20181213小学奥数练习卷(知识点：数字和问题)含答案解析.doc

小学奥数练习卷（知识点：一笔画定理）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共23小题）5．如图最少笔可以画完．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）→→→→→→→→→→→→（终点）．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：（填“能”或者“不能”）．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：．→→…→．9．如图图形（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）10．如图是可以一笔画出的，一共有种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．．（判断对错）12．如图的图形（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．13．如图，你最少需要笔才能画出这个图形．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以为入口，以为出口．16．如图一笔画是不可能的，最少添上条连线就可以一笔画成了．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有个．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是厘米．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少笔才能画出．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有个小方格可以作为这个棋子的起点．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有种不同的画法．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于个奇数点的图形不能一笔画出．25．判断下面连通图，能一笔画的有．（填写代号）26．从图中的点出发到点结束，可以让你用笔在纸上连续不断且不重复地一笔画出图．27．图能一笔画出来吗？若能，请写出画的先后顺序；若不能，请说明理由．三．解答题（共23小题）28．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？29．某花园的小径如右图所示．一个人能不能从图中第1个点的位置出发，不重复地走过所有小径？如果能，请标出所经过各点的顺序（如：1→2→3→ (1)如果不能，请标出至少必须重复的小径（如1→2，2→3，8→9或11→12等等）．30．如图，有一些写有数字的圆圈，请你用线段将水平或竖直方向的相邻圆圈连接起来，使得该图形成为一个连通的图形，要求水平或竖直方向的相邻两个圆圈之间最多只能连2条线段，而且每个圆圈里面的数字表示的是与该圆圈相连接的线段的条数．31．“九点连线”是一道著名的数学题，你能用一笔画4条连续的直线段，把图中所有的9个点都连起来吗？请你在下图画出来．32．用4条直线，一笔画将这12个点连在一起．33．下面是一张地图，从A点到B点，走遍每一条路，不能重复走，应该怎么走？（从A点到B点的线用编号表示）34．在由25个边长为1的正方形组成的5×5的方格网中有3个方格内已经标有3个数3、4、5（如图1所示）．请你用一条封闭的折线沿水平或竖直方向把其余22个方格的中心连接起来，要求这条折线在标有数字的方格的所有邻格（邻格指至少有一个公共边界点的两个方格）内发生拐弯的次数恰好与该数相等．问：这条封闭的折线有多少个拐弯处？（示例图2中折线有10个拐弯处）35．如图是某展览馆的平面图，一个参观者能否不重复地穿过每一扇门？如果不能，请说明理由．如果能，应从哪开始走？36．请你将下面的图形改成能一笔画成的图形：37．图中每个小正方形的边长都是100米．小明沿线段从A点到B点，不许走重复路，他最多能走多少米？38．在六面体的顶点B和E处各有一只蚂蚁（见图），它们比赛看谁能爬过所有的棱线，最终到达终点D．已知它们的爬速相同，哪只蚂蚁能获胜？39．如图能否一笔画成，若不能，你能用什么方法把它改成一笔画？40．下面哪个图形能一笔画出？在下面的□里画“√”41．你能不能笔尖不离开纸面地画出四条直线，使得他们通过下图中的九个点，不重不漏．42．下图是一个游乐场的平面图，要使游客走遍每一条路且不重复，问出入口应该设在哪里？43．游动物园．1．小明去猴山有条路．2．设计一条能参观所有景点的线路，线路不重复且能回到起点．用彩笔在图上画出来．44．能否沿此图上的线画出一条线，使得每个节点都恰好经过一次．45．在下面各图形中，加一条或几条线段后，一笔画出每个图形．46．下图是某少年宫的平面图，共有五个大厅，相邻两厅之间都有门相通（D 与E 两厅除外），并且有一个入口和一个出口．问游人能否从入口入，一次不重复地穿过所有的门？如果可以，请指明穿行路线；如果不能，请你想一想，关闭哪扇门后就可以办到？47．如图，两条河流的交汇处有两个小岛，有7座桥连接这两个岛及河岸，一个散步者能不能一次走遍这7座桥，而且每座桥恰好经过1次？48．图中哪些图形可以一笔画出，哪些不能？不能一笔画出的图形最少需要画几笔？49．如图是一座博物馆的示意图，游客从入口进入博物馆，是否能找到一条参观路线，每扇门恰好经过一次？50．在图中，哪些图形可以一笔画出？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．如图，某展览馆，甲场有2×2个展室，乙场有2×3个展室，丙场有2×4个展室，丁场有2×5个展室，各场内相邻展室之间都有门相通．从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是（）A．甲场B．乙场和丁场C．丙场D．都不能【分析】如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得结论．【解答】解：如图所示，甲丙情况类似，乙丁情况类似，由图可得从左上角“→”处进场，既不重复又不遗漏地走遍每个展室，然后从右下角的“0”处出场，能走成的是乙场和丁场，故选：B．【点评】本题考查一笔画定理，考查数形结合的数学思想，正确画出图形是关键．2．如图是小马新家的平面图．新家有6个房间，房间之间有门相通．小马想从某个房间出发，不重复地穿过所有的门走到F房间．那么，他出发的房间是（）房间．A．A B．B C．C D．D【分析】首先把图片转换成点线图，同时找到奇点个数，如果有0个或者是2个奇点是可以完成一笔画的，2个奇点一个做为起点另一个作为终点即可．【解答】解：依题意可知：把图进行转换成点线图为：奇点个数是2个分别是A，F两个，那么一个是终点，另一个就是起点一笔画问题，奇数点出发奇数点回．所以出发的是A．故选：A．【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到对应的奇点个数．问题解决．3．十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是（）A．欧拉B．高斯C．牛顿【分析】根据数学知识可知：18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，这一困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；由此解答即可．【解答】解：十八世纪俄国的哥尼斯堡城，一直困扰人们的七色桥引起了一个著名的数学家的注意，经过他的猜想，研究证明，得出了一笔画的几何规律．这位数学家是欧拉；故选：A．【点评】本题属于基础性的数学常识，对于一些数学家和其主要研究成果要知道．4．近年来智能手机兴起，手机应用的图标也是纷繁多样，下面的几个图标中，能不重复地一笔画完的图标有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】一个图形要能一笔画完成必须符合两个条件：即图形是封闭联通的和图形中的奇点（与奇数条边相连的点）个数为0或2；据此解答即可．【解答】解：图一有6个奇点，不能一笔画；图二没有奇点，能一笔画；图三有2个奇点，能一笔画；图四有4个奇点，不能一笔画；综上所述，能不重复地一笔画完的图标有2个；故选：B．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．二．填空题（共23小题）5．如图最少5笔可以画完．【分析】先数出图形中奇点的个数，共有10个，然后根据“奇点数÷2=笔画数”解答即可．【解答】解：图中共有10个奇点，那么需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：最少5笔可以画完．故答案为：5．【点评】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．6．请你一笔画出下面的图形（从起点到终点，将依序过点的字母依次填在横线上，写出一种即可）：（起点）E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．【分析】首先找到题中的奇点是B和E．只有两个奇点可以完成一笔画．一个是起点一个是终点即可．【解答】解：依题意可知：E和B是奇点．故答案为：E→A→B→E→F→G→E→D→G→C→F→B→（终点）．（不唯一）【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键找到题中的奇点，问题解决．7．一辆洒水车给一个社区街道洒水，地图如图．你能否设计一条洒水路线，使洒水车不重复地走遍所有街道，再回到出发点？你的答案为：不能（填“能”或者“不能”）．【分析】由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，可得结论．【解答】解：由题意，奇点为商场与服装城，其余均为偶点，两个奇点必然一个为起点、一个为终点才能一次不重复的走遍，所以不能再回到出发点．故答案为：不能．【点评】本题只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．8．一辆洒水车给如图线段表示街道洒水，不重复、不遗漏地走遍这些街道．请用图中字母标出一种成功的走法：→→→→→→→．．→→…→．【分析】在这题中奇数点是E和A，其他点都是偶数点，从奇数点出发到另一个奇数点结束．【解答】解：→→→→→→→．【点评】走法不唯一，也可以从E点出发到A点结束．9．如图图形不能（填“能”或“不能”）一笔不重复得画出．如不能，请在图上添一条线，使它成为一笔画图形（如果能，则不必再填线）【分析】有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有 4 个奇点，所以不能一笔画成．【解答】解：有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．该图中有4 个奇点，所以不能一笔画成．添线如上图红色部分（方法不唯一）．故答案为不能【点评】本题考查一笔画问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是利用有 2 个奇点或0 个奇点的图形才能一笔画成．10．如图是可以一笔画出的，一共有12种不同的一笔画法（起点、终点或顺序只要有一种不同，就算不同的画法）．【分析】首先分奇点数为2分别是A，B可以完成一笔画，同时A，B一个是起点一个是终点．考虑其中的一个再乘2即可．【解答】解：依题意可知：首先分析奇点数为2分别是A，B．那么先考虑从A﹣B过程．如果是A﹣C﹣B后面就是2种；如果是A﹣D﹣B后面还是有2种；如果是A﹣B后面有2种；所以从A﹣B共6种．那么从B﹣A也是6种共12种．故答案为：12【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键问题是找到起点和终点同时枚举法直接易懂．问题解决．11．瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，成为后来解析几何的基础．×．（判断对错）【分析】瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；而不是解析几何的基础，由此求解．【解答】解：瑞士数学家欧拉为解决“七桥问题”，提出了“一笔画问题”，由此引导了图论和拓扑学的发展；解析几何是在笛卡尔发表的《几何学》的基础上发展而来的；原题说法错误．故答案为：×．【点评】熟知一些数学常识是解决本题的关键．12．如图的图形可以（填“可以”或者“不可以”）用一笔画出．如果可以，应从N或M点开始画（若第一个空格填“不可以”，则第二个空格不填；若第二个空格有多个点满足要求，需要将所有的点都写出来）．【分析】这幅图上有两个奇点N和M，所以能一笔画，可以从一个奇点开始到另一个奇点结束．【解答】解：如图的图形可以用一笔画出，应从N或M点开始画．故答案为：可以，N或M．【点评】本题考查的是笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．13．如图，你最少需要2笔才能画出这个图形．【分析】笔画数恰等于奇点个数的一半．事实上，对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n 为自然数），那么这个图一定可以用n 笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数，即2n÷2=n．据此解答即可．【解答】解：图中共有4个奇点，那么需要的笔画数是：4÷2=2（笔）；答：最少需要2笔才能画出这个图形．故答案为：2．【点评】本题属于一笔画的规律，关键是正确找到奇点的个数．14．如图是某地区所有街道的平面图，甲、乙两人同时分别从A、B出发，以相同的速度行进．如果允许选择最短路径的话，甲能先走遍所有的街道（填“甲”或“乙”）【分析】由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道．【解答】解：由题意，A，D的节点的个数为奇数，其余点的节点的个数为偶数，所以甲能先走遍所有的街道，A为起点，D为终点．故答案为甲．【点评】一个图形能否一笔画成，关键在于单数点的多少，有2个或0个单数点的图形就能够一笔画成，单数点在一笔画中只能作为起点和终点．15．如图为一个花园，线段表示花园中供行人行走的小路．园林工人要为花园里的花草浇水．如果要不重复地走遍毎条小路，应该以A或G为入口，以G 或A为出口．【分析】图中有2个奇点（A和G），6个偶点，有2个奇点，偶数个偶点，可以一笔完成；根据一笔画定理：奇数进，奇数出即可求解．【解答】解：根据一笔画定理以奇点为入口，奇点为出口所以：A点为入口，G 点为出口或者G点为入口，A点为出口．故答案为：A，G或G，A．【点评】凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点终点．16．如图一笔画是不可能的，最少添上2条连线就可以一笔画成了．【分析】只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．原图中有6个奇点，把这6个奇点中的4个分成2组，分别加上一条线段变成偶点，就可以一笔画成了．【解答】解：如图，加上2条线段，变成只有2个奇点，就可以一笔画成：故答案为：2．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．17．如图的图形中能不重复地一笔画出的有3个．【分析】根据一笔画的特性，图中都是连通图，与奇数（单数）条边相连的点叫做奇点，与偶数（双数）条边相连的点叫做偶点，凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成，凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．【解答】解：第1、3个图，全是偶点，能一笔画出；第2个图，1个奇点；第4个图，2个奇点，能一笔画出；第5个图，4个奇点，所以能不重复地一笔画出的有3个．故答案为3．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图猜能一笔画成，难度适中．18．如图，四个三边长度分别为3厘米、4厘米、5厘米的直角三角形拼成一个大方形．从中去掉一些线段，使得改动后的图形可以一笔画出，那么去掉的线段长度之和最小是7厘米．【分析】首先分析能完成一笔画需要有2个奇点或者没有奇点．图中8个奇点变成2个即可．【解答】解：依题意可知：图中有8个奇点，需要去掉三条边剩余2个奇点，无论去掉两条长度为3的和长度为1的，还是去掉长度为5的和两条长度为1的总和都是7．故答案为：7【点评】本题考查对一笔画的理解和运用，关键是枚举最短的即可，问题解决．19．有16个点排成的4×4方阵，如图．请不间断地一笔画出6条直线经过每个点，且最后回到起点．【分析】要能一笔完成，需要都是偶点，或者只有两个奇点，只使用横竖无论怎么样都不能够完成，因此使用斜线构造．【解答】解：如下图：【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．20．某花园一套豪宅的房间（包括卫生间，厨房）的平面图如图所示．每相邻两房间都有门相通，问：不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．（注：在括号里填“能”或“不能”．）【分析】能够一笔画成的图形，首先必须要相连，结果不相连就一定不能一笔画成．能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画；先把房间抽象成一个点，然后连线，看一下是否符合一笔画定理即可求解．【解答】解：把每个房间都看成一个点，则这个图形就是：这样图中一共有5个奇点，不能一笔画，也就是不能从某个房间出发，不重复地走完每个房间．故答案为：不能．【点评】本题考查一笔画的特点：是连通图，由偶点组成的，或只有两个奇点的连通图才能一笔画成．21．如图的图形，要求画出的线段不能重复画，那么这个图形最少5笔才能画出．【分析】数出一共有多少个奇点，奇点数除以2就是需要画的笔数．【解答】解：一共有10个奇点，需要的笔画数是：10÷2=5（笔）；答：这个图形最少笔才能画出．故答案为：5．【点评】对于任意的连通图来说，如果有2n个奇点（n为自然数），那么这个图一定可以用n笔画成．公式如下：奇点数÷2=笔画数．22．在3×5的棋盘上，一个棋子每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，但不可以沿任何斜对角线移动．从某些特定的格子开始，要求棋子经过全部的小正方格恰好一次，但不须回到原来出发的小方格上．在这15个小方格中，则有8个小方格可以作为这个棋子的起点．【分析】把3×5的图中的格子标号如下：找出每次可以沿水平或竖直方向移动一小格，不重复的走完全程的路线，进而求解．【解答】解：（1）从四个顶点所在的格子中的任意一个出发，都可以，如从A 格出发：同理从E、K、O都可以作为起点，一共有4个起点；（2）C作为起点，如下图：同理M也可以作为起点，一共有2个起点；（3）I格出发，可以不重复走完全程：同理从G出发也可以走完全程不重复，有2个起点．4+2+2=8（个）；答：有8个小方格可以作为这个棋子的起点．故答案为：8．【点评】本题根据限制条件，找出所有的路线，进而求解．23．从P点出发，一笔画出如图，不许走重复路线，一共有512种不同的画法．【分析】先从其中的一部分进行研究，直接从外圆画有两种画法（左右），直接从内圆有两种画法（左右），直接画内三角接内圆（左右）有两种画法，那么一共有2×2×2=8种方法，三角形的三个角的部分各有8种方法，再根据乘法原理即可求出全部的不同的画法．【解答】解：2×2×2=8（种）8×8×8=512（种）答：一共有512种不同的画法．故答案为：512．【点评】解决本题先找出每一部分不同的画法，再进一步利用乘法原理求解．24．在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．【分析】一笔画的规律是：（1）凡是由偶点组成的连通图，一定可以一笔画成．画时可以把任一偶点为起点，最后一定能以这个点为终点画完此图．（2）凡是只有两个奇点的连通图（其余都为偶点），一定可以一笔画成．画时必须把一个奇点为起点，另一个奇点为终点．（3）其他情况的图都不能一笔画出．【解答】解：根据分析可得：在一个连通图中判断一笔画时，大于2个奇数点的图形不能一笔画出．故答案为：2．【点评】本题考查的是一笔画问题，能否一笔画成，关键在于判别奇点、偶点的个数：只有偶点，可以一笔画，并且可以以任意一点作为起点；只有两个奇点，可以一笔画，但必须以这两个奇点分别作为起点和终点；奇点超过两个，则不能一笔画．对于一些比较复杂的路线问题，可以先转化为简单的几何图形，然后根据判定是否能一笔画的方法进行解答．25．判断下面连通图，能一笔画的有a、b、d．（填写代号）【分析】按照一笔画定理，每个部图形只能含有两个奇点活0个奇数点，据此数出各图的奇数点判断即．【解答】解：根据分析可得，图a：奇数点有2个，所以能一笔画，图b：奇数点有2个，所以能一笔画，。

