九年级数学上册2.5一元二次方程的根与系数的关系习题课件 北师大版

第二章 一元二次方程
*2.5 一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1. 了解一元二次方程的根与系数的关系． 2. 利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题．
课前预习
(一)知识探究 那么1x.1＋如x果2＝方－程－baax2＋,bxx1＋x2＝c＝0(aca≠0．)有两个实数根 x1，x2，
2. 利用根与系数的关系，求方程的两根之和、两根之积， 通常是将方程化为 一一般般 形式，计算 b2－4ac 的值并确定方 程有两个实根，再利用根与系数的关系加以计算．
两根之和或积
问题
方法
求方程中字母 根据已知条件并借助根与系数的关系列出关于
系数的值 字母的方程或不等式
求方程
逆用根与系数的关系确定一次项系数及常数项
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2 ＝1，
x1x2＝－53. x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12＋2×53＝133.
例2 已知 x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，不解 方程，求下列代数式的值：
(2)x11＋x12.
【思路点拨】根据异分母分式的加法法则进行变形处理， 代入求值．
解：∵x1，x2 是方程 3x2－3x－5＝0 的两个根，∴x1＋x2＝1， x1x2＝－53. x11＋x12＝xx1＋1xx2 2＝－153＝－35.
【归纳总结】 用根与系数的关系解题时常用的一些变形式： ①x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2； ② 1 ＋1 ＝x1＋x2；
x1 x2 x1x2 ③(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2； ④xx21＋xx12＝xx21＋1x2x22＝（x1＋xx2）1x22－2x1x1.

2
������ -1
������ +1
化简得:m2- 10m- 11=0 .解得:m1 =11,m2=- 1. 分以下两种情况:
������ -1 2
2
-4 ×
������ +1 =1, 2
①当 m 1=11 时,x1+x2=
组成方程组
������1 + ������2 = 5, ������ = 3, 解这个方程组,得 1 ������2 = 2. ������1- ������2 = 1, ������1 = 0, ������1 + ������2 = - 1, 解这个方程组,得 ������2 = - 1. ������1- ������2 = 1,
关闭
C
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
2. 已知关于 x 的一元二次方程(a2 -1)x2-(a+1)x+1=0 两根互为倒数,则 a= .
关闭
±2
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
3.已知关于 x 的方程 x -3mx+2(m-1)=0 的两根为 x1, x2,且 + =- , 则 m= .
2
1 ������1
1 ������2
3 4
关闭
1 3
答案
轻松尝试应用 1 2 3 4 5 6
4. 一个一元二次方程的两个根是 2+ 6和 2- 6, 那么这个一元二次方 程为 .
关闭
x2 -4x-2=0
答案
轻尝试应用 1 2 3 4 5 6
5. 已知 x1, x2 是方程 2x -3x-1=0 的两个根, 利用根与系数的关系, 求 3 ������ 3 1 x2 +x1 ������ 2 的值.

x m2 n n 0
一、复习回顾
练习：解下列方程：
(3)2x2 3x 1 0.
公式法 x b b2 4ac 2a
解：a 2,b 3, c 1. b2 4ac 3 2 4 2 1 1 0，
x3 1 22
即 x1 1, x2
3 1， 4
1. 2
=b2 4ac
0
有两个不相等实数根
0
有两个相等实数根
0
没有实数根
一、复习回顾
配方法
x m2 n n 0
解一元二次方程： ax2 bx c 0 a 0
公式法 x
因式分解法
一元二次方程的根 与系数之间还有什 么形式的关系呢？
b b2 4ac 2a
提公因式法 公式法
十字相乘法
=b2 4ac
二、探究新知
x2 2x 1 0; x1 x2 1.
x2 2 3x 1 0; x1 3 2, x2 3 2.
,
x1x2
c. a
23
1
3
1
2
2
二、探究新知
猜想 对于任何一个一元一次方程，这种关系都成立吗？
验证 一元二次方程：ax2 bx c 0 a 0 ，b2 4ac≥0.
x1
b
b2 2a
4ac ，x2
b b2 4ac . 2a
x1 x2
b b2 4ac 2a
b b2 4ac 2b
2a
2a
b. a
二、探究新知
配方，得： x2 4x 22 8 22
即：
x 2 2 12
开方，得：
x 2 23
所以， x1 2 2 3, x2 2 2 3.
四、随堂练习

