：++…+＜．【解答】解：（1）∵6S n=（a n+1）（a n+2）=a n2+3a n+2，∴6S n﹣1=（a n﹣1+1）（a n﹣1+2）=a n﹣12+3a n﹣1+2，∴（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1﹣3）=0，∵a n＞0，∴a n﹣a n﹣1=3，∴{a n}为等差数列，∵6S1=（a1+1）（a1+2）=a12+3a1+2，∴a1=2，或a1=1∵a1＞1，∴a1=2，∴a n=3n﹣1，（2）==（﹣），∴++…+=（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣）＜18．（12分）空气污染，又称为大气污染，是指由于人类活动或自然过程引起某些物质进入大气中，呈现处足够的浓度，达到足够的时间，并因此危害了人体的舒适、健康和福利或环境的现象．全世界也越来越关注环境保护问题．当空气污染指数（单位：μg/m3）为0～50时，空气质量级别为一级，空气质量状况属于优；当空气污染指数为50～100时，空气质量级别为二级，空气质量状况属于良；当空气污染指数为100～150时，空气质量级别为三级，空气质量状况属于轻度污染；当空气污染指数为150～200时，空气质量级别为四级，空气质量状况属于中度污染；当空气污染指数为200～300时，空气质量级别为五级，空气质量状况属于重度污染；当空气污染指数为300以上时，空气质量级别为六级，空气质量状况属于严重污染．2016年8月某日某省x个监测点数据统计如下：（Ⅰ）根据所给统计表和频率分布直方图中的信息求出x，y的值，并完成频率分布直方图；（Ⅱ）在空气污染指数分别为50～100和150～200的监测点中，用分层抽样的方法抽取10个监测点，从中任意选取4个监测点，求这4个监测点中空气质量为良的个数ξ的期望．【解答】解：（I）由题意可得：0.003×50x=15，15+40+y+10=x，解得x=100，y=35．由此可得[50，100]的矩形的高==0.008，同理可得[100，150]的矩形的高=0.007，[150，200]的矩形的高0.002．可得频率分布直方图；（II）在空气污染指数为50～100和150～200的监测点中分别抽取8个和2个监测点．从抽取10个监测点，从中任意选取4个监测点，这4个监测点中空气质量为良的个数ξ=2，3，4．则P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==．可得ξ的分布列为：则E（ξ）=+4×=．19．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD，地面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E是BC的中点．（I）证明：AE⊥PD；（II）若AB=2，AP=2，在线段PC上是否存在点F使二面角E﹣AF﹣C的余弦值为？若存在，请确定点F的位置，若不存在，说明理由．【解答】证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形．∵E为BC的中点，∴AE⊥BC，又BC∥AD，∴AE⊥AD，∵PA⊥平面ABCD，AE⊂平面ABCD，∴PA⊥AE，又PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD又PD⊂平面PAD，∴AE⊥PD．解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E，F分别为BC，PC的中点，∵AB=BC=CD=DA=AP=2，∴AE=，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），设F（a，b，c），（0≤λ≤1），则（a，b，c﹣2）=（，﹣2λ），解得a=，b=λ，c=2，∴F（，2﹣2λ），∴=（，0，0），=（，2﹣2λ）．设平面AEF的一法向量为=（x，y，z），则，取z=﹣1，得=（0，，﹣1），∵BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，∴BD⊥平面AFC，∴=（﹣，3，0）是平面AFC的一法向量．∵二面角E﹣AF﹣C的余弦值为，∴==，由0≤λ≤1，解得λ=，∴在线段PC上存在中点F使二面角E﹣AF﹣C的余弦值为．20．（12分）已知过点P（，0）的直线l与抛物线x2=y交于不同的两点A，B，点Q（0，﹣1），连接AQ、BQ的直线与抛物线的另一交点分别为N，M，如图所示．（1）若=2，求直线l的斜率．（2）试判断直线MN的斜率是否为定值，如果是请求出此定值，如果不是说明理由．【解答】解：（1）设直线l的方程为：x=my+，A（x1，y1），B（x2，y2）联立，得，，…①∵=2，∴y2=2y1…②由①②得，解得m=﹣8+6＜，m=﹣8﹣6＜，∴直线l的斜率的斜率为：1．（2）设PQ：y+1=由得，⇒同理x；直线MN的斜率k MN===…③把①代入③得k MN=2（定值）∴直线MN的斜率是为定值2．21．（12分）已知函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．（1）求实数a的取值范围．（2）求证：x1+x2＞2．（3）求证：x1•x2＞1．【解答】解：（1）∵f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R），∴f′（x）=lnx+1+2x﹣a=lnx﹣（﹣2x+a﹣1），当x=t时，f′（t）=0，如右上图，由图知：x∈（0，t）时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，x∈（t，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数，∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．∴f（t）＜0，∵f′（t）=lnt﹣（﹣2t+a﹣1）=0，即lnt=﹣2t+a﹣1，∴f（t）=t（﹣2t+a﹣1）+t2﹣at+2=﹣t2﹣t+2＜0，即t2+t﹣2＞0，∴t＞1或t＜﹣2（舍），当t=1时，ln1=﹣2+a﹣1，解得a=3，∵t＞1，∴a＞3．证明：（2）由（1）知f′（t）=0，t＞1，∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2．f（x）的定义域为（0，+∞），∴由x1，x2∈（0，+∞），令x1＜x2．∴f（x）的大致图象如右下图：∴，∴x1+x2＞2．（3）由（2）知，x1，x2∈（0，+∞），x1+x2＞2，∵函数f（x）=xlnx+x2﹣ax+2（a∈R）有两个不同的零点x1，x2，a＞3，∴f（x2）=﹣ax+2=0，∴a=lnx2+x2+，f（）=+﹣x2lnx2﹣x22，设h（k）=klnk+k2﹣﹣=（k+）lnk+k2﹣，h′（k）=（1﹣）lnk+1++2k+＞0，∴h（k）是（0，+∞）上的增函数，∴当k＞1时，h（k）＞h（1）=0，∵x2＞1，∴＜1，∴h（）＜h（1）=0，又由零点性质得h（x1）=0，∴h（x1）＞h（），∴x1＞，∴x1•x2＞1．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数），以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆C2的方程为ρ=﹣2cosθ+2sinθ．（Ⅰ）求直线C1的普通方程和圆C2的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线C1和圆C2的交点为A，B，求弦AB的长．【解答】解：（Ⅰ）由C1的参数方程消去参数t得普通方程为x﹣y+1=0，圆C2的直角坐标方程（x+1）2+=4，所以圆心的直角坐标为（﹣1，），所以圆心的一个极坐标为（2，）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知（﹣1，）到直线x﹣y+1=0 的距离d==，所以AB=2=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若当x∈[0，3]时，f（x）≤4，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，不等式为|x+1|﹣|x+3|≤1．当x≤﹣3时，不等式化为﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；当﹣3＜x＜﹣1时，不等式化为﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；当x≥﹣1时，不等式化为（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．综上，不等式的解集为[﹣，+∞）．…（5分）（Ⅱ）当x∈[0，3]时，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．当x∈[0，3]时，2x+7的最小值为7，所以a的取值范围是[﹣7，7]．…（10分）赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC. （1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝62，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。