20181213小学奥数练习卷（知识点：数列分组）含答案解析小学奥数练习卷（知识点：数列分组）题号一二总分得分注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．填空题（共 11 小题） 1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．数学是思维的体操数学是思维的体操数学我们参加希望杯竞赛我们参加希望杯竞赛那么第 2005 组是． 2．将下列 10 个数分成两组，每组 5 个，要求两组中各数的乘积相等： 6，8，9，13，21，26，35，44，50，55 请在下面写出你的思考过程．． 3．把自然数 1、2、3、4、按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第行第列． 4．一列数，前 3 个是 1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻 3 个数的和除以 3所得的余数，这列数中的第 2005 个数是． 5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第 10 行中从右边数第三个位置的数是． 6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是，2010 是第行第个数． 7．自然数列 1，2，3，，n，，它的第 n 组含有 2n﹣1 个数，第 10 组中各数的和是． 8．设自然数按下图的格式排列： 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 98 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 （1）200 所在的位置是第行，第列；（2）第 10 行第 10 个数是． 9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），．（1）第 15 组中第一个数是；（2）第 15 组中所有数的和是；（3）999 位于第组第号． 10．给定以下数列：，，，，，，，，，，，（1）是第项；（2）第 244 项是；（3）前 30 项之和是． 11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19， 20），，第 1991 组的第一个数和最后一个数各是．第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．解答题（共 13 小题） 12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是．1234，5678，9101112，13141516，13．甲、乙两包糖的重量比是 4：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8，那么两包糖的总重量是多少克？ 14．将偶数排成下表： A B C D E 2 4 6 8 16 14 12 10 18 20 22 2432 30 28 26 那么，1998 这个数在哪个字母下面？15．在下面的数表中，第 100 行左边的第一个数是什么？ 5 4 3 2 67 8 9 13 12 11 1014 15 16 17 21 20 19 18 16 ．把自然数 1 ～ 200 按下面的方法分成 A 、 B 、 C 三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C 组的第 56 个数是几？（3）172 在哪一组的第几个数？ 17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线 b 上第 1995 个数是几？（2）数 1995 在哪条射线上？ 18．有一数列：101，203，105，207，109，211，求这数列的前 20 项的和． 19．根据下图回答：（1）第一行的第 8 个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200 的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？ 20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，，其中自然数 n 出现 n 次．那么，这列数中的第 1999 个数除以 5 的余数是． 21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，，第一列数中出现的第一个九位数是，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第个数的位上．22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，其中 1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第 100 个数是什么数？（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有多少个数字相加？ 23．把由 1 开始的自然数依次写下来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14．重新分组，按三个数字为一组： 123，456，789，101，112，131，，问第 10 个数是几？ 24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到 1993 个数这 1993个数之和．参考答案与试题解析一．填空题（共 11 小题） 1．表中上一行的一个字与下一行对应的一个字作为一组，如第一组是（数，我），第二组是（学，们）．数学是思维的体操数学是思维的体操数学我们参加希望杯竞赛我们参加希望杯竞赛那么第 2005 组是（维，杯）．【分析】分别观察上下二行，上一行 8 个字是按顺序重复的，下一行的 9 个字也是按顺序重复出现的，然后分别找出每一行第 2005 组中是规律的第几个字．【解答】解：20058=250（组）5（个），在第一行规律中第 5 个字是：维； 20059=222（组）7（个），在第二行的规律中第 7 个字：杯；所以第 2005 组是：（维，杯）．【点评】先观察找出规律，然后找出第 2005 组中的是规律中的第几个字即可． 2．将下列 10 个数分成两组，每组 5 个，要求两组中各数的乘积相等： 6，8，9，13，21，26，35，44，50，55 请在下面写出你的思考过程． 441321506=55263589 ．【分析】将这些数分解质因数，然后根据质因数的个数进行分组．【解答】解： 6=23 8=222 9=33 13=13 21=37 26=213 35=5744=2211 50=255 55=511 从上面可以看出 44 和 55 肯定分在不同组，13 和26 分在不同组，顺着这个思路不难得出下面的两组 441321506=55263589 【点评】此题只要保证两组算式中的相同质因数的个数相同即可． 3．把自然数 1、2、3、4、按照下面的顺序排列（横排叫行，竖排叫列）．1995这个数排在第五百七十行第二列．【分析】把 7 个连续的数看成一组，每组中前三个数是一行，这三个数是从左到右增大的，后 4 个数在一行，这 4 个数按照从右到左增大的；先求出 1995 里面有多少个这样的一组，还余几，再根据余数进行推算．【解答】解：19957=285；没有余数，1995 里面正好有中 285 组，是第 285 组的最后一个数，在第二列； 2852=570；所以 1995 是第五百七十行，第二列．故答案为：五百七十，二．【点评】先找出这个数阵周期性的规律，再根据规律求解． 4．一列数，前 3 个是 1，9，9，以后的每个数都是它前面相邻 3 个数的和除以 3所得的余数，这列数中的第 2005 个数是0 ．【分析】根据题意，列出这个数列：1、9、9、1、1、2、1、1、1、0、2、0、2、1、0、0、1、1、2、1易见，从第四个数开始每十三个数一个循环．由于前面还有三个数，所以需用 2005 减去 3 得再除以 13，即可得出答案．【解答】解：（2005﹣3）13=154， 2005 为循环节中的最后一个，即 0；答：这列数中的第 2005 个数是 0．故答案为：0．【点评】解答此题的关键是，根据题意，找出规律，再根据规律，列式解答即可． 5．右图是著名德国数学家莱布尼茨给出的三角形：则排在由上而下的第 10 行中从右边数第三个位置的数是．【分析】通过对已知数据进行观察分析可发现各行的前后两个数分别为行数的倒数，倒数第二个数等于前一行的最后一个数与本行的最后一个数的差，倒数第三个数等于前一行的倒数第二个数与本行的倒数第二个数的差，根据此规律解题即可．【解答】解：因为第 10 行最后一个数是，第 9 行最后一个数是，第 8 行最后一个数是，所以第 9 行倒数第二个数是﹣ = ，第十行倒数第二个数是﹣ = ，所以，第 10 行右数第三个数是﹣ = ．故答案为：．【点评】此题主要考查学生对规律型题的掌握情况，做此类题的关键是观察分析发现规律，根据规律解题． 6．观察三角形数阵：那么，由上而下的第22行中由左向右的第21个数是 462 ，2010 是第 45 行第 74 个数．【分析】（1）仔细观察：从左到右，第几个数上的数就是几，而且第一行 1 个数，第二行 3 个数，第三 5 个数，所以行数2﹣1=个数，则第二十一行有：212﹣1=41 个数，到这一行为止，共有：1+3+5++41=441 个数，那第 22 行由左到右的第 21 个数是 441+21=462．（2）2010 应该是第 2010 个数，那么 1+3+5+加到多少大概在 2010 左右呢？由（1）可知，第22行有222﹣1=43个数字，第这一行为止，共有1+3+5++43=484个数字，离 2010 个数字很远，试下到 44 行共有多少个数字，第 44 行有 442﹣1=87 个数字，到这一行为止共有：1+3+5++87=（1+87）442=1936个数字，2010﹣1936=74，说明 2010 在第 45 行第 74 个数字．【解答】解：（1）通过分析数阵可知：行数2﹣1=该行数字个数，则第二十一行有：212﹣1=41 个数．到这一行为止，共有：1+3+5++41=441 个数，那第 22 行由左到右的第 21 个数是 441+21=462．（2）从左到右，第几个数上的数就是几，2010 应该是第 2010 个数；可先试下到 44 行共有多少个数字，第 44 行有 442﹣1=87 个数字，到这一行为止共有： 1+3+5++87=（1+87）442=1936 个数字， 2010﹣1936=74，说明 2010 在第 45 行第 74 个数字．故答案为：462、45、74．【点评】完成此类题目的关健是认真分析数阵，找出其中数据的规律特点，从而据规律进行解答． 7．自然数列 1，2，3，，n，，它的第 n 组含有 2n﹣1 个数，第 10 组中各数的和是 1729 ．【分析】此题关键是读懂题意：由题意知，第 1 组有 21﹣1=1 个数，即 1．第2 组有 22﹣1=3 个数，即 1，2，3．以此类推．【解答】第 1 组到第 9 组共有自然数：1+3+5++ （29﹣1）= =81 （个）．因此，第 10 组第 1 号数是 82，第 10 组有 210﹣1=19 个数，所以第 10 组各数之和为．故答案为：1729．【点评】由简单到复杂，学会从最基本的入手． 8．设自然数按下图的格式排列： 1 2 5 10 17 4 3 6 11 18 9 8 7 12 19 16 15 14 13 20 25 24 23 22 21 （1）200 所在的位置是第 4 行，第 15 列；（2）第 10 行第 10 个数是 91 ．【分析】（1）我们看出：第一竖列都是行号的平方数．如 4=2 2 ，9=3 2 ，25=5 2 其数列发展也是按正方形来排列的 1234 ，正好构成一个正方形，123456789 又围成一个较大的正方形，其发展是按顺时针方向来旋转的．由此类推第 14 行第一列是 14 2 =196，此时也是此行最大．200只能在其外一圈的正方形上．200 就出现在第 15 列第 4 行．（2）第 2 题也可以得出第 10 行第 1 列为 10 2 =100，第 10 个数就得减 9 即得到91．【解答】解：（1）注意到第一列是完全平方数：1，4，9，16，25，按（1），（2，3，4），（5，6，7，8，9），分组，则 200 在 196 与 225 之间，属第 15 组，倒数第 4 个数，在第 4 行、第 15 列上．（2）第 10 行第 10 个数是位于第 10 行第 10 列上的数 91．【点评】数列题目需要看其数字发展的规律，往往从平方，加减，方形，斜线等角度来观察． 9．将奇数按下列方式分组：（1），（3，5），（7，9，11），（13，15，17，19），．（1）第 15 组中第一个数是 211 ；（2）第 15 组中所有数的和是 3375 ；（3）999 位于第 32 组第 4 号．【分析】从分组情况看第几组就有几个奇数如第 3 组就有三个奇数，第一题先看从第 1 组到第 14 组的奇数有多少个，再看下一个奇数是几，第二题利用等差数列来解题比较容易．第三题先求出大致是第几组再利用等差数列求是第几个数．【解答】解：（1）从第 1 组到第 14 组的奇数有 1+2+3++14= =105（个）．因此，第 15 组最初一个数是第 106 个奇数：2106﹣1=211．（2）在第 15 组中的数是以 211 为首项，公差为 2，项数等于 15 的等差数列，其和是 15211+ 2=3375．（3）设 999 位于第 n 组，因 3132=992，3233=1056，所以 n=32，第 32 组最初一个数是：[2（1+2++31）﹣1]+2=993．因此，999 是第 32 组的第 4 号数．【点评】此题是数列的题目的典型应用，需要熟练掌握其中的方法与技巧，要用试一试的办法找其规律． 10．给定以下数列：，，，，，，，，，，，（1）是第 429 项；（2）第 244 项是；（3）前 30 项之和是 17 ．【分析】从给定的数列看数列中分母是几，以此为分母的数就有几个．比如：分母是 4，则以 4 为分母的数便有 4 个．同理分母是 7 的得数有 7 个，所以第一题分母是 29 分子是 23 则前面有 28 组数加 23 个数．第二、三题需要试一试前多少组共多少个数．找到合适的组数在确定第几个数．【解答】（1）以分母相同的分数分组，并记分母为 n 的分数属于第 n 组，从而是第 29 组的第 23 号数，第 n 组由 n 个分数组成，从第 1 组到第 28 组有 1+2+3++28= =406 个分数，因此位于第 406+23=429 项．（2）因 2120=420，2221=462，2322=506，故第 244 项在第 22 组，前 21组有 =231个分数，从而第244项是居于第22组中的第13号数，是．（3）前30 项之和为 1+ （1+2）+ （1+2+3）++ （1+2++7）+ + =1 +2+ +3+ +4+ =10+=17 ．故答案为：429，，17 ．【点评】这类题目需要求前几项的和及其变形应用，是有一定难度的． 11．将自然数按下面的规律分组：（1，2），（3，4，5，6），（7，8，9，10，11，12），（13，14，15，16，17，18，19， 20），，第 1991 组的第一个数和最后一个数各是 3962091 3966072 ．【分析】每一组数的个数都在增加，第 n 组数的个数为 2n 个数，这组的第一个数就是前一组数的最后一个数+1，这个数是 2+4+6++2（n﹣1）+1；当然，这组数的最后一个数是 2+4+6++2n；当 n=1991 时，代入 1991 可得解．【解答】解：2+4+6++2（1991﹣1）+1 =2（1+2+3++1990）+1 =（1+1990）1990+1 =3962091；2+4+6++21991 =2（1+2+3++1991） =（1+1991）1991 =3966072；答：第 1991组的第一个数和最后一个数各是 3962091、3966072；故答案为：3962091，3966072．【点评】此题考查了数表中的规律，每一组数的个数为组数的 2 倍，正整数依次填入，发现规律，解决问题．二．解答题（共 13 小题） 12．在下面的一列数中，只有一个九位数，它是979899100 ．1234，5678，9101112，13141516，【分析】每 4 个相邻的正整数组成数列中的一个数，两位数中的前三个 10、11、12 已经和 9 组成了数列中的第三个数，余下的两位数还有 99﹣9﹣3=87，874=213，即有组成了 21 个 8位数，余下的三个两位数是 97、98、99 和 100组成第 25 个数列中的数979899100，刚好是一个九位数，从第 26 个数101102103104 开始就至少是 12位数，所以该数列只有一个九位数．【解答】解：99﹣9﹣3=87， 874=213，余下的三个两位数是 97、98、99 和 100 组成第 25 个数列中的数 979899100，刚好是一个九位数，从第 26 个数 101102103104 开始就至少是 12 位数，所以该数列只有一个九位数．故答案为：979899100．【点评】此题考查了数列中的规律． 13．甲、乙两包糖的重量比是 4：1，如果从甲包取出 10 克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为 7：8，那么两包糖的总重量是多少克？【分析】把甲、乙两包糖的重量比是 4：1理解为甲包糖是两包糖的总重量的，把后来甲、乙两包糖的重量比变为 7：8理解为后来甲包糖是两包糖的总重量的，即两包糖总重的（﹣）是10克，把两包糖的总重量看作单位1，根据对应数对应分率=单位1的量进行解答即可．【解答】解：4+1=5， 7+8=15， 10（﹣）， =10 ， =30（克）；答：两包糖的总重量是 30 克．【点评】解答此题的关键是抓住题中两包糖的总重量不变，判断出单位1，根据对应数对应分率=单位1的量进行解答即可． 14．将偶数排成下表： AB C D E 2 4 6 8 1614 12 10 18 20 22 24 32 30 28 26 那么，1998 这个数在哪个字母下面？【分析】由图表看出：偶数依次排列，每 8 个偶数一组依次按 B、C、D、E、D、C、B、A 列顺序排．看A 列，E 列得到排列顺序是以 16 为周期来循环的．求出 1998 里面有多少个这样的周期，还余几，再根据余数判断．【解答】解：199816=12414 所以，1998 与 14 同列在 B 列．【点评】本题关键找出这个数表中数字循环的周期性规律，再根据规律求解． 15．在下面的数表中，第 100 行左边的第一个数是什么？ 5 4 3 2 6 7 8 9 13 12 11 10 14 15 1617 21 20 19 18 【分析】因为每行有 4 个数，前 99 行共有 994=396（个）数；这个数表中开始的最小的一个数为 2，奇数行是从右到左的顺序依次增加的；偶数行的数是从左到右依次增加的；整个数表可以看成是以 2 开始的自然数列，第 100 行的第一个数是第 397 个数，由此求解．【解答】解：994=396（个）；又因为这个数表中开始的最小的一个数为 2，所以，依数列的排列规律可知，第100 行的左边第 1 个数为： 396+1+1=398；答：第 100 行左边的第一个数是 398．【点评】解决本题关键是找出这些数的排列规律，然后根据规律求解． 16 ．把自然数 1 ～ 200 按下面的方法分成 A 、 B 、 C 三组．试问：（1）每组各有多少个数？最后一个数各是多少？（2）C 组的第 56 个数是几？（3）172 在哪一组的第几个数？【分析】完成本题目要根据数列的组数、数横排及竖排的排列特点及规律，结合高斯求和的有关知识进行解答．【解答】解：各组中偶数项中的数据及奇数项中的数据有以下特点：奇数项：A 组：6n﹣5，B 组：6n﹣4，C 组：6n﹣3，按竖列递增 k=2n﹣1，偶数项：A 组：6n，B 组：6n﹣1，C 组：6n﹣2，按竖列递减 k=2n；每一组的第 k 项 k=2n﹣1，k=2n，n=1，2，3据此可知：（1）200=633+2=634﹣4（属于 B 组奇数项），n=34，k=2n﹣1=67；所以：B 组有 67 项最后一个数 200，是 B 组的第 67 项；A 组有 67 项，最后一个数 199，是 A 组的第 67 项； C 组有 66 项，最后一个数 196，是 C 组的第 66 项．（2）C 组 k=56 项 n=28 是：628﹣2=166．（3）172=628+4=629﹣2 （C 组偶数项），C 组偶数项，n=29，k=229=58，所以，172 是 C 组的第 58 个数．【点评】完成此类题目要认真分析式中数据的排列特点，找出规律进行解答． 17．自然数按下图所示的方法排列．问：（l）射线 b 上第 1995 个数是几？（2）数 1995 在哪条射线上？【分析】通过观察可知，射线 b 上的数列为等差数列，公差为 3，根据高斯求和有关公式可知：末项=首项+（项数﹣1）公差，所以射线 b 上第 1995 个数是2+（1995﹣1）3；射线 c 上的数都为 3 的倍数，而 19953=665，1995为 3 的倍数，所以所以数 1995 在射线 C 上．【解答】解：（1）2+（1995﹣1）3 =2+19943， =5984；答：射线 b 上第 1995 个数是 5984．（2）因为射线c 上的数都为 3 的倍数，又 19953=665，所以数 1995 在射线 C上．答：数1995 在射线 C 上．【点评】完成本题要认真分析射上数列上数据的特点，找出其内在规律，然后据规律进行解答． 18．有一数列：101，203，105，207，109，211，求这数列的前 20 项的和．【分析】把这列数字看成两列数，奇数项一列，偶数项一列；奇数列为：101，105，109，可以看成是公差为 4 的等差数列，共 10 项；偶数项为：203，207，211，可以看成是公差为 4 的等差数列，共 10 项；根据等差数量求和公式求解．【解答】解：（1）101+（10﹣1）4=137，（101+137）102=1190， 203+（10﹣1）4=239，（203+239）102=2210，前 20 项的和是： 1190+2210=3400．答：这数列的前 20 项的和是3400．【点评】本题先把数量根据特点分组，再给各组找到规律，根据规律计算． 19．根据下图回答：（1）第一行的第 8 个数是几？（2）第五行第六列上的数是几？（3）200 的位置在哪一格（说出所在行和列的序号）？【分析】按图斜线划分分组比较容易发现（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），也就是每组的个数分别有 1，2，3，4，5，，第一行的第 8 个数是几即求前 7 个组共有多少数？我们还发现：自上而下第 m 行，自左而右第 n 列上的数在第（m+n﹣1）组中，照此可以解决第 2 题．先算出 200 在哪一组？再算出所在组的第一个数．【解答】解：（1）如图，所有自然数按自右上至左下以斜线分组：（1），（2，3），（4，5，6），（7，8，9，10），第 n 组第 1 号数是第一行的第 n 个数．从第 1 组到第（n﹣1）组有： 1+2+3++（n﹣1）= 个数，从而第 n 组第1 号数是 +1．因此，第 1 行第 8 个数是 +1=29．（2）一般地，自上至下第m 行，自左至右第 n 列上的数在第（m+n﹣1）组中，第五行第六列上的数在第 10 组中，第 10 组第 1 号数是 +1=46，第 10组在第五行的数是 46+5﹣1=50．（3）1920=380，2021=420，故 200 在第 20 组中，第 20 组第一个数是+1=191，因此数 200 在第 10 行第 11 列的位置上．【点评】解题关键在于斜线分组将题目化繁为简在解决比较简单． 20．一列数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，，其中自然数 n 出现 n 次．那么，这列数中的第1999 个数除以 5 的余数是 3 ．【分析】自然数 n 出现了 n 次，这 n 个 n 中的第一个数位于这列数的 n（n+1）﹣n+1= n（n﹣1）+1，最后一个数 n 位于这列数中的第（1+2++n）= n（n+1）个数．如：2，位于这列数的第 2 位和第三位；3，位于第四位和第六位之间；以此类推，可得出是哪个数是这列数中的第 1999 个数， n（n﹣1）+11999 n （n+1），又．因此，这列数中的第 1999 个数是 63，它除以 5 的余数是 3．【解答】解：自然数 n 出现了 n 次，这 n 个 n 中的最后一个数 n 位于这列数中的第（1+2++n= n（n+1）个数．又．因此，这列数中的第 1999 个数是 63，它除以 5 的余数是 3．故答案为：3．【点评】此题考查了数列中的规律，猜测法猜出这个数是解决问题的一个方法． 21．有这样一列数：123，654，789，121110，131415，181716，192021，．还有另一列数：1，2，3，6，5，4，7，8，9，1，2，1，1，1，0，1，3，1，4，1，5，1，8，1，7，1，6，1，9，2，0，2，1，，第一列数中出现的第一个九位数是 102101100 ，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第 234 个数的万位上．【分析】第一列数中出现的第一个九位数时应该是最小的三位数 100 出现时，此数列每 6 个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，1006=164，前 96 个数构成 16 个循环，32 个数字，第 33 个数是 979899，则出现最小的三位数 100 时是 100、101、102 三个正整数倒数，即 102101100；第二列数都是单个数，1﹣9 占数列的前 9 个数，从 10﹣99，把一个数 10 分成了1，0 占 2 个数，这样 10﹣99 共占了（99﹣9）2=180 个数，从 100 开始，100﹣999 是把如 100 分成 1，0，0 占 3 个数，999﹣99=900，9003=2700，显然 1994 小于（2700+180+9）即第二列的第 1994 个数应该在 100﹣999 这些三位数中间，1994﹣9﹣180=1805，这 1805 个数那么在第一列数中组成的数都是 9 位数，18059=2005；说明第二列数的第 1994 个数在第一列数中九位数中的第 201 个数的第 5 位，如：702701700 中的中间的第五位刚好是万位．这个数在第一列中是第几个数，应该再加上 9 个一位数组成的三位数 3个、90 个两位数组成的六位数 30 个．【解答】解：此数列每 6 个数一循环，前三个正整数正着数，后三个正整数倒着数，组成两个由连续的三个正整数构成的数，1006=164，前 96 个数构成16 个循环，32 个数字，第 33 个数是 979899，则出现最小的三位数 100 时是100、101、102 三个正整数倒数，即 102101100；（1994﹣9﹣180）9=2005，说明第二列数的第 1994 个数在第一列数中九位数中的第 201 个数的第 5 位，如：701702703 中的中间的第五位刚好是万位． 200+1+93+903=234，答：第一列数中出现的第一个九位数是 102101100，第二列数的第 1994 个数在一列数中的第 234 个数的万位上．故答案为：102101100，234，万．【点评】此题考查了数列中的规律．理清思路是关键． 22．1，1，2，2，3，3，1，1，2，2，3，3，1，1，其中 1，1，2，2，3，3这六个数字按此规律重复出现，问：（1）第 100 个数是什么数？（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是多少？（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有多少个数字相加？【分析】根据题意，可知，1，1，2，2，3，3 这六个数字按此规律重复出现，可以根据有余数的除法中，余数的规律求解即可．【解答】解：（1）因为 1006=164，所以第 100 个数与第 4 个数相同，为 2．（2）因为 526=84，所以第 1 个数至第 52 个数的和为（1+1+2+2+3+3）8+（1+1+2+2）=102．（3）因为 1+1+2+2+3+3=12，30412=254，又 1+1+2=4，所以从第一个数起，顺次相加，共加到第 256+3=153 个数，其总和才恰为 304．答：（1）第 100 个数是 2 数；（2）把第一个数至第 52 个数全部加起来，和是 102；（3）从第一个数起，顺次加起来，如果和为 304，那么共有 153 个数字相加．【点评】通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．23．把由 1 开始的自然数依次写下来： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14．重新分组，按三个数字为一组： 123，456，789，101，112，131，，问第 10 个数是几？【分析】重新分组的是一个三位数，要求第 10 个数是几，只要求出第 28、29、30 个数字是多少即可解决问题．【解答】解：从 1 到 9 有 9 个数字，10 到 19 有 20 个数字，从 1 到 19 一共由 29个数字，第 28 个数字是 1，第 29 个数字是 9，下一个数字应是 20 的第一个数字 2，所以第 10 个三位数是 192．【点评】此题主要利用数中所含数字的个数重新分组，算出数字的个数是关键，进一步找出分组的规律解决问题． 24．有一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，，从第三个数起，每一个数都是它前面两个数中大数减小数的差，求从第一个起到 1993 个数这 1993个数之和．【分析】仔细观察这一数列，若把 1 抽出，则正好成为一个等差数列：1993，1992，1991，1990，；在原数列中三个数一组出现一个 1，则 1993 个数 19933=6641．可分为 664 组，最后一个也是 1，即 665 个 1，其余是 1993﹣665=1328个数，即除了 1 之外，最大是 1993，最小应是 1993﹣1328+1=666，首先算出这 1328 个数的和再加665 个 1 即可．【解答】解：1665+（666+1993）13282 =665+265913282 =665+1765576 =1766241；答：这 1993 个数的和为 1766241．【点评】此题主要通过分组发现数里面隐含的等差数列，从而找到问题的突破口，更好的解决问题．。