感悟新知
(4)x11 ＋x12=x1x＋1x2x2； (5)xx21＋xx12=x22x＋1x2x21=(x1＋x2x)12x－2 2 x1x2； (6) |x1 －x2 |= (x1－x2)2 = (x1＋x2)2－4 x1x2 .
知1－讲
感悟新知
知1－练
例 1 【母题 教材P51习题T3】已知关于x 的一元二次方 程x2－6x＋q=0 有一个根为2，求方程的另一个根 和q 的值.
b2－4ac ≥ 0 且x1·x2<0
x1＋x2>0 x1＋x2<0 x1＋x2>0 x1＋x2<0
两根同为正数 两根同为负数 两根异号，且正根的绝对值大 两根异号，且负根的绝对值大
感悟新知
知1－讲
2. 与两根有关的几个代数式的恒等变形 (1)x21＋x22=x21＋2 x1x2＋x22－2 x1x2=(x1＋x2)2－2 x1x2； (2)(x1－x2)2=(x1＋x2)2－4 x1x2； (3)(x1＋a)(x2＋a)=x1x2＋a(x1＋x2)＋a2；
感悟新知
∴－ba2－4·1a＝1.∴b2＝a2＋4a. ∴t＝10a－b2＝－a2＋6a＝－(a－3)2＋9. ∵－(a－3)2≤0， ∴t＝－(a－3)2＋9≤9，即 t 的最大值为 9.
知1－练
感悟新知
知2－讲
知识点 2 二次项系数为1 的一元二次方程的性质
1. 以x1，x2 为根的一元二次方程(未知数为x，二次项系
12，则以x1，x2 为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12=0
B. x2＋7x＋12=0
C. x2＋7x－12=0
D. x2－7x－12=0
感悟新知

������1 ������2
= =
3, 2.
②当 m 2=-1 时,x1+x2=������2-1=-1,x1-x2=1,
组 成 方程组
������1 + ������2 = -1,解这个方程组,得 ������1-������2 = 1,
������1 ������2
= 0, = -1.
关闭
答答案案
1
2
3
4
5
6
6.已知关于 x 的方程 2x2-(m-1)x+m+1=0 的两根满足关系式 x1-x2=1, 求 m 的值及方程的两个根.
解 :∵x1,x2 是方程的两个根,
∴x1+x2=������2-1,x1·x2=������2+1. ∵x1-x2=1,∴(x1-x2)2=1.
2
∴(x1+x2)2-4x1·x2=1,∴
关闭
解:∵x1,x2 是方程 2x2-3x-1=0 的两个根,
∴x1+x2=32,x1·x2=-12. ∴������13 x2+x1������23 =x1x2(������12 + ������22 )=x1x2[(x1+x2)2-2x1x2]=-12 ×
3 2
2
+2×源自1 2=-183.
答案
轻松尝试应用
*5.一元二次方程的根与系数的关系
快乐预习感知
如果方程 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根
x1+x2= -������������
,x1x2=
������ ������
.
x1,x2,那么
轻松尝试应用

解： 〔1〕
〔2〕原方程可变形为
4x - 1= 0 或 5x + 7= 0
x1
=
14，x2
=
7 5
.
x(x + 2) = 3(x + 2) x(x + 2) -3(x + 2) = 0 (x + 2)(x - 3) = 0 x1 = 3，x2 = -2.
3. 用因式分解法解以下方程：【选自教材P47 习题2.7】
2
5 一元二次方程的 根与系数的关系
北师版九年级上册
复习导入
1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0
复习导入
3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
〔2〕x2+3x-1=0.
x1+x2=
1 3
，x1x2 =
1 3
.
x1+x2= -3，x1x2 = -1 .
2. 解以下方程：【选自教材P51 习题2.8】
〔1〕12x2+7x+1 = 0； 〔2〕0.8x2 + x = 0.3.
〔3〕3x2+1=2 3 x； 〔4〕(x+1)(x-3) = 2x+5.
【选自教材P50 随堂练习】
解：x1x2 = -7.
x1 = 3.
x2
=
7 3
.
达标检测
1. 利用根与系数的关系，求以下方程的两根之和、两根之积： 2. 〔1〕x(3x - 1)-1= 0； 〔2〕(2x + 5) (x+1)= x + 7.

4.总结回顾环节，我发现部分学生对于一元二次方程根与系数关系的掌握程度仍有待提高。在今后的教学中，我会加强对于这一知识点的巩固练习，确保学生能够熟练掌握。
5.课堂氛围较为活跃，学生提问积极性较高，这说明他们在课堂上愿意思考、探究。作为老师，我要继续保持这种良好的课堂氛围，鼓励学生提问，培养他们的质疑精神。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是指方程的三个系数a、b、c与其根x1、x2之间的数学关系。这个关系在解决实际问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的根来求解方程的系数，以及如何利用系数关系来解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了一元二次方程的根与系数关系这一章节。通过引入日常生活中的问题，我希望能够激发学生的兴趣，帮助他们理解数学与实际的联系。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
1.学生对于根的判别式Δ的理解存在困难。在讲解这一部分时，我应该更加形象地使用抛物线图像来帮助学生理解Δ值与方程根的关系。今后，我可以在课堂上增加更多直观的示例，以加深学生的理解。
2.教学难点
-理解根的判别式Δ的含义及其与方程根的关系。