小学奥数练习卷（知识点：完全平方数性质）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．292．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有对．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是．（填字母）15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是的平方．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）21．在1﹣﹣﹣2012这2012个自然数中，是平方数但不是立方数的一共有个．22．如果存在n个连续自然数的平方和为质数，则n的所有取值的平方和等于．23．设M是三个相邻整数的平方和，则M的个位数字可能是．24．甲、乙两人合买了n个篮球，每个篮球n元．付钱时，甲先乙后，10元，10元地轮流付钱，当最后要付的钱不足10元时，轮到乙付．付完全款后，为了使两人所付的钱数同样多，则乙应给甲元．25．一个四位数是完全平方数，四个数字的和是偶数，千位数字和百位数字的和为3，个位数字为偶数，那么这个数是．26．若两位数的平方只有十位上的数字是0，则这样的两位数共有个．27．把1，2，3，4，5，6，7，8，9按另一种顺序填在下表的第二行的空格中，使得每两个上、下对齐的数的和都是平方数．28．已知自然数n满足：12除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是．29．一个数与它自身的乘积称为这个数的平方，各位数字互不相同且各位数字的平方和等于49的四位数共有个．30．如果一个两位数与它的反序数（比如：52的反序数是25）的和是一个完全平方数，则称为“灵巧数”请写出所有的”灵巧数”：．31．给1999加上一个三位数，使结果是一个平方数，这样的三位数共有个．32．有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数，则这18个数中最大的数是．33．已知两个质数的平方差等于21，那么，这两个质数的平方和等于．34．在2×2=4，3×3=9，4×4=16，5×5=25，6×6=36，…等这些算式中，4，9，16，25，36…叫做完全平方数．那么不超过2007的最大的完全平方数是．35．自然数N是一个两位数，它是一个完全平方数，而且N的个位数字与十位数字都是完全平方数，这样的自然数有个．三．解答题（共15小题）36．一个四位数，它本身是一个完全平方数，由它前两位数字及后两位数字组成的两个两位数也都是完全平方数．那么这个四位数是多少？37．A、B、C三人到D老师家里玩，D老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个四位数．已知这三个四位数都是完全平方数（比如4=22，100=102，4、100都是某个数的平方，这样的数称为完全平方数），并且这三个四位数的十位数都是0，个位数都不是0，每个小朋友只能看见别人帽子上的数．这三个小朋友非常聪明而且诚实，发生了如下的对话：A说：“B、C帽子上数的个位数相同．”B、C同时说：“听了A的话，我知道自己的数是多少了．”A说：“听了B、C的话，我也知道自己的数是多少了，我的这个数的个位数是一个偶数．”求：A、B、C帽子上的数之和．38．从1至100中最多能取出个数，才能够确保其中任意两个数的最小公倍数与最大公因数的商不是一个完全平方数？39．某自然数减去39是一个完全平方数，减去144也是一个完全平方数，求此自然数．40．有多少种方法可以将22012表示成四个正整数的完全平方和？请证明你的结论．41．有一个奇怪的四位数（首位不为0），它是完全平方数，它的数字和也是完全平方数，用这个四位数除以它的数字和得到的结果还是完全平方数，并且它的约数个数还恰好等于它的数字和，那当然也是完全平方数，如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个四位数是多少？42．有一对四位数对（2025，3136），拥有如下的特点：每个数都是完全平方数，并且第二个四位数的每个数码比第一个四位数的对应数码都大1．请找出所有满足这个个点的五位数数对．（如果找出的一对五位数为a和b，请写成（a，b）的形式．）43．少年官游乐厅内悬挂着250个彩色灯泡，按1﹣250编号．它们的亮暗规则是：第1秒，全部灯泡变亮；第2秒，凡是编号为2的倍数的灯泡由亮变暗；第3秒，凡是编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态，即亮的变暗，暗的变亮；第n秒，凡编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态．这样继续下去，第250秒时，亮着的灯泡有个．44．把既不是平方数也不是立方数的正整数（0除外）按从小到大的顺序排列，得到2，3，5，6，7，10，…，其中第1000个数是多少？45．将一个2n位数的前n位数和后n位数各当成一个n位数．如果这两个n位数之和的平方正好等于这个2n位数．则称这个2n位数为卡不列克（Kabulek）怪数，例如，（30+25）2=3025，所以3025是一个拉布列克怪数．请问在四位数中有哪些卡不列克怪数？46．老师为自己班级的50名学生做了50张分别写着1到50的数字卡片，每张卡片都是一面红色，另一面蓝色，两面都写着相同的数字．老师把这50张卡片都蓝色朝上地摆在桌上，对同学们说：“请你们按顺序逐个到前面来翻卡片，规则是：只要卡片上的数字是你自己序号的倍数，你就把它们都翻过来，蓝的就翻成红的，红的就翻成蓝的．”那么，当全体学生都按老师的要求翻完以后，红色朝上的卡片有多少张？47．在每个人心里都默记住两个不等于0的数．算出这两个数和的平方，其结果记做“共”，算出这两个数差的平方，其结果记做“迎”；再算出这两个数的乘积，记做“接”．请你你的“共”，“迎”，“接”来计算式子：（）2=？．请大家一起同声回答．48．是否能将1～l6这16个自然数排成一排，使得任相邻两个数的和都等于自然数的平方？如果能，请写出排法，如果不能，请说明理由．49．如果l，2，3…n可以这样重排，使得每个数加上它的序号的和都是平方数，那么n就称为“迎春数”．例如，自然数1，2，3，4，5可以重新排列为3，2，1，5，4；这时每个数加上它的序号的和都是平方数，那么5就是一个“迎春数”．问：在6，7，8，9，10，11中哪几个是“迎春数”？50．求同时满足下列三个条件的自然数a，b：（1）a＞b；（2）；（3）a+b是平方数．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．老师把一个三位完全平方数的百位告诉了甲，十位告诉了乙，个位告诉了丙，并且告诉三人他们的数字互不相同．三人都不知道其他两人的数是多少，他们展开了如下对话：甲：我不知道这个完全平方数是多少．乙：不用你说，我也知道你一定不知道．丙：我已经知道这个数是多少了．甲：听了丙的话，我也知道这个数是多少了．乙：听了甲的话，我也知道这个数是多少了．请问这个数是（）的平方．A．14B．17C．28D．29【分析】首先利用枚举法得出所有的可能，进而利用已知分析得出所有可能，进而得出答案．【解答】解：先枚举出所有三位五重复数字的完全平方数．（1）根据甲的第一句话，排除了625，841，961 三种情形（2）根据乙的第一句话，知道乙拿到的一定不是2，4，6，从而只剩下了196，256，289，576，784 （更重要的是，此时此刻甲和丙并不知道乙知不知道结果，因此他们不能进一步缩小范围．）（3）根据丙的话，知道丙拿的一定不是6，否则就不可能知道结果，于是又排除了196，256，576．（4）根据甲的第二句话，知道甲在第二句话之后还不知道结果，因此甲一定是2．甲是由于丙的话排除了256，从而知道了自己是289的．（5）最后一句话没有用，但最后一句话是事实，因为丙不知道到底是289还是784，他只有听到了甲说完上一句话才能知道．故此数是17的平方．故选：B．【点评】此题主要考查了完全平方数的特征，利用枚举法得出所有可能是解题关键．2．已知正整数A分解质因数可以写成A=2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10=31；故选：D．【点评】根据题意，推导出满足条件的α、β、γ值，是解答此题的关键．二．填空题（共33小题）3．a1 、a2、…、a10表示10个正整数，取其中的9个数相加，得到一些不同的和：86、87、88、89、90、91、93、94、95，那么a12+a22+…+a102=1090．【分析】由10个正整数取9个数相加只有9个不同的和，可得出有一个重复的数，设9个数的和中重复的数为x、s=a1+a2+…+a10，将这十个数相加即可得出x+813=9s，变形后可得出x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，结合给定的数可得出x=87、s=100，继而可求出该10个正整数，将其平方再相加即可得出结论．【解答】解：∵只有9个不同的和，∴有一个重复．设9个数的和中重复的数为x，s=a1+a2+…+a10，∴x+86+87+88+89+90+91+93+94+95=9s，即x+813=9s，∴x+3=9s﹣810=9（s﹣90）是9的倍数，∴x=87，s=100，∴10个正整数分别是：14，13，13，12，11，10，9，7，6，5．∴a12+a22+…+a102=142+132+132+122+112+102+92+72+62+52=1090．故答案为：1090．【点评】本题考查了完全平方数的性质以及因数与倍数，将9个数之和全部相加，找出x+813=9s是解题的关键．4．（1）n为任意大于0的整数，那么2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）设2+22+23+…+22015=A，A的各位数字之和为a1，a1的各位数字之和为a2，a2的各位数字之和为a3，…，直到各位数字之和为一位数k，则k=8．【分析】（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，可得2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数；（2）求出2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，即可得出结论．【解答】解：依题意可知：（1）2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5=2n（1+2+4+8+16+32）=2n×63是9的倍数，所以2n+2n+1+2n+2+2n+3+2n+4+2n+5除以9的余数是0．（2）2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5，其和为335×（2+4+8+7+5+1）+2+4+8+7+5=14164847，各位数字之和为1+4+1+6+4+8+4+7=35，3+5=8直到各位数字之和为一位数，则k=8．故答案为0，8．【点评】本题考查数字和问题，考查逻辑推理，考查学生分析解决问题的能力，确定2、22、23、…、22015，直到各位数字之和为一位数分别为2，4，8，7，5，1，2，4，8，7，5，1，…，2，4，8，7，5是关键．5．已知四位数满足下面的性质：、、都是完全平方数（完全平方数是指能表示为某个整数平方的数，比如4=22，81=92，则我们就称4、81为完全平方数）．所有满足这个性质的四位数之和为13462．【分析】由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，可得四位数是1649或3649或8164，即可求出满足这个性质的四位数之和．【解答】解：由题意，、、都是完全平方数，所以、、分别是16，64，49或36，64，49或81，16，64，所以四位数是1649或3649或8164，所以满足这个性质的四位数之和为1649+3649+8164=13462．故答案为13462．【点评】本题考查位值原理，考查学生对概念的理解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．6．有些三位数具有下面的性质：（1）去掉百位数字后，剩下的两位数是一个完全平方数；（2）去掉个位数字后，剩下的两位数也是一个完全平方数；所有满足这些性质的三位数之和为1993．【分析】完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数为816、649、164、364．求和可得结论．【解答】解：完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，以16作为十位数、个位数，百位数取8，以49作为十位数、个位数，百位数取6，以64作为十位数、个位数，百位数取1或3，满足条件的三位数之和为816+649+164+364=1993，故答案为1993．【点评】本题考查完全平方数性质，考查学生对题意的理解，确定完全平方数是两位数的数有16，25，36，49，64，81，再根据性质，得出满足条件的三位数是关键．7．有A、B、C三个两位数．A是一个完全平方数，而且它的每一位数字都是完全平方数；B是一个质数，而且它的每一位数字都是质数，数字和也是质数；C是一个合数，而且它的每一位数字都是合数，两个数字之差也是合数，并且C介于A、B之间．那么A，B、C这三个数的和是120．【分析】可以先确定A的值，由于一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，而质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，则B的十位上数字只能是2，又因为合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间，可以缩小范围再确定这三个数．【解答】解：根据分析，先确定A，∵一位数为完全平方数的只有1，4，9，而其中能构成平方数的两位数只有49，∴A=49；∵质数B的两个数字之和为质数且每个数字都是质数，∴B的十位上数字只能是2，而个位只能是3，故B=23；∵合数C的两数字之差是合数且每个数字都是合数，则这个数字只能是：4，6，8，9，C介于A、B之间即，∴C=48，故A+B+C=49+23+48=120，故答案是：120．【点评】本题考查了完全平方数性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，以及质数合数的特征缩小范围，最后确定三个数的值．8．将2016的四个数字重新编排，组成一个四位完全平方数；那么这个四位完全平方数是2601．【分析】显然，将2016的四个数字重新编排后的数在1026～6210之间，要组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，而个位数为6和1的数中可以一个一个排除，缩小范围，最后确定答案．【解答】解：根据分析，将2016的四个数字重新编排，设此四位数为A=n2，322＜1026≤A≤6210＜802，32＜n＜80，要想组成一个四位完全平方数，则个位数必为0，1，6，又因为个位为0时，四位数必然出现两个0才能是一个平方数，故可以排除个位数是0和2的数，个位数为1和6的数有：2061、2601、6021、6201、1206、1026、2016、2106，共八个数，其中，若个位数为6，则n=36、46、56、66、76，而362=1296，462=2116，562=3136，662=4356，762=5776，均不合题意，故排除，所以个位数为1，而2061、2601、6021、6201，这四个数中只有2601=512，是一个平方数，此四位数是2601，故答案是：2601．【点评】本题考查了完全平方数的性质，本题突破点是：根据完全平方数的性质，排除掉不合题意的数，再缩小范围确定结果．9．设P是一个平方数．如果q﹣2和q+2都是质数，就称q为P型平方数．例如：9就是一个P型平方数．那么小于1000的最大P型平方数是225．【分析】小于1000的最大P型平方数，33的平方数是1089，这个数需要小于33的平方的平方数．q﹣2和q+2的差是4．只要找到数字相差4的不超过33的质数组合即可．【解答】解：小于33的质数有31，29，23，19，17，13，11，7，5，3，2等数字差是4的两个质数有19和23最大．21﹣2=19，21+2=23.21×21=441．故答案为：441．【点评】本题关键在于找到q﹣2和q+2的差是4的质数，而且小于33的质数．要注意找到的是这两个质数，题中要找的是一个平方数441，不是21．10．已知a、b均为小于100的正整数，a﹣2b为质数，且2ab为完全平方数．这样的数对（a、b）有3对．【分析】先讨论确定（a，b）=1，再得出设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，即可得出结论．【解答】解：（1）若a﹣2b=2，则a=2b+2所以，2ab=4b2+4b4b2＜4b2+4b＜4b2+4b+1=（2b+1）2因为两个完全平方数之间不存在完全平方数，所以，2ab不是完全平方数．这种情况舍去．（2）若（a，b）=d≠1，设b=kd，则a=（2k+1）d，2ab=d2（4k2+2k）因为2ab是完全平方数，所以，4k2+2k是完全平方数，由于4k2＜4k2+2k＜4k2+4k+1=（2k+1）2同理这也是不可能的．综上所述，（a，b）=1从而，a﹣2b是奇数，所以，a是奇数，因为2ab是完全平方数，所以a=x2，b=2y2，（x＜10，y＜5）所以，a﹣2b=x2﹣4y2=（x+2y）（x﹣2y）设a﹣2b=p （p是质数），则x+2y=p，x﹣2y=1，两式相减得到4y=p﹣1所以，p=4y+11～21被4除余1的质数有：5，13，17，所以，这样的数对（a、b）共有3组解：①a=9，b=2；②a=49，b=18；③a=81，b=32．故答案为3．【点评】本题考查完全平方数的性质，考查质数，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．11．五位数是一个完全平方数，那么A+B=3．【分析】由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，再分类讨论验证可得结论．【解答】解：由题意，五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7，若是，则代入验证可得1232=15129，∴A=1，B=2，A+B=3．若是，则代入验证可得1172=13689，1272=16129，不符合题意，故答案为3．【点评】本题考查完全平方数性质考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是得出五位数是一个三位数的完全平方，百位为1，末位是3或7．12．今年是2014年，2014不是完全平方数，但可以将它的各位数字改变顺序，使得到的新四位数是完全平方数，例如1024=322，已知用数字2、0、1、4各一个还能组成另一个四位完全平方数，那么这个新的四位完全平方数是2401．【分析】首先找到这些数字中尾数只能是1或者4才能构成平方数．再枚举这些数字，然后进行分解．只要分解出一个不是平方数的数字就不符合题意．【解答】解：首先根据是平方数判断尾数可以是1或者4．没有一个平方数尾数是2的．尾数是1和尾数是4时有1024，1204，2014，2104，2041，2401，4201，4021共8个数字．对以上8个数字进行分解得：①1024=25，②1204=4×301（不符合题意），③2014=2×1007（不符合题意），④2104=8×263（不符合题意）⑤2041=13×157（不符合题意），⑥2401=492（符合题意），⑦4201（质数），⑧4021（质数）．故答案为：2401【点评】本题关键是尽可能找到一个条件缩小可能出现的数字范围，比如如果是平方数尾数的特征是固定的．根据这些特征进行筛选．13．有这样的正整数n，使得8n﹣7、18n﹣35均为完全平方数．则所有符合要求的正整数n=22或2．【分析】设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，用①×9﹣②×4可以得到（3a+2b）（3a﹣2b）=77，然后把77进行分解，进而解得a、b的值．【解答】解：设8n﹣7=a2…①，18n﹣35=b2…②，①×9得，72n﹣63=9a2…③，②×4=72n﹣140=4b2…④式，③代入④式，得到9a2﹣4b2=77，即（3a+2b）（3a﹣2b）=77，又77=1×77=7×11，即或，解得a=13或3，分别把a=13或3，代入①得，8n﹣7=169，或8n﹣7=9，8n=176，或8n=16解得：n=22，或n=2，所以n=22或n=22．故答案为：22或2．【点评】本题主要考查完全平方数的知识点，解答本题的关键是设出8n﹣7=a2，18n﹣35=b2．14．A、B、C三人和他们的妻子L、M、N（不对应）去集市上买羊，买完后惊奇的发现，每个人所买羊的数量正好和价格相同（例如A买了a只羊，则每只羊的价格是a元）：若已知A、B、C分别比他们的妻子多花了63元，还知道A比M多买了23只羊，B比L多买了11只羊，那么A的妻子是N．（填字母）【分析】根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，求出方程的三组解（32，31），（12，9），（8，1），根据A比M 多买了23只羊，B比L多买了11只羊，可得结论．【解答】解：根据题意得：A、B、C都比他们的妻子多花63元，每个人花的钱是完全平方数，每对夫妻均有x2﹣y2=63．（x、y代表买到羊的只数，x＞y），即（x+y）（x﹣y）=63，而63=1×63=3×21=7×9（x+y与x﹣y的奇偶性一样），有或或，得到三组解（32，31），（12，9），（8，1），题目中B比L多买了11只羊，差11的只有一组，12﹣1=11，所以B=12，L=1，A比M多买了23只羊，32﹣9=23和31﹣8=23，但是若M=8，M和L是夫妻，矛盾，所以A=32，M=9，所以A的妻子是N．故答案为N．【点评】此题考查了非一次不定方程的性质．解题的关键是理解题意，根据题意列方程，还要注意分类讨论思想的应用．15．有4个不同的数字共可组成18个不同的四位数由小到大排成一排，其中第一个位数是一个完全平方数，倒数第二个四位数也是完全平方数，那么这两个数的和是10890．【分析】四个数字只有18个不同四位数，可以得出，四个数字中有一个为0；设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，然后分情况讨论：得出符合条件的c值，进一步解决问题．【解答】解：设：四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，下面从c值入手讨论（结合0＜a＜b＜c）：根据平方数个位特点：c=4，5，6，9，当c=4时：只有32×32=1024；但是4201不是平方数，排除，当c=5时候：45×45=2025；55×55=3025都不符合，排除，当c=6时候：都不符合排除，c=9时：33×33=1089；9801=99×99 符合条件；最小：1089，倒数第二：9801，进而求出这两个数的和．这两个数的和是：1089+9801=10890．故答案为：10890．【点评】设出四个数字为0＜a＜b＜c，且c＞3；最小（第一个数）为：a0bc，倒数第二为：cb0a，根据平方数特点，解决问题．16．1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）是7777777的平方．【分析】通过观察与计算，1234567654321是1111111的平方，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49，是7的平方，因此它们的积是7777777的平方．【解答】解：1234567654321=11111112，1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49=72，1234567654321×（1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+l）=77777772．故答案为：7777777．【点评】对于在各种类型的题目，要仔细观察，进行试算，从中发现规律或技巧，进而解决问题．17．自然数n乘以3960，所得的乘积正好是m的平方．n的最小值是110．【分析】先将3960写成62×2×5×11的形式，显然可以看出，再乘以2×5×11即可得出答案．【解答】解：因为3960=62×2×5×11，所以3960乘以2×5×11就可变成6×2×5×11=660的平方，故答案为：110．【点评】此题解答的关键在于通过分解质因数，求得n的最小值．18．已知：503=125000，603=216000，如果a3=195112，且a为整数．那么a=58．【分析】根据503=125000，603=216000，a3=195112，且a为整数，得出50＜a ＜60，由于个位数为2，可得结论．【解答】解：因为125000＜195112＜216000，503=125000，603=216000，a3=195112，所以50＜a＜60，由于个位数为2，则a=58．故答案为58．【点评】本题考查整数的确定，考查立方数的求解，比较基础．19．从0、2、4、6、8中挑出4个各不相同的数字能组成一个四位完全平方数，那么这个完全平方数是6084．【分析】首先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，然后进行验证即可得出结论．【解答】解：先个位只能为4（为0需2个0，为6需要十位数为奇数；其次，不用的数字只能是2（为0或6则被3整除余2，为8则被3整除而不被9整除），这样以来，只有6084、6804、8064、8604四种可能，因为78×78=6084，所以6084符合题意，它是78的平方；故答案为：6084．【点评】解答此题的关键是根据题意，进行推导，确定出个位数是4，不用的数是2是解答此题的关键．20．十个不同奇数的平方之和的最小值与这个最小值被 4 除的余数之差是1328．（注：相同的两个自然数的乘积叫做这个自然数的平方，如1×1=12，2×2=22，3×3=33，类推）【分析】十个不同奇数的平方之和的最小值，即从1开始，到19结束，求出1～19的10个不同奇数的平方之和，然后求出这个最小值被4除的余数，然后用10个不同奇数的平方之和减去这个最小值被4除的余数即可．。

小学奥数练习卷（知识点：数字和问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共7小题）1．从1﹣20这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于（）A．19B．20C．21D．222．张敏最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数加上各位数上的数字之和得429，那么他的房号三个位数上的数字的乘积是（）A．20B．28C．30D．363．在1，2，3，4，…，2013这2013个自然数中，最多可以取到（）个数，使得其中任意两个数之和为160的倍数．A．10个B．11个C．12个D．13个4．四位数2013的各位数字和为6，且各位数字均不相同．在具有这些性质的四位数中，按由小到大顺序排列，2013是第（）个．A．5B．6C．7D．85．45与40的积的数字和是（）A．9B．11C．13D．156．一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，并且这个数是11的倍数，则满足这种要求的四位数共有（）个．A．6B．7C．8D．97．整数2012具有如下的性质：它是4的倍数，它的各位数字和为5．在具有这两个性质的整数中，按由小到大顺序排列，2012是第（）个．A．9B．10C．11D．12第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共33小题）8．在自然数中，从某数开始，每隔相同个数取出一个数，共取出三十个数，从小到大排列，若前十个数之和是535，中间十个数之和是1235，则后十个数之和是．9．将2、4、6、8、10、…100这50个连续偶数分别写在50张卡片上，每张卡片上都写有数字且互不相同．至少要从中抽出张卡片，才能使得剩下的卡片上的数总和恰好等于2016．10．有4个自然数，从其中任意选取3个数求和，可以而且只能得到28，29，30，那么，原来的4个自然数分别是．11．将数字1～7这七个数字不重复的填入下面圆圈内，每个圆圈内恰好填一个数字，且满足如下要求：数字4和5之间的所有数字之和为12；数字1和3之间的所有数字之和为6；数字3和7之间的所有数字之和为6；那么正中间的圆圈内填．12．一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是．13．将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒乓球个．14．一副扑克牌除大小王后有4种花色共52张牌，每种花色各有13张，牌面分别是1至13．菲菲从中取出2张红桃，3张黑桃，4张方块，5张梅花．如果菲菲取出的这14张扑克牌的牌面之和恰好是35，那么其中有张是1．15．一副扑克牌去除大小王后有4种花色共52张牌，每种花色各有13张，牌面分别是1至13．菲菲从中取出2张红桃，3张黑桃，4张方块，5张梅花，如果菲菲取出的这14张扑克牌中，黑桃的牌面之和是红桃的牌面之和的11倍，梅花的牌面之和比方块的牌面之和多45，那么这14张牌的牌面之和是．16．今天是2014年12月21日，记作20141221，它的每个数位上的数字和为13，事实上2015年的每个日期都可以写成这样的一个八位数，例如2015年1月1日可以表示成20150101，那么把2015年每一天的日期都写成这样一个八位数，其中数字和为13的共有天．17．三位同学做数学游戏，小华从某数开始，从小到大写出20个连续奇数递给小刚，小刚计算出前10奇数的和是300，并告诉小强，小华要小强不看数据而计算出后10个数的和，小强直接说出了答案，那么后10个数的和是．18．一个三位数的2倍，它的数字和是原来三位数数字和的一半，这样的三位数最小是．19．将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到一个自然数20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字之后，得到201536；再次操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数字的和等于．20．将数字1﹣9放入图中的小方格中，每格一个数，可得到四条线上三个数的和都相等，请问*应该是．21．自然数2015最多可以表示成个连续奇数的和．22．如图所示，从上往下数，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和，则A=．23．2×3×5×7×11×13×17的积中，所有数位上的数字和是．24．n是一个不大于100且不小于10的正整数，且n是其各位数字和的倍数，这样的n有个．25．n是一个三位数，如果n+2014的结果的数字和是n的数字和的一半，那么，n的最大值是．26．五名选手A，B，C，D，E 参加“好声音”比赛，五个人站成一排集体亮相．他们胸前有每人的选手编号牌，5 个编号之和等于35．已知站在 E 右边的选手的编号和为13；站在 D 右边的选手的编号和为31；站在 A 右边的选手的编号和为21；站在 C 右边的选手的编号和为7．那么最左侧与最右侧的选手编号之和是．27．一个小正方体的六个表面分别用数字1，2，3，4，5和6标记，把与正方体相邻的三个面上的数字和称为这个顶点的“角顶数”．例如：图中顶点A的角顶数为2+5+6=13，则正方体所有的“角顶数”之和是．28．一个介于500﹣800之间的三位自然数，正好等于它各位数字和的36倍，则这个自然数是．29．如图，五个圆圈连接起来，每个圆圈内写上一个正整数数字．如果一个圆圈内的数字等于与其相邻的圆圈内的数码和，那么这个圆圈就称为“和谐”的．比如图中的第2个圆圈是“和谐”的，因为23=1+8+5+9；而第一个圆圈不是“和谐”的，因为18≠2+3．如果五个圆圈都是“和谐”的，那么这个图形就称为“和谐”图形．要使得“和谐”图形中五个圆圈内的数字之和最小（注意，不是数码和，例子中的数字和为18+23+59+21+33），所有不同的写法有种．30．已知：S（a）表示的各位数字之和，如果a是一个四位数，且满足S（a）+S（2a）=S（4a）．回答下列问题．（1）a的最小值是．（2）a的最大值是多少？（请写出具体解题过程）31．算式999999999﹣88888888+7777777﹣666666+55555﹣4444+333﹣22+1的计算结果的各位数字之和是．32．在33的九宫格内填入数字1至9（每个数字都恰好使用﹣次），满足圆圈内的数恰好为它周围四个方格的数字之和．例如A+B+D+E=28，那么组成的五位数是．33．“熊大”ד熊二”=“熊兄弟”．若相同的汉字代表0至9中的相同数字，不同的汉字代表不同的数字，且“大”＞“二”，则所有满足条件的“熊兄弟”代表的三位数之和是．34．有一个神奇的四位数字abcd，把这个四位数与其各位数字之和相加得到2019，这个四位数有可能是或．35．下面横排有12个方格，每个方格内填一个数字，要使任何相邻三个数之和等于12，则ϰ=．36．一个四位数，减去它各位数字之和，其差还是一个四位数，那么B的值是．37．如图是标有1、2、3、4、5、6数字的正方体的三种不同的摆法．三个正方体朝左那一面的数字之和是．38．有26个连续的自然数，如果前13个数的和是247，那么后13个数的和是．39．在1，2两数之间，第一次写上3，得到1 3 2．第二次在1，3之间和3，2 之间分别写上4，5，得到1 4 3 5 2．以后每一次都在已写上的两个相邻数之间，再写上这两个相邻数之和．这样的过程总共重复了6次，那么所有数的和是．40．一个六位数，前三位数码和与后三位数码和相同．奇数位数码和与偶数位数码和相同．这样的六位数共有个．三．解答题（共10小题）41．有10个两两不同的自然数，其中任意5个的乘积是偶数，全部10个数的和是奇数，则这10个自然数的和最小是多少？42．把1、2、3、4、5、6、7七个数填在如图的七个圆圈里，每个数只能用一次，使每条线上的三个数相加都等于12．43．把，，…，，中的每个分数都化成最简分数，最后得到的以2014为分母的所有分数的和是多少？44．能否将2005至2013填入一个3×3的方格表内，使得每一行的三个数之和都为偶数（不必相同），若能，请在图中填写；若不能，请说明理由．45．今天是2003年12月14日，是第十三届小学《祖冲之杯》数学邀请赛的时间，可以记作20031214，它的各个数位上的数字之和是13．按这种记法，今年所有日期的数字之和为13的还有那些？请把它们一一列举出来．46．对于155个装有红、黄、蓝三种颜色球的盒子，有三种分类方法：对于每种颜色，将该颜色的球数目相同的盒子归为一类．若从1到30之间所有的自然数都是某种分类中一类的盒子数，那么，（1）三种分类的类数之和是多少？（2）说明，可以找到三个盒子，其中至少有两种颜色的球，它们的数目分别相同．47．200位数M由200个1组成，M×2013，积的数学和是．48．由四个相同的小正方形拼成如图，能否将连续的24个自然数分别放在图中所示的24个黑点处（每处放一个，每个数只使用一次），使得图中所有正方形边上所放的数之和都相等？若能，请给出一个例子，请说明理由．49．不为零的自然数n既是2010个数字和相同的自然数之和，也是2012个数字和相同的自然数之和，还是2013个数字和相同的自然数之和，那么n最小是多少？50．有些数既能表示成3个连续自然数的和，又能表示成4个连续自然数的和，还能表示成5个连续自然数的和．例如：30就满足上述要求，因为30=9+10+11；30=6+7+8+9；30=4+5+6+7+8．请你在700至1000之间找出所有满足上述要求的数，并简述理由．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．从1﹣20这20个整数中任意取11个数，其中必有两个数的和等于（）A．19B．20C．21D．22【分析】构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}．从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得结论．【解答】解：构造抽屉，把这20个数分组，看成10个抽屉：{1，20}，{2，19}，…，{10，11}．从这10个数组的20个数中任取11个数，根据抽屉原理可得，其中必有两个数的和等于21，故选：C．【点评】本题考查数字和问题，考查抽屉原理，属于中档题．2．张敏最近搬进了新居，房号是一个三位数．这个数加上各位数上的数字之和得429，那么他的房号三个位数上的数字的乘积是（）A．20B．28C．30D．36【分析】由题意，三位数为，则400+10a+b+4+a+b=429，可得11a+2b=25，求出a，b，即可得出结论．【解答】解：由题意，三位数为，则400+10a+b+4+a+b=429，∴11a+2b=25，∴a=1，b=7，∴他的房号三个位数上的数字的乘积是4×1×7=28，故选：B．【点评】本题考查数字和问题，考查方程思想，正确建立方程是关键．3．在1，2，3，4，…，2013这2013个自然数中，最多可以取到（）个数，使得其中任意两个数之和为160的倍数．A．10个B．11个C．12个D．13个【分析】要使得其中任意两个数之和为160的倍数，则所选的这组数字应为除160余80的数，2013=12×160+93，即可得出结论．【解答】解：2013=12×160+93，要使得其中任意两个数之和为160的倍数，则所选的这组数字应为除160余80的数，所以最多可以取13个数，故选：D．【点评】本题考查数字和问题，考查学生分析解决问题的能力，确定所选的这组数字应为除160余80的数是关键．4．四位数2013的各位数字和为6，且各位数字均不相同．在具有这些性质的四位数中，按由小到大顺序排列，2013是第（）个．A．5B．6C．7D．8【分析】因为四位数各位数字各不相同，所有数字和为6，则只能由0，1，2，3四个数字来组成．因为0不能在首位，因此以“1”开头的四位数有3×2=6个，因此以“2”开头的最小数应是2013，因此2013是第7个．【解答】解：根据题意，只能由0，1，2，3四个数字来组成四位数．以“1”开头的四位数有3×2=6个，因此以“2”开头的最小数应是2013，因此2013是第7个．答：2013是第7个．故选：C．【点评】推出这样的四位数只能由0，1，2，3四个数字来组成，是解答此题的关键．5．45与40的积的数字和是（）A．9B．11C．13D．15【分析】根据题意，先求出45与40的积，即45×40，然后再把所得的积的数字加起来即可．【解答】解：根据题意可得：45×40=1800；1800的数字和是：1+8+0+0=9；所以，45与40的积的数字和是9．故选：A．【点评】本题的关键是求出这两个数的乘积，然后再进一步解答即可．6．一个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，并且这个数是11的倍数，则满足这种要求的四位数共有（）个．A．6B．7C．8D．9【分析】已知这个四位数，各位数字互不相同，所有数字之和等于6，所以，组成四位数的四个数字分别为0、1、2、3，这个数是11的倍数，则奇数位上的数字和等于偶数位上的数字和，等于3．据此即可找出符合条件的四位数．【解答】解：由题意，组成四位数的四个数字分别为0、1、2、3，又这个数是11的倍数，则奇数位上的数字和等于偶数位上的数字和，等于3．符合条件的四位数有3102、3201、1320、1023、2310、2013，共6个．故选：A．【点评】此题解答的关键是推出组成四位数的四个数字分别为0、1、2、3，再根据“这个数是11的倍数”这一条件，推出奇数位上的数字和等于偶数位上的数字和，等于3．进而解决问题．7．整数2012具有如下的性质：它是4的倍数，它的各位数字和为5．在具有这两个性质的整数中，按由小到大顺序排列，2012是第（）个．A．9B．10C．11D．12【分析】根据这个数是4的倍数，所以个位只能是0、2、4．【解答】解：比2012小的数符合要求的数500、140、1040、1400、320、1220、32、212、1112、104、1004、所以2012是第12个故选：D．【点评】这题采用的列举法，在列举的时候要先分类．二．填空题（共33小题）8．在自然数中，从某数开始，每隔相同个数取出一个数，共取出三十个数，从小到大排列，若前十个数之和是535，中间十个数之和是1235，则后十个数之和是1935．【分析】在自然数中，从某数开始，每隔相同个数取出一个数，共取出三十个数，从小到大排列后，可知该30个数成等差数列，设前n个数之和为S n，所以由题意可知：S10=535，S20﹣S10=1235，从而根据等差数列的性质即可求出后十个数之和．【解答】解：在自然数中，从某数开始，每隔相同个数取出一个数，共取出三十个数，从小到大排列后，可知该30个数成等差数列，设前n个数之和为S n，所以由题意可知：S10=535，S20﹣S10=1235，由于S10、S20﹣S10、S30﹣S20也成等差数列，∴S30﹣S20+S10=2（S20﹣S10）∴S30﹣S20=2×1235﹣535=1935故答案为：1935【点评】本题考查数字和问题，解题的关键熟练运用等差数列的性质，本题属于中等题型．9．将2、4、6、8、10、…100这50个连续偶数分别写在50张卡片上，每张卡片上都写有数字且互不相同．至少要从中抽出6张卡片，才能使得剩下的卡片上的数总和恰好等于2016．【分析】先求得50个数的和为2550，与2016相差2550﹣2016=534，为了让抽出的卡片少，则尽可能抽数字大的卡片就可以了．【解答】解：2+4+6+8+…+100=2550，2550﹣2016=534，100+98+96+94+92+54=534，因此，至少抽取6张卡片才能使剩下的卡片上的数总和恰好等于2016．【点评】本题为数字和问题，主要考查同学们对数字求和运算特别是高斯求和的掌握．解答此题的关键是求出50个数字之和与2016的差，然后从大到小地取出数字凑成这个差值．10．有4个自然数，从其中任意选取3个数求和，可以而且只能得到28，29，30，那么，原来的4个自然数分别是11，10，9，9．【分析】首先分析4个数字和为3个数字，如果是4个不同数字，那么数字和为4个数字，如果是两两相同那么只有2个数字和．所以这4个数字中有1个数字是重复的．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：首先分析4个数字和为3个数字，如果是4个不同数字，那么数字和为4个数字，如果是两两相同那么只有2个数字和．所以这4个数字中有1个数字是重复的．根据数字和是连续自然数，那么这3个数字也是连续自然数．3个连续自然数的和为3的倍数．那么28，29，30只有30是3的倍数．那么中间数字为10．那么这3个数字就是9，10，11．那么数字9就是重复数字．故答案为：11，10，9，9．【点评】本题考查对数字和问题的理解和运用，关键是找到这3个数字是连续的自然数，问题解决．11．将数字1～7这七个数字不重复的填入下面圆圈内，每个圆圈内恰好填一个数字，且满足如下要求：数字4和5之间的所有数字之和为12；数字1和3之间的所有数字之和为6；数字3和7之间的所有数字之和为6；那么正中间的圆圈内填3．【分析】由题意，数字1和3之间的所有数字之和为6；数字3和7之间的所有数字之和为6，则该数字为6或2+4，由于数字4和5之间的所有数字之和为12=2+3+6+1，故填入数字顺序为7，4，2，3，6，1，5，即可得出结论．【解答】解：由题意，数字1和3之间的所有数字之和为6；数字3和7之间的所有数字之和为6，则该数字为6或2+4，由于数字4和5之间的所有数字之和为12=2+3+6+1，故填入数字顺序为7，4，2，3，6，1，5，故正中间的圆圈内填3．【点评】本题考查数字问题，考查学生分析解决问题的能力，正确理解题意是关键．12．一个整数有2016 位，将这个整数的各位数字相加，再将得到的整数的各位数字相加，则最后的这个和数可能的最大值是36．【分析】当这个2016位的整数的每个数字都为9时，这个数的数字和最大，为9×2016=18144，所以任何2016位数的数字和都不大于18144，再分析这个不大于18144的数的数字和．【解答】解：2016位数的数字和最大的情况是：，最大数字和为：9×2016=18144，问题变成分析一个小于等于18144的数的数字和的最大值，首先考虑17999，9999，可知：9999的数字和最大为36．故本题答案为：36．【点评】求两次数字和，可以先求出第一次的数字和的范围，再进行分析．13．将100个乒乓球放入从左到右排成一行的26个盒子中，如果最左边的盒子中有4个乒乓球，且任意相邻的4个盒子中乒乓球的个数和都是15，那么最右边的盒子中有乒乓球6个．【分析】显然，可以分成6组，还多2盒，故除去最左边和最右边的两盒外刚好有6组，每组4盒，这6组的乒乓球总数不难算出，最右边和最左边的盒子里乒乓球总数也能算出，从容易算得最右边盒子里乒乓球个数．【解答】解：根据分析，26盒分成：26÷4=6（组）…2（个）．∵任意相邻的 4 个盒子中乒乓球的个数和都是15，所以处于位置1，5，9…25 的盒子里球的个数均为4．最右边的盒子中有乒乓球：100﹣（15×6+4）=6（个）．故答案是：6【点评】本题考查了数字和问题，突破点是：将所有盒子分组，求出中间盒子乒乓球的总数，再求最右边的乒乓球数量．14．一副扑克牌除大小王后有4种花色共52张牌，每种花色各有13张，牌面分别是1至13．菲菲从中取出2张红桃，3张黑桃，4张方块，5张梅花．如果菲菲取出的这14张扑克牌的牌面之和恰好是35，那么其中有4张是1．【分析】显然，两张红桃的牌面之和最小为1+2=3，三张黑桃的牌面之和最小为1+2+3=6，四张方块的牌面之和最小为1+2+3+4=10，五张梅花的牌面之和为：1+2+3+4+5=15，故这14张牌的牌面之和最小为：3+6+10+15=34，不难算出牌面为1的张数．【解答】解：根据分析，两张红桃的牌面之和最小为1+2=3，三张黑桃的牌面之和最小为1+2+3=6，四张方块的牌面之和最小为1+2+3+4=10，五张梅花的牌面之和为：1+2+3+4+5=15，故这14张牌的牌面之和最小为：3+6+10+15=34，①若只有1～2张是1，显然牌面之和大于35；②若有三种是1，则最小牌面之和为：2+3+1+2+3+1+2+3+4+1+2+3+4+5=36＞35，与题意矛盾；③若有四张是1，则最小牌面之和为：3+6+10+15=34＜35，符合题意．故：有四张是1．故答案是：4．【点评】本题考查了数字和问题，本题突破点是：利用牌面之和的最小值求得牌面是1的张数．15．一副扑克牌去除大小王后有4种花色共52张牌，每种花色各有13张，牌面分别是1至13．菲菲从中取出2张红桃，3张黑桃，4张方块，5张梅花，如果菲菲取出的这14张扑克牌中，黑桃的牌面之和是红桃的牌面之和的11倍，梅花的牌面之和比方块的牌面之和多45，那么这14张牌的牌面之和是101．【分析】按题意，红桃的牌面最小为1+2=3，由此可确定黑桃牌面之和，并确定其他花色的牌面之和，方块的牌面不小于1+2+3+4=10，梅花的牌面不小于10+45=55，最后求出14张牌的牌面之和．【解答】解：根据分析，两张红桃的牌面必然不小于1+2=3；如果红桃牌面不小于4，由题意可知黑桃牌面不小于44，而黑桃牌面最大为11+12+13=36＜44，矛盾；故红桃牌面为33，同样易知方块的牌面不小于1+2+3+4=10，由此知道梅花的牌面不小于10+45=55，而梅花的牌面最大为9+10+11+12+13=55；故只有方块牌面为10，梅花牌面为55满足条件．综上，14张牌的牌面之和为：3+33+10+55=101．故答案是：101．【点评】本题考查了数字和问题，本题突破点是：利用每种花色的牌面最小和最大，缩小牌面的范围，先确定红桃的牌面数，最后确定其他花色的牌面．16．今天是2014年12月21日，记作20141221，它的每个数位上的数字和为13，事实上2015年的每个日期都可以写成这样的一个八位数，例如2015年1月1日可以表示成20150101，那么把2015年每一天的日期都写成这样一个八位数，其中数字和为13的共有23天．【分析】根据题意分析，2015固定和为8，总的数字和为13，减去固定2015的数值，剩5，月份只能从1，2，3，4，10，11，12月．再按月份与日之和得5进行组合即可解答．【解答】解：根据题意可知：2015固定和为8，总的数字和为13，剩=13﹣8=5；1月份中有4天，分别为04，13，22，31；2月份中有3天，分别为03，12，21；3月份中有3天，分别为02，11，20；4月份中有2天，分别为01，10；10月份中有4天，分别为04，13，22，31；11月份中有4天，分别为03，12，21，30；12月份中有3天，分别为02，11，20；总共天数=4+3+3+2+4+4+2=23（天）；故答案为：23（天）．【点评】解题关键固定值，2015，数字和已固定为8，然后再进行细致分析，找出月份后，再找日期就简单些．17．三位同学做数学游戏，小华从某数开始，从小到大写出20个连续奇数递给小刚，小刚计算出前10奇数的和是300，并告诉小强，小华要小强不看数据而计算出后10个数的和，小强直接说出了答案，那么后10个数的和是500．【分析】第11个奇数比第1个奇数大20，第12个奇数比第2个奇数大20，第13个奇数比第3个奇数大20，…第10个奇数比第20个奇数大20．后10个数分别比前10个数大20，那和就多了10个20．【解答】解：300+10×20=500故填500【点评】这题是利用规律解题．18．一个三位数的2倍，它的数字和是原来三位数数字和的一半，这样的三位数最小是105．【分析】不妨设三位数为100+a（0≤a＜5），验证不合题意；a=5，则三位数的2倍为210，数字和为3，原来三位数数字为105，数字和为6，合题意，即可得出结论．【解答】解：不妨设三位数为100+a（0≤a＜5），则三位数的2倍的数字和2+2a=（1+a），a=﹣1不合题意；a=5，则三位数的2倍为210，数字和为3，原来三位数数字为105，数字和为6，合题意；故答案为105．【点评】本题考查数字和问题，考查方程思想，考查学生的计算能力，属于中档题．19．将2015的十位、百位和千位的数字相加，得到的和写在2015个位数字之后，得到一个自然数20153；将新数的十位、百位和千位数字相加，得到的和写在20153个位数字之后，得到201536；再次操作2次，得到201536914，如此继续下去，共操作了2015次，得到一个很大的自然数，这个自然数所有数字的和等于8479．【分析】按题设条件，操作16次后，如上图，发现数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数字重复出现．根据整个规律，推出操作了2015次，得到的数，再求和即可．【解答】解：按题设条件，操作16次后，如下：数字的规律为：从7次开始数字为11、3、3、5、7，从第12次开始为11、3、3、5、7，这5个数字重复出现，则操作2015次：（2015﹣6）÷5=401…4，则2015次操作的对应的数字是5；则所有自然数和为：前4位：2+0+1+5=8，后6为：3+6+9+1+4+1+6+6=36，重复的数字和为：1+1+1+3+3+5+7=21，重复401次后，和为401×21=8421，余数4，对应数字的和为：1+1+1+3+3+5=14，以上数字相加即为所有自然数和=8+36+8421+14=8479．故：应该填：8479．【点评】按题设条件，操作一定的次数，找到数字规律即可．20．将数字1﹣9放入图中的小方格中，每格一个数，可得到四条线上三个数的和都相等，请问*应该是8．【分析】首先分析数字和与重复数字，重复数字恰好题中给出，继续计算即可．【解答】解：依题意可知：由于图中只有1，2，4这三个数字位于其中的两条线上，各倍重复计算一次．因此图中的四条线的总和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+1+2+4=52．52÷4=13．*=13﹣1﹣4=8故答案为：8【点评】本题考查对相等和值的问题的理解和运用，关键是找到重复数字和数字和，问题解决．21．自然数2015最多可以表示成31个连续奇数的和．【分析】先把2015分解质因数，2015=5×13×31，连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把5×13=65作为正中间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是2015；因此2015最多可以表示成31个连续奇数的和．【解答】解：2015=5×13×31；连续多个奇数的和是正中间一个数的倍数；如果把5、13、31作为中间一个数的话，无法满足条件；只有当把5×13=65作为正中间一个数的话，从35、37、39…95，正好31个数，且和是2015；因此2015最多可以表示成31个连续奇数的和．故答案为：31．【点评】运用分解质因数的方法，通过分析、讨论、推理，解决问题．22．如图所示，从上往下数，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和，则A=231．【分析】依据题意中：“从上往下数，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和”，如图可得：131+C=A；142+C=B；将其带入A+B=473；可解出C 值，进而求解A值．【解答】解：根据题意可知：131+C=A；142+C=B；A+B=473；即为：131+C+142+C=473；可得：C=100；代入131+C=A；可解得：A=231；故答案为231．【点评】解题关键理解题意中“从上往下数，每个方框中的数都等于它下方两个方框中所填数的和”，再结合图，即可解答．23．2×3×5×7×11×13×17的积中，所有数位上的数字和是12．【分析】根据题意分析，拆分计算，将2×3×5×7×11×13×17拆分成三部分：2×5；3×17；7×13×17；这样拆分更能快速的计算出结果．再将所有数位上的数字计算和即为解答．【解答】解：根据题意可知：2×3×5×7×11×13×17拆分成三部分：2×5=10；。

小学奥数练习卷（知识点：火柴棒问题）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应3，规定“”本身对应0，按照这样的规则可以对应出（）个不同的数字．A．10B．8C．6D．52．用一些长度相同的火柴棒拼成5个正方形，如图所示，任意移动其中三根火柴棒，最多可以拼出（）个正方形．A．7B．8C．9D．10第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共27小题）3．用火柴棍可以摆成0至9这10个数字，如图1所示；小明将一个一位数乘以一位数算式中的若干根火柴棍拿走后变成图2的样子：原先正确算式的乘积结果为．4．如图是一把倒放的缺腿椅子，请移动2根火柴棒，让椅子正过来（请在移除的火柴棒上标上大叉，再用虚线表示火柴棒移动后的位置）．5．42根长度相同的火柴棍摆成如图．若将每根火柴棍看作长度为1的线段，则图中可以数出38个三角形来．如果要使得剩下的图中再也找不到三角形，那么至少需要拿走根火柴棍．6．移动如图中的2根小棒，使2013变为另一个数．这个数最大是．7．请移动1根火柴棒，使有图的等式成立．请将移动后的算式写在横线上：．（注意：算式中的“Z 表示2”）8．只许移动1根火柴棒，使等式成立．9．移动一根火柴，使等式成立．10．移动一根火柴，使等式成立．11．如图是一个由火柴棍拼成的2011，每根火柴棍的长度是1厘米，那么所有的火柴棍的长度之和是厘米．12．用等长的火柴棍为边长，在桌上摆大小相同的三角形（如图）．摆6个三角形至少用12根，那么摆29个三角形，至少要用根．13．两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走根时才能在游戏中保证获胜．14．3根火柴可以摆成一个小三角形．如图用很多根火柴摆成了一个中空的大三角形．已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴．摆成这个图共需要根火柴．15．用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用根火柴．16．上下或水平移动或者旋转火柴棒，可以使错误的算式：变成正确的算式．请你给出一个正确算式：．17．如图是用17根火柴棒摆成的，图中共有8个正方形．从图中至少拿掉根火柴棒，才能将这8个正方形全部破坏（构不成正方形），请在图中表示出来．18．用10根火柴棒首尾顺次连接成一个三角形，能接成不同的三角形有个．19．只移动一根火柴棒，使等号两边相等．正确算式是：20．如图是用火柴棒搭成一个算式，如果只移动一根，使等式成立，移动后的等式是．21．如图所示，问号处的数字应该是．22．电子显示器的显示各个数字的方式（如图），用16根火柴按照这样能摆成个不同的三位数？23．搭1个正方形需要4根火柴，但搭成6个正方形，用12根火柴也能行．（判断对错）24．一个火柴可以折成三份，那10236.2个火柴可以折成份．25．如图，用火柴棒按照下面的图示横着拼正方形，当拼出10个正方形时，一共用了根火柴棒．26．请你移动下面算式中的一根火柴棒，使其等式成立．移动后的式子为．27．用21根火柴棒可以摆成一个三位数“”．若从每一个“”中去掉2根火柴棒还可以得到另一个三位数，所有可能得到的三位数中，最大的是，最小的是．（注：）28．用6根火柴，最多可以搭个一样的三角形．29．【无错误算式】平移或者旋转火柴棒，使下列错误算式变为正确算式．三．解答题（共21小题）30．如图是用火柴棍摆成的图形，请你移动最少的火柴棍，使移动后的图形里共有3个正方形．请在原图上标记出要移动的火柴棍，并将移动后的图形画在空白处．31．用12根火柴棒组成6个正三角形．请按下列要求移动（1）移动2根，变成5个正三角形（2）再移动2根，变成4个正三角形（3）再移动2根，变成3个正三角形（4）再移动3根，变成2个正三角形．32．如图是用火柴棒搭成的一张翻倒的而且掉了一条腿的椅子，请移动2根火柴棒，使椅子翻过来，而且看上去不少腿．33．如图是由火柴棒摆成的算式中，添加或去掉一根火柴，使等式成立．34．如图是由火柴棒摆成的算式中，移动一根火柴，使等式成立．35．如图是由15根火柴组成的图形．请你移动2根火柴，使它变成5个同样的正方形．36．小华和他爸爸今年的年龄和是45岁，爸爸比小华大27岁，爸爸比妈妈大4岁，请你通过计算，并且分别在A，B，C三道算式中移动一根或者两根火柴棒，使下列算式的和、差、积表示成小华和他爸爸、妈妈今年的年龄．移动后正确的算式是？37．有一个电子计算器的数字显示屏坏了，有部分区域在该亮时不亮，使原本的一道一位数乘一位数，积是两位数的乘法算式，出现如图所示的怪样（不妨用火柴棒来表示）．小明对此用火柴棒摆出一种可能的算式：请问，图中所示的算式的乘积有哪几种？38．数字“4”可以看成由4根火柴棒搭成的，如：，请你用13根火柴棒搭成一个最大的三位数．39．用8根火柴可以搭出一个长方形或正方形，如图，你能不能用8根火柴搭出一个面积比这两个图形更大的几何图形来？请把你搭出的图形画在下面空白处．40．请你回答最少用几根火柴棒可以搭出55个正方形，并把这个火柴棒正方形画出来．41．图中每个小正方形的边长都是4厘米，四条实线围成的是一个梯形．有一盒长度都是4厘米的火柴，分别取出其中的4根和5根，如图（A）和图（B），都可以将梯形分成面积相等的两部分．现在请你分别取出6、7、8、9、10根火柴，在（C）、（D）、（E）、（F）、（G）图中沿虚线放置（火柴之间不能重叠），将梯形分成面积相等的两部分（用实线表示这些火柴）．42．如图，摆放2×2的“4宫格”要用12根火柴棍；摆放3×3的“9宫格”要用24根火柴棍．小明用1300根火柴棍，恰好摆放成一个m×m的“m2宫格”，问m=？43．如图是用12根火柴棒摆成的，请你取掉3根火柴棒，使它变成3个相同的三角形．44．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动1根火柴棒，使算式成立．45．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动1根火柴棒，使算式成立．46．下面的算式是用火柴棒摆成的，请移动2根火柴棒，使算式成立．47．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动2根火柴棒，使算式成立．48．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动1根火柴棒，使算式成立．49．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动1根火柴棒，使算式成立．50．下面的算式是用火柴棒摆成的，请你移动1根火柴棒，使算式成立．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．用火柴棍摆成数字0﹣9的方式如下：现在，去掉“”的左下侧一根，就成了数字“”，我们称“”对应1；去掉“”的上下两根和左下角一根，就成了数字“”，我们称“”对应3，规定“”本身对应0，按照这样的规则可以对应出（）个不同的数字．A．10B．8C．6D．5【分析】原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，这里面只含有2、3、4、5、6、7，共6个不同的数字，取得根数只能从这6中数字里面取，所以对应的也有6不同的数字；据此解答．【解答】解：原数字的火柴数目依次是对应的火柴棍的根数是：2、5、5、4、5、6、3、7、6、6，这里面只含有2、3、4、5、6、7，共6个不同的数字，所以对应的也有6不同的数字；故选：C．【点评】本题没必要意义列举出来所有数的对应数，只要换个角度找到所取根数的范围数（2、3、4、5、6、7），即可得出答案．2．用一些长度相同的火柴棒拼成5个正方形，如图所示，任意移动其中三根火柴棒，最多可以拼出（）个正方形．A．7B．8C．9D．10【分析】本题考察火柴棒问题．【解答】解：如图，移动三根蓝色的到红色的位置：此时有9个正方形，故答案选C．【点评】本题对学生动手能力要求较高．二．填空题（共27小题）3．用火柴棍可以摆成0至9这10个数字，如图1所示；小明将一个一位数乘以一位数算式中的若干根火柴棍拿走后变成图2的样子：原先正确算式的乘积结果为48．【分析】剩下“”形状火柴原来可能是数字4、5、6、8、9剩下“H”形状的火柴原来只能是8剩下“丩”形状的原来可能是4、8、9．【解答】解：剩下“”形状火柴原来可能是数字4、5、6、8、9剩下“H”形状的火柴原来只能是8剩下“丩”形状的原来可能是4、8、9因此依据组合的可能性得出原式为6*8=48．故答案为：48．【点评】此题考查学生的逻辑思维及可能性问题．4．如图是一把倒放的缺腿椅子，请移动2根火柴棒，让椅子正过来（请在移除的火柴棒上标上大叉，再用虚线表示火柴棒移动后的位置）．【分析】正放的椅子有3条腿，现在只有两条竖直的腿，所以要移动的两根火柴棒是作为椅子的1条欠缺的竖直的腿和椅子背横梁即可．【解答】解：根据分析可得，【点评】观察图形，思维要灵活，多方面思考，从正放椅子的特征切入，进行突破．5．42根长度相同的火柴棍摆成如图．若将每根火柴棍看作长度为1的线段，则图中可以数出38个三角形来．如果要使得剩下的图中再也找不到三角形，那么至少需要拿走12根火柴棍．【分析】要使剩下的图中再也找不到三角形，则要拿掉的火柴棍要是两个三角形的公用边，这样拿掉的火柴棍最少，据此进行解答．【解答】解：答：至少要拿走12根火柴棍．故答案为：12．【点评】本题的重点是拿掉两个三角形的公共边，这样拿掉的最少．6．移动如图中的2根小棒，使2013变为另一个数．这个数最大是211131．【分析】要使这个数移动2根小棒，使变成的数最大，就要使这个数变的数位多，所以第一个数字2上的小棒不能动，可变动0中的两根小棒，使0变成1、1，然后把这2根小棒移到后面即可．【解答】解：故答案为：211131．【点评】本题的关键是让移动小棒后的数变的位数多．7．请移动1根火柴棒，使有图的等式成立．请将移动后的算式写在横线上：3=11+1﹣2﹣7．（注意：算式中的“Z 表示2”）【分析】优先考虑结果不变，只能移动一根火柴棒，先从等号的右边入手，尽量的让算式的结果变成3．【解答】解：优先考虑结果不变，只能移动一根火柴棒，先从等号的右边入手，尽量的让算式的结果变成3．所以就得出3=11+1﹣2﹣7，故答案为3=11+1﹣2﹣7．【点评】本题考查火柴棒问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是优先考虑结果不变，只能移动一根火柴棒．8．只许移动1根火柴棒，使等式成立．【分析】根据题意可把14前面的火柴棒移支后面变成7+4=11．据此解答．【解答】解：移动后为：故答案为：【点评】本题主要考查了学生根据题目特点，动手动脑的能力．9．移动一根火柴，使等式成立．【分析】因为被减数和减数个位数字相减只能得“8”；而差的个位数字是“9”，所以需要把“9”变成“8”；又因为81﹣63=18，18≠29，18比29大约少了10，所以“81”需要变为“81+10=91”，因此也需要把“8”变成“9”；这样只要把原来算式中的“8”和“9”互变，即：把数字“8”的左下一根移到数字“9”的左下空缺处，因此被减数变成了“91”，差变成了“28”，等式就成立了．【解答】解：根据分析可得，把数字“8”的左下一根移到数字“9”的左下空缺处，因此被减数变成了“91”，差变成了“28”，等式就成立；即，算式变为：91﹣63=28．【点评】火柴棒问题要注意观察题干、数字特点以及结合运算符号进行分析，从中找到解决问题的方法．10．移动一根火柴，使等式成立．【分析】因为66﹣37=29，所以只要移动一根火柴，把20变成29即可，通过观察：把数字“0”左下方的一根，移到0的中间并且横放，变成数字“9”，即可使等式成立．【解答】解：根据分析可得，把数字“0”左下方的一根，移到数字“0”的中间并且横放，变成数字“9”，即可使等式成立；算式变为：29+37=66．【点评】对于火柴棒问题，要结合数字的特点和运算法则，先分析好移动火柴棒的位置，再根据题意解答．11．如图是一个由火柴棍拼成的2011，每根火柴棍的长度是1厘米，那么所有的火柴棍的长度之和是84厘米．【分析】先算出每个数字中有多少根火柴棍，再把它们相加求出火柴棍的总数，再乘1即可．【解答】解：2中有火柴棍24根0中有火柴棍24根1中有火柴棍18根所以共有火柴棍：24+24+18+18=84（根）84×1=84（厘米）答：所有的火柴棍的长度之和是84厘米．故答案为：84．【点评】本题的重点是求出火柴棍的根数，进而求出火柴棍的总长度，易错点是要正确数出火柴棍的数量．12．用等长的火柴棍为边长，在桌上摆大小相同的三角形（如图）．摆6个三角形至少用12根，那么摆29个三角形，至少要用51根．【分析】24个三角形也正好组成一个正六边形，至少需要[（1+2）×3﹣2]×6=42（根）火柴棍，余下的5个三角形至少需要9根火柴棍，因此摆29个三角形至少需要42+9=51根火柴棍．【解答】解：如图：24个三角形也正好组成一个正六边形，至少需要火柴棍[（1+2）×3﹣2]×6=42（根），余下的5个三角形至少需要9根火柴棍，42+9=51（根）．故答案为：51．【点评】思维灵活，多方位思考，从原来的火柴棒的摆发得到启示，然后解决问题．13．两个人做移火柴棍游戏．比赛规则是：两人从一堆火柴中可轮流移走1至5根火柴，但不可以不取，直到移完为止，谁最后移走火柴就算谁赢．如果开始有55根火柴，首先移火柴的人在第一次移走1根时才能在游戏中保证获胜．【分析】第一次拿走1根，剩余54根，这样保证以后每次两人共同取走的为6根，则最后1根肯定是第一个人得．【解答】解：甲先移1根，还剩54根，接着乙移，不管以移走几根（1﹣5根），随后的甲只要保证每次移动的根数和前面乙移的根数和为6就行，这样当乙移完第8次（即甲移完第9次），总共移走了1+6×8=49，还最后剩6根，这时乙开始他的第9次移动，但不管怎么移，最后还是会有剩下（最多5，最少1根），于是甲就可以移完最后剩下的．故答案为：1．【点评】此题解答的规律是：甲先移1根，随后的甲只要保证每次移动的根数和前面乙移的根数和为6就行．14．3根火柴可以摆成一个小三角形．如图用很多根火柴摆成了一个中空的大三角形．已知大三角形外沿上每条边都是20根火柴．摆成这个图共需要222根火柴．【分析】①外沿共用火柴棒：20×3=60根；②内沿每边比外沿少用3根，共用火柴棒：（20﹣3）×3=51根；③内沿的每根火柴棒和2根中间的构成一个三角形，中间共用火柴棒：51×2=102根；④每个角里面有一个小三角形，每个三角形用火柴棒3根，共用：3×3=9（根）．把①②③④相加既得共需要火柴棒的根数．【解答】解：20×3+（20﹣3）×3+51×2+3×3，=60+51+102+9，=222（根）．故答案为：222．【点评】此题关键是把火柴棒分好类，然后按类计算出后相加即可，同时按规律分类时要明确，如果不明确会产生混乱而不容易计算．15．用火柴棍拼成的数字和符号如下图所示，那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用12根火柴．【分析】减号和等号一定用了3根，其他三个数字，其中一个数字等于其他两个数字的和，火柴棒最少的三个数是：2、1、1共9根火柴棒；其他的如1、1、0需用10根火柴棒；3、2、1需要12根火柴棒；7、4、3需要12根火柴棒；…【解答】解：答：那么用火柴棍拼成一个减法等式最少要用12根火柴．故答案为：12．【点评】此题考查了火柴棒问题．16．上下或水平移动或者旋转火柴棒，可以使错误的算式：变成正确的算式．请你给出一个正确算式：17﹣3=7+7，11+3=7+7（答案不唯一）．【分析】只要把第一组上边的火柴棒向后拿一拿，放在第二根火柴棒上即可变成17﹣3=7+7；也可以把第一组上边的火柴棒放在像减号的那根上，即可变成11+3=7+7；【解答】解：17﹣3=7+7，11+3=7+7（答案不唯一）；故答案为：17﹣3=7+7，11+3=7+7．【点评】只要认真观察，即可看出规律，然后进行验证．17．如图是用17根火柴棒摆成的，图中共有8个正方形．从图中至少拿掉4根火柴棒，才能将这8个正方形全部破坏（构不成正方形），请在图中表示出来．【分析】因为图中的8个正方形是6个小正方形和2个由4个小正方形组成的大正方形，所以要破坏这8个正方形，必须把中间一行的一根火柴棒拿走，再去掉中间竖着的三行中的三根；如下图，据此解答；【解答】解：至少拿走4根火柴棒，可以将这8个正方形全部破坏；如图：故答案为：4．【点评】本题确定8个正方形的位置是解答此题的关键，注意此题拿去的火柴棒的答案不是唯一的．18．用10根火柴棒首尾顺次连接成一个三角形，能接成不同的三角形有2个．【分析】此题即为周长为10，各边边长均为整数的三角形有几种的问题．要注意到三角形任意两边的边长之和要大于第三边，因此任何一边的边长不可能大于或等于5（如果大于或等于5，另两边和也要大于5，则和大于10），同时也意味着任何一边的边长不可能等于1（等于1的话不能组成周长为10的三角形）．所以只有两种情况：442和433【解答】解：根据分析，用10根火柴棒首尾顺次连接成一个三角形，能接成不同的三角形有442、433共2个．故答案为：2．【点评】从三角形的周长与三边关系入手，联系数字特点寻求答案．19．只移动一根火柴棒，使等号两边相等．正确算式是：4+7+1=12【分析】观察发现，只要把加数“2”中的最后一根火柴棒拿出来，放到减号上，这样式子变成4+7+1=12，等式成立．【解答】解：将2最后一根火柴棒和减号组合变成：4+7+1=12，等式成立．故答案为：4+7+1=12．【点评】对于火柴棒问题，先根据数字的特点，分析好移动火柴棒的位置，再根据题意解答．20．如图是用火柴棒搭成一个算式，如果只移动一根，使等式成立，移动后的等式是．【分析】把加号的一根去掉变为减法，移到数字5的上面变为9，由此得出算式12﹣9=3，解决问题．【解答】解：加号的一根去掉变为减法，移到数字5的上面变为9，移动结果如下：故答案为：．【点评】根据数字和运算符号的特点，灵活变形解决问题．21．如图所示，问号处的数字应该是A．【分析】通过观察可知：1有2根火柴棒组成，7有3根火柴棒组成，2有5根火柴棒组成，9有6根火柴棒组成，8有7根火柴棒组成，所以问号处的数字应该是由4根火柴棒组成的数字，应为4．【解答】解：组成这些数字的火柴棒的数量依次加1，2+1=33+1=4问号处的数字应该是4根火柴棒组成的数字，应为4．故选：A．【点评】根据观察找出组成这些数字火柴棒的规律是解答本题的关键．22．电子显示器的显示各个数字的方式（如图），用16根火柴按照这样能摆成65个不同的三位数？【分析】数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0分别要用火柴根数为2、5、5、4、5、6、3、7、6、6根．其中用16根火柴可以有如下摆法：5+5+6=3+7+6=6+6+4.5+5+6可以组成共45个三位数，3+7+6可以组成共10个三位数．6+6+4可以组成共10个三位数，所以能摆出：45+10+10=65个，据此解答即可．【解答】解：数字1、2、3、4、5、6、7、8、9、0分别要用火柴根数为2、5、5、4、5、6、3、7、6、6根．其中用16根火柴可以有如下摆法：5+5+6=3+7+6=6+6+4．5+5+6可以组成共45个三位数，3+7+6可以组成共10个三位数，6+6+4可以组成共10个三位数，所以能摆出：45+10+10=65（个）故答案为：65．【点评】分别列出每个数字所用的火柴数，然后凑齐16根，组成不同的数字，然后数字在不同的数位上，即可得解．23．搭1个正方形需要4根火柴，但搭成6个正方形，用12根火柴也能行．√（判断对错）【分析】搭1个正方形需要4根火柴，若搭成6个正方形，可分多种情况：①搭成6个单个正方形，则需要4×6=24根火柴；②搭成一行6个相邻的正方形，则需要3×6+1=19根火柴；③搭成一个正方体，则可用12根火柴；④搭成6个大小不等的正方形，即先摆三个正方形用去十根，最后两根摆到其中两个正方形的中间，这样就是六个正方形，则可用12根火柴；据此判断．【解答】解：由分析可知，搭1个正方形需要4根火柴，但搭成6个正方形，用12根火柴也能行，可搭成一个正方体，则有6个相同的正方形．故答案为：√．【点评】解答此题要明确：搭成6个正方形，没有限制是搭成平面图形还是立体图形．24．一个火柴可以折成三份，那10236.2个火柴可以折成30709份．【分析】根据题意知一个火柴可以折成三份，则10236个火柴可折的份数就是3个10236份，因10236.2是由10236和0.2组成，0.2个火柴不能再折成三份，据此解答．【解答】解：10236×3+1=30708+1=30709（份）答：可以折成30709份．故答案为：30709．【点评】本题的重点是不足部分不够折的要算一份，再求出整根火柴要折的份数即可．25．如图，用火柴棒按照下面的图示横着拼正方形，当拼出10个正方形时，一共用了31根火柴棒．【分析】第一个正方形用了4根火柴棍，然后每增加3根火柴棍，就多一个正方形，10个正方形，用4+3×（10﹣1）即可得解．【解答】解：4+3×（10﹣1）=4+3×9=4+27=31（根）答：一共用了31根火柴棒．故答案为：31．【点评】对于火柴棒问题，先分析火柴棒的位置，再根据题意解答．26．请你移动下面算式中的一根火柴棒，使其等式成立．移动后的式子为29+37=66或28+37=65．【分析】方法一：因为66﹣37=29，所以只要移动一根火柴，把20变成29即可，通过观察：把数字“0”左下方的一根，移到0的中间并且横放，变成数字“9”，即可使等式成立．方法二：因为28+37=65，所以把66的后一个6移到一根火柴变为5，移到到20的0中间，变为28，即可得解．【解答】解：如图，方法一：把数字“0”左下方的一根，移到数字“0”的中间并且横放，变成数字“9”，即可使等式成立．方法二：把66的后一个6移到一根火柴变为5，移到到20的0中间，变为28，等式成立．故答案为：29+37=66 或28+37=65．【点评】对于火柴棒问题，要结合数字的特点和运算法则，先分析好移动火柴棒的位置，再根据题意解答．27．用21根火柴棒可以摆成一个三位数“”．若从每一个“”中去掉2根火柴棒还可以得到另一个三位数，所有可能得到的三位数中，最大的是555，最小的是222．（注：）【分析】从每个“”中去掉2根火柴棒，得到的最大数是，最小数是．据此解答．【解答】解：根据以上分析知，所有可能得到的三位数中，最大的是555，最小的是222．故答案为：555，222．【点评】本题的关键是从每个“”中去掉2根火柴棒后，得到的最大数和最小数是几．28．用6根火柴，最多可以搭4个一样的三角形．【分析】用6根火柴，要使搭的个数最多，就要搭成立体图形，即三棱锥．【解答】解：要使搭的个数最多，就要搭成三棱锥，这时最多可以搭4个一样的三角形．图形如下：【点评】本题要打破思维定势，不要只从平面去考虑，要考虑到立体图形的拼组．29．【无错误算式】平移或者旋转火柴棒，使下列错误算式变为正确算式．【分析】由题意可知71﹣3=68，7+7=14，根据整数的加减法可知，移动等号右边的，怎么移动都不会和等号左边的结果相等，所以只能移动等号左边的，并且使结果等于14，这样就必须移动71中的一根火柴棒，再根据题意解答即可．【解答】解：由题意可知，只有移动71中的火柴棒，才能使结果等于7+7=14．第一种，把71的7上面的火柴棒移到减号上，使减号变成加号，这样正好变成11+3=14，故左右相等；第二种，把71的1移到7的前面变成17，这样变成17﹣3=14，也成立．所以有两种答案，一种是：11+3=7+7，另一种是：17﹣3=7+7．【点评】对于火柴棒问题，先分析好移动火柴棒的位置，再根据题意解答．三．解答题（共21小题）30．如图是用火柴棍摆成的图形，请你移动最少的火柴棍，使移动后的图形里共有3个正方形．请在原图上标记出要移动的火柴棍，并将移动后的图形画在空白处．【分析】根据所给图形，移动3根火柴棍，可得2个小正方形与1个大正方形．【解答】解：原图上标记出要移动的火柴棍。

小学奥数练习卷（知识点：二元一次方程组的求解）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．有一份试卷共六道选择题，其评分标准是：答对一道得8分，答错得0分，不答得2分，某同学共得20分，则他（）A．至多答对一道题B．至少答对三道题C．至少有三道题没答D．答错两道题2．购买十种货物A1，A2，A3，…，A10，如果购买件数依次为l，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1995元，如果购买件数依次为1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么各购买一件共需人民币（）A．1000元B．900元C．990元D．980元第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共37小题）3．某名山管理处工作人员到县城办事，他先骑自行车以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度能过平路，共有1小时到达县城．他回来时以每小时8千米的速度通过平路，而以每小时4千米的速度上山，回到管理处用了1小时45分．该名山管理处距县城千米．4．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了场．5．已知A×126=162×B，A+B=80，A=，B=．6．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x=．7．A、B都是自然数，且B比A大42．如果14A+1.5B=2016，则A=，B=．8．解方程组，得x=，y=．9．若五个都大于1的正整数a，b，c，d，e满足，则a b+cd+e=．10．已知整数x、y满足，则2min（x，y）+max（x，y）的最大值为（min（x，y）表示x，y这两个数中的较小值，max（x，y）表示x，y这两个数中的较大值，比如min（3，2）=2，max（3，2）=3）．11．如图，大正方形被两条线段分割成四个小长方形；若长方形B的周长是A 的2倍，长方形C的周长是A的3倍，那么长方形D的面积是A的倍．12．五个数a、b、c、d、e满足，则a+b+c+d+e=．13．小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度．如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了20步．拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米．那么绳子的长度为米．14．姗姗和希希各有若干张积分卡．姗姗对希希说“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍”希希对姗姗说“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍”姗姗对希希说“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍”这三句话中有一句话是错的，那么，原来希希有张积分卡．15．希希和姗姗各有若干张积分卡．姗姗对希希说：“如果你给我2张，我的张数就是你的2倍．”希希对姗姗说：“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍．”姗姗对希希说：“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍．”希希对姗姗说：“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍．”后来发现以上四句话恰有两句正确，两句不正确，最后希希给了珊珊几张积分卡之后她们的张数就相同了．那么，原来希希有张积分卡．16．面粉厂送面粉到食品厂加工蛋糕，第一次送去20袋面粉，其中4袋作为加工费给食品厂还不够，另外补给食品厂160元现金，第二次送去14袋面粉，其中2袋作为加工费给食品厂也不够，另外补给食品厂180元现金．那么，每袋面粉值元，每袋的加工费是元．17．一个分数，如果在它的分子上加1，这个分数就等于l；如果在它的分母上加1，这个分数就等于．原来的分数是．18．方程组：的解为．19．已知：，那么x+y=．20．已知：，那么x=．21．体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4名，比赛的乒乓球台共有13张，那么双打比赛的运动员有名．22．小明上周去百货商店用30元买了2支钢笔和4支铅笔．这周去百货商店时，发现钢笔降价10%，铅笔加价20%．于是，小明又花了30元买了3支钢笔和1支铅笔．现在买1支钢笔和1支铅笔一共需要元．23．由图知，小芳原来有球个．24．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则|mn﹣15|=．25．一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个．小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个．原来木箱内共有乒乓球个．26．2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的，8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫．如果是单让蟹将去打扫，与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多个．27．某个自然数与10的和与差均为完全平方数，这个自然数是．28．一盘苹果有20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘苹果有个，分给个小朋友．29．有一批人要合买一条船，后来有10人退出，经过计算，剩下的人每人要出1元，实际付款又有15人退出，结果，每人又要多出了2元，原来想买船的人共有个．30．方程组的解是x=，y=．31．两数之和为20，两数之差为4，设较大数为x，较小数为y，则可列出方程组为，这两数是．32．有5分和2分的硬币100枚共3元2角，若设5分币有x枚，2分币有y枚，则可列出方程组为．33．长方形的周长是20厘米，长比宽多1厘米，设它的长为x厘米，宽为y厘米，则可列出方程组为．34．已知方程组，当a，c方程组有一解；当a，c方程组有无数解，当a，c方程组无解．35．赵阿姨买3千克苹果和5千克梨，用去48元；王阿姨买同样的2千克苹果和6千克梨，用去48.8千克，妈妈买回同样的1千克苹果和5千克梨，需要元．36．若（x+y﹣3）2+（x﹣y+5）2=0，则x2﹣y2=．37．二元一次方程3x+2y=15的正整数解的个数有个．38．称两个苹果时，天平的情况如图，如果在盘子里再放上一个苹果（苹果质量都相等），砝码的位置要往左移动3cm才能保持平衡，每个苹果重g，盘子重g．39．方程组的解是则方程组的解为．三．解答题（共11小题）40．有一个分数，如果分母加上3，分子不变，约分后为；如果分子加上4，原分母不变，约分后为．求原分数．41．如图是游乐场的溜冰滑道，溜冰车上坡每分钟行400米，下坡每分钟行600米，已知从A点到B点需6.5分钟，从B点到A点只需6分钟，那么AC比BC长米．42．解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：（1）（2）+4=．43．解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：（1）2x+13=4x﹣7（2）．44．若关于x、y的方程组有无数组解，求：2|c﹣a+1|+3|a﹣1|+b2的最小值．45．解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：（1）﹣1=（2）．46．解下列方程组，并用方程（组）解应用题，写出简要解方程的过程：（1）；（2）某班有45名同学，其中有5名男生和女生的参加了数学竞赛，剩下的男女生人数恰好相等，这个班有多少名男生？47．解下列方程或方程组，写出简要的解方程过程与方程的解：（1）（2）+4=．48．100名学生当上全区儿童运动会的“志愿者”，男同学2人一组，女同学3人一组，刚好共41组．男志愿者有名，女志愿者有名．49．已知某人骑车每小时行8千米，乘车每小时行16千米，从家到单位时，的路程乘车，从单位回家时，前时间骑车，后面乘车．结果去单位的时间比回家所用时间多0.5小时．则此人从家到单位的距离是多少千米？50．从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需小时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．有一份试卷共六道选择题，其评分标准是：答对一道得8分，答错得0分，不答得2分，某同学共得20分，则他（）A．至多答对一道题B．至少答对三道题C．至少有三道题没答D．答错两道题【分析】假设答对x题，答错的有y题，不答的有z题．依题意得，满足6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0，且都为整数，分x=0时；x=1时；x=2时三种情况讨论．【解答】解：设答对x题，答错的有y题，不答的有z题．依题意得，且满足且6≥x≥0，6≥y≥0，6≥z≥0都为整数当x=0时，z=10，不合题意舍去；当x=1时，z=3，y=6，不合题意舍去；当x=2时，z=2，y=2．只有选项D符合要求．故选：D．【点评】解答此题的关键是列出方程组，就x的取值讨论得到方程组的解．2．购买十种货物A1，A2，A3，…，A10，如果购买件数依次为l，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1995元，如果购买件数依次为1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么各购买一件共需人民币（）A．1000元B．900元C．990元D．980元【分析】这题中可以发现当购买件数依次为l，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1995元，如果增加2倍的话就是2，6，8，10，12，14，16，18，20，22件，需要人民币就是1995×2元；而购买件数依次为1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，可以发现两下进行相减正好是每种货物各买一件，从而得解．【解答】解：由题意得1A1+3A2+4A3+5A4+6A5+7A6+8A7+9A8+10A9+11A10=1995 （1）1A1+5A2+7A3+9A4+11A5+13A6+15A7+17A8+19A9+21A10=3000 （2）由（1）×2﹣（2）得A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8+A9+A10=990（元）答：各购买一件共需人民币需要990元．故选：C．【点评】找到两种不同的购买方法存在着某种联系是关键，正好二倍去减得到每样一件．二．填空题（共37小题）3．某名山管理处工作人员到县城办事，他先骑自行车以每小时12千米的速度下山，再以每小时9千米的速度能过平路，共有1小时到达县城．他回来时以每小时8千米的速度通过平路，而以每小时4千米的速度上山，回到管理处用了1小时45分．该名山管理处距县城10千米．【分析】解：设从景区管理处到县城山路为x千米，平路为y千米，列出方程组，即可得出结论．【解答】解：设从景区管理处到县城山路为x千米，平路为y千米，则由题意，解得，所以名山管理处距县城4+6=10千米，故答案为10．【点评】本题考查二元一次方程组的求解，考查学生的计算能力，正确建立方程组是关键．4．足球比赛的记分规则是：胜一场记3分，平一场记1分，负一场记0分，一支小学生足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，则这支球队胜了9场．【分析】设胜x场，平y场，根据“足球队参加了15场比赛，负了4场，共得29分，”列出方程组解答即可．【解答】解：设胜x场，平y场，则解得：答：这支球队胜了9场．故答案为：9．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答关键是弄清题意，找到等量关系，然后列方程组解答．5．已知A×126=162×B，A+B=80，A=45，B=35．【分析】A×126=162×B，可得A：B=9：7，设A是9份，B是7份，则1份是80÷（9+7）=5，即可求出A，B．【解答】解：A×126=162×B，可得A：B=9：7，设A是9份，B是7份，则1份是80÷（9+7）=5，所以A=45，B=35．故答案为45，35．【点评】本题考查二元一次方程组的求解，考查比例的运用，求出A，B的份数及1份是多少是关键．6．已知x是最简真分数，若它的分子加a，化简得；若它的分母加a，化简得，则x=．【分析】先原来的分数x是，根据变化，用b和c分别表示出两次变化后的分数，它们分别与和相等，这样就可以把这两个等量关系式看成比例式，再根据比例的性质，得出a、b、c三个数之间的关系，然后运用代换法，把b 和c都用a代换，从而得出原来分数是多少．【解答】解：设原来的分数x是，则：=则：b=3（c+a）=3c+3a①=则：4c=a+b②①代入②可得：4c=a+3c+3a4c=4a+3c则：c=4a③③代入①可得：b=3c+3a=3×4a+3a=15a所以==即x=．故答案为：．【点评】解决本题先设出原来的分数，再根据比例的性质和代换法求解．7．A、B都是自然数，且B比A大42．如果14A+1.5B=2016，则A=126，B= 168．【分析】由题意，可得14A+1.5（A+42）=2016，解方程求出A，即可求出B．【解答】解：由题意，可得14A+1.5（A+42）=201614A+1.5A+63=201615.5A=1953A=126B=126+42=168故答案为126，168．【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考查代入法的运用，属于中档题．8．解方程组，得x=20，y=16．【分析】利用加减消元法，即可解方程组．【解答】解：第一个方程×3与第二个方程相加可得14x=280，所以x=20，代入第一个方程可得60+y=76，所以y=16，故答案为20，16．【点评】本题考查二元一次方程组的解法，考查加减消元法，属于中档题．9．若五个都大于1的正整数a，b，c，d，e满足，则a b+cd+e=1098．【分析】根据题意，分别将128，155，203，243，275进行分解，求出a，b，c，d，e，即可求a b+cd+e．【解答】解：由题意，不妨设a＜b＜c＜d＜e，则由于4×32=128，5×31=155，7×29=203，9×27=243，11×25=275，结合条件，可得a=4，b=5，c=7，d=9，e=11，所以a b+cd+e=45+7×9+11=1098，故答案为1098．【点评】本题考查因数的分解，考查方程思想，正确分解因数是关键．10．已知整数x、y满足，则2min（x，y）+max（x，y）的最大值为300（min（x，y）表示x，y这两个数中的较小值，max（x，y）表示x，y这两个数中的较大值，比如min（3，2）=2，max（3，2）=3）．【分析】根据新定义，分类讨论，表示2min（x，y）+max（x，y），即可求出2min （x，y）+max（x，y）的最大值．【解答】解：由题意，x≤y时，，2min（x，y）+max（x，y）=2x+y=（x+y）﹣（y﹣x），x+y取最大值200，y﹣x取最小值0时，2min（x，y）+max（x，y）的最大值为300；x＞y时，，2min（x，y）+max（x，y）=2y+x=（x+y）﹣（x﹣y），x+y取最大值200，x﹣y取最小值0时，2min（x，y）+max（x，y）的最大值为300；综上所述，2min（x，y）+max（x，y）的最大值为300，故答案为300．【点评】本题考查新定义，考查代数式的最大值，解题的关键是用x，y表示2min （x，y）+max（x，y）．11．如图，大正方形被两条线段分割成四个小长方形；若长方形B的周长是A 的2倍，长方形C的周长是A的3倍，那么长方形D的面积是A的21倍．【分析】首先设出各边长然后根据周长的关系列出等式，找到各边长的等量关系，即可求解．【解答】解：依题意可知：设如图所示a，b，c，d分别为长方形的各边长；2（a+b）×2=2（b+c）2（a+b）×3=2（a+d）整理得：c=2a+b ①d=2a+3b ②因为大正方形的边长相等有b+d=a+c ③把①②代入③得：a=3b，c=7b，d=9b．故D的面积是7b×9b=21b×3b．故答案为：21【点评】本题考查对二元一次方程组的求解过程，在计算过程中可以把c，d当成未知数找到与a，b的等量关系，问题解决．12．五个数a、b、c、d、e满足，则a+b+c+d+e=2．【分析】将4个方程变形，再相加，即可得出结论．【解答】解：由题意，，4个方程相加可得16a+16b+16c+16d+15e=30+a+b+c+d，所以15（a+b+c+d+e）=30，所以a+b+c+d+e=2．故答案为2．【点评】本题考查方程组的求解，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确将4个方程变形．13．小明看到一辆拖拉机拉着一条绳子在路上缓慢地行驶着，小明准备去测量一下绳子的长度．如果小明沿着拖拉机开的方向行走，从绳子的一端走到另一端，一共走了140步；如果小明行走的方向与拖拉机开的方向相反，从绳子的一端走到另一端，一共走了20步．拖拉机与小明的速度保持恒定，小明每步可以走1米．那么绳子的长度为35米．【分析】由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的7倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是7倍关系，设第一次拖拉机开了7S米，第二次拖拉机开了S米，并且设绳子的长度为x米，则得到方程组，即可得出结论．【解答】解：由于第一次走了140步、第二次走了20步，所以第一次花的时间是第二次花的时间的7倍，所以这个过程中拖拉机开的路程也是7倍关系，设第一次拖拉机开了7S米，第二次拖拉机开了S米，并且设绳子的长度为x 米，则得到方程组，解得x=35，S=15，故答案为35．【点评】本题考查二元一次方程组的求解，考查学生分析解决问题的能力，正确建立方程组是关键．14．姗姗和希希各有若干张积分卡．姗姗对希希说“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍”希希对姗姗说“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍”姗姗对希希说“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍”这三句话中有一句话是错的，那么，原来希希有9张积分卡．【分析】首先表示出希希和姗姗的积分卡的张数，再利用方程列出等量关系，先第一句和第二句一起列方程，再第一句和第三句进行列方程查看是否有整数解即可．【解答】解：设姗姗和希希的积分卡分别为x和y；①若第一句和第二句都是对的，则，得，无整数解．②若第一句和第三句是对的，则，得推理．③若第二句和第三句是正确的则无整数解；经验证符合题意．故答案为：9【点评】本题考查对二元一次方程的理解和求解过程，两次进行比较有整数解即可，问题解决．15．希希和姗姗各有若干张积分卡．姗姗对希希说：“如果你给我2张，我的张数就是你的2倍．”希希对姗姗说：“如果你给我3张，我的张数就是你的3倍．”姗姗对希希说：“如果你给我4张，我的张数就是你的4倍．”希希对姗姗说：“如果你给我5张，我的张数就是你的5倍．”后来发现以上四句话恰有两句正确，两句不正确，最后希希给了珊珊几张积分卡之后她们的张数就相同了．那么，原来希希有15张积分卡．【分析】首先分析如果全是正确的就能求出方程的解，列出方程对应的能求解即可．【解答】解：设姗姗原来有x张积分卡，希希原来有y张积分卡，如果4句话都是真话，可得到如下四个方程：；最后一句话说明两个人的积分卡总数是2的倍数．且两人各自的积分卡数不同．按照顺序从4个方程中选出2个出来，依次解二元一次方程并验证结果，不难求出只有第2，4句话是正确的时候能得到正确的答案，解得：即原来姗姗有9张，希希有15张．故答案为：15【点评】本题是考察二元一次方程的求解过程，主要方法是加减消元法消去一个未知数即可求解．问题解决．16．面粉厂送面粉到食品厂加工蛋糕，第一次送去20袋面粉，其中4袋作为加工费给食品厂还不够，另外补给食品厂160元现金，第二次送去14袋面粉，其中2袋作为加工费给食品厂也不够，另外补给食品厂180元现金．那么，每袋面粉值85元，每袋的加工费是25元．【分析】设每袋面粉的价值是x元，可得每袋面粉就需要（4x+160）÷20元加工费，根据第二次送去14袋面粉，其中2袋作为加工费给食品厂也不够，另外补给食品厂180元现金，建立方程，即可得出结论．【解答】解：设每袋面粉的价值是x元，那么20袋面粉就需要4x+160元加工费，每袋面粉就需要（4x+160）÷20元加工费，则（4x+160）÷20×14=2x+180解得x=85，（4x+160）÷20=25，故答案为85，25．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查方程思想的运用，正确求出每袋面粉的加工费是关键．17．一个分数，如果在它的分子上加1，这个分数就等于l；如果在它的分母上加1，这个分数就等于．原来的分数是．【分析】设个分数为，则由题意可得方程组，解方程组即可．【解答】解：设个分数为，则由题意可得方程组，由①可得：y=x+1，由②可得：9x=8（y+1），将y=x+1代入到9x=8（y+1），可得：9y﹣9=8y+8y=17则x=17﹣1=16，所以原分数是；答：原来的分数是；故答案为：．【点评】此题由于没有告诉数据，所以可以列方程组进行解答，也可以根据题意，进行大胆假设，然后找出符合题意的即可．18．方程组：的解为x1=x3=x5=…=x2009=x2011=1006；x2=x4=x6=…x2008=x2010=1005．【分析】观察方程组，找出奇数项和偶数项的关系式，即可解答．【解答】解：由题意设x1=x3=x5=…=x2009=x2011=a；x2=x4=x6=…x2008=x2010=b；原方程组变为：解得：故答案为x1=x3=x5=…=x2009=x2011=1006；x2=x4=x6=…x2008=x2010=1005；【点评】本题主要考查解二元一次方程组的巧算方法．19．已知：，那么x+y=25．【分析】将第一个方程两边都乘以3后，再减去第二个方程，最后将所得方程两边都除以8即可得出答案．【解答】解：，①×3，得：15x+9y+z=300 ③，③﹣②，得：8x+8y=200，两边都除以8可得，x+y=25，故答案为：25．【点评】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元法和等式的基本性质是解题的关键．20．已知：，那么x=20．【分析】将方程②×2得10x+4y=252 ③，③﹣①得7x=140，两边都除以7可得答案．【解答】解：，②×2，得：10x+4y=252 ③，③﹣①，得：7x=140，两边都除以7，得：x=20，故答案为：20．【点评】本题主要考查二元一次方程组的求解，熟练掌握加减消元法和等式的基本性质是解题的关键．21．体育馆正在进行乒乓球单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4名，比赛的乒乓球台共有13张，那么双打比赛的运动员有20名．【分析】设双打桌为x，单打桌为y，则x+y=13；双打一桌有4人，单打一桌有2人，则4x﹣2y=4；联立解得：x=5，y=8．双打有5桌，刚双打运动员有5×4=20（人），解决问题．【解答】解：设双打桌为x张，单打桌为y张，得：②+①×2，得6x=30，则x=5；那么双打运动员有：5×4=20（人）．答：双打比赛的运动员有20名．故答案为：20．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，再求解．22．小明上周去百货商店用30元买了2支钢笔和4支铅笔．这周去百货商店时，发现钢笔降价10%，铅笔加价20%．于是，小明又花了30元买了3支钢笔和1支铅笔．现在买1支钢笔和1支铅笔一共需要12元．【分析】根据题干，可设原来一支钢笔x元，一支铅笔y元，根据等量关系：“2支钢笔和4支铅笔=30元”和“钢笔降价10%，铅笔加价20%后，3支钢笔和1支铅笔=30元”即可列出含有x、y的方程组，求出x、y的值即可解答．【解答】解：设原来一支钢笔x元，一支铅笔y元，根据题意可得方程组：；方程组可以变形为：，把①代入②可得：2.7（15﹣2y）+1.2y=30，40.5﹣5.4y+1.2y=30，4.2y=10.5，y=2.5，则x=15﹣2.5×2=10，10×（1﹣10%）+2.5×（1+20%），=9+3，=12（元），答：现在买1支钢笔和1支铅笔一共需要12元．故答案为：12．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，做题的关键是弄懂题意，找出合适的等量关系，列出方程组．23．由图知，小芳原来有球15个．【分析】设小芳有x个球，小华有y个，根据题意，列出方程组：，进行解答即可．【解答】解：设小芳有x个球，小华有y个，根据题意得方程组：解得：x=15，y=9；答：小芳原来有球15个；故答案为：15．【点评】解答此题先设出两个未知数，然后根据题意，列出方程组，进行解答即可．24．已知关于x、y的二元一次方程组无解，则|mn﹣15|=0．【分析】关于x、y的二元一次方程组无解，得出x，y的系数分别成比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，，∴mn=15，∴|mn﹣15|=0，故答案为0．【点评】本题考查二元一次方程组解的问题，考查学生的计算能力，比较基础．25．一只木箱内有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个．小明一次取出5个黄球、3个白球，这样操作N次后，白球拿完了，黄球还剩8个；如果换一种取法：每次取出7个黄球、3个白球，这样操作M次后，黄球拿完了，白球还剩24个．原来木箱内共有乒乓球264个．【分析】第一次黄球去掉8个，正好和白球一样N次取完；第二次白球去掉24个，正好和黄球一样M次取完，从而得到两个等量关系式．【解答】解设木箱内有黄球x个，白球y个=（1）=（2）由（1）得y=（x﹣8）（3）由（2）得y=x+24 （4）由（3）和（4）得x+24=（x﹣8）15x+840=21x﹣1686x=1008x=168把x=168代（3）得y=96168+96=264（个）答：原来木箱内共有乒乓球264个．故答案为：264．【点评】找准两次等量关系是解决本题的关键．球的总数除以每次取的个数就是取的次数，次数相等，所以有等量关系式．26．2个蟹将和4个虾兵能打扫龙宫的，8个蟹将和10个虾兵就能打扫完全部龙宫．如果是单让蟹将去打扫，与单让虾兵去打扫进行比较，那么要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多18个．【分析】解决此题设1个蟹将、1个虾兵打扫的工作量分别为x、y，根据题意列出方程组，解这个方程组，进一步得解．【解答】解：设1个蟹将、1个虾兵打扫的工作量分别为x、y，依题意，得，解得，因此，单让蟹将打扫全部龙宫需要的个数：=12（个），单让虾兵打扫全部龙宫需要的个数：（个），虾兵应比蟹将多用：30﹣12=18（个）．答：要打扫完全部龙宫，虾兵比蟹将要多18个．【点评】此题属于考查用二元一次方程组解决生活中的实际问题．27．某个自然数与10的和与差均为完全平方数，这个自然数是26．【分析】根据题意，设这个自然数为m，，两个方程相减可得：A2﹣B2=（A﹣B）×（A+B）=20，把20写成两个数的乘积的形式可得出关于A、B 的二元一次方程，由此利用加减消元法即可解答，求出A、B的值即可求出m解决问题．【解答】解：设这个自然数为m，，所以A2﹣B2=（A﹣B）×（A+B）=20，因为20=1×20=2×10=4×5，而（A﹣B）与（A+B）同奇同偶，所以只能是，解得，所以m=62﹣10=26．故答案为：26．【点评】此题较为复杂，关键是利用平方差公式得出（A﹣B）×（A+B）=20进而得出关于A、B的二元一次方程组，解这个方程组即可解答问题．28．一盘苹果有20个左右，几位小朋友分．若每人分3个，则余下2个；若每人分4个，则差3个．这盘苹果有17个，分给5个小朋友．【分析】设人数有x人，苹果有y个，根据题意列出方程组求解．【解答】解：设人数有x人，苹果有y个．两式相减得x=5y=3×5+2=17故填17和5．【点评】此题只要考查利用方程组解题．29．有一批人要合买一条船，后来有10人退出，经过计算，剩下的人每人要出1元，实际付款又有15人退出，结果，每人又要多出了2元，原来想买船的人共有100个．【分析】因买小船的钱数一定，可知本题中的等量关系：（原来应交的船费+1）×（原来的人数﹣10）=船费；（原来应交的车费+1+2）×（原来的人数﹣10﹣15）=船费；据此等量关系，可列方程组进行解答．【解答】解：设原先同意买船的有x人，原来应交的船费是y元，根据题意得：由①、②得，解得答：原来想买船的人共有100个．故答案为：100．【点评】本题的关键是买船的钱数一定，可找出两个等量关系，然后分别设原先同意买船的有x人，原来应交的船费是y元，列出方程组进行解答．。

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小学六年级奥数题(答案附后）1。

某市举行小学数学竞赛，结果不低于80分的人数比80分以下的人数的4倍还多2人，及格的人数比不低于80分的人数多22人,恰是不及格人数的6倍,求参赛的总人数？2。

电影票原价每张若干元，现在每张降低3元出售,观众增加一半，收入增加五分之一,一张电影票原价多少元?3.甲乙在银行存款共9600元，如果两人分别取出自己存款的40％,再从甲存款中提120元给乙。

这时两人钱相等，求乙的存款4。

由奶糖和巧克力糖混合成一堆糖，如果增加10颗奶糖后，巧克力糖占总数的60％。

再增加30颗巧克力糖后，巧克力糖占总数的75%，那么原混合糖中有奶糖多少颗?巧克力糖多少颗?5.小明和小亮各有一些玻璃球，小明说:“你有球的个数比我少1/4！”小亮说:“你6。

搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时,丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物,丙开始帮助甲搬运,中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完。

问丙帮助甲、乙各多少时间？7。

一件工作,若由甲单独做72天完成，现在甲做1天后,乙加入一起工作,合作2天后，丙也一起工作,三人再一起工作4天，完成全部工作的1/3，又过了8天,完成了全部工作的5/6，若余下的工作由丙单独完成,还需要几天？8.股票交易中，每买进或卖出一种股票都必须按成交易额的1％和2%分别交纳印花税和佣金（通常所说的手续费）。

小学奥数练习卷（知识点：不等方程的分析求解）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第Ⅰ卷（选择题）一．选择题（共2小题）1．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm．A．6B．7C．8D．92．若＜，则a可取整数的范围是（）A．a=10B．a＜8C．a＜11第Ⅱ卷（非选择题）二．填空题（共28小题）3．甲、乙、丙一起到书店，甲、乙看了同一种书，都想买一本（书价是整数元），但甲差17元、乙差8元，两人把钱合在一起，并且找丙借了3元还是不够买一本，那么，这一本书的价钱至多是元．4．神庙里有一把古老的秤，对于重量小于1000克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于1000克的物体，这把秤会显示处一个大于等于1000得随机数．小明有五个物品，它们各自的重量都小于1000克，我们分别用P、Q、R、S、T表示它们的重量．将这五个物品两两配对，放到秤上进行称量，得到下面的结果：Q+S=1200（克），R+T=2100（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克），P+T=700（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为．5．＜，则“（）”中可以填的质数是．6．某教师发给学生一份有100多题目的“复习题”，老师说，请你们回家去作题号能被2和3整除的题目．同学们发现，布置的题在复习题总数中占的比值X 满足这套复习题共有道．7．关于x的不等式≤x＜2的解集中有且只有四个整数，则a的取值范围为．8．是最简分数且＞，A最小是．9．甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有袋粮食．10．航模小组的所有同学站成一行，从左往右第1位、第5位、第9位…是女同学，从右往左第1位、第8位、第15位…是男同学．那么，航模小组最多有位同学．11．不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是．12．数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物．奖品发给前五名代表队所在的学校．名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和．那么，第三名最多可以获得本．13．某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分．已知全班同学的平均成绩不少于90分，那么得优的同学占全班同学的比例至少是．14．为了能有效地使用电力资源，某市的电力局从2006年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.56元（“峰电”价），22：00至次日8：00用电每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用峰谷电的居民用电每千瓦时0.53元．那么当峰电用量不超过每月总用电量的%时，使用峰谷电合算．（精确到1%）15．所有适合不等式＜＜的自然数n之和为．16．一本书，如果每天看50页，则5天看不完，不超过六天可以看完；如果每天看70页，则三天看不完，不超过四天可以看完；如果每天阅读n页，则在第n天刚好读完．这本书有页．17．一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已数出的球中红球不少于90%，那么这堆球的数目最多只能有个．18．某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费元（用电都按整度数收费）．19．不等式组的整数解为．20．若x的50%不小于它的3倍与5的和，则x．21．一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，那么这个数的取值范围是．22．不等式≥的正整数解是．23．如果不等式2x﹣a≤0的正整数解为x=1，2，3，那么a的取值范围是．24．不等式3x＜3+x的正整数解是．25．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：＜π＞=（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，求实数x的取值范围．26．如果117＜4×□＜149，那么□中可填的自然数有个．27．在方框里填入适当的整数，使不等式≥≥成立．那么在可以填入的整数中，所有质数的和是．28．下面括号中填什么自然数时，不等式成立？1＞＞．29．不等式如果成立，那么括号中可填的正整数有个．30．已知，X、Y为连续自然数．X=，Y=．三．解答题（共20小题）31．阅读材料：若x为大于0的整数，且满足某一不等式x＞a，则称x的最小值为不等式x＞a的“培优数”，记为Φ（x，x＞a）．例如Φ（x，x＞2）=3，Φ（x，x≥π）=4．（1）已知x为大于0 的整数，则Φ〔x，x＞〕=；（2）已知x为大于0 的整数，则Φ〔x，5（x﹣3）＞240﹣x〕的值；（3）已知x，y为大于0的整数，则Φ〔x，〕的值．32．设某年中有一个月里有三个星期日的日期为奇数，则这个月的20日可能是星期几？33．某校办工厂生产一批新产品，现有两种销售方案．方案一：在这学期开学时售出该产品，可获利30000元，然后将该产品的成本（生产该产品支出的总费用）和已获利的30000元进行再投资，到这学期结束时可获利4.8%．方案二：在这学期结束时售出该产品可获利35940元，但要付成本的0.2%作保管费．那么该产品的成本超过多少元时采用方案一好？34．用1元钱买4分、8分、1角的邮票共15张，那么最多可以买1角的邮票多少张？35．一场音乐会的票价有40元、60元两种．60元的有100个座位，40元的有250个座位．票房收入是15000元，观众可能有多少人？（已知两种票售出的都是整十数．）36．某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元（不足1千米按1千米算）．现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先往前走800米再乘车到B地，结果还是24元，那么如果先走AB的一半路程，再打车需要多少元？37．当关于x的方程5x﹣2k=﹣x+4的解大于1且小于3时，求整数k的值．38．已知不等式4（x﹣3）+5＜6（x﹣2）+1的最小整数解是方程4x﹣ax=3的解，求a的值．39．解不等式：1≤|3x﹣5|≤2．40．解不等式x2＞0．41．解不等式：3×30y+5×16（24﹣y）≥2100．42．解不等式组：．43．解不等式：﹣1≥．44．解不等式：﹣2＞．45．要使成立，式中的x最多可表示多少个不同的自然数？这些自然数分别是什么？46．解不等式：＜2．47．求不等式组的最小整数解．48．解不等式组：．49．解不等式：（π﹣4）x≥（4﹣π）50．已知函数f（x）=．（1）解不等式：1﹣＞；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，0）上的单调性，并利用函数单调性的定义进行证明．参考答案与试题解析一．选择题（共2小题）1．两条纸带，较长的一条为23cm，较短的一条为15cm．把两条纸带剪下同样长的一段后，剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍，那么剪下的长度至少是（）cm．A．6B．7C．8D．9【分析】设剪下的长度为x厘米，则较长的一条剩余（23﹣x）厘米，较短的一条剩余（15﹣x）厘米，由“剩下的两条纸带中，要求较长的纸带的长度不少于较短的纸带长度的两倍”，列出不等式：23﹣x≥2（15﹣x），解此不等式即可．【解答】解：设剪下的长度为x厘米，得：23﹣x≥2（15﹣x）23﹣x≥30﹣2xx≥7．答：剪下的长度至少是7厘米．故选：B．【点评】把剪下的长度作为未知数，根据数量关系，列出不等式，解决问题．2．若＜，则a可取整数的范围是（）A．a=10B．a＜8C．a＜11【分析】根据不等式的性质，不等式的两边同时乘18，然后再在不等式的两边同时减去4，然后解答即可．【解答】解：＜×18＜×18a+4＜15a+4﹣4＜15﹣4a＜11故选：C．【点评】本题考查了求不等方程的解，关键是灵活运用不等式的性质．二．填空题（共28小题）3．甲、乙、丙一起到书店，甲、乙看了同一种书，都想买一本（书价是整数元），但甲差17元、乙差8元，两人把钱合在一起，并且找丙借了3元还是不够买一本，那么，这一本书的价钱至多是21元．【分析】设这一本书的价钱是x元，分别表示出甲、乙所有的钱数，再根据找丙借了3元还是不够买一本，列出不等方程x﹣17+x﹣8+3＜x，然后解这个不等方程即可．【解答】解：设这一本书的价钱是x元，根据题意可，（x﹣17）+（x﹣8）+3＜x2x﹣22＜xx＜22所以，这一本书的价钱至少是：22﹣1=21（元）答：这一本书的价钱至少是21元．【点评】本题考查了利用不等方程解决实际问题，关键找到不等量关系式，列出不等方程，然后根据取值范围以及书价是整数确定极值即可．4．神庙里有一把古老的秤，对于重量小于1000克的物体，这把秤会显示其正确的重量；对于重量大于等于1000克的物体，这把秤会显示处一个大于等于1000得随机数．小明有五个物品，它们各自的重量都小于1000克，我们分别用P、Q、R、S、T表示它们的重量．将这五个物品两两配对，放到秤上进行称量，得到下面的结果：Q+S=1200（克），R+T=2100（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克），P+T=700（克）．那么这五个物品的重量从重到轻的顺序为S，R，T，Q，P．【分析】利用一个加数加另一个加数，和大的另一个加数大，并且确定出大多数，即可得出结论．【解答】解：由Q+S=1200（克），Q+T=800（克），Q+R=900（克）得，S﹣T=400（克），S﹣R=300（克），R﹣T=100（克），所以S＞R＞T，由R+T=2100（克），Q+T=800（克），P+T=700（克）．得R﹣Q=1300（克），R﹣P=1400（克），Q﹣P=100（克），所以R＞Q＞P，而R﹣T=100（克），R﹣Q=1300（克），R﹣P=1400（克），所以T＞Q＞P，即：S＞R＞T＞Q＞P【点评】此题是不等方程的求解，主要考查了一个加数相同，和大的另一个加数大，确定出每两种物体重量的差是解本题的关键．5．＜，则“（）”中可以填的质数是7．【分析】设括号里的质数为a，然后解不等式，求出不等式的整数解即可．【解答】解：设括号里的质数为a，①则，7a＞4×12即，a＞6②＜则，6a＜5×12即，a＜10所以，6＜a＜10满足条件的质数只有7，即a=7．故答案为：7．【点评】本题结合质数的意义考查了求不等式的整数解，关键是确定要求数的取值范围．6．某教师发给学生一份有100多题目的“复习题”，老师说，请你们回家去作题号能被2和3整除的题目．同学们发现，布置的题在复习题总数中占的比值X 满足这套复习题共有101道．【分析】设这套复习题共有y道题，因为能被2和3整除的题目一定是6的倍数，由此可得：y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．根据题意有：＜＜，也就是：＜＜，改写为：＜＜，整理得：＜＜．然后根据分数的基本性质讨论n和m的值即可．【解答】解：设这套复习题共有y道题，可得：y=6m+n，其中0≤n≤5，m就是布置的题数（即题号能被6整除的题目的个数）．根据题意有：＜＜，也就是：＜＜，改写为：＜＜，整理得：＜＜．如果改写为：＜＜，则无解；如果改写为：＜＜则可得：n=5、m=16，此时得：y=6×16+5=101；如果改写为：＜＜，则可得：n=7或8，但n＞5，不符合0≤n≤5，所以此时也无解；总之，这套复习题共有101道题．故答案为：101．【点评】本题属于复杂的数论问题，关键是构建布置的题数与总题数之间的关系式，然后再根据不等式筛选即可．7．关于x的不等式≤x＜2的解集中有且只有四个整数，则a的取值范围为9≤a＜12．【分析】根据解集只有四个整数，可以知道这四个整数依次是1、0、﹣1、﹣2，所以只要求﹣3＜≤﹣2【解答】解：≤﹣23﹣a≤﹣6a≥9﹣3＜﹣9＜3﹣aa＜12所以9≤a＜12【点评】这题是确定根据x的值有4个整数确定的取值范围，然后求解．8．是最简分数且＞，A最小是5．【分析】在分数中，分子与分母只有公因数1的分数为最简分数．是最简分数且＞，由于=，又=，所以A最小是5．【解答】解：由于=，又=，是最简分数且＞，所以A最小是5．故答案为：5．【点评】将两个分数通分后，化成同分母分数后再进行分析是完成本题的关键．9．甲、乙两个粮库原来各存有整袋的粮食，如果从甲粮库调90袋到乙粮库，则乙粮库存粮的袋数是甲粮库的2倍．如果从乙粮库调若干袋到甲粮库，则甲粮库存粮的袋数是乙粮库的6倍．那么甲粮库原来最少存有153袋粮食．【分析】两个关系式为：（甲库存粮﹣90）×2=乙库存粮+90；甲库存粮+若干袋粮=（乙库存粮﹣若干袋粮）×6，进而得到相应的最小整数解即可．【解答】解：设甲库原来存粮a袋，乙库原来存粮b袋，依题意可得2（a﹣90）=b+90（1）；再设乙库调c袋到甲库，则甲库存粮是乙库的6倍，即a+c=6（b﹣c）（2）；由（1）式得b=2a﹣270 （3），将（3）代入（2），并整理得11a﹣7c=1620，由于c==a﹣232+又a、c是正整数，从而有≥1，即a≥148；并且7整除4（a+1），又因为4与7互质，所以7整除a+1，a+1最小为154，则a最小是153．答：甲库原来最少存粮153袋．故答案为：153．【点评】解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．注意本题需求得最小的整数解．10．航模小组的所有同学站成一行，从左往右第1位、第5位、第9位…是女同学，从右往左第1位、第8位、第15位…是男同学．那么，航模小组最多有18位同学．【分析】设总数为S，公差为4的数列余数是a，1≤a≤3；公差为7的数列余数（a或b取0时，在头或尾就重合了），则可得S=4m+a+1=7n+b+1，是b，1≤b≤6；且7n+1≠4m+a+1；7n≠4m+a再讨论a=1时，m最大取4，n最大取2；a=2时，m最大取2，n最大取1；a=3时，n只能是0；据此把a=1、m=4代入S=4m+a+1中计算即可求出最大值【解答】解：设总数为S，公差为4的数列余数是a，1≤a≤3；公差为7的数列余数是b，1≤b≤6；（a或b取0时，在头或尾就重合了）S=4m+a+1=7n+b+1，7n+1≠4m+a+1，7n≠4m+a，a=1时，m最大取4，n最大取2，a=2时，m最大取2，n最大取1，a=3时，n只能是0，所以最大：S=4m+a+1=4×4+1+1=18答：航模小组最多有18人．故答案为：18．【点评】此题也可以利用枚举法解答：若总人数大于7，则前7个人中必有1男生在从右往左数的公差为7的数列中，而1，5是女生，不必枚举，只需考虑2、3、4、6、7、2，9.9冲突；3，10，17中17冲突；4，11，18，25中25冲突；6，13中13冲突；7，14，21中21冲突；显然，4是男生，总人数18最大．11．不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2的x应满足的条件是x≤．【分析】按题意，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，可以分情况讨论，分三种情况：x＜﹣2；x＞1；﹣2≤x≤1故可以去掉绝对值，再求解．【解答】解：根据分析，即：求|x+2|﹣|x﹣1|≤2的解，先去绝对值，分三种情况：①x＜﹣2时，x+2＜0；x﹣1＜0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒﹣（x+2）﹣（1﹣x）≤2⇒﹣3≤2，成立；∴x＜﹣2；②x＞1时，x+2＞0；x﹣1＞0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（x﹣1）≤2⇒2+1≤2，（不符合，舍去）；③﹣2≤x≤1时，x+2≥0；x﹣1≤0，故：|x+2|﹣|x﹣1|≤2⇒x+2﹣（1﹣x）≤2⇒2x+1≤2⇒x≤；∴﹣2≤x≤．综上，x≤时，满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|≤2，即此时x不满足不等式|x+2|﹣|x﹣1|＞2．故答案是：x≤．【点评】本题考查了不等方程的分析求解，本题突破点：分三种情况讨论，逐步求解．12．数学竞赛团体奖的奖品是10000本数学课外读物．奖品发给前五名代表队所在的学校．名次在前的代表队获奖的本数多，且每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，如果第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和．那么，第三名最多可以获得1700本．【分析】根据题意，设第三名获得x本，则第二名至少获得（x+100）本，第一名至少获得（2x+100）本，再根据第二名所得的本数是第四名与第五名所得本数之和及总奖品数是1000本，列出不定方程，解不定方程即可．【解答】解：设第三名获得x本，则第二名至少获得（x+100）本，第一名至少获得（2x+100）本，2x+100+x+100+x+x+100≤10000，5x+300≤10000，5x≤9700，x≤1940，又因为，第一名所得的本数是第二名与第三名所得的本数之和，所以，1900不符合题意，所以，用1800元还原时，第一名到第五名之和无解，所以第三名最多可以获得1700本，答：第三名最多可以获得1700本，故答案为：1700．【点评】解答此题的关键是，根据题中的数量关系，得出各个名次所的书的本数，再根据发奖的总本数，列出不定方程，最后根据每一名次的奖品的本数都是100的整数倍，解不定方程即可．13．某班一次数学考试，所有成绩得优的同学的平均分数是95分，没有得优的同学的平均分数是80分．已知全班同学的平均成绩不少于90分，那么得优的同学占全班同学的比例至少是2：3．【分析】此题可以设全班x人，得优的有y人，根据题意列出不等式为90x≥95y+80（x﹣y），再根据全班同学的平均成绩不少于90分，即可推出x与y之间的比例关系，解决问题．【解答】解：设全班x人，得优的有y人，由题意得：90x≥95y+80（x﹣y），90x≥95y+80x﹣80y，10x≥15y，已知全班同学的平均成绩不少于90分，所以10x=15y，所以y：x=10：15=2：3，即得优的同学占全班同学的比例至少是2：3．故答案为：2：3．【点评】此题主要考查学生对不等方程的解答，以及分析推理能力．14．为了能有效地使用电力资源，某市的电力局从2006年1月起进行居民峰谷用电试点，每天8：00至22：00用电每千瓦时0.56元（“峰电”价），22：00至次日8：00用电每千瓦时0.28元（“谷电”价），而目前不使用峰谷电的居民用电每千瓦时0.53元．那么当峰电用量不超过每月总用电量的89%时，使用峰谷电合算．（精确到1%）【分析】设“峰电”用量占每月电量的百分率为z时，使用“峰电”电合算，此时月用电量为a，那么原来的电价是0.53a，后来“峰电”量为az，电价就是0.56az，“谷电”量为（1﹣z）a，电价就是0.28（1﹣z）；要使使用峰谷电合算，那么峰谷电的电价钱数和就要小于原来的电价，由此列出不等式求解．【解答】解：设“峰电”用量占每月电量的百分率为z时，使用“峰电”电合算，此时月用电量为a，0.56az+0.28a•（1﹣z）＜0.53a0.56az+0.28a﹣0.28az＜0.53a0.28z+0.28＜0.530.28z＜0.25z＜89%答：当“峰电”用量不超过每月总用电量的89%时，使用“峰谷”电合算．故答案为：89．【点评】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量（不等）关系，列出不等方程，再求解．15．所有适合不等式＜＜的自然数n之和为104．【分析】先通分得到不等式＜＜，可得245＜126N＜1800，在找到满足245＜126N＜1800的所有自然数N，相加即可求解．【解答】解：＜＜，所以，＜＜，所以245＜126N＜1800，则N的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14，=8×13，=104．答：所有适合不等式＜＜的自然数N之和为104．故答案为：104．【点评】此题考查了不等式的意义及解法，难点在于求得N的值为2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14．16．一本书，如果每天看50页，则5天看不完，不超过六天可以看完；如果每天看70页，则三天看不完，不超过四天可以看完；如果每天阅读n页，则在第n天刚好读完．这本书有256页．【分析】这本书共有n2页，则由题意得，50×5＜n2＜50×6，或70×3＜n2＜70×4．即250＜n2＜300，或210＜n2＜280，则要取250＜n2＜280．又读完这本书的天数与每天读的页数相等，说明n2为某整数的平方，而在250与280之间，然后找到这个完全平方数即可．【解答】解：这本书共有n2页，由题意得50×5＜n2＜50×6，或70×3＜n2＜70×4，即250＜n2＜300，或210＜n2＜280，所以250＜n2＜280，n2为某整数的平方，在250与280之间只有n=16的平方满足条件，所以：16×16=256（页）．答：这本书有256页．故答案为：256．【点评】解答本题关键是求出总页数n2的取值范围，然后再找到符合要求的完全平方数即可．17．一堆彩色球，有红、黄两种颜色，首先数出的50个球中有49个红球，以后每数出的8个球中都有7个红球．一直数到最后8个球，正好数完．如果在已数出的球中红球不少于90%，那么这堆球的数目最多只能有210个．【分析】设这堆球有x个，数出的50个球还剩下（x﹣50）个球，以后每数出的8个球中都有7个红球，一直数到最后8个球，正好数完，说明红球占（x﹣50）的；根据百分率的意义以及等量关系可得不等方程：49+（x﹣50）×≥90%x，然后解答即可．【解答】解：设这堆球有x个，根据题意可得，49+（x﹣50）×≥90%x392+7x﹣350≥7.2x0.2x≤42x≤210所以，x的最小值是210．答：这堆球的数目最多只能有210个．故答案为：210．【点评】此题主要考查了由不等式联系实际解决问题，根据已知得出不等方程是解答的关键．18．某区对用电的收费标准规定如下：每月每户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度而不超过20度的部分，按每度0.80元收费；超过20度的部分，按每度1.50元收费．某月甲用户比乙用户多交电费7.10元，乙用户比丙用户多交3.75元，那么甲、乙、丙三用户共交电费24.05元（用电都按整度数收费）．【分析】首先根据题意，可得甲用户的用电量最大，乙其次，丙用户的用电量最小，再根据710、375都不能被45、80、150整除，判断出甲用户的用电量大于20度，乙用户的用电量在10度和20度之间，丙用户的用电量小于10度；然后设丙用户的用电量比10度少m度，乙用户的用电量比10度多n度，根据乙用户比丙用户多交3.75元，求出m、n的值各是多少；最后根据总价=单价×数量，求出丙用户应交多少电费，即可求出甲、乙、丙三用户共交电费多少元．【解答】解：0.45元=45分，0.80元=80分，1.50元=150分，7.10元=710分，3.75元=375分，因为710、375都不能被45、80、150整除，所以甲用户的用电量大于20度，乙用户的用电量在10度和20度之间，丙用户的用电量小于10度，设丙用户的用电量比10度少m度，乙用户的用电量比10度多n度，则45m+80n=375整理，可得m=因为1≤m≤9，1≤n≤9，m、n都是整数，所以经尝试，可得n=3时，m=3，0.45×（10﹣3）=0.45×7=3.15（元）3.15+（3.15+3.75）+（3.15+3.75+7.1）=3.15+6.9+14=24.05（元）答：甲、乙、丙三用户共交电费24.05元．故答案为：24.05．【点评】此题主要考查了单价、总价、数量的关系，考查了分析推理能力，要熟练掌握，解答此题的关键是列出不定方程求出丙用户的用电量是多少．19．不等式组的整数解为x=0，1，2．【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，由，可得﹣1＜x≤2，据此求出不等式组的整数解为多少即可．【解答】解：，∵，∴﹣1＜x≤2，∴不等式组的整数解为：x=0，1，2．故答案为：x=0，1，2．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组的求解方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解一元一次不等式组的步骤：①分别求出不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．20．若x的50%不小于它的3倍与5的和，则x≤﹣2．【分析】根据x的50%不小于它的3倍与5的和列出不等式得出答案即可．【解答】解：x×50%≥3x+50.5x﹣3x≥5﹣2.5x≥5x≤﹣2．故答案为：≤﹣2．【点评】读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式是解决问题的关键．21．一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，那么这个数的取值范围是x≥5．【分析】设这个数为x，根据一个数的2倍加上6不大于这个数的4倍减去4，列出不等式解答即可．【解答】解：设这个数为x，2x+6≤4x﹣42x﹣4x≤﹣4﹣6﹣2x≤﹣10x≥5所以这个数的取值范围是x≥5．故答案为：x≥5．【点评】此题考查不等方程的分析求解，理解题意，列出不等式，求得不等式的解集是解决问题的关键．22．不等式≥的正整数解是1、2、3、4、5．【分析】利用不等式的性质两边同乘6，再进一步把两边同时﹣3﹣4x，再进一步把系数化为1即可．【解答】解：≥3（1+x）≥2（2x﹣1）3+3x≥4x﹣23+3x﹣3﹣4x≥4x﹣2﹣3﹣4x﹣x≥﹣5x≤5正整数解为1、2、3、4、5．故答案为：1、2、3、4、5．【点评】本题考查了同学们解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．23．如果不等式2x﹣a≤0的正整数解为x=1，2，3，那么a的取值范围是6≤a＜8．【分析】解不等式2x﹣a≤0得x≤，其中，最大的正整数为3，故3≤＜4，从而求解【解答】解：解不等式2x﹣a≤0，得x≤，因为不等式的正整数解是1，2，3，所以3≤＜4，解得6≤a＜8．故答案为：6≤a＜8．【点评】本题考查了一元一次不等式的解法．先解含字母系数的不等式，再根据正整数解的情况确定字母的取值范围．24．不等式3x＜3+x的正整数解是1．【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，然后再求整数解即可．【解答】解：3x＜3+x3x﹣x＜3+x﹣x2x＜32x÷2＜3÷2x＜所以小于的正整数解是1．故答案为：1．【点评】本题考查了求不等式的解集的灵活应用，关键是掌握不等式的性质．25．对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，即：当n为非负整数时，如果n﹣≤x＜n+，则＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.48＞=0，＜0.64＞=＜1.493＞=1，＜2＞=2，＜3.5＞=＜4.12＞=4，…试解决下列问题：（1）填空：＜π＞=3（π为圆周率）；（2）如果＜2x﹣1＞=3，求实数x的取值范围 1.75≤x＜2.25．【分析】根据题意可以看出对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，所以看看四舍五入后，个位数就是要求的值：（1）因为π≈3.14，所以四舍五入后个位数就为所求的值；（2）近似数值到3的范围是2.5到3.5之间，包括2.5不包括3.5，据此列方程组解答即可．【解答】解：根据题意可得：（1）因为π≈3.14＜π＞=3；（2）因为：＜2x﹣1＞=3所以：2.5≤2x﹣1＜3.52.5+1≤2x﹣1+1＜3.5+13.5≤2x＜4.53.5÷2≤2x÷2＜4.5÷21.75≤x＜2.25故答案为：3；1.75≤x＜2.25．【点评】本题考查理解题意的能力，关键是看到所得值是个位数四舍五入后的值，问题得解．26．如果117＜4×□＜149，那么□中可填的自然数有8个．【分析】因为117÷4=29…1，149÷4=37…1，要使117＜4×□＜149，□中可填的自然数有30、31、32、33、34、35、36、37，共8个；由此解答即可．【解答】解：117÷4=29…1，149÷4=37…1，□中可填的自然数有30、31、32、33、34、35、36、37，共8个；故答案为：8．【点评】此题考查了数的大小比较，根据题意，先确定出取值范围，是解答此题的关键．27．在方框里填入适当的整数，使不等式≥≥成立．那么在可以填入的整数中，所有质数的和是36．【分析】把不等式≥≥看做是和，求出x的取值范围，再找出所有的质数相加即可．【解答】解：x≥x≤2020≥x≥符合条件的质数有17，19．17+19=36答：所有质数的和是36．故答案为：36．【点评】解答此题的关键是将给出的式子看作两个不等式，解不等式求出x的取值范围，进而求出x的值．28．下面括号中填什么自然数时，不等式成立？1＞＞．【分析】本题可以通分使得1、和的分子相同，再找到在72和81之间，能够被8整除的数即可求解．【解答】解：由分析可知，＞＞，在72和81之间能够被8整除的数只有10，故（）里填10，不等式成立．故答案为：10．【点评】解决此题关键是根据题中给出的分数的特点进一步找出符合题意的数．29．不等式如果成立，那么括号中可填的正整数有7个．【分析】题意是按照从小到大的顺序排列，所以此数比要大，比1要小；可以把这两个分数先化成分子相同的分数，按分子相同的分数的大小比较方法进。